24_Strutture Reticolari Isostatiche Piane

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE Insegnamento: Meccanica delle strutture n° Lezione: 24 Titolo: Strutture reticolari isostatiche piane: equilibrio dei nodi

FACOLTÀ DI INGEGNERIA

LEZIONE 24 – Strutture reticolari isostatiche piane

Nucleo tematico Lez. Contenuto

7 24 Strutture reticolari isostatiche piane: definizioni, impostazione del problema, equilibrio dei nodi.

In questa lezione vengono introdotti particolari tipi di sistemi di travi detti “strutture reticolari”. Si premette che queste strutture non presentano differenze concettuali rispetto ai sistemi di travi oggetto delle lezioni precedenti e di quelli che saranno oggetto delle lezioni successive. Infatti per la determinazione delle reazioni vincolari e delle caratteristiche di sollecitazione delle travi che costituiscono una struttura reticolare possono essere utilizzati i criteri ed i metodi generali già descritti per le strutture isostatiche e quelli che saranno descritti per le strutture iperstatiche. Queste strutture godono tuttavia di alcune proprietà importanti sotto il profilo tecnico ed applicativo. Queste proprietà consentono una agevole determinazione dello stato di sollecitazione delle aste che le costituiscono. Definizione

Si chiama struttura reticolare un sistema di travi costituito da travi non necessariamente rettilinee mutuamente collegate da cerniere interne disposte alle estremità e soggetto a forze esterne (comprese le reazioni vincolari) esclusivamente applicate nei nodi, ossia in corrispondenza delle cerniere (figura 24.1).

Figura 24.1.

Osservazione 1

Ogni trave di una struttura reticolare è soggetta alle estremità esclusivamente ad una forza avente la direzione della congiungente i suoi nodi estremi; nel caso in cui la trave sia ad asse rettilineo questa è soggetta solo a sforzo normale.

Si consideri infatti la trave di figura 24.2 facente parte di una struttura reticolare e quindi vincolata con cerniere al resto della struttura e non soggetta a forze o carichi distribuiti applicati lungo i suo asse. Siano A e B le sezioni estreme della trave. La trave è dunque soggetta esclusivamente alle reazioni AR passante per il nodo A ed

BR , passante per il nodo B.

F1

F2

F1

F2

mailto:[email protected]


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Figura 24.2.

Non essendo applicate altre forze alla trave, l’equilibrio di questa impone che il sistema di forze costituito dalle sole AR ed BR abbia risultante nulla e momento risultante nullo rispetto a qualunque polo e quindi che queste due forze abbiano la stessa retta di azione, lo stesso modulo e verso opposto. Ci si convince facilmente di questo ragionano per assurdo: si supponga che la forza AR applicata al nodo A abbia la retta di azione r non passante per B (figura 24.2). Scelto il punto B come polo per la valutazione dei momenti, l’equilibrio alla rotazione della trave impone

0dRA =⋅ (24.1)

escludendo il caso banale RA = 0, questa equazione è soddisfatta se e solo se d è nullo e quindi se e solo se la retta di azione r di AR passa per B. Un analogo ragionamento relativamente alla forza BR fa concludere che la retta di azione di BR passa per A. L’imposizione della condizione di equilibrio alla traslazione nella direzione della congiungente AB (figura 24.3):

BA RR −= (24.2)

fa poi concludere che le due forze AR ed BR devono avere lo stesso modulo e verso opposto.

Figura 24.3.

Per una trave facente parte di una struttura reticolare sono quindi possibili solo le configurazioni di equilibrio riassunte nella figura 24.4a; è immediato riconoscere che una generica sezione di questa trave è soggetta a sforzo normale, taglio e momento flettente non nulli (figura 24.4b). Inoltre queste caratteristiche di sollecitazione sono variabili lungo l’asse della trave in ragione della variazione dell’inclinazione e della posizione della sezione rispetto alla congiungente gli estremi.

A RA

RB

B

A RA

RB

B

d

F1

F2

A

B

r



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Figura 24.4.

Osservazione 2

La retta che passa per le cerniere disposte agli estremi di una trave di una struttura reticolare, che è la retta di azione delle reazioni vincolari esercitate dalle cerniere agli estremi della trave, è la linea delle pressioni della trave. Osservazione 3

Un’asta rettilinea facente parte di una struttura reticolare è soggetta in ogni sezione esclusivamente a sforzo normale. Inoltre lo sforzo normale è costante lungo l’asta, non essendo per ipotesi applicati carichi lungo il suo l’asse. Infatti (figura 24.5) la retta di azione della risultante delle forze che precedono una qualunque sezione dell’asta è la retta congiungente gli estremi e quindi la retta contenente l’asse dell’asta stessa. Nel caso in cui lo sforzo normale è positivo si dice che l’asta è soggetta a trazione o brevemente che è tesa e l’asta si dice tirante (figura 24.5a); nel caso in cui lo sforzo normale è negativo si dice che l’asta è soggetta a compressione o brevemente che l’asta è compressa e l’asta si dice puntone (figura 24.5b).

Figura 24.5.

T

N M

N

T

M

(b)

A RA = RB

RB = RA

T

N M

(a)

A RA = RB

B

RB = RA

A RA = RB

RB = RA

T

N M

A RA = RB

B

RB = RA

A RA = RB

B

RB = RA

A RA = RB

3L/

RB = RA

A RA = RB

RB = RA

A RA = RB

RB = RA

T

N M

T

N M

T

N M

N

T

M

(a) (b)



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Nel seguito si farà riferimento principalmente a strutture reticolari costituite da aste rettilinee per l’importanza che queste hanno sotto il profilo applicativo; si rimarca tuttavia che le considerazioni basate sull’equilibrio si applicano indifferentemente al caso di travi non rettilinee. Strutture reticolari isostatiche, iperstatiche, labili

I criteri descritti nella lezione 6 per l’identificazione di una struttura come isostatica, iperstatica o labile sono validi in generale, e quindi anche per le strutture reticolari. In questo caso sono tuttavia possibili le ulteriori considerazioni brevemente riassunte nel seguito. Approccio cinematico

Si considerino le due aste tra loro incernierate di figura 24.6; questo sistema ha evidentemente 4 gradi di libertà nel piano, nel senso che per identificarne la posizione è necessario assegnare 4 parametri: ad esempio le due coordinate xA ed yA del punto A, l’inclinazione α dell’asta 1 rispetto ad un asse di riferimento e l’angolo β12 formato dalle due aste. Di questi 4 parametri tre definiscono la posizione assoluta del sistema rispetto ad un riferimento nel piano (xA, yA e α) ed uno definisce la posizione relativa tra le due aste.

Figura 24.6.

Analogamente il sistema costituito dalle 3 aste incernierate di figura 24.7 ha 5 gradi di libertà di cui 3 identificano la posizione assoluta del sistema (xA, yA e α) e due (β12 e β23) la posizione relativa tra le aste.

Figura 24.7.

Si consideri ora il sistema di figura 24.8 in cui le tre aste costituiscono un maglia triangolare chiusa. Questo sistema ha 3 gradi di libertà (3 gradi di libertà per ogni asta pensata svincolata dalle altre e 2 gradi di

A

B

x

y

xA

yA α

β12

1 2

C

3

β23

A

B

x

y

xA

yA α

β12

1 2



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vincolo interno per ogni cerniera). La sua posizione è identificata da tre parametri (ad esempio xA, yA e α) che ne definiscono la posizione assoluta rispetto ad un riferimento esterno; la posizione relativa tra le aste resta definita senza la necessità di assegnare ulteriori parametri.

Figura 24.8.

In questo senso si dice che la struttura è esternamente tre volte labile ed internamente isostatica. Questa struttura, che è una struttura reticolare nel senso geometrico della definizione sopra riportata, diviene isostatica qualora vincolata con vincoli esterni in grado di impedirne ogni spostamento nel piano, cioè con vincoli esterni aventi globalmente molteplicità pari a 3 come ad esempio in figura 24.9.

Figura 24.9.

Se alla struttura si aggiunge una ulteriore maglia triangolare, cioè si aggiungono due aste (aste 4 e 5) ed un nodo (nodo D) la struttura è ancora isostatica. A partire dalla struttura di figura 24.9 questa operazione può essere fatta in due modi, come mostrato in figura 24.10.

Figura 24.10.

Nel caso di figura 24.10a il nuovo nodo D è stato aggiunto alla struttura di figura 24.9 senza interrompere le aste esistenti e le due nuove aste (aste 4 e 5) connettono il nuovo nodo a due nodi già esistenti: in questo modo alla struttura sono stati aggiunti 3 gradi di libertà per ogni nuova asta e sono stati introdotti 2 gradi di vincolo per

A

B

1 C

3

2 4

5 D

A

B

1 C

3

2

4

5

D

(a) (b)

A

B

1 C

3

2

A

B

x

y

xA

yA α

1 C

3

2



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ogni cerniera cui convergono le nuove aste (si osservi che le cerniere B e C assumono in questo caso molteplicità di vincolo pari a 4 ciascuna, in quanto collegano due aste ciascuna). Sono quindi stati aggiunti 6 gradi di libertà ed introdotti 6 gradi di vincolo e la struttura che si ottiene è ancora isostatica. Nel caso di figura 24.10b il nuovo nodo D è stato invece aggiunto alla struttura di figura 24.9 interrompendo la continuità di una delle aste esistenti (in questo modo è stata aggiunta anche una nuova asta, cioè l’asta 4) e l’ulteriore asta (asta 5) è stata aggiunta tra il nuovo nodo ed un nodo già esistente: anche in questo caso sono state aggiunte due aste (aste 4 e 5) ed un nodo (nodo D); alla struttura sono stati aggiunti 3 gradi di libertà per ogni nuova asta e sono stati introdotti 2 gradi di vincolo relativi alla cerniera B (che ora collega 3 aste mentre nella struttura di partenza ne collegava 2) e 4 gradi di vincolo relativi alla nuova cerniera D (che collega 3 aste). Anche in questo caso sono quindi stati aggiunti 6 gradi di libertà ed introdotti 6 gradi di vincolo e la struttura che si ottiene è ancora isostatica.

Il ragionamento può evidentemente generalizzarsi: aggiungendo a queste strutture ancora due aste ed una cerniera ad ogni passo (figura 24.11).

Figura 24.11.

Quindi una struttura reticolare internamente isostatica con 3

nodi è formata da 3 aste; una con 4 nodi è formata da 5 aste; una con 5 nodi è formata da 7 aste; una con 6 nodi è formata da 9 aste, e così via. In generale può affermarsi che una struttura reticolare internamente isostatica avente n nodi è costituita da

3n2as −= (24.3)

aste. Una struttura reticolare isostatica (sia internamente che esternamente) con n nodi è formata da as aste, essendo as dato dalla (24.3) ed è dotata di vincoli esterni la cui somma delle molteplicità è pari a 3.

A

B

1 C

3

2 4

5 D

6

7 (a)

A

B

1 C

3

2

4

5

D

(b) E

6 7

E

A

B

1 C 3

2 4

5 D

6 7

A

B

1 C

3

2

4

5

D

E

6 7 E 8

9 F 9

F 8



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Aggiungendo ad una struttura reticolare isostatica un’asta collegante cerniere già presenti si produce un aumento del grado di vincolo del sistema (si aggiungono 3 gradi di libertà relativi alla nuova asta e 2 gradi di vincolo per ognuna delle cerniere cui la nuova asta è collegata) e quindi si ottiene una struttura iperstatica (figura 24.12). In particolare, in figura 24.12a è stata aggiunta l’asta 6 alla struttura isostatica di figura 24.10a mentre in figura 24.12b è stata aggiunta l’asta 8 alla struttura isostatica di figura 24.11b.

Figura 24.12.

Rimuovendo da una struttura reticolare isostatica un’asta si

produce globalmente una diminuzione dei grado di vincolo (si rimuovono 3 gradi di libertà relativi alla nuova asta e 2 gradi di vincolo per ognuna delle cerniere cui l’asta era collegata) e quindi si ottiene una struttura labile (figura 24.13). In particolare in figura 24.13a è stata rimossa l’asta 2 dalla struttura di figura 24.10a mentre in figura 24.13b è stata rimossa l’asta 2 dalla struttura di figura 24.11b.

Figura 24.13.

In altre parole, una struttura reticolare iperstatica dotata di

vincoli esterni la cui somma delle molteplicità è pari a 3 ha un numero di aste superiore a quello dato dalla (24.3), mentre una struttura reticolare labile dotata di vincoli esterni la cui somma delle molteplicità è pari a 3 ha un numero di aste inferiore a quello dato dalla (24.3). Considerazioni analoghe valgono quando a partire da una struttura reticolare isostatica si aggiungono o rimuovono vincoli esterni.

A

B

1 C

3

4

5 D (a) (b)

A

B

1

C

3

4

5 D

6

7

A

B

1 C

3 4

5

D

E

6

7

A

B 1 C

3 4

5

D

E

A

B

1 C

3

4

5 D (a) (b)

2 6

7

A

B

1 C

3

2

4

5

D

6

8



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E’ evidente come la (24.3) costituisca una condizione necessaria ma non sufficiente per affermare che la struttura non è suscettibile di moti rigidi. Ad esempio la struttura di figura 24.13b ha un’asta in meno rispetto al numero previsto dalla (24.3) ed è labile e quindi suscettibile di moti rigidi; aggiungendo a questa un’asta tra i nodi B e C la (24.3) è soddisfatta e la struttura non è più suscettibile di moti rigidi (si ottiene nuovamente la struttura di figura 24.11b); se però la nuova asta venisse inserita tra i nodi D ed E la (24.3) sarebbe comunque soddisfatta pur rimanendo la struttura suscettibile di assumere la configurazione spostata di figura 24.13b. Un esempio analogo è costituito dalla struttura rappresentata in figura 24.14 per la quale la (24.3) è soddisfatta pur essendo possibili per essa moti rigidi come ad esempio quello di figura 24.14b.

Figura 24.14.

D’altra parte (figura 24.15) si rileva come la maglia ABCD sia formata da un numero di aste superiore a quello necessario dato dalla (24.3); detto ABCD

sa il numero di aste che formano la maglia ABCE risulta infatti

53n26a ABCEABCDs =−>= (24.4)

essendo 4nABCE = il numero dei nodi della maglia.

Figura 24.15.

La maglia CDEF è invece formata da un numero di aste inferiore a quello necessario dato dalla (24.3); detto CDEF

sa il numero di aste che formano la maglia CDEF risulta infatti

53n24a CDEFCDEFs =−<= (24.5)

essendo 4nCDEF = il numero dei nodi della maglia. Il bilancio globale delle aste e dei nodi soddisfa quindi la (24.3) ma la maglia ABCD ha un’asta in più di quanto necessario all’isostaticità

A D

C B

F

E

D

C

(a) (b)

A D

C

F

E B

A

B C

D F

E



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mentre la maglia CDEF ne ha una in meno ed è suscettibile di configurazioni spostate. Si rileva in effetti che nel passaggio dalla configurazione iniziale a quella spostata di figura 24.14b la maglia ABCD si sposta come un corpo rigido, mentre la maglia CDEF modifica la sua forma.

Approccio statico In un struttura reticolare formata da travi ad asse rettilineo le

aste sono soggette esclusivamente a sforzo normale costante, di conseguenza la determinazione delle caratteristiche di sollecitazione consiste esclusivamente nella determinazione dei valori dello sforzo normale nelle aste. Pertanto la soluzione di una struttura reticolare con un numero as di aste e soggetta a vincoli esterni a cui somma delle molteplicità è v costituisce un problema con un numero di incognite pari ad as + v, essendo v il numero di componenti delle reazioni vincolari esterne incognite. Si immagini di isolare un qualunque nodo A di una struttura reticolare con una piccola porzione delle aste ad esso collegate (figura 24.16).

Figura 24.16.

Al nodo sono applicate le eventuali forze esterne e le forze interne trasmesse dalle aste prima della separazione, che sono gli sforzi normali nelle aste convergenti al nodo; queste forze hanno la direzione delle aste e la loro retta di azione passa per il nodo. Per ogni nodo è dunque possibile scrivere due equazioni scalari di equilibrio alla traslazione nella forma

=+α⋅

=+α⋅

∑

∑

=

=

0FsinN

0FcosN

Ay

j

1kAkAk

Ax

j

1kAkAk

(24.6)

essendo j il numero delle aste concorrenti al nodo considerato, NAk lo sforzo normale nella k-esima asta concorrente al nodo, αAk l’angolo tra l’asse della k-esima asta concorrente al nodo e l’asse x del sistema di

F1

F2

A A1

A4 A3 A2

F2

A

A4

A3

A1

A2

NA1 NA1 NA1

NA2

NA2

NA2 NA3

NA3

NA3

NA4

NA4

NA4

αA1 = π

αA2

αA3

αA4

x

y



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riferimento assunto ed FAx ed FAy le componenti secondo gli assi x ed y della forza applicata al nodo (la componente Fx2 è nulla nel caso di figura 24.16). Le (24.6) sono equazioni lineari nelle incognite NAk e sono dette equazioni di equilibrio del nodo. Si rileva come l’equazione di equilibrio alla rotazione del nodo sia identicamente soddisfatta per qualunque sforzo normale nelle aste concorrenti in quanto tutte le forze Nak agenti sul nodo passano per il nodo stesso (scegliendo il nodo come polo il momento di ogni forza agente sul nodo è nullo). Scrivendo per ognuno degli n nodi due equazioni di equilibrio del tipo (24.6) si ottiene un sistema di 2n equazioni lineari nelle as incognite (uno sforzo normale per ogni asta). Si hanno quindi

n2m= (24.7)

equazioni lineari nelle as + v incognite menzionate. Il sistema può avere una soluzione unica se il numero delle incognite è uguale al numero delle equazioni, cioè se

van2m s +== (24.8)

e quindi se

vn2as −= (24.9)

Se poi la struttura ha vincoli esterni la cui somma delle molteplicità è pari a v = 3, cioè è esternamente isostatica la (24.9) diventa

3n2as −= (24.10)

Si conclude che la (24.10) costituisce una condizione necessaria affinché sia possibile determinare le reazioni dei vincoli esterni ed interni di una struttura reticolare esternamente isostatica e quindi costituisce una condizione necessaria affinché questa struttura sia staticamente determinata. Ovviamente questa condizione non è, in generale, sufficiente, come ci si può rendere conto ricordando il teorema Rouché-Capelli, relativo all’esistenza ed unicità della soluzione di un sistema lineare.

Se invece la struttura ha un numero di aste superiore a quello dato dalla (24.10) si ha un numero di incognite superiore a quello delle equazioni che si ottengono scrivendo le (24.6) per ogni nodo ed il sistema lineare che si ottiene è dotato, in generale, di infinite soluzioni.

Viceversa se la struttura ha un numero di aste inferiore a quello dato dalla (24.10) si ha un numero di incognite inferiore a quello delle equazioni che si ottengono scrivendo le (24.6) per ogni nodo ed il sistema lineare che si ottiene non ha, in generale, soluzione e quindi non esiste un insieme di sforzi normali nelle aste in grado di soddisfare tutte le equazioni di equilibrio dei nodi e l’equilibrio è impossibile.



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Osservazione 4 La condizione necessaria (24.3) per l’isostaticità di una struttura

reticolare piana è stata ottenuta mediante un bilancio tra i gradi di libertà ed i gradi di vincolo di una struttura reticolare. In questo bilancio il sistema, cioè la struttura, è stato considerato costituito dalle aste, ciascuna dotata di tre gradi di libertà e vincolato dalle cerniere poste nei nodi, ciascuna dotata di molteplicità di vincolo pari a 2(j-1) essendo j il numero delle aste collegate dalla cerniera. In alternativa lo stesso risultato avrebbe potuto ottenersi pensando il sistema costituito dagli n nodi, cioè da n punti, soggetto a vincoli esterni ed a vincoli interni costituiti dalle aste. Ogni punto del piano ha due gradi di libertà (la sua posizione è identificata dalle sue due coordinate rispetto ad un sistema di riferimento). Ogni asta costituisce un vincolo interno di molteplicità pari a 1 in quanto impedisce lo spostamento relativo di due nodi nella direzione dell’asta stessa (è un pendolo semplice). Secondo questo approccio il sistema ha quindi 2n gradi di libertà, cioè 2 gradi di libertà per ogni nodo. Pensando di vincolare il sistema con vincoli esterni la cui somma delle molteplicità è pari a v il sistema rimane dotato di 2n - v gradi di libertà e quindi per renderlo isostatico sono necessari vincoli interni di molteplicità totale 2n - v e quindi è necessario un numero di aste pari a

vn2as −= (24.11)

Se poi si pensa che il sistema sia esternamente isostatico, cioè v = 3 restano necessarie

3n2as −= (24.12)

aste per rendere il sistema isostatico anche internamente.



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LEZIONE 24 – Sessione di studio 1 Strutture reticolari isostatiche piane: metodo dell’equilibrio dei nodi La soluzione di una struttura reticolare consiste nella determinazione degli sforzi normali nelle aste che la costituiscono e delle reazioni vincolari esterne. Se la struttura è isostatica il problema ha quindi as+3 incognite (as sforzi normali nelle aste e 3 componenti di reazione vincolare esterna). Metodo dell’equilibrio dei nodi

Il metodo dell’equilibrio dei nodi consiste nella determinazione delle as+3 incognite che caratterizzano la soluzione di una struttura reticolare isostatica attraverso le 2n equazioni lineari di equilibrio alla traslazione dei nodi (24.6).

Si osserva che data una struttura reticolare isostatica è sempre possibile determinare preliminarmente le 3 componenti di reazione vincolare dei vincoli esterni mediante le equazioni di equilibrio globali del sistema pensato come corpo rigido. Determinate queste, il numero delle incognite del problema si riduce di 3 e quindi diventa pari ad as. Si conclude che, note le reazioni esterne, 3 delle 2n equazioni di equilibrio ai nodi sono linearmente dipendenti dalle altre. Queste possono essere utilizzate per un controllo dei risultati ottenuti. In alternativa possono utilizzarsi le 2n equazioni di equilibrio ai nodi per determinare anche le reazioni vincolari dei vincoli esterni ed utilizzare le 3 equazioni di equilibrio globale del sistema per un controllo dei risultati ottenuti.

Il procedimento delineato è del tutto generale e può rivelarsi laborioso quando la struttura è costituita da molti nodi e molte aste e quindi il problema è caratterizzato da molte incognite. In molti casi di interesse pratico tuttavia le equazioni del sistema possono essere disaccoppiate adottando una opportuna strategia di soluzione che consiste nella preventiva determinazione delle reazioni vincolari esterne e nella successiva individuazione di nodi ai quali afferiscono non più di due aste delle quali è incognito lo sforzo normale. In questo modo le due equazioni di equilibrio di ogni nodo consentono immediatamente la determinazione dei due sforzi normali incogniti relativi alle aste ad esso collegate. Quindi per ogni coppia di equazioni di equilibrio si determinano due sforzi normali e non è necessario risolvere il sistema lineare costituito da tutte le equazioni di equilibrio dei nodi. È evidente come questa strategia di soluzione non sia applicabile a qualunque struttura reticolare isostatica. Innanzitutto, determinate le reazioni vincolari, è necessario che nella struttura sia presente almeno un nodo al quale afferiscono non più di due aste; in caso contrario non esiste un nodo le cui due equazioni di equilibrio



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consentono la determinazione degli sforzi normali nelle aste ad esso collegate. Si ammetta che tale nodo esista e lo si designi con A. Determinati gli sforzi normali nelle due aste collegate al nodo A, per la prosecuzione del procedimento è necessario che tra i nodi collegati ad A mediante aste esista almeno un nodo B al quale afferiscono non più di due aste oltre a quella che lo collega al nodo A, della quale è stato già determinato lo sforzo normale. Se un tale nodo esiste è possibile, attraverso le due equazioni di equilibrio del nodo B, determinare gli sforzi normali nelle aste ad esso collegate. Nei casi in cui è possibile determinare tutte le incognite procedendo nodo per nodo con la soluzione delle relative equazioni di equilibrio la struttura reticolare si dice a nodi canonici.

Gli esempi seguenti chiariscono quanto brevemente descritto. Esempio 24.1

Si determinino gli sforzi normali nelle aste della struttura di figura 24.17.

Si identificano le aste e i nodi come mostrato in figura 24.17. La struttura è dotata di vincoli esterni di molteplicità totale pari a 3; è quindi esternamente isostatica. La struttura è poi costituita da 7 aste e 5 nodi e quindi soddisfa la (24.3). La disposizione delle aste è tale che non sono consentiti moti rigidi.

Figura 24.17.

Le reazioni vincolari esterne evidenziate in figura 24.18 devono soddisfare le equazioni di equilibrio del sistema pensato come un unico corpo rigido, cioè

=⋅−⋅−=−+

=

0L2FL2y0Fyy

0x

D

ED

E (e.1.1)

avendo scelto E come polo per la valutazione dei momenti. Le reazioni esterne sono quindi

0xE = FyD −= F2yE = (e.1.2)

2L 2L

F

L

1

2 3

4

5 6 7

A

B C

E D x

y



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Figura 24.18.

Il diagramma di corpo libero di figura 24.19 mostra che nella struttura sono presenti due nodi (A e D) ai quali afferiscono due sole aste.

Figura 24.19.

Le due equazioni di equilibrio alla traslazione del nodo A consentono quindi la determinazione degli sforzi normali nelle aste 1 e 2 mentre le due equazioni di equilibrio del nodo D consentono la determinazione degli sforzi normali nelle aste 6 e 7. Questi nodi vengono quindi considerati soggetti alle relative forze esterne ed agli sforzi normali incogniti delle aste ad essi collegate, come rappresentato in figura 24.20.

Figura 24.20.

In questa figura gli sforzi normali incogniti sono stati numerati come le aste e sono stati indicati supponendoli positivi, cioè di trazione per le aste e quindi “uscenti” dai nodi; di conseguenza un valore positivo trovato come soluzione delle equazioni di equilibrio del nodo indica che lo sforzo normale è effettivamente positivo e quindi di trazione per l’asta che risulta essere un tirante; viceversa un valore negativo trovato come soluzione delle equazioni di equilibrio del nodo indica che lo sforzo normale è negativo e quindi di compressione per l’asta che risulta essere un puntone. Naturalmente questa scelta è del tutto arbitraria; in alternativa qualche sforzo normale avrebbe potuto essere

F N2

N1

x

y F

N1

N2 α A D

F

N6 N7

F N6

2L 2L

F

L

1

2 3

4

5 6 7

A

B C

E D

F 2F

α

F N1

N2 α A

D

F

N6 N7

x

y

2L 2L

F

L

1

2 3

4

5 6 7

A

B C

E D

yD yE

xE x

y



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indicato supponendolo negativo ed in questo caso un risultato positivo dell’incognita avrebbe indicato che la relativa asta è un puntone. Relativamente al nodo A si ha (figura 24.20)

=α−−=α−−0sinNF

0cosNN2

21 e quindi

−=α

−=

=α

=

5Fsin

FN

F2tan

FN

2

1

(e.1.3)

essendo evidentemente

55sin =α

552cos =α

21tan =α (e.1.4)

L’asta 1 è quindi un tirante mentre l’asta 2 è un puntone. Relativamente al nodo D si ha (figura 24.20)

==

FN0N

6

7 (e.1.5)

L’asta 5 è quindi un tirante mentre l’asta 7 ha sforzo normale nullo; in questo caso si dice che l’asta è scarica. A questo punto le equazioni di equilibrio di uno qualunque degli altri nodi consentono la determinazione degli sforzi normali nelle aste collegate, infatti ad uno qualunque dei nodi B C ed E afferiscono non più di due aste delle quali è ancora incognito lo sforzo normale. Relativamente al nodo C si ha (figura 24.21)

=α−−=α+0sinNF0cosNN

5

54 e quindi

−=α

−=

=α

=

5Fsin

FN

F2tan

FN

5

4

(e.1.6)

Figura 24.21.

Si rimarca che la determinazione di N4 ed N5 è stata possibile attraverso le sole equazioni di equilibrio del nodo C in quanto lo sforzo

2L 2L

F

L

1

2 3

4

5 6 7

A

B C

E D

F 2F

α

x

y

N6 = F

N4

N5

C

α N3

N1 = 2F B

α

N4



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normale N6 è già stato determinato; in caso contrario si avrebbero due equazioni di equilibrio nelle tre incognite N4, N5 ed N6. Relativamente al nodo B si ha (figura 24.21)

==+−

0N0F2N

3

4 e quindi

==

0NF2N

3

4 (e.1.7)

A questo punto tutti gli sforzi normali delle aste sono stati determinati; per controllo della correttezza dei risultati trovati si possono rappresentare le forze agenti sul nodo E e verificare che questo è in equilibrio (figura 24.22).

Figura 24.22.

Relativamente a questo nodo si ha:

=+α⋅⋅−α⋅⋅=α⋅⋅−α⋅⋅

0F2sin5Fsin5F0cos5Fcos5F (e.1.8)

ed il nodo è in equilibrio. Si osserva che nello schema di figura 24.22 che rappresenta le forze agenti sul nodo E, le forze di modulo 5F ⋅ sono state applicate con verso “entrante” nel nodo in coerenza con il fatto che gli sforzi normali nelle aste 2 e 5 sono di compressione, come precedentemente determinato. La condizione di equilibrio del sistema può essere efficacemente visualizzata attraverso il diagramma di corpo libero di figura 24.23 nel quale sono evidenziate sia le reazioni dei vincoli esterni che quelle dei vincoli interni, essendo questi ultimi uguali in modulo agli sforzi normali delle aste.

Figura 24.23.

C

D

F

F

6

F

F F F√5

2F

F√5

2F

F√5 7

F√5

5 F√5

B 2F 2F

2F 4

3

2F 2F 2F 2

F√5

F√5

F

A

E

F√5 2

E

F√5 α

N7 = 0

F√5 N3 =

0

α

2F

2L 2L

F

L

1

2 3

4

5 6 7

A

B C

E D

F 2F

α α

x

y



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In figura 24.24a è infine rappresentato il diagramma dello sforzo normale della struttura (i diagrammi del taglio e del momento flettente sono evidentemente superflui, essendo ogni asta soggetta a solo sforzo normale).

Figura 24.24.

In alternativa al diagramma dello sforzo normale, lo stato di sollecitazione della struttura può essere più semplicemente rappresentato anche con lo schema di figura 24.24b, nel quale sono riportati, con il segno, solo i valori degli sforzi normali nelle aste, essendo sottinteso che lo sforzo normale in ogni asta è costante e che il taglio ed il momento flettente sono nulli. Esempio 24.2

Si determinino gli sforzi normali nelle aste della struttura di figura 24.25.

Figura 24.25.

Si numerano le aste e si identificano i nodi come in figura

24.25. La struttura è dotata di vincoli esterni di molteplicità totale pari a 3; è quindi esternamente isostatica. La struttura è poi costituita da 11

F

F

1

2

A

B

4

C 6

7

5 8

11

3

10

D E

G

H

a a a a a a a a

a

a

a

a

yH

xH

yA

9

Scala per lo sforzo normale 2F

2L 2L

F

A B

C

E

D

-

+

N -

+ F

F√5 F√5

2F

L

2L 2L

F

A

B C

E D

+F -F√5

F√5

+2F +2F

-F√5 0

0

(a) (b)



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aste e 7 nodi e quindi soddisfa la (24.3). La disposizione delle aste è tale che non sono consentiti moti rigidi.

Si evidenziano le reazioni vincolari esterne incognite. L’equazione di equilibrio alla traslazione in direzione orizzontale dell’intera struttura fornisce immediatamente

F2xH = (e.2.1)

Assumendo il nodo H come polo, l’equazione di equilibrio alla rotazione dell’intera struttura è

0a8ya4Fa2F A =⋅+⋅−⋅− quindi F43yA = (e.2.2)

L’equazione di equilibrio alla traslazione in direzione verticale dell’intera struttura fornisce immediatamente

F43yH = (e.2.3)

Relativamente alle reazioni dei vincoli esterni si ha quindi il diagramma di corpo libero di figura 24.26.

Figura 24.26.

Come evidente dalla figura 24.26 questa struttura reticolare non ha nodi in cui convergono meno di tre aste. Quindi, relativamente ad ogni nodo della struttura le due equazioni di equilibrio del nodo non consentono la determinazione degli almeno 3 sforzi normali delle aste ad esso concorrenti. Per determinare gli sforzi normali nelle 11 è necessario scrivere 11 equazioni indipendenti di equilibrio dei nodi. Si scrivono le equazioni di equilibrio dei nodi A, B, C, D, E e l’equazione di equilibrio alla traslazione verticale del nodo G. L’equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale del nodo G e le equazioni di equilibrio del nodo H potranno in seguito essere utilizzate per un controllo dei risultati ottenuti. Con riferimento allo schema di figura 24.27 le equazioni di equilibrio dei nodi menzionati sono

F

F

1

2

A

B

4

C 6

7

5 8

11

3

10

D E

G

H

a a a a a a a a

a

a

a

a

3F/4

2F

3F/4

9

α2

α5

α7

α8

α9

α10



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Figura 24.27.

=−α−

=α+α−α=α+α−α−

=α−α+α−α=α+α+α−α−

=α+=α+

=α⋅−−−=α

=α−−=α+

0NsinN

0sinNsinNsinN0cosNcosNcosN

0sinNsinNsinNsinN0cosNcosNcosNcosN

0sinNN0cosNN

0sinNNNFcosN

4F3sinNN0cosNN

111010

10108822

10108822

99887755

99887755

774

776

5541

55

221

223

nodo A

(e.2.4)

nodo B

nodo C

nodo D

nodo E

nodo G

essendo α2, α5, α7, α8, α9 ed α10 gli angoli indicati in figura 24.26 ed in figura 24.27, le cui funzioni trigonometriche si trovano con evidenti considerazioni geometriche sulla figura 24.26 e sono

292sin 2 =α

295cos 2 =α

101sin 5 =α

103cos 5 =α

101sin 7 =α

103cos 7 =α

261sin 9 =α

265cos 9 =α

132sin 10 =α

133cos 10 =α

51sin 8 =α

52cos 8 =α

(e.2.5)

Tenendo conto delle (e.2.5) il sistema (e.2.4) si riscrive in forma matriciale come

3F/4 N3

N2

N3

N2

N1

N1

A

F B

N4

N4

C

N5

N5

N7

N6

N7 N9

N8

D

E N8

N10

G

N10 N11

F

α2

α2

α8

α8 α9

α5 α7

α7

α5

α10

α10



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−

−

=

⋅

−−

−

−−

−−

−−

−−

00000000F

F430

NNNNNNNNNNN

1132000000000

01320

5100000

2920

01330

5200000

2950

00261

51

1010

1010000

00265

52

1030

1030000

0000101001000

0000103100000

0000001011001

0000001030000

0000000002921

0000000012950

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

(e.2.6)

La soluzione del sistema è

F69.0F1611N1 −=−=

F16.0F325N3 ==

F05.1F310N5 −=−=

F12.1F48

1017N7 =⋅

=

F96.0F16

263N9 −=⋅

−=

F56.0F169N11 −=−=

F17.0F3229N2 −=−=

F35.0F4817N4 −=−=

F06.1F1617N6 −=−=

F12.1F25N8 ==

F01.1F32

139N10 =⋅

=

(e.2.7)

Questa soluzione corrisponde ai diagrammi di corpo libero di figura 24.28; si osserva che gli sforzi normali (e.2.7) insieme alle reazioni vincolari (e.2.2) - (e.2.3) soddisfano anche l’equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale del nodo G e le equazioni di equilibrio alla traslazione del nodo H, non considerate nel sistema (e.2.4).



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Figura 24.28.

Infine, in figura 24.29 è tracciato il diagramma dello sforzo normale della struttura.

Figura 24.29.

Scala per lo sforzo normale F

5F/32

√29F/32

+

-

11F/

16

-

17√10F/48

+

9√13F/32

+

+

√5F/2

-

√10F/3

- 3√26F/16

17F/16

-

17F/

48

-

9F/1

6

- F

F

a a a a a a a a

a

a

a

a

6 17F/16 17F/16

7

17√10F/48

17√10F/48 4

17F/48

17F/48

1

11F/16

11F/16 2

√29F/32

√29F/32

5

√10F/3

√10F/3

8 √5F/2

√5F/2

3 5F/32 5F/32

10

9√13F/32

9√13F/32

9 3√26F/16

3√26F/16

11

9F/16

9F/16

A

11F/16

√29F/32

5F/32

3F/4

11F/16

F B √10F/3

17F/48

17F/48 17√10F/48

17F/16 C

17√10F/48

√10F/3 D

√5F/2

3√26F/16

E

√29F/32

√5F/2

9√13F/32

9√13F/32

5F/32 F

9F/16

G

17F/16

3√26F/16 9F/16

2F

3F/4



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Osservazione 5 I due esempi presentati mostrano l’applicazione del metodo

dell’equilibrio dei nodi per la soluzione di una struttura reticolare piana. È evidente come la soluzione sia di gran lunga più agevole nel caso di strutture a nodi canonici in quanto in questo caso le equazioni di equilibrio possono scriversi in forma disaccoppiata e quindi non è necessaria la soluzione di sistemi lineari con un grande numero di equazioni. Fortunatamente la maggioranza delle strutture reticolari delle costruzioni civili sono costituite da maglie triangolari e quindi sono a nodi canonici.



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LEZIONE 24 – Sessione di studio 2 Strutture reticolari isostatiche piane: osservazioni Sono proposte nel seguito alcune osservazioni in merito alle strutture reticolari. Osservazione 6

Se in una struttura reticolare è presente un nodo non soggetto a forze al quale convergono due sole aste non allineate, queste aste sono soggette a sforzo normale nullo, cioè sono scariche. Infatti, con riferimento alla figura 24.30a, detti N1 ed N2 gli sforzi normali delle aste concorrenti al nodo A, le equazioni di equilibrio del nodo sono:

=α+α=α+α0sinNsinN

0cosNcosN2211

2211 (24.13)

la cui soluzione nel caso α2 ≠ α1 + π è N1 = N2 = 0. Se invece α2 = α1 + π (figura 24.30b) le aste sono allineate ed essendo

( )

( )

α−=π+α=αα−=π+α=α

112

112

sinsinsincoscoscos (24.14)

il sistema diventa

=α−α=α−α0sinNsinN

0cosNcosN1211

1211 cioè

=−=−

0NN0NN

21

21 (24.15)

e quindi per soddisfare l’equilibrio del nodo deve aversi N1 = N2 e non è possibile determinare univocamente gli sforzi normali delle aste, essendo le due equazioni (24.15) dipendenti.

Figura 24.30.

Più semplicemente, ci si rende immediatamente conto che il nodo A è soggetto alle sole forze N1 ed N2 e quindi il suo equilibrio può aversi solo se queste forze hanno la stessa retta di azione, lo stesso modulo e verso opposto.

Si rileva inoltre che nel caso di un nodo cui convergono solo due aste allineate la struttura di cui le due aste fanno parte è labile. Infatti anche se i nodi delle aste alle estremità opposte rispetto al nodo A fossero fissi, le due aste sarebbero comunque suscettibili di

N2

N1

A

α1

α2

A

1

2

N2

N1

A

α1

α2

A

(a) (b)

x

y



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configurazioni spostate (si riveda l’esempio 6.11). A conferma di questo, si osservi che il nodo A che collega le due aste allineate può essere in equilibrio solo se la forza applicata ad A è nulla o parallela alle aste (figura 23.31).

Figura 24.31.

Osservazione 7

È stato già osservato che se in un nodo di una reticolare convergono più di due aste le due equazioni di equilibrio alla traslazione del nodo non consentono la determinazione univoca degli sforzi normali nelle aste. Tuttavia se in un nodo convergono tre aste, due delle quali sono allineate le equazioni di equilibrio del nodo consentono la determinazione dello sforzo normale nella terza asta, restando indeterminati gli sforzi normali nelle altre due. Infatti, con riferimento allo schema di figura 24.32, le equazioni di equilibrio del nodo sono in questo caso

=β+α=β+α++−

0sinFsinN0cosFcosNNN

3

321 (24.16)

dalle quali si ricava

( )

αβ

⋅−=

α⋅β−β⋅=−

sinsinFN

cotsincosFNN

3

21

(24.17)

Figura 24.32.

Resta quindi determinato N3, mentre non è possibile ricavare N1 ed N3. Come caso particolare si osserva che se ad un siffatto nodo non sono applicate forze esterne (o reazioni vincolari) la terza asta è scarica e le aste allineate sono soggette allo stesso sforzo normale, come si rileva immediatamente ponendo F = 0 nella (24.17).

N2

N3 A α

F

N1

β

1 2 A 3

F

N2

N1

A

α1

α2

A

F F



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LEZIONE 24 – Sessione di studio 3 Strutture reticolari isostatiche piane: esercizi. Sono proposti nel seguito alcuni esercizi la cui soluzione è lasciata al lettore. Esercizio 24.1

Si determinino le reazioni dei vincoli esterni e gli sforzi normali delle aste della struttura di figura 24.33.

Figura 24.33.

Esercizio 24.2


Figura 24.34.

Esercizio 24.3


Figura 24.35.

L L L L

L/3

2L/3

F F

2L L L

L/2

L/2

F

F

F

3L/

3L/

3L/2

3L/2

F


Documents

24_Strutture Reticolari Isostatiche Piane