View
3
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Michał Wilczyński e-mail: michal.wilczynski@pw.edu.pl
Informacje związane z zajęciami będą umieszczane na stronie:http://www.if.pw.edu.pl/~wilczyns
Fizyka I I semestr studiów stacjonarnych I stopnia na kierunku
Biogospodarka
Konsultacje
piątki 14:30-15:30 on line
środy 15-16 on line
Konsultacje poprzez TEAMS w zespole konsultacje (kod 8g5e9wg )
Możliwość dodatkowo konsultacji w innym terminie uzgodnionym poprzez e-mail
Zajęcia w każdy poniedziałek w godzinach 8:15 – 12 w ramach zespołu Fizyka (Wyk gr nr1 ) obejmujące wykłady, ćwiczenia i zajęcia wyrównawcze
Program ramowy0) Wstęp. Układ jednostek SI. Wielkości wektorowe i skalarne w fizyce, Informacje o
wektorach i pochodnych, całka oznaczona.
1) Kinematyka: wprowadzenie wielkości służących do opisu ruchu: wektor wodzący, droga, prędkość, szybkość średnia i chwilowa, przyspieszenie, związki ogólne między tymi wielkościami. Ruch prostoliniowy, Ruch jednostajny i jednostajnie zmienny po linii
prostej. Składanie ruchów. Wielkości służące do opisu ruchu po okręgu: prędkość i przyspieszenie kątowe. Ruch jednostajny i jednostajnie zmienny po okręgu.
2) Dynamika: Układy inercjalne. Zasady dynamiki Newtona. Przykłady sił (np. siła reakcji
podłoża, siła tarcia, siła naciągu nici, siła sprężystości, siła dośrodkowa). 3) Pęd pojedynczego ciała i układu ciał. Zasada zachowania pędu. Energia kinetyczna.
Zderzenia ciał sprężyste i niesprężyste. 4) Praca i jej związek z energią, siły zachowawcze i energia potencjalna. Zagadnienie
zachowania energii.
5) Moment pędu i moment siły. Zasada zachowania momentu pędu. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej. Moment bezwładności. Energia kinetyczna bryły w ruchu obrotowym. Równanie ruchu obrotowego bryły.
6) Ruch harmoniczny prosty i wielkości go opisujące. Energia ruchu harmonicznego. Wahadła. Drgania harmoniczne tłumione i wymuszone. Fale: Klasyfikacja fal,
podstawowe wielkości charakteryzujące ruch falowy. Zasada superpozycji. Fale akustyczne.
7) Elementy termodynamiki. Parametry charakteryzujące stan równowagowy układu gazowego. Ciepło, praca i energia wewnętrzna, I zasada termodynamiki. Równanie stanu gazu doskonałego. Teoria kinetyczna gazu doskonałego. Podstawowe przemiany
termodynamiczne.
8) Elektrostatyka: Ładunek elektryczny. Prawo Coulomba. Natężenie pola elektrostatycznego. Prawo Gaussa. Potencjał pola elektrostatycznego Kondensatory –
pojemność i energia pola elektrycznego kondensatora, szeregowe i równoległe łączenie kondensatorów.
9) Prąd elektryczny: Natężenie i gęstość natężenia prądu elektrycznego. Prawo Ohma, opór, przewodność właściwa i opór właściwy. Obwody prądu stałego-przemiany energii, Prawa Kirchhoffa. Szeregowe i równolegle łączenie oporników.
10) Pole magnetyczne: Indukcja pola magnetycznego, Siła Lorentza- działanie pola na
poruszające się ładunki i przewodnik z prądem. Wyznaczanie indukcji pola wytworzonego przez przewodniki z prądem przy pomocy prawa Ampera. Oddziaływanie przewodników z prądem. Podział materiałów ze względu na ich własności magnetyczne.
11) Indukcja elektromagnetyczna: Prawo Faradaya, reguła Lenza, cewka indukcyjna i
energia pola magnetycznego w cewce. Samoindukcja i indukcja wzajemna. Drgania w
obwodach elektrycznych w skład których wchodzą kondensator i cewka. 12) Wirowe pola elektryczne i magnetyczne. Równania Maxwella. Fale elektromagnetyczne i
mechanizm ich rozchodzenia się. Światło jako fala elektromagnetyczna; prędkość światła, polaryzacja światła. Interferencja i dyfrakcja fal świetlnych, spójność światła. Elementy optyki geometrycznej: zjawisko odbicia i załamania światła, całkowite wewnętrzne odbicie.
Literatura1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, tom 1-4, PWN
Warszawa 2003.
2. R. Resnick, D. Halliday, Fizyka, tom 1-2, PWN, Warszawa 1983.
3. J. Orear – Fizyka, tom 1 i 2, WNT, Warszawa, 1990.
4. C. Bobrowski, Fizyka –krótki kurs, WNT, Warszawa 2003.
5. W. Bogusz, J. Garbarczyk, F. Krok, Podstawy fizyki, OWPW Warszawa 2010.
6. K. Sierański, K. Jezierski, B. Kołodka, Fizyka Wzory i prawa objaśnieniami, część I i II, skrypt do zajęć z fizyki dla studentów I roku, Oficyna Wydawnicza
Scripta Wrocław 2005.7. K. Sierański, K. Jezierski, B. Kołodka, Fizyka Wzory i prawa objaśnieniami
(kurs powtórkowy) , Oficyna Wydawnicza Scripta Wrocław 2002.
8. K. Jezierski, K. Sierański, I. Szlufarska, Repetytorium zadania z rozwiązaniami, kurs powtórkowy dla studentów 1 roku i uczniów szkółśrednich, Oficyna Wydawnicza Scripta, Wrocław 2003.
9. K. Jezierski, B. Kołodka, K. Sierański, Zadania z rozwiązaniami, Skrypt do ćwiczeń z fizyki dla studentów 1 roku wyższych uczelni cześć 1, Oficyna Wydawnicza Scripta, Wrocław 2000.
10. K. Jezierski, B. Kołodka, K. Sierański, Zadania z rozwiązaniami, Skrypt do ćwiczeń z fizyki dla studentów 1 roku wyższych uczelni cześć 2, Oficyna Wydawnicza Scripta, Wrocław 1999.
Propozycja zasady zaliczenia przedmiotu fizyka I
1) Zaliczenie wykładu będzie miało formę dwóch kolokwiów. Odbędą się poprzez program TEAMS i będą obejmować 1-2 pytanie opisowe i 3-5 pytania testowe dotyczące zagadnień będących przedmiotem wykładu i zajęć wyrównawczych. Za każde z kolokwiów będzie można otrzymać do 20 punktów. W przypadku wątpliwości co do oceny z kolokwiów może być przeprowadzona przed wystawieniem oceny dodatkowo rozmowa ustna.
2) W ramach ćwiczeń będzie możliwośća) uzyskania do 20 punktów za rozwiązanie zadań domowych. Będę prosił o przesłanie
skanów/fotografii rozwiązań zadań na mój adres pocztowy lub zapis rozwiązań w plikach umieszczonych w programie TEAMS. Przed wystawieniem oceny z zadań może odbyć sięustna rozmowa na ich temat poprzez program TEAMS.
b) uzyskanie do 20 punktów za rozwiązanie zadań na kolokwium zorganizowanym przed końcem semestru. W przypadku możliwości zorganizowania kolokwium na uczelni będzie one zorganizowane na uczelni. W przypadku braku takiej możliwości będą Państwo proszeni o terminowe przesłanie skanów zadań rozwiązanych w trakcie kolokwium w domu na mój adres pocztowy. Wówczas przed wystawieniem oceny z zadań może odbyćsię ustna rozmowa na ich temat poprzez program TEAMS.
Zasady zaliczenia przedmiotu fizyka I
3) Zaliczenie ćwiczeń i wykładu odbywać się będzie na oddzielne oceny określone w oparciu o uzyskaną liczbę punktów. Do zaliczenia wykładu wymagane jest uzyskanie conajmniej20 punktów z kolokwiów teoretycznych. Do zaliczenia ćwiczeń niezbędne jest uzyskanie 20 punktów za rozwiązanie zadań domowych i/lub na kolokwium oraz obecność na wszystkich ćwiczeniach. Dopuszczalna jest jedna obecność nieusprawiedliwiona.
4) Oceny z wykładu i ćwiczeń będą uzależnione od ilości uzyskanych punktów. Ocena końcowa z przedmiotu jest zależna od ilości wszystkich uzyskanych punktów. W przypadku braku zaliczenia wykładu poprzez kolokwia będzie możliwość jego zaliczenia na drodze pozytywnej odpowiedzi ustnej. Do zaliczenia przedmiotu wymagane jest
zaliczenie wykładu i ćwiczeń
Fizyka jako nauka
Przedmiot badań - świat materialny
Podstawowa metoda badań - wykonywanie eksperymentów. Na podstawie zebranych
danych doświadczalnych znajdowane są zaleŜności i związki przyczynowe, które formułuje się w postaci formuł matematycznych wiąŜących ze sobą wielkości fizyczne i formułuje
prawa fizyczne.
W oparciu o gotowe formuły można niekiedy przewidywać występowanie nowych zjawisk, których występowanie i poprawność opisu można weryfikować na drodze eksperymentalnej
Fizyka jest nauką która zajmuje się otaczającym nas światem materialnym oraz zachodzącymi w nim zjawiskami . Dąży do ilościowego opisu własności obiektów występujących w otaczającym nas świecie i zjawisk w nim zachodzących. W tym celu definiuje się różne wielkości fizyczne przydatne do opisu tych zjawisk i obiektów i opisuje się relacje zachodzące pomiędzy nimi wykorzystując język matematyki.
Wielkości fizyczne - taka własność ciała lub zjawiska, którą można porównać ilościowo z taką samą własnością innego ciała lub zjawiska.
Pomiar w fizyce
Pomiar wielkości fizycznej polega na wyznaczaniu stosunku
liczbowego danej wielkości do wielkości tego samego rodzaju przyjętej za jednostkę. Jednostki wielkości podstawowych -jednostki podstawowe - mogą być przyjęte dowolnie, jednostki wielkości pochodnych - jednostki pochodne - definiuje się za pomocą jednostek podstawowych przy wykorzystaniu relacji wiążących wielkości pochodne z wielkościami podstawowymi.
Układ SISysteme International d’Unites
(Franc. 1971 rok)
Siedem jednostek podstawowych (bazowe)
Dwie jednostki uzupełniające
Jednostki pochodne
L.p Wielkość fizyczana
Jednostka
Symbol
Wielkości podstawowe
1. Długość metr m 2. Masa kilogram kg 3. Czas sekunda s 4. Liczność materii mol mol 5. Natężenie prądu
elektrycznego amper A
6. Temperatura termodynamiczna
kelwin K
7. Światłość kandela cd Wielkości
uzupełniające
8. Kąt płaski radian rad 9. Kąt bryłowy steradian sr
Wybrane jednostki uzupełniające w układzie SI - miara łukowa kąta płaskiego
Radian jest to kąt płaski zawarty między dwoma promieniami okręgu, wycinającego z okręgu łuk o długości równej promieniowi tego
okręgu.
r = l
Jednostką w jakiej mierzymy kąt płaski w mierze łukowej jest radian
αααα
lr
α =l
r
)(180
)( stopnierado
απ
α =
Zasady tworzenia jednostek wtórnych
Jednostki wtórne są wielokrotnościami lub
podwielokrotnościami jednostek podstawowych i
pochodnych. Tworzymy je dodając do nazwy
jednostki odpowiedni przedrostek
Przykłady jednostek wtórnych długości:km=103m=1000m mm=10-3 m
µm=10-6 m nm=10-9 m
Przy zapisie wielkości małych (lub dużych ) stosujemy albo jednostki wtórne albo zapis wykładniczy
Np. odległość między jonami Na i Cl w cząsteczce NaCl d=0,24 nm =24*10-11m
Przedrostek Oznaczenie Mnożnik
eksapentateragigamegakilohektodeka-decycentymilimikronanopikofemtoatto
EPTGMkhda-dcmµµµµnpfa
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
100
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
L.p Wielkość fizyczana
Jednostka
Symbol
Wielkości podstawowe
1. Długość metr m 2. Masa kilogram kg 3. Czas sekunda s 4. Liczność materii mol mol 5. Natężenie prądu
elektrycznego amper A
6. Temperatura termodynamiczna
kelwin K
7. Światłość kandela cd Wielkości
uzupełniające
8. Kąt płaski radian rad 9. Kąt bryłowy steradian sr
• Fizyka jest nauką empiryczną-wymaga pomiarów.
• Jak wysoki jest Ming Yao? Ile waży?
– wzrost: 2.29 m (7 ft 6 in)
– masa: 141 kg (310 lb)
• Liczba + Jednostka
“Grubość wynosi 10.” nie ma znaczenia fizycznego
Liczby i jednostki są niezbędne
dla jakichkolwiek pomiarów fizycznych.
Pomiary
Wynik pomiaru należy podawać z dokładnością z jaką pozwala zmierzyć daną wielkośćfizyczną przyjęta metoda pomiarowa. Gdy pomiar długości dokonujemy np. przy pomocy linijki, dla której najmniejsza podziałka skali odpowiada 1mm to wynik
pomiaru może mieć postać d=0,223m=22,3cm Natomiast zapis d=0,22344m jest niepoprawny . Na zajęciach laboratoryjnych w przyszłym semestrze dowiedzą sięPaństwo że oprócz wyniku pomiaru w zasadzie powinno się podawać jego niepewność
V=szybkość =droga
czas
wielkości podstawowe
wielkośćpochodna
Odpowiedni zapis dla jednostek:
jednostka długości
jednostka czasu
metr
sekunda=
Uwaga! Stosowany wzór nie jest wzorem zawsze słusznym, stosowany jest dla określenia szybkości średniej
Przykład jednostki pochodnej w układzie SI prędkość i szybkość
jednostka szybkości =
Przy zapisie wyników obliczeń szybkości przeprowadzonych na drodze pomiaru długości drogi i czasu jej przebycia wynik końcowy obliczeń należy zapisywać z dokładnością na jaką pozwala przeprowadzony pomiar długości drogi i
czasu Np. gdy S=52m,t=12s to
=t
S
s
m
s
m
t
SV 3,4
12
52===
s
mV 3333333,4=
W tych samych jednostkach co szybkość mierzymy także prędkość
Przedostatnia cyfra znacząca wyniku (4) powinna być pewna
paskal (1 Pa) (jednostka ciśnienia) - ciśnienie wywierane przez siłę 1 niutona działającą na powierzchnię 1 metra kwadratowego. 1 Pa = 1 N·m-2.herc (1 Hz) (jednostka częstotliwości) - 1 cykl drgania na sekundę.niuton (1 N) (jednostka siły) - siła, jaka nadaje masie 1 kg przyśpieszenie 1 m·s-2.dżul (1J) (jednostka pracy oraz energii) - praca wykonana na drodze 1 m przez siłę 1N działającą w kierunku przesunięcia.wat (1 W) (jednostka mocy) - moc układu wykonującego pracę 1 dżula w czasie jednej sekundy.
Inną używaną jeszcze jednostkąmocy jest końmechaniczny (1 KM). 1 KM = 735.5 W.kulomb (1 C) (jednostka ładunku) - ładunek, jaki przepływa w czasie jednej sekundy przez powierzchnię przekroju przewodnika, w którym płynie prąd stały o natężeniu jednego ampera.
Niektóre jednostki pochodne układu SI
wolt (1 V) (jednostka różnicy potencjałów oraz siły elektromotorycznej)- różnica potencjałów elektrycznych na końcach jednorodnego przewodu,
w którym płynie ustalony prąd o natężeniu 1 ampera i gdy moc wydzielana w tym przewodzie ma wartość 1 wata. farad (1 F) (jednostka pojemności elektrycznej) - pojemność elektryczna przewodnika, który zmienia swój potencjał o 1 wolt gdy zostanie na nim umieszczony ładunek 1 kulomba. 1 F = 1 C·V-1.
weber (1 Wb) (jednostka strumienia magnetycznego) - 1 Wb = 1 N·m·A-1.
tesla (1 T) (jednostka indukcji magnetycznej, jednostka gęstości strumienia magnetycznego) - 1 T = 1 Wb·m-2.om (1 Ω) (jednostka oporności elektrycznej) - jest to oporność przewodnika, w którym stała różnica potencjałów 1 wolta powoduje przepływ prądu o natężeniu 1 ampera. 1 Ω = 1 V·A-1. henr (1 H) (jednostka indukcyjności - własnej lub wzajemnej) - indukcyjność obwodu,w którym przepływ prądu o natężeniu 1 ampera powoduje powstanie strumienia magnetycznegoo wartości 1 webera przenikającego ten obwód.
Dla określenia jednostki wielkości pochodnych wprowadza się często nowe nazwy np. jednostką pracy jest dżul [J], równy
2
2
s
mkgJ
⋅=
Wielkości fizyczne
wektory skalarywektor wodzący prędkośćprzyspieszenie
siła
pęd moment siły
moment pędu natężenie pola elektrycznego
indukcja pola
magnetycznego
……
rr
Vr
ar
Fr
pr
τr
Lr
Er
czas t
droga S
masa m
praca W
energia E
temperatura T
ładunek elektryczny q
natężenie prądu elektrycznego I………
Br
tensory
Moment
bezwładności………( w ramach wykładu
będziemy rozważać moment bezwładności względem ustalonej osi , będący skalarem)
………
Uzupełnienie matematyczne –wektory
Wektory
Do scharakteryzowania wielkości wektorowej nie jest wystarczające podanie długości wektora (pojedynczej liczby wraz z jednostką w jakiej wielkość fizyczna jest mierzona), lecz niezbędne jest określenie kierunku i zwrotu wektora. Graficznie można wektor przedstawić w postaci strzałki, której długość odpowiada długości wektora. To że analizowany obiekt jest wektorem zaznaczamy umieszczając strzałkę nad symbolem go obrazującym
lub pisząc go pogrubionym pismem a.
ar
ar
Długość wektora ar
oznaczamy jako aar
=
Wygodnie jest wektor scharakteryzować określając jego składowe w pewnym układzie współrzędnych
Operacje na wektorach –
Mnożenie wektora przez liczbę
ar a
r2
ar
−Długość wektora
apffrr
==
Wektor
Wektor jest równoległy lub antyrównoległy do wektora ,
zwrot ulega zmianie na przeciwny gdy p0.
apfrr
=
arf
r
Operacje na wektorach –
Dodawanie wektorów
Długość wektora cr
: ( )αcos222
babaccrrrrr
⋅++==
ar
crb
r
α
ar
br
ar
br+ =
abbacrrrrr
+=+=
ar
br
-długości wektorów, barr
,
Dodawanie wektorów jest przemienne
W ogólnym
przypadku nie można dodawać do siebie wektorów ( jak i
skalarów)
opisujących różne wielkości fizyczne (wyrażonych w różnych jednostkach)
Odejmowanie wektorów można wyrazić poprzez omówione wcześniej działania:
( )babadrrrrr
⋅−+=−= 1
ar
dr
br
br
−
Operacje na wektorach –
Odejmowanie wektorów
Operacje na wektorach –Iloczyn skalarny
ar
br
2/0 πα ⋅ barr
παπ 22/3
Operacje na wektorach –Iloczyn wektorowy
α
ar
br
bahrrr
×=1
αar
br
abhrrr
×=2
W wyniku otrzymujemy wektor
Długość wektora można określić ze wzoru: αsin1 bahrrr
=
( ) ( )baabrrrr
×−=×
( ) cabacba rrrrrrr
×+×=+×
Kierunek wektora prostopadły do orazar
br
Zwrot wyznacza reguła śruby prawoskrętnej wkręcanej od do po mniejszym łuku
ar
br
Iloczyn wektorowy nie jest przemienny
bahrrr
×=1
1hr
Wektory w trójwymiarowym
układzie kartezjańskim (prawoskrętnym)
kjirrr
,, -trzy wzajemnie prostopadłe
wektory o długości jednostkowej (wersory)
x
y
z
ir
jr
kr
O
1=⋅=⋅=⋅ kkjjiirrrrrr
0=⋅=⋅=⋅ kjkijirrrrrr
0rrrrrrr
=×=×=× kkjjii
kjirrr
=×
ikjrrr
=×
jikrrr
=×
kijrrr
−=×
ijkrrr
−=×
jkirrr
−=×
1=== kjirrr
Wersory spełniają relacje
1) Rozkład wektorów ar i br na składowe w kartezjańskim
układzie współrzędnych kajaiaa zyx
rrrr++= kbjbibb zyx
rrrr++=
Możemy stosować zapis:
[ ]zyx aaaa ,,= [ ]zyx bbbb ,,=
r
Oznaczając przez a długość
wektora ar :222
zyx aaaaa ++==r
mamy
( )xx aa αcos=
gdzie xα -kąt miedzy wersorem ir i wektorem a
r,
( )yy aa αcos=
gdzie yα -kąt miedzy wersorem jr i wektorem a
r,
( )zz aa αcos= gdzie zα -kąt miedzy wersorem k
r i wektorem a
r.
x
y
ar
O
ax
ay
ir
jr
1=== kjirrr
kr
z
az
xαyα
zα
2) Suma wektorów
( ) ( ) ( )kbajbaibaba zzyyxxrrrrr
+++++=+
[ ]zzyyxx babababa +++=+ ,,rr
3) Iloczyn wektora ar przez liczbę p:
kpajpaipaap zyx
rrrr++=
],,[ zyx papapaap =r
4) Iloczyn skalarny wektorów barr
⋅
( ) ( )kbjbibkajaiaba zyxzyxrrrrrrrr
++⋅++=⋅ Wykorzystując relacje spełnione przez wersory oraz własności iloczynu skalarnego otrzymujemy
zzyyxx babababa ++=⋅rr
5) Iloczyn wektorowy wektorów barr
× ( dla zainteresowanych)
( ) ( )kbjbibkajaiaba zyxzyxrrrrrrrr
++×++=×
Wykorzystując relacje spełnione przez wersory oraz własności iloczynu wektorowego otrzymujemy
( ) ( ) ( )kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzyrrrrr
−+−+−=×
zzyyxx babababa ++=⋅rr
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )100
010
001
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zyxzyx
bababa
bababa
bababa
kkbajkbaikba
kjbajjbaijba
kibajibaiiba
kbjbibkajaiaba
+++
++++
+++=
=⋅+⋅+⋅+
+⋅+⋅+⋅+
+⋅+⋅+⋅=
=++⋅++=⋅
rrrrrr
rrrrrr
rrrrrr
rrrrrrrr
( ) ( ) ( )kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzyrrrrr
−+−+−=×
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0
0
0
rrr
rrr
rrr
rrrrrr
rrrrrr
rrrrrr
rrrrrrrr
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zyxzyx
baibajba
ibabakba
jbakbaba
kkbajkbaikba
kjbajjbaijba
kibajibaiiba
kbjbibkajaiaba
+−++
+++−+
+−++=
=×+×+×+
+×+×+×+
+×+×+×=
=++×++=×
Iloczyn wektorowy można zapisać w postaci wyznacznika 3 stopnia
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba
rrr
rr=×
Sposób obliczania wyznacznika stopnia drugiego:
21122211
2221
1211aaaa
aa
aa−=
Wyznacznik 3 stopnia można wyrazić przy pomocy wyznaczników drugiego stopnia np. rozwijając go względem pierwszego wiersza
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )xyyxzxxzyzzy
yx
yx
zx
zx
zy
zy
yx
yx
zx
zx
zy
zy
zyx
zyx
babakbabajbabai
bb
aak
bb
aaj
bb
aai
bb
aak
bb
aaj
bb
aai
bbb
aaa
kji
−+−+−=
=+−=
=−+−+−=+++
rrr
rrr
rrr
rvr
312111111
Kolejne trzy wyznaczniki 2 stopnia powstają przez skreślenie 1 wiersza i kolejnych kolumn w wyznaczniku 3 stopnia. Czynniki stojące przed wyznacznikami są równe iloczynowi elementu stojącego na przecięciu 1
wiersza i skreślanej kolumny przez czynnik równy ( )j+
−1
1 gdzie j to numer
skreślanej kolumny.
Iloczyn wektorowy –informacje dodatkowe dla zainteresowanych
[ ] [ ] [ ]0,5,7]00,32,16[,,,, =+++=+++==+= zzyyxxzyx bababacccbacrrr
[ ]0,2,6],,[ == zyx aaaar
kjiarrrr
026 ++=
kjibrrrr
031 ++=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jikjikbajbaibakcjcicbac zzyyxxzyxrrrrrrrrrrrrrr
57003216 +=+++++=+++++=++=+=
[ ] [ ]0,1,5]00,32,16[,, −=−−−=−−−=−= zzyyxx babababadrrr
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jikjikbajbaibakdjdidbad zzyyxxzyxrrrrrrrrrrrrrr
−=−+−+−=−+−+−=++=−= 5003216
Dodawanie i odejmowanie wektorów
ar
ar
br
br
br
−
dr
cr
x
y
ir
jr1
1
Przykład : Działanie na wektorach po ich rozkładzie na składowe w
układzie kartezjańskim
[ ]0,3,1],,[ == zyx bbbbr
102400436222 ==++=++= zyx aaaar
10091222 =++=++= zyx bbbbr
12066003216 =++=⋅+⋅+⋅=++=⋅ zzyyxx babababarr
Iloczyn skalarny wektorów
[ ] [ ]0,3,1,, == zyx bbbbr
[ ]0,2,6],,[ == zyx aaaar
Określanie długości wektora
Określenie cosinusa kata między wektorami i ar
br
Oznaczając kąt zawarty między wektorami ar
oraz br
przez α można wykorzystując wzór służący do wyznaczania iloczynu skalarnego wektorów napisać relację
( )αcosbabarrrr
⋅=⋅
skąd wynika iż
( )5
3
20
12
10102
12cos ==
⋅=
⋅
⋅=
ba
barr
rr
α
ar
br
x
y
α
Określenie długości wektorów bahrrr
×=1
( ) ( )
165
420
25
1620
25
9120
5
3110102cos1sin
2
2
21
=⋅=⋅=−⋅=
=
−⋅⋅=−⋅=⋅== αα babahh
rrrrrr
ar
br
x
y
α.1, hkOzoś
rr
2hr ir
jr
abhrrr
×=2
khrr
161 =
khrr
162 −=
[ ]16,0,01 =hr
[ ]16,0,02 −=hr
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) kkji
kji
kji
kji
ba
rrrr
rrr
rrr
rvr
rr
16123610063002
31
26
01
06
03
02
31
261
01
061
03
021
031
026312111
=⋅−⋅+⋅−⋅−⋅−⋅=
=+−=
=−+−+−==×+++
Kolejne trzy wyznaczniki 2 stopnia powstają przez skreślenie 1 wiersza i kolejnych kolumn w wyznaczniku 3 stopnia. Czynniki stojące przed wyznacznikami są równe iloczynowi elementu stojącego na przecięciu 1
wiersza i skreślanej kolumny przez czynnik równy ( )j+
−1
1 gdzie j to numer
skreślanej kolumny.
[ ]0,2,6],,[ == zyx aaaar [ ] [ ]0,3,1,, == zyx bbbb
r
Określenie wektora na drodze określenia wyznacznika macierzy ( dla zainteresowanych)
bahrrr
×=1
Przegląd trygonometrii• 180° = π radian
• 360° = 2π radian
AC
BC=θsin
AC
AB=θcos
AB
BCtg =θ
AB
C
θ
( ) ( )θθπ sinsin =−
( ) ( )θθπ coscos −=−
( )θθπ cos2
sin =
−
( )θθπ sin2
cos =
−
( ) ( )θθ sinsin −=−( ) ( )θθ coscos =−
2
π π2
3ππ2
2
π−
( ) ( ) 1cossin 22 =+ θθ
jaiaa yxrrr
+=Rozkład wektora na składowe w kartezjańskim układzie dwuwymiarowym
Składowe wektora
aar
=
( )αcosaaa xx ==r
( )αsinaaa yy ==v
Z zależności w trójkącie prostokątnym
( ) 0cos >== αaaa xxbo zwrot wektora zgodny ze zwrotem i
rxar
( ) 0sin
jaiaa yxrrr
+= ],[ yx aaa =r
jbibb yxrrr
+= ],[ yx bbb =r
Suma wektorów
( ) ( ) jbaibabac yyxxrrrrr
+++=+=
[ ]yyxx bababac ++=+= ,rrr
cra
r
Suma wektorów
w dwuwymiarowym układzie kartezjańskim
xO
y
ay
ax bx
by br
Uzupełnienie matematyczne –pochodne i całki
Definicja pierwszej pochodnej funkcji y=f(t) zmiennej t
( ) ( )t
tfttf
dt
df
t ∆
−∆+=
→∆ 0lim
dt
dfott =
( )tf ott =
Pochodna jest również funkcją zmiennej t. Jej wartość dla
jest równa współczynnikowi kierunkowemu a stycznej
dla
.
do wykresu funkcji
t
y=at+b
t0
f(t)
y
t∆
y∆ t
ya
∆
∆=
( ) attdt
df== 0
Wartość pochodnej funkcji malejącej jest ujemna bo dla dodatniego przyrostu argumentu funkcji ∆t>0, przyrost wartości funkcji ∆y
Pochodne wybranych funkcji:
a) ( )p
ttf = 1−= ppt
dt
df p-stała
(argumenty funkcji )(tf muszą należeć do jej dziedziny)
b) ( ) )sin(ttf = )cos(tdt
df=
( ) )sin(bttf = )cos(btbdt
df= b-stała
c) ( ) )cos(ttf = )sin(tdt
df−=
( ) )cos(bttf = )sin(btbdt
df−= b-stała
d) ( ) )ln(ttf = tdt
df 1=
logarytm naturalny –logarytm o
podstawie równej e=2,71828…
0 1 2 3 4 5 6-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
t
f(t
)=ln
(t)
−∞=→
)ln(lim0
tt
∞=∞→
)ln(lim tt
0)1ln( ==t
5) Jeśli ( )( )tuftf =)( to mamy dtdu
du
df
dt
df=
Przykład. )sin(
)cos(btb
dt
btd−=
(ponieważ oznaczając ( ) uuf cos= , bttu =)(
mamy u
du
dfsin−=
, b
dt
du=
)
10 =t
1)( −= pp
ptdt
td
t
f(t)=by
b
0)( btbtf == 0=dt
df
Wartość pochodnej funkcji stałej jest równa zeru
Informacje dodatkowe ( dla zainteresowanych))
Wybrane własności pochodnej:
( )thhtggtff === ),(),( - funkcje zmiennej t; c-stała
1) dt
dh
dt
dg
dt
hgd+=
+ )( 2) dt
dfc
dt
cfd=
)(
3) dt
dhgh
dt
dg
dt
ghd+=
)( 4) 2
h
dt
dhgh
dt
dg
dt
h
gd
−
=
Przykłady pochodnych funkcji, które można określić wykorzystując
własności pochodnej i wzór
1) ( ) 0btbtf == 0=dt
df
(b-stała)
2) ( ) 2bttf = btdt
df2=
3) ( ) 2/1tttf == t
tdt
df
2
1
2
1 2/1 == − (t>0)
4) ( ) 11 −== tt
tf 2
2 1
tt
dt
df−=−= − ( 0≠t )
1)( −= pp
ptdt
td
( bo p=0)
(bo p=2)
Gdy f(t)>0 dla a
Całka oznaczona:
( ) ( )∫ =−===b
a
b
aatFbtFtFdttf )()(
,
przy czym dt
tdFtf
)()( =
Liczby a i b oznaczają dolną i górną granicę całkowania, zaś t zmienną po której całkujemy.
W celu obliczenia całki oznaczonej trzeba znaleźć dowolnąfunkcję F(t) zwana całką nieoznaczoną , której pochodna jest równa funkcji podcałkowej czyli zachodzi
następnie od wartości tej funkcji dla górnej granicy całkowania F(t=b) odjąć wartość tej funkcji dla dolnej granicy całkowania F(t=a).
Widać iż zachodzi relacja
dt
tdFtf
)()( =
∫ ∫−=a
b
b
a
dttfdttf )()(
Wybrane całki nieoznaczone
Ctk
dttkk +
+= +∫
1
1
11−≠kk-stała
b-stała 0≠b
( ) ( ) Cbtb
dtbt +=∫ sin1
cos b-stała 0≠b
[ ] ∫ ∫∫ +=+ dttgdttfdttgtf )()()()(Wybrane własności całki
∫ ∫= dttfkdttkf )()( 0≠kk-stała
f(t), g(t)- funkcje zmiennej t
C-stała dowolna
( ) ( ) Cbtb
dtbt +−=∫ cos1
sin
Ctdtt
+=∫ ln1
∫ dttf )(
• Mechanika zajmuje się badaniem ruchu ciał materialnych a także określeniem warunków przy których ciała pozostają w spoczynku .
• Mechanika klasyczna: Teoria, która przewiduje jakościowo i ilościowo rezultaty eksperymentów na obiektach, które nie są:
– Zbyt małe: atomy i cząstki subatomowe – Mechanika Kwantowa
– Zbyt szybkie: obiekty bliskie prędkości światła – Szczególna Teoria Względności
– Zbyt gęste: czarne dziury, wczesne stadium wszechświata – Ogólna Teoria Względności
• Mechanika klasyczna zajmuje się obiektami znanymi w życiu codziennym!
Mechanika
Kinematyka
Kinematyka-dział mechaniki zajmujący sięopisem ruchu ciała bez analizowania przyczyn
go powodujących
Ruch na płaszczyźnie i przestrzeni-Wektor wodzący, przemieszczenie, droga
wektor określający przemieszczenie ciała w trakcie jego ruchu od punktu początkowego (w którym znajdował się w chwili czasu t1 ) do końcowego (w którym znajdował się w chwili czasu t2=t1+∆t ) równy zmianie (przyrostowi) wektora wodzącego.
określa położenie ciała (traktowanego jako punkt materialny) względem początku układu współrzędnych (w pewnej ustalonej chwili czasu t). Długośćtego wektora jak i jego składowe wyrażamy w układzie SI w metrach
( ) ( ) ( )11212 , trtttrttrrrrrr
−∆+==∆=∆
)(trrrr
=1)
2)
3) S- droga-wielkość skalarna określająca długość toru po którym poruszało się ciało w takcie ruchu
x
y
( )1trr
rr
∆
A
B( )2trr
O
S
Droga S =długość toru
tor ruchu
Długość wektora nie jest w ogólności równa drodze pokonanejprzez ciało. Jednak długość tego
wektora jest równa drodze wtedy, gdy
ciało porusza się po linii prostej w tym samym kierunku (nie zawracając) lub teżczas trwania ruchu jest nieskończenie krótki
rr
∆
-wektor wodzący (promień wodzący) -
(można go wówczas przybliżyć przez odcinek prostej).
0rr
030=α3r∆
x[km]
y[km]
2r∆
1r∆
rr
∆krr
E
N
O
0120=β
1
1
3
5
5ir
jr
start
meta
W chwili początkowej samochód znajdował się w odległości d=4km na wschód od ruin zamku. Samochód przebył drogę S1=1km jadąc na wschód, następnie S2=5km jadąc na północ i w końcu S3=4km jadąc w kierunku odchylonym o kąt 030=α od wschodu ku południu. 1) Znaleźć w kartezjańskim dwuwymiarowym układzie współrzędnych o początku w miejscu położenia ruin zamku i osi Ox zwróconej w kierunku wschodnim, zaś osi Oy zwróconej w kierunku północnym
a) wypadkowe przemieszczenie samochodu licząc od punktu startu b) wektor (promień) wodzący kr
rokreślający położenie samochodu po przebyciu całej drogi.
2) Określić całkowitą drogę pokonaną przez samochód.
Przykład dla ilustracji działania na wektorach
( )( ) ( )( ) =−++=
=∆+∆+∆=∆
jSSiSS
rrrrrr
rrrr
αα sincos 3231
321
( )ikmiSrrrr
111 ==∆
( ) jkmjSrrrr
522 ==∆
[ ] [ ]kmSr 0,10,11 ==∆r
[ ] [ ]kmSr 5,0,0 22 ==∆r
( ) ( ) jSiSrrrr
αα sincos 333 −=∆
( )( ) ( )( )
( ) jkmikm
jikm
jSSiSS
rr
rr
rr
3321
2
145
2
341
30sin30cos 0320
31
++=
=
⋅−+
⋅+=
=−++=
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) jkmikmjSSiSSdjSSiSSidrrr pk
rr
rrrrrrrr
3325
sincossincos 32313231
++
=−+++=−+++=∆+= αααα
( ) kmSSSSkmr 103321 32122
=++=≠++=∆r
ii Sr =∆r
Prędkość (chwilowa) jest równa stosunkowi -wektora przemieszczenia ciała (przyrostu jego wektora wodzącego) do ∆t -czasu w którym to przemieszczenie nastąpiło, gdy długość tego czasu dąży do zera .
Prędkość
Gdy to kierunek wektora
jest styczny do toru ruchu, jego długośćrówna zaś przyrostowi drogi przebytej przez ciało
Kierunek wektora jest taki jak
i styczny do toru ruchu .
rr
∆
0→∆t
Vr
rr
∆
0→∆t
Sr ∆=∆r
rr
∆
( )tVr
tor ruchu
O( początek układu współrzędnych)
( )trr
( )ttr ∆+r
0→∆t
rr
∆
( )t
trttr
t
rtV
tt ∆
−∆+=
∆
∆=
→∆→∆
)(limlim)(
00
rrrr
Prędkość jest w ogólności funkcją czasu.W układzie SI mierzymy ją w m/s
Można go określić jako pierwszą pochodną wektora wodzącego po czasie ( )
t
trttr
dt
rdtV
t ∆
−∆+==
→∆
)(lim)(
0
rrrr
Pierwsza pochodna r po t
Szybkość (wartość prędkości) chwilowa i średnia
Wartości prędkości, szybkość (chwilowa) jest równa długości wektora prędkości (chwilowej). Opisuje jak szybko ciało sięprzemieszcza nie precyzując kierunku w jakim się porusza.
( )dt
dS
t
tSttS
t
StV
tt=
∆
−∆+=
∆
∆=
→∆→∆
)()(limlim
00
r
Wyraża się ona przez stosunek przebytej drogi ∆S w czasie do tego czasu , gdy długość tego czasu dąży do zera 0→∆t
t∆
Średnią szybkość ciała w przedziale czasu (t1,t2) dla dowolnego skończonego przedziału tego czasu można określić jako
gdzie - droga pokonana od chwili czasu
t=t1 do chwili czasu t=t2.Jest ona równa szybkości (chwilowej) wtedy gdy szybkość nie zależy od czasu.
t
SVsr
∆
∆=
12 ttt −=∆
)()( 112 tStttSS −∆+==∆
Pierwsza
pochodna S po t
S(t2)
S(t1)
t1 t2 t
∆t
Jest równa
współczynnikowi
kierunkowemu a
(nachyleniu)
prostej
przechodzącej przez punkty 1 i 2
S(t)
1
2
Szybkość średnia w trakcie ruchu od chwili do chwili 1t ttt ∆+= 12
t
tSttS
tt
tStS
t
SttttVsr
∆
−∆+=
−
−=
∆
∆=∆+=
)()()()(),( 11
12
12121
Można ją określić jako stosunek drogi przebytej przez ciało ∆S w czasie ∆t do czasu ∆t
∆SS=at+b
S(t)
Szybkość średnia zależy zarówno od czasu rozpoczęcia analizowanego odcinka
ruchu t1, jak i czasu jego trwania ∆t .
S(t2)
S(t1)
t1 t2 t
Jej współczynnik kierunkowy określa (chwilową) szybkość ciała w chwili t=t1 . Jest ona równa wartości pierwszej pochodnej funkcji S(t) po czasie określonej dla t=t1.
S(t)
0→∆tto prosta przechodząca przez punkty 1 i 2 staje się stycznądo krzywej obrazującej zależność drogi pokonanej przez
ciało od czasu S(t) w punkcie o t=t1
)()()(
limlim)( 111
001 tt
dt
dS
t
tSttS
t
SttV
tt==
∆
−∆+=
∆
∆==
→∆→∆
r
12 tt →Gdy
1
2
Szybkość (chwilowa)
Szybkość i prędkość chwilowa w ogólności może być funkcją czasu t, ale nie jest funkcją . t∆
Pierwsza pochodna S po t
W dowolnym ruchu droga
pokonana przez ciało w czasie
od t=t1 do t=t2 jest równa polu
pod wykresem zależności wartości prędkości (szybkości) od czasu zakreskowanemu na
czerwono. Pole to jest równe
polu prostokąta ograniczonego od góry przez prostą V=Vsr zakreskowanego na niebiesko
Vsr ma sens średniej szybkości w trakcie ruchu
Analizowaną drogę można określić licząc całkę oznaczoną po czasie t (będącej zmienną całkowania stojącą we wzorze po symbolu d) z szybkości 0)( ≥tV
r
w granicach od t=t1 (dolna
granica całkowania) do t=t2 (górna granica całkowania)
Droga jako pole pod wykresem szybkości od czasu
tt2t1
S
)(tVr
)(tVr
srV
( )∫=2
1
t
t
dttVS
Ruch ze stałą szybkością
tVtSr
=)(
Związek drogi pokonanej od chwili t=0 z wartością prędkościi czasem trwania ruchu t w przypadku gdy określa wzór
ttk
)(tVr
Vr
kk tVttSr
== )(
Vr
S(t)
t
Wykresem zależności S(t) jest prosta o współczynniku
kierunkowym równym
tVSr
=
Vr
Droga S(t=tk) pokonana od chwili t=0 do chwili
t=tk jest równa polu odpowiedniego prostokąta pod wykresem zależności szybkości od czasu
constV =r
O
Przyspieszenie jest równe stosunkowi zmiany wektora prędkości do czasu w którym ta zmiana nastąpiła, gdy długość tego czasu dąży do zera .
( ) ( ) ( )dt
Vd
t
tVttV
t
Vta
tt
rrrrr
=∆
−∆+=
∆
∆=
→∆→∆ 00limlim
Przyspieszenie
Istnienie niezerowego przyspieszenia może być związane ze zmianą wartości prędkości (szybkości) ciała oraz (lub) zmianą kierunku wektora prędkości (kierunku ruchu ciała)
Można dokonać rozkładu przyspieszenia ar
na przyspieszenie styczne do
toru ciała sar
oraz przyspieszenie normalne prostopadłe do toru nar
.
W ruchu w którym szybkość ciała constV =r
mamy 0rr
=sa .
W ruchu po linii prostej mamy 0=nar
.
sar
nav
ar
ns aaarrr
+=
Przyspieszenie w układzie SI mierzymy w m/s2.
pierwsza pochodna
wektora prędkości po
czasie
( )dt
Vdta
rr
=
Przyspieszenie jest pierwszą pochodną prędkości po czasie
Prędkość jest pierwszą pochodną wektora wodzącego po czasie
( )dt
rdtV
rr
=
Przyspieszenie jest drugą pochodną wektora wodzącego po czasie
( )2
2
dt
rdta
rr
=
Podstawowe relacje kinematyki
y’
x=x’
ur
−
O’
Vr'V
r
A
y
O
ur
Prędkość ciała zależy od przyjętego do
opisu ruchu ciała układu odniesienia.Jeżeli układ odniesienia O’ porusza sięwzględem układu odniesienia O z prędkością a ciało A porusza sięwzględem układu O z prędkością , to prędkość ciała A określona w układzie O’można określić ze wzoru
ur
Vr
uVVrrr
−='
Względność prędkości
Przedstawiony tutaj sposób opisu ruchu punktu materialnego można tez wykorzystać do opisu ruchu (postępowego) translacyjnego bryły sztywnej, złożonej z wielu punktów poruszających się z jednakową prędkością ( w tym samym kierunku z tą samą wartością prędkości) . Wektor wodzący charakteryzuje wówczas położenie wybranego punktu bryły (zwykle środka masy). Przy opisie ruchu obrotowego bryły będziemy stosować wielkości wprowadzone przy opisie ruchu punktu materialnego po okręgu
rr
Ruch prostoliniowy punktu materialnego
Określenie położenia ciała w ruchu prostoliniowym
xO
Do scharakteryzowania położenia ciała wystarczające jest określenie jego położenia względem ustalonego punktu O na osi Ox. Wielkość x, której moduł jest odległością ciała od tego punktu, może przyjmowaćwartości zarówno dodatnie jak i ujemne i stanowi jedyną niezerowąskładową jego wektora wodzącego
Wprowadzamy oś Ox jednowymiarowego układu współrzędnych wzdłuż prostej po której porusza się ciało.
x wzrasta w trakcie ruchux maleje w trakcie ruchu
ixrrr
=
Jeżeli w trakcie ruchu ciało nie zawraca to droga przebyta przez ciałood chwili t=tp do t=tk wyraża się wzorem ( ) ( )pk ttxttxS =−==
ir
-wersor będący wektorem o długości równej 1 oraz kierunku i zwrocie osi Ox
ir
rr
1=ir
Prędkość w ruchu prostoliniowym
xO ir
Vr
Vr
V>0V
Przyspieszenie w ruchu prostoliniowym
xO ir
Vr
Vr 1=i
r
V>0
a>0
V
Vtxtx += 0)(VconsttV ==)(
t
txttxtV
t ∆
−∆+=
→∆
)()(lim)(
0
t
txttxtV
t ∆
=−∆===
→∆
)0()(lim)0(
0ttVtxttx ∆=+==∆= )0()0()(
to dowolnyt∆
W przypadku ruchu bez zawracania wzdłuż osi Ox mamy
i zależność położenia ciała od czasu określa wzór Vtxtx += 0)(
gdzie ),0(0 == txx
Wzór określający x(t) obowiązuje niezależnie od znaku V
Dowód:
tVtSr
=)(Zależność drogi od czasu
Ruch prostoliniowy jednostajny constV =r
0=ar
)0()()( =−= txtxtS
gdyVVr
=
VVr
−=
constVconstV =⇒=rr
gdy x rośnie w trakcie ruchu
gdy x maleje w trakcie ruchu
Gdy
( )tVtxtVtVtxtVttxttx ∆+==∆+∆+==∆+∆==∆= 2)0()0()()2(
Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny
atVtV += 0)(
Gdy a i V są tego samego znaku to
szybkość ciała rośnie
V(t)
V0
t
a>0
a0
a0 ( ciało porusza się w kierunku dodatnim osi Ox, wektor prędkości ma ten sam zwrot co wersor ). Wówczas szybkość
Gdy a=const i a>0 to ruch jest jednostajnie przyspieszony, zaś gdy a=const i a
Załóżmy iż V>0 (ciało porusza się w kierunku dodatnim osi Ox, wektor prędkości ma ten sam zwrot co wersor , )i
r
2
2
kko
tatV +
S(t)
tk tO
V(t)
V0
t
V(t)=V0+at
tk
Vk=V0+atk
2
2)(
2
00
kko
kk
k
attV
tatVV
ttS
+=
=⋅++
==
0
2)0()()(
2
0k
kkk
attVtxttxttS +==−===
Droga pokonana przez ciało od chwili t=0 do t=tk jest równa
zakreskowanemu polu trapezu .
VV =r
VV =r
Rysunki dla a>0
Zakładając iż ruch analizujemy od chwili t=0 zależność drogi od czasu wyraża wzór
2)(
2
0
attVtS +=
2)(
2
00
attVxtx ++=
)0(0 == tVV
)0(0 == txx
Wzór obowiązuje zawsze w ruchu w którym niezależnie od znaku wielkości x0 , V0 i a . W szczególności w takim ruchu prędkość
może zmienić znak (co odpowiada zmianie zwrotu wektora prędkości ).
Gdy V0, a a=const
Prędkość i przyspieszenie jako odpowiednie pochodne w ruchu prostoliniowym
xO
Wprowadzamy oś Ox jednowymiarowego układu współrzędnych wzdłuż prostej po której porusza się ciało.
ixrrr
=
ir
Wektor wodzący
Wektor prędkości dt
dxV =iVV
rr=
iaarr
=2
2
dt
xd
dt
dVa ==Wektor przyspieszenia
Wykorzystując operacje różniczkowania (liczenia pochodnych) można sprawdzić w szczególności iż w ruchach prostoliniowych jednostajnym i jednostajnie zmiennym zachodzą ogólne relacje wiążące położenie, prędkość i przyspieszenie ciała. Np. w ruchu jednostajnym wzdłuż osi Ox mamy
W ruchu jednostajnie zmiennym wzdłuż osi Ox mamy
( ) Vtxtx += 0
( ) ( )VVt
dt
tdV
dt
Vtd
dt
dx
dt
Vtxd
dt
dxV =+=+=+=
+== 0
1
00 00)(
( ) constVtV ==
constata ==)( atVtV += 0)(2
002
)( ta
tVxtx ++=
( )atVt
aV
dt
tda
dt
tdV
dt
dx
dt
ta
tVxd
dt
dxV +=+=++=
++
== 00
2
00
2
00
22
)(
2
2
adt
dta
dt
dV
dt
atVd
dt
dVa =+=
+== 00
)(
1)( −= pp
ptdt
td
dt
fdc
dt
cfd )()(=
dt
gd
dt
fd
dt
gfd )()()(+=
+
f,g-funkcje
c,p-stałe
)0(
)0(
0
0
==
==
txx
tVV
V[m/s]
a[m/s2]
x[m] sm /40sm /7
2/30 sm 2/30 sm−
sm /5
t(s)
t(s)
t(s)
dt
dxV =
dt
dVa =
R. Świrkowicz
Ruch prostoliniowy- przykład
ixrrr
=
iVVrr
=
iaarr
=
Ruch w przestrzeni dwu i trójwymiarowej
kzjyixrrrrr
++=
kVjViVdt
rdV zyx
rrrr
r++==
Wektory wodzący , prędkości i przyspieszenia w układzie trójwymiarowym kartezjańskim . Związki miedzy składowymi tych wektorów
x
y
rr
A
O
x
y
ir
jr
1=== kjirrr
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
=
=
=
kr
z
z
rr
Vr
ar
( ) ( ) ( )dt
dz
t
tzttztV
tz =
∆
−∆+=
→∆ 0lim
( ) ( ) ( )dt
dx
t
txttxtV
tx =
∆
−∆+=
→∆ 0lim
( ) ( ) ( )dt
dy
t
tyttytV
ty =
∆
−∆+=
→∆ 0lim
x
y
Vr
O iVxr
jVyr
kjirrr
==
kVz
r
z
xα
yα
zα
xx VV αcosr
=
yy VV αcosr
=
zz VV αcosr
=
222
zyx VVVV ++=r
( ) ( ) ( )dt
dV
t
tVttVta xxx
tx =
∆
−∆+=
→∆ 0lim
( )( ) ( )
dt
dV
t
tVttVta
yyy
ty =
∆
−∆+=
→∆ 0lim
x
y
Vr
O iVxr
jVyr
kjirrr
==
kVz
r
z
xα
yα
zα )(
)(
)(
tVV
tVV
tVV
zz
yy
xx
=
=
=
yy aa βcosr
=
xx aa βcosr
=
zz aa βcosr
=
x
y
ar
O iaxr
jayr
kjirrr
==
kaz
r
z
xβ
yβ
zβ
kVjViVV zyx
rrrr++=
kajaiadt
Vda zyx
rrrr
v++==
( ) ( ) ( )dt
dV
t
tVttVta zzz
tz =
∆
−∆+=
→∆ 0lim
222
zyx aaaa ++=r
W układzie kartezjańskim wektor wodzący punktu materialnego poruszającego sięw przestrzeni ma w ogólności trzy niezerowe składowe x, y, z
które zmieniają się w czasie
( )dt
kdzk
dt
dz
dt
jdyj
dt
dy
dt
idxi
dt
dxkzjyix
dt
d
dt
rdV
rr
rr
rrrrr
rr
+++++=++==
kzjyixrrrrr
++=
Przy uwzględnieniu tego iż wersory nie zależą od czasu kjirrr
,,
0===dt
kd
dt
jd
dt
idrrr
otrzymujemy
( ) kVjViVkdt
dzj
dt
dyi
dt
dxkzjyix
dt
d
dt
rdV zyx
rrrrrrrrrr
r++=++=++==
Uzasadnienie wzoru na prędkość ( dla zainteresowanych)
x
y
rr
A
O
x
y
ir
jr
1=== kjirrr
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
=
=
=
kr
z
z
)(),(),( tzztyytxx ===
Gdy składowe wektora przyspieszenia
nie zależą od czasu to każdy z ruchów składowych jest ruchem jednostajnie zmiennym.
Zależność od czasu składowych wektorów wodzącego i prędkości można określić ze wzorów
kzjyixrrrrr
++=
kVjViVV zyx
rrrr++=
kajaiaa zyx
rrrr++=
constax = constay = constaz =
2
002
1)( tatVxtx xx ++= taVtV xxx += 0)(
2
002
1)( tatVyty yy ++=
2
002
1)( tatVztz zz ++=
taVtV yyy += 0)(
taVtV zzz += 0)(
)0(0 == tVV xx
)0(0 == tVV yy
)0(0 == tVV zz
W przypadku ruchu płaskiego zachodzącego w płaszczyźnie z=0 i obraniu osi układu Ox i Oy w płaszczyźnie ruchu ruch można opisaćjako złożenie dwóch ruchów zachodzących wzdłuż osi Ox i Oy. Gdy ax=0 to ruch wzdłuż osi Ox jest ruchem jednostajnym.
Składanie ruchówDowolny ruch w przestrzeni trójwymiarowej można traktować jako złożenie ruchów w trzech prostopadłych kierunkach określonych przez osie układu współrzędnych.
)0(0 == txx
)0(0 == tyy
)0(0 == tzz
Ruch w polu siły ciężkości
Ciało poruszające się w pobliżu powierzchni Ziemi przy zaniedbaniu wpływu na ruch ciała innych sił
niż siła ciężkości porusza się z przyspieszeniem
constga ==rr
)0( =tVr
Gdy prędkość ciała w chwili początkowej ruchu jest skierowana w kierunku równoległym do pionu
to ciało porusza się ruchem jednostajnie zmiennym po linii prostej (rzut pionowy)
)0(0 == tVVrr
równym przyspieszeniu ziemskiemu
skierowanym w kierunku środka Ziemi.
Gdy prędkość ciała w chwili początkowej ruchu tworzy pewien kąt z kierunkiem pionowym to ciało porusza się w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory
)0(0 == tVVrr
oraz
constga ==rr
jggavrr
−== .
Ruch ciała jest złożeniem ruchu jednostajnego w kierunku równoległym do powierzchni Ziemi (wzdłużosi Ox) i ruchu jednostajnie zmiennego w kierunku
prostopadłym ( wzdłuż osi Oy) (rzut ukośny)
281,9
s
mgg ==
r
0Vr
O x
y
0Vr
0=Vr
gaa yx −== 0
gr
gr
jr
1=jr
Tor w ruchu płaskim
W przypadku ruchu odbywającego się w płaszczyźnie xOyokreślonego poprzez zależności składowych wektora wodzącego od czasu
można wyznaczyć równanie toru eliminując czas z powyższych równań i zapisując wynik końcowy w postaci np. funkcji typu
lub lub
)(
)(
tgy
tfx
=
=
)(xhy = 0),(~~
=yxh
(**)
(*)
Bty
Atx
=
=Np. gdy zależność od czasu opisują funkcje
to równanie przyjmuje np. postać lub lubxA
By = 0=− x
A
By
)(~
yhx =
yB
Ax =
Ruch po okręgu
Do opisu położenia (punktu materialnego) poruszającego się po okręgu może służyć zamiast wektora wodzącego np. kąt ϕ
między wektorem wodzącym a osią OX układu o początku w środku okręgu pokazany na rysunku, będący w ogólności
funkcją czasu ( )tϕϕ = . Zakładamy przy tym iż może się on zmieniać w zakresie ( )∞∞− , i mierzymy go w radianach.
Jednemu pełnemu obiegowi okręgu odpowiada zmiana kąta
ϕ o π2 radianów.
Prędkość kątowa (chwilowa)
t
ttt
tdt
d
tt ∆
−∆+=
∆
∆==
→∆→∆
)()(limlim
00
ϕϕϕϕω
Przyspieszenie kątowe
t
ttt
tdt
d
tt ∆
−∆+=
∆
∆==
→∆→∆
)()(limlim
00
ωωωωε
Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe dowolnego punktu spoczywającego na obracającej się tarczy jest jednakowe. Wielkości te mogą służyć do opisu ruchu obrotowego bryły, w którym wszystkie punkty bryły poruszają się po okręgach o środkach leżących na osi obrotu.
]/[ sradω
]/[ 2sradε
Ruch po okręgu-prędkość i przyspieszenie kątowe
x
y
( )trr
( )tϕr
0
1 0=ϕ
0
2 90=ϕ
x
y
( )trr
( )tϕr
S(t)
• Drogi liniowej S(t) (przebytej od chwili t=0)
od czasu t z drogą kątową ( mierzymy w radianach)
R-promień okręgu
• Szybkości z prędkością kątową ω
( ) )0()()( =−=∆= ttRtRtS ϕϕϕ
( )tϕ∆
ωRV =r
Ruch po okręgu-związki ogólne
ϕ
R
ωϕ
ϕϕ
Rdt
dR
tR
t
R
t
S
dt
dSV
ttt
==
=∆
∆=
∆
∆=
∆
∆==
→∆→∆→∆ 000limlimlim
r
Ruch jednostajny po okręgu
Prędkość kątowa i szybkość ciała jest stała
Zależność kąta od czasu
( ) tt ωϕϕ += 0( )00 == tϕϕ
constRVconst === ωωr
,
gdzie
Dobierając odpowiednio osie układu współrzędnych można przyjąć iż 00 =ϕ
ttttt ∆=+==∆= )0()0()( ωϕϕconst=ω t∆ dowolny
Przyspieszenie kątowe jest równe zeru 0=ε
t
tttt
t ∆
=−∆===
→∆
)0()(lim)0(
0
ϕϕω
t
tttt
t ∆
−∆+=
→∆
)()(lim)(
0
ϕϕω
x
y
( )trr
( )tϕrR
Ruch jednostajny po okręgu
Droga przebyta w tym czasie
Tf 1=
T-okres ruchu, czas potrzebny do wykonania 1 obiegu okręgu [s]
TRRS
RS
ωϕ
π
=∆=
= 2
ω
π2=T
Częstotliwość (liczba obiegów okręgu w jednostce czasu) [Hz=1/s]
π
ω
2=f
Szybkość ciała jest stałaAle kierunek wektora
prędkości zmienia się stale. Zatem prędkość zmienia sięstale, czyli mamy
niezerowe przyspieszenie
Z podobieństwa trójkątówBCD i ABO
R
r
V
Vr
r
r
∆=
∆
Rozpatrzmy ruch w
trakcie ∆t→0
R
tV
V
V ∆=
∆r
r
r
R
V
t
V2rr
=∆
∆R
R
V
t
V
t
Vaa
ttd
2
2
00limlim ω==
∆
∆=
∆
∆==
→∆→∆
rrrrr
Przyspieszenie dośrodkowe w ruchu jednostajnym po okręgu
OA
AB
BD
BC=
r
( )tVr
( )ttV ∆+r
( ) ( )tVttVVrrr
−∆+=∆
O
A
B
C
D
( )tVr
−
rr
∆
( )trr
( )ttr ∆+r
VttVtVozn rrr .
)()( =∆+=
Wektor przyspieszenia dośrodkowego jest skierowany w kierunku środka okręgu po którym porusza się ciało
R
tVSr ∆==∆rr
constV =r
Ruch jednostajny po okręgu –opis w układzie kartezjańskim dla zainteresowanych
x
y
rr
)(tθ
R
daarr
=
Vr
rrV
r
daarr
=
( )tRdt
dxVx ωω sin−==
( ) ( )tRRy ωϕ sinsin ==( ) ( )tRRx ωϕ coscos ==
( )tRdt
dyVy ωω cos==
( ) ytRdt
dVa
y
y
22 sin ωωω −=−==
( )r
jyixjaiaa yxr
rrrrr
2
2
ω
ω
−=
=+−=+=
R
VRraa d
2
22
r
rrr==== ωω
Przyspieszenie dośrodkowe
constRVVV yx ==+= ω22
r
szybkość
)cos())(sin(
btbdt
btd=
)sin())(cos(
btbdt
btd−=
( ) xtRdt
dVa xx
22 cos ωωω −=−==
00 =ϕ
ϕjr
ir
1== jirr
Przyspieszenie jest sumą przyspieszenia normalnego (dośrodkowego) i stycznego
sd aaarrr
+=
dt
dVat =tts eaa
rr= gdzie
sar
dar
Vr
0,,.
≠=≠≠=dt
dconstconstVV
ozn ωεω
r
Ruch po okręgu ze zmienną szybkością (wartością prędkości)
Gdy at>0 ( szybkość rośnie)to zwrot zgodny ze zwrotem
Gdy atdt
dV
0<dt
dV
dn aarr
= sar
V
Vet r
rr
=
222aaa sdrrr
=+
Ras ε=r
R
VRad
22 == ω
r
dt
dωε = =const
( ) tt εωω += 0
( )2
2
00
ttt εωϕϕ ++=
gdzie ( )00 == tωω , ( )00 == tϕϕ ,
Ruch jednostajnie zmienny po okręgu
Ruch po Ruch prostoliniowy
okręgu wzdłuż osi OX
Charles Gammie
Porównanie ruchu jednostajnie zmiennego prostoliniowego z
ruchem jednostajnie zmiennym po okręgu
constaa x ==const=ε
2
002
1attVxx ++=2
002
1tt εωϕϕ ++=
tεωω += 0 atVV += 0
Vr
. ωrO
x
y
, oś OZ,
ϕ
kr
Vr
ωr
O x
y
ϕ
Prędkość kątowa jako wektor
Wektor prędkości kątowej ma kierunek zgodny z kierunkiem osi obrotu (prostopadłym do płaszczyzny rysunku). Zwrot wektora
prędkości kątowej można ustalić przy pomocy reguły prawej ręki. Gdy palce prawej ręki wskazują kierunek obiegu ciała po okręgu, to prawy kciuk wskazuje zwrot wektora prędkości kątowej.
0>ω],0,0[ ωωω == k
rr
0
Vr
. εrO
x
y
, oś OZ,
ϕ
kr
Przyspieszenie kątowe jako wektor
Zakładamy iż płaszczyzna okręgu nie ulega zmianie w czasie. Wektor przyspieszenia kątowego ma kierunek zgodny z kierunkiem osi obrotu. Zwrot wektora przyspieszenia kątowego jest taki sam jak prędkości kątowej gdy szybkość ciała rośnie i przeciwny gdy szybkośćciała maleje.
0>dt
dω ],0,0[dt
dk
dt
d
dt
d ωωωε ===
rr
r
Vr
εrO
x
y
ϕ
0<dt
dω
Recommended