Filas Espera

5/24/2018 Filas Espera

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FILAS DE ESPERA

Notas baseadas emIntroduction to Operations Research

de Hillier e Lieberman.

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ESTRUTURA BSICA DOS SISTEMAS DE FILAS DE ESPERA

Quando um determinado servio procurado por vrios clientes, poder-se-oformar filas de espera, j que o nmero de servidorese a durao do servio de cadacliente usualmente no permite que cada cliente seja atendido assim que solicita o servio.

Poderemos representar esquematicamente o processo de formao de filas deespera do modo seguinte:

Sistema

Fonte Fila deespera

Servio Sada declientesservidos

Fonte( populao ): dimenso(finita ou infinita);processo de chegadas (distribuio estatstica daschegadas, nmero de clientes por chegada);atitude dos clientes (p.ex., possibilidade de recusa de umcliente aceder ao servio ao constatar que a fila de espera muito longa; possibilidade de desistncia de um cliente queabandona o sistema sem ter sido servido depois de umalonga espera).

Sistema: fila (nica; mltipla; comprimento limitado ou ilimitado;disciplina);servio(n de servidores; distribuio estatstica da duraode um atendimento; dimenso do servio (o nmero declientes que podem ser servidos simultaneamente))R

uyCos

ta

capacidade do sistema(o nmero mximo de clientes que,num dado instante, podem estar no sistema, incluindo osclientes que aguardam na fila e os que esto a ser servidos).

Disciplina(isto , a ordem pela qual os clientes so atendidos, destacando-se as disciplinasFIFO first in, first out, ou seja, atendimento por ordem de chegada; LIFO last in, first out,ou seja, a ltima entrada processada primeiro; SIRO service in random order, ou seja,servio por ordem aleatria e PRI, correspondente a uma ordenao com prioridades).

A NOTAO DE KENDALL v/w/x/y/z utilizada para caracterizar uma fila deespera: vcaracteriza o processo de chegadas, representando a distribuio do intervalo detempo entre chegadas consecutivas; w caracteriza a durao do servio; xdenota o nmerode servidores; yrepresenta a capacidade do sistema ou a dimenso da fonte, e z especificaa disciplina da fila. Cada uma das especificaesvew poder ser igual aD,M,Ek,ouG,correspondendo a Determinstico, com Distribuio Exponencial (processo Markoviano), comdistribuio Erlang-k, k = 1, 2, (Gama), ou com qualquer outra distribuio,respectivamente. Muitas vezes no se especifica y e z, assumido-se que a capacidade dosistema ilimitada e que a disciplina FIFO.

Exemplos: M/M/2/10/FIFO(ter uma distribuio do intervalo de tempo entrechegadas consecutivas e uma distribuio da durao do servioexponenciais, dois servidores, um limite mximo de 10 clientes no

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interior do sistema e os clientes sero atendidos por ordem dechegada).M/D/1(processo de chegadas com uma distribuio do intervalo detempo entre chegadas consecutivas exponencial, e uma duraodeterminstica do servio, um servidor, assumindo-se que o sistematem uma capacidade ilimitada e que a disciplina ser FIFO).

Consideremos dois exemplos de diferentes sistemas de filas de espera eidentifiquemos as suas caractersticas:

Os visitantes chegam ao trio de entrada da Torre Panormica, onde poderoestar at 100 pessoas, aguardando que o nico elevador disponvel (com uma lotao de 20pessoas) chegue para as levar ao miradouro panormico.

Assim, temos um sistema com capacidade limitada (100 pessoas), em que osclientes so os visitantes, com um nico servidor (o elevador) e com uma dimenso deservio igual a 20 (a lotao do elevador). Supe-se que a disciplina da fila ser FIFO.

Numa fbrica de txteis existem 15 teares que, quando se avariam, so reparadospor dois tcnicos de manuteno. Sabe-se que o intervalo de tempo entre duas avariasconsecutivas se pode considerar com distribuio exponencial de mdia 5 horas e que areparao de cada tear avariado tem uma durao que se pode considerar com distribuioexponencial de mdia 1 hora.

RuyCosta

Parece aceitvel assumir-se que o servio ser feito por ordem de ocorrncia das

avarias, ou seja, a disciplina da fila ser FIFO. Assumindo que todas as mquinas avariadassero reparadas, no h limitao na capacidade do sistema (no entanto, no ser possvelter-se mais do que 15 mquinas avariadas), pelo que teremos um sistema M/M/2/15/FIFOalimentado por uma fonte com dimenso finita (15), j que os teares avariados sero os

clientes. Os dois servidores so os tcnicos de manuteno.

Exerccio:

Numa olaria trabalham dois artesos um deles na produo das peaspropriamente ditas, e o outro na sua decorao. As peas so fabricadas uma a uma,chegando ao arteso encarregado da decorao a um ritmo que se pode considerarconstante de uma pea por cada 30 minutos. A durao da decorao de cada peapode tambm ser assumida constante e igual a 45 minutos. O arteso decoradorcomea sempre pela ltima pea que acaba de receber da produo.

As actividades na olaria so iniciadas s 8:30 horas e a produo interrompida das12:30 s 13:30 e a decorao interrompida das 12:45 s 13:45 para almoo dosartesos. A produo diria termina s 15:30 horas e o arteso que se dedica decorao mantm-se a trabalhar para escoar todas as peas produzidas nesse dia,pelo que nos incios das manhs no h peas a aguardar a decorao.

Simule manualmente o funcionamento do sector de decorao, determinando o valormdio de peas que aguardam a sua decorao durante a manh (8:30 - 12:45 horas).Determine ainda a que horas o arteso decorador termina as suas actividades.

Pode-se considerar que o sector de decorao corresponde a um sistema D/D/1 comum tempo entre chegadas consecutivas igual a 30 minutos e uma durao de servio igual a45 minutos. As peas a decorar so os clientes e o arteso decorador o servidor. Adisciplina da fila de espera LIFO, ou seja, atendimento por ordem inversa da chegada.

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No quadro seguinte procede-se simulao manual do sistema.

T (minutos)Chegada de

clienteAtendimento de

cliente Fila de espera8:30 --- --- ---9:00 n 1 n 1 ---

9:30 n 2 n 1 n 29:45 --- n 2 ---10:00 n 3 n 2 n 310:30 n 4 n 4 n 311:00 n 5 n 4 n 3, n 511:15 --- n 5 n 311:30 n 6 n 5 n 3, n 612:00 n 7 n 7 n 3, n 612:30 n 8 n 7 n 3, n 6, n 812:45 --- --- n 3, n 6, n 813:45 --- n 8 n 3, n 614:00 n 9 n 8 n 3, n 6, n 914:30 n 10 n 10 n 3, n 6, n 915:00 n 11 n 10 n 3, n 6, n 9, n 1115:15 --- n 11 n 3, n 6, n 915:30 n 12 n 11 n 3, n 6, n 9, n 1216:00 --- n 12 n 3, n 6, n 916:45 --- n 9 n 3, n 617:00 --- n 6 n 317:45 --- n 3 ---18:30 --- --- ---

Durante a manh (8:30 12:45), h um perodo de 75 minutos sem peas aaguardar decorao, h 90 minutos com uma pea em espera, 75 minutos com duas peas

em espera, e 15 minutos com trs peas em espera. Assim, o nmero mdio de peas aaguardar a decorao durante a manh igual a ( 0 . 75 + 1 . 90 + 2 . 75 + 3 . 15 ) / 255 1,12 peas.

O arteso encarregado da decorao das peas termina a sua actividade s 18:30,ficando prontas 12 peas por dia.

RuyCosta

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A DISTRIBUIO EXPONENCIAL

A distribuio exponencial particularmente importante na caracterizao dossistemas de Filas de Espera, nomeadamente para descrever os intervalos de tempo entrechegadas consecutivas e as duraes de servio. Recordemos, ento, algumascaractersticas desta distribuio:

Seja T uma varivel aleatria com distribuio Exponencial Negativa, com parmetro, isto , T ~ Exp( ).

Funo densidade deprobabilidade:

fT(t) =

P ( T 2) > P ( 2T 3 ).

Com efeito, P ( 0 T ) = P ( T ) = FT( ) = 1 63,2 % (Ou seja,grande parte dos valores tomados por uma varivel aleatria com distribuioExponencial Negativa so inferiores ao respectivo valor mdio).

11 = ee

P ( T 2 ) = FT( 2 ) FT( ) 23, 3 % (De notar que, po utro lado, s

poucos valores so elevados: por exemplo, maiores do que o dobro do valo dio P ( T >

2) = 1 FT( 2) = 1 ( 1 ) = 13,5% ).2 e 2e

r or mRuyCosta

P ( 2T 3 ) = FT( 3) FT( 2) 8,6 %

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Assim, se assumirmos que os intervalos de tempo entre chegadas consecutivas sedistribuem exponencialmente, estaremos a assumir que a maior parte desses intervalos detempo sero curtos, pelo que se iro formando filas de espera; s esporadicamente umintervalo de tempo ser elevado, permitindo uma eventual regularizao do sistema.

Se assumirmos que as duraes do servio (atendimento) se distribuemexponencialmente, estaremos a admitir que a maior parte dos clientes ser atendidarapidamente (mais rigorosamente, com duraes de servio inferiores durao mdia), eque apenas um baixo nmero de clientes originaro duraes de atendimento elevadas.Esta hiptese parece aceitvel para situaes em que o atendimento a diferentes clientespode originar tarefas distintas, mas menos adequada para situaes em que o servio aser prestado a todos os clientes seja idntico.

Propriedade 2: A distribuio Exponencial no tem memria (PropriedadeMarkoviana).

T ~ Exponencial, P ( T a + b | T > a ) = P ( T b )

Esta propriedade significa, quando T representa a distribuio dos intervalos detempo entre chegadas consecutivas, que o intervalo de tempo at prxima chegada independente do instante que decorreu desde a ltima chegada o que parece aceitvelpara a generalidade dos processos de chegadas dos clientes. por este motivo que se dizquea Distribuio Exponencial no tem memria.

RuyCosta

Propriedade 3: O mnimo de vrias variveis aleatrias independentescom distribuio Exponencial uma varivel aleatriacom distribuio Exponencial.

Sejam T1, T2, , Tn variveis aleatrias independentes com distribuioExponencial, de parmetros, respectivamente, iguais a 1, 2, , n e

U = mnimo { T1, T2, , Tn}

Prova-se que U ~ Exponencial ( ), com = =

n

i 1

i, ou seja, o mnimo

de n v.a. Exponenciais ainda Exponencial com parmetro igual soma dosparmetros das n v.a..

Esta propriedade tem vrias implicaes:i) supondo que h diferentes tipos de clientes, cada um dos quais tem umprocesso de chegadas com distribuio Exponencial com um parmetro especfico,pode concluir-se que o processo de chegadas agregado, correspondente aos vriostipos de clientes, ainda descrito por uma distribuio Exponencial, com parmetroigual soma dos parmetros individuais.

ii) se se tiver n servidores a assegurar o atendimento dos clientes, todosassegurando uma durao de servio com distribuio Exponencial de parmetro ,num dado instante, o tempo necessrio para o prximo final de servio, de qualquerdo n servidores, ter distribuio Exponencial com parmetro (n.). Assim, osistema comporta-se como se tivesse um nico servidor, com durao de serviocom distribuio Exponencial de parmetro (n.).

Esta propriedade muito til no estudo dos modelos com mltiplos servidores.

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Propriedade 4: A distribuio Exponencial est relacionada com a

distribuio de Poisson.

Se o intervalo de tempo entre chegadas consecutivas tiverdistribuio Exponencial, com parmetro , ento o nmero de chegadaspor unidade de tempo ttem uma distribuio de Poisson, com parmetrom = t . Refira-se, desde j, que o parmetro m ser igual ao valor mdio dadistribuio de Poisson.

representa a taxa mdia de ocorrncias

Se para um processo de ocorrncias, a distribuio do intervalo de tempo entreocorrncias consecutivas for Exponencial, e se os sucessivos intervalos de tempo entreocorrncias consecutivas forem independentes entre si, estaremos perante um Processo de

Poisson.

A relao entre a distribuio Exponencial e a distribuio de Poisson particularmente til para se avaliar o nmero de atendimentos efectuadosnum dado intervalode tempo t, admitindo que a durao do atendimento tem distribuio Exponencial comparmetro . Assim, o nmero de atendimentos efectuados por um servidor no intervalo detempo t pode caracterizar-se com uma distribuio de Poisson de mdia m = t. No casode termos um atendimento efectuado por n servidores, a distribuio de Poisson passar ater mdia m = n t.

RuyCosta

Propriedade 5: Na distribuio Exponencial de parmetro , para todosos valores positivos de t, verifica-se queP ( T t + t | T > t) t , para pequenos t.

Se continuarmos a interpretar T como o intervalo de tempo que decorreu desde oltimo acontecimento (chegada, ou final de servio), esta propriedade indica-nos que,qualquer que seja o tempo que j decorreu, a probabilidade de ocorrncia de um novoacontecimento no prximo pequeno intervalo t proporcional a t, sendo a constante deproporcionalidade ( a taxa de ocorrncias). De notar que o nmero esperado deocorrncias no intervalo t exactamente igual a . t. A probabilidade de ocorrncia, noentanto, pode diferir ligeiramente deste valor j que existe uma (baixssima) probabilidade deque mais do que um acontecimento ocorra neste pequeno intervalo de tempo

Propriedade 6: A distribuio Exponencial no afectada pela agregao,ou desagregao.

Imaginemos que a um sistema chegam 3 tipos de clientes, segundo processos dePoisson independentes, com taxas de chegada 1, 2, 3. Para descrevermos o processogeral de chegadas dos clientes, poderemos agregar estes trs processos num nicoprocesso de Poisson, com taxa de chegada = 1+2+3. Inversamente, se tivermos umprocesso de chegadas Poissoniano, com taxa de chegadas e, se existir uma probabilidadefixa de cada cliente pertencer a um determinado tipo (por exemplo, com 40 % deprobabilidade ser um cliente de tipo A e com 60 % de probabilidade um cliente de tipo B),poderemos desagregar o processo inicial em vrios processos autnomos, tambm dePoisson, associados aos vrios tipos de clientes (no nosso exemplo, com taxas de chegada,

respectivamente iguais a A= 0,4 . e B = 0,6 . ).

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Exerccio:

Admita que o processo de chegadas de clientes a uma loja pode ser considerado umProcesso de Poisson, com uma taxa de 5 chegadas por minuto. Caracterize adistribuio do intervalo de tempo entre duas chegadas consecutivas e a distribuiodo nmero de chegadas por minuto.

Considerando o segundo como a unidade de tempo, o intervalo de tempo entre duaschegadas consecutivas poder ser descrito por uma varivel Exponencial de mdia 12segundos ( = 60 / 5 ), isto com parmetro = 1/12. O nmero de chegadas por minutopoder ser descrito por uma distribuio de Poisson com parmetro m = t = (1/12) 60 = 5.

RuyCosta

Finalmente, recordemos que a soma de k variveis aleatrias, independentes eidenticamente distribudas, com distribuio Exponencial (), uma varivel aleatriaErlang-K (Gama). Pelo Teorema do Limite Central, se k for muito elevado, a distribuio

Erlang-k tender para a distribuio Normal.

Sejam Xiv.a. i.i.d, Xi~ Exponencial (),

T ~ (X1+ X2+ + Xk) ~ Erlang-k ()

Como E [ X ] = 1 / e Var [ X ] = 1 / 2, fcil constatar que E [ T ] = k / e Var [ T ] = k /2.

Apresentemos agora, muito sumariamente, algumas caractersticas da Distribuiode Poisson. Seja X uma varivel aleatria com distribuio de Poisson, com parmetro m,isto , X ~ Poisson( m ).

Funo de distribuio de probabilidade: PX(k)

PX(k) = P ( X = k) = emmk/ k ! , k = 0, 1, 2,

0 1 2 3 4 5 6 7 x

= Valor Mdio = m ; 2= Varincia = m

A Distribuio de Poisson uma das (poucas) distribuies estatsticas que goza daaditividade, isto , a soma de variveis aleatrias independentes com distribuio dePoisson ainda uma varivel aleatria de Poisson (com parmetro igual soma dosparmetros das variveis que foram somadas).

Por outro lado, dado o Teorema do Limite Central (a soma de n variveisindependentes e identicamente distribudas tende para a distribuio Normal, quando n setorna elevado), poderemos aproximar a Distribuio de Poisson (m) da Distribuio

Normal (com valor mdio e varincia iguais a m), quando m elevado (em termosprticos m maior do que 20). Esta aproximao permite efectuar o clculo deprobabilidades com maior facilidade No entanto, h que ter em ateno o facto

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de uma varivel aleatria com distribuio de Poisson ser discreta, enquanto que adistribuio Normal descreve uma varivel aleatria contnua e fazer a chamadacorreco de continuidade (Remete-se o leitor mais esquecido para um compndio deEstatstica). R

uyCosta

Exerccio FE01

Exerccio FE02

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O PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE

A maior parte dos modelos elementares de filas de espera baseia-se no processode nascimento e morte. No contexto das filas de espera, um nascimentocorresponde chegada de um novo cliente e uma mortecorresponde partida de um cliente.

O estadodo sistema no instante t o nmero de clientes no sistema, denotado porN(t). Um processo de nascimento e morte obedece a trs hipteses-base:

Hip.1: Dado N(t) = n, a distribuio de probabilidade do tempo restanteatao prximo nascimento (chegada) Exponencialcom parmetro n(n = 0,1, 2, ).

Hip.2:Dado N(t) = n, a distribuio de probabilidade do tempo restanteat

prxima morte (final de atendimento) Exponencialcom parmetro n (n =0, 1, 2, ).Hip.3:Em cada instante s pode ocorrer ou um nascimento, ou uma morte.

As hipteses 1 e 2 tornam o processo de nascimento e morteum tipo particular deCadeias de Markov contnuas, o que facilita o tratamento das Filas de Espera que assimpodem ser descritas. A hiptese 3 simplifica adicionalmente a anlise.

Na figura seguinte esquematiza-se o diagrama de transio correspondente aoprocesso de nascimento e morte:

Estado:

RuyCosta

n: taxa mdia de chegadas (n esperado de chegadas por unidade de tempo) de novosclientes quando nclientes esto no sistema.n: taxa mdia de servio global* (n esperado de atendimentos completados por unidade detempo) quando nclientes esto no sistema.[* global taxa combinada relativa aos servitores ocupados]

As setas no diagrama representam as nicas transies possveis no estado do sistema e osvalores inscritos por cima, ou por baixo, de cada seta representam a respectiva taxa mdiapara essa transio.

Depois de o sistema ter atingido o estado de equilbrio (se tal for possvel), odiagrama de transio facilita a determinao de resultados relevantes.

H um princpio fundamental taxa de entrada = taxa de sada, queestipula que, para qualquer estado do sistema (n = 0, 1, 2, ), a taxa mdia deentradas igual taxa mdia de sadas. Este princpio permitir escrever, para todosos estados, a respectiva equao de equilbrio, em funo das incgnitas Pn

(probabilidades). A resoluo do sistema de equaes permitir determinar o valor dessasprobabilidades.

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Ilustremos a utilidade do diagrama de transio para determinarmos as equaesrelativas aos estados 0 e 1:

Dado que s se pode entrar no estado 0, a partir do estado 1, a taxa mdia deentrada no estado 0 depende apenas da taxa mdia de entrada no estado 0 sabendo-se queo sistema est no estado 1, 1, e da probabilidade de ocorrncia do estado 1, P1, sendo iguala 1 . P1. Por outro lado, a taxa mdia de sada do estado 0 ser igual a 0 . P0. Assim,relativamente ao estado 0, poderemos escrever:

1 . P1= 0 . P0

A entrada no estado 1 pode dar-se a partir do estado 0 (dependendo da taxa 0 e daprobabilidade de ocorrncia do estado 0, P0), ou a partir do estado 2 (dependendo da taxa 2e da probabilidade P2), sendo, assim, a taxa mdia de entrada no estado 1 igual a 0 . P0 + 2. P2. Por outro lado, a sada do estado 1 pode dar-se para o estado 0 (dependendo da taxa1 e da probabilidade P1), ou para o estado 2 (dependendo da taxa 1 e da probabilidade P1),sendo, assim, a taxa mdia de sada do estado 1 igual a 1 . P1 + 1 . P1. Assim,relativamente ao estado 1, poderemos escrever:

0 . P0 + 2 . P2 = 1 . P1 + 1 . P1

RuyC

osta

Raciocinado analogamente poderemos determinar as equaes de equilbrio para o

processo de nascimento e morte:

Estado Equao de equilbrio

0 1 . P1= 0 . P01 0 . P0 + 2 . P2 = (1 +1). P12 1 . P1 + 3 . P3 = (2 +2). P1 n n-1 . Pn-1 + n+1 . Pn+1 = (n +n). Pn

Como se pode observar, temos uma varivel a mais em relao ao nmero deequaes. Assim, dever-se- resolver este sistema em funo de uma das variveis (emgeral, P0).

Resolvendo sequencialmente, e a partir da primeira equao, obtemos:

P1=1

0

P0

P2=21

10

P0

Pn= n

n

...

...

21

110

P0

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Para simplificar a notao, poderemos denotar, paran = 1, 2, . Cn=

n

n

...

...

21

110

Assim, as probabilidades de equilbrio so dadas por:

Pn= CnP0, para n = 1, 2, .

Como o somatrio das probabilidades tem que igualar 1, obtm-se:

P0= 1 / ( 1 + C

=1nn)

Desde j poderemos avanar alguns resultados gerais aplicveis a sistemas defilas de espera, baseados no processo de nascimento e morte:

o nmero mdio de clientes no sistemaser:RuyCosta

L = n . P

=0nn

Se tivermos um sistema com s servidores, haver s clientes que estaro a seatendidos, pelo que

o nmero mdio de clientes a aguardar atendimento na fila(comprimento mdio da fila de espera)ser:

Lq= (n s) . P

=sn

n

o tempo mdio no sistema, por cliente(incluindo a durao do atendimento)

ser:

W = L / Frmula de Little

designa a taxa mdia de chegadas, a longo prazo, =

=0nn. Pn

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o tempo mdio a aguardar o atendimento, por cliente(na fila de espera -

exclui a durao do atendimento) ser:

Wq= Lq /

Embora algumas das expresses anteriores envolvam somatrios com um nmeroinfinito de termos, muitas vezes esses somatrios podem ser resolvidos analiticamente;noutros casos, podero ser aproximados numericamente. De notar ainda que asexpresses indicadas assumem que, com os valores assumidos pelos parmetros ne n, sepossa atingir o estado de equilbrio tal sempre o caso quando existir um nmero finito n(n > 0) de estados; tal sempre o caso quando = / ( s ) < 1; tal no ser o caso

se C

=0nn = .

RuyCosta

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MODELOS DE FILAS DE ESPERA BASEADOS NO PROCESSO DENASCIMENTO E MORTE ( modelos com distribuies Exponenciais)

Os processos de nascimento e morte servem de base para modelar vrios sistemasde Filas de Espera. Estes processos assumem um processo de chegadas Poissoniano(distribuio Exponencial para modelar o tempo restante at ao prximo nascimento, i.e.,chegada) e um tempo de servio (o tempo restante at prxima morte, i.e., final deatendimento) tambm Exponencial. Estes modelos diferem essencialmente nas hiptesesassumidas para n, ne n.

Comecemos por considerar o

Modelo M/M/1 com populao infinita e fila ilimitadaNeste modelo assume-se que existe um nico servidor, que os intervalos de tempo

entre chegadas consecutivas so independentes e identicamente distribudos, comdistribuio Exponencial (), e que as duraes dos servios so independentes eidenticamente distribudas, com distribuio Exponencial (). Assim, neste caso, teremos n= (taxa mdia de chegadados clientes) , para n = 0, 1, 2, e n= (taxa mdiade atendimentodos clientes), para n = 1, 2, . Assumiremos que a fila tem capacidadeilimitada que alimentadapor uma populao infinita e que a disciplina praticada ser FIFO.O diagrama de transioresultante ser:

Estado:

A partir das referidas taxas mdias poderemos definir ofactor de utilizao(por

vezes designado porintensidade de trfego):

= /

O factor de utilizao representa o nmero esperado de chegadas durante um servio mdio.

Assim, se > 1, o ritmo das chegadas ultrapassa a capacidade de atendimento do servidor,pelo que explodir, i.e., no se atingir uma situao de equilbrio.Se < 1 o sistemapoder atingir uma situao de equilbrio, ou seja o ritmo a que decorre oatendimento dos clientes suficiente para dar vazo aos clientes que vo chegando.

RuyC

osta

Recordemos que representa a taxa de chegadas, e que estamos a assumir que constante e independente do nmero de clientes j no sistema. As Frmulas de Littlepermitem-nos relacionar Lcom W e Lqcom Wq:

L = W ; Lq= Wq

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De notar que se a taxa de chegada depender do estado do sistema, as Frmulas de

Little ainda so vlidas desde que substituamos, nas expresses apresentadas, por (isto , a taxa mdia de chegadas).

De notar que, para este modelo, Cn= ( / )n= n. Assim, a probabilidade

de estarem exactamente n pessoas no sistema, Pn, ser dada por:

Pn= n. P0=

n(1 )

A taxa de desocupao do sistema, P0, isto , a probabilidade de no haverclientes no sistema:

P0= 1

A probabilidade de estarem mais do que K pessoas no sistema ser dada por:

P( n > K ) = K + 1

O tempo mdio de permanncia de um cliente no sistema (W) e o tempo mdio deespera na fila (Wq) podem ser relacionados facilmente se notarmos que 1/corresponde aotempo mdio gasto no servio:

W = Wq+ 1 /

Tendo em conta a expresso anterior e as Frmulas de Little, poderemos escrever arelao entre o nmero mdio de clientes no sistema (L), o comprimento mdio da fila (L q):

RuyCosta

L = Lq+ / = Lq+

De notar que, num sistema M/M/1, Lqno igual a L 1, mas sim a L !

A partir das expresses apresentadas poderemos deduzir os seguintes resultados:

L = =

=1nnP

1=

Lq=

1

2

=)(

2

(cont.)

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(continuao)

W =

1

Wq =

Quanto probabilidade de um cliente estar mais do que t unidades detempo no sistema, ou na fila em espera (P(W> t), ou P(Wq> t), respectivamente),poderemos obter:

P(W> t) = e(1) t para t 0

P(Wq> t) = e(1) t para t 0

Aproveitamos para recordar que a taxa de desocupao do sistema, P0,representa a probabilidade de no haver clientes no sistema, o que coincide com aprobabilidade de um cliente no ter de esperar na fila, pois um cliente s atendido assimque chega se no houver clientes no sistema. Assim,

RuyCosta

P0= 1 = P(Wq= 0)

Em seguida, sintetizaremos os resultados vlidos para um sistema M/M/1,alimentado por uma populao infinita e sem limitaes quanto ao comprimento mximo dafila de espera:

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Sistema M/M/1, Populao = ; Fila mxima =

Processo de chegadas Poissoniano com uma taxa de chegadas de clientes por unidade de tempo.

Durao do servio com distribuio Exponencial Negativa taxa deatendimento de clientes por unidade de tempo (pelo nico servidor).Disciplina da fila: FIFO (atendimento por ordem de chegada)

Taxa de ocupao = / (< 1)Taxa de desocupao = 1 = P0= P(Wq= 0 )

L = Lq+ /

L =

1=

Lq=

1

2

=)(

2

W = Wq+ 1 /

W = L / =

1

Wq = Lq/ =

P0= 1 = P(Wq= 0)

Pn= nP0=

n(1 )

P( n > k ) = k + 1

P(W > t ) = e(1) t= et / W para t 0

P( Wq> t ) = e(1) t=et / W para t 0

RuyCosta

Faamos agora um exerccio de aplicao:

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Exerccio:

O Docinho uma pequena pastelaria, sem lugares sentados, onde so vendidasespecialidades regionais, pela sua nica empregada. Pode-se considerar que aschegadas constituem um Processo de Poisson, com uma taxa de 15 chegadas porhora, estimando-se que a durao do atendimento de um cliente se possa considerarexponencialmente distribudo, com valor mdio igual a 3 minutos.

1 - Determine:

a) a probabilidade de estar apenas um cliente na pastelaria;b) a probabilidade de estarem, pelo menos, trs clientes na pastelaria;c) o comprimento mdio da fila de espera;d) o tempo mdio de espera na fila;e) a probabilidade de que um cliente esteja mais do que 5 minutos na pastelaria;f) a probabilidade de que um cliente esteja mais do que 3 minutos espera para

comear a ser atendido.

2 O proprietrio d O Docinho est convencido de que seria possvel diminuir o

tempo mdio de espera na fila para 6 minutos se a sua empregada aumentasse o ritmode trabalho, diminuindo a durao mdia do atendimento de um cliente. Comente.

RuyCosta

1 - = 15 h1= 15/60 min1; = 1/3 min1; = / = 3/4 ( < 1)

a) P1= ( 1 ) = 3/4 . 1/4 = 3/16 19 %

b) P0= 1 = 1/4 ; P2= 2( 1 ) = 9/16 . 1/4 = 9/64 . Assim, a probabilidade pedida

igual a 1 P0P1P2 = 27/64 42 %

c) Lq=

1

2

= 36/16 = 2,25 clientes

d) Wq = Lq/ = 9 min

e) P(W > 5) = e(1) 566 %

(ou, W =

1= 12 min P(W > 5) = e5 / W 66 % )

f) P(Wq> 3) = e(1) 358 % (ou, P(Wq> 3) =e

3 / W58 % )

2 - = 15/60 = 1/4 min1; Wq =

= 6 min 21/4 1/24 = 0

0,729 min1

Durao mdia do atendimento de 1 cliente = 1 / 1,37 min.

Concluso: Atingir este objectivo implica reduzir a durao mdia do servio de 3,00para 1,37 min ! Muito provavelmente, tal ser difcil de atingir com uma nicaempregada!

Exerccio FE03

194


19/43

E se, no exerccio d O Docinho, tivssemos duas empregadas, em vez de apenas

uma ? O que aconteceria ? Para podermos responder a esta questo, apresentaremos emseguida o

Modelo M/M/S com populao infinita e fila ilimitadaAgora temos S servidores, alimentado por uma populao infinita e sem limitaes

quanto ao comprimento mximo da fila de espera. De notar que, se a taxa mdia dechegadas de clientes ao sistema continua a ser , independentemente do estado, a taxamdia de servio (que se assume ser por cada um dos Sservidores), depender do estadodo sistema: R

uyCosta

+

==

1;

,...,2,1;

SnS

Snnn

O diagrama de transioresultante ser:

Estado:

Apresentaremos, em seguida, os resultados vlidos para um sistema M/M/S,alimentado por uma populao infinita e sem limitaes quanto ao comprimento mximo dafila de espera:

195


20/43

Sistema M/M/S, Populao = ; Fila mxima =

Processo de chegadas Poissoniano com uma taxa mdia de chegadasde clientes por unidade de tempo.Durao do servio com distribuio Exponencial Negativa com taxamdia de clientes por unidade de tempo por cada um dos Sservidores.

+

==

1;

,...,2,1;

SnS

Snnn

Disciplina da fila: FIFO (atendimento por ordem de chegada)

Taxa de ocupao = / ( S ) (< 1)Taxa de desocupao = 1

L= Lq+ /

Lq= 20

1

)1(!

+

S

PS SS

W = Wq+ 1 / = L/

Wq = Lq/

P0=

1

0

1

!

)(

)1(!

=

+

+

S

n

nSS

n

S

S

S

Pn=

+

=

,1;!

,...,1;!

)(

0

0

SnPS

S

SnPn

S

nS

n

P(W > t) = ( )

+

)1)(1(!1)(1

)1(.0.

SSSePS SStSte para t 0

P(Wq> t) = )1(.0)1(!

)(

tS

S

eS

PS para t 0

P(Wq= 0) = 1 )1(!

)( 0

S

PS S

RuyCos

ta

Faamos agora um exerccio de aplicao:

196


21/43

Exerccio:

Resolva a questo 1 do exerccio dO Docinho, assumindo que h duas empregadasmantendo-se todas as outras caractersticas. Compare os resultados com oscorrespondentes quando h apenas uma mpregada, comentando.

= 15 h1= 15/60 min1; = 1/3 min1;

S = 2; = / (S ) = 3/8 ( < 1)

a) a probabilidade de estar apenas um cliente na pastelaria

P0=

1

0

1

!

)(

)1(!

=

+

+

S

n

nSS

n

S

S

S

= 0,45(45) 45 %

P1= 0

1

!1

)(

P

S

34 %

(Compare-se com o valor obtido no Ex.4: 19 %)

b) a probabilidade de estarem, pelo menos, trs clientes na pastelaria

P045 % ; P2= 0

2

!2

)(P

S13 %.

Assim, 1 P0P1P28 % (Ex.4: 42 %)

De notar que se tivesse sido pedida a probabilidade de estarem exactamente trs clientes

na pastelaria, P3, teramos 0

32

!P

S

S , ou seja, P34,8 %.

R

uyCosta

c) o comprimento mdio da fila de espera

Lq= 20

1

)1(!

+

S

PS SS= 0,12 clientes (Ex.4: 2,25 clientes)

d) o tempo mdio na fila

Wq =

qL= 0,48 min (Ex.4: 9,00 min)

e) a probabilidade de que um cliente esteja mais do que 5 minutos na pastelaria

P(W > 5) =( )

+

)1)(1(!

1)(1

)1(5

05

SSS

ePSe

SSS

5,3 % (Ex.4: 66 %)

f) a probabilidade de que um cliente esteja mais do que 3 minutos espera para comeara ser atendido

P(Wq> 3) =)1(30

)1(!

)(

S

S

eS

PS5,9 % (Ex.4: 58 %)

Comentrio: As diminuies esperadas do tempo mdio de espera dos clientes e docomprimento mdio da fila de espera (resultantes da introduo de uma segunda

197


22/43

empregada) so de tal modo significativas que indiciam que duas empregadas (a tempointeiro) talvez sejam de mais

Exerccio FE04

E o que acontece se houver limitaes fsicas, que no permitam o desenvolvimentode uma fila de espera ilimitada ?

Modelo M/M/1/K com populao infinita e fila limitadaConsideremos que nas instalaes onde decorre o servio, no podem ser

acomodados mais do que K clientes e, quando j estiverem K clientes no sistema e severificar a chegada de um novo cliente, ser-lhe- recusado o acesso ao sistema, i.e., trata-sede uma fila de espera com capacidade finita. De notar que os potenciais clientes comacesso vedado no podero aguardar no exterior do sistema, para entrada posterior.

Neste caso a taxa mdia de entrada em cada estado ser dependente do estado:RuyCosta

==

Kn

Knn

;0

1,...,1,0;

De notar que se se est a admitir que a capacidade do sistema limitada a ummximo de K clientes, os estados sero 0, 1, , K 1, K.


Estado:Caracterizaremos, em seguida, o sistema M/M/1/K com capacidade finita, assumindo

que a populao ilimitada.

198


23/43

Sistema M/M/1/K, Populao = ; Fila mxima = K 1

Nmero mximo de clientes no sistema = K

Processo de chegadas Poissoniano com uma taxa de chegadas de clientes por unidade de tempo. A taxa de entradas no sistema serdependente do estado n do sistema (isto , do nmero nde clientes nosistema):

==

Kn

Knn

;0

1,...,1,0; ; = ( 1 PK)

Durao do servio com distribuio Exponencial Negativa taxa deatendimento de clientes por unidade de tempo (pelo nico servidor).Disciplina da fila: FIFO (atendimento por ordem de chegada)

Taxa de presso = / Taxa de ocupao = /

Taxa de desocupao = 1 / = P0= P(Wq= 0) = 11

1+

K

L =

=

+

+

+

1;2

1;1

)1(

1 1

1

K

KK

K

Lq= L /

W = Wq+ 1 /

W = L /

Wq = Lq/

P0= 11

1+

K

= P(Wq= 0)

Pn=

>

=+

Kn

KnK

KnPn

;0

1;)1/(1

1;0

RuyCosta

E agora um exerccio de aplicao ...

199


24/43

Exerccio FE05

Em seguida, caracterizaremos o sistema M/M/S/K, com capacidade mxima para K

clientes, S servidores, continuando-se a assumir que a populao ilimitada.

Modelo M/M/S/K com populao infinita e fila limitada semelhana do modelo anterior, no podem ser acomodados mais do que K

clientes no sistema, i.e., trata-se de uma fila de espera com capacidade finita com Sservidores.

Tal como no modelo anterior, a taxa mdia de entrada em cada estado serdependente do estado:

== Kn

Knn;0

1,...,1,0;

A diferena relativamente ao modelo anterior reside na existncia de S servidores, o que farcom que a taxa mdia de sada de cada estado tambm seja dependente do estado (semelhana do que aconteceu no modelo M/M/S):

+

==

1;

,...,2,1;

SnS

Snnn

semelhana do modelo M/M/1/K, os estados sero 0, 1, , K 1, K.


Estado:

Caracterizemos, ento, este modelo:

200


25/43

Sistema M/M/S/K, Populao = ; Fila mxima = K S

S K; N mximo de clientes no sistema = K; N de servidores = SProcesso de chegadasPoissoniano com uma taxa de chegadas de clientespor unidade de tempo. A taxa de entradas de clientes no sistema serdependente do estado n do sistema (isto , do nmero n de clientes nosistema):

==

Kn

Knn

;0

1,...,1,0; ; = (1 PK)

Durao do serviocom distribuio Exponencial Negativa com taxa mdia declientes por unidade de tempo por cada um dos Sservidores.

+

==

1;

,...,2,1;

SnS

Snnn


Taxa de presso = / ( S ) )Taxa de ocupao = / ( S ) = (1 PK)

Taxa de desocupao = 1 / ( S )

P0=

=

+

+

=

=

+

1;!

)(!

1;!

)(

)1(!

)1(

1

0

1

0

1

S

n

nS

S

n

nSKSS

n

SSK

S

S

n

S

S

S

Pn=

+

+=

=

1;0

,...,1;!

,...,1;!

)(

0

0

Kn

KSnPS

S

SnPn

S

nS

n

P( Wq= 0) =

=

1

0

S

n

nP

Lq= 2

0

1

)1(!

+

S

PS SS [ ]SKSK SK ))(1(1

Wq = Lq/

W = Wq+ 1 / ; L = W = Lq+ /

RuyCosta


201


26/43

Exerccio FE05

Modelo M/M/S/N com populao finita e fila ilimitadaImaginemos que numa fbrica de txteis existem 15 teares que, quando se avariam,

so reparados por dois tcnicos de manuteno. Sabe- -se que o intervalo de tempoentre duas avarias consecutivas se pode considerar com distribuio exponencial e que areparao de cada tear avariado tem uma durao que tambm se pode considerar comdistribuio exponencial.

Trata-se de um sistema M/M/2/15 alimentado por uma fonte com dimensofinita (15), ou populao finita, onde os clientes sero os teares avariados e os doisservidores sero os tcnicos de manuteno.

Em algumas aplicaes industriais, tal como no exemplo apresentado, muito

importante considerar uma nova extenso dos sistemas M/M/1 e M/M/S: a populao comdimenso finita, isto uma fonte que possa gerar, no mximo, N clientes. Trata-se dossistemas M/M/1/N e M/M/S/N com fonte com dimenso finita.

Neste modelo, a taxa mdia de entrada em cada estado ser dependente do estado:

==

Nn

NnnNn

;0

1,...,1,0;)(

Se se estiver a admitir um nico servidor, a taxa mdia de sada de cada estado serigual a , para todos os estados; caso o sistema tenha S servidores, a taxa mdia de sadade cada estado, ser dependente do estado (como sucedia no modelo M/M/S):

R

uyCosta

+==

1;

,...,2,1;

SnS

Snnn

De notar que se a populao finita, com dimenso N, os estados sero 0, 1, , N-1, N.

Assim, os diagramas de transio correspondentes aos modelos M/M/1/N eM/M/S/N sero os seguintes:

Estado:

Estado:

Caracterizaremos, em seguida, o sistema M/M/S/N com fonte com dimenso finita,referindo alguma particularizao decorrente da existncia de um nico servidor (S = 1).

202


27/43

Sistema M/M/S/N, Populao =N (Fila mxima = N S)

S N; N mximo de clientes no sistema = N; N de servidores = SProcesso de chegadas Poissoniano com uma taxa de chegadas de clientes porunidade de tempo. A taxa de entradasde clientes no sistema ser dependente doestado ndo sistema (isto , do nmero n de clientes no sistema):

==

Nn

NnnNn

;0

1,...,1,0;)( ; = (NL)

Durao do servio com distribuio Exponencial Negativa com taxa mdia de clientes por unidade de tempo por cada um dos Sservidores.

+

==

1;

,...,2,1;

SnS

Snnn


Taxa de ocupao = / ( S )

Taxa de desocupao = 1 / ( S )

P0 =

11

0 !)!(

!

!)!(

!

=

=

+

N

Sn

n

Sn

nS

n SSnN

N

nnN

N

Caso particular S = 1:

P0 =

1

0 )!(

!

=

N

n

n

nN

N

= taxa de desocupao

Pn=

+

+=

=

1;0

,...,1;!)!(

!

,...,1;!)!(

!

0

0

Nn

NSnPSSnN

N

SnPnnN

N

n

Sn

n


Pn=

>

=

Nn

NnPnN

Nn

0

,...,1;)!(

!0

P(Wq= 0) =

=

1

0

S

n

nP

continua

RuyCosta

203


28/43

continuao

Sistema M/M/S/N, Populao =N (Fila mxima = N S)

Lq=

= N

nnPSn0 )(


Lq= )1( 0PN +

Wq = Lq/

W = Wq+ 1 / ; L = W = Lq+ /

Desde j poderemos observar que, para N elevado, se torna praticamenteincomportvel determinar P0e as restantes medidas de desempenho do sistema por clculomanual !

RuyCosta


Exerccio FE07

Modelo com taxa de chegada e/ou taxa de servio dependente doestado

Os modelos apresentados tm vindo a assumir uma taxa mdia de servioconstante, independente do nmero de clientes no sistema. No entanto, na realidade,quando os clientes so pessoas, muitas vezes o aumento do nmero de clientes no sistema

vaipressionando o(s) servidor(es) que aumenta(m) a sua taxa mdia de servio.

Analogamente, a taxa mdia de chegadas ao sistema pode no ser constante ospotenciais clientes ao verem o sistema com elevado nmero de clientes em espera, poderooptar por no entrar no sistema, fazendo com que a taxa mdia de chegadas seja, narealidade, decrescente com o nmero de clientes no sistema.

RuyCosta

Descreveremos, em seguida, uma possvel formulao destas situaes, ainda apartir do processo de nascimento e morte. Por simplicidade, optaremos por faz-loexclusivamente para o caso de um nico servidor, deixando ao leitor interessado nageneralizao a sugesto de uma consulta Bibliografia.

Assumamos, ento, que S = 1 e que

204


29/43

n= nc . 1, para n = 1, 2,

n representa o nmero de clientes no sistema; 1 a taxa mdia de servio, quando est

apenas um cliente no sistema (situao sem presso); na taxa mdia de servio, quandoesto n clientes no sistema (situao de presso); e c uma constante positiva, ocoeficiente de presso, que indica o grau de influncia que o nmero de clientes tem sobre ataxa de servio. De notar que nos modelos anteriormente apresentados se assumiuimplicitamente c = 0.

Se assumirmos, adicionalmente, que o processo de chegadas Poissoniano com n= , para n = 0, 1, 2, , poderemos obter os coefientes Cncorrespondentes ao processo denascimento e morte correspondente:

Cn = c

n

n )!(

)/( 1

, para n = 1, 2,

Notemos que, desde que c > 0, se podero atingir as condies de equilbrio, peloque podero aplicar os resultados obtidos para o processo de nascimento e morte. Aindaque no exaustivamente, recordemos alguns desses resultados:

Pn= CnP0, para n = 1, 2, .

P0= 1 / ( 1 + C

=1nn)

L = n . P

=0nn

Infelizmente, neste modelo, no possvel obter expresses analticas para ossomatrios, que devero ser determinados numericamente. Alguns livros apresentamalguns grficos com a representao de algumas das relaes, em funo de alguns valoresdos parmetros envolvidos.

Exerccio FE08

No modelo apresentado, modelou-se a presso sobre a taxa mdia de servio.Mas, como se referiu, pode ser importante assumir uma situao de presso sobre a taxamdia de chegadas ao sistema. Tal pode ser modelado do modo seguinte:

RuyCosta

n= (n + 1)b . 0, para n = 0, 1, 2,

205


30/43

n, 0, n e b so definidos de modo anlogo ao anteriormente referido. Se se assumir quea taxa mdia de servio constante, n= , teremos.

Cn =

b

n

n )!(

)/( 0 , para n = 1, 2,

Poderemos utilizar estes coeficientes Cnnos resultados j referidos para a situaode equilbrio do processo de nascimento e morte.

Exerccio FE09

Um modelo mais geral permite uma modelao conjunta dos efeitos de presso

sobre as taxas mdias de chegada e de servio. Basta assumir-se conjuntamente:

n= na . 1, para n = 1, 2, n= (n + 1)b . 0, para n = 0, 1, 2,

sendo a e b constantes de presso definidas de modo anlogo ao anteriormente referido.Ter-se-, ento

Cn = ba

n

n +)!(

)/(10

, para n = 1, 2,

De notar que as trs formulaes se podem reduzir a uma nica, sendo entonecessrio especificar o quociente que elevado potncia n, bem como o coeficiente depresso que a potncia qual se eleva n!, o que permite utilizar os resultados geraisapresentados graficamente em alguns livros.

S uma nota final para recordar a utilizao de logaritmos, que pode ser til, naresoluo de problemas com este modelo. Suponha-se que, num dado exerccio se assumeque 1= 2,5 clientes por hora e 6= 5,0 clientes por hora. A determinao da constante depresso faz-se facilmente: 5,0 = 6c . 2,5.

5,0 = 6c . 2,5 6c= 2 log6(6c) = log6(2) c = [ ln(2) / ln(6) ] c = 0,3387

Exerccio FE10

At agora apresentmos modelos de Filas de Espera, baseados no processo denascimento e morte que, consequentemente, descreviam os intervalos de tempo entre

chegadas consecutivas e as duraes de atendimento com distribuies exponenciais.RuyCosta

206


31/43

Mas, se as chegadas forem previamente marcadas, ou, de algum modo, reguladas, oprocesso de chegadas perde o seu carcter Poissoniano. Analogamente, se asnecessidades dos vrios clientes, em termos de atendimento, forem idnticas, deixa de fazersentido a utilizao da distribuio Exponencial para descrever a durao do atendimento decada cliente.

Neste casos, dever-se- considerar modelos que envolvam distribuies noexponenciais.

207


32/43

MODELOS ENVOLVENDO DISTRIBUIES NO EXPONENCIAIS

Modelo M/G/1 (Cadeias de Markov encaixadas)No modelo M/G/1 assume-se um processo Poissoniano de chegadas de clientes,

com taxa mdia fixa , que vo ser atendidos por um nico servidor, no sendo postasquaisquer restries distribuio da durao do atendimento apenas necessrioconhecer (ou estimar) o valor mdio (que consideraremos ser igual a 1 / ) e a varincia 2dessa distribuio (no especificada).

Neste caso, em geral, no ser possvel recorrer s equaes de equilbrio, uma vezque a durao dos atendimentos poder apresentar memria. Em alternativa, podeanalisar-se o sistema imediatamente aps a sada de cada cliente, constituindo uma cadeia

de Markov que fica encaixada num processo no-Markoviano.Se = / < 1 um tal sistema poder eventualmente atingir o estado de equilbrio,

sendo ento vlidos os seguintes resultados:

P0 = 1 -

Lq =)1(2

222

+

L = + Lq

Wq = Lq /

W = Wq + 1 /

interessante notar que apesar deste modelo permitir qualquer distribuio para adurao do atendimento, se conseguem obter resultados analticos, baseados naFrmulade Pollaczek-Khintchine para a determinao de Lq:

Lq =

)1(2

222

+

RuyCosta

Infelizmente, no foi possvel determinar expresses analticas para o caso de mltiplosservidores.

Se a durao do atendimento for Exponencial, 2= 1 /2, obtendo-se os resultados japresentados para o modelo M/M/1.

Uma ltima nota para o facto de, para um valor mdio da durao do servioconstante, W, Wq, L e Lq aumentarem com o aumento da varincia da distribuio dadurao do servio ! Tal mostra que o desempenho do servidor no apenas relevante no

que toca ao seu valor mdio

208


33/43

Modelo M/D/1

Se continuarmos a assumir que o processo de chegadas Poissoniano, que temosapenas um servidor e se o atendimento aos diferentes clientes consistir numa rotinarelativamente idntica, praticamente no se verificar qualquer variao na durao do

servio, sendo ento til o modelo M/D/1, que pode ser encarado como um caso particular domodelo M/G/1, fazendo 2= 0.

Assim, aFrmula de Pollaczek-Khintchineoriginar:

Lq =)1(2

2

interessante notar que o valor indicado na frmula acima metade docorrespondente valor para o modelo M/M/1: ou seja, se a distribuio do atendimento forExponencial com parmetro , o comprimento da fila de espera ser duplo do que seria setodos os atendimentos fossem executados com durao determinstica (igual a 1/). Ficaassim patente a importncia da varincia da distribuio da durao do atendimento nodesempenho do sistema !

RuyCosta

Num sistema com mltiplos servidores (M/D/S) tudo se torna mais complicado deixa-se ao leitor mais interessado a sugesto de uma leitura da Bibliografia. (Note-se que,no entanto, alguns livros apresentam alguns grficos que representam as principais relaes,em funo dos valores dos parmetros).

Modelo M/Ek/1 (Mtodo dos Estdios)

Como se referiu anteriormente, nos sistemas M/D/S assume-se que a durao doatendimento de um cliente determinstica ( = 0) uma situao terica que raramenteocorre rigorosamente na prtica. Num outro extremo, temos o s modelos M/M/S, em que se

assume uma variao muito grande ( = 1 / = durao mdia do atendimento de umcliente). Ora, na realidade, muitas vezes nem temos uma durao determinstica, nemtemos uma variao to elevada para estes casos que se torna til recorremos distribuio Erlang-k.

Consideremos um sistema com um processo Poissoniano de chegadas, com taxa ,e com a durao do atendimento de um cliente, T, com mdia 1/ . Imaginemos que sesabe que a durao de cada atendimento nosegue uma distribuio Exponencial e, que seassume que cada atendimento se pode decompor numa sequncia de k estdiosconsecutivos, cada um deles com duraes, Ti, independentes e identicamente distribudas,

com distribuio Exponencial de valor mdio 1/(k).

209


34/43

T1, T2, , Tkv.a. i.i.d.

Ti~ Exponencial de mdia igual a 1/(k)T ~ T1+ T2+ + Tk

T ~ Erlang-k com valor mdio igual a 1/ e varincia igual a 1/(k2)

A distribuio Erlang-k (mais rigorosamente, distribuio Erlang, comparmetros k e ), tem valor mdio igual a 1/ e varincia igual a 1/(k2). Assim, o

coeficiente de variaoda distribuio Erlang-k ser [ 1/( k) ] / [ 1/], ou seja, ser

igual a 1/ k . De notar que como kinflui directamente na varincia da distribuio Erlang-k,costuma designar-se por parmetro de forma.

De notar que o coeficiente de variao da distribuio Erlang-k sempre menor, ouigual a 1 (a igualdade ocorre quando k = 1, i.e., quando a distribuio Erlang-k coincide coma distribuio Exponencial).

Assim, para utilizarmos o mtodo dos estdios, comearemos por calcular ocoeficiente de variao da distribuio da durao do atendimento de um cliente (que ter deser inferior a 1, para que o mtodo se possa utilizar). Imaginemos que o valor mdio eraigual a 15,00 minutos e que o desvio padro era igual a 6,75 minutos ter-se-ia, assim, o

coeficiente de variao igual a 0,45. Fazendo 1/ k= 0,45, vem que k = 4,938, pelo queparece razovel adoptar-se k = 5. Adoptar-se-ia, ento, a distribuio Erlang-k, com k = 5 e= 1/15 (adoptando o minuto como unidade de tempo).

RuyCosta

O Modelo M/Ek/1 pode ser caracterizado a partir da anlise do correspondentediagrama de transio de estados (baseado no processo de nascimento e morte). De notaro cuidado inicial que se ter de ter na designao dos estados: 0; 1,k; 1,k-1; ; 1,2; 1,1; 2,k;; 2, 1; 3,k; ;3, 1; No que diz respeito s chegadas, do estado 0 transita-se para o estado 1,1 com taxa mdia; do estado 1,3 transita-se para o estado 2,3 com taxa mdia No que diz respeitos finalizaes de atendimento (ou, mais precisamente, de estdios de atendimento), passar-se- do estado 2,k-1 para o estado 2,k, deste para o estado 1,1, deste para o estado 1,2, ,para o estado 1,k e, finalmente, para o estado 0, sendo cada taxa mdia de transio igual ak.

Esta designao dos estados poder ser, posteriormente, simplificada para umadesignao unidimensional Em seguida poderemos escrever as equaes de equilbriopara os vrios estados e, aps vrias manipulaes, deduzir alguns resultados.

No entanto, como j apresentmos o modelo mais geral M/G/1, poderemos encarar omodelo M/Ek/1 como um caso particular desse, com

2= 1 / (k 2). Assim, a frmula dePollaczek-Khintchinepara a determinao de Lqser:

Lq =k

k

2

1+

)(

2

210


35/43

Os demais parmetros relevantes podem ser obtidos por aplicao das frmulasapresentadas no modelo M/G/1, bem como alguns resultados gerais (p.ex., L = W).

Para os leitores mais interessados deixamos dois tpicos que podero desenvolvercom leituras complementares da Bibliografia:

1- O mtodo dos estdios tambm aplicvel aos sistemas Ek/M/1e E

k/E

k/1.

RuyCosta

2 Se o coeficiente de variao da distribuio da durao do atendimento de umcliente (/distribuio das chegadas) for maior que 1, poder-se- aplicar o mtodo dosestdios, mas os estdios devero desenvolver-se em paralelo (e no em srie,como se apresentou).

Exerccio FE11

Modelos sem entradas PoissonianasOs modelos M/ / assumem um processo de chegadas Poissoniano (intervalos de

tempo entre chegadas consecutivas independentes e identicamente distribudos, comdistribuio Exponencial). No entanto, em certas situaes, tal poder no ser o maisadequado. Como proceder ento?

Se a durao do atendimento de um cliente for Exponencial, com um parmetro fixo,poderemos obter, de imediato, trs modelos por inverso das distribuies assumidas paraas chegadas e para os atendimentos, nos modelos M/G/1, M/D/1, M/E k/1, obtendo ento osmodelos G/M/1, D/M/1 e Ek/M/1.

O modelo G/M/1 no impe qualquer restrio distribuio associada ao processode chegadas; o modelo D/M/1 assume chegadas a intervalos regulares; o modelo Ek/M/1permite modelar um processo de chegadas que, no sendo Poissoniano, tambm no determinstico (intervalos de tempo constantes). Para alguns destes modelos, bem como assuas verses com mltiplos servidores, foi possvel representar graficamente algumasrelaes com interesse.

211


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MODELOS DE FILAS DE ESPERA COM DUISCIPLINA PRIORITRIA

Em certos sistemas de filas de espera o atendimento no feito apenas por ordemde chegada, mas existe um sistema de prioridades, pelo que o atendimento de um cliente feito pela respectiva prioridade.

O tratamento analtico de sistemas com prioridades , obviamente, mais complicadodo que o de sistemas sem prioridades. Como consequncia, apenas se dispemaioritariamente de resultados para o caso de um nico servidor. Contudo, h um sistemacom mltiplos servidores que apresenta resultados interessantes. Caracterizemo-lo:

Assume-se que existem N classes de prioridade(a classe 1 com prioridade

mais elevada e a classe N com mais baixa prioridade). Os clientes so atendidospor ordem das suas classes de prioridade e, dentro da cada classe, por ordem dechegada;

Assume-se que o processo de chegadas Poissoniano, permitindo-se que ataxa de chegadas de clientes das vrias classes possa ser diferente;

Assume-se que as duraes de atendimento so Exponenciais para cadaclasse, assumindo-se, adicionalmente, que a durao mdia de atendimento igualpara todas as classes.

De notar que, se se ignorar as prioridades, estaremos perante o modelo M/M/S.Assim, quando contabilizarmos o nmero totalde clientes no sistema, poderemos consideraras distribuies limite apresentadas para o modelo M/M/S. Consequentemente, para umcliente seleccionado aleatoriamente, so vlidas as expresses obtidas para L, Lq, W e Wqnesse modelo. O que muda a distribuio do tempo de espera: num modelo comprioridades a varincia da distribuio do tempo de espera aumenta teremos clientes deprioridade mais elevada com tempos de espera mais baixos do que ocorreriam com adisciplina FIFO sem prioridades e, como se esperaria, clientes de prioridade mais baixa comtempos de espera mais elevados O que no de estranhar j que se pretende melhoraro desempenho do sistema no que diz respeito aos clientes de mais elevada prioridade, custa de um pior desempenho para os clientes de mais baixa prioridade.

RuyCosta

Assim, importante calcular o tempo de espera mdio para um cliente de cadaclasse de prioridade.

Assumamos que prioridades no absolutas (nonpreemptive priorities), i.e.,um cliente que est a ser atendido, no v o seu atendimento interrompido pela chegada deum cliente com mais elevada prioridade.

Assumindo prioridades no absolutas, Wk, o tempo de espera mdiopara um cliente da classe de prioridade k(incluindo a durao do atendimento) ser

dado por:

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Wk=

1

..

1

1

+ kk BBA

, para k = 1, 2, , N

Com A = .!

!1

0

Sjr

rSS

S

j

j

S +

=

,

= 1,0B

SB

k

i

i

k

== 11 , para k = 1, 2, , N,

e S = nmero de servidores,= taxa mdia de servio por cada servidor ocupado,i = taxa mdia de chegadas da classe de prioridade i, i = 1, 2, , N

= =

N

i 1

i e

r = /

Estes resultados assumem que =

k

i 1

I < S . , de modo a que a classe de

prioridade k possa atingir um estado de equilbrio. Para cada classe de prioridade aplica-sea Frmula de Little, pelo que o nmero esperado de clientes da classe deprioridade k no sistema(incluindo os que esto a ser atendidos)ser

RuyCosta

Lk= k. Wk, para k = 1, 2, N.

Notas: 1) Para a classe k, o tempo mdio de espera a aguardar atendimento,ser igual a Wk1 / para k = 1, 2, N;

2) O comprimento mdio da fila de espera correspondente classe kser igual a k. ( Wk1 / ), para k = 1, 2, N.

3) Se S = 1, A = 2/ .

Assumindo prioridades absolutas (preemptive priorities), i.e., o atendimentode um cliente ser interrompido (e re-enviado para a fila de espera) pela chegada de umcliente com mais elevada prioridade, e mantendo as demais hipteses j referidas, Wk, otempo de espera mdio para um cliente da classe de prioridade k(incluindo adurao do atendimento) ser, para um nico servidor, dado por:

213


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Wk=kk BB .

/1

1

, para k = 1, 2, , N.

Lk= k. Wk, para k = 1, 2, N.

Para o caso de mltiplos servidores, dever-se- adoptar m processo iterativo (paraos leitores mais interessados, recomenda-se a consulta de Hillier e Lieberman).

Os correspondentes resultados para a fila de espera (excluindo os clientes que estoa ser atendidos) obtm-se a partir de Wk e Lk com se referiu para as prioridades noabsolutas.

Refira-se, finalmente, que dado que a distribuio Exponencial no tem memria, asinterrupes de atendimento no afectam, em mdia, o processo de atendimento: a duraomdia total do atendimento continua a ser igual a 1 / . Quando um cliente com atendimentointerrompido voltar a ser atendido, a distribuio da durao do atendimento restantecontinuar a mesma. De notar que tal no ocorre para nenhuma outra distribuio dadurao de um atendimento !

RuyCosta

Exerccio FE12

214


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REDES DE FILAS DE ESPERA

At agora temos vindo a considerar sistemas de Filas de Espera com um nico local

de atendimento (ainda que com um ou mais servidores). No entanto, em muitas situaesreais, um cliente tem de passar por uma sequncia de filas de espera (seguindo, ou no,uma determinada ordem) o output de algumas dessas filas ser o input de outras.Estaremos, assim, perante um sistema de redes de filas de espera. Quando tal ocorre, importante estudar globalmente a rede para determinar o tempo total de espera, ou onmero total de clientes no sistema.

Dada a dificuldade de modelao destes sistemas, a maior parte dos modelosdivulgados assume processos Poissonianos de chegada e duraes de atendimentoexponenciais.

Filas ilimitadas em srieConsideremos um sistema constitudo por k filas (sem limite de capacidade), em

srie), como se esquematiza em seguida:

Estdio 1 Estdio 2 Estdio k

Output 1 == Input2

Output 2 == Input3

Output k-1 == Input k

Taxade

entrada

Sada

S1servidoresTaxa 1

S2servidoresTaxa 2

SkservidoresTaxa k

O importantssimoTeorema de Jackson, garante-nos que:

Se(1) o processo de chegadas dos clientes a um sistema de espera for

Poissoniano com taxa ,(2) as duraes dos atendimentos dos servidores em cada estdio

forem exponenciais, com parmetro i, e(3) cada estdio permitir a formao de uma fila ilimitada (modelo

M/M/S), com S.> ,

ento o processo de sadas dos clientes de cada estdio do sistema de espera Poissoniano, com taxa .

RuyCosta

Faamos alguns comentrios breves ao Teorema de Jackson:

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i) De notar queno feita qualquer restrio disciplinadas filas !

ii) Se o processo de sadas dos clientes de cada estdio do sistema de espera Poissoniano, com taxa , ento o processo de chegadas a cada estdio Poissoniano, com taxa .

iii) Em condies de equilbrio, cada estdio k poder ser analisadoindependentemente dos outros: ser alimentado por um processoPoissoniano de chegadas, ter Sk servidores, com durao de atendimentoexponencial, com taxa k: assim, poder ser tratado com um modelo M/M/Sk(com, ou sem prioridades).

iv) Infelizmente, na realidade, nem sempre possvel garantir a formao defilas ilimitadas em todos os estdios, pelo que o Teorema de Jackson nemsempre poder ser invocado.

Realcemos, pela sua extraordinria importncia, o terceiro comentrio acimaapresentado. A possibilidade de se utilizar um modelo M/M/S para cada estdio,independentemente dos outros, uma enorme simplificao. Por exemplo, a probabilidadeconjunta de se ter n1clientes no estdio 1, n2clientes no estdio 2, , nkclientes no estdiok poder, assim, obter-se simplesmente como o produto das probabilidades individuais:

RuyCosta

P( N1= n1N2= n2 Nk= nk) = Pn1. Pn2. . Pnk

Esta forma da soluo designa-se por forma de produto (product form). Ossistemas com filas com capacidade limitada no apresentam solues na forma de produto !

Exerccio FE13

Redes de Jackson

A utilizao dos modelos M/M/S independentemente para cada estdio ocorretambm noutros contextos, para alm das filas ilimitadas em srie. As Redes de Jacksontambm permitem essa abordagem. Nas filas ilimitadas em srie os clientes tm depercorrer obrigatoriamente todos os estdios, em sequncia (estdio1, estdio2, , estdiok); nas redes de Jackson os clientes podem nem visitar todos os estdios, podero visit-lospor qualquer ordem e, para cada estdio, os clientes podero ser provenientes quer deoutros estdios, quer do exterior (segundo um processo Poissoniano). Resumamos, ento,as caractersticas deste tipo de sistema:

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Uma Rede de Jackson um sistema de k estdios, onde o estdio i (i = 1,2, , k) tem:

1) uma fila ilimitada;2) os clientes chegam do exterior do sistema de acordo com um processo

Poissoniano com parmetro ai e3) Si servidores, que asseguram uma distribuio de atendimentoexponencial, com parmetro i.

Um cliente que deixe o estdio i segue para outro estdio j (j = 1, 2, , k e j i)

com probabilidade pij, ou partir do sistema com probabilidade qi= 1 - p=

k

ijj 1

ij.

Em situao de equilbrio,cada estdio j de uma rede de Jackson (j = 1,

2, , k) comporta-se como se fosse um sistema M/M/S independente, com taxade chegadas i:

j = aj + =

k

jii 1

i.pij, com Sj.i> j

Intuitivamente poderemos compreender este resultado, recordando- -nos que ocarcter Poissoniano de um processo de Poisson no afectado pela desagregao doprocesso, ou pela sua agregao a outros processos Poissonianos. Ora se sabemos que oprocesso de sadas de cada estado Poissoniano, se sabemos que o processo de chegadasdo exterior Poissonano (que se desagregar, em contribuies para entradas em cadaestdio directamente do exterior), pode concluir-se que o processo de entrada em cadaestdio uma agregao de contribuies Poissonianas e, assim, um processoPoissoniano.

RuyCos

ta

Exerccio(Hillier e Lieberman):

Considere uma Rede de Jackson, com os dados seguintes:

PijEstdio j Sj j aj i = 1 i = 2 i = 3

j = 1 1 10 1 0,1 0,4j = 2 2 10 4 0,6 0,4j = 3 1 10 3 0,3 0,3

a) Determine as taxas de entrada nos diferentes estdios.b) Determine o nmero total de clientes no sistema.c) Determine o tempo total esperado de permanncia no sistema por cliente.

217


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a) Escrevamos as equaes j = aj + =

k

jii 1

i.pij:

1 = 1 + 0,1 2 + 0,4 32 = 4 + 0,6 1 + 0,4 33 = 3 + 0,3 1 + 0,3 2

Resolvendo o sistema, obtm-se 1 = 5, 2= 10, 3= 7,5.

Assim, podemos considerar que, para cada estdio i, se tem um sistema M/M/S cm taxa deentradas i, taxa de servio ie Siservidores.

b)Estado 1: fila M/M/1, com 1 = 5 e 1= 10.= 5/10 = 0,5; Pn=

n. P0 e P0= 1 - , ou seja, Pn1= 0,5n+1

L = /(-), ou seja L1= 1.

Estado 2: fila M/M/2, com 1 = 10 e 1= 10.

1/3, para n2= 0= 10/(10 . 2) = 0,5; P0= 1/3, ou seja, Pn2= 1/3, para n2 =1(1/3)).(1/2)n2 + 1para n2 2

L = Lq+ / = P0. (/)S./ ( S! . (1-)2) + /, ou seja L2= 4/3.

RuyCosta

Estado 3: fila M/M/1, com 1 = 7,5 e 1= 10.= 7,5/10 = 0,75; Pn=

n. P0 e P0= 1 - , ou seja, Pn3= 0,75n. 0,25

L = /(-), ou seja L3= 3.

Assim, a funo de probabilidade conjunta (no pedida), pode escrever-se na forma produto:

P (N1= n1N2= n2N3= n3) = Pn1. Pn2. Pn3

Quanto ao nmero de clientes no sistema, teremos L = L1+ L2+ L3= 5,33(3).

c) A determinao do tempo total esperado de permanncia no sistema por cliente nopode ser feita to imediatamente. Com efeito, como nem todos os clientes so obrigados air a todos os estdios, no poderemos somar os tempos correspondentes a cada estdio.No entanto poderemos ainda utilizar a Frmula de Little, considerando que a taxa global dechegadas de clientes vindos do exterior = a1+ a2+ a3= 8. Assim, W = L/ = 2/3(unidades de tempo).

Exerccio FE14

Naturalmente, as Redes de Filas de Espera no se esgotam nos dois modelosapresentados. As filas de espera com bloqueio (devido limitao da capacidade dasfilas em srie, quando uma fila a jusante atinge o seu limite de capacidade, produz-se umbloqueio nas filas a montante, impedindo a o processamento de clientes), as redesfechadas de Jackson (que consideram uma populao limitada a N clientes, quecontinuamente re-alimentamo sistema) e as filas cclicas(rede fechada em que o output da1 fila o input da 2 fila, o output da 2 fila o input da 3 fila, , o output da k-sima fila oinput da 1 fila) so algumas extenses das Redes de Filas de Espera. O leitor interessado

nalgum destes tpicos remetido para a Bibliografia (em particular, Gross, D. and C. Harris,Fundamentals of Queueing Theory, J. Wiley, New York (1985)).

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CONCLUSO

A importncia das Filas de Espera evidente no dia-a-dia e em variadoscontextos. Assim, evidente que a gesto adequada de um sistema de filas de espera temrepercusses na qualidade de vida e na produtividade.

Na modelao matemtica de sistemas de filas de espera a distribuioExponencial tem um papel fulcral, ainda que em determinadas situaes possa ser tilconsiderar outras distribuies, nomeadamente a Erlang-k.

De referir ainda a necessidade de, em certos sistemas, se tornar necessrio separaros clientes em diferentes classes, cada uma das quais com um nvel de prioridadedistinto.

Quando um cliente precisa de recorrer a vrios servios, num mesmo sistema, torna-

se til model-lo como uma rede de filas de espera.Refira-se, finalmente, que quando h particularidades especiais, no contempladas

em qualquer modelo conhecido, poderemos recorrer simulao de filas de espera.

RuyCosta

BIBLIOGRAFIA ESPECFICA

Gross, D. and C. Harris, Fundamentals of Queueing Theory, J. Wiley, New York (1985).

Hillier, F. and G. Lieberman, Introduction to Operations Research, McGraw-Hill Int.Editions (5 ed., 1990);

Winston, W, Operations Research Applications and Algorithms, Duxbury Press (1994)

Documents

Filas Espera