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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS FUNCIONES
HIPERBÓLICAS
ROSA MARÍA MÉNDEZ PARRA
LUZ KARIME DÍAZ TRUJILLO
LILIANA INÉS PÉREZ VELASCO
OLGA ENITH RODRÍGUEZ
CÁLCULO II
ARMENIA, DICIEMBRE DE 2011
UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Son funciones necesarias para calcular los ángulos de un triángulo a partir de la medición de sus lados, aparecen con frecuencia en la solución de ecuaciones diferenciales.
Sin embargo, ninguna de las 6 funciones trigonométricas básicas tiene
inversa debido a que son funciones periódicas y por lo tanto no son inyectivas, pero restringiendo su dominio se puede hallar la inversa. FUNCIÓN SENO
La función no es uno a uno en su dominio naturalporque al
trazarcualquier recta horizontal corta la gráfica en más de un punto.El codominio es [-1, 1], su gráfica es:
FUNCIÓN ARCOSENO (INVERSA DE LA FUNCIÓN SENO)
3
Si , entonces la inversa se denota o también
sedenota .
La notación de inversa , no se debe confundir con .
La función inversa de restringido es:
, su dominio es [-1,1] y el recorrido es , su gráfica es
creciente, es una función impar porque
La gráfica es:
EVALUACIÓN DE LA INVERSA DEL SENO
Evalúe
Se busca el ángulo en el intervalo–
para el cual , por lo
tanto y –
, por lo tanto .
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FUNCIÓN COSENO
La función no es uno a uno en su dominio natural porque al
trazar cualquier recta horizontal corta la gráfica en más de un punto. El codominio es [-1, 1], su gráfica es:
FUNCIÓN ARCOSCOSENO (INVERSA DE LA FUNCIÓN COSENO)
Si , entonces la inversa se denota o también se
denota .
La notación de inversa , no se debe confundir con .
La función inversa de restringido es:
, su dominio es [-1,1] y el recorrido es , su gráficaes
decreciente, es una función par porque .
5
La gráfica es:
EVALUACIÓN DE LA INVERSA DEL COSENO
Evalúe
Se busca el ángulo en el intervalo , para el cual , por
lo tanto y , por lo tanto .
FUNCIÓN TANGENTE
La función no es uno a uno en su dominio. El codominio es el
conjunto de los números reales, su gráfica es:
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FUNCIÓN ARCOTANGENTE (INVERSA DE LA FUNCIÓN TANGENTE) Si , entonces la inversa se denota o también se
denota .
La notación de inversa , no se debe confundir con .
La función inversa de restringido es:
, su dominio es [ , ] y el recorrido es –
, su gráfica es
creciente, es una función par porque .
La gráfica es:
EVALUACIÓN DE LA INVERSA DE LA TANGENTE
Evalúe
Se busca el ángulo en el intervalo ( , para el cual , por
lo tanto y –
por lo tanto .
7
FUNCIÓN COTANGENTE
FUNCIÓN (INVERSA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE)
La función cotangenteinversa, denotada por , está definida por:
, donde es cualquier número real.
Su dominio es y el recorrido es , su gráfica es:
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FUNCIÓN SECANTE
FUNCIÓN ARCOSECANTE (INVERSA DE LA FUNCIÓN SECANTE)
La función secante inversa, denotada por o arcosecante, está
definida por:
y , su grafica es:
9
FUNCIÓN COSECANTE
FUNCIÓN (INVERSA DE LA FUNCIÓN COSECANTE)
La función cosecante inversa, denotada por , está definida por:
, donde es cualquier número real, su gráfica
es:
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DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
INTEGRALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
, donde .
, donde .
, donde .
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FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Se llaman Funciones hiperbólicas porque se pueden describir como las proyecciones, según el eje X y el eje Y, de los puntos sobre una hipérbola.Sus propiedades algebraicas son análogas a las de las funciones trigonométricas. En muchas aplicaciones del análisis matemático se encuentran
combinaciones de las funciones exponenciales del tipo: , ;
tales combinaciones se consideran como nuevas funciones y se designan:
, donde es cualquier número real.
, donde es cualquier número real.
Con las funciones senh y cosh se pueden definir las funciones
hiperbólicas restantes:
Estas funciones son conocidas como seno hiperbólico (senh), coseno hiperbólico (cosh), tangente hiperbólica (tanh), cotangente iperbólica
(coth), secante hperbólica (sech), y cosecante hiperbólica (csch). Se observa que, en el campo real, las funciones hiperbólicas son funciones dependientes de la función trascendente elemental .
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Esto no ocurre en las funciones circulares que son funciones trascendentes elementales, independientes de la función exponencial, en el campo real.
GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS SENO HIPERBÓLICO
La aplicación es un homeomorfismo estrictamente creciente
de en .
Dominio de la función:
Rango de la función:
13
COSENO HIPERBÓLICO La aplicación continua no es monótona en . Su restricción
a es estrictamente creciente; dicha restricción es un
homeomorfismo de sobre .
Dominio de la función:
Rango de la función: .
TANGENTE HIPERBÓLICA
La aplicación continua es estrictamente creciente sobre ; por
tanto es un homeomorfismo de sobre .
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Dominio de la función:
Recorrido de la función: .
COTANGENTE HIPERBÓLICA
La función continua es estrictamente decreciente en los
intervalos y , donde se define. La restricción a un
homeomorfismo de en o sobre y su restricción a es
también unhomeomorfismo de sobre
Dominio de la función:
15
Recorrido de la función:
SECANTE HIPERBÓLICA
La aplicación continua no es monótona en . Su restricción a es estrictamente decreciente; dicha restricción es una aplicación
de sobre .
Dominio de la función:
Rango de la función: .
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COSECANTE HIPERBÓLICA La aplicación continua es estrictamente decreciente en los
intervalos , donde se define; su recorrido es
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DERIVADAS DE LAS
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
INTEGRALES DE LAS
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
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GLOSARIO
Homeomorfismo: un homeomorfismo (del griego ὅ μοιος (homoios) =
misma y μορφή (morphē) = forma) es una biyección entre dos espacios topológicos por una aplicaciónbiyectiva que es continua y cuya inversa es continua. En este caso, los dos espacios topológicos se dicen
homeomorfos. Las propiedades de estos espacios que se conservan bajo homeomorfismos se denominan propiedades topológicas.
Homeomorfismo
Sean X e Yespacios topológicos, y f una función de X a Y; entonces, f es un homeomorfismo si se cumple que:
f es una biyección f es continua La inversa de f es continua
Si es un homeomorfismo, X se dice homeomorfo a Y. Si dos espacios son homeomorfos entonces tienen exactamente las mismas
propiedades topológicas. Desde el punto de vista de la teoría de categorías, dos espacios que son homeomorfos son iguales topológicamente hablando.
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TALLER - GRUPO 1
8. Dada la ecuación , determine el valor exacto de cada
una de las siguientes expresiones: (a)sen x; (b) tan x;
(c)cot x; (d) sec x; (e)csc x.
Como , ,existe un triángulo rectángulo que
contiene un ángulo agudo, cuya medida es . Además, es el radio del
lado adyacente dividido por la hipotenusa del triángulo rectángulo. La longitud del lado opuesto del triángulo se encuentra por la aplicación del teorema de Pitágoras, . De la gráfica se concluye que:
a)
b)
c)
d)
e)
Dibuje la gráfica de:
25.
20
26.
41. En los siguientes ejercicios calcule la derivada de la función.
21
a)
b)
En los ejercicios 7, 8 y 17, evalúe la integral indefinida. Apoye la
respuesta gráficamente o mostrando que la derivada de la respuesta es el integrando.
7.
Esta integral , es de la forma
.
22
Se tiene que:
Demostración de que la derivada de la respuesta es el integrando:
8.
Esta integral , es de la forma
.
Se tiene que:
= = Demostración de que la derivada de la respuesta es el integrando:
23
17.
Desdoblando el integrando en dos partes tenemos:
(1) (2)
(1) es de la forma
Reemplazando a=1
Se tiene por sustitución: Reemplazando:
24
Por propiedad de
Se tiene que:
Uniendo (1) y (2), tenemos:
Demostración de que la derivada de la respuesta es el integrando:
25
En los ejercicios 32 y 33, demuestre la fórmula mostrando que la derivada del miembro derecho es igual al integrando.
32.
Para volver a la variable original:
Luego, .
33. ,
Para volver a la variable original:
Integral de la forma
Sea
Integral de la forma
Sea
26
Luego, .
9.
10.
Derive:
18. a.
27
b.
En los ejercicios 49 y 50, exprese la integral indefinida en términos de
una función hiperbólica inversa y como un logaritmo natural.
49.
28
50.
Muestre que:
Demostración:
En , se hace ; luego
; ;
; ;
Sustituyendo estas equivalencias en :
Efectuando los productos indicados y reduciendo términos semejantes:
29
Demostración:
En , , se hace ; luego
; ;
; ;
Sustituyendo estas equivalencias en :
Efectuando los productos indicados y reduciendo términos semejantes:
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