Fabrizio Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2007- 2008 CURVE...

Fabrizio Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2007-2008

CURVE PIANE 1

Modelli matematico e categorie comuni delle curve: una prima panoramica

F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2007 - 2008

I cinematismi piani e i grafici delle Funzioni

• La curva come luogo di punti è immaginata come prodotta da un cinematismo piano a un solo grado di libertà; è dunque il Luogo delle posizioni consecutive di un punto in movimento secondo una legge data come relazione analitica fra le coordinate x e y del piano (soddisfatta da tutti e soli i punti della curva): equazione della curva.

• 1) ciascuna coordinata è espressa come funzione di un parametro (ad esempio il tempo)

x = f (t), y = g (t)• 2) oppure entrambe le coordinate sono espresse in

una sola equazione f (x,y) = 0 in forma cartesiana o polare.

• A esempio in forma polare….

Grado delle equazioni e ORDINI delle curve

• Se f(x, y) è un polinomio (ridotto) di grado m, la curva è algebrica di Ordine m (di primo grado per una retta, di secondo grado per una conica). L’ordine ha il noto significato proiettivo del massimo numero di intersezioni con una retta del piano proiettivo.

• La curva si dice algebrica oppure trascendente secondo che sia algebrica o trascendente la sua equazione

Il punto doppio si conta due volte

L’ordine di una curva non dipende dal tipo coordinate (cartesiane, polari, bipolari …) nei quali è rappresentata la sua equazione poiché le relazioni che permettono il passaggio da un sistema di riferimento cartesiano a un altro sono lineari e dunque l'ordine di una curva algebrica rimane invariato quando si cambia sistema di riferimento.

Punti speciali di una curva

• MULTIPLO - Se una curva torna su stessa una o più volte il punto nel quale avviene questo ritorno assume generalmente tangenti distinte ed è nominato PUNTO DOPPIO o TRIPLO o MULTIPOLO. Le tangenti possono coincidere, o divenire a coppie immaginarie coniugate.

• NODO - In un punto doppio le tangenti possono essere reali e distinte e allora il punto si dice NODO;

• CUSPIDE - possono essere invece reali e coincidenti, allora quel punto è una CUSPIDE e le tangenti reali e coincidenti invertono il loro senso.

• ISOLATO - Le tangenti nel punto doppio possono anche essere immaginarie e coniugate, allora il punto si dice ISOLATO.

• ASINTOTICO è un punto attorno al quale la curva compie infinite evoluzioni.

• Per dualità nel piano dall’idea di punto multiplo si ammette quella di tangenti multiple aventi con la curva multipli punti di contatto.

• Una tangente doppia sega la curva in due punti reali e distinti o coincidenti, oppure immaginari e coniugati; tali punti sono detti DI FLESSO;

Ordini delle curve e senso plastico della variazione di curvatura

TANGENTE di una curva e curva come INVILUPPO

• La tangente in un generico punto A di una curva piana è la posizione limite della secante in A e in un punto A' quando A' tende a A.

• il variare del coefficiente angolare delle tangenti si esprime traducendo la forma esplicita dell’equazione y = f(x) nella funzione sua derivata prima y'(x).

• La curva è così anche l’INVILUPPO delle sue rette tangenti, si può immaginare ogni suo punto come generato dal moto di una retta che interseca in ogni istante la sua posizione precedente. Una curva è l’insieme dei punti di contatto della famiglia delle sue tangenti.

Grado dell’equazione e ORDINE DELLA CURVA: una rassegna morfologica

Cubiche ellittiche

(Parabole divergenti)

e cubiche razionali

(duplicatrice)

Coniche(Quadratiche)

Serie morfologicheparabola

catenaria

Catenaria d’ugual

resistenza

sinusoide

lintearia

Cicloide di Sturm

Curva di Schoute

a forma di punta di matita

qui ottenuta come inversione biassiale dell’iperbole

Grafico della funzione Inversa del coseno

iperbolico

Curva di Gauss

Cubica di Lamé

Curva di Agnesi

strofoide

Trisettrice di MacLaurin

Qui costruita come intersezione di due rette che ruotano

costantemente una alla velocità tripla dell’altra

Folium di Cartesio

Cubica circolare razionale

cissoide

Cissoide come curva mediana della retta del

circolo

Cubiche di Chasles

Iperboli cubiche

(P è un polinmio di terzo grado)

Parabole (cubiche)

divergenti

Quartica razionale piriforme

Curva a “lacrima”

Lemniscata di Bermouilli

Lemniscata di Gerono

Quartiche bicircolari razionali

Lumaca di Pascal

Cardioide Qui costruita come pericicloide

Quartiche di Bermuoilli

Qui resa come curva mediana tra due circoli concentrici

Qui resa come curva descritta dalla biella di Berad

Spiriche di Perseo

Fissati A e B

variando C.

1) Se 0 < B < A

2) Se B < 0 < A

Spiriche e toriche

Ovali di Cassini

Ovali e Lemniscate di Booth

e Ippopede di Proclo

Costruzioni cinematiche (come curve di Watt) delle curve di Booth come luoghi del centro di una conica che ruota senza scivolare su una a lei uguale e con i vertici coincidenti

Quartiche di Plücker

Trascendenti tipiche: le spirali

Spirale logaritmica

Caso di fibonacci

Cfr. Modulor

Spirale d’Archimede

E la sua inversa:

Spirale iperbolica

Involuta del circolo

• Le involute di una data curva piana C sono le curve (inviluppo) tracciate dall’estremo di un filo teso lungo C e srotolato da C;detto altrimenti sono le tracce nel piano di un punto d’una retta ruotante senza scivolare su C (sono dunque dei casi particolari di cicloidi).

• Una qualunque curva della quale un’altra curva C è l’evoluta si dice Evolvente di C (quì il circolo è l’Evolvente).

Curve elastiche e parametriche

• Curve piane la cui curvatura in ciascun punto M è proporzionale alla distanza da una curva detta direttrice

curve di Bézier

• curva di approssimazione ottenuta come interpolazione di punti di controllo che non passa attraverso i punti che interpola (tranne il primo e dell’ultimo).

• L’ordine di una curva di Bézier è sempre uguale al numero dei punti di controllo. (una curva di Bézier di ordine 9 si costruice con un polinomio è di ottavo grado).

• Come per Euclide la retta è quella curva che coincide con ogni sua tangente (la curva è una retta se e solo se tutti i “punti di controllo” giacciono sulla curva) così nelle curve parametriche di Bézier la curva è una retta se e solo se i punti di controllo sono collineari.

• Una curva quadratica di Bézier si costruisce assegnando i punti intermedi Q0 e Q1 al variare di t da 0 a 1 il punto

Q0 varia da P0 to P1 e descrive una curva lineare di Bézier.

Il punto Q1 varia da P1 to P2 e descrive una curva lineare di Bézier.

Il punto B(t) varia da Q0 to Q1 e descrive una curva quadratica di Bézier.

tragitto di B(t) da P0 a P1.

Curve di approssimazione (B-spline)

• Una generalizzazione delle dalle curve di Bézier sono le curve formate da più tratti di ordine uguale ma anche minore del numero p. Se vi sono n vertici di controllo l’ordine della curva può tra n (in questo caso è una curva di Bézier) e 2 (in questo caso degenera nella spezzata di controllo).

• la curva passa per il primo e l’ultimo vertice evendone per tangenti rispettivamente il primo e l’ultimo tratto della spezzata di controllo.

La categorizzazione comune delle curve

Curve di Lamè

Fabrizio Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2007- 2008 CURVE...

Documents

· 94716.7635 tangen 94645.4252 curve 94620.7191 79.8699 96.1699 109.4740 curve 94412.9542 curve 94486.0733 curve 94588.0629 tangen 94683.8100 493292.0216

Cinghie piane metalliche BELT TECHNOLOGIES · 2018. 2. 15. · Possibili esecuzioni delle cinghie metalliche Belt-Technologies Piane forate Piane semplici Alcune delle applicazioni

Statistica descrittiva

Scrittura descrittiva

RIEPILOGO GARANZIE ACQUISTATE - Cattolica · Lastre piane o curve, fisse nelle loro installazioni o scorrevoli su guide, di cristallo, mezzo cristallo e vetro, esistenti nei fabbricati

Accademia di Belle Arti di Roma / A. A. 2013/2014 / Prof ......Accademia di Belle Arti di Roma / A. A. 2013/2014 / Prof. Luciano Fabale Nascondiamo le curve piane della proiezione

Fabrizio Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva CURVE e SUPERFICIE 3 Cubiche, quartiche e alcune trascendenti; superfici di

Le curve piane e le proprietà della cicloideweb.math.unifi.it/users/ottavian/tesi/tesi_irene_vezzosi.pdf · 2015. 12. 22. · La cicloide è la curva che descrive il tragitto più

CALENDARIO 2018 - descrittiva

Note di Teoria delle Curve algebriche piane - Antonio Cigliola

Lastre Piane

Alessandro Verra 10 Settembre 2009 - Matematica - Roma Tre · 10 Settembre 2009 Alessandro Verra Geometria ed Algebra delle curve piane. PARTE PRIMA Sistemi di equazioni algebriche

EVOLUTE DI CURVE PIANE E GRADO DELLA DISTANZA EUCLIDEAweb.math.unifi.it/users/ottaviani/tesi/slides_bassi.pdf · Evolute di curve piane Inviluppo di una famiglia di curve Deﬁnizione

1 ticket = € 2€¦ · Gattinara Molsino 2VV9 Nervi 2 Barbera d’Asti Superiore NiUUa 2V11 Olim Bauda 1 Maggiorina 2V14 Le Piane 1 Mimmo 2V11 Le Piane 1 Piane 2V11 Le Piane 2 Boca

LE CURVE PIANE: DALLO STUDIO IN GEOMETRIA …amslaurea.unibo.it/2279/1/dalsanto_daniela_tesi.pdf · STUDIO IN GEOMETRIA ALLA TRATTAZIONE SCOLASTICA. Tesi di Laurea in Analisi Relatore:

Repertorio di curve piane speciali - mi.imati.cnr.italberto/mnG70cURPISP.pdf · Quindi le cubiche costituiscono uno spazio proiettivo di 9 dimensioni e si pu o trovare una cubica

VISTA CON GLI LAA SSCIENNZZAA ST CON GL OCCCHHII DDI … · un sistema di lamine saponate ècostituito da superfici piane o curve che si intersecano tra loro secondo linee con curvatura

24_Strutture Reticolari Isostatiche Piane

GuidoCastelnuovo: Curve algebriche piane e sghembe (Roma ... · stesso Castelnuovo e da altri autori suoi contemporanei, e inﬁne con i famo-si testi [3, 9]. Non essendoci possibile

Geometria descrittiva dinamica