EŞANLI DENKLEMLİ MODELLERDE BELİRLENME PROBLEMİ

EŞANLI DENKLEMLİ MODELLERDE BELİRLENME

PROBLEMİ

Belirlenme probleminin içeriği : Daraltılmış kalıptan hareketle belirlenme durumunun araştırılması

Yapısal modelden hareketle denklemlerin belirlenme durumunun araştırılması

Yapısal katsayılara konan sınırlamalarla belirlenmenin sağlanması

• Belirlenme probleminin içeriği : Daraltılmış kalıptan hareketle belirlenme durumunun araştırılması

Belirlenme : Bir yapısal modelin katsayıları a, b, c’lerin değerleri daraltılmış kalıbın katsayıları ’lerden tahmin edilebiliyorsa ilgili denklem BELİRLENMİŞTİR.

Yapısal katsayılar daraltılmış katsayıların tahmini değerlerinden elde edilemiyorsa ele alınan denklem BELİRLENMEMİŞ veya EKSİK BELİRLENMİŞ ’tir.

Denklem sayısı = içsel değişken sayısı model çözülebilir.

Yapısal parametrelerin değerlerinin elde edilebilmesi için eşanlı model denklemlerinin ayrı ayrı belirlenebilir olması gerekmektedir.

• Eksik belirlenmiş denklem (=Belirlenmemiş denklem)

• Cebirsel olarak eksik belirlenme

• Tam belirlenmiş denklemCebirsel olarak eksik belirlenme

• Aşırı belirlenmiş denklem

0a uPaaQ 1110dt Talep Fonksiyonu:

Arz Fonksiyonu: 0b uPbbQ 1210st

Denge Şartı QQQ dt

st

Daraltılmış Kalıp Denklemleri:

a0+a1Pt+u1=b0+b1Pt+u2

11

12

11

00t ba

uu

ba

abP

11

1121

11

1001t ba

ubua

ba

babaQ

v1

v2

Yapısal ModelCebirsel olarak eksik belirlenme

P yi yalnız bıraktığımızda

bulunur. P nin eşiti arz veya talep denk. de yerine konur.

0 0 1 0 0 11 2

1 1 1 1

b a a b a b

a b a b

0 1 0 1

1 2

, , , 4 yapısal parametre

, 2 daraltılmış kalıp katsayısı

a a b b

Dört yapısal parametre sadece iki daraltılmış kalıp katsayısından tahmin edilemez. Dört bilinmeyenin tahmini için dört denklem gereklidir. Ancak burada 1 ve 2 den oluşan sadece iki denklem vardır.(Arz – talep modeli yapısal denklemleri belirlenmemiş yada eksik belirlenmiş olup yapısal parametreler tahmin edilemez.)

<a yani (2<4) olduğundan eksik belirlenme

Tam Belirlenme DurumuDenklemlerden Sadece Biri Tam Belirlenmiş Arz ve Talep Modelleri (Arz fonksiyonunun tam belirlenmiş hali )

a) Talep: Q=a0+a1P+a2I+u1 =

Q=b0+b1P+u2 : Arz

Daraltılmış kalıp denklemleri:

1 0 0 1 2 1 1 2 1 1

1 1 1 1 1 1

a b a b a b a u buQ I

a b a b a b

0 0 2 2 1

1 1 1 1 1 1

Ib a a u u

Pa b a b a b

Q= 3+ 4I+v2

P=1+ 2I+v1

I : Tüketici geliri

Tam belirlenmiş denklem

0 1 2 0 1

1 2 3 4

, , , , 5 yapısal parametre

, , , 4 daraltılmış kalıp katsayısı

a a a b b

P=1+ 2I+v1

Q= 3+ 4I+v2

Basit EKKY uygulanarak ’ler tahmin edilebilir.

5 yapısal parametre ve bunları hesaplamak için lerden oluşan dört denklem vardır. Daraltılmış parametrelerin tamamının tek değerli tahminleri elde edilemez.

41 0 3 1 1

2

b b b

Talep fonksiyonu EKSİK BELİRLENMİŞ, Arz fonksiyonu TAM BELİRLENMİŞTİR.

12

11

11

12

2

4 . ba

ba

ba

ba

Ancak lerle yapısal parametreler(a,b) arasındaki ilişkilerden aşağıdaki bağlantılar elde edilebilmektedir.

41 0 3 1 1

2

b b b

Yukarıdaki iki bağlantıdan yararlanarak b0 ve b1

hesaplanmakta ancak talep denkleminin katsayılarını(a0, a1 ve a2) hesaplamak için tek bir yol yoktur. Bu sebepten talep fonksiyonu eksik belirlenmiştir. Arz fonksiyonu tam belirlenmiştir.

b) Talep: Q=a0+a1P+u1 Arz: Q=b0+b1P+b2T +u2T : Teknolojik gelişmeler

Daraltılmış kalıp denklemleri:

P=1+ 2T+v1

0 0 2 2 1

1 1 1 1 1 1

Tb a b u u

Pa b a b a b

Q= 3+ 4T+v2

1 0 0 1 1 2 1 1 1 2

1 1 1 1 1 1

( 1)a b a b a b u a b uQ T

a b a b a b

P=1+ 2T+v1

Q= 3+ 4T+v2

Basit EKKY uygulanarak ’ler tahmin edilebilir.

0 1 0 1 2

1 2 3 4

, , , , 5 yapısal parametre

, , , 4 daraltılmış kalıp katsayısı

a a b b b

22

1 1

1 24

44 1 2

1 1

12

b

a b

a b

b

a a

a

Daraltılmış parametrelerin tamamının tek değerli tahminleri elde edilemez.

0 01

1 1

1 0 0 10 3 1 1

31 1

b a

a b

a b a b

a b

a a

Tam Belirlenme Durumu Denklemlerden Her İkisi de Tam Belirlenmiş Arz ve Talep Modeli

Talep: Q=a0+a1P+a2I+u1

Arz: Q=b0+b1P+b2T+u2

Daraltılmış kalıp denklemleri:P=1+ 2I+ 3T+v1

Q= 4+ 5I+ 6 T+v2

11

12

11

2

11

2

11

00

ba

uuT

ba

bI

ba

a

ba

abP

11

1121

11

21

11

12

11

1001

ba

ubuaT

ba

baI

ba

ba

ba

babaQ

Tam Belirlenmiş

Tam Belirlenmiş

0 1 2 0 1 2

1 2 3 4 5 6

, , , , , 6 yapısal parametre

, , , , , 6 daraltılmış kalıp katsayısı

a a a b b b

6 51 1 2 2 1 1

3 2

2 3 1 1 0 4 1 1 0 4 1 1

( )

( )

a b a a b

b a b b a a b

=a

• Aynı yapısal parametre için birden çok nümerik değer elde edilmekte; parametrelerin tek değerli tahmini mümkün olamamaktadır.

Aşırı Belirlenme Durumu

>a

yani

denklem sayısı>bilinmeyen sayısı

Sadece Bir Denklem Aşırı Belirlenmiş Arz ve Talep Modeli- Örnek 1

Arz: Q=a0+a1P+u1

Talep: Q=a2+a3P+b1I+b2Z+ u2

2 0 1 2

1 3 1 3 1 3

1 2 3

a a b bP I Z

a a a a a a

P I Z

1 2 0 3 1 1 1 2

1 3 1 3 1 3

4 5 6

a a a a a b a bQ I Z

a a a a a a

Q I Z

5 61 1

2 3

0 4 1 1

,a a

a a

Bulunan dört farklı katsayı yani a0, a1 katsayılarıları arz fonksiyonuna ait olup fonksiyon aşırı belirlenmiştir.

Talep denklemine ait katsayılar daraltılmış biçim denklemlerindençıkarılmaz. Bu sebeple eksik belirlenmiştir.

Dört denklemden a1 için iki tahminin mümkün olduğu görülmektedir

Sadece Bir Denklem Aşırı Belirlenmiş Arz ve Talep Modeli- Örnek 2

0 1 2 3 1

0 1 2 2

Talep fonk. Q=a +a P+a I+a Z+u

Arzfonk. Q=b +b P+ b T u

1 2 3 4 1

5 6 7 8 2

P I Z T v

Q I Z T v

0 0 321 2 3

1 1 1 1 1 1

1 0 0 12 1 14 5 6

1 1 1 1 1 1

3 1 1 27 8

1 1 1 1

, ,

, ,

,

b a aa

a b a b a b

a b a bb a b

a b a b a b

a b a b

a b a b

• Denklem sayısı > Bilinmeyen sayısı>a• Yapısal modelin tüm parametrelerinin tek değerli

tahminleri elde edilemez.

7 61 1

3 2

b ve b

AŞIRI BELİRLENMİŞTİR

0 1 2 3 0 1 2

1 2 3 4 5 6 7 8

, , , , , , 7 yapısal parametre

, , , , , , , 8 daraltılmış kalıp katsayısı

a a a a b b b

• Eşanlı denklemli bir modelin herhangi bir denkleminin tahmin edilebilmesi için, bu denklemin eksik belirlenmiş olmaması, tam veya aşırı belirlenmiş olması gerekir.

Eşanlı Denklemli Modelin Denklemlerinin Belirlenme Durumunun Yapısal Modelden

Hareketle Araştırılması

• Boy şartı• Rank şartı

M = Modeldeki içsel değişken sayısı (veya denklem sayısı)

m = Belirlenme durumu araştırılan denklemdeki içsel değişken sayısı

K = Modeldeki toplam dışsal değişken sayısık = Belirlenme durumu araştırılan denklemdeki dışsal

değişken sayısı

Eşanlı Denklemli Modelin Denklemlerinin Belirlenme Durumunun Yapısal Modelden

Hareketle Araştırılması

1.Belirlenmenin İlk Şartı= Boy Şartı

K-k m-1

m= Belirlenmesi araştırılan denklemdeki içsel değişken sayısı

K= Modeldeki toplam değişken sayısı

k= Belirlenmesi araştırılan denklemdeki dışsal değişken sayısı

1. K-k=m-1 ise denklem tam belirlenmiştir.

2. K-k>m-1 ise denklem aşırı belirlenmiştir.

3. K-k<m-1 ise denklem eksik belirlenmiştir.

Yöntem 2: Modeldeki En Az M-1 Değişkeni İçermeme Yöntemi ile Boy Şartı

1.Tam Belirlenme Hali=M-1 değişken içermiyorsa

2.Aşırı Belirlenme Hali>M-1 değişken içermiyorsa

3.Eksik Belirlenme Hali< M-1 değişken içermiyorsa

ÖRNEK 0 1 1

0 1 2

Talep fonk.

Arz fonk.

Q a a P u

Q b b P u

P,Q = içsel değişkenlerdir.Modelde dışsal değişken yoktur.

K = 0 (modelde dışsal değişken yoktur)k = 0 (talep fonksiyonunda dışsal değişken yoktur)m = 2 (talep fonksiyonunda iki içsel değişken vardır)

1

0 0 2 1

0 1

K k m

Talep fonksiyonu eksik belirlenmiştir.

•Ya da;

Modelde M=2 denklem vardır. Talep fonksiyonunun belirlenebilmesi için modeldeki en az

M-1=2-1=1

Değişkeni içermemesi gerekir. Oysa ki talep fonksiyonu modeldeki tüm değişkenleri içeriyor.(P,Q)

1

0 0 2 1

0 1

K k m

Arz fonksiyonu eksik belirlenmiştir,çözülemez.

• Boy şartı belirlenmenin ilk şartı olup gerekli bir şarttır,ancak tek başına yeterli değildir.

• Boy şartı sağlandıktan sonra rank şartı araştırılmalıdır.

• Boy şartı sağlanmamış ise rank şartına ayrıca bakmaya gerek yoktur.

• Boy şartı sağlanmış olsa bir denklem eksik belirlenmiş olabilir.

2.Belirlenmenin İkinci Şartı= Rank Şartı

Rank Şartı • M denklemli ve M içsel değişkenli bir modelde bir

denklemin belirlenmesi için: bu denklemde bulunmayan fakat modelin diğer denklemlerinde yer alan (içsel veya dışsal) değişkenlerin katsayılarından (M-1)(M-1) boyunda en az bir sıfırdan farklı determinant oluşturulabilmelidir.

• Ya da diğer bir ifadeyle; modelin bir denkleminin belirlenebilmesi için, bu denklemden dışlanan içsel veya dışsal tüm değişkenlerin katsayılarından oluşan matrisin rankı M-1’e eşit olmalıdır.

Adım 1: Yapısal Modelin Yeniden YazılmasıYapısal model, sadece u terimleri denklemlerin sağında kalacak şekilde düzenlenir.

Bu yapısal modelin sadece ilk denkleminin belirlenme durumu araştırılacaktır. İkinci denklem özdeşlik olup, belirlenmenin araştırılmasına gerek yoktur.

C=b0+b1Y+uY=C+I

C-b0-b1Y = uY-C-I = 0

• Satırlarda Adım 1’de yeniden düzenlenen denklemleri; sütunlarda ise değişkenleri alarak, değişkenlerin katsayılarından oluşan Yapısal Katsayılar Tablosu (=YKT) oluşturulur

Tablo 1.

Adım 2: Tablo1.YKT nin Düzenlenmesi

Denklemler Değişkenler

C Y I

1.Denklem2.Denklem

1 -1

-b1

1

0 -1

C-b0-b1Y = uY-C-I = 0

Adım 3: Tablo2. BADT’nin Düzenlenmesi

Tablo1.YKT de;belirlenme durumu araştırılan denklemin satırı ile bu satırdaki sıfırdan farklı sütunlar çizilir.

1.d

2.d

C Y I1

-1

-b1

1

0

-1

Tablo 2.BADTTablo 1.YKT

-1

Adım 4: Tablo 2.BADT dan (M-1)(M-1) boyunda elde edilen matrislerin determinantları bulunur. Bulunan determinantlardan en az biri sıfırdan farklı ise denklem belirlenmiştir.

M-1=2-1=1 ve (M-1)(M-1)=1X1

A=[-1]

|A| = |-1|0 Rank şartı gerçekleşmiştir.Bu durumda A matrisinin rankı r(A)=M-1=1’dir.

• K-k=m-1 ise denklem tam belirlenmiş

• K-k>m-1 ise denklem aşırı belirlenmiş

K-k=m-1

1=1

Adım 5: Adım 4 deki rank şartı gerçekleştikten sonra denklemin aşırı yada tam belirlenmediğini anlamak için boy şartına bakılır.

olduğundan ve rank şartı da sağlandığından TÜKETİM FONKSİYONU TAM BELİRLENMİŞTİR.

1. K-k=m-1 ve (M-1)(M-1) boyundaki |A| determinantlarından en az biri sıfırdan farklı ise denklem tam belirlenmiştir( Boy şartı da rank şartı da gerçekleşmiştir.)

2.K-k>m-1 ve (M-1)(M-1) boyundaki |A| determinantlarından en az biri sıfırdan farklı ise denklem aşırı belirlenmiştir( Boy şartının da rank şartının da gerçekleşmesi)

3.K-k m-1 ve (M-1)(M-1) boyundaki |A| determinantlarının hepsi sıfıra eşitse ise denklem belirlenmemiştir( Boy şartının gerçekleşmesi fakat rank şartının gerçekleşmemesi)

4.K-k<m-1 ise yapısal denklem eksik belirlenmiş veya belirlenmemiştir.

ÖRNEK

Adım 1: Yapısal Modelin Yeniden Yazılması

Talep: Q=a0+a1P+a2I+u1

Arz: Q=b0+b1P+u2

Q-a0-a1P-a2I=u1 (1.Denklem)

Q-b0-b1P=u2 (2.Denklem)

Adım 2: Tablo1.YKT nin Düzenlenmesi

•Satırlarda adım 1’de yeniden düzenlenen denklemleri;

•Sütunlarda da değişkenleri alarak,

değişkenlerin katsayılarından oluşan Yapısal Katsayılar Tablosu düzenlenir.

Denklemler Değişkenler

Q P I

1.Denklem2.Denklem

1 1

-a1

-b1

-a2

0

Adım 3: Tablo2. BADT’nin Düzenlenmesi

YKT de;belirlenme durumu araştırılan denklemin satırı ile bu satırdaki sıfırdan farklı sütunlar çizilir.

1.d

2.d

Q P I1

1

-a1

-b1

-a2

0

Tablo 1.YKT Tablo 2.BADT

-a2

Adım 5: Adım 4 deki rank şartı gerçekleştikten sonra denklemin aşırı yada tam belirlenmediğini anlamak için boy şartına bakılır.

M-1=2-1=1 ve (M-1)(M-1)=1X1

|A| = |-a2|0

Adım 4: Tablo 2.BADT dan (M-1)(M-1) boyunda elde edilen matrislerin determinantları bulunur. Bulunan determinantlardan en az biri sıfırdan farklı ise denklem belirlenmiştir.

Boy şartı 1=1 şeklinde olduğundan ve rank şartı da gerçekleştiğinden arz denklemi tam belirlenmiştir.

Talep: Q=a0+a1P+a2I+u1

Arz: Q=b0+b1P+b2T+u2Adım 1: Yapısal modelin yeniden

yazılmasıQ-a0-a1P-a2I=u1

(1.Denklem)

Q-b0-b1P-b1T=u2

(2.Denklem)Adım 2: YKT ‘nin Düzenlenmesi

Denklemler Değişkenler

Q P I T

1.Denklem2.Denklem

1 -a1 -a2 0

1 -b1 0 -b2

ÖRNEK

Adım 3. BADT’nin Düzenlenmesi

Tablo 1.YKT

1.d

2.d

Q P I1

1

-a1

-b1

-a2

0

Tablo 2.BADT

-b2

T

0

-b2

Adım 4: M-1=2-1=1 ve (M-1)(M-1)=1X1

|A| = |-b2|0

Adım 5: Boy şartı 1=1 şeklinde olduğundan ve rank şartı da gerçekleştiğinden arz denklemi tam belirlenmiştir.