Factorisation par simple mise en évidence

Factorisation par

simple mise en évidence

Remarque : Tu devrais visionner les présentations :

- Décomposer un nombre en facteurs premiers.ppt

- PGCF.ppt

avant de visionner celle-ci.

La simple mise en évidence est l’opération inverse de la simple distributivité.

Exemple : 2 (x + y) = 2x + 2y

Ici, il faut distribuer par multiplication le facteur 2 à chaque terme à l’intérieur de la parenthèse.

À l’inverse, il faut prendre ce facteur et par division le mettre en évidence à l’extérieur de la parenthèse.

2x + 2y 2 (x + y)

2 2

Il faut diviser chaque terme par ce facteur.

Il faut inscrire ce facteur en évidence en avant de la parenthèse.

Lorsqu’on factorise par simple mise en évidence, il faut toujours factoriser au maximum.

Exemple : 4x + 4y 2 (2x + 2y) Ce binôme n’est pas assez factorisé.

4 (x + y) Ce binôme est factorisé au maximum.

Pour factoriser un polynôme au maximum, il faut retrouver le PGCF de tous les termes du polynôme.

Pour déterminer le PGCF de termes algébriques :

1) Décomposer chaque terme en facteurs premiers;

2) Parmi les facteurs communs, sélectionner ceux ayant le plus petit exposant.

Exemples :

PGCF (4b2 , 6b) : 4 b2 : 22 X b2

6 b : 2 X 3 X b

2 X b PGCF (4b2 , 6b) : 2b

PGCF (4x2y , 12xy2) : 4 x2y : 22 X x2 X y

12 xy2 : 22 X 3 X x X y2

22 x

22xy =

y

PGCF (4x2y , 12xy2) :

X X

Lorsque qu’il y a égalité, ne choisir qu’un des facteurs.

4xy

PGCF (5x2y , 10xy , 20) : 5x2y : 5 X x2 X y

10xy : 2 X 5 X x X y

20 : 22 X 5

5 PGCF (5x2y , 10xy , 20) : 5Le facteur doit être commun à tous les termes.

Remarque : Il est préférable de déterminer le PGCF mentalement.

Factorisation par simple mise en évidence

1) Trouver le PGCF de tous les termes du polynôme.

Exemple : 6x + 18

2) Diviser chaque terme par ce PGCF.

3) Inscrire le PGCF en évidence en utilisant des parenthèses.

1) PGCF : 6

2) Diviser chaque terme par le PGCF : 6x + 18

6 6

3) Mettre le PGCF en évidence : x + 36 ( )

8 ( )

8x2 + 16

1) PGCF : 8

2) Diviser chaque terme par le PGCF :8 8

3) Mettre le PGCF en évidence : x2 + 2

Factorise le polynôme suivant :

8x2 + 16

12x2 + 20x

4x ( )

12x2 + 20x

1) PGCF : 4x

2) Diviser chaque terme par le PGCF :

3) Mettre le PGCF en évidence : 3x + 5

Factorise le polynôme suivant :

4x 4x

3 ( )

3x2 + 6x + 36

1) PGCF : 3

2) Diviser chaque terme par le PGCF :

3) Mettre le PGCF en évidence : x2 + 2x + 12

Factorise le polynôme suivant :

3x2 + 6x + 36

3 3 3

-3 ( )

- 3x - 21

1) PGCF : -3

2) Diviser chaque terme par le PGCF :

-3 -3

3) Mettre le PGCF en évidence : x + 7

Factorise le polynôme suivant :

- 3x - 21

6x3 + 4x2 + 10x

2x ( )

6x3 + 4x2 + 10x

1) PGCF : 2x

2) Diviser chaque terme par le PGCF :

3) Mettre le PGCF en évidence : 3x2 + 2x + 5

Factorise le polynôme suivant :

2x2x 2x

Applications

Simplifie l’expression suivante sachant que le dénominateur est différent de zéro.

10x2 + 16x

5x2 + 8xAttention

On ne peut pas simplifier entre eux ces termes, 10x2 + 16x

5x2 + 8xcar ce ne sont pas des facteurs.

Cependant, en faisant une simple mise en évidence,

10x2 + 16x

5x2 + 8x=

2x (5x + 8)

x (5x + 8)=

2x X (5x + 8)

x X (5x + 8)on peut,

car ce sont des facteurs.

Réponse : 2

La simple mise en évidence est un type de factorisation très utile en algèbre.

Exemple

L’expression algébrique représentant l’aire de ce rectangle est 6x2 + 10x.

6x2 + 10xQuelles expressions algébriques pourraient représenter les dimensions de ce rectangle ?

6x2 + 10x

2x ( )

6x2 + 10x

1) PGCF : 2x

2) Diviser chaque terme par le PGCF :

3) Mettre le PGCF en évidence : 3x + 5

2x 2x

2x 3x + 5

La simple mise en évidence est un type de factorisation très utile en algèbre.

Elle permet de simplifier certaines formules, donc les calculs également.

Exemples

Aire totale d’un cylindre : 2 π r2 + 2 π r h

2 π r

1) PGCF : 2 π r

2) Diviser chaque terme par le PGCF :

3) Mettre le PGCF en évidence :

2 π r2 + 2 π r h

2 π r 2 π r

(r + h)

Aire totale d’un cylindre : 2 π r (r + h)

h

Aire totale d’un cône :

π r

1) PGCF : π r

2) Diviser chaque terme par le PGCF :

3) Mettre le PGCF en évidence :

π r2 + π r a

π r π r

(r + a)

π r2 + 2 π r a

2

π r2 + π r a=

Aire totale d’un cône : π r (r + a)

c2 + 2ca

Aire totale d’une pyramide à base carrée :

c

1) PGCF : c

2) Diviser chaque terme par le PGCF :

3) Mettre le PGCF en évidence :

c c

(c + 2a)

c2 + 4 c a

2= c2 + 2ca

Aire totale d’une pyramide à base carrée : c (c + 2a)

L’apothème de la pyramide correspond à la hauteur du triangle.