Fórmula de trapecios

CÁLCULO INTEGRAL

Fórmula de Trapecios Integración Aproximada

Carlos Alberto Julián Sánchez

Estudiante de Ingeniería Mecatrónica

Introducción:

Para empezar hablar de la fórmula de trapecios debemos determinar un función

( )y f x , ya que el área aproximada estará limitada por la curva en un intervalo [ , ]a b

esto está dado por:

1 2

1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2o nA f x f x f x f x x

donde: ,o nx a x b

n = número de partes iguales en las que se divide el intervalo [ , ]a b .

También debemos de saber que:

b ax

n

Es la longitud de cada parte.

Ahora pasemos a resolver el primer ejemplo:

Ejemplo 1:

Calcula

3

2

1

x dx utilizando la fórmula del trapecio, dividiendo el intervalo [1,3] , en 5

partes iguales.

Solución:

Necesitamos tres datos importantes que son:

1

3

5

o

n

x

x

n

Ahora encontremos la longitud de cada parte con la fórmula dada:

3 1 20.4

5 5

b a

n

De aquí elaboraremos una tabla que contendrá cada valor de incremento de longitud

y el valor que merece la función para poder aplicar la fórmula de trapecios.

Entonces determinamos las Ordenadas de los puntos mediante la función original que

es 2y x

nx 1 1.4 1.8 2.2 2.6 3

( )nf x 1 1.96 3.24 4.86 6.76 9

Observemos que el incremento de nx va de 0.4 que es la longitud, y los valores de

( )nf x son los valores del cuadrado de cada nx ya que la función es cuadrada hasta

llegar al límite superior.

Teniendo lo siguiente, optemos por encontrar el área.

2

1 1(1) 1.96 3.24 4.84 6.76 (9) (0.4)

2 2

(.5 1.96 3.24 4.84 6.76 4.5)(0.4)

(21.8)(0.4)

8.72

A

A

A

A u

Ahora veamos otro ejercicio para dejar más claro el método de trapecios.

Ejemplo 2:

Calcula

4

2

(2 1)x dx utilizando la fórmula del trapecio, dividiendo el intervalo [2,4] ,

en 8 partes iguales.

Solución:

Busquemos nuestros tres datos sobresalientes para poder aplicar la fórmula, así que

por ende los datos son:

2

4

8

o

n

x

x

n

Con los cuales obtendremos la longitud de cada parte 4 2 2 1

0.258 8 4

Determinamos las ordenadas de los puntos mediante la función (2 1)y x esto hará

que nuestra tabla se mire así:

nx 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4

( )nf x 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

Apliquemos la fórmula de trapecios para obtener el área en el intervalo [2,4]

2

1 1( (3) 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 (7))(0.25)2 2

(1.5 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.6 3.5)(0.25)

(40.1)(0.25)

10.0

A

A

A

A u

Ejemplo 3:

Calcula

5 2

2

( )2

xdx utilizando la fórmula del trapecio, dividiendo el intervalo [2,5] , en 6

partes iguales.

Solución:

Coloquemos nuestros 3 datos importantes.

2

4

5

o

n

x

x

n

Con los cuales se obtiene precisamente nuestra longitud 5 2 3 1

0.56 6 2

Luego determinando las ordenadas de los puntos mediante nuestra función 2

2

xy

nx 2 2.5 3 3.5 4 4.4 5

( )nf x 2 3.125 4.5 6.125 8 10.125 12.5

Aplicando nuestra fórmula de trapecios

2

1 1( (2) 3.125 4.5 6.125 8 10.125 (12.5))(0.5)2 2

(1 3.125 4.5 6.125 8 10.125 6.25)(0.5)

(39.125)(0.5)

19.5625

A

A

A

A u

Resuelve los siguientes problemas:

/2

2 2

0

1

2 3 2

1

5 32

0

2

3 2

2

5; : 0.7385

4; :0.836

8; :2.4134

8 10; 10.884

sen x dx con n solución u

x x dx con n solución u

xdx con n solución u

x

x dx con n solución u

PD: Las soluciones estarán en el blog.