LOGARITMI - DEFINIZIONE E PROPRIETA' · logaritmi del dividendo e del divisore aventi la stessa base del logaritmo di partenza. oppure La differenza di due logaritmi con ugual base

IPSSART Aversa - Prof Nunzio ZARIGNO - Anno scolastico 2009-10

Logaritmi e Proprietà 1

I LOGARITMI

Definizione di logaritmo

Definizione

Si dice LOGARITMO in base a, con , di un numero reale positivo b, e si scrive logab, l'esponente al quale occorre elevare a per ottenere b. In simboli

a si dice base del logaritmo,

b si dice argomento del logaritmo.

Osservazioni

1. La scrittura log senza aver specificato base e argomento è priva di significato, è come

scrivere senza aver specificato indice e radicando. 2. Se il numero di cui si vuole calcolare il logaritmo è espresso già come potenza della base si

ha

in particolare

1log aa

01log b

Esempi: Calcolare i seguenti logaritmi:

1. 2. 3. 4. 5.

Il calcolo è abbastanza semplice quando è possibile esprimere sia la base a che l'argomento b come potenza di una stessa base. In caso contrario, come vedremo più avanti, sarà necessario utilizzare una calcolatrice scientifica.

1. Occorre chiedersi: qual è l'esponente che devo dare a 2 per ottenere 8?




3. Occorre chiedersi: qual è l'esponente che devo dare a 7 per ottenere 1/49?

4. Occorre chiedersi: qual è l'esponente che devo dare a 1/2 per ottenere 4?


Osservazione Il risultato ottenuto nell'esercizio 5 vale qualunque sia la base:

Osserviamo il grafico della funzione logaritmica



Fino ad ora abbiamo considerato esempi nei quali si voleva calcolare il valore del

logaritmo conoscendo base e argomento, procedendo nel seguente modo:

si scrive l'equazione esponenziale associata: , se l'argomento si può esprimere mediante una potenza della base, si applicano le proprietà delle potenze ricavando il valore della x

Vogliamo ora calcolare

1. la base, noti l'argomento ed il logaritmo 2. l'argomento noti la base ed il logaritmo

Vediamo la procedura per determinare la base x in . Per definizione di logaritmo abbiamo:

L'equazione è risolvibile facilmente se anche a si può esprimere come potenza con esponente b applicando le proprietà delle potenze.

Esempio 1

Determinare x in . L'equazione associata è dalla quale deduco immediatamente (osserva che la soluzione deve essere positiva per le ipotesi poste sulla base)

Esempio 2

Determinare x in logx.8 = -3 L'equazione associata è x -3 = 8 dalla quale si deduce che:

813 x da cui

21

x

Esempio 3

Determinare

Per la definizione di logaritmo si ha subito



LOGARITMI DECIMALI

In passato, quando avevano una notevole importanza per i calcoli, i logaritmi utilizzati più frequentemente erano quelli in cui la base è 10, detti logaritmi decimali. Essi sono indicati con o anche semplicemente con log x (notazione anglosassone)

Esempi

Per verificare i risultati, come per calcolare il logaritmo in base 10 di un qualunque numero, puoi utilizzare la calcolatrice scientifica dove i logaritmi decimali sono indicati con la notazione anglosassone (log).

LOGARITMI NATURALI

Si dicono logaritmi naturali o neperiani i logaritmi che hanno come base il numero

irrazionale e detto numero di Nepero.

Il numero di Nepero e è un numero trascendente, le cui prime cifre decimali sono

Il logaritmo in base e si indica di solito con ln x.



Proprietà dei Logaritmi

Dalle proprietà delle potenze si ricavano le proprietà dei logaritmi.

Proprietà 1

(1)

Il logaritmo del prodotto di due numeri reali positivi è uguale alla somma dei logaritmi aventi per argomenti i singoli fattori e per base la stessa base.

oppure

La somma di due o più logaritmi aventi ugual base, di numeri reali positivi, è uguale al logaritmo avente per base la stessa base e per argomento il prodotto degli argomenti.

Esempio 1.

Calcolare

Primo modo.

ed in base alla definizione di logaritmo, si ottiene

log2 (65536) = x 2x = 65536 2x = 216 x = 16 Secondo modo.

Applichiamo la proprietà (1):

ma , quindi si ha

X = 4 + 5 + 7 = 16 Ovviamente i due risultati coincidono. Quando non si è sicuri del risultato utilizzando entrambi i metodi si ha una verifica della correttezza.

Esempio 2.

Calcolare .



Esempio 3.

Calcolare .

Osservazione. Nella (1), l'ipotesi che i due fattori m, n siano positivi è necessaria. Infatti se i due

fattori fossero negativi non si potrebbe applicare la proprietà perché avrebbe senso, in quanto l'argomento risulta positivo perché prodotto di due fattori negativi, mentre logam e logan sono privi di senso avendo argomento negativo.

Per esempio:

mentre non è possibile applicare la proprietà (1) poiché le scritture e sono prive di significato, in quanto il logaritmo non è definito per argomenti negativi .

Proprietà 2

(2)

Il logaritmo del quoziente di due numeri reali positivi, è uguale alla differenza dei logaritmi del dividendo e del divisore aventi la stessa base del logaritmo di partenza. oppure La differenza di due logaritmi con ugual base e di argomenti reali positivi, è uguale al logaritmo avente per base la stessa base e per argomento il quoziente dei due argomenti. Esempio 1.

Calcolare .

Primo modo Come nello svolgimento del primo esempio della proprietà precedente, anche in questo caso si possono sviluppare i calcoli numerici indicati nell'argomento del logaritmo assegnato:



Secondo modo

Applichiamo la proprietà (2):

Da cui, sapendo che

si ha

.

Esempio 2.

Calcolare.

Esempio 3.

Calcolare .

Proprietà 3

(3)

Il logaritmo di una potenza di un numero positivo è uguale al prodotto tra l'esponente della potenza e il logaritmo, sempre nella stessa base, del numero positivo dato.

oppure

Il prodotto di un numero per il logaritmo di un numero positivo è uguale al logaritmo avente per base la stessa base e per argomento una potenza che ha per base l'argomento del precedente logaritmo e per esponente il fattore che moltiplicava il logaritmo precedente.



Esempio 1.

Calcolare

Applicando la proprietà (3), si ottiene:

Proprietà 3 - Particolare

(3-P)

Il logaritmo della radice n-esima di un numero positivo è uguale al prodotto dell'inverso dell'indice per il logaritmo del radicando.

oppure

Il quoziente tra il logaritmo di un numero positivo e un numero naturale n è uguale al logaritmo della radice n-esima avente per radicando l'argomento del logaritmo.

Osservazione. Questa proprietà è un'immediata conseguenza della proprietà (3). Vedi l'esempio seguente.

Esempio 1.

Calcolare .

Applicando la proprietà (4), si ottiene:

Lo stesso risultato si otteneva applicando la proprietà (3):

.

Ricordiamo altre proprietà, già ampliamente utilizzate, conseguenze immediate della definizione:

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