View
162
Download
29
Category
Preview:
Citation preview
PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMAWahyono
Spring 2014
UT Korea
Materi• Pangkat
• Kaidah pemangkatan bilangan• Kaidah perkalian bilangan berpangkat• Kaidah pembagian bilangan berpangkat
• Akar• Kaidah pengakaran bilangan• Kaidah penjumlahan bilangan terakar• Kaidah perkalian bilangan terakar• Kaidah pembagian bilangan terakar
• Logaritma - Basis Logaritma - Kaidah-kaidah Logaritma - Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma
Pangkat
• Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara berurutan.
• Notasi xa : bahwa x harus dikalikan dengan x itu sendiri secara berturut-turut sebanyak a kali.
Kaidah Pemangkatan Bilangan
.5
1
.4
dimana 8. 00 .3
7. .2
6. )0( 1 .1
1
0
b ab
a
aa
bcax
abba
a
aa
Xx
xx
acxx
x xxx
y
x
y
xxx
b
Kaidah perkalian bilangan berpangkat
22515)53(53 :contoh
7293333 :contoh
2222
64242
aaa
baba
xyyx
xxx
Kaidah pembagian bilangan berpangkat
25
9
5
35:3 :contoh
9
1333:3 :contoh
:
222
24242
a
aa
baba
y
xyx
xxx
Akar
• Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan bilangan berpangkat.
• Akar dari sebuah bilangan ialah basis (x) yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya (a).
• Bentuk umum :
mxxm aa jika m = radikan
Kaidah pengakaran bilangan
b
b
b
bb
b
ab a
bb
y
x
y
x
yxxy
xx
xx
.4
.3
.2
.11
Kaidah penjumlahan (pengurangan) bilangan terakar
• Bilangan-bilangan terakar hanya dapat ditambahkan atau dikurangkan apabila akar-akarnya sejenis.
b ab ab a xnmxnxm )(
Kaidah perkalian bilangan terakar
bc ac ab
bbb
xx
xyyx
.sebelumnyaakar -akar daripangkat
kali hasilialah akarnyabaru -pangkat an;bersangkutbilangan
daribaru pangkat akar adalah bilangan sebuah dari gandaAkar
sama. berpangkat akarnya-akar
apabiladilakukan dapat hanyaPerkalian a.bilanganny-bilangan
kali hasil dariakar adalah erakar bilangan t-bilangan kali Hasil
Kaidah pembagian bilangan terakar
• Hasil bagi bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasil bagi bilangan-bilangannya. Pembagian hanya dapat dilakukan apabila akar-akarnya berpangkat sama.
bb
b
y
x
y
x
Logaritma
amxmmx xaa log
LogaritmaBentuk akar Bentuk pangkat Bentuk
Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan dari proses pemangkatan dan/atau pengakaran.
Suku-suku pada ruas kanan menunjukkan bilangan yang dicari atau hendak dihitung pada masing-masing bentuk
Basis Logaritma• Logaritma dapat dihitung untuk basis berapapun.• Biasanya berupa bilangan positif dan tidak sama dengan
satu.• Basis logaritma yang paling lazim dipakai adalah 10
(common logarithm)/(logaritma briggs)
• logm berarti 10 log m, log 24 berarti 10 log 24
• Logaritma berbasis bilangan e (2,72) disebut bilangan logaritma alam (natural logarithm) atau logaritma Napier
• ln m berarti elogm
Kaidah-kaidah Logaritma
mmx
xnmmam
xmax
nmn
m
nmmnx
x
nmxxax
mxax
xxxx
xxxx
log .5
1logloglog 9. loglog .4
1loglog 8. log .3
loglog log 7. 01log .2
loglog log .6 1log .1
Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma
• Logaritma dapat digunakan untuk mencari bilangan yang belum diketahui (bilangan anu) dalam sebuah persamaan, khususnya persamaan eksponensial dan persamaan logaritmik.
• Persamaan logaritmik ialah persamaan yang bilangan anunya berupa bilangan logaritma, sebagai contoh : log (3x + 298) = 3
Latihan
• Dengan melogaritmakan kedua ruas, hitunglah x untuk 3x+1 = 27
• Selesaikan x untuk log (3x + 298) =3
DERETDERETI Komang Adi Aswantara
Spring 2013
UT Korea
17
MateriMateri
• Deret Hitung
- Suku ke-n dari DH
- Jumlah n suku• Deret Ukur
- Suku ke-n dari DU
- Jumlah n suku
Dan penerapannya dalam dunia ekonomi
18
DefinisiDefinisi
• Deret : Rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu.
• Suku : Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk deret.
• Macam-macam deret :
- Deret Hitung
- Deret Ukur
- Deret Harmoni
19
Deret HitungDeret Hitung
Deret hitung : deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu.
Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung dinamakan pembeda, yang tak lain adalah selisih antara nilai dua suku yang berurutan.
Contoh :
5, 10, 15, 20, 25, 30 (pembeda 5)
90, 80, 70, 60, 50, 40 (pembeda -10)20
Suku ke-n dari Deret HitungSuku ke-n dari Deret Hitung5, 10, 15, 20, 25, 30
S1, S2, S3, S4, S5, S6
S1 = 5 = a
S2 = 10 = a + b = a + (2 - 1)b
S3 = 15 = a + 2b = a + (3 - 1)b
S4 = 20 = a + 3b = a + (4 - 1)b
S5 = 25 = a + 4b = a + (5 - 1)b
S6 = 30 = a + 5b = a + (6 - 1)b
21
Sn = a + (n - 1)ba = suku pertama / s1
b = pembeda
n = indeks suku
22
Jumlah n SukuJumlah n Suku
• Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tidak lain adalah jumlah nilai suku-sukunya.
654
6
13216
54
5
13215
4
4
13214
121 ...........
SSSSSSSJ
SSSSSSJ
SSSSSJ
SSSSJ
ii
ii
ii
n
inin
Berdasarkan rumus suku ke-n
Sn = a + (n - 1)b, maka dapat diuraikan
J4 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) = 4a + 6b
J5 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b)
= 5a + 10b
J6 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b)
= 6a + 15b
23
24
bnn
naJ
babaJ
babaJ
babaJ
n )1(2
)16(2
66156
)15(2
55105
)14(2
4464
6
5
4
Sn
Masing-masing Ji dapat ditulis
bnan
Jn )1(22
atau
)(2
)1(2
nSan
bnaan
Deret UkurDeret Ukur Deret ukur : deret yang perubahan suku-
sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu.
Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda.
Contoh :1)5, 10, 20, 40, 80, 160 (pengganda 2)2)512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda 0,5)
25
Suku ke-n dari Deret UkurSuku ke-n dari Deret Ukur
suku indeks
pengganda
pertamasuku
160
80
40
20
10
5
1
1656
1545
1434
1323
122
1
n
p
a
apS
apapapppppS
apapappppS
apapapppS
apapappS
apapS
aS
n-n
26
Jumlah n SukuJumlah n Suku
(2) .......
:maka , penggandabilangan dengan dikalikan jika
(1) .......
: maka rumusn berdasarka
...........
1432
1232
1
14321
nnn
nnn
n-n
n
inin
apapapapapappJ
p
apapapapapaJ
apS
SSSSSSJ
27
(2)persamaan dan (1)persamaan antaraselisih
1
)1(atau
1
)1(
)1()1(
p
paJ
p
paJ
papJ
apapJJ
n
n
n
n
nn
nnn
28
(2)persamaan dan (1)persamaan antaraselisih
1p 1p
Model Perkembangan UsahaModel Perkembangan Usaha
• Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha, misalnya : produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja dll. Memiliki pola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat diterapkan dalam menganalisis perkembangan vaiabel tersebut.
29
• Pelajari Kasus 1 dan 2
30
Model Bunga MajemukModel Bunga Majemuk
Modal pokok PP dibungakan secara majemuk, suku bunga perahun i, maka jumlah akumulatif modal FF setelah nn tahun adalah:
nn iPF
iPiiPiPF
iPiiPiPF
iPiPPF
)1( .)(......... )(......... :n tahun setelah
)1()1()1( : tahun 3setelah
)1()1()1( : tahun 2setelah
)1(. : tahun 1setelah
3223
22
1
nn iPF )1(
• Jumlah di masa datang dari jumlah sekarang :
1n-n apS Bunga dibayar
1x setahun
31
Bila bunga dibayar lebih sekali dalam setahun, misal m kali, maka :
mnn m
iPF )1(
Suku (1+i) dan (1 + i/m) disebut “faktor bunga “faktor bunga majemuk”majemuk” (compounding interest factor), yaitu suatu bilangan yang lebih besar dari 1, yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah dimasa mendatang dari suatu jumlah sekarang.
m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun
32
• Dengan manipulasi matematis, bisa diketahui nilai sekarang (present value) :
)/1(
1atau
)1(
1F
miPF
iP
mnn
Suku 1/(1+i)n dan 1/(1+i/m)mn dinamakan “faktor “faktor diskonto”diskonto” (discount factor), yaitu suatu bilangan lebih kecil dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah dimasa datang.
Model Pertumbuhan PendudukModel Pertumbuhan Penduduk
Pt = P1 R t-1
33
Dimana R = 1 + rP1 = jumlah pada tahun pertama (basis)Pt = jumlah pada tahun ke-tr = persentase pertumbuhan per-tahunt = indeks waktu (tahun)
TERIMAKASIHTERIMAKASIH
34
Selamat BelajarSelamat Belajar
Recommended