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ESFUERZOS EN UNA MASA
DE SUELO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Facultad de Ingeniera Civil
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
Problemas de Deformaciones
Planas Tpicos
Muro de
Contencin
Terrapln
Cimentacin Corrida
zY
X
zY
X
zY
X
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
Relaciones esfuerzo-deformacin de materiales ideales a) elstico, b)
plstico rgido, c) elastoplstico, d) elastoplstico con
ablandamiento, e) relacin esfuerzo-deformacin tpica con un
material real.
Esfuerzo
Deformacin
(a)
F
Esfuerzo
Deformacin
(c)
Esfuerzo
Deformacin
(e)
Esfuerzo
Deformacin
(b)
Esfuerzo
Deformacin
(d)
F FR
F = Significa en la Falla
R = Significa Valor Residual
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
Elemento A
(a)
(b)
( c)
Superficie del terreno
Th
Tu
Nu
Nh
Diagramas para ilustrar la definicin de esfuerzo
a) Perfil del terreno.
b) y c) Fuerzas sobre el elemento A.
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
Nivel freticoNivel del terreno
X X
Z
Area A
Nivel fretico
Nivel del terreno
X X
Z
Z
Area A
W
W
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
ZZ
Z
Z
Z
y
y
yy
y
XX
XX
X
X
X
a)
y
X
Z
b)
1
2
3
a) Estado general de esfuerzos en un elemento de suelo
b) Esfuerzos principales
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
N
y
X
Ty
Tx
Huecos (poros)
Selecciones de
las partculas
Punto de contacto entre
partculas situadas por
encima y debajo del
plano de la seccion.
a
a
Definicin de los esfuerzos en un sistema de partculas
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
HA
rea de Corte
Transversal =
a
a
Agua de Poro
Partcula Slida
H
Consideracin del esfuerzo efectivo para una columna de
suelo saturado sin infiltracin
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
Fuerzas que actan en los puntos de contacto de las partculas de
suelo en el nivel del punto A.
Area de Corte
Transversal =
a1 a2 a3
a4
P1 P2P3
P4
Concepto de Esfuerzos Efectivos
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
Distribucin de Esfuerzos en una Masa de Suelo
Entrada
Vlvula
(abierta)
H1
Z
B
C
A
H2
h * z
H2
h
Estrato de suelo en un tanque con infiltracin hacia arriba
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
Distribucin de Esfuerzos en una Masa de Suelo
Variacin del (a) esfuerzo total; (b) presin de poro y (c) esfuerzo efectivo con
la profundidad en un estrato de suelo con infiltracin hacia arriba.
Profundidad Profundidad Profundidad
Esfuerzo Total, Presin de Poros Esfuerzo Efectivo
H1 W
H1W zsat
H1 W
(H1z + iz)w z( izw)
H1 W H2 sat (H1 + H2 + h) w H2 - hw
o
o o
H1
H1 + z
H1 + H2
(a) (b) (c)
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
Distribucin de Esfuerzos en una Masa de Suelo
Salida
Vlvula
(abierta)
H1
Z
B
C
A
H2
h * z
H2
h
Entrada Q
Estrato de suelo en un tanque con infiltracin hacia abajo
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
Distribucin de Esfuerzos en una masa de suelo
Estrato de suelo en un tanque con infiltracin hacia abajo; variacin del (a) esfuerzo
total; (b) presin de poros y (d) esfuerzo efectivo con la profundidad en un estrato
de suelo con infiltracin hacia abajo.
Profundidad Profundidad Profundidad
Esfuerzo Total, Presin de Poro Esfuerzo Efectivo
H1 W
H1 W zsat
H1 W
(H1z - zi)w z( + i w)
H1 W H2 sat (H1 + H2 - h) w H2 + hw
o
o o
H1
H1 + z
H1 + H2
(a) (b) (c)
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
Esfuerzos en un Medio Elstico Causados por una
Carga Puntual.
Z
y
L
X
r
Z
X
P
y
z
x
y
A
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
23
2
2
22
5
2
)()21(
3
2 rL
zy
zLLr
yx
L
zxPx
Esfuerzos causados por un Carga Puntual
Boussinesq (1883) resolvi el problema de los
esfuerzos producidos en cualquier punto de unmedio homogneo, elstico e istropo como
resultado de una carga puntual aplicada sobre la
superficie de un semiespacio infinitamente
grande. La solucin de Boussinesq para losesfuerzos normales en un punto A causado por la
carga puntual P es:
Boussinesq
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
Esfuerzos Normales en A causados por
una Carga Puntual
23
2
2
22
5
2
)()21(
3
2 rL
zx
zLLr
xy
L
zyPy
y
2/522
3
5
3
)(2
3
2
3
zr
Pz
L
Pzz
donde:
22222
22
zrzyxL
yxr
= relacin de Poisson
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
z
X
N
Q /longitud unitaria
x
z
Esfuerzos en un Medio Elstico Causados por una Carga
Lineal Vertical de Longitud Infinita
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
222
2
222
2
222
3
)(
2
)(
2
)(
2
zx
xzQ
zx
zxQ
zx
zQ
xz
x
z
Esfuerzos Causados por una Carga
Lineal Vertical de Longitud Infinita
Los incrementos de esfuerzo en N debidos a la aplicacin de una carga
lineal Q por metro, son
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
q = carga por rea
unitaria
B
X
X - r
z
A
drr
x
z
Esfuerzos en un Medio Elstico Causados por una
Carga de Franja (ancho finito y longitud infinita)
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
)2(
)2cos(
)2cos(
sensenq
senq
senq
xz
x
z
Carga Uniformemente Distribuida Sobre una Franja Infinita
Los incrementos de esfuerzos en el punto A producidos por una presin
uniforme q que acta sobre un franja flexible infinitamente larga de ancho
B, son los siguientes:
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
Isbaras o Bulbo de Presiones Verticales
Bajo una Carga Flexible de Franja
Carga de
Franja flexible
a a
Planta
q
B 2B 2.5B
B
2B
3B
4B
5B
0.7
0.5
0.3
0.2
0.06
0.08
0.1
0 B 2B
q =0.9
q =
B2B
3B
4B
5B
6B
=0.1qV
0.2q
0.3q
0.4q
0.5q
0.6q
0.8q
0.9q
Bajo el centroV
0 0.2q 0.4q 0.6q 0.8q q
a) b)
Franja infinita con carga uniformemente distribuida: a) lneas de igual incremento de
esfuerzo vertical total, b) incremento del esfuerzo vertical total bajo el centro
Isbaras o Bulbo de Presiones Verticales
Bajo una Carga Flexible de Franja
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
Z
N
X
XV
q
B
R1R2
Carga con Distribucin Triangular
sobre una Franja Infinita
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
xB
zq
senR
Rn
B
z
B
xq
senB
xq
xz
x
v
22cos1
2
22
11
22
1
2
2
2
1
Carga con Distribucin Triangular sobre una Franja Infinita
Cuando el esfuerzo aplicado se incrementa linealmente a travs del ancho de
la franja, lo cual conduce a una distribucin triangular, los incrementos de
esfuerzo en el punto N estn dados por:
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
qIv
2/3
2)/(1
11
zRqv
Carga uniformemente distribuida sobre una rea circular
El incremento del esfuerzo vertical total a una profundidad z bajo el centro de
una rea circular flexible de radio R cargada con una presin uniforme q
esta dado por
Sin embargo, para puntos diferentes de los situados bajo el centro de
carga, las soluciones tienen una forma extremadamente complicada (Harr,
1996) y por lo general se presentan en forma grfica (Foster y Ahlvin, 1954 )
o en tablas (Ahlvin y Ulery, 1962). En el punto N , puede escribirse el
incremento en el esfuerzo vertical total como:
Valores del factor de influencia / para calcular el incremento de esfuerzo vertical
total v bajo un rea circular uniformemente cargada. (Segn Foster y Alhvin, 1954. Reimpresa con la autorizacin del Transportation Research Board).
Factor influencia l
r
V
V
Carga uniforme q
= q/
0.0020.001 0.004 0.006 0.01 0.02 0.04 0.06 0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.1 0.2 0.4 0.6 0.8
r
R
=10
9
8
7
6
5
4
3
2.5
2 1.5
1.25
0
0.5
r
R
r
R
=0.75
=1
E
R
R
1
z
R
PZ
Z
=I.PZ
a b
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0
0.01 2 4 6 6 68 8 80 0 021 1012 4 4
b/z=
Infl
ue
nc
e V
alu
e I
a/z
b/z=0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.6
0.7
0.8
0.9
b/z =1.0
b/z =0.5
1.2
1.4
1.6
1.9
2.0
3.0
Factores de Influencia para Esfuerzos Verticales Generados
por una Carga de Terrapln (Obsterberg, 1957).
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
B B
Carga uniforme q
=0.5qV
0.2q
0.1q
0.3q
0.4q
0.6q
0.8q
0.9q
Bajo el
centro
V
0.5B0.5B
BB
1.5B1.5B
2B2B
2.5B2.5B
0 0.2q 0.4q 0.6q 0.8q 0
a) b)
a) Lneas de igual incremento de esfuerzo vertical total
b) Incremento del esfuerzo vertical total bajo el centro de la zapata.
Isbaras o Bulbo de Presiones Verticales
Bajo un rea Cuadrada con Carga Uniforme
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
z
Ln
z
Bm
El incremento en el esfuerzo vertical debajo la esquina de un
rea rectangular cargada uniformemente viene dado por:
Incremento de Presiones Verticales Bajo
un rea Rectangular con Carga Uniforme
qIv
Donde I es funcin de m y n, parmetros definidos como:
Valores del factor de
influencia I para
calcular el incremento
de esfuerzo vertical
total v bajo la
esquina de una rea
rectangular
uniformemente cargada
(Segn Fadum, 1948)
0.180.18
0.19
0.20
0.21
0.22
0.23
0.24
0.25
0.17
0.16
0.15
0.14
0.13
0.12
0.11
0.10
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.01 0.1 1 2 3 4 5 6 8 100.2 0.3 0.40.02 0.04 0.06 0.6 0.8
0.00
m=0.0
m=0.1
m=0.2
m=0.3
m=0.4
m=0.5
m=0.6
m=0.7
m=0.8
m=1.0
m=1.8
m=2.
m=2.4
m=3.0m=
m=1.2
m = 1 . 4
m = 1 . 6
m=0.9
Presion uniforme q
B
L
V
V =ql
N
Nota m n: y son intercambiables
Factor de influencia I
Z
n
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
))(( zBzL
qLBv
Clculo aproximado del incremento de
esfuerzo vertical
Para reas circulares o rectangulares uniformemente cargadas, puede
hacerse un clculo aproximado del incremento de esfuerzo vertical total
suponiendo que la carga aplicada se distribuye dentro de un cono
truncado o una pirmide truncada formados por lados con pendiente de
2 en la vertical y 1 en la Horizontal, por ejemplo, si el rea cargada es
un rectngulo de longitud L y ancho B, el incremento promedio en
el esfuerzo vertical total a una profundidad z estar dado
aproximadamente por:
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
Cualquier rea cargada puede considerarse como un nmero discreto de
sub reas, que distribuyen una carga puntual aplicada sobre la superficie
del terreno
1 1
2 2
L x B
(L+z) x (B+z)
Z
q
Mtodo aproximado para calcular el incremento promedio de esfuerzo
vertical total bajo un rea uniformemente cargada.
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
Ejercicio
Una cimentacin superficial cuadrada de 2m de lado, perfectamente
flexible, transmite a un depsito de suelo homogneo e isotrpico una
carga uniforme q = 200 KN/m2. Comparar la distribucin de los
incrementos de esfuerzo vertical, (v) bajo el centro de la zapata
considerando una carga distribuida y una carga puntual equivalente.
Estimar a partir de qu profundidad los errores entre estas
distribuciones son inferiores a 0.1q.
a) Carga uniformemente distribuida:
C
q =200 kn/m2
BBA A
D
DC
2m
4 veces
1m
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
Utilizando el baco de Fadum:
Esquina Centro
Z
(m )
(m,n)
(KN/m )2
(KN/m )2
O
0.25
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
- -
4
2
1
0.67
0.50
0.40
0.33
0.29
0.25
0,247
0,233
0,177
0.125
0,086
0,062
0,046
0,037
0,027
200 200
49,4
46,6
35,4
25,0
17,2
12,4
9,2
7,4
5,4
197,6
186,4
141,6
100,0
68,8
49,6
36,8
29,6
21,6
,
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
b) Carga puntual:
Expresin de Boussinesq:
kxxP
z
Pv
80020022
2
33
Z(m)
V (KN/M2) 6.111,5 1.527,9 382,0 169,3 95,5 61,1 42,4 31,2 23,9
0,25 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00
Tabulando:
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
Comparacin entre las dos distribuciones de v
- A partir de Z>2,20m error absoluto (`v-) /Dq < 0.1
4
3
2,2
2
1
0 50 100 150 200
V
V
V
(kN/m )2
CARGA DISTRIBUIDA
CARGA PUNTUAL
z(m)
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
Z
X XX
Z
Z
Tzx
Tzx
Tzx
TxzTxz
Txz
0
A
Bc
TResultantes de
esfuerzos sobre ab
a)b)
ESTADO DE ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO
CRCULO DE MOHR
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
B
A
C
1
3
T
Direccin de 1
Direccin de 3
(a)
REPRESENTACIN
DE ESFUERZOS
MEDIANTE EL
CRCULO DE MOHR
a) Estado de esfuerzos en
un punto.
b) Diagrama de Mohr para el
estado de esfuerzos en un
punto.
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
Representacin de los esfuerzos mediante el
crculo de Mohr.
22
cos)(
2cos22
cos
3131
31312
3
2
1
sensen
sen
El esfuerzo tangencial mximo en un punto, max es siempre igual
a (1-3)/2; es decir, el esfuerzo tangencial mximo equivale al
radio del crculo de Mohr. Este esfuerzo tangencial mximo se
produce en planos que forman 45 con la direccin del esfuerzoprincipal mayor.
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
Ejemplo
Se pide calcular los esfuerzos sobre el plano B-B.
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
1. Se representa los puntos (4,0) y (2,0).
2. Se dibuja el crculo, utilizando estos puntos para definir el dimetro.
3. Se traza la lnea AA por el punto (2,0), paralela al plano sobre el cualacta el esfuerzo (2,0).
4. La interseccin de AA con el crculo Mohr en el punto (4,0) es el polo.5. Se traza la lnea BB por Op, paralela a BB.6. Se leen las coordenadas del punto X donde BB corta al crculo de
Mohr.
1
0
-1
1 2 3 4
C
AA
X
B
B
Op
C
A
432
OpB
B
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
Respuesta
2.5 kg/cm2
2 kg/cm2
4 kg/cm2
0.87
Sobre BB = 2.5 kg/cm2
= -0.87 kg/cm2
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
Otra solucin. Los pasos 1 y 2 igual que antes.3. Trazapor el punto (4.0) la lnea CC paralela al plano sobre el que
acta el esfuerzo (4.0). CC es vertical.
4. CC corta al crculo de Mohr solamente en (4.0) de forma que este punto
es el polo Op. Los pasos 5 y 6 anlogos al caso anterior.
Solucin por medio de las ecuaciones
2
2
2
3
2
1
/866.0602402
24
/5.260cos3240cos2
24
2
24
120/2/4
cmkgsensen
cmkg
cmkgcmkg
Pregunta para el alumno. Por qu es =120?
El resultado habra sido diferente si = 300?)
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
DIAGRAMAS p-q
En muchos problemas conviene representar, sobre un
diagrama nico, muchos estados de esfuerzos para una
determinada muestra del suelo. En otros problemas se
representa en un diagrama de este tipo el estado de
esfuerzos de muchas muestras diferentes. En tales casos
resulta muy pesado trazar los crculos de Mohr, e incluso
mas difcil ver lo que se ha representado en el diagrama
despus de dibujar todos los crculos .
Otro mtodo para dibujar el estado de esfuerzos puede
ser adoptar un punto representativo de los esfuerzos
cuyas coordenadas son:
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
231 p
231 q
+ si 1 forma un ngulo igual o
menor de 45 con la vertical
- si 1 forma un ngulo menor de 45 con la horizontal
En la mayora de los casos en los que se utiliza la representacin
puntual, los esfuerzos principales actan sobre planos verticales y
horizontales. En este caso, la ecuacin se reduce a
2,
2hh qp
Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales
Este mtodo equivale a representar un punto nico de un
circulo de Mohr: el punto ms alto si q es positivo o el ms
bajo si q es negativo. Numricamente, q equivale a la
mitad del esfuerzo desviador.
Conociendo los valores de p y q para un cierto estado de
esfuerzos, se posee toda la informacin necesaria para
dibujar el crculo de Mohr correspondiente. Sin embargo,
el empleo de un diagrama p-q no exime de utilizar el
crculo de Mohr para determinar la magnitud de los
esfuerzos principales a partir de un determinado estado
de esfuerzos.
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