¾Треугольник Паскаля¿. Бином...

Министерство образования и науки РФУральский государственный экономический университет

Ю. Б. Мельников

«Треугольник Паскаля».Бином НьютонаРаздел электронного учебникадля сопровождения практического занятия

Изд. 4-е, испр. и доп.

Екатеринбург2012

e-mail: melnikov@k66.ru,melnikov@r66.ru

сайты:http://melnikov.k66.ru,http://melnikov.web.ur.ru

1

Пример 1 использования «треугольника Паскаля» 3

Пример 2 применения формулы «бинома Ньютона» 24

Примеры задач для самостоятельного решения 44

Задача I.1 45

Задача I.2 46

Ответы и решения 47

2

Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».

Решение.

3

Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».

Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 1

4

Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».

Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1

5

Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».

Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2

6

Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».

Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 1

7

Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».

Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1

8

Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».

Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3

9

Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».

Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3

10

Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».

Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 1

11

Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».

Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1

Теперь запишем ответ:(x + t)4 = x4+

12

Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».

Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1

Теперь запишем ответ:(x + t)4 = x4 + x3t+

13

Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».

Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1

Теперь запишем ответ:(x + t)4 = x4 + x3t + x2t2+

14

Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».

Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1

Теперь запишем ответ:(x + t)4 = x4 + x3t + x2t2 + xt3+

15

Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».

Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1

Теперь запишем ответ:(x + t)4 = x4 + x3t + x2t2 + xt3 + t4

16

Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».

Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4

Теперь запишем ответ:(x + t)4 = x4 + x3t + x2t2 + xt3 + t4

17

Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».

Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4

Теперь запишем ответ:(x + t)4 = x4 + 4x3t + x2t2 + xt3 + t4

18

Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».

Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6

Теперь запишем ответ:(x + t)4 = x4 + 4x3t + x2t2 + xt3 + t4

19

Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».

Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6

Теперь запишем ответ:(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2 + xt3 + t4

20

Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».

Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4

Теперь запишем ответ:(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2 + xt3 + t4

21

Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».

Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4

Теперь запишем ответ:(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2 + 4xt3 + t4

22

Пример 1. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью«треугольника Паскаля».

Решение. Сначала построим 5 строк «треугольника Паскаля».0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 1

Теперь запишем ответ:(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2 + 4xt3 + t4.

Вернуться к лекции?

23

Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».

Решение.

24

Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».

Решение.(x + t)4 =

(4!

4!0!

)x4+

25

Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».

Решение. Учтем, что по определению 0! = 1.

(x + t)4 =

(4!

4!0!

)x4+

26

Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».

Решение. Учтем, что по определению 0! = 1.

(x + t)4 =

(4!

4!0!

)︸ ︷︷ ︸

1

x4+

27

Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».

Решение.

(x + t)4 = x4 + x3t+

28

Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».

Решение.

(x + t)4 = x4 +

(1 · 2 · 3 · 4

1 · 2 · 3 · 1

)x3t+

29

Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».

Решение.

(x + t)4 = x4 +

(1 · 2 · 3 · 4

1 · 2 · 3 · 1

)︸ ︷︷ ︸

4

x3t+

30

Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».

Решение.

(x + t)4 = x4 + 4x3t+

31

Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».

Решение.

(x + t)4 = x4 + 4x3t + x2t2+

32

Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».

Решение.

(x + t)4 = x4 + 4x3t +

(1 · 2 · 3 · 4

1 · 2 · 1 · 2

)x2t2+

33

Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».

Решение.

(x + t)4 = x4 + 4x3t +

(1 · 2 · 3 · 4

1 · 2 · 1 · 2

)︸ ︷︷ ︸

6

x2t2+

34

Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».

Решение.

(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2+

35

Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».

Решение.

(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2 + xt3+

36

Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».

Решение.

(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2 +

(1 · 2 · 3 · 4

1 · 1 · 2 · 3

)xt3+

37

Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».

Решение.

(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2 +

(1 · 2 · 3 · 4

1 · 1 · 2 · 3

)︸ ︷︷ ︸

4

xt3+

38

Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».

Решение.

(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2 + 4xt3+

39

Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».

Решение.

(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2 + 4xt3 + t4

40

Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».

Решение.

(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2 + 4xt3 +

(4!

0! · 4!

)t4

41

Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».

Решение. Учтем, что 0! = 1.

(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2 + 4xt3 +

(4!

0! · 4!

)︸ ︷︷ ︸

1

t4

42

Пример 2. Раскройте скобки в выражении (x + t)4 с помощью фор-мулы «бинома Ньютона».

Ответ.(x + t)4 = x4 + 4x3t + 6x2t2 + 4xt3 + t4.Вернуться к лекции?

43

Заданиядля самостоятельноговыполнения

44

Задача I.1. (Ответ приведен на стр.49.) Раскройте скобки в выраже-нии (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля» и с помощью«бинома Ньютона»

45

Задача I.2. (Ответ приведен на стр.83.) Найдите C36 с помощью «тре-

угольника Паскаля».

46

Ответы и решения

47

Решение задачи 1.Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»

и с помощью «бинома Ньютона»

48

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 =

0 1

1 1 1

2 1 2 1

49

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 =

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1

50

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 =

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3

51

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 =

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3

52

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 =

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

53

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 =

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1

54

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 =

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4

55

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 =

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6

56

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 =

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4

57

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 =

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

58

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 = 25+

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1

59

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 = 25 + 5 · 24x+

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5

60

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 = 25 + 5 · 24x + 10 · 23x2+

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10

61

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 = 25 + 5 · 24x + 10 · 23x2 + 10 · 22x3+

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10

62

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 = 25 + 5 · 24x + 10 · 23x2 + 10 · 22x3 + 5 · 2x4+

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5

63

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 = 25 + 5 · 24x + 10 · 23x2 + 10 · 22x3 + 5 · 2x4 + x5 =

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

64

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 = 25 + 5 · 24x + 10 · 23x2 + 10 · 22x3 + 5 · 2x4 + x5 == 32 +

65

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 = 25 + 5 · 24x + 10 · 23x2 + 10 · 22x3 + 5 · 2x4 + x5 == 32 + 80x +

66

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 = 25 + 5 · 24x + 10 · 23x2 + 10 · 22x3 + 5 · 2x4 + x5 == 32 + 80x + 80x2 +

67

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 = 25 + 5 · 24x + 10 · 23x2 + 10 · 22x3 + 5 · 2x4 + x5 == 32 + 80x + 80x2 + 40x3 +

68

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 = 25 + 5 · 24x + 10 · 23x2 + 10 · 22x3 + 5 · 2x4 + x5 == 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 +

69

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 = 25 + 5 · 24x + 10 · 23x2 + 10 · 22x3 + 5 · 2x4 + x5 == 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 + x5.

70

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 = 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 + x5 == 25+Теперь воспользуемся «биномом Ньютона».

71

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 = 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 + x5 =

= 25 +5!

24x+

72

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 = 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 + x5 =

= 25 +5!

4!1!24x+

73

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 = 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 + x5 =

= 25 +5!

4!1!24x +

5!23x2+

74

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 = 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 + x5 =

= 25 +5!

4!1!24x +

5!

3!2!23x2+

75

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 = 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 + x5 =

= 25 +5!

4!1!24x +

5!

3!2!23x2 +

5!22x3+

76

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 = 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 + x5 =

= 25 +5!

4!1!24x +

5!

3!2!23x2 +

5!

2!3!22x3+

77

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 = 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 + x5 =

= 25 +5!

4!1!24x +

5!

3!2!23x2 +

5!

2!3!22x3 +

5!2x4+

78

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 = 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 + x5 =

= 25 +5!

4!1!24x +

5!

3!2!23x2 +

5!

2!3!22x3 +

5!

1!4!2x4+

79

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 = 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 + x5 =

= 25 +5!

4!1!24x +

5!

3!2!23x2 +

5!

2!3!22x3 +

5!

1!4!2x4 + x5.

80

Задача 1. Раскройте скобки в выражении (2 + x)5 с помощью «треугольника Паскаля»и с помощью «бинома Ньютона»

Ответ. (2 + x)5 = 32 + 80x + 80x2 + 40x3 + 10x4 + x5 =

= 25 +5!

4!1!24x +

5!

3!2!23x2 +

5!

2!3!22x3 +

5!

1!4!2x4 + x5. Задача решена.

81

Решение задачи 2.Задача 2. Найдите C3

6 с помощью «треугольника Паскаля».

82

Задача 2. Найдите C36 с помощью «треугольника Паскаля».

Ответ.

83

Задача 2. Найдите C36 с помощью «треугольника Паскаля».

Ответ.

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1Из последней строки «треугольника Паскаля»C0

6 = 1

84

Задача 2. Найдите C36 с помощью «треугольника Паскаля».

Ответ.

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6Из последней строки «треугольника Паскаля»C0

6 = 1, C16 = 6,

85

Задача 2. Найдите C36 с помощью «треугольника Паскаля».

Ответ.

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15Из последней строки «треугольника Паскаля»C0

6 = 1, C16 = 6, C2

6 = 15,

86

Задача 2. Найдите C36 с помощью «треугольника Паскаля».

Ответ.

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20Из последней строки «треугольника Паскаля»C0

6 = 1, C16 = 6, C2

6 = 15, C36 = 20.

87

Задача 2. Найдите C36 с помощью «треугольника Паскаля».

Ответ.

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20

Итак, C36 = 20 . Действительно,

88

Задача 2. Найдите C36 с помощью «треугольника Паскаля».

Ответ.

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20

Проверка: C36 =

6!

3!3!=

89

Задача 2. Найдите C36 с помощью «треугольника Паскаля».

Ответ.

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20

Проверка: C36 =

6!

3!3!=

4 · 5 · 6

1 · 2 · 3=

90

Задача 2. Найдите C36 с помощью «треугольника Паскаля».

Ответ.

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20

Проверка: C36 =

6!

3!3!=

4 · 5 · 6

1 · 2 · 3= 20.

91

Спасибоза

внимание!e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ruсайты: http://melnikov.k66.ru, http://melnikov.web.ur.ru

Вернуться к списку презентаций?

92