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クラメールの公式・ベクトルの平行Ja6kyky Gyk- S�`i yk
LQ#mvmFB hPa1
J�v yR- kyky
LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 R f ky
S�`i yk�
S�`i yk �クラメールの公式
LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 k f ky
JBMBK�H UJ�tBK�HV SQBMibĜ�M 2t�KTH2
関数7 (t , v) = tk + 9tv + kvk � et � 3v
について考えます.7t(t , v) = kt + 9v · R + y � e � y
= kt + 9v � e = y7v (t , v) = y + 9t · R + 9v � y � 3
= 9t + 9v � 3 = y
を解くと,(t , v) = (R, R) が 7 の唯一の停留点であることが分かります.
LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 j f ky
t t
re
t t
the
( 1,1 ) が角(
他に解は?
2(こし、いは) が 停留 点 - 1
2つく+4 y - G = 0 →4 つい 4 y -8 = o 8=1
クラメールの公式 *h ky8@kyeT
連立 R次方程式 ⇢�t + #v = ↵ · · · (R)+t + /v = � · · · (k)
を考える.v を消去するために (R)⇥ / � (k)⇥ #を考える.�/t + #/v = ↵/
�) #+t + #/v = �#(�/ � #+)t = ↵/ � �#
t を消去するために (R)⇥ + � (k)⇥ �を考える.�+t + #+v = ↵+
�) �+t + �/v = ��(#+ � �/)v = ↵+ � ��
LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 9 f ky
国は ) → - D※数列
、
「 非額頊
拡大は 1-
-.-、
消 〉eaa.es . .. ... . .
]
行列式・クラメールの公式行列式
����� #+ /
���� = �/ � #+
これを用いると����� #+ /
���� t =
����↵ #� /
���� ,����� #+ /
���� v =
����� ↵+ �
����
特に . :=�� � #
+ /�� 6= y のとき
t =R.
����↵ #� /
���� , v =R.
����� ↵+ �
����
これをクラメールの公式と言います.LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 8 f ky
で一
行るり式
しでかしこD
o 。
クラメールの公式Ĝ例⇢
kt + 9v = e9t + 9v = 3
を解きます.. =
����k 99 9
���� = k · 9 � 9 · 9 = �3 6= y
からクラメールの公式が適用できます.実際t = �R
3
����e 93 9
���� = �R3(e · 9 � 3 · 9) = �R
3(�3) = R
v = �R3
����k e9 3
���� = �R3(k · 3 � 9 · e) = �R
3(�3) = R
LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 e f ky
喑たい連立にとか経Dキ 0 → 解の公式
yiD 非斉擷
00
S�`i yk#
S�`i yk #斉次方程式の解
LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 d f ky
Terrestris s ラ メールの
fatty = メ メ=p= o 公式.cmdy = つになると 1
D : = 1%に ad_でも 0 のとき y =ら 19別
クラメールの公式から分かること斉次方程式 ⇢
�t + #v = y · · · (R)+t + /v = y · · · (k) UOV
を条件. :=
�� � #* /
�� = �/ � #+ 6= yの下で考えます.クラメールの公式を適用できて
t =R.
�� y #y /
�� = y, v =R.
�� � y+ y
�� = y
◆ ⇣. 6= y )
⇣(#) ) ( t
v ) = ~y⌘
UjV✓ ⌘LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 3 f ky
f たpzo
B っに yoは 角t.rs(自明鯏 ←
0 0
t.GS も 。 ⇐ (い⇒ほ)が )
UjVの逆は?UjVの逆の対偶は?◆ ⇣
. = �/ � #+ = y )⇣9 ( t
v ) 6= ~y (#)⌘
UkV✓ ⌘証明に入る前に注意:( t
v ) = (�#� ) ,
� /�+
�は (#)を満たす.UBV � 6= yまたは # 6= yのときPEUBBV + 6= yまたは / 6= yのときPEUBBBV LPh ((B) _ (BB)) ⌘ LPh (B) ^ LPh (BB) ⌘ � = # = + = / = yのとき明らか.
LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 N f ky
④' Dキー (_ ⇒ (お = i )Thenrhs
Not (Deo) ⇒ ヨ (ま)まで (#J/
is
4e (いい な二 ° a.cat t.a.no
cつけ dy = 0 c.GG) td.ee
f (さだ い
-
mnie 各国 aol.ec末 o
est D= 0-
L(f) も8
0 x to y = o(ま)キで は
(も) { 0 xto y = o すべ2 0K .
まとめ
◆ ⇣. 6= y ,
✓⇢�t + #v = y+t + /v = y ) ( t
v ) = ~y◆
✓ ⌘および◆ ⇣. = y , 9 ( t
v ) 6= ~y⇢
�t + #v = y+t + /v = y✓ ⌘
LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 Ry f ky
(せ)
⇒
てことを国有値が是区で使う 。
次のステップへ準備
~� =
0
BB@
�RXXX�BXXX
�M
1
CCA , ~# =
0
BB@
#RXXX#BXXX
#M
1
CCA 2 EM
に対してt~� + v~# = t
0
BB@
�RXXX�BXXX
�M
1
CCA+ v
0
BB@
#RXXX#BXXX
#M
1
CCA =
0
BBB@
t�R+v#RXXX
t�B+v#BXXX
t�M+v#M
1
CCCA
LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 RR f ky
Anti Kirper まえ体
.lkIR or E dhkinm.bady体
a.in 、 an Elk
○ なっ たElk .
-が 成分
.caでい怤剴しいいがほ )nは 2子 り行い
次のステップへ準備 Uk�V
特に M = kのとき~� = ( �R�k ) ,
~# =⇣
#R#k
⌘, ~� = ( �R
�k ) 2 Ek
に対してt~� + v~# = ~� ,
⇢�Rt + #Rv = �R�kt + #kv = �k
t~� + v~# = ~y ,⇢
�Rt + #Rv = y�kt + #kv = y
LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 Rk f ky
特にが 次のとき
、
次のステップへ準備 Uk#V
行列式を|~� ~#| :=
��� �R #R�k #k
���
と定義すると「まとめ」は|~� ~#| 6= y ,
⇣t~� + v~# = ~y ) ( t
v ) = ~y⌘
|~� ~#| = y , 9 ( tv ) 6= ~y
⇣t~� + v~# = ~y
⌘
LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 Rj f ky
(能」は到
にも )は心 ⇒ くまぽ)で
のヨ (ま)が はか ほ )が
次のステップへ準備 UjV
特に M = jのとき~� =
⇣ �R�k�j
⌘, ~# =
✓#R#k#j
◆, ~� =
⇣ �R�k�j
⌘2 Ej
に対してt~� + v~# = ~� ,
8<
:
�Rt + #Rv = �R�kt + #kv = �k�jt + #jv = �j
t~� + v~# = ~y ,
8<
:
�Rt + #Rv = y�kt + #kv = y�jt + #jv = y
LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 R9 f ky
鵰が 二で のとき
が
S�`i yk+
S�`i yk+ベクトルの平行・非平行
LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 R8 f ky
定義Ĝベクトルの平行
~� =
0
BB@
�RXXX�BXXX
�M
1
CCA , ~# =
0
BB@
#RXXX#BXXX
#M
1
CCA 2 EM
に対して~� , ~# ,
⇣t~� + v~# = ~y ) ( t
v ) = ~y⌘
~� k ~# , 9 ( tv ) 6= ~y
⇣t~� + v~# = ~y
⌘
と定義します.
LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 Re f ky
ができたし 靍、
- 定義
rinnreru
を) に 非自明触が存在。
で 11 で き ヨ (な もの に対して xit yE が-
にも 0 0R yeo
にも o のとき d -_-きたyも o の とき も -_-も
→で い o o.it t.EEに注意
。 ( i )も
定義Ĝベクトルの平行Ĝk次元の場合の言い換え
~� = ( �R�k ) ,~# =
⇣#R#k
⌘2 Ek
に対して~� , ~# ,
⇣t~� + v~# = ~y ) ( t
v ) = ~y⌘, |~� ~#| 6= y
~� k ~# , 9 ( tv ) 6= ~y
⇣t~� + v~# = ~y
⌘, |~� ~#| = y
LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 Rd f ky
-
たいだけ) にかしこいいとし
M = jの場合は~� =
⇣ �R�k�j
⌘~# =
✓#R#k#j
◆2 Ejに対して t~� + v~# =
✓ t�R+v#Rt�k+v#kt�j+v#j
◆= ~y
を仮定します.��� �k #k�j #j
��� 6= y ならば⇢
�kt + #Rv = y�jt + #j = y から t = v = y
となります.以上で◆ ⇣��� �k #k
�j #j
��� 6= y ) ~� , ~#✓ ⌘◆ ⇣��� �R #R
�k #k
��� 6= y _��� �R #R
�j #j
��� 6= y _��� �k #k
�j #j
��� 6= y ) ~� , ~#✓ ⌘LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 R3 f ky
reste鈳ょ、i ←
晶パパで鐚 なな品で派生点
M = jの場合:逆は?前ページの結論の逆(その対偶)は◆ ⇣
��� �R #R�k #k
��� = y ^��� �R #R
�j #j
��� = y ^��� �k #k
�j #j
��� = y ) ~� k ~#✓ ⌘�R 6= yの場合は
�#R�R
⇣ �R�k�j
⌘+ R ·
✓#R#k#j
◆=
0
@�#R+#R
�#R�k+#k�R�R
�#R�j+#j�R�R
1
A =
0
BB@
yR�R
��� �R #R�k #k
���R�R
��� �R #R�j #j
���
1
CCA = ~y
から~� k ~#であることが分かります.�k 6= y- �j 6= yの場合も同様です(各自示しましょう).注意 実はここで何かを言わないと証明が不十分となります.
LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 RN f ky
」で頳
黙間
まとめ
~� , ~# ,��� �R #R
�k #k
��� 6= yy`��� �R #R
�j #j
��� 6= y _��� �k #k
�j #j
��� 6= y
~� k ~# ,��� �R #R
�k #k
��� =��� �R #R
�j #j
��� =��� �k #k
�j #j
��� = y
LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 ky f ky
a 燋 )が熺) で
も、
興
で指 ) 、姿 に詐いに。
もと = いい = 0 1 話 に出産。
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