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28/08/2012
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Geometria Descritiva
Prof. Luiz Antonio do Nascimento
ladnascimento@gmail.com
www.lnascimento.com.br
• A Geometria, como qualquer outra ciência, fundamenta-se em observações e experiências para estabelecer os conceitos e as propriedades. Tais conceitos e propriedades constituem as Proposições Geométricas.
• Uma proposição geométrica pode ser aceita com ou sem comprovação. A proposição aceita sem comprovação pode ser entendida através de fatos e situações do cotidiano.
• As proposições geométricas podem ser classificadas como Conceitos Primitivos ou como Postulados.
Elementos Primitivos da Geometria
• Conceito Primitivo - exprime a noção sobre algo que dispensa definição sob o ponto de vista geométrico. Assim sendo, são considerados primitivos os conceitos de forma e dimensão, como também o são os de ponto, reta, plano e espaço.
– Aqueles postes estão em linha reta.
– O tampo dessa mesa é plano.
– A mesa está ocupando o espaço do sofá.
• Postulado - uma afirmação aceita consensualmente, sem restrições, e que dispensa demonstração.
– Postulado de determinação da reta. • Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
– Postulado da inclusão. • Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida nesse
mesmo plano.
Elementos Primitivos da Geometria
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Elementos que não precisam de definição para serem aceitos (ponto, reta e plano).
• Ponto
– Localização de algo no espaço.
– O ponto não tem dimensão.
– Toda figura geométrica é formada por um conjunto de pontos.
– O ponto geométrico é representado pela interseção de duas pequenas linhas ou um ponto.
– Indicado por letra maiúscula latina.
• Exemplo: Pontos A, B, C, D, etc..
Elementos Primitivos da Geometria
A
B C
• Reta
– A reta é formada por um conjunto de pontos que se sucedem uns aos outros em sequência infinita.
– A reta não tem inicio e nem fim.
– As setas nas extremidades da representação da reta indicam que a reta continua indefinidamente nos dois sentidos.
– Indicado por letra minúscula latina.
• Exemplo: Retas r, s, t, etc.
Elementos Primitivos da Geometria
Elementos que não precisam de definição para serem aceitos (ponto, reta e plano).
• Reta
– Podem ser:
Elementos Primitivos da Geometria
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• Reta
– Elementos derivados de uma reta:
• Semi-reta: é a parte de uma reta que possui um ponto de origem e é ilimitada em apenas um sentido.
• Segmento de reta: é a parte de uma reta que possui um ponto de origem e um de fim que são as suas extremidades. Representada por seus pontos.
Elementos Primitivos da Geometria
• A figura mais simples construída por segmentos é o triângulo que é formado por três pontos que não pertencem a uma mesma reta e pelos três segmentos determinados por estes três pontos.
– Os três pontos são chamados de vértices e os segmentos de lados.
Figuras Geométricas Elementares
• Eixo – uma reta orientada.
– O sentido positivo da reta é o do sentido do eixo.
• Segmento Orientado – um segmento de reta de extremos pertencentes a um eixo.
– Segmentos Coincidentes – dado dois segmentos orientados 𝐀𝐁 e 𝐂𝐃 se A=C e B=D e
é escrito (A,B)=(C,D).
– Segmento Nulo – é o segmento cuja extremidade coincide com a origem (A,A).
– Segmentos Opostos – dois segmentos orientados que possuem mesmo módulo, mesma direção, mas sentidos contrários. (A,B) e (B,A).
Figuras Geométricas Elementares
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• Módulo de um segmento – (ou valor absoluto ou magnitude) comprimento de um segmento. Distância entre dois pontos.
• Ex.: Distância de A à C.
– Representa-se o módulo por 𝐴𝐶 = 2.
• Medida Algébrica – é o produto de um módulo por +1 ou -1 conforme o sentido do segmento coincida ou não com o sentido do eixo que o contém.
Figuras Geométricas Elementares
A BC D E
-4 -2 0 2 4 6 8
F G
• Sentido de um segmento – orientação do segmento da origem para a extremidade.
• Direção de um segmento – inclinação do segmento que é determinado pelo eixo que o contém. Dois segmentos têm a mesma direção quando pertencem a um mesmo eixo ou a eixos paralelos entre si.
Figuras Geométricas Elementares
• Direção de um segmento
Figuras Geométricas Elementares
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• Reta
– Posições de duas ou mais retas:
• Retas Paralelas: duas ou mais retas que mantêm entre si uma distância constante.
• Retas Perpendiculares: duas ou mais retas que fazem entre si um ângulo de 900.
• Retas Oblíquas: duas ou mais retas que fazem entre si um ângulo inferior a 900.
Elementos Primitivos da Geometria
• Reta - Posições
de duas ou mais
retas:
Retas Coplanares - As retas a, b e c pertencem ao mesmo plano (face do paralelepípedo).
Retas Concorrentes - As retas a e b têm um ponto comum A.
Retas Enviesadas - As retas d e c não se encontram e têm direções diferentes.
• Reta
– Posições de dois ou mais segmentos:
• Segmentos Consecutivos: a extremidade de um deles é também extremidade do outro.
• Segmentos Colineares: estão numa mesma reta.
Elementos Primitivos da Geometria
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• Reta
– Posições de dois ou mais segmentos:
• Segmentos Adjacentes: segmentos consecutivos e colineares são adjacentes, se possuem em comum uma extremidade e não têm outros pontos em comum. – MN e NP são adjacentes, tendo somente N em comum.
– MP e NP não são adjacentes, pois existem muitos pontos em comum.
• Segmentos Congruentes: têm as mesmas medidas. – "~" é o símbolo de congruência.
Elementos Primitivos da Geometria
• Plano
– Qualquer superfície plana.
– Plano é a superfície sobre a qual um objeto pode ser completamente representado.
– Pode ser identificado por letras gregas do alfabeto como por exemplo α (alfa), β (beta) e γ (gama).
Elementos Primitivos da Geometria
• Espaço – conjunto infinito de planos. Possui três dimensões (comprimento, largura e espessura). – Figuras no espaço podem ser representadas através da perspectiva.
Figuras Geométricas Elementares
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• Posição relativa de Retas e Planos
• Reta é paralela a um plano - quando é paralela a uma reta desse plano.
Figuras Geométricas Elementares
• Posição relativa de Retas e Planos
• Reta oblíqua a um plano - tem um ponto em comum com o plano.
Figuras Geométricas Elementares
• Posição relativa de Retas e Planos
• Reta perpendicular a um plano - é perpendicular a duas retas concorrentes do plano.
Figuras Geométricas Elementares
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• Posição relativa de Retas e Planos
• Planos concorrentes - têm uma reta em comum.
Figuras Geométricas Elementares
• Posição relativa de Retas e Planos
• Planos perpendiculares - quando um contém uma reta perpendicular ao outro.
Figuras Geométricas Elementares
• Posição relativa de Retas e Planos
• Planos paralelos - quando os planos possuem retas concorrentes paralelas.
Figuras Geométricas Elementares
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• Figuras Planas:
– Figuras de duas dimensões.
– Figura que possui todos os seus pontos no mesmo plano.
– Polígono: figuras planas com três ou mais lados:
Geometria Plana
• Figuras Sólidas: são modelos que que possuem três dimensões (volume).
Geometria Espacial
• Superfície • Conjunto das posições de uma linha móvel
(geratriz). A linha reguladora dos traçados da linha é chamada de diretriz.
Figuras Geométricas Elementares
A linha reguladora dos traçados da linha é chamada de diretriz.
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• Superfície Plana - conjunto das posições de uma linha reta que se desloca em trajetória retilínea e paralela a si mesma.
• Superfície Curva - obtida pelo movimento de uma linha curva que se desloca no espaço
Figuras Geométricas Elementares
• Superfície Conica Circular Oblíqua
Figuras Geométricas Elementares
• Superfície Piramidal
Figuras Geométricas Elementares
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• Superfície Cilindrica
Figuras Geométricas Elementares
• Superfície Cilindrica de Revolução
Figuras Geométricas Elementares
• Superfície Prismática de diretriz poligonal aberta
Figuras Geométricas Elementares
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• Superfície Prismática de diretriz poligonal fechada
Figuras Geométricas Elementares
• Superfície Esférica
Figuras Geométricas Elementares
Figuras Geométricas Elementares
• Poliedros Sólidos geométricos limitados por porções de superfícies planas poligonais.
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Os prismas são sólidos com duas bases poligonais e iguais.
Figuras Geométricas Elementares
• Prismas
Uma pirâmide é um poliedro que tem como base um vértice.
Figuras Geométricas Elementares
• Pirâmides
Um cone é um sólido delimitado lateralmente por uma porção de uma folha de uma superfície conica de diretriz circular.
• Cones
Figuras Geométricas Elementares
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Um cilindro é um sólido delimitado lateralmente por uma porção de uma superfície cilíndrica.
Figuras Geométricas Elementares
• Cilindros
Geometria Analítica Tipos de Ângulos
Mediatriz – é um reta que divide a distância entre dois pontos
em partes iguais e está na perpendicular com a ela.
1. Ponta seca do compasso em A, raio maior que a metade de AB, traça-se um arco
2. Ponta seca do compasso em B, raio maior que a metade de AB, traça-se um arco
3. Nos pontos de encontro dos arcos (pontos C e D) traça-se a reta (mediatriz).
Retas Perpendiculares
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Bissetriz – é uma semi-reta que divide o ângulo em partes iguais.
1. Ponta seca do compasso em V, traça-se um arco, definindo 1 e 2.
2. Ponta seca do compasso em 1, raio maior que a metade, traça-se um arco
3. Ponta seca do compasso em 2, raio maior que a metade, traça-se um arco e
define o ponto 3.
1. Traça-se uma semi-reta V3 (bissetriz)
Simbologia
Símbolo Descrição
⊥ Perpendicular ∴ Portanto
⫽ Paralela ∝ Proporcional
≡ Coincidente ∧ E
≅ Aproximado ∨ Ou
∞ Infinito ∪ União
∀ Para todos ∩ Intersecção
∃ Existe ⊂ Está contido
∄ Não existe ⊄ Não está contido
∈ Pertence ⊃ Contém
∉ Não pertence ⊅ Não contém
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