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Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Fonctions usuelles

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

PlanEtude d’une fonction

Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite

BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes

Fonctions polynomialesFonctions rationnelles

Exponentielle, logarithme et applicationsFonction exponentielleFonction logarithme neperienLe miracleInegalites classiquesAutres fonctions associees

Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Plan d’etude d’une fonction reelle

1. Si necessaire, recherche du domaine de definition de f .

2. Determination du domaine de continuite et du domaine dederivabilite de f , avant tout calcul de derivee.

3. Reduction eventuelle du domaine d’etude en exploitantl’eventuelle parite, l’eventuelle periodicite.

4. TSD en verifiant qu’on est sur un intervalle, calculs deslimites, TBV, trace.

5. Et s’il y a une limite finie en une valeur interdite ?

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Plan d’etude d’une fonction reelle

1. Si necessaire, recherche du domaine de definition de f .

2. Determination du domaine de continuite et du domaine dederivabilite de f , avant tout calcul de derivee.

3. Reduction eventuelle du domaine d’etude en exploitantl’eventuelle parite, l’eventuelle periodicite.

4. TSD en verifiant qu’on est sur un intervalle, calculs deslimites, TBV, trace.

5. Et s’il y a une limite finie en une valeur interdite ?

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Plan d’etude d’une fonction reelle

1. Si necessaire, recherche du domaine de definition de f .

2. Determination du domaine de continuite et du domaine dederivabilite de f , avant tout calcul de derivee.

3. Reduction eventuelle du domaine d’etude en exploitantl’eventuelle parite, l’eventuelle periodicite.

4. TSD en verifiant qu’on est sur un intervalle, calculs deslimites, TBV, trace.

5. Et s’il y a une limite finie en une valeur interdite ?

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Plan d’etude d’une fonction reelle

1. Si necessaire, recherche du domaine de definition de f .

2. Determination du domaine de continuite et du domaine dederivabilite de f , avant tout calcul de derivee.

3. Reduction eventuelle du domaine d’etude en exploitantl’eventuelle parite, l’eventuelle periodicite.

4. TSD en verifiant qu’on est sur un intervalle, calculs deslimites, TBV, trace.

5. Et s’il y a une limite finie en une valeur interdite ?

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Plan d’etude d’une fonction reelle

1. Si necessaire, recherche du domaine de definition de f .

2. Determination du domaine de continuite et du domaine dederivabilite de f , avant tout calcul de derivee.

3. Reduction eventuelle du domaine d’etude en exploitantl’eventuelle parite, l’eventuelle periodicite.

4. TSD en verifiant qu’on est sur un intervalle, calculs deslimites, TBV, trace.

5. Et s’il y a une limite finie en une valeur interdite ?

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PlanEtude d’une fonction

Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite

BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes

Fonctions polynomialesFonctions rationnelles

Exponentielle, logarithme et applicationsFonction exponentielleFonction logarithme neperienLe miracleInegalites classiquesAutres fonctions associees

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Idee

Les fonctions qu’on etudie s’obtiennent a partir d’un petit nombrede ”fonctions de bases” et de sommes, differences, produits,quotients, composees, reciproques...

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Exemple

Devissage de x 7→ (x + 1)esin(x).

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Domaine de definition

Pour � ∈ {+,×,−} : Df�g =

Df ∩ Dg

Df÷g = (Df ∩ Dg ) \ {racines de g}

Df ◦g = Dg ∩ {x ∈ R, g(x) ∈ Df }

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Domaine de definition

Pour � ∈ {+,×,−} : Df�g = Df ∩ Dg

Df÷g = (Df ∩ Dg ) \ {racines de g}

Df ◦g = Dg ∩ {x ∈ R, g(x) ∈ Df }

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Domaine de definition

Pour � ∈ {+,×,−} : Df�g = Df ∩ Dg

Df÷g =

(Df ∩ Dg ) \ {racines de g}

Df ◦g = Dg ∩ {x ∈ R, g(x) ∈ Df }

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Domaine de definition

Pour � ∈ {+,×,−} : Df�g = Df ∩ Dg

Df÷g = (Df ∩ Dg ) \ {racines de g}

Df ◦g = Dg ∩ {x ∈ R, g(x) ∈ Df }

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Domaine de definition

Pour � ∈ {+,×,−} : Df�g = Df ∩ Dg

Df÷g = (Df ∩ Dg ) \ {racines de g}

Df ◦g =

Dg ∩ {x ∈ R, g(x) ∈ Df }

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Domaine de definition

Pour � ∈ {+,×,−} : Df�g = Df ∩ Dg

Df÷g = (Df ∩ Dg ) \ {racines de g}

Df ◦g = Dg ∩ {x ∈ R, g(x) ∈ Df }

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PlanEtude d’une fonction

Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite

BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes

Fonctions polynomialesFonctions rationnelles

Exponentielle, logarithme et applicationsFonction exponentielleFonction logarithme neperienLe miracleInegalites classiquesAutres fonctions associees

Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques

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Translations

Soit f : R→ R de graphe Cf :

1. Si g = x 7→ f (x + a) alors Cg s’obtient par

translation devecteur −ae1 a partir de Cf .

2. Si g = x 7→ f (x) + b alors Cg s’obtient par translation devecteur +be2 a partir de Cf .

Un dessin.

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Translations

Soit f : R→ R de graphe Cf :

1. Si g = x 7→ f (x + a) alors Cg s’obtient par translation devecteur −ae1 a partir de Cf .

2. Si g = x 7→ f (x) + b alors Cg s’obtient par

translation devecteur +be2 a partir de Cf .

Un dessin.

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Translations

Soit f : R→ R de graphe Cf :

1. Si g = x 7→ f (x + a) alors Cg s’obtient par translation devecteur −ae1 a partir de Cf .

2. Si g = x 7→ f (x) + b alors Cg s’obtient par translation devecteur +be2 a partir de Cf .

Un dessin.

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Translations

Soit f : R→ R de graphe Cf :

1. Si g = x 7→ f (x + a) alors Cg s’obtient par translation devecteur −ae1 a partir de Cf .

2. Si g = x 7→ f (x) + b alors Cg s’obtient par translation devecteur +be2 a partir de Cf .

Un dessin.

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Symetries

Soit f : R→ R de graphe Cf :

1. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par

symetrie d’axe (Oy)a partir de Cf .

2. Si g = x 7→ −f (x) alors Cg s’obtient par symetrie d’axe (Ox)a partir de Cf .

3. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par symetrie de centre Oa partir de Cf .

Un dessin.Un exemple : cos ◦ arccos.

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Symetries

Soit f : R→ R de graphe Cf :

1. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par symetrie d’axe (Oy)a partir de Cf .

2. Si g = x 7→ −f (x) alors Cg s’obtient par

symetrie d’axe (Ox)a partir de Cf .

3. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par symetrie de centre Oa partir de Cf .

Un dessin.Un exemple : cos ◦ arccos.

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Symetries

Soit f : R→ R de graphe Cf :

1. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par symetrie d’axe (Oy)a partir de Cf .

2. Si g = x 7→ −f (x) alors Cg s’obtient par symetrie d’axe (Ox)a partir de Cf .

3. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par

symetrie de centre Oa partir de Cf .

Un dessin.Un exemple : cos ◦ arccos.

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Symetries

Soit f : R→ R de graphe Cf :

1. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par symetrie d’axe (Oy)a partir de Cf .

2. Si g = x 7→ −f (x) alors Cg s’obtient par symetrie d’axe (Ox)a partir de Cf .

3. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par symetrie de centre Oa partir de Cf .

Un dessin.Un exemple : cos ◦ arccos.

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Symetries

Soit f : R→ R de graphe Cf :

1. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par symetrie d’axe (Oy)a partir de Cf .

2. Si g = x 7→ −f (x) alors Cg s’obtient par symetrie d’axe (Ox)a partir de Cf .

3. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par symetrie de centre Oa partir de Cf .

Un dessin.

Un exemple : cos ◦ arccos.

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Symetries

Soit f : R→ R de graphe Cf :

1. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par symetrie d’axe (Oy)a partir de Cf .

2. Si g = x 7→ −f (x) alors Cg s’obtient par symetrie d’axe (Ox)a partir de Cf .

3. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par symetrie de centre Oa partir de Cf .

Un dessin.Un exemple : cos ◦ arccos.

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Homotheties / affinites

Soit f : R→ R de graphe Cf :

1. Si g = x 7→ λf (x) alors Cg s’obtient en

dilatant/contractantsuivant la direction (Oy) et avec un rapport λ la courbe Cf .

2. Si g = x 7→ f (αx) alors Cg s’obtient en dilatant/contractant

suivant la direction (Ox) et avec un rapport1

αa partir de Cf .

Un dessin.Variations sur cos ◦ arccos.

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Homotheties / affinites

Soit f : R→ R de graphe Cf :

1. Si g = x 7→ λf (x) alors Cg s’obtient en dilatant/contractantsuivant la direction (Oy) et avec un rapport λ la courbe Cf .

2. Si g = x 7→ f (αx) alors Cg s’obtient en

dilatant/contractant

suivant la direction (Ox) et avec un rapport1

αa partir de Cf .

Un dessin.Variations sur cos ◦ arccos.

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Homotheties / affinites

Soit f : R→ R de graphe Cf :

1. Si g = x 7→ λf (x) alors Cg s’obtient en dilatant/contractantsuivant la direction (Oy) et avec un rapport λ la courbe Cf .

2. Si g = x 7→ f (αx) alors Cg s’obtient en dilatant/contractant

suivant la direction (Ox) et avec un rapport1

αa partir de Cf .

Un dessin.Variations sur cos ◦ arccos.

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Homotheties / affinites

Soit f : R→ R de graphe Cf :

1. Si g = x 7→ λf (x) alors Cg s’obtient en dilatant/contractantsuivant la direction (Oy) et avec un rapport λ la courbe Cf .

2. Si g = x 7→ f (αx) alors Cg s’obtient en dilatant/contractant

suivant la direction (Ox) et avec un rapport1

αa partir de Cf .

Un dessin.

Variations sur cos ◦ arccos.

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Homotheties / affinites

Soit f : R→ R de graphe Cf :

1. Si g = x 7→ λf (x) alors Cg s’obtient en dilatant/contractantsuivant la direction (Oy) et avec un rapport λ la courbe Cf .

2. Si g = x 7→ f (αx) alors Cg s’obtient en dilatant/contractant

suivant la direction (Ox) et avec un rapport1

αa partir de Cf .

Un dessin.Variations sur cos ◦ arccos.

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PlanEtude d’une fonction

Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite

BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes

Fonctions polynomialesFonctions rationnelles

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Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques

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Prolongement par continuite

Soit f : I \ {a} → J continue, telle que limx→a

x∈I\{a}= ` ∈ J.

On note encore f son prolongement par continuite :I → J

x 7→{

f (x) si x ∈ I \ {a}` si x = a.

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Prolongement par continuite

On a deja rencontre un exemple.

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BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes

Fonctions polynomialesFonctions rationnelles

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Definitions

sg :

R∗ → R

x 7→{

1 si x > 0−1 si x < 0

.

| · | :

R∗ → R

x 7→{

x si x > 0−x si x < 0

.

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Proprietes

1. ∀x ∈ R∗, sg(x) =x

|x |=|x |x

2. sg derivable sur R∗ et ∀x ∈ R∗, sg ′(x) = 0

3. | · | derivable sur R∗ et ∀x ∈ R∗,d

dx|x | = sg(x).

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Graphes

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BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes

Fonctions polynomialesFonctions rationnelles

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Definition

xn =

{x ∗ x · · · ∗ x (n fois) si n ≥ 1

1x |n|

=(

1x

)|n|si n < 0

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Domaine de definition, derivees, limites

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Graphes

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BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes

Fonctions polynomialesFonctions rationnelles

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Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques

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Proposition

Pour n ≥ 1,

{R+ → R+

x 7→ xnest une bijection.

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Definition

Fonction racine nieme n√

: R+ → R+.

C’est sa bijection reciproque.

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Comment obtenir le graphe ?

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Derivabilite

Le domaine de derivabilite n’estpas le domaine de definition.

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Derivabilite

Le domaine de derivabilite n’estpas le domaine de definition.

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Prolongement naturel a R

Uniquement pour n impair.

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Definition

P :

{R → Rx 7→ anx

n + · · ·+ a1x + a0

Si an 6= 0, n est le degre de P.

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Derivees

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Limites

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Fonctions polynomialesFonctions rationnelles

Exponentielle, logarithme et applicationsFonction exponentielleFonction logarithme neperienLe miracleInegalites classiquesAutres fonctions associees

Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques

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Definition

f = x 7→ P(x)

Q(x)avec P(x), Q(x) polynomiales.

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Domaine de definition, derivees, limites

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Prolongement par continuite

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Un exemple : les homographies

x 7→ ax + b

cx + d

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Exponentielle

On m’a propose cette imaged’illustration.

J’aurais voulu crediterl’auteur de cette versionmais je ne suis pas parvenua l’identifier...

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Proposition-definition

Il existe une unique application f : R→ R, derivable, telle que :

1. f ′ = f sur R2. f (0) = 1

On l’appelle fonction exponentielle et on la note exp (pourl’instant).

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Demonstration

DM02 !

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Demonstration

DM02 !

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Proprietes

1. ∀(x , y) ∈ R2, exp(x + y) = exp(x) exp(y) ;

2. ∀x ∈ R, exp(x) 6= 0 et1

exp(x)= exp(−x) ;

3. ∀x ∈ R,∀n ∈ Z, exp(nx) = exp(x)n.

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Proprietes

1. exp > 0 ;

2. exp est strictement croissante.

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Limites

1. lim+∞

exp = +∞ ;

2. lim−∞

exp = 0.

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Graphe

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Proposition-definition

Il existe une unique application f :]0,+∞[→ R, derivable, telleque :

1. f ′ = x 7→ 1

xsur ]0,+∞[

2. f (1) = 0

On l’appelle fonction logarithme neperien et on la note ln.

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Reformulation

Le theoreme fondamental de l’analyse dit qu’on peut le reformuler :

ln(x) =

∫ x

1f (t)dt

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Fonctions polynomialesFonctions rationnelles

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Theoreme

exp et ln sont reciproques l’une de l’autre.

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Graphe

On a donc gratuitement le graphe de ln, et

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Proprietes

ln est strictement croissante.

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Proprietes

1. ∀(a, b) ∈]0,+∞[2, ln(ab) = ln(a) + ln(b) ;

2. ∀a ∈]0,+∞[, ln(

1a

)= − ln(a) ;

3. ∀a ∈]0,+∞[,∀n ∈ Z, ln(an) = n ln(a).

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Proprietes

1. lim+∞

ln = +∞ ;

2. limO+

ln = −∞.

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Proprietes

Il existe un unique reel e > 0 tel que ln(e) = 1.

On a e = exp(1) > 1.

Des calculs numeriques d’integrale donnent e ≈ 2, 7.

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Des calculs numeriques d’integrale donnent e ≈ 2, 7.

e > 2 : tres facile. Tu l’as ?

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Des calculs numeriques d’integrale donnent e ≈ 2, 7.

e < 3 : moins facile. Tu l’as ?

1

4× 4

5+

1

4× 3

2+

3

2× 1

3=

43

40

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Des calculs numeriques d’integrale donnent e ≈ 2, 7.

e < 3 : moins facile. Tu l’as ?

1

4× 4

5+

1

4× 3

2+

3

2× 1

3=

43

40

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Des calculs numeriques d’integrale donnent e ≈ 2, 7.

Augmente le nombre de rectangles et tu auras autant de decimalesque tu veux. C’est une methode tres inefficace pour calculer e.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Notation

ex a deja un sens pour x ∈ Z (et meme pour x ∈ Q) et ce quiprecede montre que, pour ces x , on a ex = exp(x).

Gagnons de la place et notons desormais ex = exp(x), y comprispour x ∈ R \Q.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Notation

ex a deja un sens pour x ∈ Z (et meme pour x ∈ Q) et ce quiprecede montre que, pour ces x , on a ex = exp(x).

Gagnons de la place et notons desormais ex = exp(x), y comprispour x ∈ R \Q.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

PlanEtude d’une fonction

Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite

BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes

Fonctions polynomialesFonctions rationnelles

Exponentielle, logarithme et applicationsFonction exponentielleFonction logarithme neperienLe miracleInegalites classiquesAutres fonctions associees

Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Inegalites a savoir

1. ∀x ∈ R, ex ≥ x + 1 ;

2. ∀x ∈]0,+∞[, ln(x) ≤ x − 1 ;

3. ∀x ∈]0,+∞[, ln(x) ≤√x .

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Croissances comparees (1)

1. limx→+∞

ln(x)

x= 0

2. limx→+∞

ex

x= 0

3. limx→0+

x ln(x) = 0

4. limx→−∞

xex = 0

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Croissances comparees (2)

Pour tout entier n ≥ 1 et tout polynome P :

1. limx→+∞

ln(x)n√x

= 0

2. limx→+∞

ex

xn= 0

3. limx→+∞

ex

P(x)= 0

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

PlanEtude d’une fonction

Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite

BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes

Fonctions polynomialesFonctions rationnelles

Exponentielle, logarithme et applicationsFonction exponentielleFonction logarithme neperienLe miracleInegalites classiquesAutres fonctions associees

Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Exponentiation

Pour a > 0 et b ∈ Q on a ab = eb ln(a).

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Exponentiation

Pour a > 0 et b ∈ R on pose ab = eb ln(a).

(Meme principe que pour ex en lieu et place de exp(x).)

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Exponentiation

Grace a l’equation fonctionnelle de exp, on voit qu’on garde lesproprietes des puissances cheres a nos cœurs.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

On fait quoi avec ca ?

On obtient une fonction :

1. En fixant b et en faisant ”bouger a” : x 7→ xα.

2. En fixant a et en faisant ”bouger b” : x 7→ ax .

3. En bougeant dans tous les sens : x 7→ u(x)v(x).

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

On fait quoi avec ca ?

On obtient une fonction :

1. En fixant b et en faisant ”bouger a” : x 7→ xα.

2. En fixant a et en faisant ”bouger b” : x 7→ ax .

3. En bougeant dans tous les sens : x 7→ u(x)v(x).

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

On fait quoi avec ca ?

On obtient une fonction :

1. En fixant b et en faisant ”bouger a” : x 7→ xα.

2. En fixant a et en faisant ”bouger b” : x 7→ ax .

3. En bougeant dans tous les sens : x 7→ u(x)v(x).

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Fonction puissance reelle

x 7→ xα, α ∈ R.

Domaine de definition ? Proprietes ? Derivee ? Graphes ?

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Fonction puissance reelle

x 7→ xα, α ∈ R.

Domaine de definition ?

Proprietes ? Derivee ? Graphes ?

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Fonction puissance reelle

x 7→ xα, α ∈ R.

Domaine de definition ? Proprietes ?

Derivee ? Graphes ?

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Fonction puissance reelle

x 7→ xα, α ∈ R.

Domaine de definition ? Proprietes ? Derivee ?

Graphes ?

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Fonction puissance reelle

x 7→ xα, α ∈ R.

Domaine de definition ? Proprietes ? Derivee ? Graphes ?

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Fonction exponentielle de base a

x 7→ ax , a ∈ R∗+.

Exemple : x 7→ 10x .

Domaine de definition ? Derivee ? Graphe ?

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Fonction exponentielle de base a

x 7→ ax , a ∈ R∗+.

Exemple :

x 7→ 10x .

Domaine de definition ? Derivee ? Graphe ?

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Fonction exponentielle de base a

x 7→ ax , a ∈ R∗+.

Exemple : x 7→ 10x .

Domaine de definition ? Derivee ? Graphe ?

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Fonction exponentielle de base a

x 7→ ax , a ∈ R∗+.

Exemple : x 7→ 10x .

Domaine de definition ?

Derivee ? Graphe ?

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Fonction exponentielle de base a

x 7→ ax , a ∈ R∗+.

Exemple : x 7→ 10x .

Domaine de definition ? Derivee ?

Graphe ?

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Fonction exponentielle de base a

x 7→ ax , a ∈ R∗+.

Exemple : x 7→ 10x .

Domaine de definition ? Derivee ? Graphe ?

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Logarithme de base a

loga = x 7→ ln(x)

ln(a), a ∈ R∗+.

C’est la fonction reciproque de x 7→ ax !

Exemple : log = log10.

L’etude est gratuite car le graphe s’obtient par

dilatation/contraction de rapport1

ln(a)a partir de Cln.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Logarithme de base a

loga = x 7→ ln(x)

ln(a), a ∈ R∗+.

C’est la fonction reciproque de x 7→ ax !

Exemple :

log = log10.

L’etude est gratuite car le graphe s’obtient par

dilatation/contraction de rapport1

ln(a)a partir de Cln.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Logarithme de base a

loga = x 7→ ln(x)

ln(a), a ∈ R∗+.

C’est la fonction reciproque de x 7→ ax !

Exemple : log = log10.

L’etude est gratuite car le graphe s’obtient par

dilatation/contraction de rapport1

ln(a)a partir de Cln.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Logarithme de base a

loga = x 7→ ln(x)

ln(a), a ∈ R∗+.

C’est la fonction reciproque de x 7→ ax !

Exemple : log = log10.

L’etude est gratuite car le graphe s’obtient par

dilatation/contraction de rapport1

ln(a)a partir de Cln.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Logarithme de base a

loga = x 7→ ln(x)

ln(a), a ∈ R∗+.

C’est la fonction reciproque de x 7→ ax !

Exemple : log = log10.

L’etude est gratuite car le graphe s’obtient par

dilatation/contraction de rapport1

ln(a)a partir de Cln.

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Croissances comparees (3)

1. limx→+∞

loga(x)

xα=?

2. limx→+∞

ax

xα=?

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

f = x 7→ u(x)v(x)

Df ?

f ′ ?

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

f = x 7→ u(x)v(x)

Df ?

f ′ ?

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Exemple

Pas mechant : etudions x 7→ xx

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

PlanEtude d’une fonction

Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite

BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes

Fonctions polynomialesFonctions rationnelles

Exponentielle, logarithme et applicationsFonction exponentielleFonction logarithme neperienLe miracleInegalites classiquesAutres fonctions associees

Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

On se concentre sur

cos : R→ R

sin : R→ R

tan : Dtan → R

ou Dtan =

R \{π

2+ kπ, k ∈ Z

}=⋃k∈Z

]−π

2+ kπ,

π

2+ kπ

[

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

On se concentre sur

cos : R→ R

sin : R→ R

tan : Dtan → R

ou Dtan = R \{π

2+ kπ, k ∈ Z

}=⋃k∈Z

]−π

2+ kπ,

π

2+ kπ

[

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Rappel

limx→0

sin(x)

x= 1

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Theoreme

cos′ = −sin

sin′ = +cos

”Deriver, c’est tourner dans le sens horaire.”

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Theoreme

cos′ = −sin

sin′ = +cos

”Deriver, c’est tourner dans le sens horaire.”

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Theoreme

tan′ = 1 + tan2 =1

cos2

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Graphes

Connus...

?

Remarque : Csin traverse sa tangente a l’origine.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Graphes

Connus... ?

Remarque : Csin traverse sa tangente a l’origine.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Graphes

Connus... ?

Remarque : Csin traverse sa tangente a l’origine.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

PlanEtude d’une fonction

Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite

BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes

Fonctions polynomialesFonctions rationnelles

Exponentielle, logarithme et applicationsFonction exponentielleFonction logarithme neperienLe miracleInegalites classiquesAutres fonctions associees

Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Rappel

1. arccos est la fonction reciproque de

cos|[−1,1]

|[0,π].

2. arcsin est la fonction reciproque de sin|[−1,1]

|[−π2 ,π2 ]

.

3. arctan est la fonction reciproque de tan|]−π2 ,

π2 [

.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Rappel

1. arccos est la fonction reciproque de cos|[−1,1]

|[0,π].

2. arcsin est la fonction reciproque de sin|[−1,1]

|[−π2 ,π2 ]

.

3. arctan est la fonction reciproque de tan|]−π2 ,

π2 [

.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Rappel

1. arccos est la fonction reciproque de cos|[−1,1]

|[0,π].

2. arcsin est la fonction reciproque de sin|[−1,1]

|[−π2 ,π2 ]

.

3. arctan est la fonction reciproque de tan|]−π2 ,

π2 [

.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Graphes

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Attention

arccos et arcsin ne sont pasderivables en ±1.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Lemme

Soit x ∈ [−1, 1].

1. sin(arccos(x)) =

√1− x2

2. cos(arcsin(x)) =√

1− x2

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Lemme

Soit x ∈ [−1, 1].

1. sin(arccos(x)) =√

1− x2

2. cos(arcsin(x)) =√

1− x2

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Lemme

Soit x ∈ [−1, 1].

1. sin(arccos(x)) =√

1− x2

2. cos(arcsin(x)) =

√1− x2

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Lemme

Soit x ∈ [−1, 1].

1. sin(arccos(x)) =√

1− x2

2. cos(arcsin(x)) =√

1− x2

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Theoreme

arccos′ = x 7→ −1√1− x2

arcsin′ = x 7→ +1√1− x2

arctan′ = x 7→ 1

1 + x2

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On retrouve

∀x ∈]− 1, 1[, arcsin(x) + arccos(x) =

π

2

∀x 6= 0, arctan(x) + arctan

(1

x

)= sg(x)

π

2

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

On retrouve

∀x ∈]− 1, 1[, arcsin(x) + arccos(x) =π

2

∀x 6= 0, arctan(x) + arctan

(1

x

)= sg(x)

π

2

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

On retrouve

∀x ∈]− 1, 1[, arcsin(x) + arccos(x) =π

2

∀x 6= 0, arctan(x) + arctan

(1

x

)=

sg(x)π

2

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On retrouve

∀x ∈]− 1, 1[, arcsin(x) + arccos(x) =π

2

∀x 6= 0, arctan(x) + arctan

(1

x

)= sg(x)

π

2

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PlanEtude d’une fonction

Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite

BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes

Fonctions polynomialesFonctions rationnelles

Exponentielle, logarithme et applicationsFonction exponentielleFonction logarithme neperienLe miracleInegalites classiquesAutres fonctions associees

Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Rappel

Toute fonction f : R→ R a une partie paire et une partie impaire.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Definition

On appelle cosinus hyperbolique ch la partie paire de exp.

On appelle sinus hyperbolique sh la partie impaire de exp.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Definition

On appelle cosinus hyperbolique ch la partie paire de exp.

On appelle sinus hyperbolique sh la partie impaire de exp.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Definition

Reformulation :

ch(x) =ex + e−x

2

sh(x) =ex − e−x

2

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Definition

Reformulation :

ch(x) =ex + e−x

2

sh(x) =ex − e−x

2

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Definition

Analogue a :

cos(x) =eix + e−ix

2

sin(x) =eix − e−ix

2i

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Pourquoi ”hyperbolique” ?

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Definition

Tangente hyperbolique : th =sh

ch.

(Analogue a : tan =sin

cos.)

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Definition

Tangente hyperbolique : th =sh

ch.

(Analogue a : tan =sin

cos.)

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Proprietes immediates

1. ∀x ∈ R, ch(x) + sh(x) =

ex ;

2. ∀x ∈ R, ch(x)− sh(x) = e−x ;

3. ∀x ∈ R, ch2(x)− sh2(x) = 1.

Ce sont les seules formules de trigonometrie hyperbolique”exigibles”.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Proprietes immediates

1. ∀x ∈ R, ch(x) + sh(x) = ex ;

2. ∀x ∈ R, ch(x)− sh(x) =

e−x ;

3. ∀x ∈ R, ch2(x)− sh2(x) = 1.

Ce sont les seules formules de trigonometrie hyperbolique”exigibles”.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Proprietes immediates

1. ∀x ∈ R, ch(x) + sh(x) = ex ;

2. ∀x ∈ R, ch(x)− sh(x) = e−x ;

3. ∀x ∈ R, ch2(x)− sh2(x) =

1.

Ce sont les seules formules de trigonometrie hyperbolique”exigibles”.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Proprietes immediates

1. ∀x ∈ R, ch(x) + sh(x) = ex ;

2. ∀x ∈ R, ch(x)− sh(x) = e−x ;

3. ∀x ∈ R, ch2(x)− sh2(x) = 1.

Ce sont les seules formules de trigonometrie hyperbolique”exigibles”.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Proprietes immediates

1. ∀x ∈ R, ch(x) + sh(x) = ex ;

2. ∀x ∈ R, ch(x)− sh(x) = e−x ;

3. ∀x ∈ R, ch2(x)− sh2(x) = 1.

Ce sont les seules formules de trigonometrie hyperbolique”exigibles”.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Derivees

Tout est derivable sur R et :

1. ch′ = sh ;

2. sh′ = ch.

C’est drolement plus simple que la trigonometrie circulaire !

3. th′ =1

ch2= 1− th2.

Ah oui bon sauf pour la tangente alors.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Derivees

Tout est derivable sur R et :

1. ch′ = sh ;

2. sh′ = ch.

C’est drolement plus simple que la trigonometrie circulaire !

3. th′ =1

ch2= 1− th2.

Ah oui bon sauf pour la tangente alors.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Derivees

Tout est derivable sur R et :

1. ch′ = sh ;

2. sh′ = ch.

C’est drolement plus simple que la trigonometrie circulaire !

3. th′ =1

ch2= 1− th2.

Ah oui bon sauf pour la tangente alors.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Graphes

Remarque : Csh traverse sa tangente a l’origine.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Graphes

Remarque : Csh traverse sa tangente a l’origine.

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Croissances comparees (4)

Pour tout reel α :

1. limx→+∞

ch(x)

xα= +∞

2. limx→+∞

sh(x)

xα= +∞