View
61
Download
1
Category
Preview:
DESCRIPTION
FI-10 Kmity a vlnění I. Hlavní body. Úvod do nauky o kmitech a vlnění Druhy kmitů Obecné, periodické, harmonické, tlumené a netlumené Harmonické kmity Pohybová rovnice a její řešení Časové závislosti výchylky, rychlosti, zrychlení, potenciální, kinetické a celkové energie - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
8. 4. 2006 1
FI-10 Kmity a vlnění I.
8. 4. 2006 2
Hlavní body• Úvod do nauky o kmitech a vlnění
• Druhy kmitů• Obecné, periodické, harmonické, tlumené a netlumené
• Harmonické kmity• Pohybová rovnice a její řešení
• Časové závislosti výchylky, rychlosti, zrychlení, potenciální, kinetické a celkové energie
• Příklad kmitajících soustav - kyvadla
8. 4. 2006 3
Úvod do kmitů a vlnění I
• K pohybům přímočarým a kruhovým, rovnoměrným a rovnoměrně zrychleným je nutné dále přibrat pohyby kmitavé neboli vibrační.• Jejich existence vyplývá z elastického
charakteru sil, působících mezi částicemi.
• V přírodě jsou značně rozšířeny.
• Vibrační energie je důležitým druhem energie.
8. 4. 2006 4
Úvod do kmitů a vlnění II• Kmitem se nejobecněji rozumí pohyb hmotného
bodu, který je omezen v prostoru.
• Vlna je jisté šíření vibračního pohybu prostorem., které nepřenáší hmotu ale přenáší energii.
• Aby mohl hmotný bod kmitat musí v oblasti, kde se může vyskytovat, existovat:• rovnovážná poloha, v níž na bod nepůsobí žádné síly a
• síly, které se snaží o návrat do rovnovážné polohy. Jedná se tedy o stabilní rovnováhu.
8. 4. 2006 5
Druhy kmitů I• Charakter kmitů je určen :
• konkrétní závislostí návratových sil na výchylce z rovnovážné polohy. Ty mají často charakter sil konzervativních a vyplývají z příslušného potenciálu.
• možnou přítomností sil disipativních (ztrátových).
• Důležitou podskupinou jsou kmity periodické, kde se určitá závislost výchylky pravidelně opakuje.
• Jejich podmnožinou jsou kmity harmonické, u nichž lze výchylku vyjádřit jako goniometrickou nebo-li harmonickou funkci času.
8. 4. 2006 6
Druhy kmitů II
• Skutečné periodické a tedy i harmonické kmity mohou existovat pouze nedochází-li při kmitání ke ztrátám mechanické energie. Potom se jedná o kmity netlumené.
• Jsou-li přítomny ztrátové síly, mechanická energie se spotřebovává na jejich překonávání a pohyb se za čas zastaví. To je typické pro kmitání tlumené.
8. 4. 2006 7
Druhy kmitů III
• Striktně vzato, každé reálné kmitání je tlumené.
• Netlumené kmity ale přesto mají svůj význam protože :• tlumení může být zanedbatelně malé nebo
• energie, o kterou kmitající systém přichází, mu může být vhodným způsobem doplňována.
8. 4. 2006 8
Druhy kmitů IV• Zabývat se harmonickými kmity má smysl neboť:
• jejich existence vyžaduje sice speciání druh návratových sil. Takové se ovšem často vyskytují.
• každý periodický pohyb lze vyjádřit jako Fourierovu řadu harmonických kmitů.
• každý obecný kmit lze vyjádřit jako Fourierův integrál harmonických kmitů.
• Součet i integrál jsou lineární operace mnoho vlastností harmonických funkcí platí obecněji.
8. 4. 2006 9
Netlumené harmonické kmity I
• Uvažujme pro jednoduchost tuto situaci :• hmotný bod se může pohybovat na přímce,
kterou ztotožníme například s osou x.
• počátek zvolíme v rovnovážné poloze
• Charakter kmitů je dán návratovou silou :• návratová síla je přímo úměrná výchylce
kxF
8. 4. 2006 10
Netlumené harmonické kmity II• tato síla odpovídá Hookovskému chování.
Jedná-li se o sílu způsobenou odezvou materiálu nazývá se konstanta úměrnosti k tuhost pružiny a je úměrná příslušnému Youngovu modulu.
• podobná síla ale může existovat v libovolném poli, které má potenciál, například gravitačním nebo elektrostatickém.
8. 4. 2006 11
Netlumené harmonické kmity III
• Dosadíme-li z 2. Newtonova zákona do vztahu pro sílu dostaneme pohybovou rovnici. Konkrétně diferenciální rovnici 2. řádu, která neobsahuje člen 1. řádu :
• Vyzkoušíme řešení například ve tvaru :
kxxmF
)sin()( 0 txtx
8. 4. 2006 12
Netlumené harmonické kmity IV
• Vypočteme první a druhou derivaci podle času a dosadíme do původní rovnice :
• Odtud vyjádříme :)()(2 tkxtxm
)cos()( 0 txtx
)()sin()( 20
2 txtxtx
m
k
8. 4. 2006 13
Netlumené harmonické kmity V
• Časovou závislost výchylky můžeme tedy popsat:
• Úhlová frekvence popisuje analogicky jako u kruhového pohybu periodicitu. Kmit lze totiž chápat jako průmět rovnoměrného pohybu po kružnici na určitou přímku. Zavádíme tedy i frekvenci f a periodu T :
Tf
22
)sin()sin()( 00 txtxtx mk
8. 4. 2006 14
Netlumené harmonické kmity VI• Protože výchylka vznikla dvojí integrací,
obsahuje dvě integrační konstanty :• amplitudu x0, která má význam největší možné
výchylky a• fázi , pomocí níž lze popsat kmity, které měly
určitou počáteční výchylku v okamžiku, kdy se začal měřit čas.
• jejich hodnoty se určují z okrajových podmínek.
8. 4. 2006 15
Netlumené harmonické kmity VII
• Nyní vyšetříme časovou závislost výchylky, rychlosti a zrychlení :
)sin()sin()( 00 txtxtx mk
)cos()cos()()( 00 txtxtxtv mk
mk
)sin()sin()()( 02
0 txtxtxta mk
mk
8. 4. 2006 16
Netlumené harmonické kmity VIII
• Vidíme důležité vlastnosti :• Rychlost se předchází před výchylkou o
čtvrtinu periody. Když je výchylka nulová, je rychlost maximální a má odpovídající směr.
• Zrychlení je úměrné výchylce, ale je s ní v protifázi, neboli se předchází (nebo opožďuje) o polovinu periody To samozřejmě přesně odpovídá charakteru návratové síly, kterou předpokládáme.
8. 4. 2006 17
Netlumené harmonické kmity IX• Vyšetříme časovou závislost energie, která
zjevně musí mít dvě složky :• kinetickou, protože se hmotný bod pohybuje
určitou časově proměnnou rychlostí a• potenciální, protože k posunutí hmotného bodu
do místa s určitou výchylkou je třeba vykonat práci. Tu lze principu lze získat zpět, protože vzhledem k předpokladům netlumeného kmitu jsou ztráty energie zanedbatelné.
8. 4. 2006 18
Netlumené harmonické kmity X
• Najděme tuto práci :• protože síla není konstantní, ale závisí na
výchylce, musíme integrovat.
• abychom docílili určité výchylky musíme dodat kladnou práci, a to i v případě záporné výchylky.
2)()(
2
0
kxdkxWxE
x
p
8. 4. 2006 19
Netlumené harmonické kmity XI
• Tedy :
• V kinetické energii dosadíme za :
)(sin22
)( 220
2
txkkx
xEp
)(cos22
)( 220
22
txmxm
xEk
)(cos2
)( 220 tx
kxEk
8. 4. 2006 20
Netlumené harmonické kmity XII
• Pro celkovou energii tedy platí :
• a s využitím známe identity :
)](sin)([cos2
)()()(
2220
ttxk
tEtEtE pk
.22
)(22
20 konst
xmx
ktE o
8. 4. 2006 21
Netlumené harmonické kmity XIII
• Vidíme důležité vlastnosti :
• Kinetická energie je ve fázi s absolutní hodnotou rychlosti. Tedy nezávisí na jejím směru.
• Potenciální energie je ve fázi s absolutní hodnotou výchylky. Tedy opět nezávisi na její orientaci.
• Celková energie nezávisí na čase, ale jen na hmotnosti a čtverci úhlové frekvence a čtverci amplitudy.
8. 4. 2006 22
Netlumené harmonické kmity XIV
• Celková energie kmitajícího systému je tedy dána počátečními podmínkami a zachovává se.• Na začátku například vychýlíme hmotný bod do určité
polohy, což bude maximální výchylka. Tím vykonáme práci a dodáme systému počáteční celkovou energii.
• Ta se potom v závislosti na čase rozkládá určitým způsobem na potenciální a kinetickou, ale součet zůstává roven energii, kterou jsme dodali na počátku.
• Podobně můžeme dodat energii kinetickou nebo obě.
8. 4. 2006 23
Příklady – fyzické kyvadlo I• Kyvadla jsou systémy kmitající zpravidla v
gravitačním poli (výjimka např. torzní k.).• Fyzickým kyvadlem může být jakékoli tuhé
těteso, které se může otáčet kolem pevné osy neprocházející těžištěm. Budeme předpokládat vzdálenost osy od těžiště a.
• Takové kyvadlo je ve stabilní rovnováze, když je těžiště pod osou.
8. 4. 2006 24
Příklady – fyzické kyvadlo II
• Vychylme kyvadlo z rovnováhy o malý úhel . V důsledku gravitace se objevuje moment síly, který se snaží vrátit těleso do rovnovážné polohy.
• Napišme pohybovou rovnici :
JJGaT sin)(
8. 4. 2006 25
Příklady – fyzické kyvadlo III
• Jejím řešením budou za předpokladu malých úhlů, kdy sin() , harmonické kmity :
• Řešení je analogické teoretickému :
GaJ
)sin()sin()( 00 ttt JGa
8. 4. 2006 26
Příklady – fyzické kyvadlo IV
• Úhlová frekvence tedy je :
• V čitateli opět vystupují “elastické” vlastnosti, které dávájí systém do pohybu a ve jmenovateli vlastnosti “setrvačné”, které kladou pohybu odpor.
J
Ga
8. 4. 2006 27
Příklady – matematické kyvadlo I
• Speciálním případem fyzického kyvadla je kyvadlo matematické, jehož veškerá hmotnost m je soustředěna ve vzdálenosti l od osy otáčení. Buď na nehmotném vlákně nebo tyčce.
• Můžeme použít vztahy pro fyzické kyvadlo, do nichž dosadíme : a = l, G = mg, J = m l2.
8. 4. 2006 28
Příklady – matematické kyvadlo II
• Pro úhlovou frekvenci tedy dostáváme :
a pro periodu T :
• Kyvadla se používají k odměřování času nebo k měření tíhového zrychlení.
l
g
ml
mgl
T JGa
2
2
g
lT 2
Recommended