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Investigación Operativa Teoría de Colas - Fórmulas
INGENIERÍA INDUSTRIAL 1
λλλλ = tasa media de llegadas (número de llegadas por unidad de tiempo)
1/λλλλ = tiempo medio entre llegadas
µµµµ = tasa media de servicio (número de unidades servidas por unidad de tiempo cuando el servidor está ocupado)
1/µµµµ = tiempo medio requerido para prestar el servicio
ρρρρ = factor de utilización del sistema (proporción de tiempo que el sistema está ocupado)
Pn = probabilidad de que n unidades se encuentren en el sistema
Lq = número medio de unidades en la cola (longitud de la cola)
Ls = número medio de unidades en el sistema
Wq = tiempo medio de espera en la cola
Ws = tiempo medio de espera en el sistema _
λλλλ =
Tasa promedio de llegadas de clientes dentro de las instalaciones de servicio Ws(t) = Probabilidad de que un cliente permanezca más de t unidades de tiempo en el sistema
Wq(t) = Probabilidad de que un cliente permanezca más de t unidades de tiempo en la cola
Modelo de Colas Sencillo Para un sólo servidor (s = 1) Para servidores múltiples (s >1)
ρ = λ / µ
ρ = λ / (s. µ)
P0 = 1 – ρ
s –1 P0 = 1 / {[ ∑ (λ / µ)n / n!] + (λ / µ)s } n=0 s!(1 - ρ)
Pn = P0 ρn _
λ = λ
Pn = P0 [(λ / µ)n / n!] para 0 ≤ n ≤ s
Pn = P0 [(λ / µ)n / (s! . sn – s)] para n ≥ s _
λ = λ Lq = λ2 / [µ . (µ - λ)] = ρ Ls
Lq = [P0 . (λ / µ)s . ρ] / [s! (1 - ρ)2]
Ls = λ / (µ - λ)
Ls = Lq + (λ / µ)
Wq = λ / [µ . (µ - λ)] = Lq / λ
Wq = Lq / λ
Ws = 1 / (µ - λ) = Ls / λ
Ws = Wq + (1 / µ)
Ws(t) = e- t / Ws (t ≥ 0)
Ws(t) = e- µ.t 1 + (s.ρ)s . p0.(1 – e-µ t (s – 1 - s . ρ)) s! (1 - ρ) (s – 1 – s.ρ)
Wq(t) = ρ . e- t / Ws (t ≥ 0)
Wq(t) = (sρ)s p0 . e
- s µ t (1 - ρ) s! (1 - ρ)
Investigación Operativa Teoría de Colas - Fórmulas
INGENIERÍA INDUSTRIAL 2
Modelo Básico con una Cola Finita (Nro. de clientes ≤ M) Para un sólo servidor (s = 1) Para servidores múltiples (s >1)
ρ = λ / µ
ρ = λ / (s. µ)
P0 = 1 - ρ Si ρ ≠ 1
1 - ρM+1
P0 = 1 Si ρ = 1 M+1
s M P0 = 1 / {[ ∑ (λ / µ)n / n!] + (λ / µ)s ∑ ρn-s
} n=0 s! n=s+1
Para cualquier valor de ρ
Pn = P0 ρn para 0 ≤ n ≤ M _
λ = λ (1 – PM)
Pn = (λ / µ)n P0 para 0 ≤ n ≤ s n!
Pn = (λ / µ)n P0 para s ≤ n ≤ M s! sn-s
Pn = 0 para n > M _ λ = λ (1 – PM)
Ls = ρ - (M+1) ρM+1 Si ρ ≠ 1 1 - ρ 1 - ρM+1 LS = M / 2 Si ρ = 1
s-1 s -1 Ls = [ ∑ n Pn] + Lq + s (1 - ∑ Pn) n=0 n=0
Lq = Ls - 1 + P0
Lq = P0 (λ / µ)s ρ [1 - ρM-s - (M - s)ρM-s(1 - ρ)] s! (1 - ρ)2
Ws = Ls / [λ (1 - P0 ρM)]
Ws = Ls / [λ (1 - P0 ρM)]
Wq = Lq / [λ (1 - P0 ρM)]
Wq = Lq / [λ (1 - P0 ρM)]
Modelo Básico con una Fuente de Entrada Limitada
Investigación Operativa Teoría de Colas - Fórmulas
INGENIERÍA INDUSTRIAL 3
Para un sólo servidor (s = 1) Para servidores múltiples (s >1) ρ = λ / µ
ρ = λ / (s. µ)
M P0 = 1 / ∑ [ M! ρn] n=0 (M - n)!
s -1 M P0 = 1 / { ∑ [ M! (λ / µ)n ] + ∑ [ M! (λ / µ)n ] } n=0 (M - n)! n! n=s (M - n)! s! sn-s
Pn = M! ρn P0 para 0 ≤ n ≤ M
(M - n)!
Pn = 0 para n > M _
λ = λ (M – LS) = µ (1 - P0)
Pn = M! (λ / µ)n P0 para 0 ≤ n ≤ s (M - n)! n!
Pn = M! (λ / µ)n P0 para s ≤ n ≤ M (M - n)! s! sn-s
Pn = 0 para n > M _
λ = λ (M – LS)
Lq = M - (λ + µ ) (1 - P0) λ
M Lq = ∑ (n - s) Pn n=s
Ls = Lq + 1 - P0
s-1 s -1 Ls = [∑ n Pn] + Lq + s (1 - ∑ Pn) n=0 n=0
Wq = Lq / [µ (1 - P0)]
Wq = Lq / [λ (M - Ls)]
Ws = Ls / [µ (1 - P0)]
Ws = Ls / [λ (M - Ls)]
Otros Modelos de Colas Un solo servidor (s = 1) con entrada tipo Poisson y cualquier distribución
del tiempo de servicio
Un solo servidor (s = 1) con entrada tipo Poisson y tiempos de servicio
constantes (⇒ varianza σ2 = 0) ρ = λ / µ ρ = λ / µ P0 = 1 - ρ P0 = 1 - ρ Pn = P0 ρn Pn = P0 ρn Lq = λ2σ2 + ρ2 2 (1 - ρ)
Lq = ρ2 2 (1 - ρ)
Ls = Lq + ρ Ls = Lq + ρ Wq = Lq / λ Wq = Lq / λ Ws = Ls / λ = Wq + 1/µ Ws = Ls / λ = Wq + 1/µ
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