View
217
Download
3
Category
Preview:
DESCRIPTION
Estudos especiais.
Citation preview
Ilha SolteiraIlha Solteira
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO”
Câmpus de Ilha Solteira - SP
FERNANDO DA CRUZ PEREIRA
Implementação da técnica de demodulação de fase óptica em
quadratura em sensor óptico de amplitude.
Estudos Especiais II
Comissão Examinadora:
Prof. Dr. Cláudio Kitano - Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira - Orientador
Prof. Dr. Carlos Antônio Alves - Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira
Prof. Dr. Dilson Amâncio Alves - Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira
Ilha Solteira - SP
2014
RESUMO
O grupo de estudos do Laboratório de Optoeletrônica (LOE) daFEIS-UNESP trabalha há vá-
rios anos na área de interferometria óptica. A expressão geral da transmissão (razão entre o
retardo de fase e a tensão aplicada) de um modulador eletro-óptico de intensidades é idêntica
à expressão do sinal fotodetectado na saída de um interferômetro de dois feixes. Em 2014, um
novo método de detecção interferométrica de fase óptica foiinvestigado no LOE, sendo denomi-
nado de método dePhase unwrapping. Este método é imune ao fenômeno de desvanecimento,
consegue medir o tempo de atraso entre o estímulo e a resposta, tem ampla faixa dinâmica,
também reconstrói a forma de onda do sinal de modulação sem a necessidade de aplicação de
filtros, possuindo, ainda, a capacidade de demodular sinaisde modulação com formas de ondas
não periódicas. Beneficiando-se dessas informações, promoveu-se a adaptação do método de
Phase unwrappinga um sensor óptico de tensão (SOT) elevada em configuração de quadra-
tura de sinais, a base do efeito eletro-óptico linear em cristais de niobato de lítio. Por meio do
método de demodulação apresentado, realizou-se testes experimentais em um SOT. Obteve-se
gráficos para comparação com os sinais de entrada e de saída reconstruídos pelo método de
Phase unwrapping, bem como os espectros harmônicos dos sinais de alta tensão.
Palavras-chave:Sensor óptico de tensão elevada. Efeito eletro-óptico. Detecção de fase óptica.
Phase unwrapping.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Elipsoide de índices de refração.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Figura 2 Rotação de eixos em torno do eixo cristalinoX1. . . . . . . . . . . . . . . 20
Figura 3 Célula Pockels paralela.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Figura 4 Célula Pockels longitudinal.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Figura 5 Esquema do sensor eletro-óptico de amplitude com campo elétrico externo
aplicado em Z e propagação óptica em Y.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Figura 6 Padrão de interferência experimental devido ao espalhamento da luz no cristal. 25
Figura 7 Esquema do novo sensor eletro-óptico de amplitude com campo elétrico ex-
terno aplicado em Y e propagação óptica em Z.. . . . . . . . . . . . . . . 29
Figura 8 Padrão de interferência experimental devido ao espalhamento da luz no cristal. 30
Figura 9 Exemplos de sinais de entrada e saída do interferômetro.. . . . . . . . . . 34
Figura 10 Esquema do sensor eletro-óptico de amplitude com sinais de saída em qua-
dratura de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Figura 11 Figura de Lissajous obtida de dois sinais interferométricos em quadratura per-
feita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Figura 12 Medição deΨ(t) através de dois sinais em quadratura.. . . . . . . . . . . 39
Figura 13 Figura de Lissajous de sinais simulados: a) Sinais com erros de quadratura;
b) Sinais após a correção de quadratura.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Figura 14 Processo dephase unwrapping.(a) Função (59) obtida pelo Matlab. (b) Fun-
ção (71) comphase unwrapping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Figura 15 Círculos trigonométricos com os sinais para as funções: a) Cosseno; b)Seno;
c) Tangente.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Figura 16 Determinação do arco tangente no quadrante correto.. . . . . . . . . . . . 45
Figura 17 Resultado obtido do processo de phase unwrapping quandoFs não atende (73).46
Figura 18 Esquema de montagem do SOT.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Figura 19 Célula Pockels para baixas tensões, contendo cristal e eletrodos de placas
paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Figura 20 Montagem experimental do SOT em quadratura para baixa tensão.. . . . . 49
Figura 21 Instrumentação utilizada no SOT em quadratura para baixa tensão.. . . . . 49
Figura 22 Gráfico com os sinais senoidais de entrada e reconstruído adquiridos doSOT. 50
Figura 23 Gráfico com os sinais triangulares de entrada e reconstruído adquiridosdo SOT. 51
Figura 24 Gráfico com os sinais arbitrários de entrada e reconstruído adquiridos do SOT. 52
Figura 25 Gráfico: a) Sinal arbitrário aplicado na entrada do SOT e b) Sinais de saída
em quadratura de fase do SOT.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Figura 26 Gráfico contendo a figura de Lissajous dos sinais de saída apresentados na
Figura 25b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Figura 27 Célula Pockels para altas tensões, contendo cristal e eletrodos de placaspara-
lelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Figura 28 Montagem experimental do SOT em quadratura para alta tensão.. . . . . . 55
Figura 29 Sistema de amplificação para tensões elevadas.. . . . . . . . . . . . . . . 55
Figura 30 Gráfico com os sinais senoidais de entrada e reconstruído em altas tensões
adquiridos do SOT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Figura 31 Gráfico com os sinais de entrada e reconstruído adquiridos do SOT de uma
forma de onda triangular distorcida.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Figura 32 Componentes harmônicas do sinal de entrada e sinal reconstruído de uma
forma de onda triangular distorcida.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Figura 33 Gráfico com os sinais de entrada e reconstruído adquiridos do SOT de uma
forma de onda com elevado conteúdo harmônico.. . . . . . . . . . . . . . 58
Figura 34 Componentes harmônicas do sinal de entrada e sinal reconstruído de uma
forma onda com elevado conteúdo harmônico.. . . . . . . . . . . . . . . 59
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
DEE Departamento de Engenharia Elétrica
DSP Processador de sinais digitais (Digital Signal Processor)
FEIS Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira
FFT Transformada rápida de Fourier (Fast Fourier Transform)
GPIB Barramento de interface de uso geral (General Purpose Interface Bus)
He-Ne Hélio-Neônio
Jm & Jm+2 Método de demodulação de fase óptica baseado na análise espectral
LiNbO3 Niobato de Lítio
LOE Laboratório de Optoeletrônica
MOEMS Sistemas micro-optoeletromecânicos (Micro-Opto-Electro-Mechanical Systems)
n-CPM Método de demodulação de fase óptica baseado na análiseespectral
PIN Fotodiodo pin (Positive-Intrinsic-Negative)
PM Modulação de fase (Phase Modulation)
SOT Sensor Óptico de Tensões
SSA Método de Segmentação do Sinal Amostrado
UNESP Universidade Estadual Paulista
USB Interface serial universal (Universal Serail Bus)
LISTA DE SÍMBOLOS
ηi j Tensor impermeabilidade dielétrica
ε Tensor dielétrico absoluto
E Campo elétrico
r i jk Coeficiente eletro-óptico linear
si jkl Coeficiente eletro-óptico quadrático
X,Y,Z Direções cristalográficas do cristal de Niobato de Lítio
n Índices de refração
ne Índice de refração extraordinário
no Índice de refração ordinário
εr Matriz permissividade relativa
η Impermeabilidade dielétrica
λ Comprimento de onda
θ Desalinhamento angular no plano XY
V(t) Tensão de entrada no modulador eletro-óptico
V(t) Tensão aplicada
v(t) Tensão elétrica fotodetectada
I(t) Intensidade óptica
I0 Intensidade óptica do laser na saída do analisador
∆Ψ Retardo de fase total
φ0 Diferença de fase estática devido à birrefringência
φ(t) Retardo eletro-óptico
L Comprimento do cristal
d Espessura do cristal
Vπ Tensão de meia-onda
K′(1) Vetor de onda do modo ordinário
K′(2) Vetor de onda do modo extraordinário
∆Ψ′ Retardo de fase óptica induzida
A Fator de proporcionalidade do circuito fotodetector
V Visibilidade das franjas de interferência
Θ Termo de fase relacionado aos desvios da quadratura
r Razão dos ganhos entre os dois canais de conversão fotoelétrica
p offsetsdo canal 1
q offsetsdo canal 2
∆Ψ(t) Fase óptica total do sinal de saída interferométrico
v1c(ti) Vetor corrigido dev1(t)
v2c(ti) Vetor corrigido dev2(t)
Θ′ Estimativa deΘr ′ Estimativa der
p′ Estimativa dep
q′ Estimativa deq
∆Ψr(ti) Série discreta no tempo da fase óptica total interferométrica recuperada
R Raio do círculo paramétrico centrado na origem referente aosdados em quadra-
tura ideal
Fs Frequência de amostragem
fs Frequência do sinal de modulação
x Índice de modulação
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 9
1.1 Escopo do Trabalho 10
1.2 Objetivos 11
1.3 Apresentação do Trabalho 11
2 EFEITO ELETRO-ÓPTICO LINEAR 13
2.1 Efeito Eletro-Óptico 14
2.2 Célula Pockels 22
2.3 Sensor Eletro-Óptico de Amplitude 24
2.4 Obtenção do sinal em quadratura 34
3 MÉTODO DE DEMODULAÇÃO DE SINAIS INTERFEROMÉTRICOS EM
QUADRATURA BASEADO EM PHASE UNWRAPPING 37
3.1 Análise de sinais interferométricos em quadratura de fase 37
3.2 Phase unwrapping 43
4 RESULTADOS EXPERIMENTAIS 47
4.1 Arranjo experimental em baixa tensão 47
4.1.1 Resultados obtidos em baixa tensão 50
4.2 Arranjo experimental em alta tensão 53
4.2.1 Resultados obtidos em alta tensão 56
5 CONCLUSÕES 60
REFERÊNCIAS 61
9
1 INTRODUÇÃO
Com a invenção do laser por volta de 1960, como fonte óptica de elevada coerência,
permitiu-se aplicar técnicas utilizadas em micro-ondas e telecomunicações, em óptica, estabelecendo-
se a área hoje conhecida como optoeletrônica. Dessa forma, conceitos como modulação PM
(Phase Modulation), interferência entre ondas eletromagnéticas e detecção por lei quadrática
puderam ser aplicadas a sensores ópticos.
Atualmente, constituem aplicações da optoeletrônica o estudo de novas famílias de laser
e fotodetectores, de dispositivos moduladores para comunicações ópticas baseados em óptica
volumétrica, em fibras ópticas, em MOEMS (micro-optical-electro-mechanical systems) ou em
óptica integrada, dispositivos baseados no efeito eletro-óptico, acústico-óptico e eletroabsorção,
e, em sensores e atuadores ópticos controlados eletronicamente, dentre vários outros exemplos.
Um sensor interferométrico é extremamente sensível a pequenas variações de diversas grande-
zas físicas através da modulação de fase óptica, e, a eletrônica atual permite demodular facil-
mente desvios de fase da luz da ordem de 1 grau em medições realizadas no infravermelho (10
THz).
Por outro lado, as amplitudes das correntes e tensões em um sistema elétrico de potência,
geralmente, encontram-se demasiadamente elevadas para que se realize a conexão de equipa-
mentos de medição, controle ou de proteção diretamente a seus elementos. Além disso, essa
forma de conexão seria potencialmente perigosa para os operadores das subestações de energia
elétrica, pelo fato de que a única proteção é a isolação que o equipamento possui (NETTO,
2008).
O sensoriamento de parâmetros dos elementos de alta tensão nos sistemas elétricos de po-
tência constitui um processo difícil, caro e, frequentemente, incômodo, devido às exigências de
isolação elétrica, robustez, confiabilidade e longevidade(40 anos de uso, sem serviço de revisão
e sob frequente demanda) dos sensores (DONALDSON et al., 2001).
Uma forma encontrada para minimizar os riscos aos operadores desses sistemas foi desen-
volver transformadores para instrumentos, que constituemuma forma segura e adequada de
operação, com o objetivo de fornecer os sinais de tensão e corrente que os equipamentos de
controle e medição necessitam (PETCH; RUSHTON, 1981).
Nessa linha de equipamentos, foram desenvolvidos sensoresópticos com características es-
peciais, que são dedicados a converter tensões e correntes elevadas a valores reduzidos. Em
geral, o arranjo preferido é o do modulador eletro-óptico deintensidades clássico, constituído
1.1 Escopo do Trabalho 10
por um cristal eletro-óptico posicionado entre dois polarizadores cruzados e uma lâmina de
quarto-de-onda para estabelecer o ponto de quadratura de fase (YARIV; YEH, 1984). O ma-
terial eletro-óptico pode ser o Niobato de Lítio (LI; CUI; YOSHINO, 2001; LI; YOSHINO,
2002; ZHAO et al., 2002), o BGO (KUROSAWA et al., 1993; KYUMA etal., 1983; LI; CUI;
YOSHINO, 2003; SANTOS; TAPLAMACIOGLU; HIDAKA, 1999, 2000),o BTO (FILIPPOV
et al., 2000a, 2000b), entre outros.
Park, Kim e Song (2007) propuseram um interferômetro híbrido em fibra óptica (um Mi-
chelson combinado com um Mach-Zehnder) para gerar dois sinais em quadratura de fase, cujo
método de demodulação é do arco tangente. Para modular o sinal de interferência, um compri-
mento de fibra óptica foi enrolado num cilindro piezoelétrico que age como elemento sensor.
Em meados de 2010 foram demonstrados os benefícios da utilização dos sensores de me-
dição óptica na medição da tensão, utilizando-se do efeito Pockels e de um cristal de BGO
localizado entre os dois eletrodos. A luz polarizada passa 2vezes pelo cristal, e, o sinal de saída
é então dividido em dois para a obtenção dos sinais em quadratura (NUQUI; ZARGHAMI;
MENDIK, 2010).
Por sua vez, em 2011, Pan et al. (2011), utilizando-se de um sensor óptico baseado no
efeito Pockels transverso e utilizando um cristal de BGO comoelemento sensor, obteve boa
linearidade e precisão na medição de tensão AC.
1.1 Escopo do Trabalho
Constituem interesses do grupo de estudos do Laboratório de Optoeletrônica (LOE) do
Departamento de Engenharia Elétrica da Universidade Estadual Paulista (DEE - UNESP), a
pesquisa, teórica e/ou experimental, de sensores ópticos de natureza variada como, por exem-
plo, os sensores interferométricos de vibrações nano e micrométricas (BERTON, 2013; GA-
LETI, 2012; LEMES, 2014; LEÃO, 2004; TAKIY, 2010; MENEZES, 2009; MARÇAL, 2008;
BARBOSA, 2009), sensores de deslocamento linear (SAKAMOTO, 2006), sensores de ultras-
som (SAKAMOTO et al., 2012), e sensores eletro-ópticos de tensão elevada (PEREIRA, 2013;
LIMA, 2013; MARTINS, 2006).
Métodos clássicos ou inéditos de demodulação de fase óptica, baseados na análise espectral
do sinal interferométrico fotodetectado, têm sido exaustivamente testados desde 2004, como o
método denominado Jm & Jm+2 (MARÇAL et al., 2012) e o método n-CPM(n - Commuted
Pernick Method) (GALETI et al., 2013).
Também têm sido testados uma variedade de outros métodos de detecção interferométrica
de fase óptica como, por exemplo, os métodos polarimétricos, de quadratura de fase como o
método dephase unwrapping(LEMES, 2014), de contagem de franjas, e os métodos baseados
1.2 Objetivos 11
na análise temporal do sinal de saída como, por exemplo, o método de baixa profundidade de
modulação de fase (BARBOSA et al., 2010; CARVALHO; FERREIRA; KITANO, 1999).
Recentemente, Pereira (2013) utilizando-se do método de segmentação do sinal amostrado
SSA (GALETI, 2012), propôs modificações no método, para esteoperar em um sensor óptico
de tensões elevadas (SOT). O objetivo do trabalho de Pereira(2013) era a determinação da qua-
lidade da energia elétrica e, sendo assim, os sinais aplicado na entrada do SOT eram da ordem
de 8 kV de pico e com alto conteúdo harmônico. Desta forma, os sinais interferométricos de
saída passam a possuir informações do sinal aplicado na entrada do SOT, tais como a amplitude
e o espectro harmônico.
Contudo, o método SSA é aplicável apenas a alguns tipos de sinais de modulação periódicos
e necessita que os sinais interferométricos de saída sejam filtrados antes de serem demodulados,
uma vez que o algoritmo se baseia em comparação de derivadas.Em aplicações onde se deseja
medir o conteúdo espectral dos sinais de modulação, um filtromal projetado pode alterar as
raias de interesse do espectro do sinal (LEMES, 2014).
Neste senário, Lemes (2014) propôs um método de demodulaçãode fase óptica em qua-
dratura de sinais, baseado no algoritmo dephase unwrapping, que é implementado no domínio
do tempo, é imune ao desvanecimento do sinal, com ampla faixadinâmica e com a possibi-
lidade de trabalhar com sinais não periódicos. Testes preliminares com o método dephase
unwrappingevidenciaram seu potencial para realizar medições de deslocamentos mecânicos
sub-nanométricos, dentro de uma faixa dinâmica capaz de se estender até centenas de radianos
na detecção de fase óptica.
1.2 Objetivos
O objetivo deste trabalho é aplicar o método dephase unwrappingem um sinal de saída de
um modulador eletro-óptico de amplitude, a base de célula Pockels, configurado para operar em
quadratura de sinais, com a finalidade de se obter a forma de onda e seu conteúdo harmônico.
1.3 Apresentação do Trabalho
Este trabalho está dividido em cinco capítulos, incluindo esta introdução.
No Capítulo 2 são descritos o efeito eletro-óptico, a célula Pockels e o modulador eletro-
óptico de amplitude. Nesse capítulo, o modulador é então apresentado em duas configurações:
com a propagação do feixe óptico na direção X e o campo externoaplicado na direção Z, e, com
propagação no eixo óptico Z e campo aplicado em Y.
No Capítulo 3 é apresentado o método dephase unwrappingutilizado para a demodulação
1.3 Apresentação do Trabalho 12
dos sinais fotodetectados. Também será abordado uma breve análise dos sinais obtidos em
interferômetros de quadratura.
O procedimento experimental é então apresentado no Capítulo4, com os resultados do
processamento dos sinais obtidos, e, sendo feita uma comparação entre os sinais de entrada
com os sinais reconstruídos. Por último, o Capítulo 5 apresenta as conclusões e sugestões para
trabalhos futuros.
13
2 EFEITO ELETRO-ÓPTICO LINEAR
Desde 2004, os trabalhos desenvolvidos no LOE têm enfatizado a caracterização de atua-
dores (um grau de liberdade) e mini manipuladores (vários graus de liberdade) piezoelétricos,
a base de elementos isolados (piezocerâmica, transdutor cristalino, nanocerâmica), ou então,
vinculados a estruturas amplificadoras de deslocamento. Interferômetros a laser têm sido em-
pregados para esta finalidade, agregados a diversas opções de métodos de demodulação de fase
óptica. Em geral, a amostragem do sinal interferométrico desaída é realizada com o auxílio de
osciloscópio digital ligado ao computador via interface USB-GPIB. O processamento do sinal
normalmente é executado com os recursos do software Matlab.
Porém, com o passar dos anos, percebeu-se que a relação interferométrica entre a entrada de
fase óptica (diferença de fase entre os braços do interferômetro) e a saída elétrica fotodetectada
(proporcional à intensidade óptica gerada pela interferência entre os feixes oriundos de cada
braço) exibe uma similaridade muito grande com a expressão matemática da transmissão (razão
entre as intensidades ópticas na saída e entrada) de um modulador eletro-óptico de amplitude
a base de uma célula Pockels linear. Associado a esta informação, e ao fato do modulador
eletro-óptico possuir resposta analítica fechada (utilizando as teorias da propagação de ondas
em meio anisotrópico e do efeito eletro-óptico), se começoua empregar este aparato para va-
lidar as técnicas inéditas de demodulação de sinais interferométricos propostas no LOE. Além
disso, tal sistema possui uma complexidade estrutural bem menor que um interferômetro e é
afetado eminentemente por variações de temperatura ambiente, ao contrário do interferômetro,
que é intensamente penalizado por vibrações mecânicas espúrias, turbulências de ar e a variação
de temperatura do ambiente circunvizinho (mesmo que imperceptíveis ao operador do sistema).
Com isso, percebeu-se que o modulador eletro-óptico constitui uma excelente plataforma para
testar novas técnicas de detecção de fase, antes das mesmas serem postas em prática em expe-
rimentos interferométricos mais complexos. Por fim, incursões na área de medições de tensões
elétricas elevadas (transformador de potencial óptico) têm sido realizadas (MARTINS, 2006),
beneficiando-se do fato que as técnicas de detecção interferométricas podem ser prontamente
adaptadas para esta finalidade. Lembra-se ainda que, a rigor, o modulador eletro-óptico de in-
tensidades pode ser interpretado como um interferômetro polarimétrico, no qual a informação
encontra-se na diferença de fase entre os modos de polarização, ordinário e extraordinário, do
cristal eletro-óptico, ao invés da diferença de fase entre os braços do interferômetro.
2.1 Efeito Eletro-Óptico 14
2.1 Efeito Eletro-Óptico
A propagação da radiação óptica em determinados cristais, que não apresentam centro de
simetria em sua rede cristalina, e, na presença de campo elétrico externo, pode dar origem
ao fenômeno conhecido por efeito eletro-óptico linear (YARIV; YEH, 1984). De acordo com
a teoria quântica dos sólidos, o tensor impermeabilidade dielétrica relativa (ηi j ) depende da
distribuição de cargas no cristal. A aplicação de um campo elétrico externo,E, resulta numa
redistribuição das cargas de ligação, causando uma pequenadeformação na rede iônica. O
resultado é uma mudança no tensor impermeabilidade. Assim,Yariv e Yeh (1984) definem o
tensor impermeabilidade relativaηi j como:
ηi j = ε0(ε−1)i j (1)
sendo,ε0 a permissividade absoluta do vácuo (1/36π × 10−9 F/m), ε−1 o inverso do tensor
dielétrico absolutoε e i, j = 1,2,3,...
O efeito eletro-óptico resulta em uma variação no tensor impermeabilidade relativa dada
por:
∆ηi j = ηi j (E)−ηi j (0) (2)
parai, j = 1,2,3, no qualηi j (E) é o tensor impermeabilidade perturbado pelo campo elétrico
externoE, e,ηi j (0) é o mesmo tensor na ausência de campo elétrico.
A variação na impermeabilidade dielétrica relativa, com relação ao campo elétrico, pode
ser descrita como:
∆ηi j = r i jkEk+si jkl EkEl + · · · (3)
onder i jk e si jkl são os coeficientes eletro-ópticos linear e quadrático respectivamente (linear
- efeito Pockels, e quadrático - efeito Kerr). Na série de Taylor (3) desconsideram-se os ter-
mos superiores ao quadrático, pois suas influências são muito pequenas, e, os campos elétricos
necessários para se obter estes efeitos precisam ser extremamente altos.
As propriedades ópticas de um cristal eletro-óptico podem ser descritas também pelo elip-
soide de índices de refração que, na ausência de campo elétrico, é dado por:
ηi j (0)xix j =
(
1
n2X
)
X2+
(
1
n2Y
)
Y2+
(
1
n2Z
)
Z2 = 1 (4)
2.1 Efeito Eletro-Óptico 15
na qual as coordenadasxi ou x j referem-se ao eixos cristalinos principais,X, Y, Z e nX, nY e
nZ são os índices de refração em suas respectivas direções, umarepresentação esquemática do
elipsoide de índice de refração é apresentada na Figura 1.
Figura 1 -Elipsoide de índices de refração.
Fonte: (KITANO, 1993)
Já na presença de campo elétricoE, o elipsoide de índices passa a ser dado por:
ηi j (E)xix j = 1 (5)
Combinando-se (2) e (5), obtém-se:
(ηi j (0)+∆ηi j )xix j = 1 (6)
e, utilizando apenas a parcela linear de (3), tem-se:
(ηi j (0)+ r i jkEk)xix j = 1 (7)
que conduz a um novo elipsoide de índices de refração, agora,perturbado pela ação do campo
elétrico externo.
Pode-se obter uma importante propriedade analisando-se (2) e (3), quando prevalecer ape-
nas o efeito eletro-óptico linear:
∆ηi j = ηi j (E)−ηi j (0) = r i jkEk (8)
2.1 Efeito Eletro-Óptico 16
parai, j, k = 1,2,3. Sabe-se que para um meio sem perdas e opticamente inativo o tensorεi j é
simétrico. Assim, a matrizηi j também é simétrica e, consequentemente, os índicesi e j em (8)
podem ser permutados entre si (YARIV; YEH, 1984), logo:
r i jk = r jik (9)
Da álgebra de tensores, sabe-se que o número de elementos de um tensor de ordem n é 3n
(NYE, 1957). Por exemplo,εi j é um tensor de segunda ordem e possui 3n = 32 = 9 elementos.
Assim, o tensor de terceira ordemr i jk (n = 3) possuirá 33 = 27 elementos. Entretanto, devido a
propriedade de simetria (9), existirão alguns elementos repetidos e o tensor impermeabilidade
poderá exibir apenas 18 elementos.
Expandindo a relação (8), obtém-se:
∆η11 =r111E1+ r112E2+ r113E3 (10a)
∆η22 =r221E1+ r222E2+ r223E3 (10b)
∆η33 =r331E1+ r332E2+ r333E3 (10c)
∆η23 = ∆η32 =r231E1+ r232E2+ r233E3 (10d)
∆η13 = ∆η31 =r131E1+ r132E2+ r133E3 (10e)
∆η12 = ∆η21 =r121R1+ r122E2+ r123E3 (10f)
ou, na forma matricial:
∆η11
∆η22
∆η33
∆η23
∆η13
∆η12
=
r111 r112 r113
r221 r222 r223
r331 r332 r333
r231 r232 r233
r131 r132 r133
r121 r122 r123
·
E1
E2
E3
(11)
Confirma-se que, devido à simetria estabelecida em (9), houveuma redução no número
de elementos independentes der i jk , de 27 para 18. Em virtude desta simetria, é conveniente
introduzir a notação de índices reduzidos na qual é estabelecida a seguinte correspondência
(YARIV; YEH, 1984):
2.1 Efeito Eletro-Óptico 17
1= 11
2= 22
3= 33
4= 23= 32
5= 13= 31
6= 12= 21
(12)
Substituindo os índicesij da matriz retangular em (11) pelos correspondentes índicesredu-
zidos produz-se:
∆η11
∆η22
∆η33
∆η23
∆η13
∆η12
=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
r41 r42 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
·
E1
E2
E3
(13)
Contudo, devido a condição de simetria cristalina tem-se que, na maioria dos materiais,
a matriz dos coeficientes eletro-ópticos em (13) é esparsa, isto é, a maioria dos elementos é
nula. As relações de simetria cristalina estabelecerão quais dos 18 coeficientes serão nulos,
bem como, as relações que existirão entre os coeficientes remanescentes.
Assim, analisa-se a matriz de coeficientes eletro-ópticos do cristal de niobato de lítio (LiNbO3)
utilizado neste trabalho. Sendo este cristal trigonal de classe de simetria 3m, sua matriz de coe-
ficientes é dada por (YARIV; YEH, 1984):
r lk =
0 −r22 r13
0 r22 r13
0 0 r33
0 r51 0
r51 0 0
−r22 0 0
(14)
paral = 1,2,3...,6 ek = 1,2,3. Observa-se apenas 8 coeficientes eletro-ópticos não nulos, sendo
que apenas 4 deles são independentes:r13, r22, r33 e r51.
Expandindo a equação (8), utilizando-se a notação de índices reduzidos para expressar os
coeficientes eletro-ópticos conforme a matriz (14), obtém-se:
2.1 Efeito Eletro-Óptico 18
∆η11 =− r22E2+ r13E3 (15a)
∆η22 =r22E1+ r13E3 (15b)
∆η33 =r33E3 (15c)
∆η23 =r51E2 (15d)
∆η13 =r51E1 (15e)
∆η12 =− r22E1 (15f)
O elipsoide de índices de refração perturbado, conforme especificado em (6), torna-se:
(η11+∆η11)X21 +(η22+∆η22)X2
2 +(η33+∆η33)X23 +2(η23+∆η23)X2X3
+2(η13+∆η13)X1X3+2(η12+∆η12)X1X2 = 1(16)
sendoX1 = X, X2 = Y e X3 = Z, os eixos principais do cristal.
Sabe-se que, no sistema de coordenadas cristalino, as matrizes de permissividade relativa e
impermeabilidade relativa do material não perturbado são diagonais. Sendo o niobato de lítio
um cristal uniaxial negativo, isto é, comne < no, ondene é o índice de refração extraordinário
e no é o índice de refração ordinário, suas componentes de permissividade relativa sãoε11 =
ε22 = 1/no e ε33 = 1/ne, tal que, na ausência de campo elétrico tem-se:
εr =
ε11 0 0
0 ε22 0
0 0 ε33
⇒ η =
1/ε110 0
0 1/ε220
0 0 1/ε33
=
1/n2
o0 0
0 1/n2
o0
0 0 1/n2
e
(17)
Reescrevendo (16), com as informações de (15) e (17), obtém-se:
(
1n2
o− r22E2+ r13E3
)
X21 +
(
1n2
o+ r22E2+ r13E3
)
X22 +
(
1n2
e+ r33E3
)
X23
+2r51E2X2X3+2r51E1X1X3−2r22E1X1X2 = 1(18)
Analisa-se agora, dois casos de interesse em que a célula Pockels pode ser implementada:
o primeiro caso é quando o campo elétrico externo for aplicado na direçãoX3 (eixo óptico Z)
e a propagação do feixe de laser se dá na direção deX1 ou X2 (eixos X e Y respectivamente),
e, o segundo caso, quando o campo elétrico externo for aplicado na direçãoX1 ou X2 (X e Y
respectivamente) e a propagação do feixe de laser é paraleloaX3 (Z).
2.1 Efeito Eletro-Óptico 19
Considerando-se primeiramente o caso com campo elétrico aplicado ao longo do eixoX3,
ou seja,E1 = E2 = 0, E3 6= 0, a equação do elipsoide de índice em (18) pode ser reescritacomo:
(
1n2
o+ r13E3
)
X21 +
(
1n2
o+ r13E3
)
X22 +
(
1n2
e+ r33E3
)
X23 = 1 (19)
Nota-se que em (19) não há ocorrência de produtos cruzados dotipo X1X2, X1X3 ouX2X3, e
assim, conclui-se que as direções dos eixos principais do novo elipsoide de índices permanecem
inalterados (não houve rotação dos eixos), porém, com novosíndices de refraçãonX1, nX2 enX3.
Logo, (19) pode ser escrita como:
X21
n2X1
+X2
2
n2X2
+X2
3
n2X3
= 1 (20)
sendo
1
n2X1
=1n2
o+ r13E3 =
1
n2X2
(21a)
1
n2X3
=1n2
e+ r33E3 (21b)
a partir das quais se obtêm:
nX1 =no1
√
1+n2or13E3
= nX2 (22a)
nX3 =ne1
√
1+n2er33E3
(22b)
O cristal de niobato de lítio possui os seguintes parâmetros: no = 2,286,ne = 2,2, rT13 =
9,6 pm/V, rT22 = 6,8 pm/V, rT
33 = 30,9 pm/V erT51 = 32,6 pm/V, para um feixe de laser com
comprimento de onda deλ = 632,8 nm (YARIV; YEH, 1984). Neste estudo utilizam-se os
coeficientesrT (stressnulo), pois, o cristal é livre para deformar-se de acordo coma lei da
piezoeletricidade, e, a variação dostrainsegue a modulação do campo aplicado (YARIV; YEH,
1984).
Comor13 e r33 são muito pequenos ocorre que,n2or13E3 << 1 en2
er33E3 << 1 em (22a) e
(22b), mesmo para amplitudes de campo elétrico da ordem de dezenas de kV (KITANO, 1993).
Assim, é possível aplicar a expansão em série binomial:
2.1 Efeito Eletro-Óptico 20
1√1+x
= 1− 12
x+1·32·4x2+ . . . para |x|< 1 (23)
a partir daí, mostra-se que as expressões dos índices de refração em (22) são convertidos para:
nX1∼=no
(
1− 12
n2or13E3
)
∼= nX2 (24a)
nX3∼=no
(
1− 12
n2er33E3
)
(24b)
ficando evidente que os novos índices de refração variam linearmente com o campo elétrico
aplicado.
Agora, considera-se o segundo caso, no qual o campo elétricoexterno seja aplicado na
direção do eixo Y do cristal. Partindo-se da equação (18) e, sendoE2 6= 0 eE1 = E3 = 0 tem-se:
(
1n2
o− r22E2
)
X21 +
(
1n2
o+ r22E2
)
X22 +
(
1n2
e
)
X23 +2r51E2X2X3 = 1 (25)
Observa-se em (25) que, com a aplicação de um campo elétricoE2, o elipsoide de índice de
refração passa a exibir o produto cruzado (X2X3), que produz uma rotaçãoθ dos eixos principais
do elipsoide em torno do eixoX1 do cristal. Assim, é necessário avaliar essa rotação, que está
ilustrada na Figura 2, e encontrar os novos eixos cristalográficos, denotados porX1′, X2
′ e X3′,
que são paralelos aos eixos principais do elipsoide rodado.
Figura 2 -Rotação de eixos em torno do eixo cristalinoX1.
Fonte: Elaboração do autor
Recorrendo-se a transformação de rotação de eixos (YARIV, 1985), deX1X2X3 paraX1′X2
′X3′,
2.1 Efeito Eletro-Óptico 21
obtém-se uma relação entre os eixos cristalinos e os novos eixos coordenados principais:
X1
X2
X3
=
1 0 0
0 cosθ −sinθ0 sinθ cosθ
·
X1′
X2′
X3′
(26)
Assim,
X1 =X1′ (27a)
X2 =cosθX2′−sinθX3
′ (27b)
X2 =sinθX2′+cosθX3
′ (27c)
sendoθ o ângulo de rotação dos eixos em torno deX1.
Substituindo as relações (27) em (25), mostra-se que o novo elipsoide de índices é agora
referenciado ao novo sistema de coordenadas (X1′X2
′X3′), e, após uma sequência de operações
algébricas, tem-se (KITANO, 1993):
θ = tan−1
(
−2r51E21n2
e− 1
n2o−r22E2
)
2(28)
Lembra-se que os coeficientesr51 e r22 são da ordem de 10−12 m/V, portanto, mesmo para
os máximos valores de campo que serão utilizados nesta dissertação (800 kV de pico/m), pode-
se concluir que a rotaçãoθ é desprezível (inferior a 0,1 graus) nesta configuração de campo
elétrico (KITANO, 1993).
Portanto, para o campo elétrico aplicado ao longo do eixoE2 e não havendo rotação signi-
ficativa em torno deX1, a equação do elipsoide de índices (25) pode ser reescrita como:
(
1n2
o− r22E2
)
X21 +
(
1n2
o+ r22E2
)
X22 +
(
1n2
e
)
X23 = 1 (29)
Assim, tal qual para o caso da configuração do campo aplicado em X3 (Z), as direções
dos eixos do novo elipsoide de índices continuam inalteradas, embora, com novos índices de
refraçãonX1′ , nX2
′ e nX3′ . Assim, a equação (29) pode ser escrita como em (20), conduzindo-se
aos valores de índices perturbados:
2.2 Célula Pockels 22
nX1′ =no
1√
1−n2or22E2
(30a)
nX2′ =no
1√
1+n2or22E2
(30b)
nX3′ =ne (30c)
Neste caso, também é possível aplicar a expansão em série binomial (23) às equações (30)
a fim de se obter os novos índices de refração quando o campo elétrico é aplicado na direção Y:
nX1′ =no+
12
n3or22E2 (31a)
nX2′ =no−
12
n3or22E2 (31b)
nX3′ =ne (31c)
Pode-se observar, novamente, que os novos índices de refração variam linearmente com o
campo elétrico aplicado (E2).
2.2 Célula Pockels
Uma célula Pockels é composta por um cristal eletro-óptico eum par de eletrodos por onde
é aplicado o campo elétrico externo. As disposições desses eletrodos em uma célula Pockels
podem ocorrer de duas formas: transversal e longitudinal.
A forma transversal é empregada quando o campo elétrico externo é aplicado perpendi-
cularmente à direção de propagação do feixe óptico, conforme ilustrado na Figura 3. Nesta
configuração, a aplicação do campo elétrico pode ser feita através de placas metálicas paralelas
ou tintas condutoras aplicadas nas superfícies laterais doelemento sensor.
2.2 Célula Pockels 23
Figura 3 -Célula Pockels paralela.
Fonte: Elaboração do autor
Na forma longitudinal, Figura 4, tem-se o campo elétrico externo aplicado longitudinal-
mente ao cristal, ou seja, paralelo à direção de propagação do feixe óptico. Para permitir a
passagem do feixe luminoso, os eletrodos devem ser feitos demetal semi-transparente ou vaza-
dos. Geralmente são utilizados como eletrodos, óxidos metálicos, filmes metálicos, grades ou
anéis aplicados às faces opostas do elemento sensor.
Figura 4 -Célula Pockels longitudinal.
Fonte: Elaboração do autor
Dentre várias aplicações, a célula Pockels pode ser usada como modulador eletro-óptico
(em telecomunicações) ou como sensor eletro-óptico. Quando usada como modulador, a infor-
mação é disponível na forma de um campo elétrico modulador e inserida na fase da luz que
passa através da célula. A luz então é transmitida a um receptor para que a informação seja
decodificada (YARIV; YEH, 1984). O caso em que a célula Pockelsé usada como sensor é o
objeto de estudo das próximas seções.
2.3 Sensor Eletro-Óptico de Amplitude 24
2.3 Sensor Eletro-Óptico de Amplitude
Primeiramente, estuda-se o caso em que a propagação do raio óptico ocorre ao longo do
eixo Y do cristal e o campo elétrico externo, gerado pela tensãoV(t), é aplicado ao longo do
eixo Z. Na Figura 5 ilustra-se o esquema do modulador eletro-óptico de intensidade óptica com
célula Pockels transversal. Este é composto por um polarizador, ajustado a um ângulo de 45o
dos eixos cristalográficos X ou Z do cristal de LiNbO3, com a finalidade de acoplar, com iguais
amplitudes, os modos ordinário e extraordinário. Na saída do cristal, encontra-se um segundo
polarizador, com eixo deslocado angularmente de 90o em relação ao primeiro polarizador. Neste
texto, a tensão elétricaV(t) será denominada de tensão aplicada, enquanto o sinal fotodetectado
será referido como sinal de saída ou tensão fotodetectada,I(t) ouv(t), conforme estabelecido a
seguir.
Figura 5 -Esquema do sensor eletro-óptico de amplitude com campo elétrico externo aplicado em Z epropagação óptica em Y.
Fonte: Elaboração do autor
O segundo polarizador, neste arranjo, é denominado de analisador, e tem a finalidade de
analisar o estado de polarização da luz ao sair da célula Pockels, permitindo-se obter um feixe
de saída na qual a informação da tensão elétricaV(t) aplicada ao cristal encontra-se inserida na
fórmula da intensidade óptica.
Esta é uma configuração clássica cujos detalhes podem ser encontrados em Yariv e Yeh
(1984). Como será visto adiante, ela apresenta uma birrefringência natural, devido à diferença
entre os índices de refração ordinário e extraordinário (no ene, respectivamente) do cristal, bem
como, uma birrefringência induzida pela aplicação deV(t).
O alinhamento desse sistema não é uma tarefa trivial, devidoao elevado grau de paralelismo
exigido entre a direção de propagação do feixe óptico com o eixo Y do cristal, bem como, ao
ajuste angular (45o) entre os eixos requerido pelos polarizadores e os eixos do cristal, tornando-
2.3 Sensor Eletro-Óptico de Amplitude 25
se necessários ajustes extremamente delicados. Para tal são utilizados estágios de translação e
rotação ajustados por parafusos micrométricos para garantir um bom alinhamento. A montagem
do arranjo deve ser feita em mesa óptica a fim de minimizar vibrações indesejadas no sistema.
O procedimento de alinhamento consiste, primeiramente, emcruzar o polarizador e o ana-
lisador, sem inserir a célula Pockels no sistema. Para tal, ajusta-se o polarizador a 45o do plano
horizontal estabelecido pela mesa óptica. Em seguida, monitora-se o sinal de saída com um
fotodetector e rotaciona-se o analisador de forma que se anule o máximo possível da intensi-
dade do feixe de laser na saída do sistema. Isso garante que o polarizador e o analisador estão
cruzados a 90o entre si.
A seguir, inserindo a célula Pockels entre o polarizador e o analisador, esquematizado na
Figura 5, a birrefringência natural do LiNbO3 fará com que a intensidade óptica de saída seja
novamente não-nula.
Ao se apagar completamente a iluminação do laboratório, observa-se que a célula Pockels
fica iluminada, evidenciando um intenso espalhamento de luzno interior do cristal de LiNbO3.
Assim, o feixe de saída (após o analisador) é composto pelo feixe de laser propriamente dito, e
por luz espalhada ao redor de seu eixo longitudinal (MARTINS, 2006).
Projetando-se essa luz de saída sobre um anteparo, obtém-seuma imagem similar a apre-
sentada na Figura 6. O espalhamento faz com que uma parcela daluz se propague pelo cristal
em direções diferentes do feixe principal, equivalente a uma emissão secundária de luz, segundo
uma abertura angular na forma de cone divergente.
Com isso, aproveitando-se de um defeito de qualidade do cristal (o espalhamento) para
auxiliar no alinhamento do laser com o eixo Y do cristal, basta ajustar o feixe principal do laser
para que incida no centro da figura de interferência, como a daFigura 6 (MARTINS, 2006).
Figura 6 -Padrão de interferência experimental devido ao espalhamento da luz no cristal.
Fonte: Elaboração do autor
2.3 Sensor Eletro-Óptico de Amplitude 26
A intensidade óptica na saída do sistema mostrado na Figura 5, a qual é proporcional ao
sinal gerado pelo fotodetector, será (YARIV; YEH, 1984):
I(t) = Iosin2∆Ψ2
(32)
na qualIo é a intensidade óptica do laser após o polarizador e∆Ψ o valor do retardo de fase
total, que é a soma de duas parcelas: uma devido a birrefringência natural do cristal,φo, e outra
devido a influência do campo elétrico externo,φ(t). Ambas serão identificadas a seguir.
Admite-se que o campo óptico na entrada da célula Pockels possua polarização linear a
45o do eixoX1 (X) ou X3 (Z), de forma que excite os modos de polarização nas direçõesdos
eixosX1 eX3, com igual amplitude. Se dois modos de propagação forem excitados na interface
X2 = 0 com a mesma fase, o retardo de fase total, após os campos percorrerem um comprimento
L será (YARIV, 1985):
∆Ψ =(
K(1)−K(3))
L (33)
sendo queK(1) e K(3) são as magnitudes dos vetores de onda para as polarizações ópticas nas
direções dos eixosX1 eX3, respectivamente, e,L é o comprimento do cristal na célula Pockels.
Os dois modos de propagação, com deslocamento elétrico paralelo aos eixosX1 e X3, pos-
suem vetores de onda cujos módulos são dados por:
K(1) =2πλ
nX1 (34a)
K(3) =2πλ
nX3 (34b)
na qualnX1 e nX3 são os índices de refração do cristal submetido ao campoE3, eλ é o compri-
mento de onda do laser.
Substituindo-se (34a) e (34b) em (33), obtém-se:
∆Ψ =2πλ
(nX1 −nX3)L (35)
Utilizando-se as expressões dos índices de refração deduzidas em (24a) e (24b), substituindo-
as em (35), e, após algumas operações matemáticas tem-se:
2.3 Sensor Eletro-Óptico de Amplitude 27
∆Ψ =2πλ
(ne−no)L− πλ(n3
er33−n3or13)E3L (36)
Conforme já anunciado, observam-se dois tipos de atraso na fase quando se analisa a equa-
ção (36). A primeira parcela refere-se à birrefringência natural do cristal,φo, que independe do
campo elétrico, e, a segunda, que se deve a aplicação do campoelétrico externo,φ(t). Esta,
por sua vez, pode ser controlada ajustando-se a tensão aplicadaV(t). Assim, a primeira parcela
devido a birrefringência natural do cristal, é:
φo =2πλ
(ne−no)L (37)
sendone eno os índices de refração ordinário e extraordinário do LiNbO3.
Devido à birrefringência natural, o arranjo fica muito susceptível às variações de tempe-
ratura ambiente e de vibrações mecânicas, causando o fenômeno chamado desvanecimento de
sinal (fading). Segundo Smith, Riccius e Edwin (1976), os índices de refraçãono e ne variam
com a temperatura. Assim, a diferença entre os índices, (ne− no), também varia com a tem-
peratura, embora muito pouco, da ordem de 1 ppm poroC. Contudo, como na faixa óptica o
comprimento de ondaλ é da ordem de 1µm = 10−6 m, tem-se que(ne−no)/λ tem uma vari-
ação da ordem de 1 ppm / 1µm = 10−6/10−6 = 1 rad poroC, algo muito grande relativamente
aos valores de fase induzida que se deseja medir, em torno de mrad. Em princípio, o efeito
da vibração mecânica não é muito crítico ao sistema, entretanto, o processo de alinhamento
dos componentes do modulador (laser, célula Pockels, polarizador e analisador) é algo deli-
cado, e assim, é prudente se evitar trepidações excessivas da mesa óptica a fim de não causar o
desalinhamento dos componentes.
Com o cristal inserido entre dois eletrodos na forma de placasparalelas separadas por uma
distânciad, o campo elétrico,E, pode ser estabelecido a partir da tensão elétrica aplicadaaos
eletrodos:
E =V(t)
d(38)
A partir de (38), considerando-se apenas a parcela influenciada pelo campo elétrico em
(36), tem-se que o retardo de fase (ou retardo eletro-óptico) induzido pode ser definido como:
φ(t) =πλ(n3
er33−n3or13)
Ld
V(t) (39)
O valor de tensão elétrica aplicada ao cristal, e que proporciona um retardo eletro-óptico
φ(t) deπ radianos, é denominado de tensão de meia-ondaVπ . Substituindo-seφ(t) = π rad e
V(t) =Vπ em (39), mostra-se que a tensão de meio-onda é dada por:
2.3 Sensor Eletro-Óptico de Amplitude 28
Vπ =λ
n3er33−n3
or13· dL
(40)
A tensão de meia-onda normalmente é utilizada para comparardiferentes células Pockels,
pois, quanto menor o valor deVπ , menor é a tensão necessária para alimentá-la. Por exemplo,
quando são empregadas em telecomunicações, esta é uma característica desejável. Porém, neste
trabalho, necessita-se de uma célula Pockels com altos valores deVπ , da ordem de dezenas de
kV.
O valor deVπ pode ser estimado substituindo-se em (40) os parâmetros do LiNbO3 medidos
emλ = 632,8 nm: no = 2,286;ne = 2,2; r13 = 9,6 pm/V er33 = 30,9 pm/V. O cristal usado
neste trabalho é tal qued = 1,1 mm eL = 50,025 mm. O resultado do cálculo conduz a
Vπ = 64,92V.
Pode-se também obterφ(t), substituindo-se (40) em (39), obtendo-se assim:
φ(t) =πVπ
V(t) (41)
Nota-se em (41) que, para um mesmo valor de tensão aplicadaV(t), quanto menor oVπ ,
maior será o retardo de fase induzidaφ(t).
Obviamente, como o valor deVπ para esta célula Pockels é muito pequeno, fica inviável de
se implementar um sensor óptico de tensões elevadas. Por este motivo, montou-se outra célula
Pockels que tem a capacidade de operar comVπ da ordem de kV. A seguir, é então, apresentada
a nova configuração do sensor e, consequentemente, o cálculode seuVπ .
A nova configuração do sensor eletro-óptico, ilustrada no esquema da Figura 7, está associ-
ada ao segundo caso estudado na seção 2.1. Esta célula tem o campo elétrico externo agora apli-
cado na direção Y do cristal e o feixe de laser propaga-se na direção do eixo óptico Z. Optou-se
em trabalhar com o feixe de laser propagando no eixo óptico Z,onde não ocorre birrefringência
natural, mas apenas a birrefringência induzida, como será apresentado a seguir. Assim, nesta
configuração, a variação doVπ com a temperatura é uma ordem de grandeza menor que aquela
onde ocorre a birrefringência natural. Como a propagação ocorre em Z, esta configuração é
menos susceptível ao desvanecimento do sinal devido as variações de temperatura ambiente.
2.3 Sensor Eletro-Óptico de Amplitude 29
Figura 7 -Esquema do novo sensor eletro-óptico de amplitude com campo elétrico externo aplicado emY e propagação óptica em Z.
Fonte: Elaboração do autor
O procedimento de alinhamento é similar ao feito com a célulaPockels mencionada anteri-
ormente: primeiramente, cruzam-se o polarizador e o analisador, sem inserir a célula Pockels.
Para tal, ajusta-se o polarizador a 45o do plano horizontal estabelecido pela mesa óptica e,
em seguida, monitora-se o sinal de saída com um fotodetectore rotaciona-se o analisador de
forma que se anule o máximo possível o feixe de laser na saída do sistema. Isso garante que o
polarizador e o analisador estão cruzados a 90o entre si.
Inserindo a célula Pockels entre o polarizador e o analisador, esquematizado na Figura 7,
a anisotropia do LiNbO3, nesta configuração, fará com que a intensidade óptica de saída seja
novamente não-nula.
Projetando-se a luz de saída sobre um anteparo, obtém-se umaimagem similar a apresen-
tada na Figura 8. Como se observa, a intensidade do laser no centro da figura é nulo. O alinha-
mento necessita um descruzamento muito pequeno entre os polarizadores, o que fará aparecer
um pequeno’spot’ do feixe principal do laser no centro da Figura 8. Assim, apósposicionar o
feixe principal no centro da figura de espalhamento, reposiciona-se os polarizadores a 90o entre
si. Com isso, o sistema estará alinhado.
2.3 Sensor Eletro-Óptico de Amplitude 30
Figura 8 -Padrão de interferência experimental devido ao espalhamento da luz no cristal.
Fonte: Elaboração do autor
Objetivando-se determinar a intensidade óptica dada pela equação (32), calcula-se o novo
retardo eletro-óptico para um campo óptico que possua polarização linear a 45o do eixoX1 (X)
ou X2 (Y) (de forma que excite os modos de polarização nas direçõesdos eixosX1 e X2, com
igual amplitude):
∆Ψ′ =(
K′(1)−K
′(2))
L (42)
sendo queK′(1) e K
′(2) são os módulos dos vetores de onda para as polarizações ópticas nas
direçõesX1 eX2, respectivamente eL é o comprimento do cristal na célula Pockels.
Os dois modos de propagação, com deslocamento elétrico paralelo aos eixosX1 e X2, pos-
suem vetores de onda cujos módulos são:
K′(1) =2πλ
nX1′ (43a)
K′(2) =2πλ
nX2′ (43b)
Substituindo-se os termosnX1′ e nX2
′ em (43a) e (43b) pelos índices que refração em (31a)
e (31b), respectivamente, e o resultado na equação (42), é possível obter o retardo eletro-óptico
induzido para esta configuração:
∆Ψ′ =2πλ
(n3or22)E2L = φ ′(t) (44)
2.3 Sensor Eletro-Óptico de Amplitude 31
Observa-se que nesta configuração não há ocorrência da birrefringência naturalφ ′0 = 0,
mas apenas a birrefringência induzida, o que faz, por exemplo, que esta nova configuração pos-
sua maior imunidade ao desvanecimento do sinal devido as variações de temperatura ambiental.
Substituindo-se (38) em (44), verifica-se que o retardo eletro-óptico induzido pode ser de-
finido como:
φ ′(t) =2πλ
(n3or22)
Ld
V(t) (45)
Partindo-se da equação (45), obtém-se a tensão de meia-ondaVπ , substituindo-seφ ′(t) = πeV(t) =Vπ :
Vπ =λ
2n3or22
· dL
(46)
Conhecidos todos os parâmetros do material, torna-se possível encontrar o valor teórico de
Vπ . Assim, dados o comprimento de onda do laser de Hélio-Neônioλ = 632,8 nm, o índice de
refraçãono = 2,286, o coeficiente eletro-ópticor22 = 6,8 pm/V, e, considerando que o cristal
usado neste trabalho tem dimensõesL= 10,258 mm ed= 9,924 mm (comprimento e espessura
do cristal, respectivamente), calcula-seVπ = 3,768 kV.
Segundo Martins (2006), a intensidade óptica detectada pelo fotodetector em ambas as con-
figurações apresentadas anteriormente, dada em (32), também pode ser apresentada na seguinte
forma:
I(t) = Io2 {1−cos∆Ψ}
= Io2 {1−cos[φ(t)+φo]}
(47)
o que corresponde a um sinal PM (Phase Modulation) sem portadora (CARLSON; CRILLY;
RUTLEDGE, 2002). Esta expressão é bastante similar ao sinalde saída de um interferômetro
homódino de dois feixes (BERTON, 2013; BERTON; KITANO; HIGUTI, 2010; GALETI,
2012), onde a informação está inserida na fase da luz, e, que permite a elaboração de um SOT,
no qual a informação sobre o valor instantâneo da tensãoV(t) a qual está inserida emφ(t), é
transmitida a um receptor para posterior recuperação.
Uma maneira simples de se extrairφ(t) de (47) pode ser implementada quando sua magni-
tude é muito pequena. Por exemplo, seja o caso ondeφ(t) = xsinωst, parax<< 1 rad eωs a
frequência do sinal. O parâmetrox costuma ser denominado de índice de modulação de fase.
Neste caso, o problema constitui mensurarφ(t) dado que o sinalI(t) é amostrado pelo sistema
de aquisição de dados.
2.3 Sensor Eletro-Óptico de Amplitude 32
Na técnica chamada de detecção de sinal de baixo índice de modulação, ajusta-se o sistema
óptico para queφ0 seja igual aπ/2 rad. Isto pode ser estabelecido, por exemplo, selecionando-
se o valor adequado deL em (37). Quando não existir o termo de birrefringência natural φ0,
pode-se usar uma lâmina de quarto-de-onda (λ/4).
Nesta situação, (47) torna-se
I(t) = Io2
{
1+cos[
φ(t)+ π2
]}
= Io2 {1−sinφ(t)}
(48)
Comox << 1 rad, conclui-se queφ(t) << 1 rad, tal que, pode-se aproximar: sinφ(t) ∼=φ(t). Desta forma, suprimindo-se a parcela DC de (48), obtém-se oseguinte sinal de saída
∆I(t)∼=− Io2 φ(t)
∼=− Io2 xsinωst
(49)
Portanto, o sinal de saída fotodetectado é proporcional aφ(t). Inclusive, esta técnica pode
ser implementada para casos ondeφ(t) tem forma de onda arbitrária, desde que seu valor má-
ximo seja pequeno.
Entretanto, conforme foi discutido na seção 2.3, a faseφ0 pode variar sensivelmente ao
longo do tempo devido à derivas térmicas ambientais. Comox << 1 rad, e,φ0 pode variar 1
rad/oC, a medição deφ(t) diante do desvanecimento de sinal constitui um problema bastante
sério. Para se ter uma noção desta dificuldade, considere-seuma situação onde oφ0 se desvia
aleatoriamente a partir deπ/2 rad, atingindo 2π rad após alguns minutos. Com isso, (47)
torna-se
I(t) = Io2 {1+cos[φ(t)+2π]}
= Io2 {1+cosφ(t)}
(50)
Comox << 1 rad, então,φ(t) << 1 rad, e assim, cosφ pode ser expandido em série de
Taylor:
cosφ = 1− φ2
2!+
φ4
4!−·· · , |φ |< 1 (51)
Diante disso, (50) pode ser escrito como:
2.3 Sensor Eletro-Óptico de Amplitude 33
I(t)∼= Io2
{
1− φ2(t)2
}
∼= Io2
{
1− x2
2 sin2ωst}
∼= Io2
{
1− x2
2
}
∼= Io2
{[
1−(
x2
)2]
+(
x2
)2cos2ωst
}
(52)
na qual empregou-se apenas os dois primeiros termos da sériede Taylor (51). Suprimindo-se a
parcela DC de (52), obtém-se o seguinte sinal de saída:
∆I(t)∼= Io2
(x2
)2cos2ωst (53)
uma expressão muito diferente de (49). Este resultado revela que, paraφ0 = 2π rad, o si-
nal detectado não mais corresponde aφ(t) = xsinωst, mas sim, a uma versão distorcida, com
amplitudex2 e com elevado conteúdo de segunda harmônica. Na verdade, como se está consi-
derandox<< 1 rad, então,x2 deve tender a zero. Ou seja, para uma aproximação em primeira
ordem, o sinal fotodetectado∆I(t) praticamente se anula. Daí, o nome deste fenômeno, qual
seja, desvanecimento, um termo relacionado ao ato de sumir,apagar ou desaparecer.
Deve-se registrar que o desvanecimento é o grande desafio nesta área da instrumentação
eletrônica. O problema pode ficar ainda mais complicado nos casos, ondex é elevado, no qual,
mesmo quandoφ0 = π/2 rad, o sinal de saída∆I(t) não é mais proporcional aφ(t).
De fato, casos em queφ(t) > π/2 rad conduzem a sinais∆I(t) contendo vários ciclos
de oscilação para um único ciclo deφ(t) = xsinωst. O caso (S3, I3) mostrado na Figura 9
corresponde a esta situação, sendo S3 o sinal senoidal de entrada e I3 o sinal de saída. O caso
(S1, I1) corresponde a situação em quex<< 1 rad eφ0 = π/2 rad, e, o caso (S2, I2), a situação
em quex<< 1 rad eφ0∼= 2π, e que foram discutidos ainda há pouco.
2.4 Obtenção do sinal em quadratura 34
Figura 9 -Exemplos de sinais de entrada e saída do interferômetro.
Fonte: (CHANG et al., 2007)
Objetivando detectar a fase óptica induzida por tensão,φ(t), inserida no argumento da
função cosseno da expressão (47), e diante da variação aleatória deφ0, propõe-se aplicar a
técnica de demodulação de sinais em quadratura de fase. Paraisto, torna-se necessário gerar
um segundo sinal de saída, semelhante a (47), porém, em quadratura de fase com ele. Com isto,
será possível mensurarφ(t) mesmo quando sua magnitude for superior aπ/2 rad, com forma
de onda arbitrária, diante de variações deφ0, de Io, e com a incidência de ruído eletrônico.
O procedimento para se obter o sinal em quadratura de fase é discutido na próxima seção,
enquanto a técnica de demodulação porphase unwrappingé abordada no próximo capítulo.
2.4 Obtenção do sinal em quadratura
Na Figura 10 ilustra-se o esquema do sensor eletro-óptico deamplitude que foi proposto
pelo autor para a obtenção de sinais em quadratura de fase. A configuração é semelhante as das
Figuras 5 e 7, diferenciando-se após o cristal de LiNbO3.
2.4 Obtenção do sinal em quadratura 35
Figura 10 -Esquema do sensor eletro-óptico de amplitude com sinais de saída em quadratura de fase.
Fonte: Elaboração do autor
A obtenção de sinais em quadratura de fase é possível pela inserção de alguns componentes
ópticos adicionais: divisor de feixe neutro 50:50 (beam spliter) [BS]; lâmina de quarto-de-onda
(waveplate) [λ/4], com o eixo rápido alinhado à 90o da mesa óptica; polarizadores (Analisa-
dores) [A1] e [A2] dispostos à 90o em relação ao polarizador [P]; fotodetectores [PD1] e [PD2]
para a conversão do sinal luminoso em sinal elétrico. O sinalao sair do cristal, passa por [BS] e
divide-se em dois feixes. Um deles passa pelo analisador [A1] e incide no fotodetector [PD1],
e o outro, passa pela lâmina [λ/4], pelo analisador [A2] e incide no fotodetector [PD2].
Uma lâmina deλ/4 é um dispositivo que proporciona um retardo de fase deπ/2 rad entre
os modos, rápido e lento, que se propagam através dela. Isto equivale a acrescentar um ’bias’
deπ/2 rad no argumento da função cosseno em (47).
Como o ramo 1 não contém a lâmina deλ/4, a intensidade óptica detectada pelo foto-
detector [PD1] ainda é dada pela equação (47), porém, a intensidade óptica detectada pelo
fotodetector [PD2] é dada por:
I(t) = Io2
{
1−cos[
φ(t)+φo+π2
]}
= Io2 {1−sin[φ(t)+φo]}
(54)
Como se observa, as partes variáveis no tempo de (47) e (54) estão em quadratura de fase,
e podem ser amostradas por osciloscópios de dois canais a fim de se determinar a fase óptica
φ(t), a qual é proporcional a tensão que se deseja medir,V(t) em (41).
Por fim, é importante reconhecer que a fase totalΨ(t) = φ(t)+φ0 varia apenas para pertur-
bações que acontecem entre o polarizador [P] e o divisor de feixes [BS] na Figura 10. Com isso,
Ψ(t) será detectado tanto por [PD1] quanto por [PD2], e, perturbações nos trechos de saídas não
2.4 Obtenção do sinal em quadratura 36
alteram esta fase.
A seguir, será apresentado um método de demodulação de fase óptica φ(t), que além de
recuperar a forma de onda do sinalV(t), pode operar com sinais não periódicos. Este método é
baseado no algoritmoPhase Unwrapping(LEMES, 2014).
37
3 MÉTODO DE DEMODULAÇÃO DE SINAIS INTERFEROMÉTRICOS EMQUADRATURA BASEADO EM PHASE UNWRAPPING
Neste capítulo será realizada uma breve análise dos sinais obtidos em interferômetros de
quadratura, e também, estudado os princípios dos algoritmos dephase unwrappingaplicados
como método de demodulação interferométrica de fase óptica.
3.1 Análise de sinais interferométricos em quadratura de fase
Conforme discutido anteriormente, existe uma grande similaridade entre sinais interfero-
métricos em quadratura e os sinais de saída do SOT, dados por (47) e (54). Uma exceção, é que
o sinal algébrico (-) torna-se invertido (+) no caso do interferômetro em quadratura. Entretanto,
isto não tem grandes consequências para os objetivos propostos neste trabalho, e assim, grande
parte da formulação matemática desenvolvida por Lemes (2014) pode ser empregada aqui sem
restrições.
Aplicando-se um sinal de modulaçãoφ(t) ao SOT, e, supondo inicialmente que não haja
atraso de fase na conversão de sinal óptico para elétrico, osdois sinais em quadratura podem
ser escritos na forma geral como (RIPPER, 2005; VELDMAN, 2003;DOBOSZ; USUDA;
KUROSAWA, 1998):
v1(t) = A1{1+V1cos[φ(t)+φ0]} (55)
v2(t) = A2{1+V2sin[φ(t)+φ0+Θ]} (56)
sendo que os fatoresAi eVi (parai = 1, 2) são, respectivamente, os fatores de proporcionalidade
do circuito fotodetector e visibilidade das franjas de interferência. O termo de faseΘ refere-se a
desvios eventuais da condição de quadratura que ocorrem na prática, devido as não idealidades
dos componentes ópticos do interferômetro, bem como, da má localização dos fotodetectores
em pontos nas figuras de franjas de interferência (LEMES, 2014).
As grandezasA1 e A2 dependem das potências ópticas nos ramos 1 e 2 após o divisor de
feixes da Figura 10, e também, das responsividades de tensãodos fotodiodos PD1 e PD2, e,
dos ganhos dos sistemas de aquisição de dados. Por sua vez,V1 eV2 estão relacionadas com o
contraste das franjas de interferências, como as mostradasnas Figuras 6 ou 8. Ou seja,V1 eV2
são números que variam entre 0 e 1, sendo tanto maior quanto mais bem definidas estiverem
3.1 Análise de sinais interferométricos em quadratura de fase 38
as franjas negras sobre o fundo vermelho. Quando a visibilidade é reduzida, a franja é apenas
um pouco mais vermelha que a cor de fundo, e, com isso, tem-se um baixo contraste e uma
menor relação sinal-ruído. No caso da célula Pockels, uma visibilidade próxima da unidade
está relacionada essencialmente a um excelente alinhamento do sistema óptico.
Caso ocorra uma ou mais das desigualdades:A1 6= A2, V1 6=V2 eΘ 6= 0 , ao se visualizar os
sinais descritos em (55) e (56) no modo XY de um osciloscópio,tem-se uma figura de Lissajous
com forma de uma elipse. Em condições ideais, têm-seA1 = A2, V1 = V2 e Θ = 0 e assim, a
figura de Lissajous que se obtém é a de um círculo, tal como se ilustra na Figura 11. Contudo,
devido às primeiras parcelas constantes em (55) e (56), estecírculo não deve estar no centro da
tela desse osciloscópio.
Figura 11 -Figura de Lissajous obtida de dois sinais interferométricos em quadratura perfeita.
Fonte: (LEMES, 2014)
Considerando-se condições ideais de quadratura isto é,A1 =A2 =A,V1 =V2 =V eΘ= 0, e
removendo-se as primeiras parcelas do lado direito de (55) e(56), pode-se reescrevê-las como:
v1(t) = AVcos[∆Ψ(t)] (57)
v2(t) = AVsin[∆Ψ(t)] (58)
sendo∆Ψ(t) = φ(t)+φo , ou seja, a fase óptica total do sinal interferométrico de saída.
De (57) e (58), pode-se extrair a fase óptica total do sinal interferométrico calculando-se:
∆Ψ(t) = tan−1[
v2(t)v1(t)
]
(59)
3.1 Análise de sinais interferométricos em quadratura de fase 39
Observa-se em (59) que o fatorAV é cancelado diante a divisão dev2(t) por v1(t). Isto
significa que o cálculo da fase não depende das potências ópticas nos ramos 1 e 2 da Figura
10, dos ganhos dos fotodiodos PD1 e PD2, ou das visibilidadesdas franjasV1 eV2. Esta é uma
característica interessante, pois permite manter o interferômetro calibrado mesmo seAV variar
ao longo do tempo.
Portanto, segundo (59), a diferença de fase total entre doisinstantes de tempo corresponde
ao arco da rotação dada por∆Ψ(t) num sistema de coordenadasv1×v2. Apresenta-se na Figura
12 o arco obtido com os dois sinais de saída em quadratura. Observa-se que, quando um dos
sinais de tensão elétrica é nulo, o outro é máximo.
Figura 12 -Medição deΨ(t) através de dois sinais em quadratura.
Fonte: (LEMES, 2014)
Os gráficos da Figura 12 não variam comφ(t) ou φ0, mais sim, com a soma∆Ψ(t) =
φ(t)+ φ0. Ora, o sinalφ(t) é variável no tempo por razões óbvias, e,φ0 varia aleatoriamente
no tempo devido a deriva de temperatura. No entanto, sendo∆Ψ(t) a mesma função presente
emv1(t) e v2(t), o resultado na Figura 12 será sempre um círculo. Esta característica faz com
que a determinação de∆Ψ(t) não seja prejudicada pelo desvanecimento de sinal causado pelo
comportamento aleatório deφ0(t).
Entretanto, a equação (59) é válida apenas quandov1(t) ev2(t) estão em condições ideais de
quadratura e, sendo assim, antes de se extrair∆Ψ(t), necessita-se realizar correções nos sinais
descritos em (55) e (56) para casos práticos (VELDMAN, 2003).
De fato, na prática poderá ocorrerA1 6= A2, V1 6= V2 e Θ 6= 0 devido, por exemplo, à dife-
3.1 Análise de sinais interferométricos em quadratura de fase 40
renças nas responsividades dos fotodiodos PD1 e PD2 na Figura 10, à diferentes ganhos nos
sistemas de aquisição de dados, à taxas diferentes de 50% no divisor de feixes BS, à pequenos
desalinhamentos no sistema óptico, dentre outros. Na Figura 13a ilustra-se um exemplo típico
de figura de Lissajous obtida na prática. A figura resultante não é circular (é elíptica) e não
está centrada na origem da tela do osciloscópio. Nos próximos parágrafos apresenta-se um mé-
todo de correção de imperfeições práticas objetivando-se obter um circulo centrado na origem
mostrado na Figura 13b. Para isto, invoca-se a dissertação de Lemes (2014).
Figura 13 -Figura de Lissajous de sinais simulados: a) Sinais com erros de quadratura; b) Sinais apósa correção de quadratura.
Fonte: (LEMES, 2014)
Segundo Lemes (2014), a figura de Lissajous na Figura 13a é o resultado das equações
paramétricas:
v1′(ti) = v1(ti)+ p (60)
v2′(ti) =
1r[v2(ti)cosΘ−v1(ti)sinΘ]+q (61)
sendor a razão entre os diferentes ganhos dos dois canais de conversão opto-elétrica (isto é, de
3.1 Análise de sinais interferométricos em quadratura de fase 41
PD1 e PD2 na Figura 10),Θ é o desvio da quadratura [ver equação (56)], e,p eq são osoffsets
de cada canal. As funçõesv1(ti) e v2(ti) são os sinais interferométricos ideais, em quadratura
de fase [ver equações (57) e (58)] amostradas nos instantes de tempoti.
Deseja-se converter a elipse dada por (60) e (61) no círculo da Figura 13b, cuja forma ideal
seria:
v21(ti)+v2
2(ti) = R2 (62)
sendoRo raio do círculo. Esta equação podem ser reescrita em termosdev1′(ti) ev2
′(ti) dadas
em (60) e (61), como:
[
v1′(ti)− p
]2+
{
[v2′(ti)−q]r2+[v1
′(ti)− p]sinΘcosΘ
}2
= R2 (63)
(substituindo-se as expressões dev1′(ti) ev2
′(ti) em (63), obtém-se (62)).
Por outro lado, a equação geral da elipse (60) e (61) também pode ser escrita como:
A[v1′(ti)]
2+B[v2′(ti)]
2+C[v1′(ti)v2
′(ti)]2+Dv1
′(ti)+Ev2′(ti) = 1 (64)
a qual, comparada com (63) resulta:
A=(R2cos2Θ− p2− r2q2−2rpqsinΘ)−1 (65a)
B=Ar2 (65b)
C=2ArsinΘ (65c)
D =−2A(p+ rqsinΘ) (65d)
E =−2Ar(rq+ psinΘ) (65e)
O círculo corrigido mostrado na Figura 13b pode ser determinado a partir dos coeficientes
A, B, · · · , E, e com o auxílio do método de mínimos quadrados, a fim de se obter outro conjunto
de coeficientesa, b, · · · , e.
Assim, segundo Lemes (2014), utilizando-se do algoritmo deHeydemann (1981), obtém-se
os seguintes sinais com a quadratura corrigida:
3.1 Análise de sinais interferométricos em quadratura de fase 42
v1c(ti) = v1′(ti)− p′ (66)
v2c(ti) =1
cosΘ′[
(v1′(ti)− p′) ·sinΘ′+ r ′(v2
′(ti)−q′)]
(67)
sendov1c ev1c os vetores corrigidos dos sinais fotodetectados, e
Θ′ =sin−1[
c(4ab)−1/2]
(68a)
r ′ =
(
ba
)−1/2
(68b)
p′ =(2bd−ec)/(c2−4ab) (68c)
q′ = (2ae−dc)/(c2−4ab) (68d)
nas quaisa, b, · · · , esão soluções do produto matricial:
a
b
c
d
e
={
[X]T [X]}−1
[X]T [I] (69)
sendo[I] a matriz identidade, e
[X] =
[v1′(t0)]2 [v2
′(t0)]2 v1′(t0)v2
′(t0) v1′(t0) v2
′(t0)
[v1′(t1)]2 [v2
′(t1)]2 v1′(t1)v2
′(t1) v1′(t1) v2
′(t1)
[v1′(t2)]2 [v2
′(t2)]2 v1′(t2)v2
′(t2) v1′(t2) v2
′(t2)
[v1′(t3)]2 [v2
′(t3)]2 v1′(t3)v2
′(t3) v1′(t3) v2
′(t3)
[v1′(t4)]2 [v2
′(t4)]2 v1′(t4)v2
′(t4) v1′(t4) v2
′(t4)
A
B
C
D
E
(70)
para instantes de tempot0, t1, · · · , t4.
No exemplo das Figuras 13a e 13b foram empregados:r = 1,5, p= 0,5, q= 0,33 eΘ =
45o. A qualidade do círculo obtido confirma a eficiência do algoritmo.
3.2 Phase unwrapping 43
3.2 Phase unwrapping
Após realizar as correções de quadratura dos sinais por (66)e (67), pode-se extrair a fase
óptica total interferométrica∆Ψ(t) por meio de (59). Entretanto, devido à função arco tangente
ser a inversa de uma função trigonométrica (periódica), nota-se queΨ(t), calculada por progra-
mas como o Matlab, terá descontinuidades conforme varia no tempo (uma vez que se trata de
uma "função de múltiplos valores"). Na Figura 14a, ilustra-secomo seria a resposta gerada em
Matlab quando a fase∆Ψ(t) tem a forma de uma senoide. Isto acontece porque, por definição,
a função arco-tangente varia somente entre−π/2 e+π/2 rad.
Figura 14 -Processo dephase unwrapping.(a) Função (59) obtida pelo Matlab. (b) Função (71) comphase unwrapping.
Fonte: (RIPPER, 2005)
Sendo assim, a série discreta no tempo da fase interferométrica total recuperada é calculada
corretamente por (LEMES, 2014):
∆Ψr(ti) = tan−1[
v2c(ti)v1c(ti)
]
+mπ (71)
sendo quem é um inteiro que deve ser determinado para que não ocorram descontinuidades.
Este processo é denominado dephase unwrapping(desdobramento de fase). O resultado correto
obtido é mostrado na Figura 14b, desde que o valor demseja determinado adequadamente apli-
cado, por exemplo, técnicas discutidas por (DOBOSZ; USUDA; KUROSAWA, 1998). Neste
texto contudo, é aplicada a técnica proposta por Lemes (2014).
Lemes (2014) desenvolveu um algoritmo dephase unwrappingcapaz de ser aplicado como
método de demodulação de fase óptica interferométrica capaz de recuperar a forma de onda do
sinal de excitação∆φ(t) e fornecer todas as amostras de∆Ψr(ti) nos quadrantes corretos.
Primeiramente, ilustra-se na Figura 15, os círculos trigonométricos com os devidos sinais
para as funções cosseno, seno e tangente associados av1c(ti), v2c(ti) e v2c(ti)/v1c(ti), respecti-
3.2 Phase unwrapping 44
vamente.
Figura 15 -Círculos trigonométricos com os sinais para as funções: a) Cosseno; b)Seno; c) Tangente.
Fonte: (LEMES, 2014)
Com a ajuda da Figura 15 pode-se determinar o quadrante em que se encontra∆Ψr(ti) (71),
através das seguintes constatações:
• v1c(ti)> 0 ev2c(ti)> 0 , primeiro quadrante;
• v1c(ti)< 0 ev2c(ti)> 0 , segundo quadrante;
• v1c(ti)< 0 ev2c(ti)< 0 , terceiro quadrante;
• v1c(ti)> 0 ev2c(ti)< 0 , quarto quadrante.
Assim, basta calcular o módulo do arco tangente de (71), e associá-lo ao arco de círculo
correspondente ao quadrante correto, tal como se ilustra naFigura 16:
• a) ∆Ψr(ti) =∣
∣
∣tan−1
[
v2c(ti)v1c(ti)
]∣
∣
∣(1o quadrante);
• b) ∆Ψr(ti) = π −∣
∣
∣tan−1
[
v2c(ti)v1c(ti)
]∣
∣
∣(2o quadrante);
• c) ∆Ψr(ti) = π +∣
∣
∣tan−1
[
v2c(ti)v1c(ti)
]∣
∣
∣(3o quadrante);
• d) ∆Ψr(ti) = 2π −∣
∣
∣tan−1
[
v2c(ti)v1c(ti)
]∣
∣
∣(4o quadrante);
3.2 Phase unwrapping 45
Figura 16 -Determinação do arco tangente no quadrante correto.
Fonte: (LEMES, 2014)
Desta forma, consegue-se determinar corretamente o quadrante de cada amostra de∆Ψr(ti).
Deste ponto em diante, o problema se resume em determinar o número de voltas que o arco
completa em torno do círculo para se eliminar o problema das descontinuidades. Sendo assim,
a expressão de∆Ψr(ti) passa a ser dada por:
∆Ψr(ti) = tan2−1[
v2c(ti)v1c(ti)
]
+2mπ (72)
sendo quetan2−1[
v2c(ti)v1c(ti)
]
representa a operação de arco tangente que fornece o arco no qua-
drante correto, conforme explicado anteriormente.
O arco calculado portan2−1[
v2c(ti)v1c(ti)
]
completa uma volta em torno do círculo trigonomé-
trico toda vez que o arco calculado da amostra atual estiver no 1o quadrante e o arco calculado
da amostra anterior estiver no 4o quadrante e, sendo assim, deve-se somar 1 am. Entretanto, se
o arco calculado da amostra atual estiver no 4o quadrante e o arco calculado da amostra ante-
rior estiver no 1o quadrante, tem-se que o arco calculado retrocedeu em uma volta em torno do
círculo trigonométrico e, desta forma, deve-se subtrair 1 dem.
O valor da frequência de amostragemFs é de suma importância no processo de demodu-
lação. Além de atender ao Teorema de Nyquist (OPPENHEIM; SCHAFER; BUCK, 1999),
também precisa atender uma exigência do método de demodulação apresentado. Assim, a
frequência de amostragemFs exigida para uma frequência de trabalhofs e para um sinal de
modulação com índicex deve ser (LEMES, 2014):
3.2 Phase unwrapping 46
Fs = fs ·4x (73)
Para ilustrar essa dependência da frequência de amostragem, realiza-se a simulação de um
sinal de modulação em 1 kHz, comx = 6π rad eφ0(ti) = π rad. Verifica-se, por (73), que a
frequência de amostragemFs deve ser superior a 75,3982 kHz. Ilustra-se nas Figuras 17a e
17b o sinal de fase óptica total∆Ψ(ti) e o resultado de saída∆Ψr(ti) do algoritmo dephase
unwrappingquando os sinais fotodetectados são amostrados em 60 kHz, ouseja, quandoFs é
insuficiente. O sinal de fase óptica total reconstruída∆Ψr(ti) é totalmente inconsistente com
∆Ψ(ti) (LEMES, 2014).
Figura 17 -Resultado obtido do processo de phase unwrapping quandoFs não atende (73).
Fonte: (LEMES, 2014)
No próximo capítulo serão descritos os aparatos experimentais e os resultados preliminares
obtidos com a demodulação dos sinais provenientes do SOT, aplicando-se o método de quadra-
tura de fase.
47
4 RESULTADOS EXPERIMENTAIS
Neste capítulo serão apresentados os resultados obtidos experimentalmente com o SOT
configurado para operar em quadratura de fase, bem como a demodulação dos sinais obtidos
utilizando-se do algoritmo dephase unwrapping. Primeiramente, serão apresentados os resul-
tados para baixas tensões (centenas de volts), e, em seguida, serão apresentados os resultados
para altas tensões (dezenas de kV).
4.1 Arranjo experimental em baixa tensão
Nesta seção será apresentado o arranjo experimental utilizado para a aquisição e processa-
mento dos sinais de saída em quadratura do SOT em baixas tensões. O conjunto experimental
é mostrado na Figura 18. O bloco denominado SOT corresponde aquele da Figura 10.
Figura 18 -Esquema de montagem do SOT.
Fonte: Elaboração do autor
4.1 Arranjo experimental em baixa tensão 48
Apresenta-se na Figura 19 a célula Pockels utilizada no SOT de baixa tensão. Ela está
montada na configuração transversal, na qual aplica-se o campo elétrico na direção Z e o feixe de
laser propaga-se na direção Y do cristal de niobato de lítio (LiNbO3). Esta célula corresponde ao
primeiro dispositivo discutido na seção 2.3, cujas dimensões e parâmetros ópticos podem ser lá
encontrados. Enfatiza-se que esta configuração apresenta oindesejável efeito da birrefringência
natural, e assim, o fenômeno de desvanecimento é acentuado.
Figura 19 -Célula Pockels para baixas tensões, contendo cristal e eletrodos de placas paralelas.
Fonte: Elaboração do autor
A montagem do SOT é ilustrada na fotografia da Figura 20, sendo: 1) Laser de Hélio Neô-
nio (He-Ne) da Oriel Corporation, modelo 79290, operando emλ = 632,8 nm, com potência
nominal de 4 mW, 2) Polarizador, 3) Célula Pockels fixada em estágios de rotação e transla-
ção, 4) Lâmina deλ/4 de onda, 5) Polarizador (Analisador), 6) Divisor de feixe (50:50), 7)
Fios condutores de sinais de tensão, 8) Polarizador (Analisador), 9-10) Fotodetectores de lei
quadrática do tipo PIN, de silício, modelo PDA 55 da Thorlabs.
Na Figura 21, apresenta-se a instrumentação eletrônica utilizada: um osciloscópio digital
da Tektronix TDS2022 (item 1); um osciloscópio digital da Tektronix TDS1002C-EDU (item
2); um sintetizador de funções da Agilent Technologies 33210A (item 3); um computador para
aquisição dos sinais (item 4) e um trafo de bancada (item 5).
4.1 Arranjo experimental em baixa tensão 49
Figura 20 -Montagem experimental do SOT em quadratura para baixa tensão.
Fonte: Elaboração do autor
Figura 21 -Instrumentação utilizada no SOT em quadratura para baixa tensão.
Fonte: Elaboração do autor
A montagem experimental, como ilustrada na Figura 18, de certa forma, é simples: o ge-
rador de funções, operando com amplitude máxima de 10 V de pico a pico, é conectado a um
pequeno transformador de tensão com relação de transformação nominal de 6:220 V alimen-
tado pelo lado de baixa tensão. A aquisição é feita por dois osciloscópios: enquanto um deles
realiza a aquisição dos sinais interferométricos (em mV) desaída do SOT, o outro adquire o
sinal (centenas de volts) aplicado na célula Pockels. Para garantir que os sinais fossem adquiri-
dos de maneira síncrona, utilizou-se comotrigger externo dos osciloscópios o sinal detrigger
fornecido pelo gerador de sinais.
A saída do transformador de 6:220 V é então conectada à célulaPockels e constitui a forma
de onda que se deseja detectar, sendo que em um canal do osciloscópio (item 1 da Figura 21) é
4.1 Arranjo experimental em baixa tensão 50
conectada a saída do transformador a fim de se adquirir a tensão de entrada do SOT. Os sinais
de saída do SOT são então conectados ao outro osciloscópio (item 2 da Figura 21), e por meio
da interface USB, o computador realiza o controle automatizado dos osciloscópios, para fins de
aquisição de dados, bem como, o controle do gerador.
4.1.1 Resultados obtidos em baixa tensão
Devido as dimensões do cristal, trabalhou-se com tensões daordem de 170 V de pico apli-
cados à célula Pockels. De fato, um motivo de preocupação ao se operar com este cristal é não
exceder o limite de tensão imposto pela ruptura dielétrica do ar (principalmente), pelas bordas
dos eletrodos metálicos da célula Pockels. Como a espessura do cristal é de aproximadamente
1 mm, estima-se que não seja adequado se operar com tensões superiores a 1 kV. Portanto, os
níveis de tensões referidos acima são perfeitamente seguros.
Na Figura 22 apresenta-se o resultado da aplicação de tensãoexterna ao SOT, com forma
de onda senoidal gerada pelo sintetizador de funções. Sua amplitude é de 166 V de pico a
pico e frequência de 1 kHz. Observa-se que os gráficos a seguirforam gerados em termos de
amplitude, nos eixos verticais, por tempo, nos eixos horizontais. O sinal recosntruído porphase
unwrappingtambém está mostrado e desenhado na mesma escala. Seu valor pode ser obtido a
partir da fase ópticaφ(t) aplicando-se (41), ou seja,V(t) = Vπλ φ(t) paraVπ = 64,92V. Como se
verifica, a aplicação do métodophase unwrappinggera um sinal reconstruído fiel ao sinal de
entrada.
Figura 22 -Gráfico com os sinais senoidais de entrada e reconstruído adquiridos doSOT.
0 0,5 1 1,5 2 2,5−200
−100
0
100
200
Tempo [ms]
Ten
são
[V]
EntradaReconstruído
Fonte: Elaboração do autor
Deve-se ressaltar que não houve problemas quanto ao fato da faseφ0(t) variar no tempo,
4.1 Arranjo experimental em baixa tensão 51
confirmando que o método é imune ao desvanecimento do sinal.
A seguir, será apresentado na Figura 23 o gráfico contendo os sinais de entrada e recons-
truído de uma forma de onda triangular. Nota-se que ouve boa concordância entre os sinais.
Cabe registar que a saída do sintetizador de sinais é uma formade onda triangular perfeita (sem
distorção e com valor médio nulo), porém, ao passar pelo transformador de 6:220 V, o sinal
sofre alguma filtragem, como pode ser observada na Figura 23.Entretanto, o que é importante
neste exemplo é que existe uma concordância entre o sinal efetivamente aplicado ao SOT e o
sinal detectado.
Figura 23 -Gráfico com os sinais triangulares de entrada e reconstruído adquiridosdo SOT.
0 0,5 1 1,5 2 2,5−200
−100
0
100
200
Tempo [ms]
Ten
são
[V]
EntradaReconstruído
Fonte: Elaboração do autor
Para se verificar a robustez do método dephase unwrapping, programou-se no gerador de
funções, formas de ondas arbitrárias, porém periódicas, ilustradas pelos gráficos da Figura 24.
Pode-se observar que, após o processo de demodulação, houveboa concordâncias entre os si-
nais de entrada e reconstruído. Este método possui uma substancial vantagem em comparação
ao método de Segmentação do Sinal Amostrado (SSA) (GALETI, 2012), uma vez que o mé-
todo SSA torna necessário se trabalhar com a detecção de pontos de derivadas nulas que são
atribuídos ao inicio e ao final dos ciclos. Por esse motivo nãopode haver segmento que conte-
nha derivadas nulas, pois, o método não as identificaria comopontos válidos e processaria os
sinais de forma errônea.
Como observado na Figura 24, o método dephase unwrappingfoi capaz de reconstruir os
sinais mesmo com a presença de pontos de derivadas nulas entre os ciclos.
4.1 Arranjo experimental em baixa tensão 52
Figura 24 -Gráfico com os sinais arbitrários de entrada e reconstruído adquiridos do SOT.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−200
−150
−100
−50
0
50
100
150
200
Tempo [ms]
Ten
são
[V]
EntradaReconstruído
0 1 2 3 4 5−150
−100
−50
0
50
100
150
Tempo [ms]
Ten
são
[V]
EntradaReconstruído
Fonte: Elaboração do autor
Para melhor compreensão do processo de demodulação, apresentam-se na Figura 25 foto-
grafias dos osciloscópios contendo: (a) Sinal de baixa tensão aplicado ao SOT de uma forma
de onda arbitrária com frequência de modulação de 1 kHz e amplitude de 230 V de pico-a-
pico; b) Sinais interferométricos de saída do SOT em quadratura de fase [amarelo referente
à equação (55) e em azul referente à equação (56)]. Desta forma, apresenta-se na Figura 26
a figura de Lissajous quando o osciloscópio está em modo XY, referente aos sinais da Figura
25b, observa-se que a figura formada uma elipse inclinada indicando que o sistema não está em
perfeita quadratura de fase. Ou seja, após a aquisição dos sinais de saída, procede-se a correção
da quadratura dos sinais para a obtenção de um círculo, como descrito na seção 3.1 e, assim,
efetuar a demodulação dos sinais interferométricos de saída pelo método dephase unwrapping
para a obtenção da forma de onda do sinal de entrada.
4.2 Arranjo experimental em alta tensão 53
Figura 25 -Gráfico: a) Sinal arbitrário aplicado na entrada do SOT e b) Sinais de saída em quadraturade fase do SOT.
Fonte: Elaboração do autor
Figura 26 -Gráfico contendo a figura de Lissajous dos sinais de saída apresentados na Figura 25b.
Fonte: Elaboração do autor
A seguir serão apresentados os resultados obtidos com a demodulação dos sinais em altas
tensões aplicados ao SOT.
4.2 Arranjo experimental em alta tensão
O arranjo experimental empregado nesta etapa da pesquisa é omesmo da Figura 18, exceto
pela nova célula Pockels, que possui capacidade de medir vários kV. Esta célula corresponde à
4.2 Arranjo experimental em alta tensão 54
segunda configuração discutida na seção 2.3. Na Figura 27, ilustra-se a estrutura da nova célula
Pockels montada com os eletrodos na configuração transversal, porém, com o campo elétrico
aplicado na direção Y e com o feixe de laser propagando-se ao longo do eixo óptico Z do cristal
de LiNbO3. Não há birrefringência natural nesta configuração e, portanto, é menos susceptível
ao fenômeno de desvanecimento.
Figura 27 -Célula Pockels para altas tensões, contendo cristal e eletrodos de placasparalelas.
Fonte: Elaboração do autor
O novo cristal agora tem as seguintes dimensões: comprimento de 20,273 mm, largura de
10,258 mm e espessura de 9,924 mm. Portanto, com uma espessura de aproximadamente 10
mm, a máxima tensão admissível antes da ruptura dielétrica (do ar) ocorrer é de aproxima-
damente 10 kV. Isto significa que o SOT ainda não tem capacidade para operar com 13,8 kV
(RMS), uma tensão cujo valor de pico é 19,5 kV. Por este motivo,a máxima tensão utilizada
nesta dissertação foi de aproximadamente 8 kV de pico.
Observa-se na fotografia da Figura 28 a montagem experimental do SOT de tensões eleva-
das implementado no LOE, sendo: 1) Laser de Hélio Neônio (He-Ne) da Lasos, modelo LGK
7628, operando no espectro visível comλ = 632,8 nm e com potência nominal de 15 mW, 2)
Polarizador, 3) Célula Pockels fixada em estágios de rotação etranslação, 4) Polarizador (Ana-
lisador), 5) Lâmina deλ/4 de onda, 6) Divisor de faixe (50:50), 7) Condutores de sinais, 8)
Polarizador (Analisador), 9-10) Fotodetectores de lei quadrática do tipo PIN, de silício, modelo
PDA 55 da Thorlabs.
4.2 Arranjo experimental em alta tensão 55
Figura 28 -Montagem experimental do SOT em quadratura para alta tensão.
Fonte: Elaboração do autor
Apresenta-se na Figura 29 o sistema de elevação de tensão, onde um transformador elevador
de tensão (item 1), com relação de transformação de 220 V para15 kV (RMS), é empregado para
elevar o sinal sintetizado pelo gerador de funções. Entretanto, como este gerador não fornece
corrente suficiente e possui tensão máxima de 10 V de pico-a-pico, utilizou-se um amplificador
de áudio (item 4) e um transformador de bancada (item 3) para reduzir o efeito do carregamento.
Figura 29 -Sistema de amplificação para tensões elevadas.
Fonte: Elaboração do autor
Sendo necessário verificar o quão eficiente será demodulaçãodos sinais, é importante com-
parar os sinais de entrada e de saída. Devido ao fato de se estar empregando tensões da ordem
de vários kV, o uso de uma ponta de prova capaz de operar nesta faixa de tensão se faz necessá-
ria. Por isso, utilizou-se uma ponta de prova (item 2 da Figura 29) com atenuação de 1000x, da
Tektronix, modelo P6015A.
4.2 Arranjo experimental em alta tensão 56
4.2.1 Resultados obtidos em alta tensão
Nesta seção serão apresentados os resultados obtidos experimentalmente com o SOT para
tensões elevadas.
Foram geradas formas de ondas distintas com o objetivo de investigar a viabilidade do
método dephase unwrappingem recuperar a tensão de entrada a partir do sinal fotodetectado.
Na sequência serão apresentados resultados de formas de ondas reconstruídas através do método
dephase unwrappinge com processamento em Matlab no microcomputador. Os espectros dos
sinais foram obtidos por FFT no Matlab.
Para verificar se a aquisição ocorreria sem problemas, sintetizou-se um sinal senoidal com
frequência de 60 Hz e tensão em torno de 5 kV de pico, como mostrado na Figura 30. A partir
daí, detectou-se os sinais de saída dos fotodiodos e aplicou-se o método dephase unwrapping.
Pela análise do gráfico da Figura 30, observa-se que os sinais, de tensão de entrada e recons-
truído (obtido por meio da expressão (41),V(t) = Vππ φ(t) paraVπ = 3,768 kV), possuem boa
concordância.
Figura 30 -Gráfico com os sinais senoidais de entrada e reconstruído em altas tensões adquiridos doSOT.
0 10 20 30 40 50−6
−4
−2
0
2
4
6
Tempo [ms]
Ten
são
[kV
]
EntradaReconstruído
Fonte: Elaboração do autor
Para verificar a capacidade do SOT em reproduzir com certa fidelidade o sinal de alta tensão
aplicado, mesmo com elevado conteúdo de harmônicos superiores, foram geradas formas de
ondas triangulares. Porém, devido à limitada banda de resposta em frequência do sistema de
elevação de tensão, a forma de onda gerada possui o aspecto apresentado na Figura 31.
Portanto, o sinal recuperado pelo método dephase unwrappingserá comparado com a
forma de onda de entrada da Figura 31, pois esta é a alta tensãoque efetivamente está aplicada
4.2 Arranjo experimental em alta tensão 57
ao SOT. Analisando os gráficos da Figura 31, nota-se que também houve boa concordância
entre os sinais de entrada e reconstruído.
Figura 31 -Gráfico com os sinais de entrada e reconstruído adquiridos do SOT de umaforma de ondatriangular distorcida.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Tempo [ms]
Ten
são
[kV
]
EntradaReconstruído
Fonte: Elaboração do autor
Apresenta-se na Figura 32 o gráfico com informações sobre o conteúdo harmônico da forma
de onda apresentada na Figura 31, onde nota-se que existe umaboa concordância entre as prin-
cipais componentes harmônicas dos sinais de entrada e reconstruído. Ocorrem concordâncias
entre as amplitudes harmônicas (ímpares) até a 11a harmônica.
Figura 32 -Componentes harmônicas do sinal de entrada e sinal reconstruído de uma forma de ondatriangular distorcida.
60 180 300 420 540 660 780 900 1000−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
Frequência [Hz]
Mag
nitu
de [d
B]
EntradaReconstruído
Fonte: Elaboração do autor
4.2 Arranjo experimental em alta tensão 58
Na sequência, para testar o SOT diante de harmônicas de ordens ainda mais elevadas, um
sinal com forma de onda quadrada é então sintetizado pelo gerador de funções. Novamente,
porém, ao passar pelo sistema elevador de tensão, que não possui suficiente largura de banda,
obtém-se uma versão distorcida como observada na Figura 33.O sinal reconstruído deverá ser
então comparado com esta forma de onda distorcida.
Figura 33 -Gráfico com os sinais de entrada e reconstruído adquiridos do SOT de umaforma de ondacom elevado conteúdo harmônico.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−6
−4
−2
0
2
4
6
Tempo [ms]
Ten
são
[kV
]
EntradaReconstruído
Fonte: Elaboração do autor
Analisando a Figura 33, verifica-se que o sinal reconstruídoobteve boa concordância em
relação ao sinal de entrada, indicando que o método dephase unwrappingutilizado possui
capacidade necessária para o processo de demodulação.
A seguir, na Figura 34, é apresentado o espectro das componentes harmônicas do sinal da
Figura 33. Analisando este espectro, observa-se que houve boa concordância entre as harmôni-
cas dos sinais de entrada e reconstruído até o nível de aproximadamente -40 dB (o que corres-
ponde até a 13a harmônica).
4.2 Arranjo experimental em alta tensão 59
Figura 34 -Componentes harmônicas do sinal de entrada e sinal reconstruído de uma forma onda comelevado conteúdo harmônico.
60 180 300 420 540 660 780 900 1020 1140 1260 1380 1500−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
Frequência [Hz]
Mag
nitu
de [d
B]
EntradaReconstruído
Fonte: Elaboração do autor
A seguir, serão apresentadas algumas conclusões sobre os resultados obtidos ao longo deste
trabalho, bem como, algumas sugestões de trabalhos de pesquisa futuros que podem utilizar este
trabalho como base.
60
5 CONCLUSÕES
Foram realizados estudos sobre o efeito eletro-óptico em cristais de niobato de lítio e sobre
o modulador eletro-óptico de amplitude a base de célula Pockels. Foram calculados os valores
das tensões de meia-ondaVπ para as duas configurações apresentadas.
Abordou-se a interferometria com dois sinais em quadratura. Ao longo do texto, foi apre-
sentado o método dephase unwrapping(LEMES, 2014), uma característica importante deste
método é que não há a necessidade de se filtrar os sinais de saída para o processo de demodula-
ção. Isto garante que sinais com harmônicos de grau elevado não sejam suprimidos. Somando
esta característica, tem-se a potencialidade que o método apresenta em demodular sinais arbi-
trários, como os observado na Figura 24.
Em seguida, procederam-se aos testes experimentais, em baixas e altas tensões aplicadas
no SOT. Utilizou-se o método dephase unwrappingpara a demodulação dos sinais de saída, e
assim, levantou-se por meio da FFT em Matlab seus espectros harmônicos para fins de compa-
ração.
A aplicação do método no processo de demodulação dos sinais evidenciou ser satisfatória.
Assim, foi possível obter as formas das tensões que foram aplicadas no SOT, observados pelos
gráficos apresentado no capítulo 4. A comprovação da potencialidade do método também foi
obtida pelos gráficos das componentes harmônicas dos sinais(Figuras 32 e 34).
Assim, deduz-se que, o método dephase unwrappingtenha também grande aplicabilidade
no processo de demodulação de sinais com elevado conteúdo harmônico, como por exemplo,
na determinação do conteúdo harmônico da rede de distribuição de 13.8 kV (RMS).
Sugere-se para trabalhos futuros que o método dephase unwrappingseja implementado em
arquitetura DSP, para a demodulação de sinais provenientesde um interferômetro de quadratura
montado no LOE, para a caracterização de atuadores piezoelétricos disponíveis no LOE, ou
então, para medição de tensões elevadas usando o SOT em quadratura estudado neste trabalho.
61
REFERÊNCIAS
BARBOSA, F. A. A.Método de detecção interferométrica de fase, com baixa profundidadede modulação, aplicado à medição de deslocamentos nanométricos em atuadores eminimanipuladores piezoelétricos. 158 f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica) —Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira, 2009.
BARBOSA, F. de A. A.; NADER, G.; HIGUTI, R. T.; KITANO, C.; SILVA, E.C. N. A simpleinterferometric method to measure the calibration factor and displacement amplification inpiezoelectric flextensional actuators.Controle e Automação, v. 21, n. 4, p. 577–587, 2010.
BERTON, P.; KITANO, C.; HIGUTI, R. T. Medição de deslocamento manométricospor interferometria óptica em tempo real. In: REUNIÃO ANUAL DA SOCIEDADEBRASILEIRA PARA O PROGRESSO DA CIÊNCIA, 62., 2010.Natal. Anais... São Paulo:SBPC, 2010. p. 1.
BERTON, P. L.Análise e implementação de técnicas de medição de microvibrações utilizandointerferometria óptica e processadores digitais de sinais. 108 f. Dissertação (Mestrado emEngenharia Elétrica) — Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade EstadualPaulista, Ilha Solteira, 2013.
CARLSON, A. B.; CRILLY, P. B.; RUTLEDGE, J. C.Communication systems. 4. ed. Boston:McGraw-Hill, 2002.
CARVALHO, A. A.; FERREIRA, W. B.; KITANO, C. Implementação de um sensor a fibraóptica polarimétrico para medidas de deformação de estruturas de concreto. In: CONGRESSOBRASILEIRO DE ENGENHARIA MECÂNICA, 15., 1999.Águas de Lindoia. Anais...Campinas: ABCM/UNICAMP, 1999. p. 1–10.
CHANG, Y.-H.; KIM, D.-H.; HAN, J.-H.; LEE, I. Online phase tracking of interferometricoptical fiber sensors for vibration control.Journal of intelligent material systems andstructures, Sage Publications, v. 18, n. 4, p. 311–321, 2007.
DOBOSZ, M.; USUDA, T.; KUROSAWA, T. Methods for the calibration of vibration pick-upsby laser interferometry: I. theoretical analysis.Measurement Science and Technology, Bristol,v. 9, n. 2, p. 232–239, 1998.
DONALDSON, E.; CALTON, P.; GIBSON, J.; JONES, G.; PILLING, N.;TAYLOR, B.Autonomous current sensing for high voltage systems with auxiliary optical energisation.Sensor Review, MCB UP Ltd, v. 21, n. 2, p. 126–132, 2001.
FILIPPOV, V. N.; STARODUMOV, A. N.; BARMENKOV, Y. O.; MAKAROV, V. V.Fiber-optic voltage sensor based on a Bi12TiO20 crystal.Applied optics, Optical Society ofAmerica, v. 39, n. 9, p. 1389–1393, 2000a.
REFERÊNCIAS 62
FILIPPOV, V. N.; STARODUMOV, A. N.; MINKOVICH, V. P.; BARMENKOV, Y. O.Optically controlled fiber voltage sensor.Photonics Technology Letters, IEEE, IEEE, v. 12,n. 7, p. 870–872, 2000b.
GALETI, J. H. Medição interferométrica de fase óptica através do método de segmentaçãodo sinal amostrado. 148 f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica) — Faculdade deEngenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira, 2012.
GALETI, J. H.; BERTON, P. L.; KITANO, C.; HIGUTI, R. T.; CARBONARI, R. C.; SILVA,E. C. N. Wide dynamic range homodyne interferometry method and its application forpiezoactuator displacement measurements.Applied Optics, v. 52, n. 28, p. 6919–6930, 2013.
HEYDEMANN, P. L. M. Determination and correction of quadrature fringe measurementerrors in interferometers.Applied Optics, New York, v. 20, n. 19, p. 3382–3384, 1981.
KITANO, C. Análise do interferômetro Mach-Zehnder com controle acústico-eletro-óptico.224 f. Tese (Mestrado em Ciências) — Instituto Tecnológico deAeronáutica - ITA, São Josédos Campos, 1993.
KUROSAWA, K.; YOSHIDA, S.; MORI, E.; TAKAHASHI, G.; SAITO, S.Developmentof an optical instrument transformer for dc voltage measurement.Power Delivery, IEEETransactions on, IEEE, v. 8, n. 4, p. 1721–1726, 1993.
KYUMA, K.; TAI, S.; NUNOSHITA, M.; MIKAMI, N.; IDA, Y. Fiber- optic current andvoltage sensors using a Bi12GeO20 single crystal.Lightwave Technology, Journal of, IEEE,v. 1, n. 1, p. 93–97, 1983.
LEMES, A. da S.Novas configurações de interferômetros de quadratura e de técnicas dedetecção de fase óptica baseadas em PHASE UNWRAPPING. 143 f. Dissertação (Mestradoem Engenharia Elétrica) — Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade EstadualPaulista, Ilha Solteira, 2014.
LEÃO, J. V. F. Interferometria óptica aplicada à medição de amplitudes devibraçãomanométricas em piezoatuadores flextensionais. 157 f. Dissertação (Mestrado em EngenhariaElétrica) — Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista, IlhaSolteira, 2004.
LI, C.; CUI, X.; YOSHINO, T. Measurement of ac electric power based on dual transversepockels effect.Instrumentation and Measurement, IEEE Transactions on, IEEE, v. 50, n. 5, p.1375–1380, 2001.
LI, C.; CUI, X.; YOSHINO, T. Optical electric-power sensor by use of one bismuth germanatecrystal.Journal of Lightwave technology, IEEE, v. 21, n. 5, p. 1328–1333, 2003.
LI, C.; YOSHINO, T. Optical voltage sensor based on electrooptic crystal multiplier.LightwaveTechnology, Journal of, IEEE, v. 20, n. 5, p. 843–849, 2002.
LIMA, R. A. Sensor Eletro-óptico de Tensões Elevadas e sua Viabilidadepara Implementaçãode TP Óptico. 111 f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica) — Faculdade deEngenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira, 2013.
REFERÊNCIAS 63
MARÇAL, L. A. P. Novas técnicas de detecção de fase óptica em interferômetroshomódinosaplicadas à caracterização de atuadores piezoelétricos flextensionais. 263 f. Tese (Doutoradoem Engenharia Elétrica) — Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade EstadualPaulista, Ilha Solteira, 2008.
MARÇAL, L. A. P.; KITANO, C.; HIGUTI, R. T.; NADER, G.; SILVA, E. C. N.Ahigh dynamic range method for direct readout of dynamic phase change in homodyneinterferometers.Measurement Science and Technology, Bristol, v. 23, n. 12, p. 1–12, 2012.
MARTINS, W. W. M. Sensores ópticos de tensão baseados no efeito eletro-óptico em cristaisde niobato de lítio. 163 f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica) — Faculdade deEngenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira, 2006.
MENEZES, J. P. C.Análise teórica e experimental de um método interferométrico de detecçãode fase óptica auto-consistente e com elevada faixa dinâmica, aplicado à caracterização deatuadores piezoelétricos flextencionais. 146 f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica)— Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira,2009.
NETTO, U. C.Aplicações de controle e supervisão distribuídas em subestações de energiaelétrica através do uso de relés digitais de proteção. 172 f. Dissertação (Mestrado) — Escolade Engenharia Elétrica de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2008.
NUQUI, R.; ZARGHAMI, M.; MENDIK, M. The impact of optical current and voltage sensorson phasor measurements and applications. In:Transmission and Distribution Conference andExposition, 2010 IEEE PES. [S.l.: s.n.], 2010. p. 1–7.
NYE, J. F.Physical properties of crystals. Oxford: Oxford Press, 1957.
OPPENHEIM, A. V.; SCHAFER, R. W.; BUCK, J. R.Discrete-time signal processing. 2. ed.New Jersey: Prentice Hall, 1999.
PAN, F.; XIAO, X.; XU, Y.; REN, S. An optical ac voltage sensor based on the transversepockels effect.Sensors, Molecular Diversity Preservation International, v. 11, n. 7, p.6593–6602, 2011.
PARK, H.-J.; KIM, H.-J.; SONG, M. Fiber-optic voltage sensorusing a hybrid laserinterferometer. In: OPTICAL SOCIETY OF AMERICA.Quantum Electronics and LaserScience Conference. [S.l.], 2007. p. 1–2.
PEREIRA, F. da C.Demodulação de sinais interferométricos de saída de sensoreletro-ópticode tensões elevadas utilizando processador digital de sinais. 125 f. Dissertação (Mestradoem Engenharia Elétrica) — Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade EstadualPaulista, Ilha Solteira, 2013.
PETCH, H. S.; RUSHTON, J.Power System Protection− Principles and Components. 2. ed.UK: Peter Peregrinus, 1981.
RIPPER, G. P.Padronização primária em metrologia de vibrações. 219 f. Tese (Doutorado emCiências em Engenharia Mecânica) — Escola Politécnica - Universidade Federal do Rio deJaneiro, Rio de Janeiro, 2005.
REFERÊNCIAS 64
SAKAMOTO, J. M. S.Sensor em fibra ópticos aplicado à caracterização de atuadorespiezoelétricos flextensionais. 163 f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica) —Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira, 2006.
SAKAMOTO, J. M. S.; KITANO, C.; PACHECO, G. M.; TITTMANN, B. R. Highsensitivityfiber optic angular displacement sensor and its applicationfor detection of ultrasound.AppliedOptics, New York, v. 51, n. 20, p. 4841–4851, 2012.
SANTOS, J. C.; TAPLAMACIOGLU, M. C.; HIDAKA, K. Optical high voltage measurementusing pockels microsingle crystal.Review of scientific instruments, AIP Publishing, v. 70, n. 8,p. 3271–3276, 1999.
SANTOS, J. C.; TAPLAMACIOGLU, M. C.; HIDAKA, K. Pockels high-voltage measurementsystem.Power Delivery, IEEE Transactions on, IEEE, v. 15, n. 1, p. 8–13, 2000.
SMITH, D.; RICCIUS, H.; EDWIN, R. Refractive indices of lithium niobate.OpticsCommunications, Elsevier, v. 17, n. 3, p. 332–335, 1976.
TAKIY, A. E. Análise Teórica e Experimental de uma Nova Técnica de Processamento deSinais Interferométricos Baseada na Modulação Triangularda Fase Óptica. 148 f. Dissertação(Mestrado em Engenharia Elétrica) — Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, UniversidadeEstadual Paulista, Ilha Solteira, 2010.
VELDMAN, C. S. A novel implementation of an iso standard method for primary vibrationcalibration by laser interferometry.Metrologia, Bristol, v. 40, n. 2, p. 1–8, 2003.
YARIV, A. Optical electronics. 3. ed. New York: Holt, Rinehart and Winstonm, 1985.
YARIV, A.; YEH, P. Optical waves in crystals. New York: John Wiley & Sons, 1984.
ZHAO, S.; JIA, X.; LI, B.; PANG, C. A new method of high order harmonic measurementand analysis. In: IEEE.Power System Technology, 2002. Proceedings. PowerCon 2002.International Conference on. [S.l.], 2002. v. 4, p. 2501–2504.
Recommended