Fourier transzformált, szűrés frekvenciatartományban

Fourier transzformált,szűrés

frekvenciatartománybanVámossy Zoltán

2004

Gonzales – Woods: Digital Image Processing, Prentice Hall, 2002. alapján

2Vámossy Zoltán IAR 2004

Témakör

Fourier sorok, Fourier transzformált (FT) Fontosabb tulajdonságok A szűrés lépései frekvenciatartományban Alul áteresztő (low pass - LPF), felül áteresztő

(high pass - HPF) szűrők Homomorf szűrők

3Vámossy Zoltán IAR 2004

Miért FT? – 1

4Vámossy Zoltán IAR 2004

Szűrés: 1. a kép Fourier transzformáltját szorozzuk a szűrő-függvény Fourier transzformáltjával H(u,v)

2. Inverz Fourier tr. segítségével visszatérünk képtartományba

Miért FT? – 2

5Vámossy Zoltán IAR 2004

Példa FT-re

6Vámossy Zoltán IAR 2004

Fourier sorok

Fourier sorok (SF) egy véges TF intervallumon bármely függvényt közelítik

TF intervallumon kívül, SF periodikusán ismétlődik TF

periódussal.

7Vámossy Zoltán IAR 2004

Fourier sorok (folytatás) TF az s(t) jelnek az intervalluma, amely felett a Fourier

sorozat megjelenik fF = 1/TF a Fourier soros reprezentáció alapfrekvenciája

(alap harmonikus) n a “harmonikus szám”

– 2fF az alapfrekvencia (fF) második harmonikusa A Fourier sor mindig periodikus és lineáris kombinációja fF

frekvenciájú szinuszoknak és azok harmonikusainak

8Vámossy Zoltán IAR 2004

Fourier transzformáció (FT)

Frekvencia tartományban leírás

nfF

cn

u

v

(0,0)

9Vámossy Zoltán IAR 2004

10Vámossy Zoltán IAR 2004

1-D Fourier transzformáció

Fourier tr.:

Inverz FT:

Komplex alak:

Fourier spektrum Teljesítmény

spektrum (spektrál sűrűség)

Fázis szög:

DFTDiszkrét Fourier Tr.

CFTFolytonos Fourier Tr.

11Vámossy Zoltán IAR 2004

2-D Fourier transzformáció

CFT

DFT

12Vámossy Zoltán IAR 2004

Impulzus transzformáltR. N. Bracewell’s “Two-Dimensional Imaging,” Prentice Hall, 1995.

13Vámossy Zoltán IAR 2004

Néhány példa

Gauss Gauss

Gauss rámpa

Vonal impulzus

14Vámossy Zoltán IAR 2004

2D FT Pairs

15Vámossy Zoltán IAR 2004

Az FT fontos tulajdonságai Egyszerű számíthatóság és implementálhatóság Lineáris (disztributív és skálázható) Szeparálható (felbontható oszlop és sor műveletek

egymás utáni végrehajtására) Eltolási tulajdonság Periodicitás Konjugált szimmetria Elforgatási tulajdonság Konvolúciós tétel Korrelációs tétel Mintavételezés …

16Vámossy Zoltán IAR 2004

A Fourier transzformáció megértése és implementálása

(0,0)

f(x,y)

x

y(0,0)

|F(u,v)|u

v

255

255

(0,0)

f(x,y)(-1)x+y

x

y

0

0

17Vámossy Zoltán IAR 2004

18Vámossy Zoltán IAR 2004

A Fourier transzformáció megértése és implementálása

Az “eltolási tulajdonság” (lásd később) értelmében:

(0,0)

f(x,y)x

y

-255

255

(0,0)

f(x,y)(-1)x+y

x

y

-0

0

(0,0)

|F(u-M/2,v-N/2)|u

v

19Vámossy Zoltán IAR 2004

Linearitás

FT lineáris képfeldolgozó módszer

Lineáris rendszer

x1(t) y1(t)x2(t) y2(t)

a*x1(t) + b*x2(t) a*y1(t) + b*y2(t)

20Vámossy Zoltán IAR 2004

Szeparálhatóság

f(x, y) F(x, v)Sor

tanszformáció F(u, v)Oszloptranszf.

21Vámossy Zoltán IAR 2004

Eltolási tulajdonság

22Vámossy Zoltán IAR 2004

Periodicitás és konjugált szimmetria

Periodicitás

Ha f(x, y) valós, akkor Fourier transzformáltja konjugált szimmetrikus

Fourier transzformált spektruma szimmetrikus

23Vámossy Zoltán IAR 2004

Példa – eltolt és log skálázott FT

24Vámossy Zoltán IAR 2004

Példa – periodicitás és eltolás

25Vámossy Zoltán IAR 2004

Elforgatás

26Vámossy Zoltán IAR 2004

Átlag

Átlag: a transzformáció értéke (u, v) = (0, 0)-ban a kép átlaga

27Vámossy Zoltán IAR 2004

A Laplace transzformált frekvencia tartományban

28Vámossy Zoltán IAR 2004

29Vámossy Zoltán IAR 2004

Konvolúció

Folyamatos és diszkrét konvolúció

Konvolúciós tétel:

A képtérben számított konvolúció a gyakorlatban gyorsabban számítható a frekvenciatartományban elem-elem szorzással egy bizonyos méret felett

30Vámossy Zoltán IAR 2004

Korreláció

Folytonos és diszkrét korreláció

Korrelációs tétel

31Vámossy Zoltán IAR 2004

Autokorreláció

Autokorreláció (önmagával vett kereszt korreláció) Autokorrelációs tétel

Alkalmazás: mintaillesztés

32Vámossy Zoltán IAR 2004

Szűrés főbb lépései (FTIFT)

f(x,y)(-1)x+y g(x,y)(-1)x+y

33Vámossy Zoltán IAR 2004

Szűrés frekvencia tartományban

1. Szorozzuk meg az input képet (-1)x+y értékkel, hogy a transzformált eredmény majd középre kerüljön, az (u = M/2 és v = N/2) (ha M és N páros, akkor az eltolás koordináták egészek)

2. Számoljuk ki F(u,v)-t, az (1) kép DFT-ját3. Szorozzuk meg F(u,v)-t H(u,v) szűrő fgv-nyel4. Számoljuk ki (3) inverz DFT-ját5. (4) valós részét tekintsük6. Az (5) eredményét szorozzuk meg (-1)x+y

értékkel, hogy a képet “visszatoljuk”

34Vámossy Zoltán IAR 2004

Szűrés frekvencia tartományban

FFT Kép spektrum

Szűrő maszk

Inverz FFT

Pixel-pixel szorzás

Szűrt spektrum

Szűrt kép

35Vámossy Zoltán IAR 2004

Pont alapú

Egyszerű intenzitás transzformációk

– Kép negálás– Log transzformációk– Hatvány

transzformációk (gamma korrekció)

– Kontraszt növelés– Intenzitás tartomány

kiemelés– Bit síkok kiemelése

Hisztogram alapú – Hisztogram

kiegyenlítés– Hisztogram illesztés

Aritmetikai/logikai műveletek

– Képkivonás– Kép átlagolás

Maszk alapú (ablakos szűrők)

Simító szűrők (részletek elmosása)

– Átlagoló, súlyozott átlagoló

– Gauss szűrő– Binomiális szűrő– Rank order szűrők (pl.

median)

Élesítő szűrők (részletek kiemelése)

– Élesítés– Felül erősítés – Differencia szűrők

• Laplace• Gradiens

• Szűrés frekvencia tartományban

• Simító szűrők (részletek elmosása)• Ideális alul áteresztő• Butterworth alul

áteresztő szűrő• Gauss alul áteresztő

• Élesítő szűrők (részletek kiemelése)– Élesítés– Felűl erősítés– Laplace– Ideális felül

áteresztő– Butterworth felül

áteresztő szűrő– Gauss felül

áteresztő szűrő• Homomorf szűrő

36Vámossy Zoltán IAR 2004

Notch filter

Ez a szűrő az F(0,0) értéket hangsúlyozza, ami a a kép átlagos értéke (a spektrum dc komponense)

Kiemelkedő élek az outputban Az output képet (annak negatív

és 0 értékei miatt) skálázni kell!

37Vámossy Zoltán IAR 2004

Különböző szűrők

Lowpass filter -alul áteresztőszűrő

Highpass filter- felül áteresztőszűrő

Band filter - sávszűrő

Homomorf szűrő (homomorphic filter)

38Vámossy Zoltán IAR 2004

Tipikus szűrőalakok

E: frekvencia tartomány W: képtartomány

39Vámossy Zoltán IAR 2004

Alul áteresztő szűrő (kép lassan változó komponensei) Ideális szűrő (ILPF)

– D(u, v): (u, v) pont távolsága az origótól– Vágási frekvencia (D0)– Fizikailag nem valósítható meg– Körkörösen szimmetrikus

Butterworth szűrők (BLPF)

Gauss-féle alul áteresztő szűrő

40Vámossy Zoltán IAR 2004

Simító szűrők frekvencia tartományban: Ideális alul áteresztő szűrő (ILPF)

41Vámossy Zoltán IAR 2004

Teljesítmény körök (power circles)

42Vámossy Zoltán IAR 2004

Példa - ILPF

Teljes teljesítmény spektrum

A teljesítmény spektrum nagy része relatíve kis körben helyezkedik el

Hirtelen vágási frekvencia miatt begyűrűzés

43Vámossy Zoltán IAR 2004

Begyűrűzés példa

Begyűrűzés (ringing)

Maszk: -1/8 1 -1/8 Input:

0 0 0 1 1 0 0 0 Output:

0 0 -1/8 7/8 7/8 -1/8 0 0

44Vámossy Zoltán IAR 2004

Teljesítmény százalékok99.9699.6599.0497.84

45Vámossy Zoltán IAR 2004

Butterworth alul áteresztő szűrő: BLPF

46Vámossy Zoltán IAR 2004

Példa - BLPF

47Vámossy Zoltán IAR 2004

BLPF térbeli reprezentációja

48Vámossy Zoltán IAR 2004

Gauss alul áteresztő szűrő: GLPF

49Vámossy Zoltán IAR 2004

Példa - GLPF

50Vámossy Zoltán IAR 2004

Példa - GLPF

51Vámossy Zoltán IAR 2004

Felül áteresztő (gyorsan változó komponensek: élek, zajok) Ideális felül áteresztő (IHPF)

Butterworth felül áteresztő (BHPF)

Gauss felül áteresztő (GHPF)

52Vámossy Zoltán IAR 2004

A felül áteresztőknél adjunk hozzá a szűrő magasságának ½-ét

53Vámossy Zoltán IAR 2004

54Vámossy Zoltán IAR 2004

Az IHPF, BHPF és GHPFfelül áteresztő szűrők térbeli reprezentációja

55Vámossy Zoltán IAR 2004

Példa: IHPF

56Vámossy Zoltán IAR 2004

Példa: IHPF

57Vámossy Zoltán IAR 2004

Példa: BHPF

58Vámossy Zoltán IAR 2004

Példa: GHPF

Élesítő szűrők

Homomorf szűrő

60Vámossy Zoltán IAR 2004

Homomorf szűrés

Egyszerű képmodell:– f(x,y): monokróm kép szürkeségi értéke (vagy más

szóval intenzitása)– f(x, y) = i(x, y).r(x, y)– 0 < i(x, y) < ∞, megvilágítás– 0< r(x, y) < 1, visszaverődés (reflexió)

61Vámossy Zoltán IAR 2004

Homomorf szűrés

A megvilágítás komponens– Térben lassan változik– Alacsony frekvenciás

Reflexiós komponens– Hirtelen változások, főként nem hasonló objektumok

találkozásánál– Magas frekvenciás

Homomorf szűrők (Homomorphic filters)– Az alacsony és a magas frekvenciákra eltérően hat– Az alacsonyfrekvenciák dinamikus tartományát

összenyomja– Kiemeli a magas frekvenciákban a kontrasztot

62Vámossy Zoltán IAR 2004

Homomorf szűrés

63Vámossy Zoltán IAR 2004

Példa – Homomorf szűrés

64Vámossy Zoltán IAR 2004

Ellenőrző kérdések

Kép Fourier spektruma mit jelent? Milyen egy függőleges vonal Fourier spektruma és miért? Mi történik a Fourier spektrummal, ha a térbeli

koordinátákat skálázzuk?

65Vámossy Zoltán IAR 2004

Intenzitástartományban

Frekvencia tartományban– f*g F(f)G(g)– Fázis? Amplitúdó nagyság?– Hogyan egészítsük ki 0-kal (pad)?

Praktikus megfontolások – konvolúció implementálása frekvencia tartományban

66Vámossy Zoltán IAR 2004

67Vámossy Zoltán IAR 2004

68Vámossy Zoltán IAR 2004

69Vámossy Zoltán IAR 2004