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ESTUDIO DE LA PROPAGACIÓN DE UNA FISURA SEMIELÍPTICA CONTENIDA EN UN EJE
SOMETIDO A FLEXIÓN ROTATORIA CUASIESTÁTICA
P. Rubio, L. Rubio*, B. Muñoz-Abella
Departamento de Ingeniería Mecánica. Universidad Carlos III de Madrid
Avenida de la Universidad, 30, 28911 Leganés - Madrid
* E-mail: lrubio@ing.uc3m.es
RESUMEN
Los fallos debidos a la propagación de fisuras de fatiga en ejes son uno de los problemas más frecuentes en máquinas
rotatorias pues pueden provocar daños irreversibles y poner en riesgo vidas humanas. Una fisura en un eje se abre y
cierra a lo largo de un giro en lo que se denomina “breathing mechanism” (mecanismo de apertura y cierre), lo que hace
que el comportamiento del eje se convierta en no lineal. En este trabajo se presenta el análisis cuasiestático de la
propagación de una fisura semielíptica contenida en un eje, sometido a flexión rotatoria, teniendo en cuenta el
comportamiento no lineal del eje. Para conseguir este objetivo se ha mejorado un algoritmo de propagación que permite
obtener la evolución de la fisura a lo largo del tiempo, basado en la ley de Paris-Erdogan. Su principal aportación radica en que los avances del frente de fisura a lo largo del tiempo han sido calculados partiendo de valores del Factor de
Intensidad de Tensiones (FIT) calculados a partir de una expresión que tiene en cuenta el “breathing mechanism” y el
comportamiento no lineal del eje.
PALABRAS CLAVE: Ejes fisurados, crecimiento de fisuras, mecanismo de apertura y cierre, fisuras semielípticas
ABSTRACT
Due to cyclic loading conditions, cracks frequently appear in rotating machines. The propagation of fatigue cracks in
shafts can cause severe accidents with high risks for people. During the rotation of the cracked shaft, the crack
contained in it opens and closes in what is called the breathing mechanism and consequently the behavior of the shaft becomes non-linear. In the present work, the propagation of a semi-elliptical crack contained in a rotating shaft has been
analyzed. To this end an integration algorithm which allows obtaining the crack front evolution has been improved.
This procedure utilizes the Paris-Erdogan law to determine the advance at a few points along the crack front and uses
the general expression that gives the Stress Intensity Factor (SIF) along the crack front of an elliptical crack in a rotating
shaft taking into account the breathing mechanism and considering the nonlinear behavior of the cracked shaft.
KEYWORDS: Cracked shafts, crack growth, breathing mechanism, semielliptical cracks
1. INTRODUCCIÓN
Una gran parte de los fallos en servicio de las máquinas
rotatorias de responsabilidad (turbinas, bombas, rotores,
compresores, etc.), se producen habitualmente por la
presencia y propagación de fisuras de fatiga en sus
componentes. Los ejes, que son uno de los componentes
principales de estas máquinas, trabajan en rotación y
están sometidos a esfuerzos de flexión y torsión que
producen tensiones variables a lo largo del tiempo, que
pueden hacer propagar la fisura como consecuencia de
la fatiga.
Un aspecto a tener en cuenta en el comportamiento de
ejes fisurados es el estado de apertura/cierre de la fisura
contenida en un eje giratorio. Este mecanismo de
apertura y cierre se ha modelado de diferentes formas, la más realista de ellas es la que considera que la fisura se
abre y se cierra de forma gradual, teniendo en cuenta
estados de apertura y cierre parciales de la misma [1].
La velocidad de crecimiento de la fisura depende de la
variación del Factor de Intensidad de Tensiones (FIT),
según describe la ley de Paris-Erdogan. Por lo tanto, a
partir del conocimiento del FIT en el frente de fisura a
lo largo de un giro del eje es posible analizar la
evolución de la misma. Diferentes autores han estudiado
la propagación de fisuras semielípticas en barras
cilíndricas sometidas a flexión tomando como base la ley de Paris-Erdogan. Entre ellos, Carpinteri [2]
propone un modelo en el que el FIT depende del grado
de apertura de la fisura durante el giro, que es similar al
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del modelo de Línea de Cierre de Fisura (LCF) [3],
mientras que el modelo de Toribio et al. [4] ha sido
desarrollado a partir de valores del FIT únicamente para
posiciones de giro en las que la fisura está
completamente abierta.
En este trabajo se presenta el análisis cuasiestático de la
propagación de una fisura semielíptica contenida en un
eje sometido a flexión rotatoria. Para ello se ha
mejorado un algoritmo de integración basado en la ley
de Paris- Erdogan que permite obtener la evolución del frente de la fisura a lo largo del tiempo, tomando como
datos de entrada en cada paso de integración los valores
del FIT obtenidos de la expresión cerrada que se puede
encontrar en trabajos previos de los autores [5]. El
modelo de propagación propuesto tiene en cuanta el
mecanismo de apertura/cierre de la fisura a lo largo de
un giro del eje, así como el comportamiento no lineal
del mismo.
2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
2.1. Modelo de eje fisurado
Se ha considerado un eje de aluminio (E=72GPa, ν= 0.3
y ρ=2800 kg/m3) de longitud L= 900mm y diámetro
D=20mm que contiene en su sección central una fisura
transversal de frente semielíptico de profundidad a. El
eje se encuentra biapoyado y sometido a sendas cargas
puntuales F=100 N, que se aplican a una distancia d de
los extremos del mismo (figura 1) asegurando estado de
flexión pura en la sección fisurada.
Figura 1. Modelo geométrico del eje fisurado.
Los parámetros característicos que definen la fisura
elíptica son (ver figura 2):
profundidad de la fisura a
α= 0,0.5D
(1)
factor de forma a
= 0,1b
(2)
posición relativa en el frente w
= -1,1h
(3)
Figura 2. Parámetros característicos de la fisura.
La posición de la fisura a lo largo de una rotación del
eje está caracterizada por el ángulo 0,2 . Para el
valor =0 la fisura se encuentra completamente abierta
y en el caso de =π está completamente cerrada.
2.2. Factor de Intensidad de Tensiones
Los valores del FIT adimensional utilizados como datos
de entrada en el modelo propuesto se han obtenido de la
expresión cerrada, que tiene en cuenta el mecanismo de
apertura/cierre de la fisura y el comportamiento no
lineal del eje, desarrollada por los autores en trabajos previos [5]. La citada expresión permite calcular el
valor del FIT adimensional en todos los puntos del
frente de una fisura (γ) conocidos los valores de α, β y
en cada caso.
3. DESARROLLO DEL MODELO
3.1. Procedimiento de cálculo
El modelo propuesto permite conocer la evolución a lo
largo del tiempo de una fisura inicial de tamaño y forma
conocidos mediante la integración de un algoritmo
desarrollado basado en la Ley de Paris-Erdogan. De acuerdo con otros trabajos [2,4,6], se asume que el
frente de fisura avanza según la expresión (4):
m
I
da=CΔK
dN (4)
donde da/dN es la tasa de crecimiento de la fisura, ΔKI
es el incremento del FIT, C y m son constantes que
dependen del material que en este caso se han tomado
como 45·10-9 y 2.9, respectivamente.
El frente de fisura se ha dividido en 12 segmentos
iguales que se corresponden con valores de γ entre 1 y -
1. En cada uno de estos puntos se ha calculado el FIT en
modo I según la expresión (5):
I IK =F σ πa (5)
donde σ es la tensión de referencia que se ha tomado
como la máxima tensión de flexión del eje sin fisura, y
FI es el FIT adimensional en modo I calculado según se
puede encontrar en [5].
Se determina el incremento del FIT a lo largo de un giro
completo para cada punto según la ecuación (6):
I, giro completo I, max I, minK =K K (6)
KI,max y KI,min son, respectivamente, los valores máximo
y mínimo del FIT durante un giro completo. En la figura
3 se muestra una curva tipo para un valor de γ genérico.
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Teniendo en cuenta que, independientemente del punto
en el frente que se considere, KI,min=0:
I, giro completo I, maxK =K (7)
Figura 3. FIT máximo y mínimo para un γ genérico
durante un giro completo.
El avance de la fisura Δa se obtiene integrando la ley de Paris-Erdogan, de forma que para un punto cualquiera
del frente se puede expresar según (8):
m
IΔa=ΔN C ΔK (8)
siendo ΔN el número de ciclos necesarios para alcanzar
un valor determinado de Δa.
Por otra parte, se supone que el frente de fisura se puede
modelar como una elipse de centro O situado en la
superficie del eje, con semieje menor a y semieje mayor
b, como se muestra en la figura 2. De forma que para calcular, una vez que la fisura ha propagado, el nuevo
de frente, en primer lugar, se fija el avance del punto
central del frente, Δa(A), y, posteriormente, se calculan
los avances del resto de los puntos, Δa(Pj), donde j es el
número de puntos en el frente, mediante la expresión
(9) (ver figura 4):
m
I j
j
I
ΔK PΔa P =Δa A
ΔK A
(9)
Figura 4. Avance local del frente de fisura para cada
punto del mismo.
A partir de los nuevos puntos obtenidos, A’ y Pj’,
realizando un ajuste por el método de mínimos
cuadrados, se define un nuevo frente elíptico con
semiejes a’ y b.’ El proceso se repite iterativamente
hasta alcanzar una profundidad de fisura final que se
habrá de fijar previamente.
En la figura 5 se muestra un esquema del procedimiento
seguido.
Figura 5. Diagrama de flujo del procedimiento.
3.2. Determinación del avance inicial óptimo
Según se puede ver en la figura 5, para aplicar el
algoritmo es necesario fijar un valor del avance en el
frente de fisura, Δa(A), en cada iteración, que además se
mantendrá constante para todas ellas.
Con el objeto de determinar el valor óptimo de este dato
de entrada se ha realizado un análisis de sensibilidad. En
él se ha estudiado, para una configuración inicial dada,
cómo evolucionan la forma (β) y profundidad (α) de la fisura durante la propagación para diferentes valores de
Δa(A). Se ha partido de un valor de Δa(A)=0.05D y se
ha ido disminuyendo hasta que se ha conseguido la
convergencia en los resultados. En la figura 6(a) se
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muestra el resultado obtenido para el caso de
profundidad relativa inicial α0=0.05 y factor de forma
inicial β0=0, y en la figura 6(b) para α0=0.05 y β0=1. En
ambos casos se observa que la convergencia se logra
para Δa(A)=0.005D, valor elegido para realizar el
estudio de la propagación de la fisura. Para otros casos
de configuración inicial se han obtenido resultados
similares en el estudio de sensibilidad.
(a)
(b)
Figura 6. Análisis de sensibilidad de Δa(A).
3.3. Validación del modelo propuesto
La validación del algoritmo propuesto se ha realizado
comparando los resultados obtenidos con otros
disponibles en la literatura.
En primer lugar se ha comparado con los resultados de
Toribio et al. [4], modelo aplicable para esfuerzos de
flexión cuando la fisura se encuentra completamente abierta. En la figura 7 se muestra la comparación, entre
los datos de [4] y los resultados del modelo propuesto
en este trabajo, de la evolución del frente de fisura
(variación temporal de α y β) para las siguientes
configuraciones iniciales: α0=0.1 y β0=0; α0=0.3 y β0=0;
α0=0.5 y β0=0; α0=0.1 y β0=0.5. Los resultados de
ambos modelos presentan buena concordancia. En
ambos casos, para las geometrías iniciales estudiadas, la
fisura se hace más elíptica hasta un cierto valor de la
profundidad y, a medida que se propaga, tiende a
hacerse más recta hasta que β=0.3.
Figura 7. Comparación entre los resultados del modelo
propuesto y los de la ref. [4].
En segundo lugar, cuando el eje está sometido a flexión
rotatoria la fisura se abre y cierra continuamente con el
giro. En la figura 8 se puede ver la comparación de
ambos resultados para las siguientes configuraciones
iniciales: α0=0.1 y β0=0, α0=0.1 y β0=0.2, α0=0.1 y
β0=0.3, α0=0.1 y β0=0.4, α0=0.1 y β0=0.5.
Figura 8. Comparación entre los resultados del modelo
propuesto y los de la ref. [2].
Se puede observar en la figura 8 que las curvas correspondientes a ambos modelos siguen la misma
tendencia, inicialmente el frente de fisura se hace más
elíptico pero, a medida que la fisura progresa, se
convierte en más recto. Las discrepancias observadas
entre los dos modelos se deben a los datos de FIT
utilizados en cada uno de ellos [5]. En este sentido,
cuando la fisura está completamente abierta los datos de
FIT de partida usados en ambos modelos son similares,
sin embargo, cuando está parcialmente abierta aparecen
diferencias debido a que el porcentaje de fisura abierta
que consideran ambos modelos no es el mismo. Por último, cuando la fisura está completamente cerrada, el
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modelo [2] utiliza valores del FIT negativos mientras
que el modelo propuesto considera que estos valores
deben ser nulos.
4. RESULTADOS
4.1. Evolución del frente de fisura
En la figura 9 se puede ver la propagación de la fisura
para los casos de profundidad relativa α0=0.05 y
diferentes valores iniciales del factor de forma: β0=0, 0.5, 1. Mientras que en la figura 10 se muestra la
evolución de los valores de α frente a β para los casos
de profundidad relativa α0=0.05 y los valores iniciales
del factor de forma: β0=0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.
Figura 9. Propagación de la fisura para una
profundidad inicial de αo = 0.05 y distintos βo.
Figura 10. Evolución β y α, para una profundidad
inicial de αo = 0.05 y distintos βo.
En las figuras 9 y 10 se observa que,
independientemente de la forma inicial, las fisuras
tienden a adoptar la misma forma final, es decir, a
adoptar una forma más recta con el crecimiento. En el
caso de que la forma de partida ya sea recta (β0=0),
primero crece haciéndose elíptica y posteriormente
vuelve a tomar la forma recta. Para el caso de que la
fisura inicial sea mayor de α0=0.05 la evolución del
frente durante el crecimiento es similar.
Aunque la mayoría de los autores consideran que las fisuras tienen forma convexa, ver figura 11(a), también
se pueden encontrar trabajos en la literatura que las
consideran con forma cóncava, por ejemplo [7], ver
figura 11(b).
Figura 11. Formas típicas del frente: (a) convexa
(b) cóncava.
Cuando el FIT es mayor en el centro del frente de fisura
que en los extremos, éste tiende a hacerse más elíptico con el crecimiento, ver figura 12(a). Sin embargo,
cuando el FIT es más pequeño en el centro que en los
extremos, ver figura 12(b), la fisura tiende a hacerse
más recta hasta que llega a un valor de β=0. A partir de
ese momento se puede sospechar que el frente cambiaría
de forma y adquiriría una forma cóncava.
En la Tabla 1 se pueden ver los valores de α para los
cuales probablemente la forma del frente cambiará de
convexa a cóncava, para todas las geometrías iniciales
estudiadas.
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Figura 12. FIT máximo en el centro y el extremo del
frente para los casos de α=0.1 (a) y α=0. 5 (b).
Tabla 1. Valor de α en el que el frente de fisura pasaría
de convexo a cóncavo para diferentes configuraciones
iniciales.
β0=0 β0=0.25 β0=0.5 β0=0.75 β0=1
α0=0.05 0.42 0.44 0.45 0.45 0.45
α0=0.1 0.38 0.41 0.435 0.445 0.445
α0=0.15 0.345 0.38 0.425 0.445 0.45
α0=0.2 0.31 0.36 0.42 0.45 0.46
α0=0.25 0.27 0.36 0.43 0.465 0.475
α0=0.3 0.3 0.375 0.445 0.485 0.495
α0=0.35 0.35 0.405 0.47 >0.5 >0.5
α0=0.4 0.4 0.45 >0.5 >0.5 >0.5
α0=0.45 0.45 0.485 >0.5 >0.5 >0.5
5. CONCLUSIONES
En este trabajo se ha presentado el estudio de la
propagación de una fisura de frente semielíptico en un
eje rotatorio sometido a flexión. Con tal propósito se ha
mejorado un algoritmo basado en la ley de Paris-
Erdogan que permite obtener la evolución del frente de fisura a lo largo del tiempo así como el número de
ciclos necesarios para alcanzar una determinado
profundidad de fisura prefijada. Este algoritmo toma
como datos de partida unos valores del Factor de
Intensidad de Tensiones [5] que tienen en cuenta el
mecanismo de apertura/cierre de la fisura y el
comportamiento no lineal del eje.
El modelo propuesto ha sido validado mediante la
comparación de los resultados obtenidos con otros
disponibles en la literatura, encontrándose buena
concordancia en todos los casos. Posteriormente se ha analizado la evolución de la fisura para diferentes
configuraciones iniciales de la misma. Las conclusiones
más importantes extraídas son las siguientes:
Independientemente de la forma inicial de la
fisura, ésta tiende a hacerse recta con su
crecimiento. Si inicialmente es recta, primero
tiende a hacerse elíptica para, posteriormente,
volver a adoptar la forma recta.
Una fisura inicialmente convexa o recta,
cuando al propagase alcanza la forma recta, presumiblemente cambiará la forma del frente
y tomará una forma cóncava.
AGRADECIMIENTOS
Los autores desean agradecer al Ministerio de Ciencia e
Innovación por su financiación para la realización de
este trabajo a través del proyecto DPI2013-45406-P.
REFERENCIAS
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multi-rotor-bearing system containing a transverse
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rotor, Journal of Sound and Vibration 269, 33-60,
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Materials and Structures 32, 223-232, 2009.
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