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Fluidi
Tensione superficiale
I fluidi • Fluide sono tu4e quelle sostanze che non
sopportano uno sforzo di taglio. • Su scala atomica la dis=nzione tra fluidi e solidi
è la lunghezza dell’interazione molecolare. • Nei solidi c’è un re=colo che gode di proprietà
colleBve inesisten= nei fluidi.
§ Piuttosto che di massa e forza, nei fluidi bisogna parlare di densità (massa volumica) e pressione. La densità e la pressione sono definite come:
ρ = Δm/ΔV e P = ΔF/ΔA o più semplicemente ρ = m/V P = F/A
Valori =pici della ρ e della P (tanto per avere una idea di cosa s=amo parlando)
Condizione di rivelazione di P
Pressione (Pa, Pascal)
Pressione al centro della terra
4x1011
Massima pressione in laboratorio (Anvil cell)
1,5 x 1010
Fossa delle Marianne 1,1 x 108
Pneumatici automobilistici 2x105
Al livello del mare 1x105
Pressione sanguigna 1,6x104
Minima pressione in laboratorio (vuoto)
10-12
Materiale Densità ρ 103 (kg/m3)
Polistirolo espanso 0,03
Ghiaccio 0,92
Acqua (20°C - 50 bar) 1
Acqua di mare 1,03
Alluminio 2,7
Terra 5,5
Ferro 7,8 Ottone 8,6
Mercurio 13,6
H2SO4/PbSO4 1,30/1,15
Forze di coesione Sono chiamate forze di coesione quelle forze che agiscono fra le molecole di uno stato aggregato. • Nel caso dei solidi, le forze di coesione fra le molecole sono molto forti, tanto da permettere solo piccole oscillazioni attorno ai propri siti. Il solido ha un volume ed una forma propria. • Nel caso dei liquidi le forze di coesione sono ancora abbastanza forti da tenere le molecole abbastanza vicine, tanto da avere un volume proprio. I liquidi non hanno una forma propria. • Nel caso delle sostanze gassose le forze molecolari sono debolissime, tanto da permettere alle singole molecole di muoversi, dopo gli urti, di moto rettilineo. Le sostanze gassose non hanno ne una forma propria ne un volume proprio.
Pressione dell’acqua
(ρAΔy) g pA
(p+Δp)A
pA – (p + Δp)A = ΣF dove Σ F = -‐ΔpA = ρ(ΔyA) g e quindi: p2 – p1 = -‐ρ(y2-‐y1) g p2 -‐ p1 = -‐ρy2 g + ρy1 g p1 + ρy1 g = p2 + ρy2 g = p3 … p = -ρg y quindi la pressione p aumenta con la profondità h = -‐ y Inoltre se in un recipiente aperto assumiamo che p2 è la pressione al livello del mare pa, e h la profondità avremo p(h) = pa + ρgh.
Si no= che la pressione dipende solo dalla profondità h
Ipo=zziamo una soBle lastra di acqua di lato Δy immersa in acqua, il suo peso sarà:
F = m g = (ρΔV) g
Σ F = ρ(ΔyA) g (legge di Stevino) Per la 2a legge di Newton le forze agen= sulla lastra saranno:
Pressione in fluidi a riposo
Livello del mare 0 P (atms)
• Per un liquido la pressione a riposo dipende linearmente dalla profondità. • Questo è legato alla sua incompressibilità. Infatti siccome ρ non dipende da y l’integrazione di dp = ρg dy da come risultato: p = p0 + ρgh • Si vede che la pressione è lineare con la profondità ed, in un grafico pressione – profondità, è rappresentata da un tratto lineare. • In particolare ogni 10 metri di profondità la pressione radoppia
20 (km)
8 (m)
1
p = p0 + ρgh
Pressione dell’atmosfera
ayepp −= 0
Se invece il fluido non è incompressibile (caso dei gas) la densità ρ dipende da y e la pressione dipende (diminuisce) con l’altezza. Infatti l’atmosfera diventa più rarefatta salendo in quota :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
−=−−=−
00
00
1212
)(
pp
pp
gdydpyygpp
ρρρρ
ρρ
ayypg
oyop
p
oo
eppepp
ypg
ppdy
pg
pdp
dypg
pdp
ppg
dydp
−− ==
−=−=
−=−=
∫∫
0)(
0
000
0
00
ln
00
0
ρ
ρρ
ρρ
Livello del mare 0 p (atms)
20 (km)
8 (m)
1
La dipendenza della pressione con l’altezza si otterrà integrando dp = -ρ(y)gdy
Principio di Pascal (1623 – 1662)
“La pressione esercitata sulla superficie chiusa di un fluido si trasmette in ogni porzione del fluido e sulle pareti del recipiente”
faAF
AF
afp
=
==
L’unità di misura della pressione è il Pa (Pascal) pari a un Newton su un metro quadrato Pa = N/m2 ovvero [KM-1S-2]
pi = p0 Fi /Ai = F0/A0 Fi / F0 = Ai / A0
Misurazione della pressione Torricelli (1608 -‐1647)
• Per misurare la pressione in un contenitore basta disporre di un tubo ad U contenente del liquido. Collegando un estremo del tubo con il contenitore in questione, possiamo attenere il valore della sua pressione misurando il dislivello dei liquidi.
p + ρgy1 = pa + ρgy2 p - pa = ρg (y2 – y1) = ρgh
Applicando questa equazione Torricelli dedusse il valore della pressione atmosferica che stimò essere pari alla pressione di 760 mmHg Domanda: se Torricelli avesse usato acqua, invece del Hg, quanto sarebbe dovuto essere alto il tubo?
Risposta: almeno 9.88 metri, cioè 13 volte più alto del tubo con Hg
Pressione sanguigna • Il cuore è una pompa e quindi il sangue è soggetto ad una pressione variabile: dalla pressione sistolica a quella diastolica. • Il sistema di misurazione prevede di applicare una pressione molto alta al braccio (200 mmHg) e di ridurla lentamente. • I primi battiti che si sentono indicano che si è scesi sotto la pressione sistolica. Quando, continuando a ridurre la pressione, non si sentono più battiti vuol dire che si è scesi sotto la pressione diastolica. ESEMPIO: A quale altezza deve essere sistemata una flebo se si deve iniettare una soluzione salina di densità ρ = 103 kg/m3 nel braccio di un paziente che ha la pressione di 60 mmHg
[M],][MS, ] [KM
]S[KM,ρg
Pa,h
ghPPammHg
17808910
1098710987
Pa 1098,7 7980 60
233
2133
3soluzione
≥⋅
⋅=
⋅≥
⋅==→
−−
−−
ρ
Fa4ori di conversione della pressione
Unità di pressione e fa4ori di conversione
Pa bar (daN/cm2)
MPa (N/mm2) kgf/m2 at (kgf/cm2) atm torr (mmHg)
Pa 1 10−5 10−6 0,102 0,102 × 10−4 9,87 × 10−6 0,0075
bar 105 1 0,1 10 200 1,02 0,987 750
MPa 106 10 1 1,02 × 105 10,2 9,87 7 501
kgf/m2 9,81 9,81 × 10−5 9,81 × 10−6 1 10−4 0,968 × 10−4 0,0736
at 98 100 0,981 0,0981 10 000 1 0,968 736
atm 101 325 1,013 0,1013 10 330 1,033 1 760
torr (mmHg) 133 0,00133 1,33 × 10−4 13,6 0,00136 0,00132 1
Le unità di misura della pressione sono molto diversi per ragioni tradizionali, per l’uso che se ne fa e ragioni di comodità. La pressione atmosferica si misura in bar, le gomme della macchina in atm, la pressione del sangue in mmHg
Principio di Archimede • Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta
ver=cale, dal basso verso l’alto, pari al peso del liquido spostato.
g se)(
ao oAAg
aogAgA
gA
VFFFgVFFmgFF
VgFFyAgFygP
ρρρ
ρρ
ρρ
ρ
=>>
−−=−Δ−=−
Δ−=−Δ−=Δ
Δ−=Δ
Esempio: quale è la percentuale del volume emergente di un icesberg? Soluzione: il peso dell’icesberg è Pi = ρi Vi g il peso dell’acqua di mare è Pm = ρm Vm g Per l’equilibrio Pm = Pi ρi / ρm = Vm / Vi = 0,92/1,03 89% è il volume dell’acqua di mare spostata, quindi la parte di iceberg che emerge è solo 11%
Come pesare la spinta di Archimede Un recipiente pieno d’acqua è posto su una bilancia che indica un peso W. Una pietra che pesa w, agganciata ad una corda, viene immersa nell’acqua senza toccare il fondo.
La pietra sospesa ad un filo e immersa nell’acqua deve rispettare la II legge di Newton e pertanto Σ Fx = 0 e le forze presenti sono: la forza peso W, la tensione del filo T e la forza di galleggiamento B, quindi T + B = w (*).
Newton darà W + w = S + T e tenendo conto della relazione (*) avremo:
W + (T + B) = S + T à S = W + B B = ρ g V spinta di Archimede
la bilancia segnerà la forza peso dell’acqua più la spinta di Archimede
Quando mettiamo il sistema isolato sulla bilancia, la molla eserciterà sul sistema una forza S così che la II legge di
Tensione superficiale γ
liquido T [°C] γ [10-3 N/m]
Acqua 20 72,8
Acqua 100 58,6
Sapone 20 25
Glicerina 20 63,1
Olio di oliva 20 32
Mercurio 20 465
• Per sollevare l’anello dal liquido serve una forza maggiore del suo peso, questa extra-forza è la tensione superficiale. • La tensione superficiale è dovuta allo stato di stress esistente alla superficie di un liquido. • La forza necessaria a sollevare l’anello è F = 2l γ dove l è la circonferenza dell’anello o della barra di scorrimento. γ si misura in Nm-1x 10-3. Questo ci permette di dire che la tensione superficiale si esprime in Energia/m2 [Nm/m2]
F2
2γl
F2 =2γl
Menisco n L’incurvamento prossimo alla interfaccia di un solido è de4o menisco e determina il fenomeno della capillarità. n Nel caso di menisco posi=vo, in un capillare di raggio r la forza dovuta alla tensione superficiale (2γ πr) sarà F = 2π rγLV cos θ e sapendo che la forza peso del liquido è: w = mg = ρ(π r2y)g si avrà: ρ π r2 y g = 2 π r γLV cosθ y = (2 γLV cosθ)/ρgr θ è l’angolo fra la parete e il menisco. Se è acuto (cioè minore di 90°) il cosθ è posi=vo e quindi il liquido cresce, viceversa se θ è o4uso il cosθ è nega=vo e il liquido è più basso del livello libero del liquido.
Capillarità e tensione superficiale
n E’ possibile definire tre distinte tensioni superficiali, anche se in realtà sono stress da interfaccia. Quindi γSL, γSV, γLV n Se γSV > γSL il liquido bagna il solido. n Se γSV < γSL il liquido si ritrae dal solido. Hg
Ioduro di metile
> 90°
< 90°
Nel punto di contatto di incontro oltre ai 3 stress ci sarà anche la forza di adesione A e il liquido sarà in equilibrio lungo l’asse x e l’asse y ΣFx = τLV sen θ – A = 0 Σ Fy = τSV - τSL - τLV cos θ = 0 ovvero A = τLV sen θ e τSV - τSL = τLV cos θ dalla 1°, conoscendo 3 valori di t si possono ricavare l’adesione A e q. Qualsiasi impurezza o corpo estraneo modifica anche considerevolmente questo equilibrio.
EffeB di r sulla capillarità
ESEMPIO: Quale sarà l’altezza del liquido di densità ρ in capillari di differente diametro. Soluzione Per l’equilibrio la forza peso del liquido deve essere uguale alla componente della forza adesiva della tensione superficiale. La forza peso è Fp = ρ gV = ρ g(hπ r2)
La forza che spinge in alto il liquido sarà Fu = 2π r γ cos θ . Quindi dovendo essere Fp = Fu
grhrrgh
cos2 cos 2 2
ρθγ
θγππρ ==
E si vede che l’altezza dipende da r ovvero dal raggio del capillare
2r
h
Equazione di con=nuità Supponiamo di studiare un liquido vincolato a scorrere in un tubo di flusso in cui, durante il moto, le particelle non possono ne entrare ne uscire. E supponiamo che il moto sia: 1. Stazionario, 2. Irrotazionale, 3. Incompressibile, 4. non viscoso.
Definizione dell’equazione di continuità: in un tubo di flusso a sezione variabile per ogni fissato intervallo di tempo, la quantità di materia che entra è uguale alla quantità di materia che esce.
ΔV1 = ΔV2 = AΔx = AvΔt à A1v1 = A2v2 ovvero Rv = Av = costante
Equazione di Bernoulli Supponiamo un tubo di flusso che abbia l’ingresso e l’uscita a due diverse quote e di due diversi diametri. Per l’equazione di continuità i volumi di entrata e di uscita devono essere uguali, quindi possiamo, il più generalmente possibile, dire che :
Questa equazione ha interessanti implicazioni: 1. Se il fluido è a riposo v1 = v2 ovvero v = 0
p1 - p2 = ρg (y2 – y1) 2. Se il flusso è orizzontale y1 = y2
p1 – p2 = ½ρ (v22 – v1
2) Si può notare che l’equazione di Bernoulli non è una equazione
che contiene termini di energia. Ciascun membro dell’equazione è la somma di pressioni [M-1KS-2]. Eppure l’equazione di Bernoulli deriva dalla conservazione dell’energia.
cost 21
21
21
2
22221
211
=++
++=++
gyvp
gyvpgyvp
ρρ
ρρρρ
Equazione di Bernoulli: dimostrazione • In un certo intervallo di tempo Δt ai due estremi del tubo le superfici che si spostano sono Δs1 e Δs2 e per il principio di continuità dovrà essere: ΔV = Δs1A1 = Δs2A2. • Il lavoro fatto sarà w = p1A1Δs1 - p2A2Δs2 = w = (p1-p2) ΔV.
• Il lavoro fatto corrisponde alla variazione dell’energia meccanica. w = E+U • ½ mv2 = ½ ρ ΔV v12 è l’Ek(s1) di una massa m che entra in s1 nel tubo di flusso e nello stesso Δt la stessa massa dovrà lasciare il tubo da s2 portandosi dietro una energia cine=ca Ek(s2) tale che ΔEk = Ek2(s2) – Ek1(s1) = ½ ρ ΔV (v22 -‐ v12) • L’energia potenziale della massa m entrante in s1 sarà Δmgy1 = ρ ΔVgy1 e quella uscente in s2 nello stesso Δt sarà Δmgy2 = ρ ΔVgy2 à ΔU = ρΔV g(y2 – y1) • Per il teorema del Lavoro e dell’Energia
(p1-‐p2) ΔV =½ ρ ΔV (v22-‐v12) + ρΔV g(y2– y1) o più semplicemente
p + ½ ρv2 + ρgy = cost [M-‐1KS-‐2]
p1
p2
y1
y2
s1
s2
A1
A2
Esempio classico Trovare la velocità dell’acqua che esce dal foro?
1. Bisogna pensare ad un tubo con diametro del serbatoio. Quindi per l’equazione della continuità
Av0 = av v0 = (a/A) v
2. p0 + ½ ρ v02 + ρ gh = p0 + ½ ρ v2 + ρ g(0) e per v0<<v
v = (2gh)½ (velocità di un grave)
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