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Larrondo 2009
Fotones, electrones, y ….
partículas cuánticas
ó
paquetes de onda
Larrondo 2009
Dualidad onda partícula
Se difractan si interactúan con objetosde tamaño comparable con su λ. Es decir en ese caso se comportan comoondas.
Larrondo 2009
Dualidad onda partícula
Si interactúan con objetos de tamaño >>
λ la difracción es despreciable y en esecaso se comportan como partículas.
Larrondo 2008
Ventaja de los electrones
� Su frecuencia y su longitud de onda son regulables mediante un incremento de su ímpetu.
� Los electrones pueden utilizarse parafotografía y microscopía igual que losfotones, pero en casos en que losobjetos son muchísimo más pequeños.
Larrondo 2008
Fotos enviadas por SebastiánGómez (curso 2007)
Larrondo 2008
Fotos enviadas por SebastiánGómez (curso 2007)
Larrondo 2008
Fotos enviadas por SebastiánGómez (curso 2007)
Larrondo 2008
c
Larrondo 2008
Qué partículas son éstas?
λ
x∆
Larrondo 2008
Fourier demostró(transformada de Fourier)
Larrondo 2008
Cambio de variables
� Si intercambiamos x por t, se
intercambia k por ω en la transformada de Fourier.
Larrondo 2008
TF para funciones del tiempo
( ) ( )
1( ) ( )
2
i t
i t
F f t e dt
f t F e d
ω
ω
ω
ω ωπ
∞
−
−∞
∞
+
−∞
=
=
∫
∫
Larrondo 2008
Y los paquetes se obtienen reemplazando k por (k-k0)
0( )
0( ) ( )i k k x
F k k f x e− −
− = ∫
• La transformada de Fourier de un paquete es igual a la de la envolvente pero está centrada en k0.
• Un paquete con portadora k0 y envolvente f(x) se obtiene sumando senoides de distinto k, cuya
amplitud y fase están dadas por F(k-k0)
Larrondo 2008
Preparación de un paquete de ondas
1. Elegimos la envolvente y
mediante la Tabla de TF
obtenemos la amplitud y fasede cada k
fourierTransform1.htm
2. Elegimos k0
Larrondo 2008
Ejemplo (ver tabla de TF)
2 2
2
( )
2 22
x k
e e
σ
σ σ π− −
Envolventede f (x)
Envolventede F (k)
Larrondo 2008
Y éste es el paquete gaussianocentrado en una portadora
2 20( )
22
k k
e
σ
σ π
−−
portadora
Larrondo 2008
Pincipio de incerteza
1
2x k∆ ∆ ≥
Larrondo 2008
Atención
� La expresión anterior corresponde a una manera particular de medir el ancho de los pulsos, tanto en x como en k.
� Note que en rigor un pulso gaussiano es indefinido.
� El pulso gaussiano es el único que cumple la igualdad.
Larrondo 2008
Consecuencias del Pincipio de incerteza
2x
x p∆ ∆ ≥h
Larrondo 2008
Consecuencias del Pincipio de incerteza
No se pueden medir
simultáneamente la posición en
x y la componente x del ímpetu
con infinita precisión.
Larrondo 2008
Ejemplo del apunte
Larrondo 2008
Larrondo 2008
Larrondo 2008
Larrondo 2008
Larrondo 2008
Receta
Para obtener un paquete único de
ancho finito tenemos que sumarun continuo en k
Larrondo 2008
Paquete sen x / x
Larrondo 2008
Forma experimental de hacerlo?
Las partículas cuánticas se
preparan mediante mediciones
del sistema!
Larrondo 2008
Los fotones
� Se forman sumando ondas de Campo Electromagnético
� Cada onda es solución de la ecuaciónde Ondas
� La intensidad de la onda (el módulo al cuadrado del campo E) da la probabilidad que los fotones se encuentren en determinado lugar.
Larrondo 2008
Pero si bajamos la intensidad de la luz y el tiempo de exposición
Larrondo 2008
Pero si bajamos la intensidad de la luz y el tiempo de exposición
Larrondo 2008
Este es el resultado con bajo tiempo de exposición
Larrondo 2008
Este es el resultado con alto tiempode exposición
Larrondo 2008
Los fotones
� Se forman sumando ondas de Campo Electromagnético
� Cada onda es solución de la ecuaciónde Ondas
� La intensidad de la onda (el módulo al cuadrado del campo E) da la probabilidad que los fotones se encuentren en determinado lugar.
Larrondo 2008
� Se forman sumando ondas de Campo de materia
que es un campo escalar complejo.
� Cada onda es solución de la ecuaciónde Schrödinger
� La intensidad de la onda (el módulo al cuadrado del campo ) da la probabilidad que los electrones se encuentren en determinado lugar.
Los electrones
Φ
Φ
Φ
Larrondo 2008
Estas son las ecuaciones
2
2 2
1 ( , )( , )
tt
c t
∂∇ =
∂
E rE r
2( , )
( , ) ( , )2
tt V t i
m t
− ∂Φ∇Φ + Φ =
∂
rr r
hh
Larrondo 2008
Y en una dimensión
2 2
2 2 2
( , ) 1 ( , )x t x t
x c t
∂ ∂=
∂ ∂
E E
2 2
2
( , ) ( , )( , )
2
x t x tV x t i
m t t
− ∂ Φ ∂Φ+ Φ =
∂ ∂
hh
Larrondo 2008
Solución de la ES
• Partícula libre (V=0): atención cos(kx-ωt) NO essolución pero exp[i(kx-ωt)] SI!
• Partícula en potencial V(x): separación de
variables.
• El problema clásico y la representación en energías.
• Partícula en potencial constante
• Partícula en un potencial escalonado (potencial
unidimensional)
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