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Ingeniería de Telecomunicación
Señales y Sistemas II
PRÁCTICA 2
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS EN SEÑALES ALEATORIAS
CURSO 2008 / 2009
Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones
Señales y Sistemas II Práctica 2: Estimación
Curso 2008 / 2009 1
LasseñalesconlasqueuningenierodeTelecomunicacióntrabajaenlaprácticanoson,
la mayor parte de las veces, deterministas. Por ejemplo, una señal de voz no puede ser
descritaporunaecuación,yaquelosparámetrosquelacaracterizancambianconstantemente
con el tiempo. No obstante, esta señal tiene ciertas características que la distinguen, por
ejemplo, de una señal de televisión. De hecho, casi todas las señales que se manejan en
comunicacionesyenotrosmuchoscamposdelaingenieríaydelacienciasondenaturaleza
estocástica(tambiénllamadaaleatoria).
Unaseñalaleatoriatienedosfacetas:una,quesuvalor(amplitud)enuninstantede
tiempodeterminadoesunavariablealeatoria,yotra,queparacadaresultado(realización)del
experimentoaleatoriotenemosunafuncióntemporal.Endefinitiva,ladefinicióndeunaseñal
aleatoriaserealizapormediodesuspropiedadesestadísticas,comoson:sufuncióndensidad
deprobabilidad,sufuncióndensidaddeprobabilidadconjunta,sumedia,sufuncióndeauto‐
correlación, etc. En los problemas teóricos, estas descripciones cuantitativas consideran el
conjunto de todas las realizaciones del proceso aleatorio particular, siendo estas funciones
deterministas, las cuales poseen, desde un punto de vista matemático, un buen
comportamiento.Sinembargo,enunproblemapráctico,estasfuncionesdebenserestimadas,
utilizando medidas de un conjunto finito de datos tomados a partir de observaciones del
procesoaleatorio.Lasestimacionesasírealizadassonensímismasvariablesaleatorias,dado
que se forman a partir de variables aleatorias. Por ello, sólo podemos hacer aseveraciones
probabilísticasacercadelaproximidaddelosvaloresestimadosrespectoalosvaloresreales,
por ello es por lo que suele hablar de parámetros como el intervalo de confianza de una
estimaciónoelmáximoerrorcometidoenlaestimación,comoseanalizóenlapráctica1de
estaasignatura.
Enelconjuntodeejerciciosqueacontinuaciónsepresentan,setrataráladescripcióny
el procesado de señales aleatorias, principalmente bajo los supuestos deestacionariedad y
ergodicidad.Ademásestudiaremoscómoseveninfluenciadoslospromediosdedeterminadas
variablesdelasseñalescuandounaseñalestocásticaseprocesaatravésdeunsistemalinealo
se somete a una transformación no lineal. En lamayoría de los casos, las estimaciones se
realizaránconMATLAB©calculandopromediostemporalesodeconjuntosderealizaciones.
Señales y Sistemas II Práctica 2: Estimación
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Lasestimacionesasírealizadasdebenentoncescompararseconlosvaloresexactosconocidos
apartirdelateoría.
El conocimientodeestos resultadosdebeabrirel caminoparadiseñar sistemasque
generen señales aleatorias con unas propiedades determinadas. Por ejemplo, se puede
obtenerunadescripciónparamétricadeunaseñalaleatoriadadaenfuncióndeloscoeficientes
deun filtro linealqueproduce la señaldeseadacuando seexcitacon“ruidoblanco” (señal
incorrelada).Relacionadoconestarepresentación,apareceelproblemadelaprediccióny la
decorrelación,esdecir,eldiseñodeunsistemacuyasalidaseaaproximadamenteunaversión
adelantadadelaentrada,otalqueapartirdeunasecuenciadeentradacorreladaseobtenga
unasecuenciaqueesruidoblanco,esdecir,elprocesoinversoalanteriormenteexpuestodel
filtrolineal.
Comoen el casode las señales deterministas, interesa unadescripcióntanto enun
dominiotemporalcomofrecuencial.Desafortunadamente,latransformadadeFourierdirecta
de las señalesaleatoriasnoesútildebidoa la variabilidad temporalde losparámetrosque
caracterizan la señal; sin embargo, la transformada de Fourier directa de su función de
autocorrelaciónsíloes,lacualrecibeelnombrededensidadespectraldepotencia.
ESTUDIO1:VARIABLESALEATORIAS
Enesteestudioseintroduciránlaspropiedadeselementalesdelasvariablesaleatorias.
Losdistintosapartadosdelosqueconstaesteestudioseconcentranenestimarlamedia,la
varianzaylafuncióndedensidaddeprobabilidaddeunaseriedevariablesaleatorias.
En general, una variable aleatoria (v.a.) se describe por su función densidad de
probabilidad(f.d.p.)delasiguientemanera:
€
fv(v) =ddvFv (v) (1)
donde
€
Fv(v) representa la probabilidad de que una variable aleatoria
€
v no supere un valor
particular de la misma
€
v , es decir:
€
Fv(v) = Probabilidad v ≤ v( ) (2)
Señales y Sistemas II Práctica 2: Estimación
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En muchos casos, para caracterizar la variable aleatoria bajo estudio, tan sólo son
necesariosdeterminadosmomentos,dondelasmásutilizadossonlamediaylavarianza,los
cualessepuedencalcularmediantelasexpresionesdadasen(3).
€
mv = E v{ } = vfv(v)dv−∞
∞
∫
σ v2 = E v −mv[ ]2{ } = v−mv( )2 fv(v)dv
−∞
∞
∫ (3)
Losmomentosde lavariablealeatoriabajoestudiosonconstantes,peronopueden
determinarsedeformaexactaapartirdeunaseriederealizacionesdelavariablealeatoria.En
losdistintosapartadospresentadosacontinuación,lasrealizacionesdelavariablealeatoriase
crearánconungeneradordenúmerospseudo‐aleatorios,cuyaspropiedadesseconocencon
suficienteprecisión.Deestemodo,suf.d.p.,sumediaysuvarianzaseestimaránapartirdeun
número finito de realizaciones de la variable aleatoria y se compararán entonces con los
valoresteóricos.
La funciónde generación de datos pseudo‐aleatoriosdeMATLAB rand(M,N) genera
unamatriz deM filas yN columnasdenúmerospseudo‐aleatorios conunadistribuciónde
probabilidaddetipouniformeenelintervalo[0,1].Porotrolado,lafunciónrandn(M,N)trabaja
de la misma manera que la anterior pero generando datos pseudo‐aleatorios con una
distribucióndeprobabilidaddetipogaussianaconmedianulayvarianzaunitaria.
OtrafuncióndeMATLABquetambiénnospuedeserdebastanteutilidadeslafunción
hist(x),que tambiénsepuede invocarcomohist(x,nbarras).Esta funcióncalculaydibujael
histograma (en formadediagramadebarras)correspondientea losdatos contenidosenel
vector omatriz x, que para nuestro caso de estudio consideraremos que esun vector de
númerospseudo‐aleatoriosconunaciertafuncióndedistribucióndeprobabilidad.Elnúmero
debarrasqueutilizaestafunciónespordefectode10,perosepuedeindicarotropormedio
deelsegundoparámetro(nbarras)indicadoconanterioridad.
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Estudio1.1.: Estudiodedatospseudo‐aleatoriosconunaf.d.p.detipouniforme
Genereunvectordenúmerospseudo‐aleatoriosconunaf.d.p.detipouniformeenel
intervalo[0,1].Paraello,utilicealmenosvariosmilesdeelementos(realizaciones)enelvector.
Posteriormenterealicelossiguientespasos:
1. UtilicelasfuncionesdeMATLABhist(…),mean(…)ystd(…)paraestimarsuf.d.p.,su
mediaysuvarianza,respectivamente.Tengaencuentaque,sisequiereestimarla
f.d.p.,el histogramadebe ser normalizado, de tal formaquepresente un área
totaligualalaunidad.
2. Comohemoscomentadoanteriormente,lafuncióndeMATLABrand(…)produce
númerospseudo‐aleatoriosconunaf.d.p.uniformeenel intervalo[0,1].Deeste
modoesposibledeterminarteóricamentelosvaloresdelamediaylavarianzade
la variable aleatoria generada.Por todoello, determineestos valores teóricos y
compáreloscon losestimados.¿Coinciden losvaloresteóricoscon losobtenidos
enlapráctica?¿Bajoquécondicionescoincidesestosvalores?
3. Repita100veceselexperimentonuméricorealizadopreviamente.¿Seobtienen
siemprelosmismosvaloresestimados?Encasodequenoseobtengansiemprelos
mismosresultados,deberíaobservarcómolosvaloresestimadoscaenalrededor
de los valores teóricos. Finalmente, dibuje para ello un histograma de los
resultados estimados demedia yotro de varianza. ¿Qué relación aprecia entre
estoshistogramasylosresultadosteóricos?
Estudio1.2.: Estudiodedatospseudo‐aleatoriosconunaf.d.p.detipogaussiana
Genereunvectordenúmerospseudo‐aleatoriosconuna f.d.p.de tipogaussianade
media y varianza la que usted desee. Para ello, utilice almenos variosmiles de elementos
(realizaciones)enelvector.Posteriormenterealicelossiguientespasos:
1. Como en el estudio 1.1., calcule las estimaciones de su f.d.p., su media y su
varianza. Compare la media y la varianza obtenidas con sus valores teóricos y
repitaelprocesovariasvecesparaobservarcómovaríanesosmomentos.
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2. Larepresentacióndelhistogramadeberíaaproximarsea la f.d.p.teórica,queen
estecasotienelaformadelatípicacampanadeGauss.Porsinosesdeayuda,la
expresióndelaf.d.p.deunagaussianademedia
€
mv ydesviacióntípica
€
σ v es:
€
fv(v) =1
σ v 2πe− v−mv( )2 /2σ v
2
(4)
Comoenelestudio1.1,elhistogramaobtenidomediantelafunciónhist(…)deMATLAB
debe ser normalizado. Una vez normalizado, en su representación gráfica superponga la
representacióndelaf.d.p.teórica(utilicehelpplotohelpholdparaverlosdiferentesmodos
enquesepuedenvervariascurvasenunamismagráfica)conlaobtenidodeformapráctica.Es
más,pruebecondiferentesnúmerosdebarrasydiferentes longitudesdelosvectoreshasta
conseguirunajusterazonable.
Estudio1.3.: Estudiodevariablesaleatoriasindependientes
Podemos llamar dos veces al generador de números pseudo‐aleatorios deMATLAB
(rand(…) o randn(…)) para obtener valores de dos variables aleatorias diferentes. La
interrelación de estas dos variables aleatorias se describe por su f.d.p. conjunta, la cual es
función de dos variables aleatorias.De estemodo, suponga quev1 y v2 son dos variables
aleatorias.Laf.d.p.conjuntaes:
€
f (x, y) =∂2F(x, y)∂x∂y
(5)
donde su función de distribución de probabilidad
€
F(x, y) viene dada por la siguiente
expresión:
€
F(x, y) = Probabilidad v1 ≤ x,v2 ≤ y{ } (6)
Porejemplo,laf.d.p.gaussianabidimensionalpuedeexpresarsecomo:
€
fv1,v2 (x, y) =1
2π Ce−12(v−mv )
T C−1 (v−mv ) (7)
dondeelvectoraleatoriov=[xy]T,mientrasquemv=[mv1mv2]TyCeslamatrizdecovarianzade
lasdosvariablesaleatorias.Definiendo
€
˜ v i = vi −mvi,lamatrizdecovarianzabuscadasepuede
expresarcomo:
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€
C = E˜ v 1˜ v 2
˜ v 1 ˜ v 2[ ]
=E ˜ v 1
2{ } E ˜ v 1 ˜ v 2{ }E ˜ v 2 ˜ v 1{ } E ˜ v 2
2{ }
(8)
Comosepuedecomprobar,lamatrizdecovarianzaessiempresimétricaydefinidano
negativa.Haydosformasdeestimarlaf.d.p.conjunta:unaconsisteencalcularelhistograma
bidimensional,mientrasquelaotraconsisteenasumirquelaf.d.p.esgaussianayestimarla
matriz de covarianza para utilizarla más adelante. Para probar estos métodos, genere dos
vectores aleatorios conteniendo resultados de dos variables aleatorias gaussianas. Utilice
vectores de al menos varias miles de realizaciones, de media nula y con varianzas 1 y 3,
respectivamente.Unavezgeneradosestosdatospseudo‐aleatorios:
1. Deduzca laexpresiónmatemáticade la f.d.p. conjunta,la cualesunagaussiana
bidimensional. Observe la ayuda de la función de MATLAB meshgrid(…) para
generar el dominio (x,y) para el cálculo y representación de dicha expresión.
Representelascurvasdeniveldelaf.d.p.gaussianaconjunta,utilizandoparaello
lafuncióncontour(…)deMATLAByobservequesuformaeselíptica.
2. Calculeunaestimacióndelamatrizdecovarianzatomandopromedios(esperanzas
matemáticas) de
€
v12,
€
v22 y
€
v1v2 . Compare estas estimaciones con los valores
teóricosdelamatrizdecovarianza.Representelafuncióngaussianabidimensional
utilizandoestamatrizdecovarianzaestimadaycomparesuscurvasdenivelcon
lasdelanteriorapartado.
3. Escriba una función en MATLAB (llámesehist2(…)) para calcular el histograma
bidimensionaldeunpardevectores.Incluyacomoparámetroelnúmerodebarras
arepresentar.Aprovechelaexistenciadelaversiónparaunadimensión,asícomo
delafunciónfind(…)paracalcularunacolumna(ofila)encadaiteración.
4. Utilicehist2(…)paraestimardirectamentelaf.d.p.apartirdelosdatos.Represente
estaf.d.p.sobrelamismagráficaquelaf.d.p.teórica.Utilicelafuncióncontour(…),
pararepresentarunaspocascurvasdenivelparacadaf.d.p.detalformaquela
comparaciónentrecurvassepuedarealizardeformafácilysencilla.
5. Dado que estas variables aleatorias estaban generadas independientemente,
dichasvariablesdebenestarincorreladas.Ladefinicióndeindependenciasupone
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que la f.d.p. bidimensional puede expresarse como producto de las f.d.p.
unidimensionales. Esto implica que la media del producto de las variables
aleatoriaseselproductodelasmedias,queenelcasodevariablesaleatoriasde
media nula será cero. Verifique que se trata de variables aleatorias
independientes, realizando lo siguiente: estime las funciones densidad de
probabilidad unidimensionales de las variables aleatorias, obtenga una nueva
estimacióndelaf.d.p.bidimensionalmultiplicandolasdosfuncionesdensidadde
probabilidad unidimensionales. Represente las curvas de nivel de esta nueva
estimaciónjuntoconlaf.d.p.bidimensionalteórica.
Estudio1.4.: Estudiodevariablesaleatoriascorreladas
Enesteestudio secalculará la f.d.p. conjuntadedos variables aleatorias correladas.
Paraello,generedosvectoresaleatorioscondistribucióngaussiana,conteniendocadaunode
ellos variosmiles de elementos. Estos vectores deberán tenermedia nula y varianza 1 y 2,
respectivamente.Formedosnuevosvectoresaleatoriostomandolasumayladiferenciadelos
primeros. Estos vectores suma y diferencia serán utilizados para las siguientes pruebas a
realizarduranteesteestudio.Deestemodo:
1. Determine la forma teórica de la f.d.p. gaussiana conjunta.Obtenga los valores
exactosdeloselementosdelamatrizdecovarianza.
2. Realice la representación gráfica de la gaussiana bidimensional a partir de la
función obtenida en el apartado anterior. Utilice la funciónmeshgrid(…) para
generareldominio(x,y)sobreelquecalcularlayrepresentarla.
3. Estime los elementos de la matriz de covarianza bidimensional a partir de los
vectores de prueba y represente la f.d.p. conjunta estimada. Compare la f.d.p.
estimaday lateóricarealizandounarepresentaciónconunnúmeropequeñode
curvasdenivelparacadauna.Paraelloutilicelafuncióncontour(…).
4. Estimelaf.d.p.calculandoelhistogramabidimensional.Realiceunarepresentación
de sus curvas de nivel y compárelo con la f.d.p. teórica. En este caso, las dos
variables aleatorias están correladas, por ello debería verificar que la f.d.p.
Señales y Sistemas II Práctica 2: Estimación
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bidimensionalnopuedeexpresarsecomoproductodedosfuncionesdensidadde
probabilidadunidimensionales.
ESTUDIO2:SEÑALESALEATORIASERGÓDICAS,ESTACIONARIASYNOESTACIONARIAS
Dadoquelaideasubyacentedelprocesadodeseñalesestocásticasesconoceralgunos
detalles acerca de la/s f.d.p. que definen dicho proceso, un problema importante para el
procesadodeseñalesestocásticasescómoestimardichaf.d.p.apartirdeunaúnicarealización
dedichoproceso,dondeporrealizacióndenominamosaunconjuntodeelementos(datoso
valores) de dicho proceso aleatorio. De este modo, si sólo tenemos una realización, no
podemospromediarsobreunconjuntocómosehaceenelcasodelasvariablesaleatorias.En
sulugar,debemostrabajarconlasuposicióndequeelpromediadotemporalsobreunasola
señal será suficiente para conocer la f.d.p. La suposición que nos permite tomar esta
aproximaciónsellamaergodicidad,queestableceque“lospromediostemporalesconvergenal
valorquesepretendeestimar”.Porello,unprocesoergódicodebeserestacionario,dadoque
seríaimposibleestimarunaf.d.p.varianteeneltiempoapartirdeunaúnicarealización.
En los estudios siguientes se examinan las propiedades de las señales de los tres
procesosaleatoriossiguientesdeterminadosporlassiguientesfunciones:
function v=rp1(M,N) % Proceso aleatorio número 1.
A=0.02;
B=5;
Mc=ones(M,1)*B*sin((1:N)*pi/N);
Ac=A*ones(M,1)*[1:N];
v=(rand(M,N)-0.5).*Mc+Ac;
function v=rp2(M,N) %Proceso aleatorio número 2.
Ar=rand(M,1)*ones(1,N);
Mr=rand(M,1)*ones(1,N);
v=(rand(M,N)-0.5).*Mr+Ar;
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function v=rp3(M,N) %Proceso aleatorio número 3.
A=0.5;
M=3;
v=(rand(M,N)-0.5)*M+A;
Comosepuedeapreciar,esrecomendablerealizarcadafunción(procesoaleatorio)en
unscriptdeMATLAB,de tal formaquesecreeunamatrizde tamaño[MxN]quecontenga
númerosaleatorios.
Estudio2.1.: ¿Procesoestacionariooergódico?
Paraesteestudio,generediferentesrealizacionesde lostresprocesoseneldominio
deltiempo,paraobtenerunaideaaproximadadelaestacionariedadydelaergodicidad.Para
laestacionariedad, la clave está en comprobar si ciertas propiedades cambian o no con el
tiempo;para laergodicidad, laclaveestáencomprobarsiunaúnicarealizacióndelproceso
estacionariorepresentaalprocesocompleto.
Portodoello,generecuatrorealizacionesdecadaunodelosprocesosdelongitud100
(M=4, N=100) y represente cada uno de ellos en una misma figura utilizando la función
subplot(…).Apartirdeestarepresentaciónindiquesiestosprocesospuedenserergódicosy/o
estacionarios.
Estudio2.2.: Esperanzasapartirdepromediosdeconjuntos
Para este estudio, genere un conjunto de realizaciones de los tres procesos, por
ejemploconM=80(númerodeprocesos)yN=100(númerodeelementosdecadaproceso).
UtilicelasfuncionesdeMATLABmean(…)ystd(…)paraestimarlamediayladesviacióntípica
de estos procesos en cada instante de tiempo. El resultado de la estimación debe ser una
función del tiempo, que debe representar, y decidir a partir de dicha representación si los
procesospuedenserestacionariosensentidoamplio.
Nota:Elpromediodelconjunto,enelcasodelafunciónmean(…),es:
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€
ˆ m unn[ ] =
1M
uλ n[ ]λ=1
M
∑ ≈ E un{ } (9)
Deformaparecida,paraelpromediodeconjuntodelavarianza,debemoscalcularla
sumadeloscuadradosdespuésdeeliminarlamedia,esdecir:
€
ˆ σ u n
2 =1M
uλ n[ ] − ˆ m u nn[ ]( )
2
λ=1
M
∑ (10)
Estudio2.3.: Esperanzasapartirdepromediostemporales
Obtenga,deformaaproximada,lamediadecadaprocesocomopromediostemporales
paracuatrorealizaciones(
€
λ =1,2,3,4 )decadaproceso,esdecir:
€
uλ =1N
uλ n[ ]n= 0
N−1
∑
uλ − uλ2
=1N
uλ n[ ] − uλ n[ ]( )2
n= 0
N−1
∑ (11)
Para ello, utiliceM=4 yN=1000 cuando genere las señales.A raíz de los resultados
obtenidos,indiquesilosprocesossonergódicosono.
NOTA:Hablandoestrictamente,lospromediostemporalesnecesitanellímitecuandoN
tiende a infinito, pero podemos aproximar el valor en el límite considerando longitudes
suficientementegrandes,N=1000.Unprocesonoestacionarionopuedeserergódico,porello
enesoscasosnosonútileslospromediostemporales.
ESTUDIO3:SISTEMASLINEALESCONENTRADASALEATORIAS
En lossiguientesejerciciosestudiaremostressistemas linealesdiferentesqueactúan
comofiltrosysuefectoenelprocesadodeseñalesaleatoriasdeentrada,generadaspormedio
de las funciones rand(…) y randn(…). Los sistemas lineales comentados anteriormente se
describen por medio de los coeficientes de sus funciones de transferencia, las cuales son
funcionesracionales(cocientedepolinomiosenZ).Deestemodo,loscoeficientesdelostres
sistemaslineales(filtros)conlosquevamosatrabajarson:
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Filtro 1:
B1=[0.3 0];
A1=[1 -0.8];
Filtro 2:
B2=0.06*[1 2 1];
A2=[1 -1.3 0.845];
Filtro 3:
B3=[0.845 -1.3 1];
A3=fliplr(B3); %filtro paso todo.
ParaimplementarestosfiltrosenMATLABsepuedehacerusodelafunciónfilter(…),
asícomoobtenerlasalidadelprocesodadaunaentradayloscoeficientesdelfiltro.Además,la
funciónfreqz(…)sepuedeutilizarparaobtenermuestrasdelarespuestaenfrecuenciadelos
filtros.
La estimación de la secuencia de autocorrelación y de la correlación cruzada puede
obtenerseconlafuncióndeMATLABxcorr(…).Mientrasqueladensidadespectraldepotencia
puede calcularse, de forma aproximada, como la FFT de la secuencia de autocorrelación
medida,paralocualpodemoshacerusodelafunciónfft(…)deMATLAB.
Estudio3.1.: Autocorrelacióndeunprocesoderuidoblanco
Las funciones rand(…) y randn(…) producen valores que son estadísticamente
independientes.Generesegmentosdedossecuenciasaleatoriasdeentradapormediode:
N=5000;
v1=sqrt(12)*(rand(1,N)-0.5); %proceso de media nula.
v2=randn(1,N); %proceso gaussiano de media nula y varianza 1.
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Llameaestasseñalesv1[n]yv2[n].Determinelavarianzadev1[n].Calculeyrepresente
64 valores de sus secuencias de autocorrelación utilizandoxcorr(…). ¿Cómo se aproxima la
secuenciadeautocorrelaciónobtenidaalateóricaesperada?.
Estudio3.2.: RuidoBlancoFiltrado
Lasseñalesv1[n]yv2[n]generadasenelanteriorestudioseránutilizadascomoentradas
aunfiltrodeprimerorden.Paraello:
1. Suponga que la respuesta al impulso del filtro esh[n]=b an u[n], donde |a|<1.
Deduzca teóricamente la función de autocorrelación y calcule entonces las
secuenciasdeautocorrelaciónde las salidascorrespondientesaambasentradas
v1[n]yv2[n],sielfiltroconsideradoeselfiltro1,ya=0.8yb=0.3.Compareestos
resultados con los calculados de forma teórica y explique cualquier diferencia
significativa.
2. Estime la f.d.p. de la salida cuando a la entrada tenemos la secuencia, de
distribución uniforme, v1[n]. Repita la estimación anterior si la entrada es
gaussiana,v2[n].Expliqueporquéambasfuncionesdedensidaddeprobabilidad
sonprácticamenteiguales.
3. Repita el primer apartado para el filtro paso todo (filtro 3) de primer orden
mostradoalcomienzodeesteestudio.Deduzca lasecuenciadeautocorrelación
teórica,deformaqueelresultadoseaaplicableaunfiltropaso‐todoconcualquier
númerodepolos.¿Seesperaalgunadiferenciaparalasdosseñalesdeentrada?.
Estudio3.3.: Medidadelaautocorrelación
El estudio que desarrollaremos a continuaciónpretende demostrar el efecto de un
filtrocualquierasobrelasecuenciadeautocorrelación.Paraello:
1. Exciteelfiltro2conlasdosseñalesderuidoblancov1[n]yv2[n].Llameasussalidas
correspondientesy21[n]ey22[n].
2. Calcule y represente el histograma de ambas secuencias de saliday2i[n]. Tenga
cuidadodeutilizarsólolosdatosdelaparteestacionariadelasseñales.Explique
Señales y Sistemas II Práctica 2: Estimación
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cómo la respuestaal impulsoh2[n] puedeutilizarseparaestimar la longituddel
transitorio.
3. Obtenga la secuencia de autocorrelación de la parte estacionaria de las dos
secuenciasdesaliday21[n]ey22[n].Representelassecuenciasdeautocorrelación
de las señales de entrada y las de salida en un gráfico cuádruple utilizando la
funciónsubplot(…).
4. Obtenga las varianzas de las cuatro señales (dos entradas y dos salidas) y
compárelasconlosresultadosteóricos.
5. Exciteel filtro3conv1[n] yv2[n].Obtenga la secuenciadeautocorrelacióny los
histogramas de las dos secuencias de salida y31[n] e y32[n]. Represente los
resultadossiguienteunprocedimientocomoelpresentadoparaelcasoanteriory
expliquelassimilitudesydiferenciasentreellas.
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