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FISICA
CON ELEMENTI DI MATEMATICA
(A-E)
CORSO DI LAUREA IN FARMACIA
A.A. 2014/2015
Dott.ssa Silvia Rainò:
E-mail: silvia.raino@ba.infn.it
silvia.raino@uniba.it
1
Testi consigliati 2
Elementi di Matematica
Davidson – Metodi matematici per un corso introduttivo
di Fisica (EdiSes)
Fisica
Giancoli: Fisica (Casa Editrice Ambrosiana)
Bellotti et al.: Esercizi di Fisica - meccanica e
termodinamica (Casa Editrice Ambrosiana)
In alternativa al Giancoli:
Ragozzino: Principi di Fisica (Edises)
Contenuti disciplinari 3
Elementi di matematica
4
Argomenti propedeutici al Corso di Fisica Generale:
Rappresentazione dei numeri in potenze di dieci con
esponente positivo e negativo;
Rappresentazione cartesiana di un grafico (equazioni di
una retta, di una parabola, di un esponenziale);
Definizione dei logaritmi naturali e decimali e loro proprietà
fondamentali;
Definizione delle funzioni trigonometriche;
Misura degli angoli in radianti;
Misura di aree e volumi delle figure geometriche
fondamentali (triangolo, rettangolo, cerchio, cubo, sfera)
Definizione grandezze scalari e vettoriali
Argomenti di Fisica Generale 5
Unità di misura
Grandezze scalari e vettoriali
Argomenti di:
o Meccanica
o Teoria dei fluidi
o Temperatura e calore
o Elettricità e magnetismo
Obiettivo:
Fornire gli strumenti matematici di base necessari
alla comprensione e al calcolo dei concetti
introduttivi di fisica
Elementi di Matematica 6
Potenze di dieci
Quanto dista dalla Terra la galassia di
Andromeda?
20000000000000000000000 m
Quanto pesa una molecola di penicillina?
0,00000000000000002 kg
Quanto tempo fa è stata costruita la Piramide di
Cheope?
100000000000 s
7
Esiste un metodo “meno ingombrante” per
esprimere numeri molto grandi o molto piccoli?
Potenze di dieci
E’ possibile esprimere numeri grandi o piccoli
utilizzando una notazione compatta che fa uso
delle potenze di dieci
Moltiplicando 10 per se stesso diverse volte si ha:
8
1001010 210
1000101010 310
1000001010101010 510
Potenze di dieci
L’apice di 10 rappresenta il numero di volte per cui
10 viene moltiplicato per se stesso
O equivalentemente il numero di zeri che
compaiono nella risposta
9
2101001010
2101001010
Proprietà delle potenze di dieci
101 = 10
100 = 1, per convenzione
Moltiplicazione fra potenze di 10:
In generale:
Potenza di potenza:
10
32532 101010101010101010
mnmn 101010
mnmn 1010
Esponente negativo
Se una potenza di 10 appare al denominatore di
una espressione, l’esponente viene dato con un
segno negativo. Ad esempio:
In generale:
11
1101010
1 .
3
3100010
10
1
1000
1 .
n
n
1010
1
Esponente negativo
Moltiplicando una potenza positiva di 10 per una
potenza negativa di 10 si ottiene, ad esempio:
In generale:
12
22424 1010101001010000 .
101010101010
10
1000
100 13232
3
2
.
mnmn
m
n 101010
10
10
Prefissi
A cosa ci servono le potenze di 10?
Nella discussione di grandezze fisiche, è spesso conveniente
l’uso dei prefissi
Ad esempio:
1000 m = 103m= 1 km oppure 5 km = 5103m = 5000 m
710-9g = 7ng
13
T tera 1012
p pico 10-12
G giga 109
n nano 10-9
M mega 106
micro 10-6
k kilo 103
m milli 10-3
h etto 102
c centi 10-2
da deca 101
d deci 10-1
Calcoli con le potenze di 10
Usando le potenze di 10 molti calcoli vengono
notevolmente semplificati.
Qualsiasi numero può essere espresso mediante
potenza di 10.
6400 = 6.4103
0.0137 = 1.3710-2
L’esponente di 10 corrisponde al numero di posti
decimali di cui ci spostiamo
14
Esempi
Riscrivere in termini di potenze di 10 i seguenti numeri:
1/10000
0.000002
107/10000
15
4
410
10
100010
10000
1 .
6
6
10
21020000020
.
34747
4
77
1010101010
10
10000
10
Esempi
0.01/106
(0.2104)/(1000103)
16
862
6
2
6101010
10
10
10
010
.
363
6
3
33
41
3
4
10210102
10
102
1010
10102
101000
1020
.
Esempi
Risolvere i seguenti calcoli:
17
3000
42000000.1 4
3
7
3
7
104110
10
3
24
103
1024
.
..
0000030001202 ... 963
63
10631010321
1031021
..
.
2400320
004803203
.
..
3
31
32
31
32
1021010
1010
4223
8423
10421023
10841023
..
..
..
..
Potenza di un numero
Proprio come 103 significa 101010, possiamo elevare
qualsiasi numero a una potenza n moltiplicando il numero
per se stesso n volte. Allora:
Valgono anche le regole per l’uso di esponenti negativi:
18
822221 3 .
164442 2 .
3753515151513 3......
9333
35
2504
1
2
124
224
2
4
2
2
.
..
Esponente frazionario
Definizione:
Chiamiamo N1/m radice m-sima di N e la
indichiamo con:
Esempio:
19
mm NN /1
313
21
2727
44
/
/
Proprietà delle potenze 20
Le proprietà formali delle potenze sono:
mnmn aaa
mn
m
n
aa
a
mnmn aa
n
m
n m aa
Proprietà esponente frazionario
Gli esponenti frazionari si trattano secondo le stesse
regole degli esponenti interi.
Alcuni esempi:
21
4444444221121212121 ///// o
27272727272727273311313131313131 /////// o
2244
332727
21221
313313
//
//)(
Simbologia matematica
Simbolo Significato
= Uguale a
Proporzionale a
Approssimativamente uguale a
≈ oppure Circa uguale a; dell’ordine di grandezza di
> (<) Maggiore (minore) di
>> (<<) Molto maggiore (minore) di
x Variazione di x
|x| Valore assoluto (modulo) di x
Sommatoria di mi da i=1 a i=N
Sommatoria di mi per tutti i valori fisicamente permessi di i
22
N
i im1
i im
Variazione di una grandezza:
Un oggetto è posto nella posizione x1=2cm ad un certo istante di
tempo. Successivamente la posizione diventa x2=9cm
La distanza della quale si è mosso è anche detta variazione di x ed
è :
Il simbolo x indica l’incremento della grandezza x.
x NON indica il prodotto di per x
Per esempio: t2-t1= t = differenza di tempo.
t>0 se l’istante t2 è successivo a t1
t<0 se l’istante t2 precede t1
23
12 xxxxx inizialefinale
Valore assoluto di una grandezza
Valore assoluto o modulo di x si indica con |x|
Il valore assoluto misura la “grandezza” di un
numero senza tener conto del suo segno:
|+x|=x
|-x|=x
Esempio:
24
3x- 7x = -4x =4x se x > 0
-4x se x < 0
ìíî
Sommatoria
In molti problemi di fisica è necessario sommare una serie di numeri
Ad esempio per determinare la massa totale M di un sistema
composto da molte masse singole m1, m2, m3, m4,… possiamo
scrivere:
dove N è il numero totale di masse del sistema
Per abbreviare la lunghezza della somma si utilizza il simbolo
(sommatoria), pertanto:
25
NmmmmmM ...4321
N
i
imM1
i= indice della sommatoria
mi= massa di una generica particella dell’insieme;
Per i=1: mi= m1, i=2: mi= m2
Sistemi di equazioni di primo grado
In alcuni problemi di fisica si può avere un’equazione
che coinvolge più di una incognita.
Per esempio:
6x+2y=6
Per poterla risolvere in modo univoco è necessaria
un’altra equazione.
In generale, per risolvere un problema con n incognite,
bisogna avere n equazioni
26
Esempio
Soluzione di un sistema di due equazioni di primo
grado in due incognite:
Un metodo per risolvere questa equazione è quello
per sostituzione (ma non è l’unico):
Si risolve prima una delle due equazioni rispetto a y e
quindi si sostituisce l’espressione trovata nella seconda
equazione
27
22848
1626
yx
yx
Esempio 1
Quindi, risolvendo la (1) rispetto a y:
E sostituendo il risultato nella (2):
28
22848
1626
yx
yx
xyxy 33662
283348 xx
2812128 xx
4020 x
2x
Trovato il risultato dell’incognita x (x=2), lo si
sostituisce nell’equazione (1):
Quindi il risultato è:
29
626 yx
6226 y
62 y
3y
32 yx ,
Equazioni di secondo grado
Le equazioni di secondo grado coinvolgono la seconda
potenza dell’incognita e hanno forma:
La soluzione di questa equazione è:
Tre casi sono possibili:
b2=4ac : una soluzione
b2>4ac : due soluzioni reali
b2<4ac : due soluzioni immaginarie che non tratteremo nella
soluzione dei nostri problemi
30
02 cbxax
a
acbbx
2
42
21
,
a
bx
2
a
acbbx
2
42
1
a
acbbx
2
42
2
Geometria analitica 31
Coordinate cartesiane
Le informazioni di fisica sono solitamente presentate su una
coppia di assi coordinati:
X per l’asse orizzontale o asse delle ascisse
Y per l’asse verticale o asse delle ordinate
I sistemi X-Y sono chiamati coordinate cartesiane ortogonali
32
La posizione di un punto è specificata
assegnando due numeri (x,y):
x: valore della coordinata x
y: valore della coordinata y
Coordinate cartesiane
Posizione di alcuni punti (x,y) nel
piano cartesiano X-Y
Gli assi X-Y hanno proprie unità
di misura, non necessariamente
uguali
33
Esempio
Un sistema di coordinate X-Y è utile per
rappresentare vari tipi di situazioni fisiche, non
solo delle distanze.
Esempio: lunghezza di una fettuccia di gomma
tesa da una forza di trazione variabile
34
L (m
)
F(10-3N)
rottura
Sistema di coordinate tridimensionale 35
Un sistema di coordinate X-Y consente di determinare la posizione di
un punto P su un piano (cioè in due dimensioni, X e Y)
Per localizzare un punto nello spazio è necessario definire anche la
quota o altezza del punto
E’ opportuno utilizzare un sistema di coordinate tridimensionale
aggiungendo un terzo asse, Z, al sistema di coordinate X-Y
Un punto P è rappresentato dalla posizione:
P(x,y,z), coordinate del punto P
Sistema di coordinate tridimensionale
Gli assi X,Y,Z in un sistema di coordinate
tridimensionali non sono orientati in modo casuale
Sistema di coordinate destrorso:
Se si immagina che una vite ordinaria venga avvitata
nel senso di trasportare l’asse X verso Y, la vite avanza
nella direzione positiva dell’asse Z
36
Distanza tra due punti
Come si determina la distanza fra due punti in un sistema di
coordinate?
Poiché gli assi di un sistema di coordinate cartesiane
ortogonali formano angoli retti si può usare il teorema di
Pitagora
37
X
Y
x=a
y=b
A
A(x,y)
con x=a, y=b
O
b
Distanza OA=c c
Distanza tra due punti 38
22222 bacbac
La distanza del punto A(x,y)=(a,b) dall’origine O(0,0)
del sistema di riferimento è la lunghezza di c.
Distanza tra due punti
Quanto dista il punto A(x1,y1) dal punto B(x2,y2)?
39
I punti A, B, C definiscono un
triangolo rettangolo di lati a e b
noti:
• a=x2-x1
• b=y2-y1
La lunghezza del terzo lato c è :
2
12
2
12
22 yyxxbac
Esempio
In figura:
A: (x1,y1)=(4,2)
B: (x2,y2)=(8,7)
La distanza di A da B è data da:
40
464125162748222
12
2
12 . yyxxc
Funzioni e grafici 41
Concetto di funzione
In fisica si utilizzano spesso relazioni funzionali tra diverse
variabili fisiche
Ad esempio:
Una particella si muove lungo l’asse X.
Sia x la posizione della particella al tempo t rispetto all’origine O.
All’istante di tempo t1, la posizione è x1
Ad un istante successivo t2 la posizione è x2, e così via…
42
X
t1
x x2 x1
t2 t
Concetto di funzione
La posizione x della particella varia in funzione del
tempo t che è trascorso.
Matematicamente:
x=f(t) ovvero “x è una funzione di t”
Ad ogni istante t possiamo determinare la posizione
x della particella rispetto all’origine
43
X
t1
x x2 x1
t2 t
Concetto di funzione
Nell’equazione x=f(t), le grandezze x e t
rappresentano delle variabili:
t variabile indipendente
x, per la quale determiniamo i valori per ogni t
variabile dipendente
In altre parole: la posizione x dipende dal tempo t che
è trascorso
44
La particolare forma di f(t) dipende dal problema
fisico che si sta affrontando.
L’espressione f(t) che mette in relazione x e t si
chiama relazione funzionale
45
Concetto di funzione
Rappresentazione di relazioni funzionali
L’informazione quantitativa che otteniamo in un
esperimento è ciò che definisce i dati.
I dati sono usati per determinare le relazioni
funzionali fra le variabili dell’esperimento
46
Rappresentazione di relazioni funzionali
Come si possono rappresentare le relazioni
funzionali?
Per mezzo di una tabella
Per mezzo di un grafico
Per mezzo di una equazione
47
Esempio di rappresentazione di una funzione
Una cinquecento si muove lungo una strada dritta con una
velocità costante v0=15 km/h.
All’istante t=0, la posizione dell’auto coincide con l’origine
del sistema di riferimento s=0
48
O s
In ciascun intervallo di tempo di un’ora la cinquecento
percorre 15km. Perciò:
Dopo 1 ora (t=1h), s=15 km
Dopo 2 ore (t=2h), s=15km+15km=30km
Dopo 3 ore (t=3h), s=15km+15km+15km = 45km
Come si può rappresentare questa relazione
funzionale tra spazio percorso s e il tempo t?
49
O s
Tabella 50
Tempo t (ore) Posizione s (kilometri)
0 0
1 15
2 30
3 45
4 60
5 75
6 90
… ….
N.B.: Alle variabili spazio e tempo (s e t) sono associati sia i valori numerici sia le
unità di misura corrispondenti (ore e kilometri) di cui parleremo in dettaglio in seguito
Grafico
I dati tabulati nella tabella precedente possono essere
riportati su un grafico. Scegliamo un sistema di coordinate
cartesiane ortogonali con:
Asse x: tempo (t)
Asse y: posizione (s)
51
Tempo t (h) Posizione s (km)
0 0
1 15
2 30
3 45
4 60
5 75 Tempo (ore)
Posi
zio
ne
(km
)
Nell’esempio analizzato, una singola linea retta passa
per TUTTI i punti
La relazione funzionale tra le variabili è nota come
relazione lineare
Si dice che s aumenta linearmente con t
52
Tempo (ore)
Posi
zio
ne
(km
)
Equazione
In base all’esempio precedente, la posizione s aumenta
con il tempo t ad un tasso costante di 15 km/h si
possono mettere in relazione s e t per mezzo
dell’equazione:
s = v0t , con v0= 15 km/h
La relazione funzionale tra s e t è data dall’equazione di
una retta (slides successive) e ci dice che:
“La posizione s (in metri) della particella” aumenta con il tempo t
(in secondi) ad una tasso costante di 15 km/h
53
Variabile indipendente Variabile dipendente
Esercizi
Dalla tabella seguente costruire un grafico dello spazio
percorso da una particella(in kilometri) in funzione del tempo
t (in ore). Indichiamo con x lo spazio percorso.
Qual è l’equazione che mette in relazione le variabili x e t?
54
Distanza x
(kilometri)
Tempo t (ore)
0 0
2 0.5
4 1.0
6 1.5
8 2
10 2.5
Esercizi
Disegnare i grafici delle seguenti funzioni da t=0 a
t=10s:
a) x=t
b) x=2t
c) x=3t
d) x=4t
e) x=5t
In ciascun caso x è espresso in kilometri e t in ore
55
La retta
Una delle relazioni funzionali più semplici che può
esistere fra due variabili è la relazione lineare e si
verifica quando:
Una delle due variabili è direttamente proporzionale
all’altra
È rappresentata graficamente da una retta
56
La retta
Una retta generica è rappresentata dall’equazione:
x variabile indipendente
y variabile dipendente
a, b costanti
Poiché y=ax+b è un’equazione le grandezze y, ax,
b devono avere le stesse dimensioni
Se b=0, y=ax ovvero y è proporzionale a x
57
baxy
Grafico di una retta
Variabile indipendente x
sull’asse orizzontale
Variabile dipendente y
sull’asse verticale
Intersezione con asse y
Per x=0 y=a0+b=b
Intersezione con asse x
Per y=0 0=ax+b
58
a
bx
y= ax+b a>0
Grafico di una retta 59
y= ax+b a<0 Variabile indipendente x
sull’asse orizzontale
Variabile dipendente y
sull’asse verticale
Intersezione con asse y
Per x=0 y=a0+b=b
Intersezione con asse x
Per y=0 0=ax+b
a
bx
Esempio
Tracciare un grafico
della retta y=2x+4
In questo esempio: a=2,
b=4
Per x=0, y=20+4=4
intersezione con l’asse
delle y nel punto (0,4)
Per y=0, 0=2x+4 cioè
x=-4/2=-2
intersezione con l’asse
delle x nel punto (-2,0)
60
Pendenza di una retta
Caratteristica importante della
retta è la sua pendenza o
inclinazione.
Consideriamo la retta:
y=ax+b
Che passa attraverso i punti
(x1,y1) e (x2,y2)
Si definisce:
61
x
y
xx
yypendenza
12
12
Pendenza di una retta
La retta y=ax+b passa attraverso i
punti (x1,y1) e (x2,y2):
y1=ax1+b
y2=ax2+b
Sottraendo membro a membro
Dividendo entrambi i membri per x2-x1:
62
1212 xxayy
12
12
xx
yya
Pendenza della retta:
y=ax+b
La parabola
Una parabola è l'insieme dei punti del
piano equidistanti da una retta L (detta
direttrice) e da un punto F (detto fuoco)
non contenuto in L
Una parabola con asse di simmetria
parallelo all’ asse y è rappresentata
dall’equazione:
x variabile indipendente
y variabile dipendente
a, b, c costanti
63
y= ax2 +bx+c
Parabola
Punti importanti della parabola
Vertice
Fuoco
Asse di simmetria
Direttrice
64
F = -b
2a,1- b2 + 4ac
4a
æ
èç
ö
ø÷
V -b
2a,4ac- b2
4a
æ
èç
ö
ø÷
x = -b
2a
y =1+ b2 - 4ac
4a
Intersezione con l’asse x
I punti di intersezione della parabola con l’ asse x si
trovano risolvendo il sistema:
che equivale a trovare le soluzioni di un’ equazione di
secondo grado
ax2+bx+c=0
L’ intersezione della parabola con l’ asse x è una
rappresentazione grafica delle soluzioni delle equazioni di
secondo grado
65
cbxaxy
y
2
0 equazione asse x
Intersezione con l’asse y
I punti di intersezione della parabola con l’ asse y si trovano
risolvendo il sistema:
cioè:
y=a0+b0+c y=c
Il punto y=c rappresenta l’intersezione della parabola con
l’asse delle ordinate
66
cbxaxy
x
2
0 equazione asse y
Disegnare una parabola nel piano
Per disegnare nel piano la parabola di equazione
y=ax2+bx+c bisogna:
Determinare se la parabola è rivolta verso l’ alto o verso il
basso
a>0 : concavità verso l’ alto
a<0 : concavità verso il basso
Trovare le coordinate del vertice V
Trovare l'intersezione della parabola con l'asse delle y
Ovvero porre x=0 => y = c
Trovare le intersezioni, se esistono, della parabola con l'asse
delle x
67
Esercizi
Tracciare il grafico della parabola y = x2 -3x -5
a>0 : concavità verso l’ alto
Inters. con y : y=-5
Inters. Con x : -1.2, 4.2
Vertice (3/2,-7.25)
68
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Esercizi
Tracciare il grafico della parabola y = -2x2+3x+20
a<0 : concavità verso il basso
Inters. con y = 20
Inters. con x = -2.5, 4
Vertice : (3/4,21.125)
69
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Esercizi
Tracciare il grafico delle parabole
y = -9.8x2+25;
y=-9.8x2+2x;
y = -9.8x2-3x+15
70
-20
-10
0
10
20
30
-3 -2 -1 0 1 2 3
-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
-4 -2 0 2 4
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-3 -2 -1 0 1 2 3
Trigonometria 71
Il radiante
L’ unità di misura più conveniente per la misura degli angoli
in fisica è il radiante o rad.
La misura in radianti di un angolo e' il rapporto tra l'arco di
circonferenza sotteso dall’angolo e il raggio della
circonferenza.
Si calcolino i valori in radianti di 360°,180°, 90°
72
R
l
rad in misurato
Il radiante 73
Semplici Triangolo Quadrato
equilatero
Il radiante
In generale:
74
a°
a(rad)=
360
2p
a(rad) =2p
360°a°
Funzioni trigonometriche : sen 75
Sia dato un triangolo rettangolo ABC
c2 = a2 + b2
Definizione della funzione seno (sen)
A C
B
q
f
c a
b
senq =lato opposto a q
ipotenusa=
a
c
senq =a
a2 + b2
Funzioni trigonometriche : cos 76
Sia dato un triangolo rettangolo ABC
c2 = a2 + b2
Definizione della funzione coseno (cos)
A C
B
q
f
c a
b
cosq =lato adiacente a q
ipotenusa=
b
c
cosq =b
a2 + b2
Funzioni trigonometriche : tan 77
Sia dato un triangolo rettangolo ABC
c2 = a2 + b2
Definizione della funzione tangente (tan)
A C
B
q
f
c a
b tanq =
lato opposto a q
lato adiacente a q=
a
b
cosθ
senθ
θ a adiacente lato
ipotenusa
ipotenusa
θ a opposto latotanθ
b
c
c
a
Relazioni trigonometriche
Riassumiamo alcune importanti relazioni tra le
funzioni goniometriche
c2 = a2 + b2
Dalle definizioni segue che :
a = c senq
b = c cosq
a2 + b2 = c2 sen2q c2 cos2q = c2 (sen2q cos2q ) = c2
78
A C
B
q
f
c a
b
sin2q +cos2q =1
Relazioni trigonometriche
Riassumiamo alcune importanti relazioni tra le
funzioni goniometriche
ricordando che
f = 90° - q
Dalle definizioni :
a = c cosf = c cos (90°-q)
b = c senf = c sin (90°-q)
79
A C
B
q
f
c a
b
senq = cos(90°-q) , cosq = sin(90°-q)
Circonferenza goniometrica
Uno strumento utile per determinare
i valori di sen, cos, tan è la
circonferenza goniometrica :
circonferenza con centro nel centro
degli assi e raggio pari ad 1.
Ogni punto ha come coordinate
cartesiane x=cosq e y=senq
Proprietà : sen2q cos2q = 1
Dato un angolo , il valore del sen,
cos e tan si ricava in base alle
proprietà geometriche dei triangoli
80
)sen,P(cos θθ
P
θθsen
θcos
Circonferenza goniometrica 81
45° l
l
d
2
145senθsen ° l
d
l
22
quadrato
quadrato
dlld
2
145cosθcos ° l
d
l
Per definizione nella circonferenza
goniometrica d=1:
2
11 ld
Circonferenza goniometrica 82
60°
l
b
h l
2
3
1
2
3
60senθsen °l
h
2
3
2
1
1
lhb
llato equilaterotriangolo
,
_
2
1
1
2
1
60cosθcos °l
b
Circonferenza goniometrica 83
Valori di alcune funzioni trigonometriche
gradi
radianti
seno
coseno tan
0 0
0
1 0
30 p/6
0.5 √3/2 1/√3
45 p/4
1/√2 1/√2 1
60 p/3 √3/2 0.5 √3
90 p/2 1
0 ∞
180 p 0 -1 0
84
Funzioni inverse : sen-1, cos-1, tan-1
1. Qual è l’ angolo q che ha come coseno 0.5?
2. Qual è l’ angolo q tale che senq = 1?
3. Qual è l’ angolo q tale che tanq = 1?
L’ operazione di esprimere un angolo
in funzione del valore di sen, cos e tan
si scrive matematicamente
Risposte : (v. tab precente) 1. 60°, 2. 90°, 3. 45°
85
A C
B
q
f
c a
b
q = sen-1 a
c
æ
èç
ö
ø÷ oppure q = cos-1 b
c
æ
èç
ö
ø÷ oppure q = tan-1 a
b
æ
èç
ö
ø÷
Osservazione : il -1 non è un esponente!! -1 è associato ad una funzione, non ad un
numero.
Richiamo
Sen, cos, tan : definizioni
sinq = a / c;
cosq = b /c ;
tanq = a /b ;
Sen, cos, tan : relazioni tra cateti e ipotenusa
a = c sinq oppure a = c cosf ;
b = c cosq oppure b = c sinf ;
a = b tanq, b = a tanf ;
Proprietà : sen2q + cos2q=1 ; sinq = cos(90-q), etc.
86
A C
B
q
f
c a
b
Esercizi
Calcolare tutti i lati del triangolo :
87
l = 10
q = 50°
f = 40°
AB = ?
BC = ?
CA= 10 q
f A
B C
l
Risultati:
AB = 7.6
BC = 6.4
CA = 10
Esercizi
Calcolare tutti i lati del triangolo :
88
h = 10
q = 40°
f = 60° q f h
C B
A AB = ?
BC = ?
CA = ?
Risultati:
AB = 11.5
BC = 17.7
CA = 15.5
H
Esercizi
Calcolare tutti i lati del triangolo :
89
h = 5
q = 30°
f = 40° q f
h C B
A AB = ?
BC = ?
CA = ?
Risultati
AB = 7.77
BC = 14.6
CA = 10
Esercizi
Data una rampa avente un piano lungo 2 m ed inclinato
di 60° rispetto all’ orizzontale, calcolare
la lunghezza del lato della rampa che
tocca il suolo
Di quanto si innalza la rampa
Sia dato un piano inclinato lungo 50 cm. Se il punto più
alto dista 25 cm dal suolo, determinare qual è l’
inclinazione del piano.
90
2 m
60°
Esercizi
Date due rette incidenti perpendicolari, determinare la
lunghezza dei cateti del triangolo rettangolo in figura
(ipotenusa = 5, q=30° )
91
q a
b
Richiamo
I valori di sen e cos nei
quattro quadranti si possono
calcolare con il metodo
grafico della circonferenza
goniometrica.
Il cos di 120° è l’ ascissa OH,
il sen di 120° è l’ ordinata PH.
OH = -cos(60°) = -1/2
PH = sen(60°) = √3/2
92
)sen120,P(cos120 °°
H
120° 60°
Richiamo : arcoseno, arcocoseno, arcotangente
93
1. Qual è l’ angolo q che ha come coseno 0.5?
2. Qual è l’ angolo q tale che senq = 1?
3. Qual è l’ angolo q tale che tanq = 1?
q = sen-1 a
c
æ
èç
ö
ø÷ oppure q = cos-1 b
c
æ
èç
ö
ø÷ oppure q = tan-1 a
b
æ
èç
ö
ø÷
gradi
radianti
seno
coseno tan
0 0
0
1 0
30 p/6
0.5 √3/2 1/√3
45 p/4
1/√2 1/√2 1
60 p/3 √3/2 0.5 √3
A C
B
q
f
c a
b
Esempio
Determinare gli angoli aventi sen = -1/2
94
P P
Risposta : 210° e 330°
30° 30°
Coordinate polari
Nel piano (due dimensioni) la posizione di un punto
P è univocamente determinata da due informazioni
In un sistema di coordinate X-Y la posizione è definita
univocamente da una coppia di numeri (x,y)
coordinate del punto
La posizione di un punto P può essere data da
dalla distanza di P dall’ origine degli assi (r) e dall’
angolo che la retta OP forma con l’ asse delle x (q).
95
Coordinate polari
Al posto di (x,y), si può
dare la posizione di P
con la coppia (r,q) ove
r = distanza OP (sempre
positiva!).
Inoltre OP è l’ipotenusa del
triangolo OPM
q = angolo misurato a partire
dall’ asse x ( va da 0 a 360° )
96
r
q
Coordinate polari
Risulta dunque
La posizione di P in coordinate
polari si esprime dunque P(r,q)
ove
97
r
q
r = + x2 + y2 > 0
x = r ×cosq
y = r × senqtanq =
y
xÞq = tan-1 y
x
æ
èç
ö
ø÷
x
yyxr 122 tan= q,
Quadranti in un sistema di coordinate
Un punto può essere espresso in coordinate polari o
cartesiane in un punto qualsiasi del piano.
Si identificano
quattro quadranti.
In base ai quadranti
bisognerà inserire i
segni opportuni
98
Quadranti in un sistema di coordinate
Consideriamo un punto nel II quadrante.
x = r cosq [< 0]
y = r senq [> 0]
99
II Quadrante I Quadrante
Quadranti in un sistema di coordinate
Segni delle coordinate e
delle funzioni trigonometriche
nei vari quadranti
100
Esercizio
Calcolare le coordinate polari del punto (3,-5)
(r, q) = (5.83, 301°)
101
P
Esercizio
Calcolare le coordinate polari del punto (-2.5,5)
(r, q) = (5.6, 117°)
102
63°
Esercizio
Calcolare le coordinate cartesiane del punto P con
(r,q) = (10, 210°)
x = 10 cos(210°) = -8.6
y = 10 sen(210°) = -5
103
A
B
x
y
Approssimazioni nel caso di piccoli angoli
Sia CB <<AC, ovvero y<< x. Segue :
r = √(x2+y2) ≅ x
y è approssimativamente uguale alla lunghezza dell’
arco di circonferenza s, y≅s => y≅ rq da cui si ha
104
C
r s
senq =y
r@
rq
r=q, cosq =
x
r@
r
r=1, tanq =
y
x@
rq
r=q
q
Esponenziale e Logaritmo 105
La funzione esponenziale
Richiamo :
Potenza con esponente intero
Potenza con esponente frazionario
Si può definire anche una funzione più generica che
ad un x generico (numero reale) associa 2x, ovvero :
La variabile è proprio l’ esponente
Se x è intero o frazionaria si ritrovano i casi precedenti
106
23 = 2 ×2 ×2
25
3 = 253
f : x®2x ove x generico
La funzione esponenziale
f : x y=f(x)=2x
107
X 2X
-5 2-5 0,03125
-4 2-4 0,0625
-3 2-3 0,125
-2 2-2 0,25
-1 2-1 0,5
0 20 1
1 21 2
2 22 4
3 23 8
4 24 16
5 25 32
0
5
10
15
20
25
30
35
-6 -4 -2 0 2 4 6
y = 2x
La funzione esponenziale
F : x 0.5x
108
X 0.5X
-5 0.5-5 32
-4 0.5-4 16
-3 0.5-3 8
-2 0.5-2 4
-1 0.5-1 2
0 0.50 1
1 0.51 0,5
2 0.52 0,25
3 0.53 0,125
4 0.54 0,0625
5 0.55 0,03125
y = 0.5x
0
5
10
15
20
25
30
35
-6 -4 -2 0 2 4 6
La funzione esponenziale
Dato un numero generico (numero reale) positivo a, esiste una
funzione che ad ogni x generico associa ax, tale funzione è
chiamata esponenziale
109
La funzione esponenziale y = ax
appare come in figura:
se 0<a<1 si ha il grafico in
rosso
se invece a>1, si ha il grafico in
blu
La funzione esponenziale
Dato un numero generico (numero reale) positivo a,
esiste una funzione che ad ogni x generico associa
ax, tale funzione è chiamata esponenziale
In particolare in ambito scientifico si usa spesso
come numero reale positivo il numero di Nepero e,
pari ad e ≈ 2.7183…
La funzione x ex, ovvero f(x)=ex è detta
funzione esponenziale standard
110
La funzione esponenziale standard
Rappresentazione grafica
111
y
x
f (x) = e-x = e-1×x =
= e-1( )x
=1
e
æ
èç
ö
ø÷
x
xexf )(
Esponenziale
Le funzioni esponenziali che si incontrano in fisica
sono usualmente nella forma
E.g.: Legge decadimento radioattivo : N=N0e-t/l ->
Radiofarmaci
112
f (x) = A×eax
Esempio
Sia l= 8267 anni la vita media del Carbonio-14.
Quale frazione di Ca-14 è presente nel fossile dopo
10000 anni?
N/N0 = e-10000/8267 = 0.3
Quale frazione di atomi di carbonio è presente nel
fossile dopo 5723.6 anni?
N/N0 = e-5723.6/8267 = 0.5
113
N(t) = N0e- t
l
Introduzione al Logaritmo
9 = 32 oppure 27 = 33
81 = 92=(32)2= 32x2 = 34
64 = 8x8 = 23 x 23 = 23+3 = 26=22x3=(22)3 = 43
1. Qual è la potenza di 3 che ha come risultato il
numero 81?
Risposta : 4. Infatti 34=81
2. Qual è la potenza di 9 che ha come risultato il
numero 81? (81 = 92)
Risposta : 2. Infatti 92=81
114
Definizione di logaritmo
Definizione :
Il logaritmo in base a di un numero x è uguale all’
esponente y al quale il numero a deve essere elevato
affinchè si abbia x = ay. Cioè :
Se x = ay allora y = logax
Il logaritmo è la funzione inversa dell’ esponenziale
Esempio : pH = -log10x
(ove x è la concentrazione dello ione idrogeno nella soluzione)
115
Osservazioni
Se il logaritmo è espresso in base 10 talvolta si
esprime senza specificare la base
Se il logaritmo è espresso nella base e (numero di
Nepero) in genere non si specifica la base e
viene utilizzata la notazione
Loge5 ln5
116
Proprietà dei logaritmi
Poiché il logaritmo rappresenta un esponente, esso ha le
stesse proprietà matematiche degli esponenti.
LogaAB = LogaA + LogaB
Loga (A/B) = LogaA – LogaB
Loga An = n LogaA
Cambio di base da a a k : Logax = Logkx / Logk a
117
Proprietà dei logaritmi
Dimostriamo la prima delle proprietà dei logaritmi
LogaAB = LogaA + LogaB
Dimostrazione :
Sia p = LogaA e q = LogaB;
p+q= LogaA + LogaB.
Inoltre:
ap=A e aq=B
AB = ap aq = a (p+q) =>
LogaAB =Loga(a (p+q) ) = p+q = LogaA + LogaB
118
Esempio
Determinare il tempo di dimezzamento del Carbonio 14
sapendo che la sua vita media è pari a 8267 anni
119
N(t) = N0e-t/8257 sia tdimezzamento = t
N(t )
N0
=1
2= e
-t8257
ln(1
2) = -
t
8257 => - t = - ln(2)*8257
t = 5723.3
Sintesi della misura di superfici e volumi delle
principali figure geometriche piane e solide
Figure geometriche 120
Aree e volumi 121
L
L
Quadrato
Area = L2
Rettangolo
Area = ab
a
b
Cubo
Volume = L3
Parallelepipedo
Volume = abc
L L
L
a
b
c
Aree figure piane 122
h
b
Triangolo
Area =
Trapezio
b1
b2
Triangolo rettangolo
b
a 2
hb Area =
2
ba
Area =
2
hbb 21 h
Circonferenza, cerchio, sfera
Diametro = 2R
Perimetro circonferenza: L=2pR
Area cerchio: A= pR2
123
R
Superficie della sfera:
Volume della sfera:
2R4π
3R
4π
3
Cilindro
Area cilindro:
Stot= 2Sbase+Slaterale=
=2pR2 + 2pRh
Volume cilindro
V = Sbaseh = pR2h
124
h
R
Esempio
Dato un cilindro di raggio R=20cm e altezza
h=30cm, Quanto vale il 60% del volume totale?
V = pR2h = p(20cm)2(30cm)= p410230 cm3=
= p12103cm3
125
3333
60 10622101260100
60cmcmVV tot ..% p
Esempio
Si consideri un pezzo di legno cubico di lato 0.5 m. Se in esso
viene praticato un foro di forma sferica di raggio 5 cm e la
densità del legno è di 0.75 g/cm3, quanto vale la massa del
pezzo di legno prima e dopo il foro?
Ricordiamo che massa=densità*volume (m=V)
Prima : min= Vcubo
Volume Cubo:0.5m*0.5m*0.5m = 0.125m3
Densità: 0.75 g/cm3= 0.75*0.001kg/(0.01m)3 =750 kg/m3
Massa= 0.125 m3*750 kg/m3 = 93.75 kg
Dopo : mfin= *(Vcubo-Vsfera)
750 kg/m3*[(0.5*0.5*0.5)-(4/3)p (0.05)3 ]m3 = 93.36 kg
126
Esempio
Si vuole costruire una zattera con tronchi di legno a forma
cilindrica aventi diametro di 42 cm e lughezza 1m. La
zattera deve pesare almeno 300 Kg. Se la densità del
legno è in media 750 Kg/m3, calcolare qual è il numero
minimo di tronchi di legno che servono per la costruzione
della zattera.
V = p r2*l= p *(0.21)2*1=0.1385 m3
m1tronco = 750*0.1385 = 104 Kg
Numero tronchi minimo = 300/104 = 2.88 ≈3
127
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