View
512
Download
18
Category
Preview:
DESCRIPTION
ERGONOMI
Citation preview
FAKTOR DENGAN TARAF KUALITATIF
DAN KUANTITATIF
Dibuat untuk memenuhi tugas
Desain Eksperimen
Disusun :
Lies Kurnia N (0510670035)
Ananda Dharma W (0610670005)
Ifan Hadi P (0610670025)
Pramadita Y (0610670036)
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
FAKULTAS TEKNIK
JURUSAN TEKNIK MESIN
PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI
2009
FAKTOR DENGAN TARAF KUALITATIF
DAN KUANTITATIF
Telah kita pelajari beberapa macam desain disertai cara analisisnya baik yang
menyangkut sebuah factor maupun lebih. Factor atau factor-faktor yang terlibat,
umumnya terdiri atas beberapa buah taraf yang apabila kita perhatikan, taraf-taraf itu
mungkin berbentuk kualitatif dan kuantitatif. Factor temperature misalnya, jika
eksperimen dilakukan dalam 50,60,70, maka kita berhadapan dengan taraf kuantitatif.
Dan apabila temperature dinyatakan dengan rendah,sedang dan tinggi maka factor
temperature berbentuk kualitatif.
Masih banyak contoh lain yang dapat diambil untuk factor-faktor yang terdiri
atas taraf kualitatif dan kuantitatif.
Didalam bab ini akan dibahas cara analisis yang menyangkut factor-faktor
dengan taraf kualitatif maupun kuantitatif. Akan tetapi sebelumnya perlu diuraikan
terlebih dahulu mengenai regresi lengkung dan poloinom ortoghonal yang akan
digunakan kemudian.
1. Regresi Linier dan Berganda
Pengertian Regresi
Regresi yaitu kecenderungan suatu pengamatan tentang pengaruh satu
variabel bebas (independent variable) terhadap variabel tak bebas (dependent
variable)
Metode Model Regresi
a. Enter
Memasukkan atau memilih semua variabel independen dalam persamaan
regresi
b. Remove
Untuk mengeluarkan satu persatu variabel independen dalam persamaan
regresi
c. Backward
Untuk mengeluarkan satu persatu variabel independen dalam persamaan
regresi
d. Forward
Untuk memasukkan satu persatu variabel independen dalam persamaan
regresi
e. Stepwise
Metode ini memilih dan mengeluarkan variabel independen dalam
persamaan berdasarkan nilai signifikansi yang ada pada options
Kriteria Statistik
1. Uji R2 (koef. determinansi)
nilai R2 mempunyai interval 0 ≤ R2 ≤ 1. Semakin besar nilai R2 semakin baik
model regresi tersebut
2. Uji F
nilai F dipakai untuk pengaruh variabel independen secara keseluruhan terhadap
variabel dependen. Pengujian denan membandingkan Ftabel dengan Fhitung
yaitu :
• bila Fhit > Ftabel =maka H0 ditolak
• bila Fhit < Ftabel =maka H0 diterima
3. Uji t
nilai t dipakai untuk melihat signifikansi pengaruh variabel independen secara
individu dengan variabel dependen dengan menganggap variabel lain konstan.
Uji t dengan membandingkan t tabel dengan t hitung yaitu :
• bila t hit > t tabel = maka H0 ditolak
• bila t hit < t tabel = maka H0 diterima
Asumsi-Asumsi regresi :
1. Linier atau aditif
Nilai harapan pengamatan-pengamatan variabel dependen dari suatu variabel
independen tertentu dengan variabel independen lainnya dan membentuk suatu
garis lurus. Dalam hal ini fungsi linearnya berada dalam parameter variabel
independen. Apabila sifat keaditifan tidak dipenuhi maka model tersebut
sebenarnya salah jumlah
2. Homogen dalam variansi
Tingkat variansi atau keseragaman nilai variabel dependen pada suatu variabel
independen tertentu dengan variabel independen lainnya cenderung sama. Uji
homogenitas variansi biasanya dilakukan dengan uji Barlett. Apabila tingkat
keseragaman tidak homogen maka penduga model tidak stabil dan variansi
penduganya akan mempunyai nilai yang benar
3. Kenormalan
Sebaran variabel respon untuk variabel penjelas tertentu mengikuti distribusi
normal. Sifat kenormalan ini dapat diuji dengan uji kebaikan suai.
4. Independen / kebebasan antar pengamatan
Pengamatan yang satu dengan pengamatan yang lain tidak saling
mempengatuhi. Memeriksa kebebasan antar pengamatan ini dapat dilakukan
dengan uji independensi
Langkah-langkah dalam uji regresi :
1. Menentukan formula hipotesis
2. Menentukan taraf nyata dan nilai t tabel
3. Menentukan kriteria pengujian
4. Menghitung koefisien regresi, dan standar baku regresi maupun koefisien
regresi
5. Menentukan nilai uji statistik
6. Membuat kesimpulan
Regresi Linear
Untuk mengukur besarnya pengaruh variabel bebas terhadap variabel
tergantung dan memprediksi variabel tergantung dengan menggunakan variabel
bebas. Gujarati (2006) mendefinisikan analisis regresi sebagai kajian terhadap
hubungan satu variabel yang disebut sebagai variabel yang diterangkan (the
explained variabel) dengan satu atau dua variabel yang menerangkan (the
explanatory). Variabel pertama disebut juga sebagai variabel tergantung dan
variabel kedua disebut juga sebagai variabel bebas. Jika variabel bebas lebih dari
satu, maka analisis regresi disebut regresi linear berganda. Disebut berganda
karena pengaruh beberapa variabel bebas akan dikenakan kepada variabel
tergantung.
Persamaan Regresi Linier
dimana:
y = variabel tak bebas (terikat)
x = variabel bebas
a = kelandaian (slope) kurva garis lurus
b = perpotongan (intercept) kurva dengan ‘ordinat’ atau sumbu tegak
Atau dengan kata lain α dan β adalah parameter yang nilainya tidak diketahui
sehingga diduga melalui statistik sampel. (Sambas dan Maman)
Nilai koefisien dari persamaan regresi dapat dihitung dengan cara sebagai
berikut:
Multikolinearitas
Secara implisit, intepretasi model (persamaan regresi berganda) bergantung
pada asumsi bahwa variabel-variabel bebas dalam persamaan tersebut tidak
saling berkorelasi. Jika dalam model yang dibentuk terdapat korelasi antara
variabel bebas, maka permasalahan multikolinearitas (hubungan yang linear)
antara regresor akan muncul. Model regresi yang benar semestinya tidak
mengandung unsure multikolinearitas (tidak ada korelasi antara variabel bebas),
karena akan mengakibatkan intepretasi terhadap permasalahan yang ada menjadi
tidak benar.
Untuk menguji ada tidaknya masalah multikolinearitas dalam permodelan
tersebut dapat digunakan uji terhadap besaran korelasi antar variabel bebas.
Adapun batasan-batasan yang digunakan dalam pengujian Multikolinearitas
(Levin : 2002) adalah sebagai berikut:
Jika korelasi lebih besar dari 0,5, hubungan antara variabel bebas tersebut
mempunyai korelasi yang kuat.
Jika korelasi lebih kecil dari 0,5, hubungan antara variabel bebas tersebut
mempunyai korelasi yang lemah.
Uji multikolinearitas dilakukan guna menghindari sebagai berikut:
Variansi besar (dari taksiran OLS)
Interval kepercayaan lebar (variansi besar→standard error→besar
interval kepercayaan lebar)
Uji-t (t rasio) tidak signifikan. Suatu variabel bebas yang signifikan baik
secara substansi, maupun secara statistik jika dibuat regresi sederhana, bisa
tidak signifikan karena variansi besar akibat kolinearitas.
R2 yang tinggi tetapi tidak banyak variabel yang signifikan dari uji-t.
Terkadang taksiran koefisien yang dihasilkan mempunyai nilai yang tidak sesuai
dengan substansi, sehingga dapat menyesatkan intepretasi.
Akibat Adanya Multikolinearitas
Jika antara X1, dan X2 terjadi multikolinear, misalnya secara sempurna seluruh
data menunjukkan bahwa X1=2 X2, maka nilai b1 dan b2 tidak dapat ditentukan
hasilnya karena dari formula OLS sebagaimana dibahas terdahulu,
bi=
akan menghasilkan bilangan pembagian, b1 =
Dengan demikian hasilnya tidak menentu. Demikian juga standar error (Sb1)
akan menjadi sangat besar. Jika multikolinearitas tidak begitu sempurna tetapi
tetap tinggi akibatnya adalah parameter estimate b1 yang diperoleh tetap valid,
tetapi Sb1 akan bias membesar. Akibatnya uji t yang rumusannya berupa, t =
b1/Sb1 akan cenderung kecil.
Autokorelasi
Uji Autokorelasi digunakan untuk mengetahui ada atau tidaknya
penyimpangan asumsi klasik autokorelasi, yaitu korelasi yang terjadi antar
residual pada satu pengamatan dengan pengamatan lain model regresi. Prasyarat
yang harus terpenuhi adalah tidak adanya autokorelasi dalam model regresi.
Metode pengujian yang sering digunakan adalah dengan uji Durbin-Watson
dengan ketentuan sebagai berikut :
1. Jika d lebih kecil dari dL atau lebih besar dari (4-dL) maka hipootesis nol
ditolak, yang berarti terdapat autokorelasi.
2. Jika d terletak antar dU dan (4-dU) dL maka hipootesis nol diterima, yang
berarti tidak terdapat autokorelasi.
3. Jika d terletak antara dL dan dU atau di antara (4-dU) dan (4-dL) maka tidak
menghasilkan kesimpulan yang pasti
Nilai dL dan dU diperolah dari tabel statistik Ddurbin Watson yang
bergantung banyaknya observasi dan banyaknya variabel yang menjelaskan
Rumus uji Durbin Watson adalah sebagai berikut :
Keterangan
d = nilai durbin watson
e = residual
studi kasus regresi linier
Untuk regresi linier, yang diperlukan disini sebaiknya akan langsung
dijelaskan dalam contoh. Misalkan bahwa untuk mendapatkan endapan semacam
zat,dinyatakan dengan Y, lama waktu mengaduk larutan telah ditentukan enam
macam, ialah 5,8,11,14,17,20 menit. Untuk setiap keadaan digunakan tiga kali
percobaan yang dilakukan secara acak sempurna. Hasilnya, dengan
menggunakan vlume percobaan yang sama, diberikan daftar VII (1).
Penyajian data dalam daftarVII (1), bentuk umumnya telah disajikan dalam
daftar II (1), Bab II. Jadi semua hasil pengamatan untuk unit eksperimen ke j
karena perlakuan ke i dinyatakan dengan Yij.
Dengan menggunakan model II (1) dalam Bab II, yakni
Yij = µ + τi + € ………………………………VII (1)
Dengan i = 1,2,….,6
J = 1,2,3
Yij = berat endapan zat
µ = rata-rata umum
τi = efek waktu mengaduk larutan
€ij =efek unit eksperimen ke j karena pengadukan ke i
ENDAPAN SEMACAM ZAT KARENA LAMANYA PENGADUKAN
(dalam gram)
TEMPO MENGADUK ( menit) Jumla
h5 8 1
1
14 17 20
Berat
endapa
n
22
23
20
26
28
29
3
0
3
1
2
9
35
34
34
38
36
34
37
40
38
Jumlah 65 83 9
0
103 10
8
115 564
Rata-
rata
21,
7
27,
7
3
0
34,
3
36 38,
3
31,3
DAFTAR ANAVA UNTUK DATA DIATAS
Sumber
variansi
dk JK KT F
Rata-rata 1
15
12
17.672
565,3
24,7
17.672
113,06
2,06
54,88Antar waktu
Kekeliruan
jumlah 28 18.262 - -
Dengan harga statistik F = 54,88 dan nilai F table =2,62 maka F hitung >
f table,
54,88 > 2,62 jadi Ho ditolak maka hasil pengujian sangat berarti sehingga tempo
melakukan pengadukan mempunyai pengaruh yang sangat jelas terhadap
terjadinya endapan.
Dalam praktek sering diinginkan untuk dapat memperkirakan atau menaksir
endapan yang terjadi apabila lama waktu melakukan pengadukan diketahui.
Maka untuk ini perlu ditentukan hubungan antara lama waktu hubungan ,
dinyatakan dengan Xj, dengan endapan yang terjadi dinyatakan dengan Yij. Untuk
melihat bentuk hubungan yang mungkin ada, sebaiknya diagram pencarnya
digambarkan. Dengan jalan memperhatikan letak titik-titik dalam diagram pencar
yang diperoleh kita bias memperkirakan apakah hubunganya berbentuk linier
(lurus) atau non linier (lengkung). Diagram pencar untuk data dapat dilihat
seperti gambar berikut
Memperhatikan letak titik-titik dalam gambar diatas, adanya hubungan
liniersudah dapat diduga. Model linier untuk populasi adalah
Yx = bo + b1 Xj ……………………………………..VII(2)
Dengan Yx = harga prediksi Y apabila harga diketahui
Xj = waktu mengaduk ke j
bo = potongan pada sumbu vertical oleh karena garis regresi.
b1 = koefisien arah garis regresi
harga-harga bo dan b1 dihitung dari system persamaan normal berikut
∑ ∑ Y ij = bo n + b1 r ∑ Xj
∑ ∑ X i Y ij = bo r ∑ Xj + b1 r ∑ Xj2 ……………………………………..VII(3)
dengan n = banyak observasi keseluruhan sedangkan r = replikasi atau banyak observasi
untuk tiap taraf factor.
jika harga-harga yang diperlukan dihitung dari data diatas maka,
∑ ∑ Y ij = 564
∑ Xj = 5+8+11+…+20 = 75
∑ Xj2 = 52 + 82 +….+202 = 1.095
∑ ∑ X i Y ij = 5(22+23+20) +…..+ 20(37+40+38) = 5775
n = 18 dan r = 3
maka didapat system persamaan normal
564 = 18bo + 225 b1
5775 = 225bo + 3285b1
setelah diselesaikan didapat b0 = 17921 dan b1 = 1073 , sehingga regresinya
mempunyai persamaaan
Yx = 17921 + 1073 Xj
Apabila ke dalam persamaan regersi diatas disubtitusikan harga-harga Xj maka
didapatlah prediksi rata-rata Yx. Prediksi rata-rata ini kita bandingkan dengan
rata-rata nilai respon untuk melihat berapa jauh adanya penyimpangan prediksi
dari yang sebenarnya. Daftar berisikan harga-harga yang dimaksud
PENYIMPANGAN PREDIKSI BERDASARKAN REGRESI LINIER
Xj Yx Yj Yj - Yx
5
8
11
14
17
23,3
26,5
29,7
32,9
36,2
21,7
27,7
30
34,3
36
1,6
-1,2
-0,3
-1,4
0,2
20 39,4 38,3 1,1
Untuk melihat apakah penyimpangan ini cukup wajar ataukah tidak, perlu
dilakukan pengujian khusus dengan menggunakan ANAVA. Ini bias dilakukan
dengan jalan memecah jumlah kuadrat-kuadrat (JK) sumber variansi perlakuan
(dalam hal ini : antar waktu) menjadi JK (regresi linier) dan JK (penyimpangan
dari regresi linier).
Rumus-rumusnya adalah
JK (regresi linier) = rb12 { ∑ Xj
2 – ( ∑ Xj )2 / k }………..VII(4)
JK (penyimpangan) = JK (perlakuan) – JK (reg lin)
Dengan k = menyatakan banyak taraf factor. Derajat kebebasan untuk JK ini
sama dengan satu sedangkan dk bagi JK untuk penyimpangan merupakan
sisanya.
Dengan harga-harga yang diberikan dan k = 6 kita peroleh
JK (regresi linier)= 3(1073)2 {1095 – (75)2/6}
= 544
JK (penyimpangan) = 565,3 – 544
= 21,3
Dengan harga-harga diatas kita peroleh ANAVA sebagai berikut
DAFTAR ANAVA UNTUK REGRESI LINIER
Sumber variasi dk JK KT F
Antar waktu
Regresi linier
Penyimpangan
kekeliruan
5
1
4
12
565,3
544
21,3
24,7
544
5,33
2,06
264,08
2,59
jumlah 17 590 - -
Statistic F untuk regresi linier = 544/2,06 = 264,08 > F table; 230,2 jadi sangat
berarti. Dan F untuk penyimpangan = 5,33/2,06 = 2,59 < F table ; 7,71 jadi tidak
berpengaruh
Tampak bahwa efek linier sangat berarti sedangkan penyimpangan dari
regresi linier sama sekali tidak berarti. Karenanya model non linier(lengkung)
tidak diperlukan.
Jika diperoleh uji penyimpangan yang signifikan, maka regresi lengkung
harus dicari. Beberapa hasil statistic dari ANAVA untuk regresi linier yang dapat
dikemukakan adalah:
1. Koefisien korelasi person, dinyatakan dengan r atau ryx, merupakan akar dari
bagian JK yang dimiliki oleh regresi linier. Untuk ANAVA diatas, maka
r2yx = 544/490=0.9222 atau ryx = 0,96
suatu korelasi sangat tinggi yang dapat dijelaskan melalui regresi linier.
karena itulah bentuk regresi lengkung tidak diperlukan.
2. Kekeliruan baku taksiran, dinyatakan dengan sy.x, untuk model linier,
merupakan akar dari KTyang didapat apabila JK penyimpangan dari regresi
linier digabungkan dengan JK kekeliruan. JK yang dihasilkan dari
penjumlahan ini dinamakan JK kekeliruan taksiran. Untuk contoh kita, maka
JK (kekeliruan taksiran) = 21,3 + 24,7 = 46
Dengan dk = 4+12 = 16
Jadi sy.x = = 1,696
Penggunaan sy.x misalnyauntuk menentukan batas-bataskonfiden koefisien arah
dan batas-batas prediksi
studi kasus regresi lengkung
Dalam contoh diatas tentang regresi linier, sebagai hasil pengujian dengan
ANAVA, diperoleh bahwa hipotesis nol tidak terdapat penyimpangan dari regresi
linier telah diterima. Jika ternyata hipotesis nol itu ditolak, maka regresi linier perlu
diganti dan regresi lengkung perlu ditentukan. Cukup banyak macam regresi
lengkung, tetapi disini hanyalah akan ditinjau secara singkat mengenai regresi order
m, dan khususnya regresi order dua atau regresi kuadratik.
Bentuk umum dari model lengkung order m, apabila kita berbicara taksiranya,
adalah
Yx = b0 + b1 Xj + ….+ bmXjm …………………VII(5)
Dan untuk m=2, diperoleh model kuadratik
Yx = b0 + b1 Xj + b2Xj2 ……………………..VII (6)
(Untuk m = 3 diperoleh model kubik, m = 4 model kuartik dan untuk m = 5
merupakan model kuintik; model order yang lebih tinggi dalam prakteknya
tidak terlalu sering digunakan)
Dalam hal model kuadratik yang digunakan, model seperti dalam persamaan
maka koefisien b0,b1,dan b2 dapat dihitung dengan jalan menyelesaikan system
persamaan normal
∑ ∑ Y ij = b0 n + b1 r ∑Xj + b2 r ∑ Xj2
∑ ∑ Xj Yij = b0 r ∑Xj + b1 r ∑ Xj2+ b2 r ∑ Xj
3
∑ ∑ Xj2 Y ij = b0 r ∑ Xj
2+ b1 r ∑Xj3 + b2 r ∑ Xj
4…………VII(7)
Dengan Y ij = variable respon (nilai pengamatan)
Xj = nilai taraf factor
n = ukuran sampel
apabila jarak atau beda nilai antara dua taraf factor X berurutan sama, (dalam
hal ini dikatakan bahwa factor X berinterval sama) maka perhitungan untuk mencari
b0,b1,dan b2 dapat disederhanakan dengan jalan menggunakan tranformasi
uj = Xj –
dengan X = rata-rata nilai untuk taraf factor X
d = jarak antara dua nilai taraf yang berurutan (panjang interval taraf)
dengan variable uj ini system persamaan menjadi
∑ ∑ Y ij = b’0 n + b’2 r ∑ uj2
∑ ∑ uj Yij = b’1 r ∑u2j …….VII(8)
∑ ∑ uj2Yij = b’0 r ∑ uj
2 + b’2 r ∑ uj4
Dengan b’0, b’1, dan b’2 berasal dari model
Yx = b’0 + b’1 uj + b’2 uj2 ……………..VII(9)
Dengan jalan mengganti kembali uj oleh Xj akan diperoleh model kuadratik dalam Xj
dengan persamaan VII (6)
Contoh soal.
Observasi secara acak terhadap pengembangan volume semacam zat karena
adanya perubahan temperaturtelah dilakukan. Hasilnya diperoleh sebagai berikut
PENGEMBANGAN ZAT AKIBAT PERUBAHAN TEMPERATUR
jumlah
20 25 30 35 40
Pengembangan
(%)
10 18 25 27 23
8 16 20 26 20
9 16 24 25 18
10 15 23 29 20
jumlah 37 65 92 107 81 382
Untuk melihat bentuk regresinya, sebaiknya diagram pencarnya digambarkan.
Dari grafik dibawah ini tampak adanya kecenderungan bentuk regresi lengkung.
Jika regresi kuadratik akan kita tentukan, maka sebaiknya kita gunakan rumus VII (8)
karena taraf-taraf untuk factor temperature (X) berjarak sama ( yakni 20,25,30,35,40
yang memiliki beda taraf 5 dan = 30). Dengan menggunakan tranformasi
uj = , maka didapat pasangan
untuk perhitungan selanjutnya diperoleh harga-harga
Σ Σ Y ij = 382 n = 20 r = 4
Σ Σ uj Yij = (-2)(37) + (-1)(65) +(0)(92) + (1)(107) + (2)(81)
= 130
Σ Σ uj2 Yij = (-2)2(37) + (-1)2(65) +(0)2(92) + (1)2(107) + (2)2(81)
= 644
Σ uj2 = (-2)2+ (-1)2 +(0)2+ (1)2 + (2)2 = 10
Σ uj4 = (-2)4 + (-1)4 +(0)4 + (1)4 + (2)4 = 34
Mensubstansikan harga-harga ini kedalam rumus VII(8) diperoleh system
persamaan sebagai berikut:
382 = 20 b`0 + 40 b`2
130 = 40 b`1
644 = 40 b`0 + 136 b`2
Setelah diselesaikan didapat b`0 = 23,38 ; b`1 = 3,25 dan b`2 = -2,14
Dalam Xj, dengan menggunakan rumus persamaan VII(9) dan
Xj 20 25 30 35 40
uj -2 -1 0 1 2
Uj = maka regresi yang sedang dicari adalah
Yx = -73,16 + 5,79 Xj - 0,09 Xj2
Apakah model kuadratik diatas dapat digunakan ataukah tidak, masih perlu
diselidiki mengenai kemungkinan terjadinya penyimpangan dari bentuk kuadratik.
Untuk itu digunakan ANAVA regresi dan perlu ditentukan harga-harga JK untuk
sumber-sumber variasi: antar temperature, regresi linier, kuadratik terhadap linier,
penyimpangan dari kuadratik dan kekeliruan. JK (regresi linier) dapat dihitung
dengan rumus VII (4), tetapi untuk itu diperlukan dulu persamaan regresi liniernya;
dan ini cukup memakan waktu. Karenanya JK ini bias juga ditentukan oleh
JK (reg. linier) = …………………………..VII(10)
JK(kuadratik terhadap linier) dengan dk = 1 didapat apabila ……VII(11)
JK(reg kuadratik) = r(b2`)2 Σ (uj2 - )2 + r(b1`)2 Σ (uj
2 dikurangi JK (reg linier))
JK (penyimpangan dari kuadratik) merupakan sisa dari JK (perlakuan)setelah
dikurangi JK (reg linier) dan JK (kuadratik terhadap linier). Menggunakan rumus-
rumus untuk JK ini dan harga-harga yang telah dihitung, diperoleh
JK (linier) = = 422,5
JK (kuadratik) = 4(-2,14)2(14) + 4(3,25)2 (10)
= 256,46 + 422,5 = 678,96
JK (kuadratik thd linier) = 678,96 – 422,5 = 256,46
JK (penyimpangan dari kuadratik) = 720,8 – 678,96 = 41,84
JK (kekeliruan) = 43
Dari hasil-hasil diatas diperoleh daftar ANAVA sebagai berikut
DAFTAR ANAVA REGRESI ORDER DUA
Sumber variasi dk JK JK
Antar temperature
Regresi linier
Kuadratik thd linier
Penyimpangan
kekeliruan
4
1
1
2
15
720,8
422,5
256,46
41,84
43
180,2
422,5
256,46
20,92
2,87
Jumlah 19 763,8 -
Jika dilakukan uji F, tampak bahwa efek-efek linier dan kuadratik sangat
berarti. Teteapi tampak juga bahwa penyimpangan dari model kuadratik sangat
berarti, sehingga model order yang lebih tinggi masih diperlukan. Persamaan dengan
order yang lebih tinggi tidak akan ditentukan dengan cara ini tetapi akan digunakan
polinom orthogonal yang akan dijelaskan pada bab berikut.
Sementara itu, bagian dari jumlah variasi yang dimiliki oleh model regresi
dengan order tertinggi dinamakan indeks korelasi dinyatakan dengan R2. untuk soal di
atas, dengan memisalkan model regresi tertinggi berorder dua, maka R2 = =
0,889 yang berarti 88,9% dari variasi Yij dapat dijelaskan oleh Xj melalui regresi order
dua.
Polinom Ortogonal adalah salah satu usaha untuk menentukan regresi
berorder tinggi.
Dalam bagian-bagian sebelumnya telah diberikan contoh-contoh variabel X dengan
harga-harga yang berurutan berjarak sama. Untuk contoh regresi linier , tempo
mengaduk (variabel X) berharga 5,8,11,14,17,20 menit; bedanya sama, ialah 3 menit.
Demikian pula untuk contoh dalam bab regresi lengkung , variabel X (temperatur
dalam derajat celcius) berbeda sama, ialah 5 derajat dengan harga 20,25,30,35,dan 40.
Penentuan harga-harga X berbeda sama atau berinterval sama seperti nin memberikan
keuntungan tertentu, antara lain memudahkan analisis, khususnya bagian regresi
lengkung. Hal ini disebabkan oleh memungkinkanya dilakukan tranformasi dari Xj ke
uj sedemikian sehinnga Σ uj = 0 (demikian pula jumlah harga-harga uj berpangkat
ganjil) yang menyebabkan perhitungan menjadi lebih sederhana.
Keuntungan ini akan sangat terasa apabila yang harus kita tentukan itu menyangkut
kurva dengan persamaan berorder tinggi seperti diberikan dalam persamaan VII(5)
Misalkan Yx sebuah polinom dalam X yang berorder m dapat ditulis dalam bentuk:
Yx =Aoξo + A1ξ1 + A2ξ2 + .........+Amξm ................................VII(12)
Di mana:
...........................VII(13)
Untuk keperluan praktek, beberapa harga , ∑, îr^2, dan ë dicantumkan dalam
Lampiran, Daftar F, untuk tiap bentuk polinom îi, dimulai dari bentuk linier sampai
dengan paling tinggi bentuk kuintik, dengan banyak taraf k = 3, 4, ...., 10
............................................VII(14)
( u4 - (3k2 – 13) + ( k2-1 )( k2-9))
( u5 - (k2 – 7) + ( 15k4 - 230k + 407))
Harga-harga besaran dalam daftar tersebut telah diturunkan dari rumus-rumus
diatas sampai dengan variabel X berskala 10 dengan nilai-nilai berinterval yang sama.
Dari daftar F dalam lampiran yang ada tampak bahwa kita bisa menentukan
lebih dari sebuah polinom untuk tiap k. Permasalahanya adalah, yang mana diantara
polinom itu yang berlaku untuk sesuatu persoalan? Untuk menentukannya, pengujian
statistik perlu dilakukan terhadap tiap bentuk polinom. Oleh karena sekarang tiap
polinom orthogonal membentuk kontras, maka pengujian dapat dilakukan dengan
menggunakan sifat-sifat kontras ini. Karenanya kita perlukan jumlah kuadrat-kuadrat
(JK) untuk tiappolinom yang dapat dihitung dengan rumus
JK (polinom) =
Sedangkan penjumlahan dilakukan untuk semua j. Selanjutnya daftar ANAVA dapat
disusun dan untuk pengujian polinom setiap bentuk polinom mempunyai derajat
kebebasan dk = 1
Contoh Soal:
Observasi secara acak terhadap pengembangan volume semacam zat karena adanya
perubahan temperatur telah dilakukan. Hasilnya diperoleh seperti berikut:
Pengembangan
(%)
Temperatur Jumlah
20 25 30 35 40
10 18 25 27 23
8 16 20 26 20
9 16 24 25 18
10 15 23 29 20
Jumlah 37 65 92 107 81 382
Dalam hal ini kita mempunyai harga-harga X = 20,25,30,35,40, yang berinterval
sama dengan k=5. Melihat ke dalam Daftar F, dari Lampiran, kita peroleh koefisien-
koefisien untuk polinom ortogonal yang linier, kuadratik, kubik dan kuartik sebagai
berikut.
k Polinom 20 25 30 35 40 ∑ξi^2 λ
Skala X
1 2 3 4 5
5
linier -2 -1 0 1 2 10 1
kuadratik 2 -1 -2 -1 2 14 1
kubik -1 2 0 -2 1 10 5/6
kuartik 1 -4 6 -4 1 70 35/12
∑ 37 65 92 107 81
a. Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) untuk tiap polinom:
b. Daftar Anava untuk model polinomial dengan k=5
Sumber Variasi dk JK KT F
Antar Temperatur 4 720,8 180,2
linier 1 422,5 422,5 147,21
kuadratik 1 257,14 257,14 89,60
kubik 1 40 40 13,94
kuartik 1 1,16 1,16 0,40
Kekeliruan 15 43 2,87
Jumlah 19 763,8 -
Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa uji F untuk bentuk-bentuk linier,
kuadratik, dan kubik ternyata sangat nyata; sedangkan bentuk kuartik tidak
nyata. Ini berarti bahwa model oeder tiga diperlukan untuk analisis data.
c. Membuat bentuk persamaan model orde tiga
Karena model signifikan pada order tiga maka cukuplah dihitung sampai dengan .
Maka diperoleh persamaan model order tiga dalam u
Satu Faktor Kuantitatif dan Satu Faktor Kualitatif
Studi Kasus :
Suatu eksperimen diadakan untuk menentukan hasil latihan ketrampilan
anak–anak berumur 8 tahun dalam hal tertentu. Latihan ini diberikan pada tiga
kelompok anak, yaitu laki-laki, perempuan, dan campuran. Waktu latihan diberikan
pada pagi hari dengan empat macam periode, yaitu 90 menit, 100 menit, 110 menit
dan 120 menit. Untuk tiap kombinasi kedua perlakuan diambil empat anak, sehingga
akan terbentuk desain factorial 4 x 3 dengan 4 replikasi.
Asumsi yang digunakan diantaranya adalah guru yang mengajar memiliki
kualitas yang sama dalam segala hal, materi yang diberikan memiliki bobot sama,
cara penilaian yang digunakan sama dan pengambilan sampel dilakukan secara acak.
Model yang digunakan :
Yijk = µ + Ki + Pj + KPij + єk(ij)
i = 1, 2, 3, 4
j = 1, 2, 3, 4
k = 1, 2, 3, 4
dengan :
Yijk = hasil penilaian yang diperoleh dari anak ke k yang ada dalam kelompok ke i
dan mengikuti periode latihan ke j
µ = rata-rata yang sebenarnya
Ki = efek kelompok anak pada taraf kualitatif ke i
Pj = efek periode latihan pada taraf kuantitatif ke j
KPij = efek interaksi dikarenakan taraf ke i kelompok K dan taraf ke j periode P
єk(ij) = efek unit eksperimen (anak) ke k dalam kombinasi perlakuan taraf (ij)
Periode Latihan Kelompok Anak (Ki)
(Pj) Laki-laki (K1) Perempuan (K2) Campuran (K3)
90 menit (P1)
78
81
74
80
73
69
75
78
75
72
70
69
100 menit (P2)
79
78
81
79
74
78
79
72
74
70
79
80
110 menit (P3)
80
82
79
84
78
79
80
74
76
75
80
80
120 menit (P4)
83
85
90
88
79
80
82
79
80
79
76
82
Disederhanakan dengan dijurangi 75
Periode
(Pj)
(Ki)J0j0
(K1) (K2) (K3)
(P1)
3
6
-1
5
(13)
-2
-6
0
3
(-5)
0
-3
-5
-6
(-14)
-6
(P2) 4
3
-1
3
-1
-5
23
6
4
(17)
4
-3
(3)
4
5
(3)
(P3)
5
7
4
9
(25)
3
4
5
-1
(11)
1
0
5
5
(11)
47
(P4)
8
10
15
13
(46)
4
5
7
4
(20)
5
4
1
7
(17)
83
Ji00 101 29 17 J000 = 147
∑ Y2 = (3)2 + 62 + (-1)2 + 52 + … + 52 + 42 + 12 + 72 = 1.397
Ry = (147)2 / (48) = 450,19
Py = JK (periode)
=
= 355,06
Ky = JK (Kelompok)
=
= 258,00
Jab =
= 642,06
KPy = JK (interaksi antara K dan P)
= 642,06 – 355,06 – 258,00
= 29,00
Ey = 1.397 - 450,19 - 355,06 - 258,00 - 29,00
= 304,75
Berikut ini tabel anovanya:
Sumber
Variasidk JK KT F
Rata-rata
Kelompok
Periode
Interaksi
Kekeliruan
1
2
3
6
36
450,19
258,00
355,06
29,00
304,75
-
129,00
118,35
4,83
8,47
15,23
13,97
0,57
Jumlah 48 1,397 - -
Karena periode bertaraf kuantitatif, maka dapat dicari efek linier, kuadratik, dan
kubik sebagai berikut:
Dengan menggunakan k = 4, didapat koefisien seperti pada tabel koefisien polinom
orthogonal sebagai berikut:
PolinomSkala Periode
∑ξ λ1 2 3 4
Linier
Kuadratik
Kubik
-3
1
-1
-1
-1
3
1
-1
-3
3
1
1
20
4
20
2
1
10/3
Jojo -6 23 47 83 - -
JK (linier) =
= 352,84
JK (kuadratik) =
= 1,02
JK (kubik) =
= 1,20
JK periode = JK (linier) + JK (kuadratik) + JK (kubik)
= 352,84 + 1,02 + 1,20
= 355,06
Selain efek regresi tersebut, dapat juga dihitung efek regresi antara efek linier periode
dengan kelompok (PL x K), efek kuadratik periode dengan kelompok (PD x K) dan
efek kubik periode dengan kelompok (PT x K).
PolinomSkala Periode
∑ξ λ1 2 3 4
Linier
Kuadratik
Kubik
-3
1
-1
-1
-1
3
1
-1
-3
3
1
1
20
4
20
2
1
10/3
J1jo 13 17 25 46
- -J2jo -5 3 11 20
J3jo -14 3 11 17
Menghitung JK (PL x K)
K1 = (-3 x 13) + (-1 x 17) +(1 x 25) +(1 x 46)
= 107
K2 = (-3 x -5) + (-1 x 3) +(1 x 11) +(3 x 20)
= 83
K3 = (-3 x -14) + (-1 x 3) +(1 x 11) +(3 x 17)
= 101
K1 + K2 + K3 =107 + 83 + 101
= 291
JK (PL x K) =
= 3,90
Menghitung JK (PD x K)
K1 = (1 x 13) + (-1 x 17) +(-1 x 25) +(1 x 46)
= 17
K2 = (1 x -5) + (-1 x 3) +(-1 x 11) +(1 x 20)
= 1
K3 = (1 x -14) + (-1 x 3) +(-1 x 11) +(1 x 17)
= -11
K1 + K2 + K3 =17 + 1 - 11
= 7
JK (PDx K) =
= 24,66
Menghitung JK (PT x K)
K1 = (-1 x 13) + (3 x 17) +(-3 x 25) +(1 x 46)
= 9
K2 = (-1 x -1) + (3 x 3) +(-3 x 11) +(1 x 20)
= 1
K3 = (-1 x -14) + (3 x 3) +(-3 x 11) +(1 x 17)
= 7
K1 + K2 + K3 =9 + 1 + 7
= 17
JK (PT x K) =
= 0,44
JK interaksi = JK (PL x K) + JK (PD x K) + JK (PT x K)
= 3,90 + 24,66 + 3,90 + 0,44
= 29,00
Sumber variasi dk JK KT
Rata-rata
Periode P
Linier
Kuadratik
Kubik
Kelompok K
Interaksi KP
K x PL
K x PD
K x PT
Kekeliruan
1
3
1
1
1
2
6
2
2
2
36
450,19
355,06
352,84
1,02
1,02
258,00
29,00
3,90
24.66
0.44
304,75
-
118,35
352,84
1,02
1,02
129,00
4,83
1,95
12,33
0,22
8,47
Jumlah 48 1.397 -
Untuk memprediksi hasil latihan berdasarkan periode latihan, perlu dibuat model
regresinya.
A0 = = = 3,06
A1 =
= 1,21 ξ0= 1 dan ξ1 = 2u (untuk λ1 = 2)
Sehingga persamaan regresi linier dalam u adalah:Yu=3,06 + 2,42uJika ditulis dalam periode latihan (dinyatakan dengan X)u = dalam Yx = 52,65 + 0,242 X
dari persamaan tersebut,dimasukkan periode X=90, 100, 110 dan 120, sehingga
didapat nilai seperti berikut :
X YX
90
100
110
120
74,43
76,85
79,27
81,69
74,50
76,92
78,92
81,92
Kedua Faktor Kuantitatif
Studi kasus :
Sebuah eksperimen untuk mengetahui respon Y yang disebabkan oleh faktor A
dan faktor B dilakukan. Faktor A bertaraf kuantitatif dengan skala 5, 10, 15 dan 20.
Faktor B bertaraf kuantitatif dengan skala 0, 5, 10 dan 15. Nilai respon Y diukur
dengan menggunakan alat atau parameter tertentu. Tiap kombinasi perlakuan
dilakukan 3 replikasi sehingga ada 48 unit eksperimen (4x4x3)
Model persamaannya
Yijk = µ + Ai + Bj + ABij + єk(ij)
i = 1, 2, 3, 4
j = 1, 2, 3, 4
k = 1, 2, 3, 4
dengan :
Yijk = hasil penilaian yang diperoleh dari unit eksperimen ke k yang dipengaruhi
faktor A ke i dan faktor B ke j
µ = rata-rata yang sebenarnya
Ai = efek faktor A pada taraf kuantitatif ke i
Bj = efek faktor B pada taraf kuantitatif ke j
ABij = efek interaksi dikarenakan taraf ke i faktor A dan taraf ke j faktor B
єk(ij) = efek unit eksperimen ke k dalam kombinasi perlakuan taraf (ij)
misalkan data yang diperoleh dari eksperimen tersebut sebagai berikut:
Faktor B
0 5 10 15
Faktor A
5
20
30
29
98
128
67
81
44
77
100
84
63
10
26
16
22
35
80
29
53
93
59
90
103
98
15
17
18
11
68
49
61
103
59
128
80
91
77
20
31
38
21
68
74
47
87
116
90
113
86
81
Sebagai langkah awal, akan dilakukan analisa tanpa memperhatikan jenis faktornya.
Hasilnya adalah sebagai berikut:
Faktor BJojo
0 (B1) 5 (B2) 10 (B3) 15 (B4)
Faktor A 5 20 98 81 100 821
(A1)
30
29
(79)
128
67
(293)
44
77
(202)
84
63
(247)
10
(A2)
26
16
22
(64)
35
80
29
(144)
53
93
59
(205)
90
103
98
(291)
704
15
(A3)
17
18
11
(46)
68
49
61
(178)
103
59
128
(289)
80
91
77
(248)
761
20
(A4)
31
38
21
(90)
68
74
47
(189)
87
116
90
(293)
113
86
81
(280)
852
Jijo 279 804 989 1.066 3.138
∑ Y2 = 202 + 302 + 292 + … + 1132 + 862 + 812
= 254.656
Ry = (3.138)2 / (48)
= 205.146,75
Ay = JK (faktor A)
=
= 1.706,75
By = JK (faktor B)
=
= 31.414,42
Jab =
= 38.965,25
ABy = JK (interaksi antara A dan B)
= 38.965,25 - 1.706,75 - 31.414,42
= 6.474,08
Ey = 254.656 - 205.146,75 - 1.706,75 - 31.414,42 - 6.474,08
= 10.544,00
Sumber Variasi dk JK KT F
Faktor A
Faktor B
Interaksi AB
Kekeliruan
3
3
9
32
1.076,75
31.414,42
6.474,08
10.544,00
358,92
10.471,47
719,34
329,50
1,09
31,78
2,18
Jumlah 47 49.509,25 - -
*karena tidak pernah dilakukan pengujian terhadap rata-rata, maka rata-rata tidak
dicantumkan pada sumber variasi
Dari tabel tersebut dapat diketahui bahwa faktor B memiliki pengaruh yang
nyata terhadap respon Y, sedangkan faktor A dan interaksi keduanya tidak
memberikan pengaruh terhadap respon Y secara nyata.
Berikutnya akan dilakukan analisa dengan memperhatikan jenis faktornya.
Karena kedua faktor bertaraf kuantitaif, maka masing-masing akan dipecah menjadi
efek linier, kuadratik dan kubik.
Kedua faktor memiliki 4 taraf, sehingga didapatkan koefisien sebagai berikut:
PolinomSkala Faktor
∑ξ λ1 2 3 4
Linier
Kuadratik
-3
1
-1
-1
1
-1
3
1
20
4
2
1
Kubik -1 3 -3 1 20 10/3
JK (AL) =
= 93,75
JK (AD) =
= 901,33
JK (AT) =
= 81,67
JK (BL) =
= 27.088,82
JK (BD) =
= 4.181,33
JK (BT) =
= 224,27
JK (AL) + JK (AD) + JK (AT) = 93,75 + 901,33 + 81,67
=1.076,75
JK (BL) + JK (BD) + JK (BT) = 27.088,82 + 4.181,33 + 224,27
= 31.414,42
Setiap macam efek regresi di atas dapat dijabarkan lagi untuk megetahui
kontribusinya terhadap respon Y
AL x BL AL x BD AL x BT
AD x BL AD x BD AD x BT
AT x BL AT x BD AT x BT
semua komponen tersebut memiliki nilai dk=1
JK(AL x BL)
A
(linier)
B (linier)
-3 -1 1 3
-39
79
3
293
-3
202
-9
247
-13
64
1
144
-1
205
-3
291
1-3
46
-1
178
1
289
3
248
3-9
90
-3
189
3
293
9
280
AL x BL = 9(79) + 3(64) - 3(46) – 9(90) + 3(29) + 1(44) – 1(178) – 3(189) – 3(202)
– 1(205) + 1(289) + 3(293) – 9(247) – 3(291) + 3(248) + 9(280)
= 758
JK(AL x BL) =
= 478,80
JK(AL x BD)
A
(linier)
B (kuad)
1 -1 -1 1
-3-3
79
3
293
3
202
-3
247
-1 -1 1 1 -1
64 144 205 291
11
46
-1
178
-1
289
1
248
33
90
-3
189
-3
293
3
280
AL x BD = -3(79) - 1(64) + 1(46) +…+ 1(248) + 3(280)
= -8
JK(AL x BD) =
= 0,27
JK(AL x BT)
A
(linier)
B (kubik)
-1 3 -3 1
-3 3 -9 9 -3
-1 1 -3 3 -1
1 -1 3 -3 1
3 -3 9 -9 3
Jumlah kuadrat koefisien kontras = 400
AL x BT = 3(79) + 1(64) +…+ 1(248) + 3(280)
= -1.864
JK(AL x BT) =
= 2.895,41
JK(AD x BL)
A
(kuad)
B (linier)
-3 -1 1 3
1 -3 -1 1 3
-1 3 1 -1 -3
-1 3 1 -1 -3
1 -3 -1 - 3
Jumlah kuadrat koefisien kontras = 80
AD x BL = -3(79) + 3(64) +…+ (-3)(248) + 3(280)
= -372
JK(AD x BL) =
= 576,60
JK(AD x BD)
A
(kuad)
B (kuad)
1 -1 -1 1
1 1 -1 -1 1
-1 -1 1 1 -1
-1 -1 1 1 -1
1 1 -1 -1 1
Jumlah kuadrat koefisien kontras = 16
AD x BD = 1(79) - 1(64) +…+ (-1)(248) + 1(280)
= -144
JK(AD x BD) =
= 270,75
JK(AD x BT)
A
(kuad)
B (kubik)
-1 3 -3 1
1 -1 3 -3 1
-1 1 -3 3 -1
-1 1 -3 3 -1
1 -1 3 -3 1
Jumlah kuadrat koefisien kontras = 80
AD x BT = -1(79) + 1(64) +…+ 1(248) + 1(280)
= 406
JK(AD x BD) =
= 686,80
JK(AT x BL)
A
(kubik)
B (linier)
-3 -1 1 3
-1 3 1 -1 -3
3 -9 -3 3 9
-3 9 3 -3 -9
1 3 -1 1 3
Jumlah kuadrat koefisien kontras = 400
AT x BL = 3(79) - 9(64) +…+ (-9)(248) + 3(280)
= 336
JK(AT x BL) =
= 94,08
JK(AT x BD)
A
(kubik)
B (kuad)
1 -1 -1 1
-1 -1 1 1 1
3 3 -3 -3 3
-3 -3 3 3 -3
1 1 -1 -1 1
Jumlah kuadrat koefisien kontras = 80
AT x BD = -1(79) + 3(64) +…+ (-3)(248) + 1(280)
= 594
JK(AT x BD) =
= 1.470,15
JK(AT x BT)
A
(kubik)
B (kubik)
-1 3 -3 1
-1 1 -3 -3 -1
3 -3 9 -9 3
-3 3 -9 9 -3
1 -1 3 -3 1
Jumlah kuadrat koefisien kontras = 400
AT x BT = 1(79) - 3(64) +…+ (-3)(248) + 1(280)
= -38
JK(AT x BT) =
= 1,20
Tabel ANOVA
Sumber variasi dk JK KT F
Faktor A
A lin
A kuad
A kubik
Faktor B
B lin
B kuad
B kubik
Interaksi A x B
AL x BL
AL x BD
AL x BT
AD x BL
AD x BD
AD x BT
AT x BL
AT x BD
AT x BT
Kekeliruan
3
1
1
1
3
1
1
1
9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
32
1.076,75
31.414,42
6.474,08
10.544,00
93,75
901,33
81,67
27.008,82
4.181,33
224,27
478,80
0,27
2.895,41
576,60
270,75
686,82
94,08
1.470,15
1,20
93,75
901,33
81,67
27.008,82
4.181,33
224,27
478,80
0,27
2.895,41
576,60
270,75
686,82
94,08
1.470,15
1,20
0,28
2,74
0,25
81,97
12,69
0,68
1,45
0,00
8,79
1,75
0,82
2,08
0,29
4,46
0,00
Jumlah 47 49.509,25 - - -
Dari tabel tersebut, dapat diketahui faktor B linier, B kuadratik, AL x BT dan AT x BD
memberikan pengaruh yang nyata terhadap respon Y.
Recommended