Estatística Aplicada Prof. Afonso Chebib Estatística Aplicada (Aula 2) 1

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Probabilidade

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Noções de probabilidade

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2- Obter um número menor que 5 3- Obter um número par

Qual afirmação devemos fazer para chegar nesses resultados?

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Noções de probabilidade

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Exemplo

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Curso / Sexo Homens (H) Mulheres (F) TotaisMatemática Pura (M) 70 40 110

Matemática Aplicada (A) 15 15 30Estatística (E) 10 20 30

Computação (C) 20 10 30Totais 115 85 200

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Exemplo

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Exemplo

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Exemplo: 5 urnas com 6 bolas cada distribuídas da seguinte forma:

Teorema de Bayes*

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TipoNúmero 1 2 3 4 5

C1 C2 C3

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Teorema de Bayes*

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Exemplo

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Resposta

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Risco vs Retorno

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Vamos iniciar essa parte da matéria com um exemplo que ilustra bem os tópicos a serem abordados:

*Um empresário pretende estabelecer uma firma para montagem de um produto composto de uma esfera e um cilindro. As partes são adquiridas em fábricas diferentes, e a montagem consistirá em juntar as duas partes e pintá-las. O produto acabado deve ter o comprimento e a espessura dentro de certos limites, e isso só poderá ser verificado após a montagem. Para estudar a viabilidade de seu empreendimento, o empresário quer ter uma ideia da distribuição dos lucros por peça montada.

Cada componente pode ser classificado como Bom, Longo ou Curto.O preço pago a cada fabricante pelos componentes eh de R$ 5.As probabilidades de produção de cada fábrica estão resumidas na

tabela abaixo:

Variável aleatória discreta

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Produto Fabrica A Fabrica BBom 0,8 0,7

Longo 0,1 0,2Curto 0,1 0,1

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Se o produto apresentar algum componente com a característica ‘Curto’, ele será irrecuperável, e o conjunto será vendido como sucata por R$ 5. Cada componente ‘Longo’ pode ser recuperado a um custo adicional de R$ 5. Se o preço de venda de cada unidade é R$ 25, como seria a distribuição das frequencias da variável X, lucro por conjunto montado?

Espaço amostral:

Variável aleatória discreta

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Variável aleatória discreta

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Montagem Probabilidade Lucro por montagem (X)BB 0,56 15BL 0,16 10BC 0,08 -5LB 0,07 10LL 0,02 5LC 0,01 -5CB 0,07 -5CL 0,02 -5CC 0,01 -5

x p(x)15 0,5610 0,235 0,02-5 0,19

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Portanto uma variável aleatória X do tipo discreta será caracterizada indicando-se os possíveis valores x1, x2,...,xk que ela pode assumir e as respectivas probabilidades p(x1), p(x2),...,p(xk), ou seja, se conhecermos a sua função de probabilidade (x,p(x))

Variável aleatória discreta

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Valor esperado

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Valor esperado ou Esperança Matemática

– Pi = probabilidade– Xi = valor

1

n

i iiE X P X

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Valor esperado

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Desvio padrão = 7,56

Formula média =SOMARPRODUTO(xi;p(xi))

Voltando ao exemplo

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x p(x)15 0,5610 0,235 0,02-5 0,19

E(X)= 9,85

p(x)*(x-m)^214,8526

0,0051750,47045

41,89927557,2275Var(X)=

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Valor esperado

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Situação: avaliação do risco de dois investimentos

Qual a melhor opção?1. Calcular o valor esperado2. Considerar o risco

Investimento A Investimento BResultados Esperados Probabilidade Resultados

Esperados Probabilidade

600 10% 300 10%650 15% 500 20%700 50% 700 40%750 15% 900 20%800 10% 1100 10%

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Valor esperado

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Investimento A Investimento BResultados Esperados Probabilidade E(A) Resultados

Esperados Probabilidade E(A)

600 10% 300 10%650 15% 500 20%700 50% 700 40%750 15% 900 20%800 10% 1100 10%

Valor esperado = 700 Valor esperado = 700

A alternativa A e B são indiferente? Qual investimentos intuitivamente parece melhor?

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Valor esperado

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Cálculo do desvio padrão

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Investimento AResultados Esperados

Probabilidade (P) A (-) Med A (A - Med A)^2 P * (A - Med A)^2

600 10% -100 10000 1000650 15% -50 2500 375700 50% 0 0 0750 15% 50 2500 375800 10% 100 10000 1000

Investimento BResultados Esperados

Probabilidade (P) B (-) Med B (B (-) Med B)^2 P * (A - Med A)^2

300 10% -400 160000 16000500 20% -200 40000 8000700 40% 0 0 0900 20% 200 40000 8000

1100 10% 400 160000 16000

Var(A) 2750Desv(A) 52,44044

Var(B) 48000Desv(B) 219,089

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Qual o melhor investimento?– Os retornos esperados são iguais– Alternativa B apresenta maior desvio padrão (risco)

A melhor escolha é a alternativa A