Geometry 01512

เอกสารประกอบการบรรยาย โครงการสงเสรมโอลมปกวชาการฯ ศนย สอวน.

มหาวทยาลยขอนแกน

[ คายท 1 ]

เรขาคณต (Geometry)

================================================== ชอ-สกล ............................................... โรงเรยน................................จงหวด.....................

==================================================

อ. วฒนา เถาวทพย ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 2

1. บทน า และ ความรพนฐาน 1.1 ประวตความเปนมาโดยสงเขป

เรขาคณต (Geometry) มาจากรากศพทภาษากรกวา Geometrein (geo หมายถง earth และ metrein หมายถง to measure) แตความหมายของเรขาคณตในปจจบนมความแตกตางออกไปมาก เพราะวาวชาเรขาคณตไดรบการพฒนามาอยางตอเนองและแตกสาขาออกไปหลายสาขา และเรขาคณตทศกษาในระดบมธยมกเปนเพยงเรขาคณตของยคลด (Euclidean Geometry) ซงถอวาเปนพนฐานทท าใหมววฒนาการไปสเรขาคณตแบบอนๆ จนเปนทยอมรบกนวา ยคลดเปนบดาแหงวชาเรขาคณต

เรขาคณตสมยกอนเปนการศกษาแบบลองผดลองถก อาศยการสงเกตจากประสบการณ เราไมทราบประวตทสมบรณ แตกพอทราบจากแผนศลาจารกวา ชาวบาบโลน (4000 B.C.) สามารถหาพนทของสเหลยมผนผาโดยใชกวางคณยาว ชาวอยปต (2900 B.C.) สามารถสรางปรามดไดซงถอไดวาเปนความส าเรจทางเรขาณตจนกลายเปนสงมหศจรรยของโลก

การศกษาเรขาคณตเรมชดเจนขนโดยชาวบาบโลน (2000 B.C.) ตามดวยชาวอยปต (1650 B.C.) ตอมาไดพฒนาไปสกรก โดยทาลส (Thales, 640 B.C.) ผานไปทางตอนใตของอตาลโดยพธากอรส (Pythagorus, 584 B.C.) แลวไปสกรงเอเธนส โดยพลาโต (Plato, 400 B.C.) และกมาถงนกคณตศาสตรผยงใหญ ยคลด (Euclid, 300 B.C.) ซงเขยนหนงสอ 13 เลมในชอวา Elements จนเปนทยอมรบวาเปนต าราเรยนเลมแรกของโลกทใชกนอยางแพรหลาย และถอไดวาเปนแบบฉบบในการเขยนต าราอนๆในสมยนน และนวตน (Isaac Newton) กไดเขยนหนงสอทยงใหญอกเลมหนงคอ Principia ตามแบบ Elements น

หลงจากสนสดยคของยคลด โรมนเรมเรองอ านาจแตไมไดพฒนาทางคณตศาสตรเทาทควร จนกลาวกนวาเปนยคมด (Dark ages)ของเรขาคณต คณตศาสตรอยในสภาพเกอบคงทไมเปลยนแปลง เพงจะมาเจรญรงเรองอกครงในศตวรรษท 14 ซงเนนไปทางดาราศาสตร และ ตรโกณมต อยางไรกตามเรขาคณตในแถบเอเชย เชนจน และ อนเดย กมความเจรญรงเรองเชนกน แตการจารกหลกฐานไมมนคงถาวรเหมอนทางยโรปจงยากททราบประวตทชดเจน

ในศตวรรษท 17-18 ไดมการน าวชาพชคณต (Algebra) เขามาบรณาการรวมกน จนไดกอก าเนดวชาแคลคลส และ เรขาคณตวเคราะห (Calculus and Analytic Geometry) ขน โดยนกคณตศาสตรทส าคญในยคนไดแก Descartes, Pascal, Desargues, Newton and Leibniz

ในศตวรรษท 19 นกคณตศาสตรไดท าการศกษาเรขาคณตอยางจรงจงอกครง จนเกดมเรขาคณตทแตกตางจากเรขาคณตของยคลด (Non-Euclidean Geometry) เชน Hyperbolic Geometry, Elliptic

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 3

Geometry และ Spherical Geometryเปนตน แลวพฒนาไปสวชา Topology ซงครอบคลมเรขาคณตทกชนดในปจจบน โดยนกคณตศาสตรทสมควรกลาวถงคอ Saccheri, Bolyai, Lobachevsky, Gauss และ Riemann

อยางไรกตาม Euclidean Geometry กยงถอวาเปนตนแบบของเรขาคณตอนๆ และมความส าคญตอชวตประจ าวนเปนอยางมาก และเนองจาก Elements เปนต าราเลมแรกจงอาจมจดบกพรองเปนธรรมดา จนท าใหนกคณตศาสตรสวนใหญเหนวาควรจะ มการเสรมสรางใหมความสมบรณยงขน และนกคณตศาสตรทไดรบการยกยองวางท าใหระบบสจพจนของเรขาคณตยคลดมความสมบรณขนมากคอ David Hilbert (1862-1943) 1.2 สจพจนขอท 5 ของยคลด ระบบสจพจนของเรขาคณตของยคลด ประกอบดวย นยาม และสจพ จน ค านยามทไดรบการวจารณมากเปนพเศษคอ นยามของค าวา จด ซงเขานยามวา หมายถง สงทไมมความกวาง ความยาวและความหนา จนในทสดในปจจบนกใหถอเปนค าอนยาม สวนสจพจนทไดรบการวพากษวจารณมากทสด จนเกดเปนเรขาคณตชนดอนๆขนมากคอ สจพจนขอท 5 ในสจพจนตอไปน

1. A straight line can be drawn from any point to any point 2. A finite straight line can be produced continuously in a straight line 3. A circle may be described with any point as center and any distance as

radius 4. All right angles are equal to one another 5. If a transversal falls on two lines in such a way that the interior angle on one

side of the transversal are less than two right angles, then the lines meet on that side on which the angles are less than two right angles.

โดยใชสจพจนดงกลาวประกอบกบนยามและทฤษฎบทอนๆในเรขาคณตของยคลต ทไมได

น ามากลาวไวในทน เราสามารถพสจนไดวา มมภายในของรปสามเหลยมยอมรวมกนไดสองมมฉาก แตถามการเปลยนแปลงสจพจนขอท 5 เปนอยางอน เชน Spherical Geometry ก าหนดใหเสนขนานตดกนได กจะท าใหผลบวกของมมภายในรวมกนไดมากกวาสองมมฉาก ซง Spherical Geometry มประโยชนเปนอยางมากในการค านวณระยะทางเกยวกบการเดนเรอรอบโลก โดยทเรขาคณตของยคลดสามารถค านวณไดแมนย าในระยะทางใกลๆ เทานนเอง เรายกตวอยางนขนมาเพยงเลกน อยเพอใหเหนวายงมเรขาคณตชนดอนทนอกเหนอจากเรขาคณตของยคลดทเรยนในระดบมธยมศกษา ผทสนใจสามารถเลอกเรยนไดในระดบทสงขน และตอไปนเราจะกลาวถง

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 4

เฉพาะเรขาคณตของยคลดเทานน สวนเนอหาและกจกรรม ในเอกสารประกอบการอบรมครงน โดยส วนใหญจะยดตามแนวเอกสารประกอบการอบรมวชาคณต ศาสตร ในโครงการสงเสรมโอลมป กวชาการและพฒนามาตรฐานวทยาศาสตรศกษา ปการศกษา 2543 ของ ร .ศ.เทยง ภมสะอาด และ เอกสารเสรมความรวชาคณตศาสตร (เรขาคณต ) ของ สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย จงขอขอบคณไว ณ โอกาสน อยางไรกตามผเขยนไดพยายามเพมเตมความรและประสบการณอนๆ ทไดรบมาจากการเรยน การสอนเรขาคณตในระดบมธยมศกษา ตลอดจน การสอนคณตศาสตรในระดบอดมศกษา ในสวนทคดวาจะสงเสรมความร ทกษะ และ ประสบการณใหกบนกเรยนในโครงการ สอวน. ตลอดจนผสนใจ ไดตามสมควร

1.3 ลกษณะการศกษาวชาเรขาคณต

การศกษาวชาเรขาคณต มลกษณะเดนในเรองการพสจน มากวาการคดค านวณ ดงนนจงนบวาเปนวชาพนฐานคณตศาสตรทส าคญ โดยทวไปแลวขอความทจะพสจนในทางเรขาคณตจะเปนขอความทจด ใหอยในรป “ ถา ……..แลว………..” หรออาจจะเขยนเปนประโยคสญลกษณทางตรรกศาสตรไดเปน “ p q ” และการพสจนขอความดงกลาวในทางตรรกศาสตรสามารถพสจนไดทงในทางตรงและโดยทางออม แตในทางเรขาคณตสวนใหญเราจะพสจนในแบบทางตรง โด ยถอวา p เปนเหต หรอ สงก าหนดให และ q เปนผล หรอสงทตองพสจน สงทน ามาอางองในการพสจนกคอ อนยาม นยาม สจพจน และ ทฤษฎบท ททราบมากอน โดยน ามาวเคราะหรวมกบสงทก าหนดใหเพอน าไปสการประมวลผลวา ผลหรอสงทตองพสจน นนเปนจรง ซงถอวาเปนทกษะทางความคดทส าคญ และ แนนอนทสด ทกษะดงกลาวจะไดรบการสงเสรม และ พฒนาไดตองอาศยการฝกฝนอยเปนประจ า ดวยใจรก

เชอหรอไมวา ในตอนเปนเดก ของเลนท ไอนสไตน ประทบใจทสด สงแรก คอ ...... ......เขมทศ ............และ ล าดบตอมา กคอ ............. เรขาคณต......... นเอง

1.4 ความรพนฐาน

ความรพนฐานทางเรขาคณตทเรยนในระดบมธยมศกษา สรปไวเปนหมวดหม ในลกษณะของนยาม สจพจน และทฤษฎบท โดยนกเรยนควรฝกพสจนดวยตวเองใหไดทกทฤษฎบท

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 5

1.4.1 มม นยาม มมขนาด 1 องศา หมายถงมมทเกดจากการแบงมมรอบจดออกเปน 360 สวนเทาๆกน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 1 มมตรงทกมมมขนาด 180 องศา ………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 2 มมฉากทกมมมขนาด 90 องศา ……………………………………………………………………………………………………… 1.4.2 เสนขนาน นยาม เสนตรงสองเสนขนานกน กตอเมอ เสนตรงสองเสนอยบนระนาบเดยวกน และไมตดกนไมวาจะตอออกไปใหยาวเทาไรกตาม ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 3 ถาเสนตรงสองเสนตดกน แลวขนาดของมมตรงขามยอมเทากน ……………………………………………………………………………………………………… สจพจน (สจพจนขอท 5 ของยคลด) เสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง เสนตรงคนนจะขนานกน กตอเมอ ผลบวกของขนาดของมมภายในบนขางเดยวกนของเสนตดเทากบ 180 องศา ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 4 ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนขนานคหนง แลวมมแยงทเกดขนยอมมขนาดเทากน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 5 ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง และมมแยงทเกดขนมขนาดเทากน แลว เสนตรงคนนยอมขนานกน ……………………………………………………………………………………………………… 1.4.3 ทฤษฎบทพนฐานเกยวกบดาน และ มม ของรปสามเหลยม ทฤษฎบท 6 ผลบวกของมมภายในของรปสามเหลยมใดๆ เทากบ 180 องศา ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 7 ขนาดของมมภายนอกของรปสามเหลยมใดๆ จะเทากบผลบวกของขนาดของมมภายในทอยตรงขามกบมมภายนอก ………………………………………………………………………………………………………

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 6

นยาม การเคลอนทของรปเรขาคณต คอ การเปลยนต าแหนงของรปเรขาคณตบนระนาบ โดยทระยะหางระหวาจดสองจดใดๆของรปนนไมเปลยนแปลง ……………………………………………………………………………………………………… สจพจน รปเรขาคณตสามารถเคลอนทได สจพจน เสนตรงทไมขนานกนยอมตดกน และตดกนเพยงจดเดยวเทานน สจพจน ระหวางจดสองจด จะมสวนของเสนตรงเพยงเสนเดยวเทานน นยาม รปเรขาคณตเทากนทกประการกตอเมอเคลอนทรปหนงใหทบอกรปหนงไดสนท ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 8 ถาสามเหลยมสองรปใดๆ มดานยาวเทากนสองค และมมในระหวางดานคทเทากนมขนาดเทากนแลว รปสามเหลยมสองรปนนจะเทากนทกประการ (ด.ม.ด.) ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 9 ถาสามเหลยมสองรปใดๆ มมมทมขนาดเทากนสองค และดานทเปนแขนรวมระหวางมมคทเทากนมขนาดเทากนแลว รปสามเหลยมสองรปนนจะเทากนทกประการ (ม.ด.ม.) ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 10 ถาสามเหลยมสองรปใดๆ มมมทมขนาดเทากนสองค และดานทอยตรงขามมมคเทากนมขนาดเทากนหนงค แลว รปสามเหลยมสองรปนนจะเทากนทกประการ (ม.ม.ด.) ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 11 ถารปสามเหลยมสองรปมดานยาวเทากนทงสามดาน แลว รปสามเหลยมสองรปนนจะเทากนทกประการ (ด.ด.ด.) ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 12 ถารปสามเหลยมมมฉากสองรปมดานตรงขามมมฉากยาวเทากน และมดานอกดานหนงยาวเทากน แลว รปสามเหลยมสองรปนนจะเทากนทกประการ (ฉ.ด.ด.) ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 13 ในรปสามเหลยมหนาจวมมทอยตรงขามกบดานทยาวเทากนยอมกางเทากน ……………………………………………………………………………………………………… สจพจน ในรปสามเหลยมใดๆ ผลบวกของดานสองดาน ยอมยาวกวาดานทสาม ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 14 ในรปสามเหลยมใดๆ ดานทอยตรงขามกบมมทมขนาดใหญกวา ยอมยาวกวาดานทอยตรงขามกบมมทมขนาดเลกกวา ………………………………………………………………………………………………………

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 7

ทฤษฎบท 15 ในรปสามเหลยมมมฉากใดๆ ดานตรงขามมมฉากยอมยาวทสด ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 16 ในบรรดาสวนของเสนตรงทงหลายทลากจากจดภายนอกของเสนตรงเสนหนงไปยงเสนตรงเสนนน จะมสวนของเสนตรงเพยงเสนเดยวเทานนทเปนเสนตงฉาก และเสนตรงนจะเปนเสนทสนทสด ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 17 ในรปสามเหลยมใดๆ สวนสงของสามเหลยมทงสามยอมพบกนทจดๆหนง ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 18 ในรปสามเหลยมมมใดๆ เสนมธยฐานของสามเหลยม ทงสามยอมพบกนทจดๆและจดนนจะแบงเสนมธยฐานออกเปนอตราสวน 2:1 ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 19 ในรปสามเหลยมหนาจว เสนมธยฐานทลากจากจดยอด ยอมตงฉากกบฐาน ……………………………………………………………………………………………………… 1.4.4 สามเหลยมคลาย นยาม รปเรขาคณตทคลายกน หมายถงรปทมมเทากนทกค และ อตราสวนของดานทสมนยกน มคาเทากน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 20 ถารปสามเหลยมสองรปมอตราสวนของดานทสมนยกนมคาเทากน แลวสามเหลยมสองรปยอมคลายกน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 21 ถารปสามเหลยมสองรปมมมเทากนทงสามค แลวสามเหลยมสองรปยอมคลายกน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 22 ถารปสามเหลยมสองรปมมมเทากน 1 ค และอตราสวนของความยาวของดานประกอบมมนนเทากน แลวสามเหลยมสองรปจะคลายกน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 23 เสนตรงทตอจดกงกลางของดานสองดานของรปสามเหลยมใดๆยอมขนาน และ ยาวเปนครงหนงของดานทสามของสามเหลยมนน ………………………………………………………………………………………………………

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 8

1.4.5 สเหลยมดานขาน นยาม รปสเหลยมดานขนาน หมายถงรปสเหลยมทมดานขนานกนสองค ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 24 ดานตรงขามของสเหลยมดานขนานยอมยาวเทากน ………………………………………………………………………………………………………ทฤษฎบท 25 ถารปสเหลยมรปหนงมดานตรงขามยาวเทากนทงสองค แลว สเหลยมรปนนยอมเปนสเหลยมดานขนาน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 26 ผลบวกของมมภายในของรปสเหลยมใดๆยอมเทากบ 360 องศา ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 27 มมตรงขามของรปสเหลยมดานขนานยอมมขนาดเทากน ………………………………………………………………………………………………………ทฤษฎบท 28 เสนทแยงมมของรปสเหลยมดานขนานยอมแบงครงซงกนและกน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 29 เสนทแยงมมของรปสเหลยมดานเทายอมตงฉากกน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 30 เสนขนานตงแตสามเสนขนไป ตดเสนขวางสองเสน อตราสวนของสวนตดยอมเทากน ……………………………………………………………………………………………………… นยาม พนท 1 หนวย หมายถงพนทสเหลยมจตรสทยาวดานละ 1 หนวย ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 31 พนทสเหลยมผนผา เทากบ กวาง คณ ยาว ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 32 พนทสเหลยมดานขนาน เทากบ สง คณ ฐาน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 33 พนทสามเหลยมเทากบ ครงหนงของ ผลคณของสง กบ ฐาน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 34 (Pythagoras Theorem) ในรปสามเหลยมใดๆ พนทสเหลยมจตรสบนดานตรงขามมมฉาก ยอมเทากบ ผลบวกของพนทสเหลยมจตรสบนดานประกอบมมฉาก ………………………………………………………………………………………………………

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 9

1.4.6 วงกลม นยาม วงกลมหมายถงทางเดนของจด (Locus) ซงอยหางจากจดคงทจดหนงเปนระยะทางคงตว ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 35 ถามมทจดศนยกลางของวงกลม และมมทเสนรอบวงของวงกลม รองรบดวยสวนโคงเดยวกน แลวมมทจดศนยกลางยอมมขนาดเปนสองเทาของมมทเสนรอบวง ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 36 มมในครงวงกลมยอมเปนมมฉาก ……………………………………………………………………………………………………… นยาม รปสเหลยมแนบในวงกลมหมายถงรปสเหลยมทมจดยอดมมทงสอยบนเสนรอบวงของวงกลม ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 37 ผลบวกของขนาดของมมตรงขามของสเหลยมแนบในวงกลมเทากบ 180 องศา ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 38 ในวงกลมทเทากน หรอวงกลมเดยวกน มมทเสนรอบวงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงทเทากน หรอ สวนโคงเดยวกน ยอมมขนาดเทากน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 39 ถาสวนของเสนตรงผานจดศนยกลางของวงกลม และตงฉากกบคอรดใดๆ แลว สวนของเสนตรงนนยอมแบงครงคอรด ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 40 ถาสวนของเสนตรงผานจดศนยกลางของวงกลม และแบงครงคอรดใดๆ แลว สวนของเสนตรงนนยอมตงฉากกบคอรด ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 41 ในวงกลมวงหนง คอรดทยาวเทากนยอมอยหางจากจดศนยกลางเทากน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 42 ในวงกลมวงหนง คอรดทอยหางจากจดศนยกลางเทากน ยอมยาวเทากบ ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 43 ในวงกลมทเทากน หรอวงกลมเดยวกน มมทจดศนยกลางของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงทเทากน ยอมมขนาดเทากบ ………………………………………………………………………………………………………

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 10

1.4.7 ตวอยางขอสอบคดเลอก เขา คายท 1 ศนยมหาวทยาลยขอนแกน (1) วงกลมสองวงสมผสกนภายในทจด O จด A อยภายนอกวงกลมทงสอง โดยท AO และ AP สมผสวงกลมวงเลกทจด O และ P ตามล าดบ ถา AP ตดวงกลมวงใหญทจด T และตอ AP ไปตดเสนรอบวงทจด S จงพสจนวา ˆ ˆTOP SOP

(2) ABC เปนรปสามเหลยมใดๆ AD แบงพนทของ ABC ออกเปนสองสวน โดยท พนทของ ABD โตเปนสองเทาของ ADC จากจด D ลาก //DE BA พบ ถา ˆˆ 2ADB ACD และ ˆ 30DAC จงแสดงวธหาขนาดของ ˆAED พรอมทงใหเหตผลทกขนตอน

A

B

C D

30 E

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 11

(3) D และ E เปนจดกงกลางดาน AB และ AC ของ ABC ตามล าดบ BE และ CD ตดกนทจด P โดยท EDP มพนท 4 ตารางนว PBC มพนท 9 ตารางนว จงหาพนทของ ABC (4) ABC เปนสามเหลยมแนบในวงกลมทม AB เปนเสนผานศนยกลาง AP และ BQ เปนเสนแบงครง ˆBAC และ ˆABC ตามล าดบ PM และ QN ตงฉากกบ AB ทจด M และ N ตามล าดบ จงแสดงวธหาขนาดของ ˆMCN พรอมทงใหเหตผลทกขนตอน

A

C

B

Q

N

M

P

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 12

2. สามเหลยม และ สามเหลยมคลาย 2.1 บทน า

รปสามเหลยมถอวาเปนพนฐานในการศกษารปหลายเหลยมอนๆ เชนการหาผลบวกของมมภายใน และ พนท ของรปหลายเหลยม เราสามารถหาไดโดยการลากเสนทแยงมมทไมตดกน เพอแบงยอยเปนรปสามเหลยม แลวกสามารถแกปญหาได นอกจากนนปญหาตางๆในทางธรรมชาตกเกยวของกบรปสามเหลยมม ากมาย อยางเชน ทฤษฎบทของปทา กอรส การหาจดรวมมวล และอนๆ ในบทนเราจะเนนศกษาสมบตพนฐานของรปสามเหลยม สวนปญหาตางๆทก าลงเปนทสนใจในปจจบนจะศกษาในคายท 2 ตอไป

2.2 สมบตและทฤษฎบททส าคญเกยวกบสามเหลยม พนทของรปสามเหลยม นยาม พนท 1 ตารางหนวย หมายถงพนทสเหลยมจตรสทยาวดานละ 1 หนวย

ทฤษฎบท 1 พนทของสามเหลยมเทากบครงหนงของผลคณของสงและฐาน

พสจน

ทฤษฎบท 2 ถา a, b และ c เปนดานตรงขามมม A, B และ C ของ ABC ตามล าดบ แลว พนท

ABC = 1 1 1sin sin sin

2 2 2bc A ac B ab C

พสจน

a

b

C B

B

A

c

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 13

ทฤษฎบท 3 (Law of Sine) ถา a, b และ c เปนดานตรงขามมม A, B และ C ของ ABC

ตามล าดบ แลว sin sin sinA B C

a b c

พสจน

ทฤษฎบท 4 (Law of Cosine) ถา a, b และ c เปนดานตรงขามมม A, B และ C ของ ABC ตามล าดบ แลว 2 2 2 2 cosa b c bc A

2 2 2 2 cosb a c ac B 2 2 2 2 cosc a b ab C พสจน

a

b

C B

B

A

c

a

b

C B

B

A

c

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 14

ทฤษฎบท 5 (Heron's Formula) ถา a, b และ c เปนดานตรงขามมม A, B และ C ของ ABC

ตามล าดบ แลว พนท ( )( )( )ABC s s a s b s c เมอ 2

a b cs

พสจน

ทฤษฎบทของ พธากอรส

ทฤษฎบทของพธากอรส ถอไดวาเปนทฤษฎบททมชอเสยงทสดทฤษฎหนงในวชาเรขาคณต และมผเสนอวธการพสจนมากมาย แตในทนเราจะน ามากลาวพอสงเขป

a

b

C B

B

A

c

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 15

ทฤษฎบท 6 (Pythagoras's Theorem)ในรปสามเหลยมใดๆ พนทสเหลยมจตรสบนดานตรงขามมมฉาก ยอมเทากบ ผลบวกของพนทสเหลยมจตรสบนดานประกอบมมฉาก พสจน (1)

พสจน (2)

พสจน (3)

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 16

ทฤษฎบท 7 (บทกลบของพธากอรส) ถา a, b และ c เปนดานตรงขามมม A, B และ C ของ ABC ตามล าดบ และ 2 2 2c a b แลว ABC เปนสามเหลยมมมฉาก ทมมม C เปนมมฉาก พสจน

จดศนยกลางวงลอม จดรวมมวล และจดออรโทเซนเตอร

ในสวนนจะกลาวถง เสนแบงครงมมภายในของสามเหลยม เสนมธยฐาน (Median) และ สวนสง (Altitude) ของรปสามเหลยมพรอมทงศกษาคณสมบตบางประการของเสนเหลานน

ทฤษฎบท 8 เสนตรงทตอจดกงกลางของดานสองดานของสามเหลยมยอมขนานกบดานทสามและยาวเปนครงหนงของดานทสาม พสจน ทฤษฎบท 9 สวนของเสนตรงทตอจดกงกลางของดานทงสามของสามเหลยมยอมแบงรปสามเหลยมออกเปนรปสามเหลยมยอยสรปทเทากนทกประการ พสจน

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 17

ทฤษฎบท 10 เสนตรงทแบงครงมมทงสามของสามเหลยมยอมพบกนทจดๆหนง และเรยกจดนนวา จดศนยกลางภายใน (Incenter) พสจน หมายเหต เราสามารถใชจดศนยกลางภายในสรางวงกลมใหสมผสดานทงสามของสามเหลยมได ทฤษฎบท 11 เสนตรงทแบงครงและตงฉากกบดานทงสามของสามเหลยมยอมพบกนทจดๆหนง และเรยนจดจดนนวาจดศนยกลางวงลอม (Circumcenter) พสจน

หมายเหต เราสามารถใชจดศนยกลางวงลอมสรางวงกลมใหผานจดยอดทงสามของสามเหลยมได ทฤษฎบท 12 เสนมธยฐานของสามเหลยมใดๆยอมตดกนทจดจดหนงภายในสามเหลยม และเรยกจดนนวาจดรวมมวล (Centroid) พสจน ทฤษฎบท 13 จดรวมมวลจะแบงเสนมธยฐานออกเปนอตราสวน 2 : 1 พสจน

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 18

ทฤษฎบท 14 เสนมธยฐานทงสามเสน จะแบงรปสามหเลยมนนออกเปน 6 สวนทมพนทเทากน พสจน ทฤษฎบท 15 เสนสวนสงของสามเหลยมใดๆยอมพบกนทจดจดหนง และเรยกจดนนวา จดออรโทเซนเตอร (Orthocenter) พสจน หมายเหต ถาเราลากเสนตรงผานจดตงฉากทงสามจะแบงสามเหลยมออกเปนสามเหลยมคลายทคลายกบรปเดมดวย ทฤษฎบท 16 ในรปสามเหลยมใดๆ ผลบวกของพนทสเหลยมจตรสบนดานสองดาน เทากบ สองเทาของพนทสเหลยมจตรสบนครงหนงของดานทสามรวมกบสองเทาของจตรสบนเสนมธยฐาน พสจน

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 19

2.3 สามเหลยมคลาย 2.3.1 รปเรขาคณตทคลายกน(Similar Figures)

◙ แนวความคด (Concept) เกยวกบความคลาย

รปเรขาคณตเปนรปทคลายกน เมอรปเรขาคณตทงสองนนมรปรางเหมอนกน รปเรขาคณต m เหลยม จะคลายกบ รปเรขาคณต n เหลยม กตอเมอ m n รปเรขาคณต A คลายกบ รปเรขาคณต B เขยนแทนดวย รปเรขาคณต A รปเรขาคณต B สมบตของความคลาย

1) สมบตสะทอน (Reflexive) : A A 2) สมบตสมมาตร (Symmetric) : ถา A B แลว B A 3) สมบตถายทอด (Transitive) : ถา A B และ B C แลว A C

จากสมบตทงสามขอ แสดงวาความคลายเปนความสมพนธสมมล (Equivalent relation) รปเหลยมทมมมเทากนทกมมไมจ าเปนตองเปนรปเหลยมทคลายกน รปหลายเหลยมทคลายกน อตราสวนของดานทสมนยกนตองเทากนทกค จากแนวคดขางตนเราสามารถก าหนดนยามของรปหลายเหลยมทคลายกนดงน : นยาม รปหลายเหลยมสองรปคลายกน กตอเมอ รปหลายเหลยมสองรปนน มสมบตทงสองขอตอไปน

1) ขนาดของมมเทากนเปนคๆ ทกค 2) อตราสวนของความยาวของดานคทสมนยกนทกคเปนอตราสวนทเทากน

2.3.2 รปสามเหลยมทคลายกน(Similar Triangles

โดยทวไปแลว รปหลายเหลยมทมมมเทากนทกค ไมจ าเปนตองคลายกน ดงรป และรปหลายเหลยมทมอตราสวนของดานทสมนยกนเทากน ไมจ าเปนตองคลายกน ดงรป

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 20

แต ในกรณของรปสามเหลยม เราสามารถพสจนไดวา รปสามเหสยมทมมมเทากนทกค ยอมเปนสามเหลยมทคลายกน หรอ รปสามเหลยมทมอตราสวนของดานทสมนยกนเทากน ยอมเปนสามเหลยมคลาย ดงรายละเอยดตอไปน สมบตของอตราสวน และ สดสวนทควรทราบ

1) ถา a b

x x แลว a b

…………………………………………………………………………………………………..

2) ถา a x

b y แลว a b

x y และ ay bx

…………………………………………………………………………………………………..

3) ถา a x

b y แลว a b x y

b y

และ a b x y

b y

…………………………………………………………………………………………………..

4) ถา a x

b y แลว a b x y

a b x y

และ a b x y

a b x y

…………………………………………………………………………………………………..

5) ถา ...a b c

x y z แลว ...

...

a a b c

x x y z

………………………………………………………………………………………………….. ทฤษฎบท 17 สวนของเสนตรงซงลากขนานกบดานดานหนงของรปสามเหลยม จะแบงดานทเหลอออกเปนสดสวนกน ทฤษฎบท 18 สวนของเสนตรงทลากแบงครงมมภายในหรอภายนอก จะแบงฐานออกเปนอตราสวนทเทากบอตราสวนของดานทเหลออกสองดาน

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 21

ทฤษฎบท 19 สามเหลยมสองรปทมมมเทากนทกคยอมเปนสามเหลยมทคลายกน และในอกดานหนง เราสามารถพสจนไดวา รปสามเหลยมสองรปทมอตราสวนของดานคทสมนยกนเทากนทกค จะไดวาสามเหสยมสองรปคลายกน ดงน ทฤษฎบท 20 สามเหลยมสองรปทมอตราสวนของดานคทสมนยกนเทากนทกค ยอมเปนสามเหลยมทคลายกน

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 22

เราสามารถน าความรเกยวกบความคลายไปแกปญหาตางๆไดดงตวอยางตอไปน : การหาสตรของเสนรอบวงของวงกลม โดยอาศยความคลายของวกลม การพสจนทฤษฎบทของพธากอรส (Pythagoras’s Theorem) โดยอาศยรปสามเหลยมคลาย การหาความสงของเสาธง ความสงของพระมด หรอ สงทมความสงตางๆ โดยอาศยรป

สามเหลยมคลาย การหาความกวางของแมน า ระยะหางของเรอกบชายฝง หรอสงอยหางไกลในแนวราบตางๆ

โดยอาศยรปสามเหลยมคลาย

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 23

◙ ตวอยางโจทยปญหาเกยวกบสามเหลยม ...................... (1) ในรปสามเหลยม ABC จงแสดงวา ˆ ˆ2A B กตอเมอ 2 ( )a b b c พสจน (2) ให F เปนจดบนดาน AB ของรปสามเหลยม ABC ให D เปนจดตดของ BC กบเสนตรงทลากจากจด A และขนานกบ FC ในท านองเดยวกนให E เปนจดตดของ CA กบเสนตรงท

ลากจากจด B และขนานกบ FC จงพสจนวา 1 1 1

CF AD BE

พสจน (3) ให ABCD เปนรปสเหลยมดานขนาน ตอดาน DA ไปทาง A ไปยงจด P และให PC ตด AB ทจด Q และ DB ท R ถา 525PQ และ 80QR จงหาความยาวของ RC

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 24

(4) ABC เปนสามเหลยมมมฉากโดยม A เปนมมฉาก ให D และ F เปนจดอยบน AC และ BC ตามล าดบ โดยท AF BC และ 3BD DC FC จงหาความยาวของ AC (5) ให ABC เปนรปสามเหลยม มพนท 28 ตารางนว จด ,D E และ F เปนจดบนดาน

,AB BC และ CA ตามล าดบ และ 3AD นว 4DB นว ถา ABE และ□DBEF มพนทเทากน แลว ABE มพนทเทาไร (6) ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทม ˆ ˆ 90A B และ 2BC CA AB ถา

cosm

Cn

เมอ ห.ร.ม. ( , ) 1m n จงหา m n

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 25

(7) สามเหลยมรปหนงมเสนมธยฐานยาว 3,4 และ 5 หนวย จงหาความยาวของดานทสนทสด (8) ให ABCD เปนสเหลยม โดยมจด O เปนจดตดของเสนทแยงมม AC และ BD ถา

3AOB , 6BOC และ 2COD จงหาพนทของ DOA (9) ให ABC เปนสามเหลยมมมฉากท ˆ 90ABC โดยม 4AB BC จด D และ E เปนจดบนดาน AB และ BC ตามล าดบ โดยท 3BD BE ลาก AC และ CD ตดกนทจด F จงหาพนทของสามเหลยม AFC (10) ในรปสามเหลยมมมฉาก ถาลากเสนตรงจากจดยอดไปตงฉากกบดานตรงขามมมฉาก รปสามเหลยมทเกดขนทงสองรปจะคลายกน และ คลายกบรปเดมดวย

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 26

(11) ถาสามเหลยมสองรปมมมเทากนหนงมม แลว พนทรปสามเหลยมคนจะเปนสดสวนกบพนทรปสเหลยมผนผาทมดานกวาง และ ดานยาว เทากบดานประกอบมมเทา นน (12) พนทของรปสามเหลยมคลาย เปนสดสวนกบจตรสซงตงอยบนดานทสมนยกน (13) จด P แบงดาน BC ของ ABC ดวยอตราสวน : 1: 2BP PC ถา ˆ 45ABC และ

ˆ 60APC จงหาขนาดของ ˆACP (14) D และ E เปนจดทอยบนดาน AB และ AC ของ ABC ตามล าดบ BE และ CD ตดกนทจด P ท าให BPD มพนท 2 ตารางนว CPE มพนท 3 ตารางนว และ BCP มพนท 4 ตารางนว จงหาพนทของ □ADPE

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 27

3. วงกลม

ในหวขอนจะศกษาพนฐานของวงกลมเกยวกบ ความยาวของเสนรอบวง พนทวงกลม พนทของเซกเตอร มมในสวนของวงกลม มมทจดศนยกลางของวงกลม ความยาวของคอรด ความยาวของเซกเมนต และ เสนสมผสของวงกลม

3.1 ความรพนฐาน เกยวกบวงกลม นยาม วงกลมหมายถงทางเดนของจด (Locus) ซงอยหางจากจดคงทจดหนงเปนระยะคงตว ทฤษฎบท 1 ในวงกลมใดๆ อตราสวนของเสนรอบวง และ เสนผานศนยกลาง ยอมมคาคงตว และคาคงตวดงกลาวจะแทนดวย ทฤษฎบท 2 ในวงกลมทมรศม r หนวย จะมความยาวของเสนรอบวงเทากบ 2 r หนวย ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 3 ในวงกลมทมรศม r หนวย จะมพนทเทากบ 2 r ตารางหนวย นยาม มม 1 เรเดยน (radian) หมายถง มมทจดศนยกลางของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงทยาวเทากบรศมของวงกลมนน หมายเหต ในวงกลมทมรศม r หนวย มมทจดศนยกลางทรองรบดวยสวนโคงทยาว a หนวย

จะมขนาด ar

เรเดยน

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 28

ทฤษฎบท 4 มมรอบจด มขนาด 2 เรเดยน ........................................................................................................................................................ หมายเหต เราสามารถเปลยนการวดมมโดยอาศยความสมพนธ เรเดยน = 180 องศา ทฤษฎบท 5 ในวงกลมทเทากน หรอวงกลมเดยวกน สวนโคงทรองรบมมทจดศนยกลางทเทากน ยอมมขนาดเทากน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 6 ในวงกลมทมรศม r หนวย พนทของเซกเตอร (Sector) ทมมมทจดศนยกลาง เปน

มม เรเดยน จะมพนท 2

2

r ตารางหนวย

ทฤษฎบท 7 ในวงกลมทมรศม r หนวย พนทของเซกเมนต (Segment) ทมมมทจดศนยกลาง

เปนมม เรเดยน จะมพนท 2

( sin )2

r ตารางหนวย

นยาม ระยะทางจากจดใดๆมายงเสนตรงเสนหนง ระยะทางทสนทสดคอเสนตงฉาก ……………………………………………………………………………………………………… นยาม เสนสมผสวงกลมหมายถงเสนเตรงทตดเสนรอบวงของวงกลมไดเพยงจดเดยว ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 8 เสนสมผสยอมตงฉากกบรศมทจดสมผส

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 29

ทฤษฎบท 9 สวนของเสนตรงทลากจากจดภายนอกวงกลมมาสมผสวงกลมยอมยาวเทากน ทฤษฎบท 10 มมทเกดจากคอรดและเสนสมผสของวงกลมใดๆ ยอมเทากบมมในสวนของวงกลมทอยตรงขามกบคอรดนน

3.2 ทฤษฎบททส าคญเกยวกบวงกลม ทฤษฎบท 11 ให Q เปนจดภายในวงกลม ถา XY เปนคอรดใดๆทผานจด Q แลว ผลคณ QX QY จะมคาคงตว

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 30

ทฤษฎบท 12ให P เปนจดเปนจดบนคอรด AB (หรอสวนตอ) ของวงกลมทมจดศนยกลางอย O และรศม r แลว 2 2PA PB OP r ถา P อยภายนอกวงกลม (เรยก 2 2OP r วา Powerของ P) หรอ 2 2PA PB r OP ถา P อยภายในวงกลม ทฤษฎบท 13 ถา P เปนจดบนสวนตอของคอรด AB ของวงกลมทมจดศนยกลาง O และรศม r แลว 2PA PB PT เมอ PT เปนเสนสมผสวงกลมทจด T

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 31

◙ ตวอยางโจทยปญหาเกยวกบวงกลม ...................... (1) จากรป จงหาความยาวของ x (2) ใหแสดงวธหาพนทบรเวณทอยระหวางเสนผานศนยกลางกบคอรดทยาวเทากบรศมของวงกลม (3) วงกลม

1C และวงกลม 2C ตดกนทจด P และ Q ซงแตกตางกน ใหเสนตรงทผานจด P ตดวงกลม

1C และวงกลม 2C ทจด A และ B ตามล าดบ ให Y เปนจดกงกลางดาน AB และ QY

ตดวงกลม 1C และวงกลม 2C ทจด X และ Z ตามล าดบ จงพสจนวา Y เปนจดกงกลางดาน XZ

4

3 6

x

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 32

(4) ให ,X Y เปนจดศนยกลางของวงกลมสองวงซงตดกนท A เสนสมผสทจด A กบวงกลมทงสองพบวงกลมอกครงหนงท ,B C ตามล าดบให P เปนจดทท าให PXAY เปนรปสเหลยมดานขนาน จงแสดงวาP เปนจดศนยกลางของวงกลมทลอมรอบรปสามเหลยม ABC พสจน (5) รปสามเหลยม ABC ม I เปนจดศนยกลางของวงกลมทแนบใน โดยวงกลมนสมผสดาน

,BC CA ทจด ,D E ตามล าดบ ถา BI ตด DE ท G แลว AG BG พสจน (6) ให ABCD เปนรปสเหลยมแนบในวงกลมรศม 5 หนวย และ 2 2AB BC CD DA จงหาพนทของสเหลยม ABCD (7) วงกลมสองวงมจดศนยกลางหางกน 13 หนวย ถาวงกลมวงเลก แล วงใหญ มรศม 3 และ 8 หนวยตามล าดบ จงหาความยาวของเสนสมผสของวงกลมทงสอง

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 33

(8) ให O เปนจดศนยกลางของวงกลม E เปนจดภายนองวงกลม ลากเสนตรงสองเสนจากจด E ตดเสนรอบวงจดแรกทจด B และ D และตดเสนรอบวงจดทสองท A และ C ตามล าดบ ถา ˆ 30BED และ ˆ 50BOD จงหาขนาดของมม ˆAOC (9) คอรดสองคอรดตดกนภายในวงกลม พนทรปสเหลยมผนผาทประกอบดวยสวนตดของคอรดยอมเทากน (10) คอรดสองคอรดตดกนภายนอกวงกลม พนทรปสเหลยมผนผาทประกอบดวยสวนตดของคอรดยอมเทากน และเทากบจตรสบนเสนสมผสทลากจากจดตดนน (11) สรางครงวงกลมรปหนงบนดาน AB ให X เปนจดใดๆบนดาน AB ลากเสนตงฉากกบ AB ทจด X ไปตดกบเสนรอบวงทจด M จงพสจนวา 2.AX XB MX

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 34

(12) ให O เปนจดศนยกลางของวงกลม AB และ AC เปนเสนสมผสวงกลมทจด B และ C จงพสจนวา AO แบงครงและตงฉากกบ BC (13) จด A เปนจดอยภายนอกวงกลม ลากเสนตรงตดเสนรอบจดแรกท B และ จดทสองท C ถา

5AB และ 8BC ลาก AP สมผสวงกลมท P จงหาขนาดของ AP (14) ABC เปนสามเหลยมทแนบในวงกลมทมรศม 5 นว โดยม AC เปนเสนผานศนยกลาง AB เปนคอรดทยาว 6 นว และ AD เปนคอรดทแบงครง ˆBAC จงหาความยาวของ AD

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 35

4. สามเหลยม และวงกลม ในหวขอนจะกลาวถงทฤษฎบท และ โจทยปญหาตางๆ ทแสดงถงความสมพนธ ระหวาง สามเหลยม และวงกลม ทฤษฎบท 1 ถา AD เปนเสนแบงครงมมภายใน A ของรปสามเหลยม ABC และพบดาน BC ทจด D แลว 2AB AC BD DC AD ทฤษฎบท 2 ถา ,a b และ c เปนดานทงสามของรปสามเหลยมทแนบในวงกลมรศม r และ *A

เปนพนทของรปสามเหลยมดงกลาว แลว *

4

abcA

r

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 36

ทฤษฎบท 3 เสนแบงครงมมภายนอกสองมมของรปสามเหลยม จะพบกนทจดเดยวกนกบเสนแบงครงมมภายในของมมทสามของรปสามเหลยมนน นยาม จด aI ในทฤษฎบทขางตนเรยกวา จดศนยกลางของวงกลมแนบนอกของรปสามเหลยม ABC ทอยตรงขามดาน A (Excenter opposite to A ) และ จด bI และ cI กสามารถในนยามในลกษณะเดยวกน ทฤษฎบท 4 ให I เปนจดศนยกลางของวงกลมแนบใน และ aI เปนจดศนยกลางของวงกลม

แนบนอก ของรปสามเหลยม ABC ถา aAI ตดดาน BC ทจด U แลว a

a

AIAI

IU I U

ทฤษฎบท 5 ให I เปนจดศนยกลางของวงกลมแนบใน และ aI เปนจดศนยกลางของวงกลมแนบนอก ของรปสามเหลยม ABC ดงนน aAI AI AB AC

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 37

ทฤษฎบท 6 ถาวงกลมแนบในรปสามเหลยม ABC สมผสดาน BC , CA , AB ทจด , ,X Y Z ตามล าดบ แลว แลว BX s b , CY s c , AZ s a เมอ , ,a b c เปนความ

ยาวดานทงสามของรปสามเหลยม ABC และ 2

a b cs

ทฤษฎบท 7 ในรปสามเหลยมใดๆทมพนท *A ตารางหนวย มรศมของวงกลมแนบในเปน r

และ 2

a b cs

ดงนน *A rs

ทฤษฎบท 8 ในรปสามเหลยมใดๆทมพนท *A ตารางหนวย และ ar เปนรศมของวงกลมแนบนอกทอยตรงขามจด A br เปนรศมของวงกลมแนบนอกทอยตรงขามจด B cr เปนรศมของวงกลมแนบนอกทอยตรงขามจด C จะไดวา * ( ) ( ) ( )a b cA r s a r s b r s c

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 38

◙ ตวอยางโจทยปญหาเกยวกบสามเหลยม และ วงกลม ...................... (1) ให , ,a b c เปนความยาวดานทงสามของรปสามเหลยมทม r เปนรศมของวงกลมแนบใน ar เปนรศมของวงกลมแนบนอกทอยตรงขามมม A ดงนน ( )( )arr s a s b (2) จงพสจน Heron Formula ทกลาววาในรปสามเหลยม ABC ทมดานทงสามยาว , ,a b c

หนวย ถา *A เปนพนท และ 2

a b cs

แลว * ( )( )( )A s s a s b s c

(3) ให r เปนรศมของวงกลมทแนบในรปสามเหลยม ABC ให , ,a b ch h h เปนสวนสงทลากจาก , ,A B C มายงดานตรงขามตามล าดบ จะไดวา

1) 1 1 1 1

a b cr h h h

2) 1 1 1 1

a b cr r r r

3) 1 1 1 1 1 1

a b c a b cr r r h h h

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 39

(5) ให r เปนรศมของวงกลมทแนบในสามเหลยม ABC ทม , ,a b c เปนความยาวของดานทง

สาม และมพนท *A จงพสจนวา *2A

ra b c

(6) ให ABC เปนสามเหลยมทม 2AB , 3AC และ 4BC จงหาความยาวของรศมของวงกลมทมจดศนยกลางอยทดาน BC และ สมผสดาน AB และ AC (7) จงพสจนวา จดยอดของรปสามเหลยม และ จดปลายสวนสงทลากจากอกสองจดยอดทเหลอตลอดจนจดตดของสวนสงทงสาม ทงสจดนมวงกลมลอมรอบได

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 40

(8) ให ABC แนบในวงกลมโดยม AB เปนเสนผานศนยกลาง P และ Q อยบนดาน BC และ AC ทท าให AP และ BQ เปนเสนแบงครงมม A และ มม B ตามล าดบ ลากเสนตรงจาก P และ Q ตงฉากกบ AB ทจด M และ N ตามล าดบ จงหาขนาดของ ˆMCN (9) ให ABC แนบในวงกลมทม O เปนจดศนยกลาง และ BC เปนเสนผานศนยกลาง ถา

3AB , 4AC จงหา BO OC

(10) รปสามเหลยมรปหนง รศมของวงกลมลอมรอบรปสามเหลยม ยาวเปน 7

2 เทาของรศมของ

วงกลมแนบในรปสามเหลยม ถาดานสองดานยาว 3 หนวย และ 7 หนวย และอกดานยาวเปนจ านวนเตมหนวย จงหาความยาวของดานทเหลอนน

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 41

5. สเหลยม และ วงกลม ในหวขอนจะกลาวถง ทฤษฎบท และ โจทยปญหา ทมความสมพนธกนระหวาง สามเหลยม สเหลยม และวงกลม

5.1 รปสเหลยมทมวงกลมลอมรอบได ทฤษฎบท 1 รปสเหลยมใดๆจะมวงกลมลอมรอบได กตอเมอ ผลบวกของมมภายในทอยตรงขามรวมกนได 180 ทฤษฎบท 2 รปสเหลยมคางหมหนาจว เปนรปสเหลยมทมวงกลมลอมรอบได ทฤษฎบท 3 รปสเหลยมทมดานขนานกนคหนงเปนรปสเหลยมทมวงกลมลอมรอบได กตอเมอ รปสเหลยมนนเปนรปสเหลยมมมฉาก หรอ รปสเหลยมคางหมหนาจว

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 42

ทฤษฎบท 4 (Ptolemy Theorem) รปสเหลยมจะมวงกลมลอมรอบไดกตอเมอผลคณของความยาวของเสนทแยงมม เทากบผลบวกของผลคณของความยาวดานตรงขามของรปสเหลยมนน

5.2 วงกลมแนบในรปสเหลยม ทฤษฎบท 5 รปสเหลยมจะมวงกลมแนบในได กตอเมอ ผลบวกของความยาวของดานตรงขามของรปสเหลยมนนมคาเทากน

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 43

◙ ตวอยางโจทยปญหาเกยวกบสามเหลยม สเหลยม และ วงกลม ...................... (1) ใหรปสเหลยม ABCD มวงกลมลอมรอบได เสนแบงครงมม , , ,A B C D ตดกนเกดเปนรปสเหลยมรปใหมภายในรปสเหลยม ABCD โดยจดยอดเปนจดตดของเสนแบงครงมมแตละรป จงพสจนวา รปสเหลยมรปใหมนมวงกลมลอมรอบได (2) ให A เปนพนทของรปสเหลยมใดๆ ทมเสนทแยงมม ยาว a และ b หนวย จงพสจนวา

2 2 4a b A (3) วงกลมแนบในรปสเหลยม ABCD สมผสดาน , , ,AB BC CD DA ทจด , , ,P Q R S ตามล าดบ ถา 3AB , 4DS , 6PB และ 10BC จงหา DC และ RC

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 44

(4) รปสเหลยม ABCD มวงกลมลอมรอบได ลาก CX ขนานกบดาน AB ตดเสนทแยงมม BD ทจด X จงพสจนวา AC เปนเสนสมผสวงกลมทลอมรอบสามเหลยม CXD (5) ถารปสเหลยมทแนบในวงกลมมเสนทแยงมมตงฉากซงกนและกนทจด P แลว เสนตรงทลากผานจด P ไปตงฉากกบดานใดดานหนง ยอมแบงครงดานตรงขาม (6) ABCD เปนสเหลยมแนบในวงกลม ถาสวนตอของดาน AB และ DC ตดกนภายนอกวงกลมทจด P จงพสจนวา . .AP PB CP PD (7) ABCD เปนรปสเหลยมทมวงกลมแนบใน และสมผสดานทงสทจด , ,P Q R และ S ตามล าดบ จงพสจนวา PR และ QS ตงฉากซงกนและกน

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 45

6. การพสจนกฎ และทฤษฎบางอยาง โดยใชเรขาคณต

ในหวขอนจะแสดงใหเหนวา เราสามารถประยกตใชเรขาคณตในการพสจนกฎพนฐานทางคณตศาสตร โดยไมตองแสดงรายละเอยดในการพสจน (Proof without words)

■ พชคณต 7.1 2 2 2( ) 2a b a ab b 7.2 2 2 2( ) 2a b a ab b 7.3 2 2 ( )( )a b a b a b

■ ตรโกณมต 7.4 sin cos(90 )

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 46

7.5 sin( ) sin cos cos sin 7.6 cos( ) cos cos sin sin 7.7 sin2 2sin cosA A A

■ แคลคลส

7.8 1lim 1

n

ne

n

7.9 lim 0xx

x

e

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 47

■ อสมการ 7.11

2

a bab

7.12 2

2

a b abab

a b

■ อนกรม

7.15 2 3

1 1 1 1...

4 4 4 3

7.15 1 1 1 1 1 1 1...

2 4 8 16 32 64 3

● โอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน คายท 1 ■ วชา เรขาคณต ■ ….. อ.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 48

บนทก

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… << พบกนใหม ...... คาย 2 ......... ศนย สอวน. มหาวทยาลยขอนแกน >>