EXAMEN DE MATEMATICAS II 1ª ENSAYO (ÁLGEBRA) … · La matriz del sistema y la matriz ampliada...

EXAMEN DE MATEMATICAS II 1ª ENSAYO (ÁLGEBRA)

Apellidos: __________________________Nombre: _______________

Curso: 2º Grupo: A Día: CURSO 2014-15

Opción A

1.- Considera la matriz

1 que depende de un parámetro.

a) [1,25 puntos] ¿Para qué valores de a tiene B inversa? Justifica la respuesta. b) [1,25 puntos] Para a = 0 halla la inversa de B.

2.- Se sabe que dc

ba = 5

a) [2 puntos] Calcula el valor de 2d6cd-3c

2b6ab-3a

b) [0,5 puntos] Enuncia las propiedades de los determinantes que hayas usado en el apartado anterior. 3.- [2,5 puntos] Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro real m,

1mzmy4x

0z3y2x

02z4y5x

4.- Considera el sistema de ecuaciones que depende de un parámetro real a

6zay5x

2z3y2x

(a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de a. (b) [1 punto] Resuélvelo para a = 8.

Opción B

1.- [2,5 puntos] Se dice que una matriz cuadrada de orden 3 es ortogonal si su inversa A-1

y su traspuesta At

coinciden. Dado un número real x, ¿Es ortogonal la matriz B siguiente?

0cos(x)sen(x)-

sen(x)cos(x)

2.- [2,5 puntos] Se dice que dos matrices A y B son semejantes cuando existe una matriz invertible P tal que AP = PB.

Prueba que las matrices A =

21 y B =

02 son semejantes.

3.- [2,5 puntos] Sea el sistema de ecuaciones

m1mzm)y(1x

Estudia su comportamiento según los valores del parámetro m.

4.- [2,5 puntos] Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero

que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros.

SOLUCIÓN DEL EXAMEN

Opción A

1.- Considera la matriz B =

1 que depende de un parámetro.

a) [1,25 puntos] ¿Para qué valores de a tiene B inversa? Justifica la respuesta. b) [1,25 puntos] Para a = 0 halla la inversa de B.

Solución: (a) La matriz B tiene inversa cuando su determinante sea no nulo:

= a2(a+1)+2a+2a -(a+1+2a

2) = a

2+3a-1 = 0

Que se anula para a = 1. Es decir que tiene inversa para a -{1}. (b) Si a = 0 la matriz se convierte en:

Con determinante B = -1.

Obtenemos la matriz de adjuntos:

Adj(B) =

La matriz traspuesta de los adjuntos será:

Adj(B)t =

Como B-1

= B)(AdjB

1 t se obtiene que la inversa de B es:

2.- Se sabe que dc

ba = 5

(a) [2 puntos] Calcula el valor de 2d6cd-3c

2b6ab-3a

(b) [0,5 puntos] Enuncia las propiedades de los determinantes que hayas usado en el apartado anterior.

Solución:

(a) Para calcular el valor del determinante D lo descomponemos en sumandos:

D = 2d6cd-3c

2b6ab-3a

2d6c3c

2b6a3a

2d6cd-

2b6ab-

= 6c3c

6a3a +

2b3a +

6ab- +

Como el producto de la fila o columna de un determinante por un número es igual al determinante por ese número, se puede sacar factor común a los elementos de las columnas de los determinantes obteniendo:

D = 18 cc

Si dos filas o columnas son iguales se anula el determinante:

D = 6 dc

Si intercambiamos dos filas o columnas el determinante cambia de signo, luego:

D = 6 dc

ba + 6

ba = 12

ba = 12.5 = 60

(b) Una de las propiedades de los determinantes usadas en el apartado anterior es: “Si los elementos de una fila o columna se descomponen en sumandos, su determinante es igual a la suma de 2 determinantes que tiene todas las demás filas o columnas iguales y uno de los dos sumandos en la fila o columna en cuestión”.

3.- [2,5 puntos] Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro real m,

1mzmy4x

0z3y2x

02z4y5x

Solución:

La matriz del sistema y la matriz ampliada del sistema son:

1mm1-4

El rg(A) es al menos 2 ya que el menor

Como el valor del determinante es A = 7m2-7 que será nulo para m = 1 ó m = -1

Tenemos los siguientes casos:

m 1 y m -1 rg(A) = rg(A*) = 3. Sistema compatible determinado.

m = -1

rg(A) = 2 y rg(A*) = 3 ya que existe un menor de orden 3 no nulo:

El sistema es por lo tanto incompatible

rg(A) = rg(A*) = 2. El sistema es compatible indeterminado.

4.- Considera el sistema de ecuaciones que depende de un parámetro real a

6zay5x

2z3y2x

(a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de a. (b) [1 punto] Resuélvelo para a = 8. Solución:

(a) La matriz del sistema y la matriz ampliada son:

Como A = (3+10+2a)-(-15+a+4) = 24-3a se anulará cuando a = 8.

Si a 8 rg(A) = rg(A*) = 3. El sistema es compatible determinado, la intersección es un punto.

Si a = 8

rg(A) = rg(A*) = 2. El sistema es compatible indeterminado. (2) Para a = 8, tal como dijimos, el sistema es compatible indeterminado, una de las ecuaciones es combinación

lineal de las otras dos y la despreciamos, tomando z = , queda el sistema:

2z3y2x

λ-23y2x

λ22yx

λ-23y2x

λ24-4y2x- - y = -2-3 y = 2+3

x = 2+-2y = 2+-4-6 = -2-5

Opción B

1.- [2,5 puntos] Se dice que una matriz cuadrada de orden 3 es ortogonal si su inversa A-1

y su traspuesta At

coinciden. Dado un número real x, ¿Es ortogonal la matriz B siguiente?

0cos(x)sen(x)-

sen(x)cos(x)

Solución: Para demostrar que B es ortogonal calculamos su inversa. Como el determinante es:

0cos(x)sen(x)-

sen(x)cos(x)

= -1. cos(x)sen(x)-

sen(x)cos(x) = -(cos

2x+sen

2x) = -1 0

luego B tiene inversa. Hallamos su adjunta:

Adj(B) =

0cos(x)-sen(x)

sen(x)-cos(x)-

Calculamos su traspuesta:

Adj(B) t =

0cos(x)-sen(x)-

sen(x)cos(x)-

Calculamos su inversa:

Adj(B)t

0cos(x)sen(x)

sen(x)-cos(x)

Calculamos su traspuesta

0cos(x)sen(x)

sen(x)-cos(x)

Evidentemente Bt = B

-1, luego la matriz B si es ortogonal

2.- [2,5 puntos] Se dice que dos matrices A y B son semejantes cuando existe una matriz invertible P tal que AP =

PB. Prueba que las matrices A =

21 y B =

02 son semejantes.

Solución: Si las matrices A y B son invertibles existirá una matriz invertible P:

verificando:

Realizando los productos:

2db2ca=

Imponiendo la igualdad de matrices: a +2c = 2a b+2d = -b a = 2c b = -d Obtenemos: b = -d a = 2c Es decir:

Cuyo determinante es:

d-2c = 3cd

que es siempre distinto de cero salvo que sean c = 0 o d = 0.

3.- [2,5 puntos] Sea el sistema de ecuaciones

m1mzm)y(1x

Estudia su comportamiento según los valores del parámetro m.

Solución: Para estudiar su comportamiento según los valores del parámetro m, debemos escribir las matrices asociadas:

m1mm11

Calculamos el determinante de A para hallar su rango y poder aplicar el teorema de Rouché-Frobenius

det(A) =

1m = m(m-1)

donde hemos restado a la 3ª fila la 1ª fila, y desarrollado el determinante por los adjuntos de la 1ª columna. Igualando a cero la expresión obtenemos:

det(A) = m (m-1) = 0 m = 0 ó m = 1

Si m 0 y m 1

Como det(A) 0, rg(A) = rg(A*) = 3 = nº de incógnitas y el sistema es compatible determinado.

Si m = 0, las matrices del sistema son:

rg(A) = 2 ya que el menor formado por elemento de la 2ª y 3ª columnas

rg(A*) = rg(A) = 2 pues la columna añadida de coeficientes es igual a la 2ª columna. El sistema es compatible indeterminado.

Si m = 1, las matrices del sistema son:

rg(A) = 2 ya que el menor

Calculemos rg(A*). Como el determinante

= 1. 21

11 = 1 0

rg(A) =2 rg(A*) = 3. El sistema es incompatible.

4.- [2,5 puntos] Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros. Solución: Sea x el dinero de Álvaro Sea y el dinero de Marta Sea z el dinero de Guillermo

Que los tres juntan 84 euros, se traduce en: x + y + z = 84 [1] Que Álvaro diga a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad, Marta + 1/5 de Álvaro = Guillermo, se traduce en:

1x = z [2]

Que Guillermo = Álvaro – 1/5 de Álvaro, se traduce en:

1x = z z =

4x [3]

Resolviendo el sistema:

84 = z + y + x

Si z = 5

4x, lo sustituimos en [2]:

4x y =

Sustituyendo en [1] obtenemos:

84 = x5

3x 84 = x

12 x =

420 = 35

por lo tanto:

y = 35.5

3 = 21

z = 35.5

4 = 28

Es decir que El dinero de Álvaro es 35 euros El dinero de Marta es 21 euros El dinero de Guillermo es 28 euros

EXAMEN DE MATEMATICAS II 1ª ENSAYO (2)

Apellidos: _________________________ Nombre: _______________

Curso: 2º Grupo: A Día: CURSO 2014-15

Instrucciones: a) Duración: 1 HORA y 30 MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B c) Contesta de forma razonada, escribe ordenadamente y con letra clara. d) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gráfica).

Opción A

1.- Sean las matrices

a) [0,5 puntos] Indica los valores de m para los que A es invertible. b) [2 puntos] Resuelve la ecuación matricial XA − B

t = C para m = 0. (B

t es la matriz traspuesta de B).

2.- Sea el siguiente sistema de ecuaciones

λ = z λ+ y- x

2 = z λy - 2x

2+ λ = z + y + λx

a) [1,75 puntos] Discútelo según los valores de . ¿Tiene siempre solución?

b) [0,75 puntos] Resuelve el sistema para = −1.

3.- Sean las matrices A =

1αy B =

a) [1,25 puntos] Calcula los valores de para los que la matriz inversa de A es A12

b) [1,25 puntos] Para = -3, determina la matriz X que verifica la ecuación AtX = B, siendo A

t la traspuesta de A.

4.- Dadas las matrices A =

α1-1-

a) [1,75 puntos] Calcula el rango de A dependiendo de los valores de .

b) [0,75 puntos] Para = 2, resuelve la ecuación matricial AX = B.

Opción B

1.- Sea la matriz

a) [1,25 puntos] Comprueba que se verifica 2A - A2 = I.

b) [1,25 puntos] Calcula A−1

. (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)).

2.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

m = z - my + x

1- = z + y - x-

1 = z - y - 2)x + (m

a) [1,75 puntos] Discútelo según los valores de m. b) [0,75 puntos] Resuélvelo para el caso m = 1. 3.- Sea la matriz

a) [1 punto] ¿Para qué valores del parámetro k no existe la inversa de la matriz A? Justifica la respuesta. b) [1'5 puntos] Para k = 0, resuelve la ecuación matricial (X +I) ·A = A

t, donde I denota la matriz identidad y A

t la matriz

traspuesta de A. 4.- Considera el sistema de ecuaciones

= z +1)y ( +3x

3 + 2 = 2z +3y

1 + = z +y +x

a) [1 punto] Resuelve el sistema para = 1.

b) [1 punto] Halla los valores de para los que el sistema tiene una única solución.

c) [0'5 puntos] ¿Existe algún valor de para el que el sistema admite la solución

1 0, ,

SOLUCIÓN DE LA PRUEBA

Opción A

a) [0,5 puntos] Indica los valores de m para los que A es invertible. b) [2 puntos] Resuelve la ecuación matricial XA − B

t = C para m = 0. (B

t es la matriz traspuesta de B).

Solución:

a) A es invertible si su determinante es no nulo

= (-m2+0+0)-(-4m+3+0) = -m

2+4m-3

Que igualando a cero nos da la ecuación:

-m2+4m-3 = 0 m

2-4m+3 = 0 m =

12164 =

Con soluciones m1 = 1 y m2 = 3.

Luego para mR-{1,3} la matriz A es invertible. b) Para resolver la ecuación matricial XA-B

t = C multiplicamos por la derecha por A

-1para despejar X:

= (Bt + C)A

-1 X = (B

t + C)A

Para m = 0 la matriz A se convierte en:

El valor de la inversa es: A-1

= )Adj(AA

En el apartado anterior habíamos calculado |A| obteniendo, para m = 0: |A| = -m2+4m-3 = - 3

Obtenemos la matriz traspuesta:

La matriz de los adjuntos de la traspuesta será:

Adj(At) =

Luego la inversa de A es:

Calculamos (Bt + C) =

X = (Bt + C)A

2.- Sea el siguiente sistema de ecuaciones

λ = z λ+ y- x

2 = z λz - 2x

2+ λ = z + y + λx

a) [1,75 puntos] Discútelo según los valores de . ¿Tiene siempre solución?

b) [0,75 puntos] Resuelve el sistema para = −1. Solución:

a) Para discutir las soluciones del sistema utilizamos el Teorema de Rouché-Frobenius. Siendo la matriz de coeficientes y ampliada:

y A* =

λλ1-1

21λ-2

2λ11λ

Hallemos el valor del determinante de A:

= (-3+1-2)-(-+2-) = -

Que será nulo si 3= -1 = -1

Si λ ≠ -1 rg(A) = rg(A*) = 3 = nº de incógnitas, por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es

compatible y determinado y tiene solución única.

Si λ = -1 la matriz de coeficientes y ampliada son:

y A* =

1-1-1-1

111- 1

Como existe un menor de orden 2 12

11- = -1-2 = -3 0, rg(A) = 2. Como en la matriz ampliada la 1ª y 3ª

filas son proporcionales rg(A*) = 2. Como rg(A)= rg(A

*)= 2 < nº de incógnitas, por el teorema de Rouché-

Frobenius el sistema es compatible indeterminado, y tiene infinitas soluciones. Por lo tanto el sistema siempre tiene solución b) Si λ = -1 en el apartado anterior hemos discutido que es un sistema compatible indeterminado con rg(A) rg(A

2, luego una de las ecuaciones es combinación lineal de las otras 2. Despreciamos la tercera y tomamos

parametrizamos la incógnita z = :

2 = z y 2x

1 = z + y + x-

λ- 2 = y 2x

λ-1 = y + x-

Si restamos a la 2ª ecuación la 1ª obtenemos:

3x = 1 x = 3

Sustituyendo el valor de x en la 1ª ecuación:

λ-1 = y + 3

1- y = λ-

11 y = λ-

La solución del sistema es:

(x, y, z)=

λ λ,-

1con λR.

1αy B =

a) [1,25 puntos] Calcula los valores de para los que la matriz inversa de A es A12

b) [1,25 puntos] Para = -3, determina la matriz X que verifica la ecuación AtX = B, siendo A

t la traspuesta de A.

Solución: a) Por el enunciado del problema sabemos que existe la matriz inversa de A:

= )Adj(AA

Con determinante A = 3+ = 4

Adj(At) =

Como del enunciado del problema tenemos que:

Igualando valores de términos equivalentes obtenemos el sistema:

3 36 = 4α

2 = 9 α = ± 3.

-1 -12 = 4α

α = -3.

1 12 = -4α

α = -3.

1 12 = 12

Luego α = - 3. b) Para resolver la ecuación matricial A

tX = B, multiplicamos por la izquierda por (A

-1 y aplicando la propiedad de

que (At)

-1 = (A

tX = (A

-1.B X = (A

-1.B = (A

En el apartado anterior hemos averiguado que para α = -3:

Luego:

X = (A-1

)t.B =

4.- Dadas las matrices

α1-1-

a) [1,75 puntos] Calcula el rango de A dependiendo de los valores de .

b) [0,75 puntos] Para = 2, resuelve la ecuación matricial AX = B. Solución: Para estudiar el rango de A estudiamos su determinante:

α1-1-

= (3+1+1)-(+ +) =

Que será nulo cuando 3-3+2 = 0, ecuación que resolvemos mediante la regla de Ruffini:

1 0 -3 2

1 1 1 -2

1 1 -2 0

1 1 2 2

Es decir que |A| = (-1)2(+2)

Si α ≠ 1 y α ≠ -2, tenemos |A| ≠ 0, por tanto rango(A) = 3.

Si α = 1 queda la matriz:

Como la segunda y la tercera filas son proporcionales a la primera rg(A) = 1.

Si α = -2 queda la matriz:

2-1-1-

Como el menor 2-1

12-= (4-1) = 3 0 rg(A) = 2.

b) Para α = 2, las matrices son A =

En el apartado anterior hemos averiguado que A es invertible ya que su determinante es: |A| = 2

3-3.2+2 = 4

El valor de la inversa es:

= )Adj(AA

Que coincide con la matriz, es por lo tanto una matriz simétrica. La matriz de los adjuntos de la traspuesta será:

Adj(At) =

Por lo tanto multiplicando a la izquierda por la inversa de la ecuación matricial:

.AX = A-1

.B X = A-1

X = A-1

.B X =

Opción B

1.- Sea la matriz

a) [1,25 puntos] Comprueba que se verifica 2A − A2 = I.

b) [1,25 puntos] Calcula A−1

. (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)). Solución:

a) Calculemos:

; 2.A =

Veamos que 2A - A2 = I, siendo I la matriz identidad de orden 3.

2A- A2 =

como queríamos ver. b) Sabemos que una matriz cuadrada A tiene matriz inversa B si A.B = B.A = I. Utilizando la igualdad 2A - A

2 = I del apartado anterior, y sacando factor común la matriz A por la derecha

tenemos (2I – A).A = I, y por la definición de inversa tenemos que A-1

= 2I-A , es decir:

= 2I-A =

Se puede comprobar que:

2.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

m = z - my + x

1- = z + y - x-

1 = z - y - 2)x + (m

a) [1,75 puntos] Discútelo según los valores de m. b) [0,75 puntos] Resuélvelo para el caso m = 1. Solución:

a) Sea A =

1-1-2m

111-1-

11-1-2m

la matriz de coeficientes y la matriz ampliada

respectivamente. Para que el sistema tenga solución única, por el Teorema de Rouché-Frobenius, rg(A) = rg(A

* ) = 3 = nº de

incógnitas, por tanto el determinante de A tiene que ser distinto de cero.

1-1-2m

= [(m+2)-1+m]-[1-1+m.(m+2)] = 2m+1-m2-2m = 1-m

2 = -(m-1)(m+1).

Si |A| = 0, tenemos -(m-1)(m+1) = 0, de donde m = 1 y m = -1.

Para m ≠ 1 y m ≠ - 1 el sistema es compatible y determinado, y tiene solución única.

Si m = 1

Sea A =

la matriz de los coeficientes y A *

111-1-

11-1-3

la ampliada.

Vemos que rango(A) = 1, pues las tres filas son iguales.

En A como1-1-

1-3 = - 4 ≠ 0, tenemos rg(A) = 2.

En A* como

1-1-1-

= 0, por tener la fila 2ª y 3ª proporcionales tenemos rg(A*) = 2.

Como rango(A) = rango(A*) = 2 < nº de incógnitas, por el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema es

compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones.

Si m = - 1

Sea A =

la matriz de coeficientes y A *

1-1-1-1

1-11-1-

11-1-1

la matriz ampliada.

En A como1-1-

1-1 = - 2 ≠ 0, tenemos rg(A) = 2.

En A *

1-1-1-

= (-2)(-2) = 4 ≠ 0, rg(A*) = 3.

Como rango(A) = 2 rango(A*) = 3, por el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema es incompatible y no

tiene solución. b) Si m = 1 hemos visto en el apartado anterior que rg(A) = rg(A

*) = 2 < nº de incógnitas, y el sistema era

compatible e indeterminado, es decir con infinitas soluciones. Para resolverlo tomamos dos ecuaciones y dos incógnitas principales. Tomamos las dos primeras ecuaciones, que sabemos que son independientes, por lo calculado en el apartado

anterior. Tomamos z = como parámetro y obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

1- = z + y - x-

1 = z - y - 3x

λ-1- = y - x-

λ1 =y - 3x

Restamos la 2ª ecuación de la 1ª obteniendo:

4x = 2 + 2 x = 2

Sustituyendo el valor de x en la 2ª ecuación:

y = -x+1+ = λ12

Por lo tanto la solución del sistema es:

(x, y, z) =

3.- Sea la matriz

a) [1 punto] ¿Para qué valores del parámetro k no existe la inversa de la matriz A? Justifica la respuesta. b) [1,5 puntos] Para k = 0, resuelve la ecuación matricial (X +I) ·A = A

t, donde I denota la matriz identidad y A

t la matriz

traspuesta de A. Solución:

a) Para hallar qué valores del parámetro k hacen no exista matriz inversa calculamos el determinante, |A| y obligamos a que sea nulo. Calculamos el determinante:

= (0+0+2k) - (1+0+0) = 2k-1 [1]

Si |A| = 0 2k -1 = 0 k = 2

1. Luego la matriz A no tiene inversa si k =

b) En el apartado anterior hemos averiguado que para k = 0 la matriz A tiene inversa, luego podemos multiplicar la ecuación por la derecha por la inversa de la matriz A y a continuación restar la matriz identidad en ambos miembros:

(X +I)·A.A -1

= At.A

-1 (X +I) = A

-1 X = A

Sustituyendo k = 0 en la expresión [1] del apartado anterior hallamos la matriz:

Cuyo determinante es |A|= 2.0-1 = -1 Como es no nulo exista la matriz inversa, A

−1, que calculamos su inversa aplicando la fórmula:

= )Adj(AA

Adj(At) =

Sustituimos en la ecuación anterior:

X = At.A

-1-I =

4.- Considera el sistema de ecuaciones

λ = z + 1)y(λ + 3x

3 + 2λ = 2z + 3y

1 + λ = z + y + x

a) [1 punto] Resuelve el sistema para = 1.

b) [1 punto] Halla los valores de para los que el sistema tiene una única solución.

c) [0,5 puntos] ¿Existe algún valor de para el que el sistema admite la solución

1 0, ,

Solución:

b) Para halla los valores de λ para los que el sistema tiene una única solución consideramos la matriz de los coeficientes del sistema y la matriz ampliada:

11-λ3

λ11-λ3

32λ230

1λ111

Para que haya solución única según el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema ha de ser compatible y determinado, luego rango(A) = rango(A*) = 3 = nº de incógnitas. Para ello basta con que el determinante de la matriz del sistema sea no nulo, |A| ≠ 0.

11-λ3

= (3+6-0)-(9+2λ-2+0) = -2λ+2

Luego el sistema tiene solución única si λ ≠ 1.

c) Para ver si existe algún valor de λ para que el sistema admita la solución

1 0, ,

1- debemos sustituir dichos

valores en las ecuaciones del sistema y ver si es cierto. Sustituimos:

1- = λ+1 0 = λ+1 λ = -1

1- .20. = 2λ+3 1 = 2λ+3 2λ = -2 λ = -1

.3 = λ -1 = λ

Luego el valor buscado es λ = -1 a) Hemos visto en el apartado (b) que si λ = 1, |A| = 0 luego rango(A) < 3. Sustituimos y obtenemos

11= 3 0, rango(A) = 2.

= (3+15+0) -(18+0+0) = 18-18 = 0, rango(A*) = 2

Como rango(A) = rango(A*) = 2 < nº incógnitas, por el teorema de Rouché el sistema es compatible e indeterminado, y tiene infinitas soluciones. Como el rango es 2, una de ellas es combinación lineal de las otras dos,

sólo necesitamos 2 ecuaciones. Tomamos la 1ª y la 2ª siendo z = :

2λ -5 = 3y

λ -2 y + x

En la 2ª ecuación queda: y = 3

Sustituyendo en la 1ª ecuación: x = 2--y = 2--3

La solución es: (x, y, z) =

1,, con R.

EXAMEN DE MATEMATICAS II 1ª ENSAYO (ÁLGEBRA) … · La matriz del sistema y la matriz ampliada...

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Tema 3: Álgebra matricial - Academia Cartagena99 3 .pdfInversa de una matriz. Definición: Inversa de una matriz. Una matriz # ∈ ℳ) ( ) es . invertible (o . no-singular) si existe

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