Föreläsning 10

Föreläsning 10

• Oändlig potentialgrop

• Kvantfysikens tolkningar

Oändlig potentialgrop

(a) (b) (c)

31 2

1 1 2 2 3 3

1 2 3

2 2 2 2 2

2

0 : ( ) sin 1,2,3,4..

( ) ( ) ( )

2 3( ) sin ( ) sin ( ) sin

2 2

(9.43) ; (9.41)

(10.01)

.... (9.44)

(9.

iE tiE t iE t

n xx L x A kL n n

L

x x e x x e x x e

x x xx A x A x A

L L L

k nE

m mL

2 2 2 2 2 2

1 2 32 2 2

4 9

2 2 2

45)

, , ......(9.46)E E EmL mL mL

Att normera vågfunktionen

1 1

2 2

2 2 2

0

.

( , ) ( ) sin

( , ) ( )

0 .

( ) 1 sin 1

(9.43) (9.41)

(10.0

Betrakta en partikel i nivån

Partikeln måste

2)

mellan befinna sig och

(1

iE t iE t

n n

n n

L

n

n

nx t e x e A kx k

L

x t x

x x L

x dx A kxdx

0

2 2 2 2 2

0 0

0

1sin 2

1 cos 2 2sin 1

2 2 2

2 2( ) sin

0.03)

= (10.04)

(10.05) (10.06)

L

L

L L

n

x kxkx Lk

A kx A dx A A

n xA x

L L L

Diracnotation

2

2 2

2

2

2

2| | 2 sin

(10.07) (10.08)

(10.09).

Amplituden/vågfunktionen att partiklen befinner sig vid

T.ex. en parti

kel i med energin :

:

(

n

E t E ti i

E ti

n

E ti

e n n

E e

x

xx x e e A

L

2

2

:

2sin

10.10)

Sannolikheten att hitta partikeln mellan och

(10.11)

Man bryr sig inte om termen om partikeln befinner sig i ett

stationärt tillstånd.

E ti

x x dx

xP A dx

L

e

Ett icke-stationärt tillstånd

1 2

1 2 1 2

2

2 2

1 2

2 2 21 2 1 2

11 2

2

|

|1 | 22 2 2 2

1 1 1 1( ) ( ) 2 ( ) ( ) cos

2 2 2 2

= (10.12

Betrakta en partikel i ett blandat tills

)

Sannolikheten

tånd.

iE t iE t

iE t iE t iE t iE t

Eg e e

P x dx

e e e ex x dx

Ex x x x

1 (10.13)

Sannolikheten att hitta partikeln förändras med tiden!

E tdx

Stationära och icke-stationära tillstånd

2

2 2

2

2

2| | 2 sin

2sin

Stationärt tillstånd - partikeln har en bestämd energi

(10.09).

Amplituden= (10.10)

(10.11) Det beror inte p

E t E ti i

iE t

e

xx e x e A

L

xP A dx

L

1 2

2 2 2 2 11 2 1 2

11 2

2

1 1 1 1| ( ) ( ) 2 ( ) ( ) cos

2 2 2 2

å tiden.

En partikel i ett blandat tillstånd. Den har inte en bestämd energi.

= (10.12)

(10.13)

beror på t

iE t iE t

e e

E E tP x dx x x x x dx

P

iden.

Question Tenta: 0612

QuestionTenta: 08011

Att tolka kvantfysiken

Är kvantfysiken en bra teori ?EPR-paradoxenLjusets hastighetSchrödingers kattVad är en mätning ?

Föreläsningen är basered på ”Afterword” i ”Introduction to Quantum Mechanics” av Griffiths.

Är kvantfysiken en bra teori ?

En bättre fråga: hur bedömer vi en teori ?

Svar: Det räcker inte att en teori beskriver en mätning vi

kvantfysiken beskriver utstrålningen (ultravioletta kat

redan har gjor

astrofen -lect

t

t.ex. ure 3).

En bra teori måste också förutsäga någonting som vi kan mäta

är en predikt

.

Kvantfysiken

Däremot är kva

iv teori som al

ntfysiken är en

drig ha

ofulls

r misslyc

tändig te

kats.

ori.

Förutsägels Experiment (G/U)

Dubbelspaltexperiment G

Energinivåer i atomer G

Elektronens dipolmoment G

112115965230 10 10

2

g

112115965218.7 4 10

2

g

Elektronens spinn

Icke-uniformt B-fält.

e-

z

2

1

2

1

2

elektron Stern-Gerlach-apparat.

(Föreläsning 7).

Vi vet inte om elektronens spinn är "upp" eller "ned".

(10.14)

Sannolikhet "upp"=Sannolikhet "n

Betrakta en som skjuts in i en

ed"

up down

1

2 (10.15)

e-

e- (upp)z

1

2

Mätningen görs: är i ett

bara att elektronen skulle

befinna sig i ett av tv

Elektronen "upp"-tillstånd

Innan experimentet sa

å eller

kvantfysiken

spinntillstånd: "upp" "ne Sannolikheten =d": .

Kvan

up

tfysiken kunde inte förutsäga spinntillståndet innan mätningen.

Icke-uniformt B-fält.

Spinn-upp

Tolkning-1: ”realisten”

e-e-

z

En realist skulle säga:Elektronen var alltid i ett upp-tillstånd. Kvantfysiken är en ofullständig teori för att den bara kan ge en sannolikhet.Elektronen bär en ”spin-upp”-lapp men kvanyfysiken kan inte läsa lappen ( dold variabel).

Spinn-upp

Icke-uniformt B-fält.

Spinn-upp

e-

Tolkning-2: den ortodoxa synen

e-

z

Köpenhalmstolkningen

Elektronens spinn var inte upp eller ned. Mätningen tvingade elektronen att välja ett spinntillstånd enligt en sannolikhet..

1

2 "kollapsade" till (10.16)up down up

Icke-uniformt B-fält.

Spinn- upp

e-

Tolkning-3: den agnostiska synen

e-

z

En agnostiker skulle säga:Jag bryr mig inte om elektronens tillstånd innan mätningen. Detta är inte någonting som jag kan mäta! Dessutom påverkar det inte mina beräkningar.

Aren’t there more important things to worry about than this type of thing ?

Varierande B-fält.

EPR-paradoxen

0

hatade

postuler

Einstein den ortodoxa synen - "Gud spelar inte tärning".

Einstein, Podolsky and Rosen EPRade för att

bevisa

Bet

-paradoxen

realism (1935).

-partikel (spinn-0) långt brak ortta en i so Partikeln

sönderfaller till och

lsystemet.

(spinn-1/2)

positron ("anti-electron"

)

e e

e

e-e+

0

, ,

1

2

noll spinn.

elektronen positronen har "motsatta" spinntillstånd

för att bevara rörelsemängden.

Två möjligheter med samma sannolikhet

(a) eller

har

och

:

(b) e upp e ned e ned e upp

upp ned

(10.17)- "entangled"/sammanflätat tillstånd.ned upp

e upp

e upp

e ned

e ned

(a)

(b)

.

ankommer vid mäts

Eletronens spinntillstånd är

Enlig

Elektronen jorden. Dess spinntillstånd

med en Stern-Gerlach-apparat.

ortodoxa synent den var elektronen inte i ett bestämt tillstånd inn

ä

an

m tn

upp

.Mätningen elektron att "fatta ett beslut" - den valde

Elektronen och positronen har motsatta spinntillstånd.

Elektronen berättar ögonblicktligt för positronen

ingen.

tvingade

(långt bort i solsys

upp

.

temet

att positronen måste välja ett ti

)

llståndned

e upp e ned

LokalitetEnligt den ortodoxa tolkningen har elektronens spinnmätning omedelbart förändrat positronens spinntillstånd trots att partiklarna befinner sig i olika delar av solsystemet.

”Nyheterna” åker fortare än ljusets hastighet !

Lokalitetsprincipen säger att ingen påverkan kan färdas snabbare än ljusets hastighet.

EPR-paradoxen innebär att den ortodoxa tolkningen bryta mot lokalitetsprincipen! Detta var Einsteins sätt att visa att den ortodoxa tolkningen inte håller !.

Ljusets hastighet

X

Yv v’

projektorfluga

Skärm

'

' '

Betrakta en skugga på en skärm.

Flugans hastighet Skuggans hastighet

Om skärmen är väldigt långt b

En fluga rör sig genom

ort : ( lju

en projektors

sets hasti

t

g

råle.

En person v

het).

i d

v v

v v v c c

X

.

kan inte använda skuggan för att skicka ett supersnabbt

meddelande til

l

Y

skugga

Varför oroar över ljusets hastighet ?

Om ett meddelande färdas snabbare än ljusets hastighet kan meddelandet reser bakåt i tiden (speciella relativitetsteorin).

Därför kan du arrangera din farfars mord innan din far föddes.

Detta betyder att du har förhindrat din egen födelse. Hur kan du då arrangera ett mord ?

Detta kallas för ”farfarsparadoxen”.

Kausala påverkningar som färdas snabbare än ljusets hastighet är ”förbjudna” .

Den ortodoxa tolkningen är ok!

e up e down earth

space

Betrakta en som mäter

omedelbart efter men innan en observatör

på jorden kan skicka e

astronaut positronens spinntillstånd

mätning

tt meddelande till hono

en på jorden

Astronauten har best

m/hen

ämt

ne.

sig

.

att begå självmord om

Har orsakat astronautens död genom en

signal som färdades snabbare än ljusets hasti

spinntillståndet är

observatören på jorden

Nej! Observatören på jord

ghet ?

kunde ie en nt

ned

bestämma mätningens resultat.

kunde inte förutsäga eller välja

ett Han astronautens död.

Han kunde ha bestämt att inte göra någon m

Observatören

ätning -

på jorden

upp-tillstånd. orsakade inte

a

kunde har överlevt.

Me

stronaut

an stro vet ingenting om - han

tror att han har en att dö när han

gör sin mätning.

Påverkan fä

nauten elektronmätningen

50% sannolikhet

snabbarerdades

Men påver

än ljuse

kan var i

ts ha

nte k

st

au

ighet.

sal.

Den ortodoxa tolkningenDen ortodoxa tolkningen överlever EPR-paradoxen.

Bells olikhet stöder denna tolkning.

Det ser ut som om naturen är icke-lokal (dvs. vissa påverkningar som färdas snabbare än ljusets hastighet är tillåtna.)

En mätning

Om vi tror på den ortodoxa tolkningen betyder det att en ”matning” spelar en speciell roll i kvantfysiken.

Vad betyder termen: mätning ? Krävs en mätning en mänsklig observatör att mäta en partikels tillstånd ?

Schrödingers katt

En katt placeras i en sluten stållåda. I stålkammaren placeras även en bit radioaktivt ämne med 50 % sannolikhet att sönderfalla inom en timme, samt en geigermätare kopplad till en hammare som krossar en flaska cyanid om sönderfall registreras, varvid katten skulle dö.

Efter en timme är katten levande eller död ? Är katten i ett blandat tillstånd tills vi öppnar lådan ?

1

2katt levande död (10.18) ???

Ren nonsens

1

2

(1) Vi kan inte beskriva ett makroskopiskt system:

katt levande död

(2) Mätningen har ingenting med en observatör att göra. Det ägde rum när

ett makroskopiskt sytsem (geigermätare) fick en signal.

Vad händer när vi gör en mätning ?

, sin .

0

1

En partikel i en oändlig potentialgrop :

En mätning av partikelns läge görs vid .

Vågfunktionen "kollapsar" vid .

Efteråt förändras vågfunktionen enligt Schrödingerekvationen

nE ti

n nx t Ae k x

t

x

...

2

Sammanfattning

• Oändlig potentialgrop– Normering– Stationära och blandade tillstånd

• Tre olika tolkningar – ”realistens” syn– den ortodoxa synen– den agnostiska synen

• De flesta tror på den ortodoxa synen– Detta betyder inte att de har rätt…..

Extra material som inte ska att dyka upp på tentan!

Bells olikhet

A B AB

+1 -1 -1

-1 +1 -1

+1 -1 -1

+1 -1 -1

e-Varierande B-fält.

e+Varierande B-fält.

A=1 (upp)A=-1 (ned)

B=1 (upp)B=-1 (ned)

ab

ˆˆ • 1

-1

ˆˆ( • ) -1

Om

medelvärdet av

a b

AB

AB P a b

AB

ˆ ˆˆ ˆ( • ) - •

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( • ) ( • ) 1 ( • )

ˆ

Ett generellt resultat:

Om det finns en "dold variabel"

är en godtycklig vektor.

P a b a b

P a b P a c P b c

c

ˆˆ-1 ( • ) -1

ˆ ˆˆ ˆ( • ) - •

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( • ) ( • ) 1 ( • )

ˆ

medelvärdet:

Ett generellt resultat:

Om det finns en "hidden variable"

är en godtycklig vektor.

AB P a b

P a b a b

P a b P a c P b c

c

a

b

c

45o

1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ02

1 11

2 2

;

!!!!

Kvantfysiken säger att det inte finns en hidden

variable!!!

P a b P a c P a b

Polariserat ljus

”Entangled” fotoner

Laserljus:Två fotoner produceras i BBO-kristallen

”Entangled” tillstånd