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Fokker-Planck-Gleichung
Beschreibungstochastischer Prozesse
David Kleinhans
kleinhan@uni-muenster.de
WWU Munster
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 1
Geschichte
Historische ’Highlights’ der stochastischen Prozesse:
1905 Einsteins Beschreibung der Diffusion bei der Brown’schen Bewegung
1908 Langevin-Gleichung
1914/17 Fokker-Planck-Gleichung
1928 Mastergleichung
1940-49 Kramers-Moyal-Entwicklung
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 2
Geschichte
Historische ’Highlights’ der stochastischen Prozesse:
1905 Einsteins Beschreibung der Diffusion bei der Brown’schen Bewegung
1908 Langevin-Gleichung
1914/17 Fokker-Planck-Gleichung
1928 Mastergleichung
1940-49 Kramers-Moyal-Entwicklung
Jetzt: Stochastik im Zweitraffer!
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 2
Wegweiser
Einführung in die Stochastik
Zufallsprozesse
Wahrscheinlichkeitsdichten / bedingte Wahrscheinlichkeiten
Charakteristische Funktion
Momente und Kumulanten
Elementare stochastische Prozesse: Langevin-Gleichung
Modell: Brownsche Bewegung
Nichtlineare Gleichung
Zeitverhalten von Wahrscheinlichkeitsdichten: Fokker-P lanck-Gleichung
Kramers-Moyal-Entwicklung
Berechnung der Entlicklungskoeffizienten für Langevin
Fokker-Planck: Charakterisierung der Gleichung
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 3
Einführung in die Stochastik
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 4
Stochastik: Motivation
Stochastik (griechisch): Kunst des (geschickten) Vermutens
Untersuchung makroskopischer, komplexer Systeme:
Klassische, Newton’sche Beschreibung: Sehr (, häufig zu) viele Freiheitsgrade
Mit Methoden der Stochastik:
Deterministischer Anteil
Fluktuierende, stochastischer Anteil
⇒ Stochastische Beschreibung von physikalischen Prozessen
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 5
Stochastik: Grundlagen 1
Zufallsvariable ξ: nicht vorhersagbar
Schar-Mittel : Viele Experimente oder Ensemble von Experimenten ξn
〈f(ξ)〉 = limN→∞
1N
∑
nf(ξn)
Mit der Heavyside’schen- Θ-Funktion Θ(x − ξ) =
0 für ξ > x
12
für ξ = x
1 für ξ < x
:
Verteilungsfunktion
P (ξ < x) + 12P (ξ = x) = 〈Θ(x − ξ)〉
mit: ddx
P (ξ ≤ x) > 0 ∀ x, P (ξ ≤ −∞) = 0, P (ξ ≤ +∞) = 1
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 6
Grundlagen 2
Einführung der Wahrscheinlichkeitsdichte (distribution function):
Wξ(x) := ddx
P (ξ ≤ x) = 〈 ddt
Θ(x − ξ)〉 = 〈δ(x − ξ)〉
Es gilt:∫
Wξ(x) dx = 1 und Wξ(x) ≥ 0 ∀ x
Alle Mittelwerte lassen sich mit Hilfe von Wξ(x) berechnen:
〈f(ξ)〉 = 〈∫
f(x)δ(x − ξ) dx〉 =∫
f(x)〈δ(x − ξ)〉 dx =∫
f(x)Wξ(x) dx
Momente Mn:
Mn := 〈ξn〉
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 7
Grundlagen 3
Charakteristische Funktion :
Cξ(x) := 〈eiuξ〉 =∫
eiuxWξ(x) dx Fouriertransformierte von Wξ(x)
Berechnung der Momente:
Mn := 〈ξn〉 = 1in
dn
dun Cξ(u)∣
∣
∣
u=0
Taylor-Entwicklung von Cξ(u) um u = 0:
Cξ(u) = 1 +∞∑
n=1
(iu)n
n!Mn
Kumulanten Kn:
Cξ(u) =: e
∞∑
n=1
(iu)n
n!Kn
Kumulanten und Momente sind verknüpft:
K1 = M1 M1 = K1
K2 = M2 − M21 M2 = K2 + K2
1
K3 = M3 − 3M1M2 + 2M31 M3 = K3 + 3K2K1 + K3
1
.
.
....
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 8
’Einfache’ Verteilungen
’Einfache’ Wahrscheinlichkeitsverteilungen für
Kn = 0 ∀ n > N
N = 1:
Cξ(u) = eiuK1 ⇒ Wξ(x) = δ(x − K1)
N = 2:
Cξ(u) = eiuK1− 12
u2K2
⇒ Wξ(x) = 12π
∞∫
−∞e−iux+iuK1− 1
2u2K2 du
Wξ(x) = 1√2πK2
e− 1
2(x−K1)2
K2
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 9
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Verallgemeinerung auf mehrere Zufallsvariable :
ξ −→ ξ1, . . . , ξr und Wξ(x) −→ Wr(x1, . . . , xr)
Bedingte Wahrscheinlichkeitsdichten :
Wr(x1, . . . , xr) = P (x1|x2, . . . , xr) · Wr−1(x2, . . . , xr)
⇒ P (x1|x2, . . . , xr) =Wr(x1,...,xr)
∫
Wr(x1,...,xr)dx1
Korrelation zweier Zufallsvariablen:
κ(ξ1, ξ2) := 〈(ξ1 − 〈ξ1〉)(ξ2 − 〈ξ2〉)〉 = 〈ξ1ξ2〉 − 〈ξ1〉〈ξ2〉
Es gilt: κ(ξ, ξ) = 〈(ξ − 〈ξ〉)2〉 = K2
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 10
Zeitabhängige Zufallsvariablen
Zeitabhängigkeit der Zufallsvariablen:
ξ −→ ξ(t) und damit W1(x) −→ W1(x1, t1) = 〈δ(x1 − ξ(t))〉
Für die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichten gilt nun:
P (xn, tn|xn−1, tn−1, . . . , x1, t1) = 〈δ(xn − ξ(tn))〉|xn−1,tn−1,...,x1,t1
=Wn(xn, tn, . . . , x1, t1)
∫
Wn(xn, tn, . . . , x1, t1) dxn
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 11
Klassifikation von Zufallsprozessen
Reiner Zufallsprozess : P (xn, tn|xn−1, tn−1, . . . , x1, t1) = W (xn, tn)
Es folgt: Wn(xn, tn, . . . , x1, t1) = W1(xn, tn) · . . . · W1(x1, t1)
Beachte: Für |tn − tn−1| ≪ 1 muß ein physikalisches System eine Korrelation
haben
⇒ Reiner Zufallsprozess unphysikalisch!
Markov-Prozess : P (xn, tn|xn−1, tn−1, . . . , x1, t1) = P (xn, tn|xn−1, tn−1)
Es folgt: Wn(xn, tn, . . . , x1, t1) =
P (xn, tn|xn−1, tn−1)·P (xn−1, tn−1|xn−2, tn−2)·. . .·P (x2, t2|x1, t1)·W1(x1, t1)
es gilt: limt2→t2
P (x2, t2|x1, t1) = δ(x2 − x1),
⇒ Komplette Information steckt in W2!
Generelle Prozesse (mehr Terme)
lassen sich nach Wang, Uhlenbeck auf Markov-Prozesse zurückführen
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 12
Elementare stochastische Prozesse:
Langevin-Gleichungen
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 13
Brown’sche Bewegung
Prominentes Beispiel:
Makroskopisches Teilchen in Flüssigkeit , Newton: mx + bx = Fs(t)
Langevin-Gleichung : v = −γv + Γ(t)
Γ(t) stochastische Kraft mit folgenden Eigenschaften:
〈Γ(t)〉 = 0
〈Γ(t)Γ(t′)〉 = qδ(t − t′)
Spektrale Dichte (nach Wiener-Khintchine-Theorem):
S(ω) = 2∞∫
−∞exp(−iωτ)〈Γ(t + τ)Γ(t)〉 dτ = 2q
Man nennt Γ(t) deltakorreliertes, weißes Rauschen (⇒ Markov-Prozess)
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 14
Nichtlineare Langevin-Gleichung
Allgemeine, nichtlineare Formulierung:
ξ = h(ξ, t) + g(ξ, t)Γ(t) mit〈Γ(t)〉 = 0
〈Γ(t)Γ(t′)〉 = 2δ(t − t′)
Falls g
konstant
= g(ξ)
nennt man das Rauschen:
additiv
multiplikativ
Beachte:
Multiplikatives Rauschen: Im Allgemeinen 〈g(ξ, t)Γ(t)〉 6= 0
→ Rauschinduzierter Drift
Beispiel:
h(ξ, t) ≡ 0 und g(ξ, t) = a · ξ ⇒ ξ(t) = 〈ξ(0)〉 · ea
t∫
0Γ(t′) dt′
und 〈ξ(t)〉 = 〈ξ(0)〉 · ea2t
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 15
Zeitverhalten vonWahrscheinlichkeitsdichten:
Fokker-Planck-Gleichung
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 16
Motivation
Bis jetzt:
Beschreibung einzelner Prozesse
Bewegungsgleichung für elementare Prozesse
Ab jetzt:
Übergang zu Ensemble von Prozessen, Untersuchung der Wahrscheinlichkeit W (x, t),
das Teilchen zur Zeit t am Orte x zu finden.
Bewegungsgleichungen für Wahrscheinlichkeitsdichte
W (x, t + τ) =∫
W (x, t + τ, x′, t) dx′ =∫
P (x, t + τ |x′, t)W (x′, t) dx′
⇒ Notwendig: Kenntnis von P (x, t + τ |x′, t) für τ ≪ 1
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 17
Kramers-Moyal-Entwicklung (fwd) 1
Mit Mn(x′, t, τ) = 〈[ξ(t + τ) − ξ(t)]n〉|ξ(t)=x′ =∫
(x − x′)nP (x, t + τ |x′, t) dx gilt:
C(u,x′, t, τ) = 1 +∞∑
n=1
(iu)nMn(x′,t,τ)
n!{=
∫
eiu(x−x′)P (x, t + τ |x′, t) dx}
Rücktransformation:
P (x, t + τ |x′, t) = 12π
∞∫
−∞e−iu(x−x′)C(u, x′, t, τ) du
= 12π
∞∫
−∞e−iu(x−x′)
[
1 +∞∑
n=1(iu)n Mn(x′,t,τ)
n!
]
du
Auswertung des Integrals:
12π
∞∫
−∞(iu)neiu(x−x′) =
(
− ∂∂x
)nδ(x − x′)
Partielle Integration liefert später:∫
f(x′) ·(
− ∂∂x
)nδ(x − x′) dx′ =
(
− ∂∂x
)nf(x)
∫
δ(x − x′) dx′
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 18
Kramers-Moyal-Entwicklung (fwd) 2
Einsetzen von P (x, t + τ |x′, t) liefert:
W (x, t + τ) =∫
P (x, t + τ |x′, t)W (x′, t) dx′
=∫
[
W (x, t) +∞∑
N=1
1n!
(
− ∂∂x
)nMn(x, t, τ)W (x, t)
]
δ(x − x′) dx′
⇒W (x,t+τ)−W (x,t)
τ=
∞∑
N=1
1n!
(
− ∂∂x
)n〈[ξ(t + τ) − ξ(t)]n〉|ξ(t)=x W (x, t) 1
τ
Im Grenzübergang τ → 0 gilt:
∂∂t
W (x, t) =∞∑
n=1
(
− ∂∂x
)nD(n)(x, t)W (x, t)
(Kramers-Moyal-Entwicklung, 1940-49)
Dabei ist D(n)(x, t) = 1n!
limτ→0
1τ
〈[ξ(t + τ) − ξ(t)]n〉|ξ(t)=x .
Entwicklungskoeffizienten für Langevin-Gleichung berech nen. . .
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 19
Langevin: Entwicklungskoeffizienten 1
Haben: Allgemeine, nichtlineare Langevin-Gleichung:
ξ = h(ξ, t) + g(ξ, t)Γ(t) mit〈Γ(t)〉 = 0
〈Γ(t)Γ(t′)〉 = 2δ(t − t′)
Müssen berechnen:
D(n)(x, t) = 1n!
limτ→0
1τ
〈[ξ(t + τ) − ξ(t)]n〉|ξ(t)=x
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 20
Langevin: Entwicklungskoeffizienten 2
ξ(t + τ) − x =t+τ∫
t
h(ξ(t′), t′) + g(ξ(t′), t′)Γ(t′) dt′
Entwicklung von h und g um x = ξ(t):
h(ξ(t′), t′) = h(x, t′) + h′(x, t′)(ξ(t′) − x) + . . . , für g entsprechend
ξ(t + τ) − x =t+τ∫
t
h(x, t′) dt′ +t+τ∫
t
h′(x, t′)(ξ(t′) − x) dt′ + . . .
+t+τ∫
t
g(x, t′)Γ(t′) dt′ +t+τ∫
t
g′(x, t′)(ξ(t′) − x)Γ(t′) dt′ + . . .
Iterieren:
=t+τ∫
t
h(x, t′) dt′+t+τ∫
t
h′(x, t′)t′∫
t
h(x, t′′) dt′′dt′+t+τ∫
t
h′(x, t′)t′∫
t
g(x, t′′)Γ(t′′) dt′′dt′ . . .
+t+τ∫
t
g(x, t′)Γ(t′) dt′ +t+τ∫
t
g′(x, t′)t′∫
t
h(x, t′′)Γ(t′) dt′′dt′
+t+τ∫
t
g′(x, t′)t′∫
t
g(x, t′′)Γ(t′′)Γ(t′) dt′′dt′ + . . .
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 21
Langevin: Entwicklungskoeffizienten 3
Mittelwert:
〈ξ(t + τ) − x〉 =t+τ∫
t
h(x, t′) dt′ +t+τ∫
t
h′(x, t′)t′∫
t
h(x, t′′) dt′′dt′ + . . .
+t+τ∫
t
g′(x, t′)t′∫
t
g(x, t′′)2δ(t′′ − t′) dt′′dt′ + . . .
Auswerten des Integrals:t′∫
t
g(x, t′′)2δ(t′′ − t′) dt′′ = g(x, t′)t′∫
t
2δ(t′′ − t′) dt′′ = g(x, t′)
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 22
Langevin: Entwicklungskoeffizienten 3
Mittelwert:
〈ξ(t + τ) − x〉 =t+τ∫
t
h(x, t′) dt′ +t+τ∫
t
h′(x, t′)t′∫
t
h(x, t′′) dt′′dt′ + . . .
+t+τ∫
t
g′(x, t′)t′∫
t
g(x, t′′)2δ(t′′ − t′) dt′′dt′ + . . .
für τ ≪ 1:
〈ξ(t + τ) − x〉 = h(x, t) · τ + 12h′(x, t)h(x, t)τ2 + . . . + g′(x, t)g(x, t)τ + . . .
⇒ D(1)(x, t) = limτ→0
1τ〈ξ(t + τ) − x〉= h(x, t) + g′(x, t)g(x, t)
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 22
Langevin: Entwicklungskoeffizienten 4
Ebenso erhält man D(2)(x, t) wieder aus:
ξ(t + τ) − x
=t+τ∫
t
h(x, t′) dt′+t+τ∫
t
h′(x, t′)t′∫
t
h(x, t′′) dt′′dt′+t+τ∫
t
h′(x, t′)t′∫
t
g(x, t′′)Γ(t′′) dt′′dt′ . . .
+t+τ∫
t
g(x, t′)Γ(t′) dt′ +t+τ∫
t
g′(x, t′)t′∫
t
h(x, t′′)Γ(t′) dt′′dt′
+t+τ∫
t
g′(x, t′)t′∫
t
g(x, t′′)Γ(t′′)Γ(t′) dt′′dt′ + . . .
〈[ξ(t + τ) − x]2〉 = (h(x, t) · τ)2 +(
12h′(x, t)h(x, t)τ2
)2+ . . . + g(x, t)g(x, t)τ + . . .
⇒ D(2)(x, t) = 12
limτ→0
1τ〈[ξ(t + τ) − x]2〉= [g(x, t)]2
Höhere Momente: Für deltakorreliertes Rauschen gilt: D(n)(x, t) = 0 ∀n ≥ 3
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 23
Fokker-Planck-Gleichung 1
Mit diesen Entwicklungskoeffizienten
D(1)(x, t) = h(x, t) + 12
∂∂x
g2(x, t)
D(2)(x, t) = g2(x, t)
D(n)(x, t) = 0 ∀n ≥ 3
erhalten wir aus der Kramers-Moyal-Entwicklung :
W(x, t) =[
− ∂∂x
D(1)(x, t) + ∂2
∂x2 D(2)(x, t)]
W(x, t) = LFPW(x, t)
(Fokker-Planck-Gleichung, 1914/17)
lineare, partielle Differentialgleichung für W(x,t)
reell, erster Ordnung in der Zeit: nicht invariant unter Zeitumkehr
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 24
Fokker-Planck-Gleichung 2
Einfaches Beispiel: Lineare Langevin-Gleichung v(t) = −γv(t) +√
q2Γ(t)
D(1) = −γv und D(2) = q2
= γkTm
Stationärer Zustand:
W (v, t)!= 0 =
[
γ + γv ∂∂x
+ γkTm
∂2
∂v2
]
W (v)
Die Maxwell-Verteilung W (v) =√
m2πkT
e−mv2
2kT erfüllt obige Gleichung!
Fokker-Planck-Gleichung für mehrere Variable:
W(~x, t) =
[
−∑
i
∂∂xi
D(1)i
(~x, t) +∑
i,j
∂2
∂xi∂xjD
(2)ij
(~x, t)
]
W(~x, t)
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 25
Zusammenfassung und Ausblick
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 26
Zusammenfassung
Langevin:
Beschreibung einzelner Prozesse
Bewegungsgleichung für Elementare Prozesse
Fokker-Planck:
Übergang zu Ensemble von Prozessen, Untersuchung der Wahrscheinlichkeit W (x, t),
das Teilchen zur Zeit t am Orte x zu finden.
Bewegungsgleichungen für Wahrscheinlichkeitsdichte
W(x, t) =[
− ∂∂x
D(1)(x, t) + ∂2
∂x2 D(2)(x, t)]
W(x, t) = LFPW(x, t)
Kramers-Moyal-Entwicklung bis zur 2. Ordnung
Für Markov-Prozesse verschwinden Ordnungen ≥ 3
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 27
Vorschau
Hier noch ein nettes Bild von Andreas :-)
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 28
Ende
Fragen zum Vortrag?
Verwendete Quellen:
The Fokker-Planck Equation , H. Risken, 1984
Dynamik stochastischer Systeme (Vorlesungsskript), M. Janßen, 2001
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 29
Übersprungene Folien
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 30
Lineare Langevin-Gleichung 1
Langevin-Gleichung v = −γv + Γ(t) läßt sich für lineare Koeffizienten auswerten:
Für v(t = 0) = v0:
v(t) = v0e−γt +t∫
0
e−γ(t−t′)Γ(t′) dt′
Korrelation :
〈v(t1)v(t2)〉 = v20e−γ(t1+t2) +
t1∫
0
t2∫
0
e−γ(t1+t2−t′1−t′2)〈Γ(t′1)Γ(t′2)〉 dt′1dt′2
= v20e−γ(t1+t2) + q
2γ
(
e−γ|t1−t2| − e−γ(t1+t2))
Auswertung des Integrals:t1∫
0
t2∫
0eγ(t′1+t′2)〈Γ(t′1)Γ(t′2)〉 dt′1dt′2 = q ·
t1∫
0
t2∫
0eγ(t′1+t′2)δ(t′2 − t′t)dt′1dt′2
= q ·min(t1,t2)
∫
0e2γt′1dt1 = q · 1
2γe2γx
∣
∣
∣
x=t1+t2−|t1−t2|
2x=0
= q2γ
(
eγ(t1+t2) · e−γ|t1−t2| − 1)
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 31
Lineare Langevin-Gleichung 1
Langevin-Gleichung v = −γv + Γ(t) läßt sich für lineare Koeffizienten auswerten:
Für v(t = 0) = v0:
v(t) = v0e−γt +t∫
0
e−γ(t−t′)Γ(t′) dt′
Korrelation :
〈v(t1)v(t2)〉 = v20e−γ(t1+t2) +
t1∫
0
t2∫
0
e−γ(t1+t2−t′1−t′2)〈Γ(t′1)Γ(t′2)〉 dt′1dt′2
= v20e−γ(t1+t2) + q
2γ
(
e−γ|t1−t2| − e−γ(t1+t2))
Für γt1, γt2 ≫ 1 ergibt sich: 〈v(t1)v(t2)〉 = q2γ
e−γ|t1−t2|
Nach dem Gleichverteilungssatz :
〈E〉 = m2〈[v(t)]2〉 = m
2q2γ
!= 1
2kT
⇒ q = 2 γkTm
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 31
Lineare Langevin-Gleichung 2
Geschwindigkeitsverteilungen schwierig zu beobachten.
Besser: Mittleres Verschiebungsquadrat 〈(x(t) − x0)2〉
〈(x(t) − x0)2〉 =
⟨[
t∫
0
v(t1) dt1
]2⟩
=
⟨
t∫
0
t∫
0
v(t1)v(t2) dt1dt2
⟩
=t∫
0
t∫
0
〈v(t1)v(t2)〉 dt1dt2
Wissen von eben: 〈v(t1)v(t2)〉 = v20e−γ(t1+t2) + q
2γ
(
e−γ|t1−t2| − e−γ(t1+t2))
Integration:t∫
0
t∫
0e−γ(t1+t2) dt1dt2 =
(
1−e−γt
γ
)2
t∫
0
t∫
0e−γ|t1−t2| dt1dt2 = 2 ·
t∫
0
t1∫
0e−γ(t1−t2) dt2dt1 = 2
γt − 2
γ2 (1 − e−γt)
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 32
Lineare Langevin-Gleichung 2
Geschwindigkeitsverteilungen schwierig zu beobachten.
Besser: Mittleres Verschiebungsquadrat 〈(x(t) − x0)2〉
〈(x(t) − x0)2〉 =
⟨[
t∫
0
v(t1) dt1
]2⟩
=
⟨
t∫
0
t∫
0
v(t1)v(t2) dt1dt2
⟩
=t∫
0
t∫
0
〈v(t1)v(t2)〉 dt1dt2
Wissen von eben: 〈v(t1)v(t2)〉 = v20e−γ(t1+t2) + q
2γ
(
e−γ|t1−t2| − e−γ(t1+t2))
⇒ 〈(x(t) − x0)2〉 =(
v20 − q
2γ
)
(1−eγt)2
γ2 + q
γ2 t − q
γ3 (1 − e−γt)
Für γt ≫ 1:
〈(x(t) − x0)2〉 = 2Dt mit D = q
2γ2 = kTmγ
(Einsteins Resultat für die Diffusionskonstante, 1905)
David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 32
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