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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO
FACULTAD DE INGENIERA
SECRETARA GENERAL
COORDINACIN DE PROGRAMAS DE ATENCIN DIFERENCIADA PARA ALUMNOS
COPADI
FORMULARIO C O P A D I
MS DE 400 FRMULAS DE MATEMTICAS!
ING. RIK CASTAEDA DE ISLA PUGA ING. PABLO GARCA Y COLOM
ESTA OBRA SE REALIZ GRACIAS A LA DGAPA, A TRAVS DE UN PROYECTO PAPIME
P R L O G O Las asignaturas de matemticas en la Facultad de Ingeniera, que fundamentalmente se imparten en su Divisin de Ciencias Bsicas, constituyen herramientas muy poderosas -y en ocasiones son un autntico lenguaje- para la comprensin y aplicacin de las asignaturas fsicas y tambin para aquellas propias de las carreras de ingeniera. Son apoyos valiosos para los estudios de posgrado -maestras y doctorados- y para el ejercicio profesional. Es por ello que, para contar con estudiantes con una formacin slida en Ciencias Bsicas y que tengan buenas posibilidades de xito en su devenir acadmico y profesional, resulta importante y trascendente su aprendizaje de las diferentes ramas de las matemticas que deben estudiar como son el lgebra, la Geometra Analtica, El lgebra Lineal, el Clculo con una y varias variables, las Ecuaciones Diferenciales y las Matemticas Avanzadas. Y para esto hemos pensado en proporcionar a los estudiantes de ingeniera estos formularios, que con sus ms de 400 expresiones, pretenden apoyar y hacer ms eficiente el estudio y aprendizaje de las matemticas primero y despus constituirse en un manual para su quehacer futuro, ya sea acadmico o laboral. Esperamos que este formulario sea de mucha utilidad para el trabajo acadmico de alumnos y profesores de ingeniera que ven y aprecian esta disciplina como un detonante para el desarrollo de la sociedad. Es sabido que la ingeniera es unin entre los seres humanos y la naturaleza, y que uno de los principales objetivos de su quehacer es el de mejorar la calidad de la vida en el entorno de su prctica. Aprovechamos este espacio para agradecer a la Lic. Ana Mara Vieyra vila y al pasante de ingeniera Jorge Alejandro Rangel Rangel por su colaboracin en las labores administrativas y de seguimiento para el logro de esta publicacin.
Ing. rik Castaeda de Isla Puga Ing. Pablo Garca y Colom
N D I C E IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS 1 CRCULO TRIGONOMTRICO 2 RECTA Y CIRCUNFERENCIA 3 LAS CNICAS: PARBOLA, ELIPSE E HIPRBOLA 5 GEOMETRA ANALTICA EN EL ESPACIO 7 CLASIFICACIN DE LAS SUPERFICIES CUDRICAS 10 FRMULAS DE DERIVACIN ORDINARIA 11 FRMULAS BSICAS DE INTEGRACIN 13 SERIES INFINITAS 15 SERIES DE POTENCIAS 18 ALGUNAS FUNCIONES REPRESENTADAS POR SERIES DE POTENCIAS 20 FUNCIONES HIPERBLICAS. IDENTIDADES, DERIVACIN E INTEGRACIN 22 MXIMOS Y MNIMOS. UNA O MS VARIABLES 24 GEOMETRA DIFERENCIAL. FRMULAS DE FRENET-SERRET. CINEMTICA DE UNA PARTCULA. 27 LONGITUDES, REAS Y VOLMENES. LONGITUD DE ARCO, REA BAJO LA CURVA, REA ENTRE DOS CURVAS, REA DE SUPERFICIES, VOLMENES 29 MASA, MOMENTOS, CENTROS DE MASA Y CENTROIDE 31 ALGUNOS CASOS DE DERIVACIN EXPLCITA EN FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL 33 ALGUNOS CASOS DE DERIVACIN IMPLCITA EN FUNCIONES DE UNA Y MS VARIABLES 35 COORDENADAS POLARES, CILNDRICAS Y ESFRICAS 37 OPERADORES VECTORIALES GRADIENTE, DIVERGENCIA, ROTACIONAL Y LAPLACIANO 41 EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES TEOREMAS DE GREEN, STOKES Y GAUSS 42 TRANSFORMADAS DE LAPLACE 44 SERIES DE FOURIER 45
C O P A D I 1
IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS
FUNCIONES TRIGONOMTRICAS
CATETO OPUESTO = catop ; CATETO ADYACENTE = catad ; HIPOTENUSA = hipo
catadcatoptan
hipocatad
hipocatop ;cos;sen
IDENTIDADES
sencoscot;
cossen;
cos1sec;
sen1csc tan
tantantan
;coscos;sensen1cotcsc;1sec;1cossen 222222
tantantantantan
tantantantantan
1;
1
sensencoscoscos;sensencoscoscossencoscossensen;sencoscossensen
22222 tan1
tan22tan;1cos221cos2cos;cos22 sensensensen
cos1sen
sencos1
2;
2cos1
2cos;
2cos1
2sen
tan
2cos21
21cos;2cos
21
21sen 22
sensen21sencos
sensen21cossen
coscos21coscos
coscos21sensen
C O P A D I 2
CRCULO TRIGONOMTRICO
EN LA FIGURA SE PRESENTA EL CRCULO TRIGONOMTRICO DE RADIO LA UNIDAD POR LO QUE EN CADA PUNTO, CORRESPONDIENTE A UN NGULO DETERMINADO, LA ABSCISA ES EL COSENO Y LA ORDENADA EL SENO DEL NGULO CONSIDERADO Y A PARTIR DE ESOS VALORES SE PUEDEN DETERMINAR LAS DEMS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Y CONOCER DE TODAS ELLAS SU VALOR Y SIGNO DEPENDIENDO DEL CUADRANTE EN ESTUDIO.
C O P A D I 3
RECTA Y CIRCUNFERENCIA
LA LNEA RECTA
PENDIENTE DE LA RECTA: 2121
21 ; xxxxyym
ECUACIN DE LA RECTA PUNTO PENDIENTE: 11 xxmyy
ECUACIN DE LA RECTA PENDIENTE ORDENADA AL ORIGEN: bxmy m PENDIENTE DE LA RECTA b ORDENDA AL ORIGEN
ECUACIN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS 222111 ,, yxPyyxP
1121121
211 ; xxmyyxxxxxx
yyyy
ECUACIN SIMTRICA DE LA RECTA: 1by
ax
a ABSCISA AL ORIGEN b ORDENADA AL ORIGEN
FORMA GENERAL DE LA ECUACIN DE LA RECTA
0 CyBxA
FORMA NORMAL DE LA ECUACIN DE UNA RECTA 0cos psenyx
p LONGITUD DE LA NORMAL QUE VA DEL ORIGEN A LA RECTA 00 360 MEDIDO DESDE LA PARTE POSITIVA DEL EJE "" x A LA NORMAL
DISTANCIA DE UNA RECTA 0 CyBxA A UN PUNTO 11 , yx
22
11
BA
CyBxAd
CONDICIN DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD CON LAS PENDIENTES DE DOS RECTAS SEAN 21 mym LAS PENDIENTES DE DOS RECTAS 21 y . ENTONCES:
21 y SON PARALELAS 21 mm SEAN 21 mym LAS PENDIENTES DE DOS RECTAS 21 y . ENTONCES:
21 y SON PERPENDICULARES2
11m
m
4 LA CIRCUNFERENCIA
ECUACIN CON CENTRO EN EL ORIGEN Y RADIO "" r : 222 ryx
ECUACIN CON CENTRO EN EL PUNTO kh , Y RADIO "" r : 222 rkyhx
FORMA GENERAL DE LA ECUACIN DE LA CIRCUNFERENCIA
022 FyExDyx
LA CIRCUNFERENCIA EXISTE, ES DECIR, TIENE RADIO DIFERENTE DE CERO SI 0422 FED Y ENTONCES, LAS COORDENADAS DE SU CENTRO SON
2,
2ED Y EL RADIO ES FED 4
21 22
ECUACIN MEDIANTE UN DETERMINANTE
LA ECUACIN DE LA CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR LOS TRES PUNTOS 333222111 ,,,, yxPyyxPyxP NO COLINEALES, EST DADA POR EL DETERMINANTE
2 2
2 21 1 1 12 22 2 2 22 23 3 3 3
11 011
x y x yx y x yx y x yx y x y
TRASLACIN DE LOS EJES COORDENADOS
SEA UN NUEVO ORIGEN DE COORDENADAS khO ,' Y SEAN RESPECTIVAMENTE ',', yxyyx
LAS COORDENADAS DE UN PUNTO, ANTES Y DESPUS DE LA TRASLACIN. ENTONCES, LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIN DEL SISTEMA ORIGINAL AL NUEVO SON:
kyyyhxx ''
ROTACIN DE LOS EJES COORDENADOS
SI LOS EJES COORDENADOS GIRAN UN NGULO EN TORNO DE SU ORIGEN COMO CENTRO DE ROTACIN Y LAS COORDENADAS DE UN PUNTO SON, RESPECTIVAMENTE, ''., yxyx ,
ANTES Y DESPUS DE LA ROTACIN, ENTONES LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIN DEL SISTEMA ORIGINAL AL NUEVO SON.
cos'''cos' ysenxyysenyxx
C O P A D I 5
L A S C N I C A S: PARBOLA, ELIPSE E HIPRBOLA
P A R B O L A
p DISTANCIA DEL VRTICE AL FOCO = DISTANCIA DEL VRTICE A LA DIRECTRIZ FOCO SOBRE EL EJE
VRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE "" x xpy 42
DIRECTRIZ: px ; FOCO 0,p
VRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE "" y ypx 42
DIRECTRIZ. py ; FOCO p,0
VRTICE EN EL PUNTO kh , EJE FOCAL PARALELO AL EJE "" x hxpky 42
VRTICE EN EL PUNTO kh , EJE FOCAL PARALELO AL EJE "" y kyphx 42
LONGITUD DEL LADO RECTO = p4 ; EXCENTRICIDAD: 1e
ECUACIN GENERALDE LA CNICA: 022 FyExDyCxA ; CON 00 CA
E L I P S E
a2 LONGITUD DEL EJE MAYOR ; b2 LONGITUD DEL EJE MENOR c2 DISTANCIA ENTRE LOS FOCOS
222 bac FOCOS SOBRE EL EJE MAYOR
CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE "" x
122
2
2
by
ax
FOCOS: 0,0, cyc
CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE "" y
12
2
2
2
ay
bx
FOCOS: cyc ,0,0
6 CENTRO EN EL PUNTO kh, Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE "" x
12
2
2
2
bky
ahx
CENTRO EN EL PUNTO kh, Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE "" y 12
2
2
2
aky
bhx
LONGITUD DEL LADO RECTO = ab 22 ; EXCENTRICIDAD: 1
ace
ECUACIN GENERALDE LA CNICA: 022 FyExDyCxA ; CON CyA DEL MISMO SIGNO
H I P R B O L A
a2 LONGITUD DEL EJE TRANSVERSO ; b2 LONGITUD DEL EJE CONJUGADO c2 DISTANCIA ENTRE LOS FOCOS
222 bac FOCOS SOBRE EL EJE TRANSVERSO
CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE "" x
122
2
2
by
ax
FOCOS: 0,0, cyc
CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE "" y
122
2
2
bx
ay
FOCOS: cyc ,0,0
CENTRO EN EL PUNTO kh , Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE "" x 12
2
2
2
bky
ahx
CENTRO EN EL PUNTO kh , Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE "" y 12
2
2
2
bhx
aky
LONGITUD DEL LADO RECTO = ab 22 ; EXCENTRICIDAD: 1
ace
ECUACIN GENERALDE LA CNICA: 022 FyExDyCxA ; CON CyA DE SIGNO DISTINTO
C O P A D I 7
GEOMETRA ANALTICA EN EL ESPACIO
VECTORES
MDULO DE UN VECTOR: 232
22
1 aaaa
PRODUCTO ESCALAR: 332211321321 ,,;,, bababababbbbaaaa 00 1800;cos baba
ORTOGONALIDAD: bya SON ORTOGONALES 0
0 ;0
aa b
b
COMP VECTbb
bba
ab ; COMP ESC
bba
ab
NGULO ENTRE DOS VECTORES: baba
ang cos
NGULOS Y COSENOS DIRECTORES
aa
angaa
angaa
ang 321 cos;cos;cos 1coscoscos 222
PRODUCTO VECTORIAL: 321
321321321 ,,;,,bbbaaakji
babbbbaaaa
00 1800; senbaba
PARALELISMO: bya SON PARALELOS 0
0 ;0
aa b
b
REA DEL PARALELOGRAMO = ba
PRODUCTO MIXTO: cbacbacba
8 VOLUMEN DEL PARALELEPPEDO = cba
LOS PUNTOS , ,A B C y D SON COPLANARES
SI EL PRODUCTO MIXTO AB AC AD
ES NULO
DOBLE PRODUCTO VECTORIAL
acbbcacbacbabcacba
LA RECTA EN EL ESPACIO
ECUACIN VECTORIAL DE LA RECTA
vtPP 0 DONDE 0000 ,, zyxP ES UN PUNTO DE LA RECTA Y cbav ,, ES UN VECTOR PARALELO A ELLA
ECUACIONES PARAMTRICAS DE LA RECTA
tczztbyytaxx
0
0
0
ECUACIONES CARTESIANAS DE LA RECTA EN FORMA SIMTRICA: czz
byy
axx 000
ECUACIONES CARTESIANAS DE LA RECTA EN FORMA GENERAL
1 1 1 1
2 2 2 2
00
A x B y C z DA x B y C z D
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA:
v
vPQd
0 ; DONDE Q ES EL PUNTO
NGULO ENTRE DOS RECTAS: 21
21cosvvvv
ang
CONDICIN DE PERPENDICULARIDAD ENTRE DOS RECTAS: 021 vv
CONDICIN DE PARALELISMO ENTRE DOS RECTAS: 021 vv
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS:
21
211020
vvvvPP
d
9 EL PLANO EN EL ESPACIO
ECUACIN VECTORIAL DEL PLANO
srvsvrPP ,;210 DONDE 0000 ,, zyxP ES UN PUNTO DEL PLANO Y 1 21 1 1 2 2 2, , , , v a b c y v a b c SON DOS
VECTORES DE DIRECCIN DEL PLANO NO PARALELOS
ECUACIONES PARAMTRICAS DEL PLANO:
210
210
210
scrczzsbrbyysaraxx
ECUACIN NORMAL DEL PLANO QUE CONTIENE AL PUNTO 0P y CUYO VECTOR NORMAL ES N 00 NPP
ECUACIN GENERAL DEL PLANO: 0 DzCyBxA , DONDE SU VECTOR NORMAL EST DADO POR: CBAN ,,
DISTANCIA DE UN PUNTO Q A UN PLANO:
N
NPQd
0
NGULO ENTRE DOS PLANOS: 21
21cosNNNN
ang
CONDICIN DE PERPENDICULARIDAD: 021 NN
CONDICIN DE PARALELISMO: 021 NN
LA DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS SE CALCULA COMO LA DISTANCIA ENTRE UN PUNTO DE UN PLANO Y EL OTRO PLANO
NGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO: vNvNangsen
CONDICIN DE PARALELISMO ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA: 0 vN
CONDICIN DE PERPENDICULARIDAD ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA: vkN
C O P A D I 10
CLASIFICACIN DE LAS SUPERFICIES CUDRICAS
CON CENTRO: NzMyLxK 222
SI 0N Y DOS COEFICIENTES SON NULOS, EL LUGAR GEOMTRICO SON LOS PLANOS COORDENADOS.
SI 0N Y UN COEFICIENTE ES NULO, EL LUGAR GEOMTRICO
SON LOS EJES COORDENADOS.
SI 0N Y TODOS LOS COEFICIENTES TIENEN EL MISMO SIGNO, EL LUGAR GEOMTRICO ES EL ORIGEN DE COORDENADAS.
SI 0N Y DOS COEFICIENTES TIENEN EL MISMO SIGNO,
EL LUGAR GEOMTRICO ES EL CONO ELPTICO.
SI 0N Y DOS COEFICIENTES SON NULOS, EL LUGAR GEOMTRICO SON DOS PLANOS PARALELOS A LOS PLANOS COORDENADOS.
SI 0N Y UN COEFICIENTE ES NULO, EL LUGAR GEOMTRICO
SON CILINDROS PARALELOS A LOS EJES COORDENADOS.
SI 0N Y TODOS LOS COEFICIENTES SON POSITIVOS, EL LUGAR GEOMTRICO ES EL ELIPSOIDE.
SI 0N Y DOS COEFICIENTES SON POSITIVOS Y EL OTRO NEGATIVO,
EL LUGAR GEOMTRICO ES EL HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA O UN MANTO.
SI 0N Y DOS COEFICIENTES SON NEGATIVOS Y EL OTRO POSITIVO, EL LUGAR GEOMTRICO ES EL HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS O DOS MANTOS.
SIN CENTRO: 022 PzPyLxK
SI K Y L SON NULOS, EL LUGAR GEOMTRICO ES EL PLANO yx .
SI K L ES NULO, EL LUGAR GEOMTRICO ES UN CILINDRO PARABLICO.
SI K Y L TIENEN EL MISMO SIGNO, EL LUGAR GEOMTRICO ES UN PARABOLOIDE ELPTICO.
SI K Y L TIENEN DIFERENTE SIGNO, EL LUGAR GEOMTRICO ES UN PARABOLOIDE HIPERBLICO.
C O P A D I 11
FRMULAS DE DERIVACIN ORDINARIA
dxduc
dxdycxfucuy ;;
0; dxdyccy
1dxdyxy
u
dxdu
dxdyxfuuy
2;
dxduun
dxdynxfuuy nn 1;;
dx
dvdxdu
dxdy
xgvxfu
vuy
;
;
u f x dy dv duy uv u vv g x dx dx dx
2; v dx
dvudxduv
dxdy
xgvxfu
vuy
dxdu
uu
dxdyxfuuy ;
udxdu
dxdyxfuuy ;ln
eudxdu
dxdybxfuuy bb log;;log
dxdue
dxdyxfuey uu ;
12
dxduaa
dxdyaxfuay uu ln;;
dx
dvuudxduuv
dxdy
xgvxfu
uy vvv ln; 1
dxduu
dxdyxfuuseny cos;
dxduusen
dxdyxfuuy ;cos
dxduu
dxdyxfuuy 2sec;tan
dxduu
dxdyxfuuy 2csc;cot
dxduuu
dxdyxfuuy tansec;sec
dxduuu
dxdyxfuuy cotcsc;csc
21
;u
dxdu
dxdyxfuuangseny
21
;cosu
dxdu
dxdyxfuuangy
21;tan udxdu
dxdyxfuuangy
21;cot udxdu
dxdyxfuuangy
1
;sec2 uu
dxdu
dxdyxfuuangy
1
;csc2 uu
dxdu
dxdyxfuuangy
C O P A D I 13
FRMULAS BSICAS DE INTEGRACIN
k f u d u k f u d u f u g u du f u du g u du
Cudu
1;1
1
nCnuduu
nn
Cuudu ln
Cedue uu
C
aadua
uu ln
Cuduusen cos
Cusenduu cos
CuCuduu seclncoslntan
Cusenduu lncot
Cuuduu tanseclnsec
14
Cuuduu cotcsclncsc
Cuduu tansec 2
Cuduu cotcsc 2
Cuduuu sectansec
Cuduuu csccotcsc
Cauangsen
uadu 22
Cauangaau du tan122
C
au
angaauu
du sec1
22
Cau auaau du ln2122
C
uaua
auadu
ln2122
Cauuau
du 2222 ln
Cauuau
du 2222 ln
C O P A D I 15
S E R I E S I N F I N I T A S
SERIE TELESCPICA
1;11
1
S
nnn
SERIE GEOMTRICA
;0
n
nra CONVERGE SI 1r ; r
aS 1 DIVERGE SI 1r
SERIE ARMNICA
1
1n n
; DIVERGENTE
SERIE ARMNICA "" p
1
1n
pn ; 0 1p DIVERGE
1p CONVERGE
1
;1n
nnp SSRSnEST ACOTADO POR: 1
10 1 pnR pn
CONVERGENCIA O DIVERGENCIA
divergeSlim
convergeSSlima
nn
nn
nn
1
DONDE nS ES LA SUCESIN DE SUMAS PARCIALES
16
lim 0
lim 0
n nn
n nn
a es convergente a
a a es divergente
;
n n
n n n n
n
a b convergea y b convergen a b converge
c a converge c
;n n
n n n n
a diverge c a diverge c
a converge y b diverge a b diverge
PRUEBA DE LA INTEGRAL
SI f ES POSITIVA, CONTINUA Y DECRECIENTE PARA 1x ENTONCES LA SERIE ...)(...)2()1( nfff
1
1
)()
)()
divergenteesdxxfsidivergeii
econvergentesdxxfsiconvergei
PRUEBA DE LA COMPARACIN
SEAN nn bya SERIES DE TRMINOS POSITIVOS. ENTONCES:
)
)n n n n
n n n n
i si b converge y a b entonces a converge
ii si b diverge y a b entonces a diverge
PRUEBA DEL LMITE DEL COCIENTE
SEAN nn bya SERIES DE TRMINOS POSITIVOS. ENTONCES:
lim 0nn
n
las dos convergena k ob
las dos divergen
PRUEBA DE LA SERIE ALTERNADA
17
1 10
( 1)lim 0k k n
nnn
a aa es convergentea
CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL
n n
n n
nn
n
a es absolutamente convergente si a es convergente
a es absolutamente convergente a es convergente
a convergea es condicionalmente convergente si
a diverge
PRUEBA DE LA RAZN
SEA na UNA SERIE CON TRMINOS NO NULOS. ENTONCES:
1
1
1
) lim 1
) lim 1
) lim 1
nnn
n
nnn
n
nn
n
ai L a es absolutamente convergentea
aii L a es divergentea
aiii el criterio no decidea
PRUEBA DE LA RAZ
SEA na UNA SERIE INFINITA. ENTONCES:
) lim 1
) lim 1
) lim 1
nn nn
nn nn
nnn
i a L a es absolutamente convergente
ii a L a es divergente
iii a el criterio no decide
C O P A D I 18
SERIES DE POTENCIAS
UNA SERIE DE LA FORMA
0
2210
n
nn
nn xaxaxaaxa
ES CONOCIDA COMO SERIE DE POTENCIAS EN x
TEOREMA SI nn xa ES UNA SERIE DE POTENCIAS, ENTONCES UNA DE LAS SIGUIENTES AFIRMACIONES ES CIERTA:
- LA SERIE CONVERGE SLO SI 0x .
- LA SERIE ES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE PARA TODA x . - EXISTE UN NMERO POSITIVO r TAL QUE LA SERIE ES ABSOLUTAMENTE
CONVERGENTE SI rx Y DIVERGENTE SI rx
SI c ES UN NMERO REAL, UNA SERIE DE LA FORMA
0
2210
n
nn
nn cxacxacxaacxa
ES CONOCIDA COMO SERIE DE POTENCIAS EN cx
TEOREMA SI nn cxa ES UNA SERIE DE POTENCIAS, ENTONCES UNA DE LAS SIGUIENTES AFIRMACIONES ES CIERTA:
- LA SERIE CONVERGE SLO SI 0 cx , ESTO ES, SI cx .
- LA SERIE ES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE PARA TODA x . - EXISTE UN NMERO POSITIVO r TAL QUE LA SERIE ES ABSOLUTAMENTE
CONVERGENTE SI rcx Y DIVERGENTE SI rcx .
TEOREMA
SEA UNA SERIE DE POTENCIAS nn xa CON UN RADIO DE CONVERGENCIA NO NULO r Y CONSIDRESE LA FUNCIN f DEFINIDA POR:
0
2210
n
nn
nn xaxaxaaxaxf
PARA TODA x EN EL INTERVALO DE CONVERGENCIA. SI rxr , ENTONCES:
0
12321
1
1 32'1n
nn
n
nn
nnx xanxaxaaxanxaDxf
0 0
132
210
0
1
0 11
31
21
12
n
x nn
n
nnnn
xxa
nxaxaxax
na
dttadttf
NOTA. ES POSIBLE PROBAR QUE ESTAS DOS SERIES DE POTENCIAS TIENEN EL MISMO RADIO DE CONVERGENCIA QUE LA SERIE ORIGINAL nn xa .
19 TEOREMA. SERIE DE TAYLOR
SI f ES UNA FUNCIN TAL QUE
0n
nn cxaxf
PARA TODA x EN UN INTERVALO ABIERTO QUE CONTIENE A c , ENTONCES
nn cxn
cfcxcfcxcfcfxf!!2
''' 2
SE CONOCE COMO SERIE DE TAYLOR PARA xf EN c
TEOREMA. SERIE DE MACLAURIN
SI 0c EN LA SERIE DE TAYLOR, SE CONSIDERA ENTONCES A LA FUNCIN f TAL QUE
0n
nn xaxf
PARA TODA x EN UN INTERVALO ABIERTO rr, , Y ENTONCES nn x
nfxfxffxf
!0
!20''0'0 2
SE CONOCE COMO SERIE DE MACLAURIN PARA xf
POR LA FRMULA DE TAYLOR, SE TIENE QUE SU POLINOMIO DE GRADO ENSIMO EQUIVALE A LA FUNCIN MENOS EL RESIDUO, ES DECIR, QUE
xRxfxP nn DONDE
11
1 !
nn
nf z
R x x cn
PARA ALGN VALOR DE z ENTRE xyc . EN EL SIGUIENTE TEOREMA SE UTILIZA EL RESIDUO xRn PARA ESPECIFICAR LAS CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE UNA SERIE DE POTENCIAS REPRESENTATIVA DE LA
FUNCIN xf .
TEOREMA
SEA UNA FUNCIN f CON DERIVADAS DE TODOS LOS RDENES A TRAVS DEL INTERVALO QUE CONTIENE A c . ENTONCES, SI 0lim xR nn
PARA TODA x EN EL INTERVALO, ENTONCES LA FUNCIN xf ES REPRESENTADA POR LA SERIE DE TAYLOR PARA xf EN c .
C O P A D I 20
ALGUNAS FUNCIONES REPRESENTADAS POR SERIES DE POTENCIAS
nn xxxxxx
11111111 432 INTERVALO DE CONVERGENCIA: 2,0
nxxxxxx
x54321
11
INTERVALO DE CONVERGENCIA: 1,1 CONOCIDA POR ALGUNOS COMO SERIE GEOMTRICA
nn xxxxxxx 1111 5432
INTERVALO DE CONVERGENCIA: 1,1
nn xxxx
x2642
2 1111
INTERVALO DE CONVERGENCIA: 1,1
3 5 7 2 1
13! 5! 7! 2 1 !
nnx x x xsenx x
n
INTERVALO DE CONVERGENCIA: ,
2 4 6 2
cos 1 12! 4! 6! 2 !
nnx x x xx
n
INTERVALO DE CONVERGENCIA: ,
3 5 7 2 1
2 2 4 6 8 2 22 2 2 2 212! 4! 6! 8! 2 2 !
nn nsen x x x x x x
n
INTERVALO DE CONVERGENCIA: ,
3 5 2 1
2 2 4 6 22 2 2 2cos 1 12! 4! 6! 2 !
nn nx x x x x
n
INTERVALO DE CONVERGENCIA: , NOTA. EL TRMINO ENSIMO CONSIDERA A PARTIR DEL SEGUNDO TRMINO CON 1n
2 2 16 10 14
2 2 13! 5! 7! 2 1 !
nnx x x xsen x x
n
INTERVALO DE CONVERGENCIA: ,
21
4 8 12 4
2cos 1 12! 4! 6! 2 !
nnx x x xx
n
INTERVALO DE CONVERGENCIA: ,
3 5 7 2 1
3! 5! 7! 2 1 !
nx x x xsenhx xn
INTERVALO DE CONVERGENCIA: ,
2 4 6 2
cosh 12! 4! 6! 2 !
nx x x xxn
INTERVALO DE CONVERGENCIA: ,
2 13 5 7
2
2 !1 3 1 3 52 3 2 4 5 2 4 6 7 2 ! 2 1
n
n
n xx x xangsenx xn n
INTERVALO DE CONVERGENCIA: 1,1
121
753tan
12753
nxxxxxxang
nn
INTERVALO DE CONVERGENCIA: 1,1
!!3!2
132
nxxxxe
nx
INTERVALO DE CONVERGENCIA: ,
!!4!3!2
12864
22
nxxxxxe
nx
INTERVALO DE CONVERGENCIA: ,
nxxxxxx
nn 1141
31
211ln
1432
INTERVALO DE CONVERGENCIA: 2,0
11
4321ln
1432
nxxxxxx
nn
INTERVALO DE CONVERGENCIA: 1,1
!4
321!3
21!2111
432 xkkkkxkkkxkkkxx k
INTERVALO DE CONVERGENCIA: *1,1 * LA CONVERGENCIA EN 1x DEPENDE DEL VALOR DE "" k
C O P A D I 22
FUNCIONES HIPERBLICAS: IDENTIDADES, DERIVACIN E INTEGRACIN
IDENTIDADES FUNDAMENTALES
xsenhxxxsenhxxsenhxx
xxsenhxhxxhxxsenhx
senhxsenhyyxyxsenhxsenhyyxyx
xsenhyysenhxyxsenhxsenhyysenhxyxsenh
22
21
212
21
212
22
22
22
cosh2coshcosh22
2coshcosh
2cosh1csccoth1sectanh1cosh
coshcoshcoshcoshcoshcosh
coshcoshcoshcosh
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBLICAS
1;
1'';coth
1;1
'';tanh
1;1
'';cosh
1'';
'cothcsc';csc'tanhsec';sec
'csc';coth'sec';tanh
'';cosh'cosh';
21
21
2
1
2
1
2
2
uuuyxfuuy
uuuyxfuuy
uuuyxfuuy
uuyxfuusenhy
uuhuyxfuhuyuuhuyxfuhuy
uuhyxfuuyuuhyxfuuy
usenhuyxfuuyuuyxfusenhuy
23
0;
1'';csc
10;1
'';sec
2
1
2
1
uuu
uyxfuuhy
uuu
uyxfuuhy
INTEGRACIN DE Y CON LAS FUNCIONES HIPERBLICAS
;lncosh
ln
csccothcsc
sectanhsec
cothcsc
tanhsec
tanhlncsc
tanhsec
lncoth
coshlntanh
cosh
cosh
221
22
221
22
2
2
2
1
CauuCau
audu
CauuCausenh
audu
Chuduuhu
Chuduuhu
Cuduuh
Cuduuh
Cduhu
Csenhuduhu
Cusenhduu
Cuduu
Csenhuduu
Cudusenhu
u
sta, donde u > a > 0
1
2 21
1 1tanh ln ;2
1 1coth ln ;2
u a uC C u aa a a a udu
a u u u aC C u aa a a u a
sta en forma compacta es:
auCuaua
auadu
;ln2122
auCua
aC
au
hauau
du
uCuasenh
aC
au
hauau
du
0;cosh1sec1
0;1csc1
11
22
11
22
C O P A D I 24
MXIMOS Y MNIMOS. UNA O MS VARIABLES
FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE ESCALAR xfy
PUNTOS CRTICOS
SON AQUELLOS PUNTOS DONDE f ES CONTINUA Y LA DERIVADA DE LA FUNCIN ES NULA O NO EXISTE, ES DECIR, DONDE
' 0dy dyf x o no existedx dx
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA CADA PUNTO CRTICO 0'0' xfaxf MXIMO RELATIVO 0'0' xfaxf MNIMO RELATIVO
SI NO HAY CAMBIO DE SIGNO NO HAY EXTREMO RELATIVO
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA CADA PUNTO CRTICO 0'' xf MNIMO RELATIVO 0'' xf MXIMO RELATIVO
SI 0'' xf NO SE PUEDE APLICAR ESTE CRITERIO
PUNTOS DE INFLEXIN Y CONCAVIDAD SON AQUELLOS PUNTOS DONDE f ES CONTINUA Y LA SEGUNDA DERIVADA ES NULA
O NO EXISTE Y DONDE LA CONCAVIDAD DE UNA CURVA CAMBIA
UNA CURVA ES CNCAVA HACIA ARRIBA CUANDO SUS TANGENTES ESTN POR DEBAJO DE ELLA Y CNCAVA HACIA ABAJO CUANDO SUS TANGENTES ESTN POR ENCIMA DE ELLA 0''0'' xfaxf PUNTO DE INFLEXIN
0''0'' xfaxf PUNTO DE INFLEXIN
FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL yxfz ,
PUNTOS CRTICOS O ESTACIONARIOS SON AQUELLOS EN LOS CUALES z ES CONTINUA
Y LAS PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES yzy
xz
SE ANULAN O NO EXISTEN
25 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
HESSIANO
22
2
2
2
2
,
xyz
yz
xzyxg
0,0,0, 000000 yxfoyxfyyxg yyxx MXIMO RELATIVO 0,0,0, 000000 yxfoyxfyyxg yyxx MNIMO RELATIVO 0, 00 yxg PUNTO SILLA
0, 00 yxg EL CRITERIO NO DECIDE
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA (FORMA MATRICIAL) PARA CADA PUNTO CRTICO SE CALCULA LA MATRIZ HESSIANA
yyyx
xyxx
ffff
H
SE CALCULA E IGUALA A CERO EL DETERMINANTE 0det IH LOS SIGNOS DE LOS VALORES CARACTERSTICOS 21 y DETERMINAN
LA NATURALEZA DEL PUNTO CRTICO: 00 21 y MNIMO RELATIVO 00 21 y MXIMO RELATIVO
00
00
2
1
2
1
o PUNTO SILLA
SI POR LO MENOS UN VALOR CARACTERSTICO ES CERO, EL CRITERIO NO DECIDE
GENERALIZACIN
SEAN: LA FUNCIN nf : CON PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES CONTINUAS; nxxxfrf ,,, 21 EN UNA REGIN D DEL ESPACIO n-DIMENSIONAL; Dr 0 UN PUNTO CRTICO TAL QUE 00 rf ix Y H LA MATRIZ HESSIANA DEFINIDA POR:
ijjiji
ji
nnnn
n
n
ffxxff
fff
ffffff
H
;;
2
21
22221
11211
ENTONCES: 0) rfi ES UN MXIMO RELATIVO DE f SI LOS VALORES CARACTERSTICOS DE LA MATRIZ HESSIANA VALUADA EN 0r SON TODOS NEGATIVOS. 0) rfii ES UN MNIMO RELATIVO DE f SI LOS VALORES CARACTERSTICOS DE LA MATRIZ HESSIANA VALUADA EN 0r SON TODOS POSITIVOS. 0) rfiii ES UN PUNTO SILLA (MINIMXIMO) SI EXISTEN VALORES CARACTERSTICOS DE LA
MATRIZ HESSIANA VALUADA EN 0r CON SIGNOS DIFERENTES. )iv EL CRITERIO NO DECIDE SI UNO POR LO MENOS DE LOS VALORES CARACTERSTICOS DE
LA MATRIZ HESSIANA VALUADA EN 0r VALE CERO.
26 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
SEA nxxxfrfz ,,, 21 UNA FUNCIN ESCALAR CONTINUA Y DIFERENCIABLE EN UNA REGIN CERRADA nD DONDE f EST SUJETA A LAS CONDICIONES:
00,,,
00,,,00,,,
21
212
211
oxxxg
oxxxgoxxxg
nm
n
n
nm
Y SEA EL PROBLEMA: OPTIMIZAR LA FUNCIN OBJETIVO: rfz
SUJETA A LAS RESTRICCIONES: nmiorgi ,...,2,1;00
SI EXISTE UN EXTREMO RELATIVO DE f EN 0r , ENTONCES 0L , ES DECIR, ni
xL
i
,,2,10
Y ADEMS nmkrgk ,,2,10 ESTAS DOS EXPRESIONES FORMAN UN SISTEMA DE nm ECUACIONES,
0
0
11
11 111
nnn xmmxx
xmmxx
ggf
ggf
0,,,
0,,,
21
211
mm
n
xxxg
xxxg
DONDE m ,,, 21 SE CONOCEN COMO MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
A PARTIR DE ESTE SISTEMA PUEDEN SER DETERMINADAS LAS INCGNITAS mnxxx ,,,,,,, 2121 . AQU, LOS VALORES DE nxxx ,,, 21 SON LAS COORDENADAS
DEL PUNTO EN EL QUE PUEDE HABER UN EXTREMO CONDICIONADO.
PARA EL CASO DE UNA FUNCIN yxfz , Y UNA RESTRICCIN 0,, zyxg , EL SISTEMA A RESOLVER SERA EL SIGUIENTE: 0,,;0;0;0 zyxggfgfgf zzyyxx
Y PARA EL CASO DE LA MISMA FUNCIN yxfz , PERO CON DOS RESTRICCIONES,
EL SISTEMA SERA: 0,,;0,,;;; 21221122112211 zyxgzyxgggfggfggf zzzyyyxxx
C O P A D I 27
GEOMETRA DIFERENCIAL. FRMULAS DE FRENET-SERRET CINEMTICA DE UNA PARTCULA
tr ECUACIN VECTORIAL DE UNA CURVA EN 3
s PARMETRO LONGITUD DE ARCO
VECTOR TANGENTE UNITARIO: dsrd
dtrd
dtrd
T YA QUE dtrd
dtds
VECTOR NORMAL UNITARIO:
dsTd
dsTd
N ; CURVATURA: dsTdk ; RADIO DE CURVATURA:
k1
VECTOR BINORMAL UNITARIO: NTB
NyT FORMAN EL PLANO OSCULADOR
ByT FORMAN EL PLANO RECTIFICADOR ByN FORMAN EL PLANO NORMAL
TORSIN = ;dsBd RADIO DE TORSIN:
1
FRMULAS DE FRENET-SERRET
NdsBd
BTkdsNd
NkdsTd
tr ECUACIN VECTORIAL DE UNA CURVA EN 3
t PARMETRO CUALQUIERA
VECTOR TANGENTE UNITARIO : ''
rrT
28
VECTOR NORMAL UNITARIO: ''''''''
rrrrrr
N
VECTOR BINORMAL UNITARIO: ''''''
rrrr
B
CURVATURA: 3
'
'''
r
rrk
; RADIO DE CURVATURA: k1
TORSIN : 2'''
''''''
rr
rrr
; RADIO DE TORSIN:
1
CINEMTICA DE UNA PARTCULA
SEA ktzjtyitxtr EL VECTOR DE POSICIN DE UNA PARTCULA EN MOVIMIENTO CON RESPECTO A UN SISTEMA DE REFERENCIA Y SEA "" t UN PARMETRO.
VELOCIDAD: dtrdv ; RAPIDEZ: vv ; ACELERACIN: 2
2
dtrd
dtvda
EL VECTOR VELOCIDAD DE LA PARTCULA SIEMPRE ES TANGENTE
A LA CURVA Y TIENE LA DIRECCIN DEL MOVIMIENTO.
COMPONENTES DE LA ACELERACIN
22 vay
dtdvaNvT
dtdva NT
Ta (ACELERACIN TANGENCIAL) Y Na (ACELERACIN NORMAL)
LA ACELERACIN DE LA PARTCULA ES UN VECTOR SITUADO EN EL PLANO DE LA TANGENTE Y LA NORMAL A LA CURVA (PLANO OSCULADOR) CON COMPONENTES TANGENCIAL
Y NORMAL DADAS POR dtdv Y
2v RESPECTIVAMENTE.
LA ACELERACIN ES NICAMENTE TANGENCIAL CUANDO EL MOVIMIENTO ES RECTILNEO ( )
Y ES NICAMENTE NORMAL CUANDO LA RAPIDEZ ES CONSTANTE ( 0dtdv ).
COPADI 29
LONGITUDES, REAS Y VOLMENES: LONGITUD DE ARCO, REA BAJO LA CURVA, REA ENTRE DOS CURVAS, REAS DE SUPERFICIES,VOLMENES
LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA
SEA f UNA FUNCIN CUYA GRFICA ES UNA CURVA SUAVE C , CONTINUA EN EL INTERVALO ba, . LA LONGITUD DE ARCO DE LA GRFICA DE f , DEL PUNTO afaA , AL PUNTO bfbB , EST DADA
POR: ba dxxfL 21
NOTA. TAMBIN SE PUDE REALIZAR EL CLCULO EN TRMINOS DE LA VARIABLE "" y .
LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA EXPRESADA EN FORMA PARAMTRICA SEA UNA FUNCIN CUYA GRFICA ES UNA CURVA SUAVE (CONTINUA) C DADA PARAMTRICAMENTE POR LAS ECUACIONES btatgyytfx ; ; SI C NO SE CORTA A S MISMA, EXCEPTO POSIBLEMENTE EN btyat , ENTONCES LA LONGITUD L DE LA CURVA C EST DADA POR:
b
a
b
adt
dtdy
dtdxdttgtfL
2222
LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA EN COORDENADAS POLARES
SI UNA CURVA SUAVE C ES LA GRFICA DE UNA FUNCIN CUYA ECUACIN POLAR ES fr DE A ES POSIBLE CALCULAR SU LONGITUD L MEDIANTE LA EXPRESIN:
dd
drrL2
2
REA BAJO LA CURVA
SI f ES UNA FUNCIN INTEGRABLE Y 0xf PARA TODA bax , , ENTONCES EL REA DE LA REGIN LIMITADA POR LA GRFICA DE f , EL EJE DE LAS ABSCISAS
Y LAS RECTAS bxyax , SE OBTIENE A TRAVS DE: ba dxxfA
NOTA. TAMBIN SE PUDE REALIZAR EL CLCULO EN TRMINOS DE LA VARIABLE "" y .
REA ENTRE DOS CURVAS SI f Y g SON DOS FUNCIONES CONTINUAS Y xgxf PARA TODA bax , , ENTONCES EL REA
DE LA REGIN LIMITADA POR LAS GRFICAS DE f Y g Y LAS RECTAS bxyax , EST DADA POR:
ba dxxgxfA
30 REA DE UNA REGIN EN COORDENADAS POLARES
SI LA FUNCIN f (EN COORDENADAS POLARES) ES CONTINUA Y 0f EN EL INTERVALO , , DONDE 20 , ENTONCES EL REA DE LA REGIN LIMITADA POR LAS GRFICAS
DE , ,r f y SE CALCULA POR MEDIO DE LA EXPRESIN. drdfA 2221
REA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIN SI f ES UNA CURVA SUAVE Y 0xf EN EL INTERVALO ba, , ENTONCES EL REA DE LA SUPERFICIE
GENERADA AL GIRAR LA GRFICA DE f ALREDEDOR DEL EJE DE LAS ABSCISAS, SE DETERMINA CON:
ba dxxfxfS 2'12 NOTA. SI LA FUNCIN ES NEGATIVA EN PARTE DEL INTERVALO, ENTONCES
SE PODRA UTILIZAR LA MISMA EXPRESIN CON EL VALOR ABSOLUTO DE xf . NOTA. TAMBIN SE PUDE REALIZAR EL CLCULO EN TRMINOS DE LA VARIABLE "" y .
REA DE UNA SUPERFICIE SEA UNA FUNCIN ESCALAR DE VARIABLE VECTORIAL 0, yxf DEFINIDA EN UNA REGIN R EN EL
PLANO yx DONDE f TIENE PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES EN LA REGIN. ENTONCES EL REA DE LA SUPERFICIE (GRFICA DE f ) SE CALCULA MEDIANTE:
R
dAyyxf
xyxfA
22 ,,1
NOTA. ESTA FRMULA TAMBIN PUEDE UTILIZARSE CUANDO LA FUNCIN ES NEGATIVA.
VOLUMEN DE UN SLIDO DE REVOLUCIN SEA UNA FUNCIN f (EN EL PLANO yx ) CONTINUA EN EL INTERVALO ba, , Y SEA R LA REGIN
LIMITADA POR LA GRFICA DE f , EL EJE DE LAS ABSCISAS Y LAS RECTAS bxyax . EL VOLUMEN DEL SLIDO DE GENERACIN GENERADO AL GIRAR LA REGIN R ALREDEDOR DEL EJE x ES.
dxxfV ba 2
NOTA. TAMBIN SE PUEDE REALIZAR EL CLCULO EN TRMINOS DE LA VARIABLE "" y .
VOLUMEN DE UN SLIDO MEDIANTE UNA INTEGRAL DOBLE SEA UNA FUNCIN ESCALAR DE VARIABLE VECTORIAL EN 3 TAL QUE 0, yxf PARA TODO yx,
EN UNA REGIN R DEL PLANO yx . EL VOLUMEN DEL SLIDO BAJO LA GRFICA DE yxfz , Y SOBRE LA REGIN R ES:
dAyxfVR ,
VOLUMEN DE UN SLIDO MEDIANTE UNA INTEGRAL TRIPLE SEA UNA FUNCIN ESCALAR DE VARIABLE VECTORIAL f EN 4 TAL QUE 1,, zyxf A TRAVS DE
UNA REGIN VOLUMTRICA Q . ENTONCES, EL VOLUMEN DE ESTA REGIN Q EST DADO POR LA INTEGRAL TRIPLE:
Q
dVV
C O P A D I 31
MASA, MOMENTOS, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE
MOMENTO DE UN SISTEMA EN 1
EL MOMENTO CON RESPECTO AL ORIGEN DE UN SISTEMA DE MASAS nmmm ,...,, 21 , LOCALIZADAS EN LOS PUNTOS nxxx ,...,, 21 DEL EJE DE LAS ABSCISAS, EST DADO POR
nn xmxmxmM ...22110 SI LA MASA TOTAL DEL SISTEMA ES nmmmm ...21 , SU CENTRO DE MASA EST DADO POR
mM
x 0
MOMENTOS Y CENTRO DE MASA DE UN SISTEMA EN 2
SI SE TIENE UN SISTEMA DE MASAS PUNTUALES nmmm ,...,, 21 LOCALIZADAS EN LOS PUNTOS
nn yxyxyx ,,,,,, 2211 EN UN PLANO COORDENADO Y SEA
n
kkmm
1 LA MASA TOTAL DEL SISTEMA, ENTONCES:
A) EL MOMENTO DEL SISTEMA CON RESPECTO AL EJE x EST DADO POR:
n
kkkx ymM
1
B) EL MOMENTO DEL SISTEMA CON RESPECTO AL EJE y EST DADO POR:
n
kkky xmM
1
C) LAS COORDENADAS DEL CENTRO DE MASA DEL SISTEMA SON:
mMyy
mM
x xy
MOMENTOS, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE DE UNA LMINA
CONSIDRESE UNA LMINA, UNA PLACA PLANA O BIEN, UNA DISTRIBUCIN PLANA DE MASA QUE TIENE LA FORMA DETERMINADA POR UNA CIERTA REGIN R EN EL PLANO xy . SI ESTA PLACA PLANA TIENE UNA DENSIDAD SUPERFICIAL DE MASA DADA
POR yx, , FUNCIN CONTINUA EN R , Y SU MASA EST DADA POR R
dAyxm , , ENTONCES: A) SU PRIMER MOMENTO O MOMENTO ESTTICO CON RESPECTO AL EJE x ES:
R
x dAyxyM , B) SU PRIMER MOMENTO O MOMENTO ESTTICO CON RESPECTO AL EJE y ES:
R
y dAyxxM , C) LAS COORDENADAS DE SU CENTRO DE MASA SON:
R
Rx
R
Ry
dAyx
dAyxy
mMyy
dAyx
dAyxx
mM
x,
,
,
,
32 D) SI LA DENSIDAD DE LA PLACA ES CONSTANTE SE DICE QUE STA ES HOMOGNEA Y LAS COORDENADAS
DE SU CENTRO DE MASA, QUE SE CONOCE COMO CENTROIDE, ESTN DADAS POR LAS EXPRESIONES SIGUIENTES:
R
Rx
R
Ry
dA
dAy
mMyy
dA
dAx
mM
x
DE LAS CUALES SE OBTIENE QUE: RAydAyyRAxdAx
RR
DONDE
R
dARA ES EL REA DE LA REGIN, ES DECIR, DE LA PLACA.
E) SUS SEGUNDOS MOMENTOS O MOMENTOS DE INERCIA, CON RESPECTO A LOS EJES yyx , AS COMO CON RESPECTO AL ORIGEN, CONOCIDO STE LTIMO COMO MOMENTO POLAR DE INERCIA, ESTN DADOS, RESPECTIVAMENTE
POR: yxO
Ry
Rx IIdAyxIdAyxxIdAyxyI
2222 ;,;,
MOMENTOS, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE DE UN CUERPO
SI UN SLIDO TIENE LA FORMA DE UNA REGIN Q TRIDIMENSIONAL, ES DECIR, VOLUMTRICA, Y SU DENSIDAD ES zyx ,, , FUNCIN CONTINUA EN Q , ENTONCES:
A) SU MASA EST DADA POR:
Q
dVzyxM ,, B) SUS MOMENTOS CON RESPECTO A LOS PLANOS COORDENADOS yzyxzxy , SON:
Q Q
yzQ
xzxy dVzyxxMdVzyxyMdVzyxzM ,,;,,;,, C) LAS COORDENADAS DE SU CENTRO DE MASA SON:
mM
zmMy
mM
x xyxzyz ;; D) SI Q ES HOMOGNEA, ENTONCES LA DENSIDAD ES CONSTANTE
Y LAS COORDENADAS DE SU CENTRO DE MASA O CENTROIDE SON:
Q
Q
Q
Q
Q
Q
dV
dVzz
dV
dVyy
dV
dVxx ;;
DE DONDE: Q Q
QVzdVzQVydVyQVxdVx ;;
DONDE Q
dVQV ES EL VOLUMEN DE LA REGIN, ES DECIR, DEL SLIDO.
E) SUS SEGUNDOS MOMENTOS O MOMENTOS DE INERCIA, CON RESPECTO A LOS EJES zyyx , , AS COMO CON RESPECTO AL ORIGEN, CONOCIDO STE LTIMO COMO MOMENTO POLAR DE INERCIA, ESTN DADOS, RESPECTIVAMENTE
POR: Q
zQ Q
yx dVzyxyxIdVzyxzxIdVzyxzyI ,,;,,;,,222222
Q
O dVzyxI222
C O P A D I 33
ALGUNOS CASOS DE DERIVACIN EXPLCITA EN FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL
SEA yxfz , ; ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES SON:
yzy
xz
Y LA DIFERENCIAL TOTAL EST DADA POR:
dyyzdx
xzdz
SEA uyxfz ,, ; ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES SON:
uzy
yz
xz
,
Y SU DIFERENCIAL TOTAL EST DADA POR:
duuzdy
yzdx
xzdz
SEA yxfz , DONDE tgytfx ; SUS DERIVADAS PARCIALES SON:
xzy
xz
SU DERIVADA TOTAL EST DADA POR:
dtdy
yz
dtdx
xz
dtdz
Y LA DIFERENCIAL TOTAL ES:
dyyzdx
xzdz
DONDE dttgdyydttfdx ''
SEA uyxfz ,, DONDE tkuthytgx ;; SUS DERIVADAS PARCIALES SON:
uzy
yz
xz
,
SU DERIVADA TOTAL EST DADA POR:
dtdu
uz
dtdy
yz
dtdx
xz
dtdz
Y SU DIFERENCIAL TOTAL ES:
duuzdy
yzdx
xzdz
DONDE dttkduydtthdydttgdx '';'
34 SEA tsgxyxfz ,
ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES CON RESPECTO A tys SON:
tx
dxdz
tzy
sx
dxdz
sz
Y SU DIFERENCIAL EST DADA POR: dxxfdz ' DONDE dt
txds
sxdx
SEA yxfz , DONDE vuhyyvugx ,,
ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES CON RESPECTO A vuyx ,,, SON:
yz
xz
;
vy
yz
vx
xz
vz
uy
yz
ux
xz
uz
; Y SU DIFERENCIAL TOTAL EST DADA POR:
dyyzdx
xzdz
DONDE
dvvydu
uydyydv
vxdu
uxdx
SEA uyxfz ,, DONDE srkusrhysrgx ,;,;,
ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES CON RESPECTO A sruyx ,,,, SON:
uz
yz
xz
;;
su
uz
sy
yz
sx
xz
sz
ru
uz
ry
yz
rx
xz
rz
; Y SU DIFERENCIAL TOTAL EST DADA POR:
duuzdy
yzdx
xzdz
DONDE
dssudr
ruduyds
sydr
rydyds
sxdr
rxdx
;
C O P A D I 35
ALGUNOS CASOS DE DERIVACIN IMPLCITA EN FUNCIONES ESCALARES DE UNA VARIABLE Y DE VARIABLE VECTORIAL
UNA ECUACIN CON DOS VARIABLES
0, yxF x
y
y
x
FF
dydx
FF
dxdy ;
UNA ECUACIN CON TRES VARIABLES
0,, zyxF
z
y
z
x
FF
yzy
FF
xzyxfz
,
x
z
x
y
FF
zxy
FF
yxzyfx
,
y
z
y
x
FF
zyy
FF
xyzxfy
,
DOS ECUACIONES CON TRES VARIABLES
0,,;0,, zyxGzyxF
zyGFJ
xyGFJ
dxdzy
GGFFGGFF
zyGFJ
zxGFJ
dxdy
zy
zy
zx
zx
,,,,
,,,,
yxGFJ
zxGFJ
dzdyy
yxGFJ
yzGFJ
dzdx
,,,,
,,,,
zxGFJ
yxGFJ
dydzy
zxGFJ
zyGFJ
dydx
,,,,
,,,,
NOTA. COMO SE OBSERVA, SE UTILIZAN DETERMINANTES JACOBIANOS, FORMADOS POR
LAS DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES, CON RESPECTO A LAS VARIABLES DE LAS CUALES DEPENDEN.
36 DOS ECUACIONES CON CUATRO VARIABLES
0,,,;0,,, vuyxGvuyxF
yxGFJ
vxGFJ
vyy
yxGFJ
uxGFJ
uy
yxGFJ
yvGFJ
vxy
yxGFJ
yuGFJ
ux
vugyvufx
,,,,
,,,,
,,,,
,,,,
,,
vuGFJ
yuGFJ
yvy
vuGFJ
xuGFJ
xv
vuGFJ
vyGFJ
yuy
vuGFJ
vxGFJ
xu
yxgvyxfu
,,,,
,,,,
,,,,
,,,,
,,
NOTA. SE PROCEDERA DE MANERA SEMEJANTE CON TODAS LAS COMBINACIONES POSIBLES DE DOS VARIABLES DEPENDIENTES Y DOS INDEPENDIENTES.
TRES ECUACIONES CON CINCO VARIABLES
0,,,,;0,,,,;0,,,, vuzyxHvuzyxGvuzyxF
zyxHGFJ
vyxHGFJ
vzy
zyxHGFJ
uyxHGFJ
uz
zyxHGFJ
zvxHGFJ
vyy
zyxHGFJ
zuxHGFJ
uy
zyxHGFJ
zyvHGFJ
vxy
zyxHGFJ
zyuHGFJ
ux
vuhzvugyvufx
,,,,,,,,
,,,,,,,,
,,,,,,,,
,,,,,,,,
,,,,,,,,
,,,,,,,,
,,,
NOTA. SE PROCEDERA DE MANERA SEMEJANTE CON TODAS LAS COMBINACIONES POSIBLES DE TRES VARIABLES DEPENDIENTES Y DOS INDEPENDIENTES.
C O P A D I 37
COORDENADAS POLARES, CILNDRICAS Y ESFRICAS
COORDENADAS POLARES
ECUACIONES DE TRANSFORMACIN
LAS COORDENADAS CARTESIANAS yx, Y LAS COORDENADAS POLARES ,r SE RELACIONAN A TRAVS DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:
senryrx ;cos 222;tan yxr
xyang
ECUACIN DE LA RECTA EN COORDENADAS POLARES
pr cos
DONDE r ES LA DISTANCIA DEL POLO A UN PUNTO ,rP DE LA RECTA Y p ES LA DISTANCIA DEL POLO AL PUNTO ,pN DE LA RECTA, MEDIDA SOBRE LA PERPENDICULAR A ELLA.
ECUACIN DE LA CIRCUNFERENCIA EN COORDENADAS POLARES
222 cos2 acrcr DONDE r ES LA DISTANCIA DEL POLO AL PUNTO ,rP DE LA CIRCUNFERENCIA, c ES LA
DISTANCIA DEL POLO A SU CENTRO EN EL PUNTO ,cC Y a ES SU RADIO.
ECUACIONES POLARES DE LAS CNICAS
1 cos 1e d e dr o re e sen
DONDE e ES LA EXCENTRICIDAD DE LA CNICA Y d ES LA DISTANCIA DEL POLO A LA RECTA DIRECTRIZ. REPRESENTA A UNA CNICA, LA CUAL SER PARBOLA SI 1e , ELIPSE SI 10 e E HIPRBOLA SI
1e
PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE
LA PENDIENTE m DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA DE ECUACIN fr EN EL PUNTO ,rP EST DADA POR
sencos
cossen
rddr
rddr
m
38 COORDENADAS CILNDRICAS
ECUACIONES DE TRANSFORMACIN
LAS COORDENADAS CARTESIANAS zyx ,, Y LAS COORDENADAS CILNDRICAS z,, SE RELACIONAN A TRAVS DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:
zzxyangtanyx
zzyx
;;
;sen;cos
222
DONDE CONSTANTE REPRESENTA UNA FAMILIA DE CILINDROS CUYO EJE DE SIMETRA ES EL EJE z , CONSTANTE REPRESENTA UNA FAMILIA DE SEMIPLANOS VERTICALES QUE CONTIENEN AL EJE z Y z CONSTANTE REPRESENTA UNA FAMILIA DE PLANOS HORIZONTALES PARALELOS AL PLANO xy .
NOTA. SE TRATA DE UN SISTEMA COORDENADO CURVILNEO ORTOGONAL.
DIFERENCIAL DE LONGITUD DE ARCO
22222 dzddds NOTA. SI 0z , SE TIENE EL SISTEMA ORTOGONAL PLANO DENOMINADO
SISTEMA COORDENADO POLAR.
DIFERENCIAL DE REA
dddA (SISTEMA COORDENADO POLAR)
DIFERENCIAL DE VOLUMEN
dzdddV
GRADIENTE
zez
ee
1
DIVERGENCIA
3211 fzffF
ROTACIONAL
321
1
fffz
eee
F
z
39 LAPLACIANO
zz
112
NOTA. zefefefFyz 321,,
INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS CILNDRICAS
Q
z
z
z
z
z
zdzddzfdVzf 2
1
2
1
2
1
,
,,,,,
DONDE ES EL FACTOR DE ESCALA O JACOBIANO DE LA TRANSFORMACIN DE COORDENADAS.
COORDENADAS ESFRICAS
ECUACIONES DE TRANSFORMACIN
LAS COORDENADAS CARTESIANAS zyx ,, Y LAS COORDENADAS ESFRICAS ,,r SE RELACIONAN A TRAVS DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:
xyang
zyxzangzyxr
rzsenrsenysenrx
tan;cos;
cos;;cos
222
2222
DONDE r CONSTANTE, REPRESENTA UNA FAMILIA DE ESFERAS CON CENTRO EN EL ORIGEN,
CONSTANTE REPRESENTA UNA FAMILIA DE SEMICONOS CON EL EJE z COMO EJE DE SIMETRA Y CONSTANTE, REPRESENTA UNA FAMILIA DE SEMIPLANOS VERTICALES QUE CONTIENEN AL EJE z .
DIFERENCIAL DE LONGITUD DE ARCO
2222222 dsenrdrdrds
DIFERENCIAL DE VOLUMEN
dddrsenrdV 2
GRADIENTE
e
rsene
re
rr
11
40 DIVERGENCIA
32122
1 rfsenrfsenfrrsenr
F
ROTACIONAL
senrsenrfrff
r
ersenere
F
r
2
321
1
LAPLACIANO
sensenrsenrrsenr
11 22
2
NOTA. efefefFyr r 321,,
INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS ESFRICAS
21 21 21 ,, 2,,,, rrQ
dddrsenrrfdVrf
DONDE sen2r ES EL FACTOR DE ESCALA O JACOBIANO DE LA TRANSFORMACIN DE COORDENADAS.
C O P A D I 41
OPERADORES VECTORIALES, GRADIENTE, DIVERGENCIA, ROTACIONAL Y LAPLACIANO, EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES
TEOREMA. GRADIENTE EN COORDENADAS CURVILNEAS
SEAN wvu ,, UNA FUNCIN ESCALAR DIFERENCIABLE Y wvuzzwvuyywvuxx ,,,,.,,,
LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIN DE UN SISTEMA COORDENADO CURVILNEO ORTOGONAL. ENTONCES EL GRADIENTE DE EN ESTE SISTEMA EST DADO POR:
w
w
v
v
u
u
ewh
evh
euh
111
TEOREMA. DIVERGENCIA EN COORDENADAS CURVILNEAS
SEA wvu ewvuewvuewvu ,,,,,, 321 UNA FUNCIN VECTORIAL DIFERENCIABLE EN EL SISTEMA
CURVILNEO ORTOGONAL DE VECTORES BASE wvu eyee , . ENTONCES LA DIVERGENCIA DE ESTE SISTEMA ES:
3211 vuwuwv
wvu
hhw
hhv
hhuhhh
TEOREMA. ROTACIONAL EN COORDENADAS CURVILNEAS
SEA wvu ewvuewvuewvu ,,,,,, 321 UNA FUNCIN VECTORIAL DIFERENCIABLE EN EL SISTEMA
CURVILNEO ORTOGONAL DE VECTORES BASE wvu eyee , . ENTONCES EL ROTACIONAL EN ESTE SISTEMA ES:
wuvvu
vwuwu
uvwwv
ehv
huhh
ehu
hwhh
ehw
hvhh
123123 111
TEOREMA. LAPLACIANO EN COORDENADAS CURVILNEAS
SEA wvu ,, UNA FUNCIN ESCALAR DIFERENCIABLE DOS VECES Y wvuzzwvuyywvuxx ,,,,,,,,
LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIN DE UN SISTEMA COORDENADO CURVILNEO ORTOGONAL. ENTONCES, EL LAPLACIANO DE EN ESTE SISTEMA EST DADO POR:
whhh
wvhhh
vuhhh
uhhh wvu
v
wu
u
wv
wvu
12
NOTA. EN ESTAS EXPRESIONES, wrh
vrh
urh wvu
;; SON LOS FACTORES DE ESCALA.
C O P A D I 42
TEOREMAS DE GREEN, STOKES Y GAUSS
TEOREMA DE GREEN
SEA R UNA REGIN LIMITADA POR UNA CURVA SIMPLE CERRADA C. SI
xN
yMyxNyxM
,,,,, SON FUNCIONES CONTINUAS SOBRE R,
ENTONCES SE CUMPLE QUE:
C R
dAyM
xNdyNdxM
FORMAS ALTERNATIVAS DEL TEOREMA DE GREEN
CR
CR
dAFdivNF
dAkFrotrdF
INTEGRAL DE LNEA PARA EL REA DE UNA REGIN
SI R ES UNA REGIN LIMITADA POR UNA CURVA SIMPLE CERRADA C,
ENTONCES EL REA DE R EST DADA POR:
C
dyxdxyA21
TEOREMA DE STOKES
SEA S UNA SUPERFICIE TAL QUE SU PROYECCIN SOBRE LOS PLANOS , ,XY XZ YZ SON REGIONES LIMITADAS POR CURVAS SIMPLES CERRADAS. SEA TAMBIN zyxFF ,, UN
CAMPO VECTORIAL CONTINUO Y DIFERENCIABLE DOS VECES. Y SUPNGASE QUE C ES UNA CURVA SIMPLE CERRADA QUE LIMITA A LA SUPERFICIE S. ENTONCES SE CUMPLE QUE.
CSS
rdFdSNFdSNFrot
DONDE N ES UN VECTOR UNITARIO NORMAL A LA SUPERFICIE S
Y dS ES EL DIFERENCIAL DE REA DE S.
43 Y, SI
kjinykzyxOjzyxNizyxMF coscoscos,,,,,,
ENTONCES ESTE TEOREMA TAMBIN SE PUEDE EXPRESAR COMO:
dSMNOMNOdzOdyNdxMS
yxxzzyC coscoscos
TEOREMA DE GAUSS
SI LA FUNCIN VECTORIAL kzyxfjzyxfizyxfzyxF ,,,,,,,, 321 TIENE PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES CONTINUAS EN UNA REGIN R DEL ESPACIO 3 , LIMITADA POR UNA SUPERFICIE REGULAR S, ENTONCES LA INTEGRAL DE VOLUMEN DE LA DIVERGENCIA DE F DENTRO DE S
ES IGUAL A LA INTEGRAL DE SUPERFICIE EXTERNA DE F SOBRE S, ES DECIR:
RS
dVFdivdSNF
Y, SI
kjiN coscoscos
ES UN VECTOR UNITARIO NORMAL A LA SUPERFICIE S,
ENTONCES ESTE TEOREMA TAMBIN SE PUEDE EXPRESAR COMO:
RS
dVzf
yf
xfdSfff 321321 coscoscos
C O P A D I 44
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
0; ttf 0 dtetfsF st RESTRICCIONES EN "" s t (FUNCIN DELTA DE DIRAC) 1
1 s1 0s
ate as
1 as positivoenterontn ,;
1
!ns
n 0s positivoenteronet atn ,; 1
! nas
n as
t1
s 0s
atsen 22 as
a 0s
atcos 22 as
s 0s
atsenh 22 as
a
as
atcosh 22 as
s
as
atsent 2222
as
sa
0s
att cos 22222
asas
0s
atsent 2 3222232
asasa
0s
att cos2 32222 32
asass
0s
btseneat 22 basb
as
bteat cos 22 basas
as
btsenheat 22 basb
abs
bteat cosh 22 basas
abs
C O P A D I 45
SERIES DE FOURIER
DEFINICIN LA SERIE DE FOURIER CORRESPONDIENTE A LA FUNCIN f , LA CUAL SE SUPONE DEFINIDA EN EL
INTERVALO Lcxc 2 , DONDE 0Lyc SON CONSTANTES, SE DEFINE COMO:
1
0 cos2 n
nn Lxnsenb
Lxnaa DONDE
Lc
cn
Lc
cn
dxL
xnsenxfL
b
dxL
xnxfL
a2
2
1
cos1
SI f y 'f SON CONTINUAS EN Lcc 2, SALVO EN UN CONJUNTO FINITO DE PUNTOS, EN LOS QUE
EXISTEN SUS LMITES LATERALES, Y SI xf EST PERIODICAMENTE DEFINIDA CON UN PERIODO DE L2 , O SEA, QUE xfLxf 2 , ENTONCES LA SERIE CONVERGE HACIA xf SI x ES UN PUNTO DE
CONTINUIDAD, Y HACIA 0021 xfxf SI x ES UN PUNTO DE DISCONTINUIDAD.
FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES DE FOURIER
SI SE SUPONE QUE LAS SERIES ANTERIORES CONVERGEN HACIA xf , SE TIENE QUE:
n
Lxinn ecxf
/ DONDE
0
21
021
021
1
0
/2
na
niba
niba
dxexfL
c nn
nn
LxinLc
cn
IDENTIDAD DE PARSEVAL
1
222
02 2
21
nnn
Lc
cbaadxxf
L
FORMA GENERAL DE LA IDENTIDAD DE PARSEVAL
1
002
21
nnnnn
Lc
cdbcacadxxgxf
L
DONDE nnnn dcyba ,, SON LOS COEFICIENTES DE FOURIER QUE CORRESPONDEN A xgyxf RESPECTIVAMENTE.
46 SERIES DE FOURIER DE ALGUNAS FUNCIONES DE USO FRECUENTE
...
55
33
14
0101 xsenxsensenx
xx
xf
...
55cos
33cos
1cos4
200
222
xxxxxxx
xxf
...
33
22
1220; xsenxsensenxxxxf
...75
6cos534cos
312cos42; xxxxsenxxf
20
0xxsenx
xf
...756cos
534cos
312cos2
211 xxxsenx
...
7563
5342
3128
0cos0cos xsenxsenxsen
xxxx
xf
...
33cos
22cos
1cos4
3; 222
22 xxxxxxf
...
36cos
24cos
12cos
60; 222
2 xxxxxxxf
...
33
22
112; 333
xsenxsensenxxxxxxf
...3
3cos32
2cos21cos2
201
00xsenxsenxsen
xxx
xf
47
...
55
33
18
0;0;
333
xsenxsensenxxxxxxx
xf
...3
332
221
2;; 222222 xsenxsensenxsenenteroxxsenxf
...3
3cos2
2cos1cos
212;;cos 2222222
xxxsenenteroxxxf
122
cos1212;
n
nx
nnxnsennxxsenhxexf
...3
332
221
2; 222222 xsenxsensenxsenhxxsenhxf
...3
3cos2
2cos1cos
212;cosh 2222222
xxxsenhxxxf
...
33cos
22cos
1cos2ln0;
21ln xxxxxsenxf
...
33cos
22cos
1cos2ln;
21cosln xxxxxxf
CARTULA Y PRLOGO N D I C E1 - IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS2 - CRCULO TRIGONOMTRICO3 - RECTA Y CIRCUNFERENCIA4 - LAS CNICAS5 - GEOMETRA ANALTICA EN EL ESPACIO6 - CLASIFICACIN DE LAS SUPERFICIES CUDRICAS7 - FRMULAS DE DERIVACIN ORDINARIA8 - FRMULAS BSICAS DE INTEGRACIN9 - SERIES INFINITAS10 - SERIES DE POTENCIAS11 - ALGUNAS FUNCIONES REPR POR SERIES DE POT12 - FUNCIONES HIPERBLICAS13 - MXIMOS Y MNIMOS14 - GEOMETRA DIFERENCIAL15 - LONGITUDES, REAS Y VOLMENES16 - MASA, MOMENTOS, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE17 - DER EXPLCITA EN FUN ESC DE VAR VECTORIAL18 - DER IMPLCITA EN FUN ESC DE UNA VAR Y DE VAR VECT19 - COORD POLARES, CILNDRICAS Y ESFRICAS20 - OPERADORES VECT EN COORD CURVILNEAS21 - TEOREMAS DE GREEN, STOKES Y GAUSS22 - TRANSFORMADAS DE LAPLACE23 - SERIES DE FOURIER
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