FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

Hab. Matemática

14 c

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3 cu

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dos

RA

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AM

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TO

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23

57

86

15 15 15 15 1515

15

15

3S=

1+2+

3+...9

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b+c

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Mañ

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FF FV

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io:

Antih

orar

io

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO


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A B Cx x

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Este

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stra

A B C DE

May

or

Men

or

Hab. Matemática

• A excede a B en 10 unidades• El doble, de un número disminuido

en 3 unidades.• El doble de un número, disminuido

em 3 unidades.• A es por dos veces B• A es dos veces más que B

A B 10– =

Lenguaje Literal(Enunciado) Traducción

Lenguaje Matemático(Ecuaciones)

2(x 3)

2x 3

–

–A 2BA B 2BA 3 B

== +=

Con dos o más sujetos

DaniellaMelanie

Pas Pre Futa d ec b f

• La diferencia de sus edades es siempre la misma.a c d d e f

• La suma en aspa da el mismo resultado: a b c d d f b e a f c e

– –= = –

+ = ++ = ++ = +

ImportanteCaso 1:Año nacimiento edad año en curso• Si la persona ya cumplió años en el año en curso.

+ =

Caso 2:

Nota:

Año nacimiento edad = año en curso 1• Si la persona todavía no cumple años en el año en curso.

Si el problema no dice si ya cumplió o todavía, se trabaja con el caso 1.

+ –

Hab. MatemáticaFORMULARIO PREUNIVERSITARIO


+

X

Materia prima

Botones

Producto terminado

Proceso de producciónOperación matemática

Máquina

Adición

Sustracción

División

Números Resultado

Operadores

a b 3a 5b 4* = + + Definición

..........................................

a b 3(b a ) a* = * + 2 2

Si x x 1= +

5 =mSe resuelve de

............... hacia ..............

Se resuelve de

............... hacia ..............m =5

Definición

..........................................

Explícita

Implícita

adentro afuera

afuera adentro

Hab. Matemática FORMULARIO PREUNIVERSITARIO


SUC

ESIO

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rale

s

Se c

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n 27

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l)

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×q Pr

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De

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n

C =

4

; 10

; 18

; 28

; 40

; ...

0

A+

B=

46

810

12

22

22

C

t 1t 2

t 3t 4

t 5





ECUACIONES DIOFÁNTICAS

MULTIPLICIDAD1. Si N es múltiplo de n

Si N = N nk; kn ⇒ = ∈

n

: se lee múltiplo de nEjemplo:

Si N= 5

N =5k= {... -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15,....)

Si N = 8

N= 8k = {... -24, -16, -8, 0, 8, 16 , 24 ...}

2. Si N no es múltiplo de n

d eN n r ó N n r= + = −

donde: d er r n+ =

dr : residuo por defecto

er : residuo por exceso

Ejemplo:20 no es múltiplo de 6 (20 6 )≠

20 6 18 3

2 20 6 24 4-4

20 6 2 20 6 4⇒ = + ⇒ = −

Donde: 2 + 4 =6

Aplicación:Si N 9 3 N 9 6= + ⇒ = −

Si N 12 1 N 12 11= − ⇒ = +

PRINCIPIO DE MULTIPLICIDAD

1. o o o o on+ n+ n+...+ n =n

Ejemplo:

• 8 8 8 8+ + =

• 15 15 15 15 15+ + + =

2. o o on+n = n

Ejemplo:

• 7 7 7− =

• 14 14 14− =

3.o

k n= n;k Z∈

Ejemplo:

• 2 7 7

=

• 0 10 10

=

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

Sea A x B = on

≠ ⇒o o

Si A n B = n

≠ ⇒o o

Si B n A = n

Ejemplo:4x 5=

4 5 x 5≠ ⇒ =



Pri

nci

pio

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Co

nte

o

• • Par

a ev

ento

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n- d

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Par

a ev

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(y):

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Prop

ieda

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n!k!

(nk)

!Cn k

=

•=

C

Cn k

n nk−

Fact

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n n

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n! =

12

34

...n

0! =

1

n!

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(n

1)!

××

××

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CO

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l

P =

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n

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5!

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k” e

n “k

”

Ejem

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5 am

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n kn!

(nk)

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ión

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PR=

n a; b

; c;

...

Ejem

plo:

n!a!

b!c!

...

23

1

PR=

6 2; 3

; 1

6!2!

3!1!

P =

(n

1)!

c(n)

−

Ejem

plo:

6 am

igos

en

una

mes

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rcul

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P =

5!

c(6)

P=

= 2

05 2

5! 3!



Problemas sobre certeza

Casos desfavorables

:Número deextraciones

Casosfavorables

+

Lo que noquiero que

salga

Lo que pide el

problema

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Otras situaciones

• Si: a + b = K

(a.b) = .máxK2

K2

• Si: a × b = K

(a+b) = mín K K+

• Si: a > 0

a + > 21a

x > 02

• Si: × = IR∈

Expresiones algebraicasde 2do grado

E(x) = Ax + Bx + C2

A > 0 EMÍN

A > 0 EMÁXX = 2A



Aritmética FORMULARIO PREUNIVERSITARIO


Propiedades

• A IP B A DP

• A DP B (C cte)

A IP C (B cte)

1B

A x CB

= cte

A IP B

a1

b1

a2

b2

= k

Valor “B”

Valor “A”

HipérbolaEquilátera

Gráfica:

a1

a2

b1 b2

a1 a2b1 b2= k= . .

MAGNITUDESPROPORCIONALES

(Valor de A) (Valor de B)=Cte

A DP B

Valor de AValor de B

= Cte

Valor “B”

Valor “A”

LíneaRecta

Gráfica:

b2b1

a1

a2

Valorde A

Constante

Valorde B

f(x) = K x

A DP B

Valorde B

Valorde A

Constante

f(x) = xk

A IP B

IPDP

=

• A DP B A IP 1B

AritméticaFORMULARIO PREUNIVERSITARIO


{ }1 2 3 n

elementos

A a ;a ;a ;.......;a= i j

donde :a a

i, j +

≠

∈

• Cardinal = n(A) = n

• N° subconjuntos = 2n(A) = 2n

• N° subconjuntos propios = 2n(A) – 1 = 2n – 1

OPERACIONES ENTRECONJUNTOS

No AA o BB A

A B

A B

Unión (U): Complemento ( (A)):

Solo ADiferencia (–):

A y BIntersección ( ):∩

A B

Sólo A o sólo B

DiferenciaSimétrica (A):

A



abcd

a

n b

n c

.n

dn

= +

++

32

NU

MER

AC

IÓN

1.D

esco

mpo

sici

ón p

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a:

2.D

esco

mpo

sici

ón p

or b

loqu

es:

3.Ca

mbi

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e ba

se:

3.1

De

base

"n"

a b

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101.

Des

com

posi

ción

pol

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ica

2.R

uffin

iEj

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o: 2

43(5

)

2

435

= 7

3

3.2.

De

base

10

a ba

se "

n"(D

ivis

ione

s su

cesi

vas)

Ejem

plo:

243

a b

ase

7

243

= 4

65(7

)

3.3.

De

base

"n"

a b

ase

"m"

(n

10;

m

10)

4.

abcd

e

an

b

n

cn

d

n e

(n)

=+

++

+4

32

2 4

3

10

70

2

14

73

B

ase

10←

5+

+Si

:+ ab

c (n)

_=– xy

(m)

+

Com

o

abc

> x

y

→n

< m

Base

nBa

se 1

0 B

ase

m

1

2

Des

com

posi

ción

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ómic

a

Suce

siva

s

243

7 3

3 3

4 7

5

6

4ab

ab

ab.

100

ab

=+ 2

nn

nab

abab

nab

⋅=

+3

nn

nab

cabc

abc

nab

c⋅

=+

→

≠≠

→



Números capicúas

1a 1b

1c = a + b + c + d + e + x 1d

1e x

NUMERALES DE CIFRAS MÁXIMAS

n

BASES SUCESIVAS

k

k cifras

(n – 1)(n – 1)(n – 1)... (n – 1) n –1 =

121; 3553; 27372; abccba



I. ADICIÓNa + b + c +...+ z = S

Sumandos Sumatotal

Progresión aritmética

Sea:

→ an = a1 + (n – 1)r

n 1a – an 1

r→ = + ;

n: Número de términos

n 1n

a aS n

2+

→ =

;

Sn: Suma de términos

Sumas notables

•n(n 1)1 2 3 ... n

2= ++ + + +

• 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)• 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2

• 12 + 22 + 32 + ... + n2 =

n(n 1) (2n 1)6

+ +

• 13 + 23 + 33 + ... + n3 =2n(n 1)

2

+

• a0 + a1 + a2 + a3 + ... + an–1 =na – 1a – 1

II. SUSTRACCIÓN

M – S = D

Propiedades:

• 2M = M + S + D

• (n) (n)ab – ba = (n)xy

x y n – 1→ =+

donde n 3 y a b≥ >

• (n) (n)abc – cba = (n)xyz

x z n – 1→ =+

y = n – 1

donde: n 3; a c≥ >

• abcd – dcba xyzw=donde: a > d

→ x + y + z + w = 18 ó 27

Complemento Aritmético

• (b) (b)bk 1 cifras

CA(N ) 100...00 – N+=

Si N tiene k cifras

• (n)CA(abcd ) =

n(n – 1 – a) (n – 1 – b)(n – 1 – c)(n – d)



*o

A B B(k)= =

Se dice:- A es múltiplo de B- A es divisible entre B- A dividido entre B da residuo cero

*o o on n n+ =

*o o on – n n=

*o o o on(k) n k nk

= = =

*o o

k(n) n=

*o o o o

(n a)(n b)(n c) n a.b.c+ + + +=

*o o

k k(n r) n r+ +=

*o o

k k(n – r) n r+= , k: par

*o o

k k(n– r) n– r= , k: impar

*

o

Oo

o

N a

N b N MCM(a,b,c)

N c

=

= =

=

*

o

Oo

o

N a r

N b r N MCM(a,b,c) r

N c r

+

+ +

+

=

= =

=



• Por 2o o o

abcde 2 e. Si e 2 abcde 2→= = =+

• Por 4o o o

abcde 4 de. Si de 4 abcde 4→= = =+

• Por 8o o o

abcde 8 cde. Si cde 8 abcde 8→= = =+

• Por 5o o o

abcde 5 e. Si e 5 abcde 5→= = =+

• Por 25o o o

abcde 25 de. Si de 25 abcde 25→= = =+

• Por 125o o o

abcde 125 cde. Si cde 125 abcde 125+ →= = =

• Por 3o o o

Eabcde 3 a b c d e. Si E 3 abcde 3→= = =+ + + + +

• Por 9o o o

Eabcde 9 a b c d e. Si E 9 abcde 9→= = =+ + + + +

• Por 11 abcde+-+-+

o o o

E11 e – d c – b a. Si E 11 abcde 11→= = =+ + +

• Por 13

ab cd e f gh 31431431- + - +

o o o

E

13 – 3a b 4c 3d – e – 4f – 3g h. Si E 13 abcdefgh 13→= = =+ + + +

• Por 7

ab cd e f gh 31 2312 31+ - +

o o o

E

7 3a b – 2c – 3d – e 2f 3g h. Si E 7 abcdefgh 7→= = =+ + + + +



• Por 33 a bcd eo o o

E33 a bc de. Si E 33 abcde 33→= = =+ + +

• Por 99 a bcd eo o o

E99 a bc de. Si E 99 abcde 99→= = =+ + +

• P or n 1enbase n

−o o o

(n) (n)E

abcde (n 1) a b c d e. Si E=(n –1) abcde (n –1)= − + + + + + → =

• P or n 1enbase n

+ a bc d e+ - + -+(n)

o o o

(n)E

(n 1) e – d c – b a. Si E=(n 1) abcde (n 1)→+ + + + + += =

• Dada la descomposición canonica del número N:

31 2 k1 2 3 kN p p p ...p ...D.C.αα α α=

• Su cantidad de divisores se calcula como:

N 1 2 3 kCD ( 1)( 1)( 1)...( 1)α α α α= + + + +

Además:

N SIMPLES COMPUESTOSCD CD CD = +

• La suma de divisores se calcula como:

1 2 k1 1 11 2 k

(N)1 2 k

p –1 p –1 p – 1SD ...

p – 1 p –1 p – 1

α α α× × ×=

+ + +



• La suma de inversas de divisores se calcula como:

(N)(N)

SDSID

N=

• El producto de los divisores se calcula como:

(N)CD(N)PD N=

• El esquema del algoritmo de Euclides:

A B

Cocientes

Residuos

K MCD (A;B)

O

• Conociendo el MCD de dos números podemos concluir que:

(A;B)

(A;B)

A p x k; donde: p y q son PESI

B q x kMCD k MCM k x p x q

===

=

• Siempre se cumple que:

MCD(A;B) MCM(A;B) A B× ×=

•n A n B n kMCM ;

m m m× × ×

= •n A n B n kMCD ;

m m m× × ×

=



Clases de fracciones

• Propia • Común y ordinaria• Impropia • Decimal• Reductible • Homogénea• Irreductible • Heterogénea

Número fraccionario

Z = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} Fracción

Números enteros Z

Operacionescon tantopor ciento

Adición

Sustracción

Aumentos y descuentossucesivos

Aumento único

a ba b %100

×

= + +

Descuento único

a ba b – %100

×

= +

Aplicacionescomerciales

Variaciónporcentual

Pventa = Pcosto + gananciaPventa = Pfijado – descuentoPventa = Pcosto – pérdidaPfijado = Pcosto + incremento

Variaciónporcentual

Aumento ódisminución

100%Cantidad inicial

×

=



M C I= +

r% y t en las mismas unidades

I C r% t

M = C (1 + r% t)

=

INTERÉS SIMPLE

medioCosto total

P = Peso total

Gradoalcohólico

Alcohol 100%Total

×=

aparente aparenteG = Pventa costoP = P + Ganancia

x L

a%

y L

b%

z L

c%

(x+y+z) L

d%+ + =

a%(x) + b%(y) + c%(z) = d%(x+y+z)



Álgebra FORMULARIO PREUNIVERSITARIO


(a

b)

= a

2ab

b+

±±

22

2

(a

b)

(a

b)

2(a

b)

(a

b)

(a

b)

4ab

++

–

=+

+–

–=

2 2

2 2

2 2

(a

b)(

a b

) a

b+

–=

–2

2

(a

b)(a

ab

b)

ab

(a

b)(a

ab

b)

a

b+

–

+

=+

–

+

+

=–

2

23

3

2

23

3

(a

b)

ab

3ab(

a b)

(a

b)

a3a

b 3a

bb

±

=±

±

±

±

=

±

+

±

33

3

33

22

3

(x

a)(x

b)

x

(a

b)x

ab+

+

=

+

+

+2

(a

b c

)

a b

c 2

(ab

ac

bc)

+

+=

++

++

+2

2

2

2

Si:

a b

c

0

. Se

verif

ica

que:

a b

c

3

abc

a b

c

2(ab

a

c b

c)

++

=+

+

=+

+=

–+

+

3

33

22

2• •

(xx

yy

)(x

xy

y)

xx

yy

2n

nm

2m

2nn

m2

m4n

2n

2m

4m

++

–+

=+

+

(xxy

y

)(x

xy

y)

xx

yy

2 2

2 2

4

22

4+

+

–

+

=

+

+

(a

b c)

a

bc

3(a

b)(a

c)

(b

c)+

+

=

+

+

+

+

+

+

33

3

3

ab

c3a

bc

(a

bc)

[ab

c(a

bbc

ca)]

33

32

22

++

–=

++

++

–+

+ARG

AN’D

GAU

SS

PR

INC

IPA

LES

PR

OD

UC

TO

S N

OT

AB

LES

6 7 8 9 1054321

ÁlgebraFORMULARIO PREUNIVERSITARIO


Análisis de las raíces Si: D 0

Si: D 0

Si: D 0

>

=

<

•

•

•

ECUACIÓN CUADRÁTICA

Forma

Fórmula

ax bx c 0 ; a 0

x b b 4ac

2a

2

2

+ + =

=– –

2 raíces IRdiferentes x1 x2

2 raíces IRiguales x =x1 2

2 raíces ICconjugadas

Recordar:

(x x ) (x x ) 4x .x1 22

1 22

1 2+ – – =

suma:0b 0=x; x– producto:1

a c=x;1/x

c 0= b 0 ; c 0= =

a b cm n p

= =

Discriminante

D = b – 4ac2

x x ba1 2+ =–

x x c a

1 2. =

x x ??1 2– =

Propiedades de las raíces

Si: ax + bx + c = 0

(opuestas) (inversas)

x – Sx + P = 0

Si: ax + bx + c = 0mx + nx + p = 0

2

2

2

2

Raíces simétricas Raíces recíprocas

Una raíz nula Dos raíces nulas

Reconstrucción de una ecuación cuadrática

Ecuaciones equivalentes: (Raíces iguales)



Recordar las definiciones Recordar los teoremas

na a.a.a...a ;"n factores de a"

= n ∈

0a 1 ; a 0≠=

n–n

n1 1a ; a 0

aa ≠

= =

mn nm/n ma a a= =

m–nmm n m nn

aa .a a ; aa

= =+

( ) ( )m n m.n n n nn ma a a ; (a.b) a b= = =

n n n n nn

a a ; a.b a. bb b

= =

n n m nmnn

a a ; a ab b

= =

nk nmk ma a=

Monomio

Definición

Términos Semejantes

Grado Relativo

Grado Absoluto

Definición

Grado Absoluto

Grado Relativo

Clasificación

Polinomio

Ordenado

Completo

Homogéneo

Idénticos

Idénticamente nulo

Racional EnteraEXPRESIÓN ALGEBRAICA



tienen solución

no tienensolución

soluciones finitas

a b ca b c

1 1 1

2 2 2= =

a b ca b c

1 1 1

2 2 2=

a ba b

1 1

2 2≠

x

yE1

E2

x

y E1

E2

x

y E1 E2

(x ;y )0 0

E E1 2 //

E E1 2

Ecuación Compatible

Indeterminada

Ecuación Incompatible

Determinada

E : a x b y c

E : a x b y c1 1 1 1

2 2 2 2

+ =

+ =

Por su Solución

SISTEMA DE ECUACIONES



Criterios de factorización

FACTORIZACIÓN

Criterio del factor

común y/o agrupación

Criterio de las

identidades

Criterio del

aspasimple

Criterio del

aspa doble

Criterio de los

divisores binomios

Criterio del aspa doble

especial



* Si r es una raíz de P(x) = 0, entonces P(r) = 0.

* n n–1 n–2(x) n n–1 n–2 0P a x a x a x ... a= + + + + =0; na 0≠ , también se puede escribir

n 1 2 3 na (x – r )(x – r )(x – r )...(x – r ) 0=

donde 1 2 3 nr ,r ,r ,...,r raíces de la ecuación.

* Si: m n p1 2 3P(x) (x – r ) (x – r ) (x – r ) 0= =

Entonces:r1 es una raíz de multiplicidad mr2 es una raíz de multiplicidad nr3 es una raíz de multiplicidad p

* Teorema de Cardano - Viette

n–11 2 3 n

n

ar r r ... r –

a=+ + + + "Suma de raíces"

n–21 2 1 3 n–1 n

n

ar .r r .r ... r .r

a+ + + = "Suma de productos Binarios"

n 01 2 3 n

n

ar .r .r .....r (–1)

a= "Producto de raíces"

* Si los coeficientes de la ecuación son racionales entonces si una raíz es a b+ ,

la otra es a – b .

* Si los coeficientes de la ecuación son reales, entonces si una raíz es iα β+ ,

entonces la otra es – iα β .

* n n–1 n–2(x) n n–1 n–2 0P a x a x a x ... a 0= =+ + + + por cada cambio de signo es una

raíz positiva.

* n n–1(–x) n n–1 0P a (–x) a (–x) ... a 0= =+ + + por cada cambio de signo es una raíz

negativa, o, menos en una cantidad par.



Definiciones:

1.

2.

3.

4. < < < <

5. < >

Sea: { a ; b ; c } IR

“a” es no positivo a 0

“a” es no negativo a 0

a b a < b a = b

a b c a b b c

a b b a

∈

∨

TEOREMAS FUNDAMENTALES

T1:

T2: > >

T3: >

T4: >

T5: < >

a 0 ; a IR , n Z+

a b a ± m b ± m

a b m > 0 am > bm

a/m > b/m

a b m < 0 am < bm

a/m < b/m

a b 1/a 1/b

( a y b tienen el mismo signo)

2n ∀

⇒

∧

∧

Importante:

+ + > >Sea:

ax bx c 0 ; a 0 x IR

2

b – 4ac2



Inecuación....

Polinomial

De primer grado

De segundo grado

De grado superior

Fraccionaria

Irracional

Exponencial

Logarítmica

Trigonométrica

C

B

A

ax b 0+

ax bx c 02+ +

a 0

grado mayoro igual a 3

P(x) 0Q(x)

n P(x) 0

log x 4 22 – <

b bP(x) Q(x)

Sen x Cosx 0,52 + >

><

><

><

><

><

Se aplica el criterio de los puntos críticos.Importante:

Si: P(x) Q(x) 0Q(x) Si: b 1 b x by x y

Si: 0 b 1 bx by x y

> > >

< < < >

S1: Si:

P(x) P(x) 0S2: Elevamos a un exponente igual

al indice y resolvemos.Luego el C.S. es: S1 S2

2nA

B

C



Definición

a; si : a 0a

–a; si : a 0≥

<

= • |a| ≥ 0

• |a| = |–a|

• |ab| = |a||b|

• a a ; b 0b b

≠=

Ecuaciones convalor absoluto

|x| = 0 ⇔ x = 0;

x a a 0 x a x –a∧ ≥ ⇔ ∨= = =

|x| = |a| ⇔ x = a ∨ x = –a |x| ≤ a ⇔ (a ≥ 0) ∧ –a ≤ x ≤ a

|x| ≥ a ⇔ x ≥ a ∨ x ≤ –a

|x| ≤ |y| ⇔ (x + y)(x – y) ≤ 0

Inecuaciones convalor absoluto

• a2 = |a|2

• 2a a=

• |a + b| ≤ |a| + |b|

a;b∀ ∈

Propiedades

corte en "y"

corte en "x"GRÁFICA DEUNA FUNCIÓN

Intersección con losejes coordenados.

Extensión de la Función

x=0

y=0

Dominio y Rango

discusiónde la curva

Funciones

Dos pares ordenados nopueden tener el mismoprimer elemento.

Si: (a;b) (a;c) f b c

DOMINIO Domf={x A/ y B (x;y) f}∈ ∃ ∈ ∧ ∈

RANGO Ranf={y B/ x A (x;y) f}∈ ∃ ∈ ∧ ∈



BINOMIO DE NEWTON

En el desarrollo de:

N° de términos n 1= +(x a)+ n

En el desarrollo de:

Coeficientes se obtendrási: x a 1

(x a)+ n

= =

En el desarrollo de:(x+a)n

de izquierda a derecha:T =c x ak+1

nk

n–k k

En el desarrollo de: (x+a)n

(x a)+ n = c x an n–k kk=0

n x; a 0n Z

c c c ... c 2+ + + + = nn n n n 0 1 2 n

n 1 2+

n 1 2+ + 1

Si “n” par

Si “n” impar

T T 1c = +n2

1er Tc =

=2do Tc(p+q)n(n+1)

2

En el desarrollo de: (x a )p q n+

T =c x ak+1n k n–kk

“K 1” el lugar+

x

y = x

y

F(x) xDom(F) [0;Ran(F) [0;

==

=

x

y=x2y

x

y=x3y

F(x) x (n par)Dom(F) Ran(F) [0;

= n ==

= IR

F(x) x (n impar)Dom(F) Ran(F)

= n ==

=IR

IR

1. Función constante 2. Función lineal

4. Función raíz cuadrada 5. Función potencia elemental

Funciones especiales

x

y = |x|y

F(x) |x|=Dom(F) Ran(F) [0;

==

IR

3. Función valor absoluto

pendiente



1. Definición

xalog b x a b⇔= =

2. Antilogaritmo

a a log b x b antilog x ⇔= =

3. Consecuencias

(a,b , a 1)+∈ ≠

a log 1 0 = ; a log a 1 = ;

alog b a b = ;

a a log b log c b c ⇔= =

4. Propiedades

a a alog (xy) log x + log y = ;

a a ablog log b – log c c

= ;

a a a1colog b log – log bb

= = ;

ca alog b = c log b ;

nm

aam log b log bn

= ;

ca

c

log b log b

log a= ;

a b a log b . log c log c =

5. Ecuación exponencial

xaa b x log b⇔= =

6. Ecuación logaritmica

a a log f(x) log g(x) f(x) g(x) ⇔= =

7. Inecuación exponencial7.1.

xc cx

xc c

log a log b,si: c>1a b

log a log b,si: 0<c<1

>> ⇔ <

7.2.

xc cx

xc c

log a log b,si: c>1a b

log a log b,si: 0<c<1

<< ⇔ >

8. Inecuación logaritmica

a aSi a>1; f(x)>g(x)>0

log f(x) log g(x)Si 0<a<1; 0<f(x)<g(x)

>



NÚMEROS COMPLEJOS CNÚMEROS REALES IR

NÚMEROS IMAGINARIOS II

formado por

z a bi= +

Eje real

Eje imaginario

Tenemos:

z = a bi+

|z|

DEFINICIONES

Dado el complejo: z a biComplejo conjugado: a biComplejo opuesto: z* a bi

= +=

= –z –

–

b

a

i = ii = 1i = ii = 1i = ii = 1

1

2

3

4

5

6

––

–

POTENCIAS DE “i”

i i iN = 4k+r = rRepresentación gráfica

Módulo de “z”

Argumento de “z”

|z|cosθ

|z|senθ

Forma Trigonométrica de “z”: z iS )+|z|(Cos en=z |z|cis=

Resultado importantesTeoremas

T1: |z| | | |z*|T2: |z| z.T3:

= ==

zz2

(Cos + iSen ) Cos(n ) + iSen(n )θ n =

de De Moivre

(1 i) = 2i2

(1 i) = –4+ 4

1 i1 i

+–

= i

|z| = a + b22

i 1= –



1.

2.

3.

5.

4.

GeometríaFORMULARIO PREUNIVERSITARIO


Mediana relativa a la hipotenusa

Si BM es la mediana relativa a lahipotenusa ⇒ BM = AM = MC

T. de la Bisectriz T. de la Mediatriz

T. de los Puntos Medios

Geometría FORMULARIO PREUNIVERSITARIO


1. ABCD es un paralelogramo

2. Si ABCD es un paralelogramo



5. Si ABCD es un cuadrado

6. Si ABCD es un cuadrado









ab

xy

=

(1)

(2)

(3)

(4)

ab

xy

=

x = ab2

x =ab

a + b

ab

x

ab

x

En todo trapecio (M y N puntos de tangencia)

2 1 1x a b

= +

(5)

a b

yx

A

N

C

M

B

D

x

b

a

yx

ab

(6)

z p

xn

my

m.n.p = x.y.z

(7)

a

x b

y

cz

x.y.z = a.b.c



(1)

a2 = c.m h2 = m.n

a.b= c.h a2 + b2 = c2

b2 = c.n

(2)

1 1 1x R r

= +

(3)

2x a b= ⋅

a b m n⋅ = ⋅

a b m n⋅ = ⋅

(4)

x 2 R r=

3 3 32 2 2a b c+ =

3h abc=



ABCA mn∆ =

ABCA p.r∆ =

a b cp2

+ +=

ABCabcA4R∆ =

S abT mn

=

ABCAS

4∆=

A

B

C

S



• Círculo: • Sector Circular

= π

π=

2

2

S R

dS4

απ=2RS

360

• Corona Circular



Teorema de Euler

C V A 2 + = +

Donde:

C: N.° carasV: N.° vérticesA: N.° aristas

Ángulo diedro

Notación:diedro AB (d–AB)

Elementos:

* Arista: AB *Caras: P y Q

* Plano: MON

m(diedro AB) = m MON = α

Diedro recto oplanos

perpendiculares

P Q

Si: MN AB MN P

MN Q

⊥ ⊥ ⇒ ⊥

⊂

Tetraedro regular

C = 4; V = 4; A = 6

2TA a 3= ;

3aV 212

=

a 6h3

=

Hexaedro regular

C = 6; V = 8; A = 12

2TA 6 a= ; 3V a=

d a 3=

Octaedro regular

C = 8; V = 6; A = 12

2TA 2a 3= ;

3a 2V3

=

D a 2=



h

BO

ap

g gh

r

g

r B

h

B

B

B

h

Fórmulas

1. V B.h=

2. LPerímetro de

A .h la base

=

3. T LA A 2B= +

Fórmulas

1. 2V r g= π

2. LA 2 rg= π

3. TA 2 r(g r)= +π

Cílindro rectoPrisma recto

Pirámide regular Cono recto

Fórmulas

1.Bh

V3

=

2. Lsemiperímetro

A .Ap de la base

=

3. T LA A B= +

Fórmulas

1.2r h

V3

=π

2. LA rg= π

3. TA r(g r)= +π

2 2 2 Ap h ap = + 2 2 2 g h r = +



Esfera Fórmulas:

1. = π 34V R

3

2. = π 2TA 4 R

Polígonos regulares En todo polígonoequiángulo:

Fórmulas

iSm 180 (n 2)= ° −

eSm 360= °

N°Diagonales: ND

Dn(n 3)

N2−

° =

Fórmulas

c

c

:medidadelángulocentral

360n

α

°α =

i1180 (n 2)

mn

° −=

e1360

mn

°=

Fórmulas

(n 2)180

n−

θ = °

360n

°α =




FORMULARIO PREUNIVERSITARIO GEOMETRÍA ANALÍTICA

Sistema de Coordenadas Rectangulares o Cartesianas

Está formado por dos rectas que se cortan en forma perpendicular (una horizontal y otra vertical) en un origen y determinan un plano bidimensional que contiene infinitos puntos.

Al plano formado por dichos ejes se llama Plano Cartesiano.

Los ejes dividen al plano cartesiano en cuatro partes llamados cuadrantes.

X: Eje de abscisas Y: Eje de ordenadas

Coordenadas Cartesianas de un Punto

Se ha visto que al poner en movimiento a un punto nos engendra una línea, la cual al ponerse en movimiento engendra una superficie, y ésta a su vez, al ponerse también en movimiento engendra un volumen, se puede

concluir que todas las figuras geométricas tienen como base de formación el punto. Para su estudio, cuando menos por ahora, utilizaremos el Sistema Cartesiano de Ejes Rectangulares. Dentro de éste convendremos en que siempre que se hable de un punto conocido o de posición fija, designaremos sus coordenadas por las letras x e y con índices, mientras que siempre que se trate de un punto móvil o de posición desconocida sus coordenadas serán simplemente “x” y “y” sin índices.

Por ejemplo en la figura anterior, si tenemos una circunferencia de radio conocido, referida a un sistema de ejes, su centro es un punto conocido, de manera que al referirnos a él podemos

decir, el punto C x ,y1 1 , en tanto que

si suponemos que esta circunferencia es descrita por el extremo libre del compás, dicho extremo es un punto cuyas coordenadas cambian para cada posición, de tal manera que al mencionarlo podemos decir, el punto M(x, y).

XX '

Y

Y '

1 1C x , y

M x , y

X

Y

I CII C

IV CIII C



1. Coordenadas de un PuntoEl conjunto de todos los paresordenados (x, y) se llama plano

numérico y se denota con 2

R , así: 2

R x,y / x R,y R

1x : es la abscisa del punto P.

1y : es la ordenada del punto p.

2. Distancia entre dos puntos

2 21 2 1 2 d x x y y

3. Coordenadas del punto medio

Sean m mP x ,y las coordenadas del

punto medio.

mx : Semisuma de las abscisas

my : Semisuma de las ordenadas

1 2 1 2m m

x x y y x ; y =

2 2

4. Coordenadas de dos puntos detrisección

1 2 1 2m m

2x x 2y y x ; y =

3 3

2 1 2 1n n

2x x 2y y x ; y =

3 3

5. Coordenadas del Baricentro de unTriángulo

Si: G(x, y) , es la posición del baricentro

de un triángulo ABC, tal que:

1 1A (x ; y ) ; 2 2B (x ; y ) ; 3 3C (x ; y )

Entonces:

XX '

Y

Y '

1x

1y

1 1P x .y

Y

Y '

XX '

2 2 2P x ,y

1 1 1P x ,y

O

m mM x ,y

Y

Y '

XX '

2 2 2P x ,y

1 1 1P x ,y

O

m mM x ,y

n nN x ,y

1 1A x ;y

3 3C x ;y

2 2B x ;y

G

X

Y

O

Y

Y '

XX '

2 2 2P x ,y

1 1 1P x ,y

O

d



Se cumple que:

1 2 3x x x x

3

1 2 3y y y y

3

La Recta

Es la representación geométrica de los números reales

6. Sistema Coordenado Lineal:

A la correspondencia que existe entre puntos de una recta y los números reales se denomina sistema coordenado lineal.

De la figura los puntos O, A, B, P tienen por coordenada unidimensional a los números 0, 1, 2 y “x” respectivamente.

7. Distancia entre dos puntos de larecta:

2 1 1 2x x x x PQ

: Valor absoluto

8. Punto medio

9. Pendiente de una recta:

Es la inclinación que tiene dicha recta con respecto al eje positivo de las abscisas.

1 2

1 2

y y m tanθ

x x

Si “m” es positiva, el ángulo es

agudo y, cuando es negativa, dicho ángulo es obtuso (mide más de 90º), pero sin llegar a 180º ni sobrepasar este valor.

10. Ángulo entre dos rectas

1m : pendiente de 1L

2m : pendiente de 2L

Observe que el lado final del ángulo “ ” es

2L y el lado inicial es 1L .

2 1

1 2

m m tan

1 m m

O A B P

0 1 2 x

PQ

P Q

1x 2x

P Q

1x 2xx

M

Y

Y '

XX '

2 2 2P x ,y

1 1 1P x ,y

Oθ

Y

Y '

XX 'O

1L

2L

Números positivos +

Números negativos

0



11. División de un segmento en unarazón dada.

Si: 1 1 1P (x ; y ) y 2 2 2P (x ; y ) son los

extremos de 1 2P P , las coordenadas del

punto P(x; y) que divide a este

segmento en una razón “r”.

1

2

P P r

PP; son:

1 2x r x x

r 11 2y r y

y r 1

Posiciones Relativas de las Rectas:

a) Rectas Paralelas

Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales.

1 2 1 2 L // L m m

b) Rectas Perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes resulta ser –1.

1 2 1 2 L L m m 1

Ecuación de la Recta

1er. CASO:

La ecuación de una recta se determina cuando se conoce la pendiente “m” y un

punto 0 0 0P (x , y ) que pertenece a la

recta.

0 0y y m x x

2do CASO:

La ecuación de una recta se determina cuando se conoce dos puntos de la

recta 1 1 1P (x , y ) , 2 2 2P (x , y ) .

2y

Y

1y

y

1P

2P

P

X' X1x x

2x

Y'

Y'

1LY

XX'

2L

O

Y'

1LY

XX'

2L

O

O

0 0 0P x , y

Y

Y'

X' X

L



2 11 1

2 1

y y y y x x

x x

3er. CASO:

La ecuación de una recta se determina cuando se conoce los puntos de intersección con los ejes del plano

cartesiano (a, 0) , (0, b) .

yx1

a b

A esta ecuación se le denomina ecuación simétrica de la recta.

Donde a 0 y b 0

4to CASO:

La ecuación de una recta se determina cuando se conoce el punto de

intersección con el eje “Y” (0, b) y la

pendiente “m”.

y mx b

Ecuación General de la Recta

Ax By C 0

Despejando “y”: A C

y xB B

La pendiente es: A

m=B

Observaciones:

a) Si m 0

b) Si m 0

2 2 2P x ,y

1 1 1P x ,y

Y

Y'

L

XX'

XX'

Y'

Y

(0, b)

(a, 0)

L

XX'

Y'

Y

(0, b)

L

y mx b

θ

Y

Y'

XX'O

y mx b

θ

Y

Y'

XX'O



c) Si L // x m 0

d) Si L // y m no está definida

Forma Normal de la ecuación de una Recta

x Cos y Sen p 0 . .

Donde:

P: longitud de la normal desde el origen (p siempre es positivo)

1OP L donde 1OP es la normal

0º 360º

Distancia de un punto a una recta

Ecuación de L: Ax By C 0

Punto 0 0P(x , y )

Distancia del punto P a L

0 0

2 2

Ax By C d

A B

Distancia entre dos rectas paralelas dadas las rectas

1 1L : Ax By C 0

2 2L : Ax By C 0

1 2

2 2

C C d

A B

Área de un Triángulo

Si se conoce tres puntos no colineales:

1 1A (x , y ) ; 2 2B (x , y ) ; 3 3C (x , y )

XX '

Y

Y'

b y b

O

XX '

Y

Y'

x a

Oa

Y

Y'

XX'O

L

p

Y

Y'

XX'O

L

d

0 0P(x , y )

XX '

1L

d2L

Y

Y'

O



Entonces el área de la región se calcula por el valor absoluto de:

1 1

2 2

3 3

x y 11

S x y 12

x y 1

Método Práctico para determinar el área de una región triangular

Si se conoce tres puntos no colineales

1 1A (x , y ) ; 2 2B (x , y ) ; 3 3C (x , y )

Entonces el área de la región se calcula por el valor absoluto de:

Área: 1

S N M2

En esta fórmula los valores de N y M son productos combinados de las coordenadas de los puntos que forman la región triangular, tal como sigue:

Sabiendo que:

Área de un Polígono

Sea 1 2 3 nA .A ,A ,......A , un polígono

cuyos vértices, nombrados en sentido antihorario tienen coordenadas:

1 1 1A x ;y , 2 2 2A x ;y , 3 3 3A x ;y ,

… , n n nA x ;y

El área del polígono estará dado por el siguiente determinante:

1 1A x ;y

3 3C x ;y

2 2B x ;y

X

Y

O

S

1 1A x ;y

3 3C x ;y

2 2B x ;y

X

Y

O

S

1 1

1 2 2 2 1 2

2 3 3 3 2 3.

x y

y x x y x y

y x x y x y

.

.

.

.

.

.

.

.

3 1 1 1 3 1 y x x y x y

M N

1 1

1 2 2 2 1 2

2 3 3 3 2 3

3 1 1 1 3 1

x y

y x x y x y

y x x y x y

y x x y x y

M N

3A

XO

2A

1A

nA

n 1A4A

5A

X '

Y '

S

Y



1 S N M

2

Secciones Cónicas

Definición:

A continuación estudiaremos 4 curvas que por su importancia y aplicaciones en algunas ramas de la ciencia, es necesario considerarlas. Cada una de estas curvas se describirá como un lugar geométrico y se demostrará que cada una de ellas es la gráfica de una ecuación cuadrática en “x” o “y”, que se puede representar como caso especial de la ecuación general siguiente:

2 2 Ax Bxy Cy Dx Ey F 0

En donde los coeficientes A, C, D, E, y F, son números reales que determinan el tipo de curva correspondiente que, en caso de existir, tendremos la línea recta, la circunferencia, la parábola, la elipse o una hipérbola.

En otros casos la curva, puede presentarse como una recta o un par de rectas, también puede ser un punto o el conjunto vacío.

Se llama CÓNICA al conjunto de puntos que forman la intersección de un plano con un cono de revolución de dos mantos, estas cuatro curvas son: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola.

DISCRIMINANTE DE LA ECUACIÓN

A partir de la ecuación general:

2 2 Ax Bxy Cy Dx Ey F 0

podemos saber de qué cónica se trata

recurriendo al binomio 2

B 4AC ,

llamado discriminante de la ecuación, el cual se representa con la letra D de

donde: 2

D B 4AC

Por lo cual tenemos los casos siguientes:

Si: 2

D B 4AC 0 , se trata de una

Elipse

Si: 2


Parábola

Si: 2


Hipérbola

Es decir: Si el valor del discriminante de una ecuación es negativo, cero o positivo nos indica que la ecuación corresponde a una elipse, a una parábola o a una hipérbola respectivamente.

Circunferencia

Es el lugar geométrico de un punto

P(x, y) del plano, que se mueve a una

distancia constante (Radio) de un punto fijo del plano (Centro). Si tenemos:

A B

X

Y

O

E

F

TLC

r

NL



Donde: C : Centro de la circunferencia r : radio

AB : Diámetro = 2r

EF : Cuerda

NL : Recta Normal

TL : Recta Tangente

Formas de la Circunferencia

1. Forma OrdinariaCuando el centro de la circunferencia esun punto cualquiera (h, k).

2 2 2 (x h) (y k) r

2. Forma Canónica

La forma canónica de una ecuación seda cuando el centro de la circunferencia es el origen de

coordenadas h 0 y k 0 .

2 2 2 x y r

3. Circunferencia tangente al eje “x”

Se da cuando: r k

2 2 2x h y k k

4. Circunferencia tangente al eje “Y”

Se da cuando: r h

2 2 2 (x h) (y k) h

5. Ecuación General de la Circunferencia

2 2 x y Ax By C 0

Completando Cuadrados 2 2

A B A B 4Cx x

2 2 4

De aquí se tiene tres casos:

1er Caso: Si: 2 2

A B 4C 0

Entonces: A B

C ;2 2

además:

X

Y

O

r

P x,y

h

k C h,k

X

Y

O

k

h

k C h,k

X

Y

O

h

h

k C h,k

X

Y

O

r



2 21r A B 4C

2

2do. Caso: Si: 2 2

A B 4C 0

Entonces: A B

C ;2 2

(Representa

un solo punto)

3er Caso: Si: 2 2

A B 4C 0

Entonces: (La ecuación representa a una circunferencia imaginaria)

Ecuación de una Circunferencia que pasa por tres puntos

La ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos conocidos

1 1 1P x ,y , 2 2 2P x ,y y 3 3 3P x ,y ,

estará dada por la siguiente determinante:

2 2

2 21 1 1 1

2 22 2 2 2

2 23 3 3 3

x y x y 1

x y x y 10

x y x y 1

x y x y 1

El cual permite determinar las incógnitas A, B, C de la ecuación.

2 2x y Ax By C 0

Intersección de dos circunferencias secantes Dadas las ecuaciones de dos circunferencias secantes, es posible calcular sus puntos de intersección hallando previamente la recta “eje radical” cuya ecuación está representada por la expresión que resulta de anular mediante cancelación los términos cuadráticos de las ecuaciones de las circunferencias.

La Parábola

Se describe geométricamente como la curva que resulta al interceptar un cono recto circular y un plano paralelo a la generatriz del cono.


P(x, y) del plano, que se mueve a una

distancia que equidista de una recta fija (Directriz) y de un punto fijo F (Foco) que no pertenece a la recta fija.

Elementos que se relacionan entre si en una parábola cualesquiera. Donde:

F : Foco (Punto fijo) V : Vértice (Punto fijo)

1L : Eje focal ( a L )

CD : Cuerda focal

AB : Lado recto ( 1 a L )

VF P : Distancia focal

VF VG

FORMAS DE LA PARÁBOLA

PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL EL EJE “X”

Y

L

D

BF

V C A

P x,y

X

1L Directriz

Eje focal

G



Cuya ecuación es: 2

y 4px

a) Primer caso: Si p 0 , la parábola

se abre hacia la derecha

b) Segundo caso: Si p 0 , la parábola

se abre hacia la izquierda y la recta directriz es perpendicular al eje “X”

Donde:

AB 4p Lado recto

x p Ecuación de la directriz

PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL EL EJE “Y”

La recta directriz es siempre paralela al eje “X” y el eje focal es el eje “Y” Cuya ecuación es:

2 x 4py


se abre hacia arriba.


se abre hacia abajo.

Donde:

AB 4p lado recto

x p Ecuación de la directriz

Parábola de vértice V(h, k) y eje focal paralelo al eje “X”

La recta directriz es siempre paralela al eje “Y” y el eje focal es paralelo al eje “X”. La ecuación es:

2y k 4p x h


se abre hacia la derecha

Y

X

L

F p,0V

dd

F p,0

A

B

L

XV

Y

dd

Y

XP x,y

L

V 0,0

F 0,p

A BF(0, p)

P(x, y)

V(0, 0)

L

X

Y




se abre hacia la izquierda.

Donde:

AB 4p Lado recto

x h p Ecuación de la directriz

Parábola de vértice V(h, k) y eje focal paralelo al eje “Y”


x h 4p y k

En forma análoga a los casos anteriores:

a) Si p 0 , la parábola se abre hacia

arriba

b) Si p 0 , la parábola se abre hacia

abajo

Donde:

AB 4p Lado recto

x k p Ecuación de la directriz

Ec. General de la Parábola

2 2 Ax By Cx Dy E 0

a) Si el eje es paralelo o coincide con el

eje “x” A 0, B 0, C 0 luego la

ecuación será: 2

y ay bx c 0

b) Si el eje es paralelos o coincide con

el eje “y” A 0, B=0, D 0 luego la

ecuación será: 2

x ax by c 0

Ecuación de la Tangente y la Normal a la parábola

a) Para la parábola: 2

y 4px

Y

X

F h p, k

L : x h p

V(h, k)

P(x, y)

Y

X

F h p, k

L : x h p

V(h, k)

P(x, y)

Y

X

P x,y

L

V h, k

F h, k p

TL

X

YNL

SL

2y 4px

P(x, y)

1 1 1P (x , y )



LS 2 1

LT 1

1LN

4p m

y y

2p m

y

y m

2p

T 1 11

1N 1 1

2p L : y y x x

y

yL : y y x x

2p

b) Para la parábola2

y k 4p x h

T 1 11

1N 1 1

2p L : y y x x

y k

y kL : y y x x

2p

c) Para la parábola:2

x 4py

2 1LS

1LT

LN 1

x x m

4p

x m

2p

2p m

x

1T 1 1

N 1 11

x L : y y x x

2p

2pL : y y x x

x

d) Para la parábola

2x h 4p y k

1T 1 1

N 1 11

x h L : y y x x

2p

2pL : y y x x

x h

Teoremas

1. La recta tangente a la parábola2

y 4px en cualquier punto 1 1 1P x ,y

de la curva tiene por ecuación:

T 11L : y y 2p x x.

2. La recta tangente de pendiente “m” a

la parábola 2

y 4px tiene por

ecuación:

Tp

L : y mxm

; donde m 0

Elipse


P x, y que se mueve en un plano de

tal manera que la suma de sus

distancias a dos puntos fijos 1F y 2F de

ese plano, es una constante.

Una elipse es en realidad un círculo deformado que además de poseer centro tiene dos focos.

TL

X

Y

NL

2x 4py P(x, y)

1 1 1P (x , y )

SL



Donde:

1 2

1 2 1 2

1 2

1 1 2

C : Centro

V y V : Vértices

F y F : Focos F F 2C

L : Eje focal Eje mayor : V V 2a

L : Eje normal Eje menor : B B 2b

DD y D'D': Directrices

1 2

1 2

TU : Lado recto

MI : Cuerda focal

RE : Diámetro

PF y PF : Lado recto

F F : Segmento focal

Relaciones Fundamentales

2 2 2a b c

Elipse de Centro el Origen y Eje focal el Eje “X”


2 2

yx1

a b

Donde:

* 1V a,0 y 2V a,0 , son los

vértices de la elipse.

* 1B 0,b y 2B 0, b son los

extremos del eje menor.

* 1 2F c,0 y F c,0 : Son los focos

* 2

ax

c; Ecuación de la directriz

* e: excentricidad: c

ea

* Lado recto:2

2b

a

Elipse de Centro el Origen y Eje Focal el Eje “Y”

Y

X

D '

D '

O D

D

V1

V2

T

U

R

E

M

I

B1

P

F1

F2C

2a

2c

2V1V

2B

1B

1F 2FO2b

2V1V

P

1F 2FO

a ab

c c

2V1V

1B

1F 2F

2B

P x,y

Y

X

1V

1B2B

P x,y

X

2VY

1F

2F



Cuya ecuación es: 2 2

2 2

yx1

b a

Donde:

* 1V 0, a y 2V 0,a : Son los


* 1B 0,b y 2B b,0 : Son los

extremos del eje menor.

* 1 2F 0, c y F 0,c : Son los focos

* 2

ay

c: Ecuación de la directriz

* e: excentricidad: c

ea

* Lado recto:2

2b

a

Elipse de centro el punto C h,k y

Eje Focal paralelo al Eje “x”.


2 2

y kx h1

a b

Donde:

* 1V h a,k y 2V h a,k : Son los


* 1 2B h,k b y B h,k b son los

extremos del eje menor

* 1 2F h c,k y F h c,k : Son los

focos

* 2

ax h


Elipse de Centro el Punto C h,k y

Eje Focal paralelo al Eje “Y”

La ecuación de la elipse cuyo eje focal es paralela al eje “Y” esta dado por la ecuación.

22

2 2

y kx h1

b a

Cuyos elementos se encuentra relacionados entre si, entre sus elementos se tiene:

* 1V h,k a y 2V h,k a : Son los


* 1 2B h b,k y B h b,k son los

extremos del eje menor

* 1 2F h,k c y F h,k c : Son los

focos

* 2

ax k


2V1V

1B

1F 2F

2B

P x,y

C

1V

1B2B

P x,y

X

2V

1F

2F

Y

C



Propiedades de la Elipse

Donde:

1 2

1 2

d P,F d P,Fe

d P,L d P,L

e: excentricidad de la elipse

Propiedades:

* 1 1 1 2d B ,F d B ,F a

2 1 2 2d B ,F d B ,F a

* 1 2a

d C,L d C,Le

* c ae

* 2 2 2

a b c

* c

0 e 1 ó e= <1 a

* Lado recto2

2b

a

Ecuación General de la Elipse

2 2 Ax By Cx Dy E 0

Reduciendo a la forma ordinaria:

2 2C D

x y2A 2B 1

BT AT

Donde: 2 2

2 2

BC AD 4ABE T

4A B

Recta tangente a una elipse

1er Caso: Ecuación de la recta tangente a la elipse:

22

2 2

yx1

a b

En cualquier punto 1 1P x ,y

2 2 2 2T 1 1L : a yy b xx a b

2do. Caso: Ecuación de la recta tangente de pendiente “m” a la elipse.

22

2 2

yx1

a b

2 2 2T L : y mx a m b

Ecuación del Diámetro de una Elipse

1er Caso: Si la elipse es:

22

2 2

yx1

a b

P x,y un punto del lugar geométrico y

Y

X

D '

O

L2

V1

V2B1

F1

F2

directriz

B2

P x, y b

a

directriz

L1

c ae

2V1V

Y

X

1 1 1P x ,y

O

m

TL



1 1 1P x ,y , 2 2 2P x ,y los extremos de

la cuerda dado que “p” biseca 1 2P P .

2

2

b x L : y

a m

2do Caso: Si la elipse es:

22

2 2

yx1

b a

La ecuación del diámetro es: 2

2

a x L : y

b m

3er Caso: Si la elipse es:

22

2 2

y kx h1

a b


2

b x h L : y k=

a m

4to Caso: Si la elipse es:

22

2 2

y kx h1

b a


2

a x h L : y k=

b m

Diámetros Conjugados Si tenemos la elipse

22

2 2

yx1

a b

La ecuación del diámetro que biseca a las cuerdas de pendiente “m” es:

2

2

b x L : y

a m

Ecuación de su diámetro conjugado

1L : y mx

Propiedades:

1ro. Si la elipse es de la forma 22

2 2

yx1

a b

Entonces: 2

1 2

b m m

a

“m” y 1"m " pendientes de los diámetros

conjugados.

2do. Si la elipse es de la forma: 22

2 2

y kx h1

b a

Entonces: 2

1 2

a m m

b

“m” y 1"m " pendientes de los diámetros

conjugados.

Cuerda de contacto Observemos un ejemplo al tener la elipse de ecuación:

22

2 2

yx1

a b Y

X

1 1 1P x ,y

O

m

L



La cuerda de contacto en una elipse se genera si cuando desde un puno fijo

exterior 1 1 1P x ,y de la elipse se trazan

dos tangentes a dicha elipse, la ecuación de la recta que pasa por los puntos de tangencia esta dado por:

2 2 2 21 1L : a b a b yy xx

Hipérbola


P x,y que se mueve en un plano de

tal manera que la diferencia de sus

distancias a dos puntos fijos 1 2F y F

llamados focos, es siempre igual a una constante positiva “2a”.

Elementos:

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

C : Centro y punto medio de F F

V y V : Vértices

F y F : Focos F F 2c

Eje transversol V V 2a

Eje conjugado B B 2b

AB : Lado recto

MT : Cuerda focal

PF y PF : Radio vector

Excentricidad “e” de la Elipse:

1 2

1 2

d P,F d P,Fe

d P,L d P,L

Propiedades:

* Lado recto2

2b

a

* 2 2 2

a b c

* c ae

* 1 2a

d C,L d C,Le

* c

e 1a

* si a b , entonces la hipérbola es

equilátera: e 2

* Distancia entre las rectas directrices2

12a

L L2c

Relaciones Fundamentales

Hipérbola de Centro el Origen y Eje Focal el eje “X”

X

Y

1F

2F

C

A

B

1V

2V

2B

1B

M

TP

1F 2F1V 2V

P x,y

1F 2F

2B

1B

1V 2V

2C

2a

2b




2 2

yx1

a b

Donde:

* 1 2V a,0 y V a,0

* 1 2F c,0 y V c,0

Ecuación de sus Directrices 2

ax

c

Hipérbola de Centro el Origen y Eje Focal el Eje “Y”.


2 2

y x1

a b

Donde:

1 2V 0, a y V 0,a

1 2F 0, c y F 0,c


a y

c

Hipérbola de centro el punto C h,k

y Eje Focal Paralelo el Eje “X”


2 2

y kx h1

a b

Donde:

* C h,k : centro

* x' x h y ' y h

* 1 2V h a,k y V h a,k

* 1 2F h c,k y F h c,k

* Lado recto:2

2b

a

* Excentricidad: c

e 1a

* Asíntotas:b

y k x ha

* Eje Focal: y k

* Eje conjugado: x h


a x h

c

Las coordenadas del punto P, pueden tomarse con referencia a los ejes X’Y’ para facilidad de cálculo.

1F

2F

1V

2V

P(x,y)

X

Y

1F 2F1V 2V

P(x,y)

X

Y

X

Y

C

C



Hipérbola de Centro el Punto C(h, k) y Eje Focal paralelo al Eje “Y”.


2 2

y k x h1

a b

Donde:

* C h,k : centro

* x' x h y ' y h

* 1 2V h,k a y V h,k a

* 1 2F h,k c y F h,k c

* Lado recto:2

2b

a

* Excentricidad: c

e 1a

* Asíntotas:a

y k x hb

* Eje Focal: x h

* Eje conjugado: y k


a y k

c

Asíntotas de una Hipérbola

Se denominan asíntotas a las rectas que limitan a la curva y no la intersecan, son las que le dan el carácter de simétrica a la hipérbola.

22

2 2

P= a,byx1

R a,ba b

1bx

L : ya

2bx

L : ya

2do. Hipérbola Vertical: 22

2 2

P= a,by x1

R a,ba b

1ax

L : yb

2ax

L : yb

Observaciones:

a) Las asíntotas de cualquier hipérbolahorizontal o vertical pueden obtenerseigualando a cero el segundo miembro

1V 2V

1L

X

Y2L

1B

2B

R R

1L2L

1B2B

1V

2VR

X

Y

1F

2F

1V

2V

P(x,y)

XC

Y

X

Y



de la ecuación correspondiente y

despejando y F x .

* Hipérbola Horizontal22

2 2

yx0

a b

Despejando: 2 2

2

2

b x bxy y

aa

* Hipérbola Vertical22

2 2

y x0

a b

Despejando: 2 2

2

2

a x axy y

bb

b) Las asíntotas de las hipérbolas en suforma canónica son conjugadas. Esdecir, si la ecuación de la hipérbola es:

2 2 2 2 2 2b x a y a b

bx ay bx ay 0

Luego:

bx ay 0 ó bx ay 0

c) Las asíntotas de una hipérbola sirvencomo líneas de guía en el gráfico

Hipérbola Rectangular o Equilátera

Si el rectángulo fundamental de la hipérbola es un cuadrado. Las asíntotas

son perpendiculares a b

Las cuatro formas son:

1. 2 2 2

x y a

2. 2 2 2

y x a

3. 2 2 2

x h y k a

4. 22 2

y k x h a

Observaciones: a) La excentricidad de una hipérbola

equilátera es constante e igual a 2 .

2 2c a a

e 2a a

b) La longitud de cada lado recto de unahipérbola equilátera es igual a lalongitud del eje transverso o conjugado.

Lado recto2

2a2a

a

También:

Lado recto2

2b2b

b

c) Si 1 1 1P x ,y es un punto cualquiera

de la hipérbola: 2 2 2

x y a y 1d , 2d

son las distancias del punto 1P a las

asíntotas:

1L : x y=0 y 2L : x+y=0

Entonces:

1 11

x yd

2 y

1 12

x yd

2

Donde: 2 2 2

1 11 2

x y ad d

2 2

El producto de multiplicar las distancias de un punto cualquiera de la hipérbola a sus asíntotas, es constante.



Ecuación General de la Hipérbola

2 2Ax By Cx Dy E 0

Reduciendo a la forma ordinaria 2 2

C Dx y

2A 2B1

t t

A B

Donde: 2 2

C Dt A x B y

2A 2B

Observación:

* Si t 0 , la ecuación representa una

hipérbola con eje real o transversocoincidente o paralelo al eje “X”.

* Si: t 0 , la ecuación representa

dos rectas concurrentes

* Si: t 0 , la ecuación representa

una hipérbola con eje realcoincidente o paralelo al eje “y”.

Tangentes a una Hipérbola

1er. Caso:

Ecuación de la recta tangente a la Hipérbola:

2 2 2 2 2 2b x a y a b , en un punto

cualquiera 1 1 1P x ,y de la curva es:

2 2 2 2T 1 1L : b xx a yy a b

2do Caso:

Ecuación de la recta tangente a la Hipérbola:

2 2 2 2 2 2b y a x a b ; en un punto

cualquier 1 1 1P x ,y de la curva es:

2 2 2 2T 1 1L : b yy a xx a b

3er Caso:

Las ecuaciones de las rectas tangentes a la Hipérbola:

2 2 2 2 2 2b x a y a b , de pendiente “m”

son:

2 2 2TL : y mx a b m

am

b

Cuerda de Contacto

Si la hipérbola es de ecuación: 2 2 2 2 2 2

H: b x a y a b

La ecuación de la cuerda de contacto

MN es: 2 2 2 2

1 1 L : b xx a yy a b

Ecuación del Diámetro de una Hipérbola

1er. Caso

Consideremos la Hipérbola: 2 2 2 2 2 2

H: b x a y a b

“P” biseca a 1 2P P

2L

X

Y 1L

1P2F

M

N

O



Luego: 2

2

b x L : y

a m

Donde “m” pendiente de las cuerdas paralelas

2do caso:

Consideremos la Hipérbola: 2 2 2 2 2 2

H: b y a x a b

La ecuación de un diámetro será:

Luego: 2

2

a xL : y

b m

Diámetros Conjugados en la Hipérbola

Si se tiene la hipérbola de ecuación: 2 2 2 2 2 2

H : b x a y a b

La ecuación del diámetro que biseca a las cuerdas de pendiente “m” es:

2

T 2

b x L : y

a m

La ecuación de su conjugada es:

y mx

Pendiente de TL :

2

1 2

bm

a m

2

1 2

bm m

a

Para que los diámetros sean conjugados se debe cumplir:

2

1 2

a m m

b

Coordenadas Polares

La ubicación de un punto A en el plano, con respecto a un punto fijo “O” se puede hallar también midiendo una distancia orientada bajo un ángulo. A esta forma de ubicar puntos se denomina “coordenada polar de un punto”.

Coordenadas Polares de un Punto

Consideremos sobre un plano, un rayo (OX) con origen en el punto O. denominado eje polar; el punto O se denomina polo.

Relación entre Coordenadas Polares y Rectangulares de un Punto

Para transformar las coordenadas de un punto de un sistema de coordenadas rectangulares a un sistema de coordenadas polares o viceversa, hacemos coincidir los orígenes de los dos sistemas y el eje polar con el eje

2P

X

Y

L

O

1P

O eje polar

A(dis tancia,ángulo)

X

r



positivo de las abscisas o de las x, como se ve en la figura adjunta en la cual consideramos un punto P, cualquiera. Las coordenadas en ambos sistemas del punto P son:

P (x, y) y P (r, )

Cambio de Sistema de Coordenadas cartesianas a Polares y Viceversa

Aplicando relaciones trigonométricas obtenemos:

ysen y rsen

r… (I)

xcos x r cos

r… (II)

Que son las ecuaciones de transformación de un sistema a otro.

Elevando al cuadrado las expresiones (I) y (II), luego sumando:

2 2 2 2 2 2x y r cos r sen

2 2 2 2 2x y r (cos sen )

Pero: 2 2

cos sen 1

Por lo cual:

2 2 2 2 2r x y r x y … (III)

Las expresiones anteriores (1), (2) y (3) son válidas para todos los puntos del plano, es decir, podemos convertir con

facilidad las ecuaciones rectangulares de las curvas en el plano a su forma polar o viceversa.

Ejemplo 1: Dada la ecuación de la circunferencia:

2 2x y 16

Hallar su ecuación en coordenadas polares.

Solución: Reemplazando por sus equivalentes

2 2 2 2r cos r sen 16

2 2 2r (cos sen ) 16

2r 16 r 4

Ejemplo 2: Hallar la ecuación en coordenadas polares de la relación:

2 2 4 2x y x 4x y

Solución: Reemplazando por sus equivalentes

2 2 2 2 4 4 2 2r cos r sen r cos 4r cos rsen

4 2r cos

2 2 2 2(sen cos ) 4r cos rsen

r( cos2 ) 4sen

r cos2 4sen 0

OX

r

P(x,y)P(r,θ)

Circunferencia

R

L 2 R=

Círculo

A R= 2

Longitud de Arco

R

R

R

0 < < 2

SECTOR CIRCULAR

R

SistemaSexagesimal

Unidad (1°)

1°<>60’1’<>60’’

m

SistemaCentesimal

Unidad (1g)

= 400g

1 <>100

1 <>100

g m

m s

SCR

SistemaRadial

SCR

S9

C R10= =

20

Unidad (1 rad)

=2 rad

223,1416 7≈ ≈

SISTEMAS ANGULARES

=360°

S C R180 200

= =

=2 rad

+≈ ≈3 2 10

m m

m

Trigonometría FORMULARIO PREUNIVERSITARIO


Área de Sector Circular

R

R

S

--

S = 1 LR2

L

-

-

L

S= L2

2

R

R

S

-

-

221S . R=

TrigonometríaFORMULARIO PREUNIVERSITARIO


60º

2 k k 3

k

Razones RecíprocasSen A Csc A = 1Cos A Sec A = 1Tan A Cot A = 1

Razonescomplementarias

Sen A = Cos CTan A = Cot CSec A = Csc C

m A m C 90∠ + ∠ °=

Teorema de Pitágoras∆ ABC (recto en B)

a2 + c2 = b2

=

=

=

=

=

=

Cateto OpuestoSen AHipotenusa

Cateto AdyacenteCos AHipotenusa

Cateto OpuestoTan ACateto Adyacente

Cateto AdyacenteCot ACateto Opuesto

HipotenusaSec ACateto Adyacente

HipotenusaCsc ACateto Opuesto



Datos generales

• Lado (a)

• Ángulo ( θ )

Relaciónfundamental

( )lo que quiero R.T.lo que tengo

= θ

RazonesTrigonométricas

C.O. C.A.Sen CosH H

C.O.TanC.A.

= =

=

Área de regióntriangular

abS Sen2

θ=

Cálculo de Sen θ

2SSenab

θ =

Primer caso Segundo caso Tercer caso



1 2 1 2x x y y,

2 2+ +

PA

Bmk

nk

mA nBPm n

+=+

3. 4.

G: Baricentro

A B CG3

+ +=

a a a; a 0∀ ∈ = >

a a; a 0= − <

2a a=

5. 6.

( ) ( )2 22 1 2 1D x x y y= − + −

1. 2.



ECUACIÓN DE LA RECTA

D. Rectas perpendiculares

= –1 2m m 1

1 2L L⇒ ⊥

C. Rectas paralelas

1 2m m=

1 2L // L⇒

E. Ecuaciones1. Forma General.

L: Ax + By + C = 02. L: y = mx + b

A Pendiente de la recta

m Tan θ=

2 1

2 1

y – ym

x – x=

B. Ángulo de inclinación de larecta



a = a; a > 0a = –a; a < 00 = 0

m C = 90ºn, n< Ζ

x

su lado finalcoincide con los semi ejes.

SenCsc

TanCot

ParaTodas

CosSec

x: abscisay: ordenadar: radio vector

r = x + y ; r > 02 2

y(x,y)

r

x

θ

Sen Csc

Cos Sec

Tan Cot



R.T.(90 )= CoR.T.( )

R.T(270 )=

± ±

± ±

0º <

R.T.(180º )= R.T.( )

R.T(360º )=

± ±

± ±

0º <

Sen(– ) = –Sen

Tan(– ) = –Tan

Cos(– )= Cos

Si:

Cos Cos 0

Tan Tan 0

Cot Cot 0

Sec Sec 0

+ =

+ =

+ =

+ =

+ =

Si: 2

Sen Sen 0

Tan Tan 0

Cot Cot 0

Csc Csc 0

+ =

+ =

+ =

+ =

+ =

R.T.(360ºK + )= R.T.( )

R.T(2K + )=

0º < K Z

Cot(– ) = –Cot

Csc(– ) = –Csc

Sec(– )= Sec

R.T. (2n) R.T.(0)=





I.P

itag

óri

cas

I.R

ecí

pro

cas

I.po

r D

ivis

ión

Ide

nti

dad

es

Au

xili

are

s

Sen

x C

osx

12

2+

=

Sen

x 1

C

osx

22

=–

Cos

x 1

S

enx

22

=–

1 Ta

nx

Sec

x +

=

22

Tan

x S

ecx

12

2=

–

1 S

ecx

Tan

x=

–2

2

1 C

otx

Csc

x+

=2

2

Cot

x C

scx

12

2=

–

1 C

scx

Cot

x=

–2

2

Senx

Csc

x 1

=

Senx

1 C

scx

=

Cscx

1 S

enx

=

Cosx

Sec

x 1

=

Cosx

1 S

ecx

=

Secx

1 C

osx

=

Tanx

1

Cot

x=

Cotx

1 Tan

x=

Tanx

S

enx

Cos

x=

Cotx

C

osx

Sen

x=

Senx

T

anxC

osx

=

Cosx

C

otxS

enx

=

Sen

x+Co

s

12S

enxC

os4

2=

– 4

2x

x

(Sen

xCo

s

12S

enxC

os=

±±

x)x

2

Senx

1±Co

sx1

Cos

xSe

nx=

Sen

x+Co

s

13S

enxC

os6

2=

– 6

2x

x

1Se

cx±T

anx

Secx

T

anx

=

Sec

x+Co

s

Sec

xCos

22

=2

2x

x

(1Se

nx+

Cos

2

(1Se

nx)(

1Co

s=

±±

±x)

x)2

Tanx

+ C

ot

Sec

xCsc

=x

x

1 S

enxC

osx

=

Cosx

1 ±Se

nx1

Sen

xCo

sx=

1Cs

cx±C

otx

Cscx

Co

tx=

IDEN

TID

AD

ES T

RIG

ON

OM

ÉTR

ICA

S



Sen(x y) SenxCosy CosxSeny

Cos(x y) CosxCosy SenxSeny

Tanx TanyTan(x y)1 TanxTany

± ±

±

±±

=

=

=

Si x y z (2n –1) ; n Z2

TanxTany TanxTanz TanyTanz 1

Cotx Coty Cotz CotzCotyCotz

π ∈+ +

+ + +

+ +

=

=

Si x y z n ; n Z

CotxCoty CotxCotz CotyCotz 1

Tanx Tany Tanz TanxTanyTanz

π ∈+ +

+ +

+ +

=

=

=



Cos + Cot=

Seno del doble Coseno del doble

Tangente del doble:

Seno de la mitad

12

Ángulos doble y Ángulos mitad I

Coseno de la mitad

12

Fórmula racionalizada Tangente de la mitad

=

Tan2

Sen2 = 2Sen Cos

Sen 2 = 4Sen Cos2 2 2

Sen2 = Cos Sen2 2–

Cos2 = 2Cos 12 –

Cos2 = 1 2Sen– 2

Tan2 = 2Tan1–Tan θ

Sen2 = 2Tan1+Tan θ

Cos2 = 1 – Tan1+Tan

2

2 θ

a ba b

+ –

x b=

x

a

b

a>b2Tan

1+Tan2

Sen 2

(1 Cos )– Cos 2

(1 Cos )+

Cot 2

Tan 2

Csc – Cot

1 + Cos2 = 2Cos2

1 – Cos2 = 2Sen2

1 – Cosθ



Ángulo mitad Ángulo triple

xCot Cscx Cotx2xTan Cscx – Cotx2

=

=

+( )

( ) ( )

3Sen3x 3Senx – 4Sen x

Sen3x Senx 2Cos2x 1

Sen3x 4SenxSen 60 – x Sen 60 x

=

= +

= ° ° +

IdentidadAuxiliarx xCot Tan 2Cscx2 2x xCot – Tan 2Cotx2 2

=

=

+ ( )( ) ( )

3Cos3x 4Cos x – 3Cosx

Cos3x Cosx 2Cos2x – 1

Cos3x 4CosxCos 60 – x Cos 60 x

=

=

= ° ° +

1 CosxxCot2 1 – Cosx

1 – CosxxTan2 1 Cosx

±

±

+

+

=

=

( ) ( )3

2

Tan3x TanxTan 60 – x Tan 60 x

3Tanx – Tan xTan3x1 – 3Tan x

= ° ° +

=

'

' 36°



I. Suna o diferencia a producto

Observación:

A B A – BCosB – CosA 2Sen Sen2 2

= +

II. Producto a suma o diferencia

Observación:

2SenxSeny=Cos(x–y)–Cos(x+y)

2SenxCosy Sen(x y) Sen(x – y)2CosxSeny Sen(x y) – Sen(x – y)

x y2CosxCosy Cos(x y) Cos(x – y)–2SenxSeny Cos(x y) – Cos(x – y)

>

===

=

+ +++ +

+

A B A – BSenA SenB 2Sen Cos2 2

A B A – BSenA – SenB 2Cos Sen2 2 A B

A B A – BCosA CosB 2Cos Cos2 2A B A – BCosA – CosB –2Sen Sen

2 2

+ >

=

=

=

=

+

+

++

+

Propiedades

Sen(x – 120 ) Senx Sen(x 120 ) 0Cos(x – 120 ) Cosx Cos(x 120 ) 0

° °° °

==

+ + ++ + +

2 2 2

2 2 2

3Sen (x – 120 ) Sen x Sen (x 120 )23Cos (x – 120 ) Cos x Cos (x 120 )2

° °

° °

=

=

+ + +

+ + +

4 4 4

4 4 4

9Sen (x – 120 ) Sen x Sen (x 120 )89Cos (x – 120 ) Cos x Cos (x 120 )8

° ° =

° ° =

+ + +

+ + +

Si x y z 180°yx zSenx Seny Senz 4Cos Cos Cos

2 2 2yx zCosx Cosy Cosz 4Sen Sen Sen 1

2 2 2

+ +

+ +

+ + +

=

=

=



Propiedades

I)

f

ArcSen(–x) –ArcSenxArcCos(–x) – ArcCosxArcTan(–x) –ArcTanx

x DArcC ot(–x) – ArcCotxArcSec(–x) – ArcSecxArcCsc(–x) –ArcCscx

π ∀ ∈

π π

======

II)

f

Sen(ArcSenx) xCos(ArcCosx) xTan(ArcTanx) x

x DC ot(ArcCotx) xSec(ArcSecx) xCsc(ArcCscx) x

∀ ∈

======

III)

f

ArcSen(Seny) yArcCos(Cosy) yArcTan(Tany) y

y DArcC ot(Coty) yArcSec(Secy) yArcCsc(Cscy) y

∀ ∈

======

Función Función Dominio (x) Rango (y)Inversa Directa

ArcSenx = y Seny = x [–1; 1] – ;2 2π π

ArcCosx = y Cosy = x [–1; 1] 0; π

ArcTanx = y Tany = x R – ;2 2π π

ArcCotx = y Coty = x R 0;π

ArcSecx = y Secy = x R – –1; 1 { }0; –2ππ

ArcCscx = y Cscy = x R – –1; 1 { }– ; – 02 2π π



TEMA 10

R.T. (2K ) R.T.(0)

R.T. (4K 1) R.T.2 2

R.T. (2K – 1) R.T.( )

3R.T. (4K –1) R.T.2 2

π

π π

π π

π π

=

=

=

=

+

Solución general

KG

Sen a

K (–1) Vp( )

Vp ArcSen(a)

θ

θ π θ

=

=

=

+

Signos de la RT

Reducción al primercuadrante (I)

R.T.(90° ó 270° )= CoR.T.( )

R.T.(180° ó 360° )= R.T.( )

0 90

± θ± θ

± θ± θ

< θ < ° °

Solución general

G

Cos a2K Vp( )

Vp ArcCos(a)

θθ π ± θ

===

( x Z)∀ ∈

Reducción al primercuadrante (II)

R.T.(360°k+ )=R.T.( ) R.T.(2K + )=R.T.( )

α απ α α

Solución general

G

Tan aK Vp( )

Vp ArcTan(a)

θθ π θ

===

+

Ángulos cuadrantales

(4K 1)2π

+

(2K 1)− π

(4K 1)2π

−

2Kπ

x

y



b abSenA

bCosA c - bCosAH BA

C

c

Ley de Cosenos

ABC :∆ se cumple2 2 2a b c 2bcCosA= + −2 2 2b a c 2acCosB= + −2 2 2c a b 2abCosC= + −

Ley de Cosenos

ABC :∆ se cumple2 2 2b c aCosA

2bc+ −=

2 2 2a c bCosB2ac

+ −=

2 2 2a b cCosC2ab

+ −=

Ley de Proyecciones

ABC :∆ se cumple

aCosB + bCosA = caCosC + cCosA = bbCosc + cCosB = a

Ley de Senos

ABC :∆ se cumple

a b c 2RSenA SenB SenC

= = =

R: circunradio

Ley de Senos

ABC :∆ se cumple

a = 2R SenA

b = 2R SenB

c = 2R SenC

Ley de Senos

ABC :∆ se cumple

aSenA2R

= bSenB AB2R

=

cSenC2R

= R: circunradio

Ley de Senos

R: circunradio

Ley de Senos



Movimiento Rectilíneo Uniforme

d v.t.=

Observación

– Observar bien las unidades y aplicar el factor de conversación

Km 5 m=h 18 s

; si es necesario

– Tener en cuenta que la fórmula del tiempo de encuentro

y tiempo de alcance son sólo para MRU.

– Para el tiempo de encuentro y de alcance tener en cuenta que losmovimientos son simultáneos.

Encuentro:

e1 2

dtV V+

=

Alcance:

a1 2

dtV – V

=

FísicaFORMULARIO PREUNIVERSITARIO


Observación

– Observar bien si el movimiento es acelerado o desacelerado para colocar elsigno (+); (–), respectivamente en las fórmulas.

– No importa si el movimiento es horizontal, vertical, oblicuo; si es trayectoriarecta y aceleración constante entonces será un MRUV.

– Tener en cuenta las unidades; generalmente las unidades son en el sistemainternacional (S.I.)

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado

= Cambio de velocidadaTiempo

fV Va

t−

=

f iV V at= ± i fV Vd t

2+

=

2i

1d Vt at

2= ± 2 2

f iV V 2ad= ±

Física FORMULARIO PREUNIVERSITARIO


Propiedades movimiento completo (subida y bajada)

Elementos y ecuaciones del MVCL

Donde:• v0: velocidad inicial (m/s).• vF: velocidad final (m/s).• g: aceleración de la

gravedad (m/s2).• h: altura (m).• t: tiempo (s).

• En el punto "c" (altura máxima) la velocidad es cero.

C(V 0)=

• En un mismo nivel la rapidez de subida es igual quela rapidez de bajada.

B D(V V )= ; A E(V V )=

• Entre dos niveles el tiempo de subida es igual que eltiempo de bajada.

AB DEt t= ; BC CDt t= ; AC CEt t=

Nota: * se deduce del punto "3"

isub baj

2i

máx

Vt t

g

VH

2g

= =

=

1. h = v0t ± 12 gt2

2. h =

3. vF = v0 ± gt

4. vF2 = v0

2 ± 2 gh

gravedad (m/s2).



Medida de la interacción entre dos cuerpos

Peso (W)W mg=

Por contacto

FUERZA

A distancia

Fuerza elásticaF = KxE

Otros:- Tensión- Reacción normal- Fricción

• Primera condición de equilibrio: M 0

Σ =

• Segunda condición de equilibrio: M 0

Σ =• Mo

F Mo

F

ANTIHORARIO HORARIO

•

•



Las componentes de las fuerzas (eje x) en dirección del movimiento, cumplen lasegunda ley.Donde:F = R Σ Fuerzas

a favor de “a” Σ– Fuerzasen contra de “a”

1° Realizar un DCL.2° Descomponer las fuerzas en las ejes

del movimiento y del equilibrio.3° Aplicar la 2da ley de Newton en el

eje de movimiento.

Dinámica lineal

( ) ( )

Dinámica Circular

1. Segunda Ley de Newton: FRam

=

2. RF ( F a favor de a ) – ( F en contra de a)∑ ∑

=3. La acción de un cuerpo sobre otro, no es unilateral.

4. cp cpF ma=

5.2

2cp

Va W RR

= =

Segunda Ley de Newton:



1. FW F r± ⋅ ∆=

2. Neto FW WΣ= ó

Neto R( ) : acelerado

W F r( ) : desacelerado

± ⋅ ∆

+=

–

3. De la gráfica, se concluye

0

F

x

A1

A2

A3x1 x2

WF = A1 – A2 + A3

4. mg( ) : baja

W mgh( ) : sube

±

+=

–

1. 2C

1E mv2

=

2. P Pe PgE E E= +

3. PgE mgh=

4.2

Pe1E kx2

=

5. Si solo actúan fuerzas conservativasla energía mecánica se conserva.

Mi MfE E=

ENERGÍA MECÁNICA



• E = ρ L g Vsumergido

• E = Wreal – Waparente

• E = ρ L efg

. Vsumergido

efg

= g

– a

Prensa Hidraúlica

A1

F1

A2

F2

h2h1

1 1 2

2 2 1

F A hF A h

= =

• P = • PHidrostática = ρ L.g.h

• mV

ρ = • wV

γ =

También: HP . hγ=• . g ργ =

Fuerza eléctrica

Unidades610µ –=3m 10–=2c 10–=

Cuantificación dela carga

Q n e⋅=

Carga fundamental

19fQ 1,6 10 C e× –= – =

Ley de Coulomb

1 22

K q qF

d=

F Eq=

29

2Nmk 9 10C

×=

q1; q2: cargasd: distancia

Intensidad de

campo eléctrico

2UnidadKQE :N / Cd

=

ELECTROSTÁTICA

Frotamiento

Inducción

Contacto

Electrización



1 2 3I I I+ =

En cualquier conexión o nudo la sumade todas las corrientes que entrandebe ser igual a la suma de todas lascorrientes que salen.

V IR∑ ∑=

En cualquier circuito; la suma algebraicade los voltajes de las baterias es iguala la suma de las caidas de potencial(IR) de cada resistencia del circuito.

PRIMERA LEY DEKIRCHHOFF

SEGUNDA LEY DEKIRCHHOFF

Potencia disipada en una resistencia

22 VP VI I R

R= = =

qIt

= VRI

= LRA

ρ=

Si encuentras resistencia en serie. Estos se suman

Si encuentras resistencia en paralelo: como por ejemplo:R1

R2

R1 R2

R1 + R2Req =

1R1

Req =1R2

+



Intensidad del campo magnético

0.B2 Dµ Ιπ

=

Espira circular

La inducción magnética en el centroes:

oo

IB

2Rµ

=

Fuerza magnética

F q vBsenθ=

Fuerza magnética sobre unconductor de longitud "L"

F ILB Senθ=

Flujo magnético

BAcosφ θ=

Fuerza electromotriz inducida ( ε )en una barra

vBLε =

Fuerza electromotriz inducida enuna espira

Nt

∆∅ε∆

–=



• x ASen(wt)=

• V WACos(wt)=

• 2a W ASen(wt)= –

•mT 2k

π=

• 2a w x=

• máxV WA=

•2w 2 fTππ= =

•1 kf2 mπ

=

•kwm

=

• 2máxa w A=



ÁTOMOes

la partícula mínima de un elemento que conserva sus propiedades

sus partes son sus partículas fundamentales son

núcleo

núcleo

átomo neutro ion

protones y neutrones principal-mente

compacta

carga positiva

carga negativa

la masa del átomo

el volumenatómico

protón

isótopos isóbaros isótonos

positiva

neutrón

nula

electrón

negativa

zonaextranuclear

zonaextranuclear

solamente a los electrones

casi vacío

contienecontiene

carga cargacarga

es

es

determina

determina

posee

posee

ubicados en el ubicado en

en un

representación representación

se cumple que

se cumple queA q+EZcatión

A q–EZanión

AEz #nº = A – Z

#p = Z #e+ –≠

#p = Z+ #e = –

ejemplo

tipos de núclidos

especie #p+ #e– #n27 3+Al13

33 2–S16

13

16

10

18

14

17

poseen igual poseen igual poseen igual

númeroatómico

númerode masa

número deneutrones

ejemplo ejemplo ejemplo

12C614C6

40Ca2040Ar18

11B514C6

QuímicaFORMULARIO PREUNIVERSITARIO


CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LOS NÚMEROS CUÁNTICOS

Valorespermitidos

Númerocuántico

Determina para el

electrón orbital

Principal(n)

Secundario o

azimutal( )l

Magnético(m )l

SpinMagnético

(m )s

n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

∞

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ K L M N O P Q (Capas)

El nivel principal de

energía

El tamaño o volumen

La forma geométrica

Su orientación

espacial

no tiene significado

l = 0, 1, 2, 3, ...(n – 1)

↓ ↓ ↓ ↓ s p d f

máximovalor

El subnivel de energía

El orbital o REEMPE

El sentido de rotación

o

m = , ..., 0, ... +l l l

m = + , ..., 0, ... –l l l

En el átomo actual, el nivel de energía queda definido con n, un subnivel se define con los valores de n y , un orbital con n, y m y un electrón queda definido con n, , m y m .

l ll

l

l s

– – –

Antihorario Horario

1m = +1/2s

1m = –1/2s

Química FORMULARIO PREUNIVERSITARIO


CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA

ordenamiento sistemático de los electrones en la zona extra nuclear

es el

se basa en

permite

según

ejemplo

otros

16S = Ne 3s 3p[ ] 2 4

23V = Ar 4s 3d[ ] 2 3

según Kernel

principio de aufbau

distribuir a través de lossubniveles

el orden creciente de laenergía relativa (E )R

9F: 1s 2s 2p52 2

Er: 1 2 3

16S = s 2s1 2 2 6 2 42p 3s 3p23V = s 2s1 2 2 6 2 5 2 3 2p 3s 3p 4s 3d

2He:↑↓1s

electrón n l ml ms

1 0 ms

1 ms0

0

0

permite

estableciendo que

ejemplos

en un átomo dos electrones no pueden tener sus 4 números

cuánticos iguales

principio de exclusión de Pauli

Distribuir a través de un orbital

permite

para ello

ejemplos

ejemplos

distribuir a través de losorbitales de un subnivel

a todos los orbitales se les deja a medio llenar

antes de llenarlo

a todos los orbitales se les deja a medio llenar

antes de llenarlo

gO:↑↓1s

↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓2s 2px 2py 2pz

16S: [Ne]:↑↓3s

↑↓ ↑↓ ↑↓3px 3py 3pz

Todos sus electronesapareados

uno o más electronesdesapareados

diamagnético paramagnético

si posee

será será



TABLA PERIÓDICA ACTUALes un

en función de

instrumento del ordenamientosistemático de los elementos

sus números atómicos crecientes

clasificación

Según las propiedadesde los elementos

por bloques

según la

para

distribución electrónica

final

elementos representativos

elementos de transición

en subniveless y/o p

en subnivelesd y/o f

finalizan

finalizan

Conductividadeléctrica

como

pueden ser

ejemplos

buena regular mala

metal mateloide no metal

- Fe- Cu- Ag- Pb- Au

- B- Si- Ge- As- Sb

- C- H- O- N- S

en

periodos

horizontalmente

grupos

en columnas

ordena a los elementos

poseen poseen

igual número de niveles o capas

igual número de electrones de valencia

presentan

propiedades químicas diferentes

propiedades químicas similares

tradicionalmente

existen 7 periodos y16 grupos

según IUPAC

existen 7 periodos y18 grupos



prop

ieda

des

subm

icro

scóp

icas

de

los

elem

ento

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3

2

PR

OP

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PER

IÓD

ICA

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MIC

AS



ENLACE QUÍMICO es la fuerza que une átomos de una sustancia

de naturaleza

Electrostática Electromagnética

llamada llamada

Enlace iónicoo electrovalente

Enlace covalente

se da generalmente

entre un metal y un no metal mediante transferencia de electrones

Ejemplos:

MgO, CaF , ...2 excepciones

Estructura de Lewis

[Mg]2+

[Ca]2+

O

F

2+

1–2

en Compuestos binariosiónicos

generalmente

∆ ≥EN 1,7∆EN: Diferenciade electronegatividad

X = halógeno

BrX , A X

NH C , NH Br ...2

4 4

3



UNIDADES QUÍMICA DE MASA

MoléculaÁtomo

n = =mmA

# átomosNA

n = =mM

# átomosNA

N = 6,023 x 10A23 m: masa

Unidades fórmula

n = =mPF

# unidadesfórmula

P.F.: peso fórmula



Propiedades generales

Teoría cinética molecular

Ecuación general de losgases

A nivelsubmicroscópico

A nivelmacroscópico

– Alta entropía– Grandes

distanciasintermoleculares

– Alta energía

– Expansión– Comprensión– Difusión– Efusión

Variables de estado

Volumen

Igual a la capacidad

delrecipiente

que lo contiene

Temperatura

es

Presión

es

Un estado de agregación de la materia, en la cual las moléculas que lo componen poseen un movimiento caótico.

La energíacinética

media de las moléculas

choques de las moléculas del gas con la

pared del recipiente

participan en lala cual

justifica la Ecuación universalde los gases

PV = RTn

PM = DRT

en condiciones normales (CN)

V =nx22,4Lgas

D = g/LgasM

22,4

P=1atm<>760 mm Hg yT=0ºC <> 273 K

P VT1 1

1

P VT2 2

2

=

si, además, una variablede estado es constante

Isotérmico(T=cte.)

P V =P V1 1 2 2

Isobárico(P=cte)

Isocórico(V=cte)

VT

1

1

VT

2

2

=PT

1

1

PT

2

2=

procesos restringidos

WRT=PVM

ESTADO GASEOSO

caracteriza se debe a los

a través de la cualpodemos determinar



SOLUCIONES

Unidades de concentración

Físicas

Químicas

Molaridad

Normalidad

M = = =nV

10 x %m x DM

MV

m

%m = x 100mstomsol

%V = x 100VstoVsol

D: densidad



Contracción volumétrica (C.V.):

Reactivo limitante (RL):Reactante que se consume totalmente.

Reactivo en exceso (RE):Reactante que se consume parcialmente.

Porcentaje de pureza:

cantidad sust.pura%Pureza .100cantidadmuestra

=

Rendimiento o eficiencia de lareacción (RR)

CRRR .100%CT

=

Regla práctica de planteo deproblemas estequioméetricos

Regla: coef x M coef. coef x 22,4 Lcoef x NA coef x NA x subíndice

↑ ↑ ↑ ↑ ↑

Dato: gramos mol vol (CN) moléculas átomo



A. Teoría ácido - base



B. Ácidos y bases: Escala de pH

CÁTODO ( )–

Na+

2C

CÁTODO:

ÁNODO:

+1e

–2e–

NaC (Fundido)

Na0

C 02

Na+

(Reducción)

(Oxidación)

C–

( ) ÁNODO +

e –



QU

ÍMIC

A O

RG

ÁN

ICA

Pro

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dad

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l Car

bo

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Pur

oIm

puro

Nat

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Fraf

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iam

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Artif

icia

l

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Artif

icia

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rbón

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Artif

icia

l

Nat

ural

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Hul

laLi

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Turb

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ural

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Hol

línCo

que





HID

RO

CA

RB

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tról

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Com

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Co

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co

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Alifá

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trac

eno

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6

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(CH

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licos

Satu

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sIn

satu

rado

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Alic

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Cicl

oalc

anos

Cicl

oalq

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ula

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al

fórm

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plo

ejem

plo

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2nC

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H)

-et

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6 38

fórm

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plo

ejem

plo

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eno

(CH

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prop

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(CH

)-

bute

no (C

H)

24 3

6

48

-et

ino

(CH

)-

prop

ino

(CH

)-

butin

o (C

H)

22 3

4

46



Son compuestos que en su estructura, presentan por lo menos un enlace doble (2átomos de carbono con hibridación sp2), siendo una sustancia químicamente activa.El doble enlace carbono-carbono es una unidad estructural y un grupo funcionalimportante en la química orgánica, el doble enlace es el punto donde los alquenossufren la mayoría de las reacciones.

Ejemplos:

ALQUENOS U OLEFINAS

ALQUINOS O ACETILENICOSSon hidrocarburos acíclicos insaturados o compuestos que en su estructurapresenta por lo menos un enlace triple. Los átomos de carbono del grupofuncional (enlace triple) poseen hibridación sp.

átomos de carbono con hibridación sp2)



ALQUENINOCnH2n + 2 – 2d – 4t

Donde: n: número de carbonos d: número de enlaces dobles; t: número de enlacestriples. Cuando en la cadena carbonada hay doble y triple enlace simultáneamente, lanumeración de la cadena principal se hace en base al doble enlace y la terminaciónusada es enino.

Ejemplo:

Alquino Fórmula global Fórmula semidesarrollada

Fórmula desarrollada

Etino C H2 2

Propino C H3 4

Butino

CH CH

CH C CH3

C CH H

C CH C

H

H

H

CH C CH2 CH3

1 inoBut

CH3 C C CH3

inoBut 2

C CH C

H

H

C

H

H

H

C C C

H

H

HH C

H

H

C H4 6

(Posee 2 isómerosde posición)



Burbujeador

Líquido

Tanque de petróleo

Horno

Bomba

Bomba

Crudoreducido

Gasolinao diesel

Kerosén

Rectificadores

Vapor

Vapor

Bomba AguaGasolina

Gas derefinería

Separadorde gas

Condensador

reflujo

Vapor

Líquido

Colu

mna

de

frac

cion

amie

nto

vapores



Min

eral

es Hematita ⇒Fe2O3

Limonita ⇒ Fe2O3 + 3.H2O Magnetita ⇒ Fe2O3.FeO Siderita ⇒ FeCO3 Pirita ⇒ FeS

Métodos mecánicos (concentra el

mineral)

Trituración, molienda, pulverizado – Tamización – Levigación (oro) Flotación (sulfuros)

Métodos Químicos (mineral

concentrado)

Tostación Calcinación Reducción

⇒ de sulfuro a óxido con corriente de aire⇒ de CO3

= a óxido en ausencia de aire⇒ óxidos + C = CO2 + metal

Electrólisis Húmeda (Na) Seca (Na, K, Mg, Al)

Prep

arac

ión

del m

iner

al

Electrometalúrgicos (mineral

concentrado) Electrotérmicos Hornos de arco voltáico 2800 - 3000°C es una reducción





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