G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 1 Le distribuzioni di...

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Le distribuzioni di Le distribuzioni di probabilità discreteprobabilità discrete

Giovanni Filatrella (Giovanni Filatrella (filatrella@unisannio.itfilatrella@unisannio.it))

Elaborazione Statistica dei Dati Elaborazione Statistica dei Dati SperimentaliSperimentali Facoltà di Scienze MM FF e NN,

Università Sannio

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Cos’è una distribuzione di probabilità discreta

Abbiamo definito una variabile casuale X una variabile che può assumere diversi valori:{x1, x2, …, xN}Ognuno di questi con probabilità:{p1, p2, …, pN}

La funzione che associa una probabilità pi al valore i-esimo della variabile casuale xi è la distribuzione di probabilità.

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Attenzione a non confondere i seguenti 4 concetti:

1. X è il simbolo che denota la variabile casuale che può assumere i valori {xi}

2. L’indice i serve solo a numerare i possibili risultati

3. Le xi sono i valori numerici che si ottengono per l’i-esimo risultato

4. Le pi sono il rapporto fra i casi favorevoli all’i-esimo risultato e tutti i risultati possibili

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Attenzione a non confondere i seguenti 4 concetti:

1. X è il simbolo che denota la variabile casuale che può assumere i valori {xi}

2. L’indice i serve solo a numerare i possibili risultati

3. Le xi sono i valori numerici che si ottengono per l’i-esimo risultato

4. Le pi sono il rapporto fra i casi favorevoli all’i-esimo risultato e tutti i risultati possibili

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1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4

Pro

babili

tà

0.15

xi

La funzione distribuzioneè la legge che regolale probabilità (le altezze dei rettangoli).

Rappresentazione grafica:

Variabile casuale0.10

0.05

0.20

0.25

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Un’importante distinzione

• Il concetto di distribuzione discreta vuol dire che solo un numero intero di differenti valori è possibile, e si riferisce all’indice i;

• Il valore della variabile xi non è necessariamente un intero.

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Esempio: la distribuzione di probabilità uniforme:

Se supponiamo che tutti valori della variabile casuale siano equiprobabili:

Nippi ,...,1

Allora la distribuzione è detta uniforme.

D.: Quanto vale p?

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Valore aspettato e varianza

Per le variabili discrete è possibile definire un valore aspettato E[x] ed una varianza Var[x] che sono analoghe alle misure di posizione e dispersione valore medio e scarto quadratico medio:

max

1

][i

iii pxxE

max

1

22 )(][i

iii pxxVar

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Valore aspettato e varianzanon coincidono con media e

scarto quadratico medio

max

1

][i

iii pxxE

max

1

22 )(][i

iii pxxVar

max

1

i

iii fxx

max

1

22 )(i

iii fxxS

Per un numero di tentativi molto elevato è ragionevole che si identifichino le fi e le pi.

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Esercizio:

• *Quanto vale il valore aspettato per la distribuzione uniforme?

• ***Quanto vale la varianza per la distribuzione uniforme?

Si provi prima con un intervallo specifico (ex, 4) e poi con un N generico.

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Definizione formale di processo binomiale o

bernoulliano1) Ciascuna prova ha solo due esiti, che

chiameremo successo e insuccesso2) La probabilità p di un successo in

ciascuna prova resta costante per tutte le prove e non è influenzata dagli esiti precedenti (le prove sono indipendenti). La probabilità di un insuccesso è q = 1 - p.

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Diagramma ad albero per la distribuzione binomiale

Si può derivare la distribuzione binomiale immaginando che il processo avvenga in sequenza, e che ad ogni “scelta” sia associata una probabilità elementare

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Calcolo esplicito delle probabilità per l’albero

binomialeLa probabilità degli

eventi può essere trovata osservando che ognuno dei risultati è la combinazione di eventi indipendenti non necessariamente equiprobabili, ovvero pq S: un cliente sceglie “soup”, F: sceglie “fish”.

Prob. diavere:

3S

2S2S

1S2S1S

1S

0S

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Probabilità non identiche fra le più scelte

Notare: i diagrammi ad

albero possono essere utilizzati per il calcolo di probabilità di sequenze generiche, ma non sono distribuzioni binomiali!

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Distribuzione binomiale in formule

Dato un esperimento che si può verificare solo in due modi (“successo” ed “insuccesso”) mutuamente esclusivi e complementari, quindi con probabilità p e 1-p. Qual è la probabilità di avere n successi su N misure?

)!(!

!

)1()(,

nNn

N

N

n

ppN

nnB nNn

Np

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Definizione di fattoriale

Il fattoriale di un numero intero n si indica con n! ed è definito come:

1!0

1!1

,...,321!

nn

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Esempi di distribuzione binomiale

1. Quante teste si ottengono lanciando 10 monete?2. Se il 23% della popolazione della provincia di

Benevento risiede nel capoluogo, su 4 persone quante risiederanno nel capoluogo?

3. Se una fabbrica produce l’1% di pezzi difettosi, in un lotto di 20 quanti sono difettosi?

D1.: Sono distribuzioni binomiali? Perché?D2.: Trovare per ognuno degli esempi i parametri

della distribuzione binomiale.

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Proprietà della distribuzione binomiale: il valore aspettato

N

n

nNni

i

ii Nppp

N

nnpxxE

01

)1(][max

Coincide, come intuibile, con il prodotto del numero di tentativi per

la probabilità di successo.

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Proprietà della distribuzione binomiale: la varianza

N

n

nNn

i

iii

pNpppN

nNpn

pxxVar

0

2

1

22

)1()1()(

)(][max

E’ proporzionale al numero di tentativi, moltiplicata per la

probabilità di successo e per la probabilità di insuccesso.

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Esempi di distribuzioni binomiali

Ciò che conta e’ il prodotto Np

Infatti:0.5X160 = 80

0.3X270 = 80

p=0.5

p=0.3

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Un esempio numerico

Se si lanciano dieci monete supposte perfettamente simmetriche (o non truccate), cosa si può dire dei possibili esiti?

1) La probabilità di successo p=1/2

2) Il numero di tentativi è N=10

3) Il valore aspettato è Np=5

4) La varianza è Np(1-p)=2.5

5) La deviazione standard è √(Np(1-p))=1.58

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Risultati del calcolo della formula binomiale per N=10,

p=0.5Successi B0.5,10(n) n0 0.00101 0.00982 0.04393 0.11724 0.20515 0.24616 0.20517 0.11728 0.04399 0.009810 0.0010 

Il valore aspettato (5) è il più probabile

Attorno al valore aspettatoin un intervallo di semiampiezzala deviazione standard (1.5) si trovano circa il 70% dei casi.

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Un’applicazione

Le finali di alcuni tornei di calcio si decidono calciando 6 rigori.

D.: il pareggio dopo sei rigori succederà più spesso se:

a) La probabilità di segnare per entrambe le squadre è alta (ex, p=0.8)

b) La probabilità di segnare per entrambe le squadre è media (ex, p=0.5)

c) La probabilità di segnare per entrambe le squadre è bassa (ex, p=0.2)

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Distribuzione di PoissonSupponiamo di avere una variabile binomiale dove 1. Il numero molto elevato di tentativi (N)2. La probabilità è molto bassa (p0), ma in modo

tale che il valore aspettato sia finito: Np=.Qual è la distribuzione di probabilità?In principio si potrebbe sempre calcolare la

Binomiale, ma i fattoriali rendono il calcolo estremamente laborioso.

La distribuzione di Poisson è il limite della Binomiale nelle ipotesi 1) e 2).

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Esempi di distribuzione di Poisson

1. Quanti studenti iscritti in questa Facoltà hanno un altezza superiore al 95mo percentile?

2. Una malattia rara colpisce l’1% della popolazione. Quante persone sono colpite in una città come Benevento?

3. Quanti dei residenti in Benevento sono nati il 29 febbraio?

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Distribuzione di Poisson: formulazione matematica

La distribuzione di Poisson ha un solo parametro: . Ovviamente se il valore aspettato è: Np=.

D.: Trovare le distribuzioni di probabilità per gli esempi precedenti.

en

nPn

!)(

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Distribuzione di Poisson: formulazione matematica

La distribuzione di Poisson ha un solo parametro: Ovviamente se il valore aspettato è: Np=:

en

nPn

!)(

01 !

][max

n

n

i

i

ii e

nnpxxE

0

2

1

22

!)()(][

max

n

ni

iii e

nnpxxVar

La varianza anche vale :

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Confronto con la distribuzione di Bernoulli

Bernoulli• = Np si ricava da

due parametri indipendenti

• = Np(1-p) si potrebbe anche scrivere come:

= (1-p) • Per p molto piccola

Poisson• é l’unico

parametro che caratterizza la distribuzione

• si trova che la varianza dipende dal parametro e

=

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Osservazioni (1)

Un processo per essere poissoniano dovrebbe ammettere un numero infinito di tentativi e quindi ammettere un numero infinito di successi.

In pratica si applica a casi in cui questo è solo approssimativamente vero.

D: negli esempi di distribuzione di Poisson precedente c’è un limite al numero di successi? Quale?

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Osservazioni (2)

Anche se tutti i processi reali sono solo approssimativamente poissoniani è assai comodo utilizzare questa distribuzione perché è più semplice da valutare. Di fatto per N molto grande i fattoriale della distribuzione di Bernoulli sono enormi.

D: qual è l’intero più grande di cui potete calcolare il fattoriale con la calcolatrice da tasca?

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Estensione della distribuzione di Poisson

Supponete che per un evento non si conosca davvero il numero di tentativi:

Es.: Supponiamo che una persona guardi mezz’ora di una qualsiasi partita di un turno di serie A. Se sono state segnate 22 reti nelle 9 partite, qual è la probabilità che questa persona assista a 2 reti?

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Perché si può usare la distribuzione di Poisson

• Si può immaginare che nell’intervallo di tempo considerato vi siano N tentativi di fare goal.

• La probabilità p di fare goal per ogni tentativo è sconosciuta, ma è bassa perché in tutto si sono segnate solo 22 reti in 9 partite.

• Se supponiamo che i tentativi siano molti (al limite, infiniti) in principio possiamo usare la distribuzione di Poisson, e per farlo basterebbe conoscere il suo valore medio Np.

D.: Come si può stimare Np?

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Soluzione• In tutte le 9 partite vi sono 27 periodi di

mezz’ora.• Se sono stati segnati 22 goal in tutto, in

media in ogni periodo sono stati segnati:

%1515.0

!2

815.0)2(815.0

27

22 815.02

815.0 eP

D.: ** Come verifichereste che il metodo funziona? Provare a casa con i risultati di un qualsiasi turno di serie A.

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Descrizione formale dei processi di Poisson

Un processo di Poisson si può quindi definire come un processo caratterizzato da n eventi che in un intervallo di tempo t :

1. Si possono verificare nell’intervallo di tempo indipendentemente da quanto è avvenuto negli intervalli precedenti;

2. La probabilità che si verifichi un evento è proporzionale alla durata dell’intervallo t, con costante di proporzionalità ;

Allora si avrà un processo di Poisson con valore aspettato t:

tn

en

ttnP

!

)(),(

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Esercizi

1. * Nell’esempio precedente dei goal segnati in mezz’ora, identificare le varie quantità n, t,

2. ** Supponiamo che in un lago artificiale senza altro cibo vengono immesse trote, una ogni 10 minuti. Se ci sono 10 pescatori:

a) Quante trote prenderanno ogni ora?b) Trovare i parametri del processo di Poisson.