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In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei
quadrati costruiti sui cateti.
𝑐↑2 = 𝑎↑2 + 𝑏↑2
a
b
c
Leggenda sulla scoperta del Teorema di Pitagora:
Si racconta che … Una leggenda racconta che Pitagora abbia formulato il suo teorema mentre stava aspe=ando un'udienza da Policrate. Seduto in un grande salone del palazzo di Samo, Pitagora si mise ad osservare le piastrelle quadrate del pavimento, si pensa che ne abbia vista una ro=a perfe=amente su di una diagonale, così da formare due triangoli re=angoli uguali.
Dal par6colare al generale Pitagora dove=e aspe=are alcune ore prima di essere ricevuto e così ebbe tempo di scoprire che il suo teorema era vero non soltanto nel caso parDcolare del triangolo re=angolo isoscele, ma anche in molD altri casi, come quello qui so=o. In praDca è valido per qualunque triangolo re=angolo.
In realtà la storia del teorema è molto più complessa e le sue origini risalgono a un migliaio di anni prima che Pitagora si dedicasse allo studio dei triangoli re=angoli.
La tavoletta babilonese (1800-1600 a.C.), nella ricostruzione di O. Neugebauer,
Il primo numero sulla diagonale è 1;24,51,10, dove il punto e virgola separa la parte intera dalla parte decimale ed è in notazione sessagesimale. Lo stesso numero nel sistema decimale è:
che è un valore approssimato della radice di 2. Se il lato del quadrato è 1, la diagonale è la radice quadrata di 1^2 più 1^2, cioè di 2. Se il lato è 30, sarà naturalmente il prodo=o di 30 per la radice quadrata di 2.
...414213,16010
6051
60241 32 =+++
Le dimostrazioni del celebre teorema non sono infinite, ma nel
corso dei secoli ne sono state proposte diverse cenDnaia.
La dimostrazione del teorema di Pitagora più immediata e più diffusa nei libri scolasDci consiste nel riempire uno stesso
quadrato di lato uguale alla somma dei cateD prima con qua=ro copie del triangolo re=angolo più il quadrato costruito
sull'ipotenusa e poi con qua=ro copie del triangolo re=angolo più i quadraD costruiD sui cateD, come nella figura a pagina seguente
Si prendano due quadraD di lato a+b e si dividano come in figura. Si osserva che il quadrato sulla sinistra risulta diviso in due quadraD di area 𝑎↑2 e 𝑏↑2 e in due re=angoli di dimensioni a e b (tagliaD lungo la diagonale). Il quadrato sulla destra, invece, presenta un quadrato al centro di area 𝑐↑2 e qua=ro triangoli re=angoli
equivalenD. Se immaginiamo di togliere dalla prima e dalla seconda figura tuW i triangoli re=angoli, che sono tra loro equivalenD,
o=eniamo figure tra loro equivalenD cioè:
𝑎↑2 + 𝑏↑2 = 𝑐↑2 (I quadraD azzurri
sono rispeWvamente quelli costruiD sui
cateD e sull’ ipotenusa di un triangolo
re=angolo giallo.)
DIMOSTRAZIONE DI POMI CON I QUADRATI CONCENTRICI
di laD rispeWvamente pari all’ipotenusa c e alla somma dei due cateD del triangolo
re=angolo a+b
Come si vede dalla figura, tolD al quadrato più grande (di lato a+b) i qua=ro triangoli re=angoli (in giallo, di area 𝑎∗𝑏/2 ), si oWene il quadrato più piccolo (di lato c), rappresentato in bianco. Quindi da cui
(𝑎+𝑏)↑2 −4∗𝑎∗𝑏/2 = 𝑐↑2
𝑎↑2 + 𝑏↑2 +2𝑎𝑏−2𝑎𝑏= 𝑐↑2 𝑎↑2 + 𝑏↑2 = 𝑐↑2
Consideriamo una copia del triangolo re=angolo in
quesDone, ruotata di 90 gradi in modo da allineare i due cateD differenD. Si uniscono
poi gli estremi delle ipotenuse, e si oWene un
trapezio. Uguagliando l'area del trapezio alla somma di
quelle dei tre triangoli reW, si dimostra il teorema.
222
222
2
2
222))((
222
2))((
zyxzxyxyyxzxyyxyx
zxyyxyx
=+
+=++
+=++
+=++
Dimostrazione di Garfield (1876) Questa dimostrazione si basa sul calcolo
dell’area del trapezio.
In questo caso non dobbiamo costruire nessun quadrato.
Dimostrazione con il 1° Teorema di Euclide
21212211
RRQQRQRQ
+=+
=
=
In ogni triangolo re=angolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al re=angolo che ha per laD l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa.
DIMOSTRAZIONE (triangoli simili)
A
B
C
D
AD è l’altezza relaDva all’ipotenusa Osserviamo che i triangoli ABC, ABD e ADC sono simili dunque:
𝐴𝐵/𝐵𝐶 = 𝐵𝐷/𝐴𝐵 , 𝐴𝐶/𝐵𝐶 = 𝐷𝐶/𝐴𝐶 allora 𝐴𝐵∗𝐴𝐵=𝐵𝐶∗𝐵𝐷 𝐴𝐶∗𝐴𝐶=𝐵𝐶∗𝐷𝐶
Sommando le ulDme due equazioni o=enute si ha: 𝐴𝐵∗𝐴𝐵+𝐴𝐶∗𝐴𝐶=𝐵𝐶∗𝐵𝐷+𝐵𝐶∗𝐷𝐶 𝐴𝐵↑2 + 𝐴𝐶↑2 =𝐵𝐶(𝐵𝐷+𝐷𝐶) ma 𝐵𝐷+𝐷𝐶=𝐵𝐶 allora 𝐴𝐵↑2 + 𝐴𝐶↑2 =𝐵𝐶∗𝐵𝐶
𝐴𝐵↑2 + 𝐴𝐶↑2 = 𝐵𝐶↑2
Definizione: Due triangoli si dicono simili se hanno ordinatamente gli angoli uguali e i laD in proporzione.
II° criterio di similitudine
Se due triangoli hanno due laD in proporzione e l’angolo compreso uguale sono simili.
DIMOSTRAZIONE:
B A
C
a b
c D E
Consideriamo il triangolo re=angolo ABC re=o in 𝐶 . Tracciamo la circonferenza di centro A e raggio 𝐴𝐶 =𝑏; essa individua i punD D e E (rispeWvamente su 𝐴𝐵 e sul suo prolungamento). Il triangolo AEC è isoscele dunque 𝐴𝐶 𝐸=𝐶𝐸 𝐴
𝐷𝐶 𝐸 è re=o (1) ogni angolo alla circonferenza è metà dell’angolo al centro (2) tuW gli angoli alla circonferenza che insistono sul diametro sono reW
Allora 𝐵𝐶 𝐷=𝐴𝐶 𝐸 (in rosso) e 𝐴𝐶 𝐸=𝐶𝐸 𝐴 (per quanto già de=o). I triangoli DBC e EBC hanno l’angolo 𝐷𝐵 𝐶 in comune e 𝐵𝐶 𝐷=𝐵𝐸 𝐶 dunque sono triangoli simili 𝐵𝐶/𝐵𝐸 = 𝐵𝐷/𝐵𝐶 𝑎/𝑐+𝑏 = 𝑐−𝑏/𝑎 𝑎↑2 =(𝑐+𝑏)(𝑐−𝑏)= 𝑐↑2 − 𝑏↑2 𝑎↑2 + 𝑏↑2 =𝑐↑2 B
C C
D B E
GENERALIZZAZIONI DEL TEOREMA DI PITAGORA
Solitamente, una generalizzazione è una relazione che si applica a tuW i triangoli, e che risulta essere equivalente al teorema di
Pitagora nei triangoli re=angoli.
TEOREMA DEL COSENO TEOREMA DEI SENI
TEOREMA DEL COSENO o di Carnot
In ogni triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadraD degli altri due laD meno il doppio prodo=o degli stessi
laD per il coseno dell' angolo fra essi compreso
In formule: a2 = b2 + c2 -‐ 2bc cos α b2 = a2 + c2 -‐ 2ac cos β c2 = a2 + b2 -‐ 2ab cos γ
a b
c
α β
γ
DIMOSTRAZIONE 1: Si tracci l’altezza BH; essa individua due triangoli re=angoli ai quali è possibile applicare il Teorema di Pitagora. Da cui si ha:
a
b
c
α
β
γ A
B
C H
𝐵𝐶 ↑2 = 𝐶𝐻 ↑2 + 𝐵𝐻 ↑2 𝐵𝐻 ↑2 = 𝐴𝐵 ↑2 − 𝐴𝐻 ↑2 𝐶𝐻 ↑ = 𝐴𝐶 − 𝐴𝐻
𝐵𝐶 ↑2 = ( 𝐴𝐶 − 𝐴𝐻 )↑2 +( 𝐴𝐵 ↑2 − 𝐴𝐻 ↑2 ) 𝐵𝐶 ↑2 = 𝐴𝐶 ↑2 + 𝐴𝐻 ↑2 −2𝐴𝐶 𝐴𝐻 + 𝐴𝐵 ↑2 − 𝐴𝐻 ↑2 𝐵𝐶 ↑2 = 𝐴𝐵 ↑2 + 𝐴𝐶 ↑2 −2𝐴𝐶 𝐴𝐻 poiché
𝐴𝐻 = c cosα si ha: a2 = b2 + c2 -‐ 2bc cos α Le altre relazioni si dimostrano analogamente.
DIMOSTRAZIONE 2:
Una seconda dimostrazione del teorema è basata sul calcolo ve=oriale. Dato il triangolo ABC (in figura), consideriamo la seguente relazione ve=oriale:
𝐵𝐶 = 𝐵𝐴 + 𝐴𝐶 ed eleviamo al quadrato entrambi i membri. Si oWene:
𝐵𝐶 ↑2 = 𝐵𝐴 ↑2 + 𝐴𝐶 ↑2 +2𝐵𝐴 ∙ 𝐴𝐶 da cui (per le proprietà del prodo=o scalare):
a2 = b2 + c2 -‐ 2bc cos α
a
b
c
α
β
γ A
B
C
TEOREMA DEI SENI 𝑎/𝑠𝑒𝑛α = 𝑏/𝑠𝑒𝑛β = 𝑐/𝑠𝑒𝑛γ
DIMOSTRAZIONE 1 : Consideriamo il triangolo ABC (nell’immagine
so=ostante) e tracciamo le sue altezze 𝐴𝑀 e 𝐵𝑁 . Prendendo in esame dapprima il triangolo re=angolo AMC e poi il triangolo
re=angolo AMB, si oWene: 𝐴𝑀 =𝑎𝑠𝑒𝑛β e 𝐴𝑀 =𝑏𝑠𝑒𝑛α; perciò: 𝑎𝑠𝑒𝑛β= 𝑏𝑠𝑒𝑛α da cui segue:𝑎/𝑠𝑒𝑛α = 𝑏/𝑠𝑒𝑛β . Analogamente, prendendo in esame i triangoli re=angoli BNA e BNC, si oWene: 𝐵𝑁 =𝑐𝑠𝑒𝑛β, 𝐵𝑁 =𝑏𝑠𝑒𝑛γ; da cui segue: 𝑏/𝑠𝑒𝑛β = 𝑐/𝑠𝑒𝑛γ . In definiDva, come si voleva dimostrare:
𝑎/𝑠𝑒𝑛α = 𝑏/𝑠𝑒𝑛β = 𝑐/𝑠𝑒𝑛γ
c
C
A
B M
N
Osserviamo che questa dimostrazione condo=a avendo implicitamente supposto che il triangolo ABC fosse acutangolo, sostanzialmente non
cambia se esso è o=usangolo.
a b
c α β
γ
DIMOSTRAZIONE 2:
molDplichiamo scalarmente entrambi i membri per il ve=ore 𝐶𝐻 , dove H è il piede dell’altezza relaDva al lato AB:
𝐴𝐵 ∙ 𝐶𝐻 =( 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵) ∙ 𝐶𝐻 tenendo ora presente che i ve=ori 𝐴𝐵 e 𝐶𝐻 sono tra loro ortogonali e perciò il loro prodo=o scalare è nullo,
allora ( 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵) ∙ 𝐶𝐻 =0. Osserviamo che l’angolo tra i ve=ori 𝐴𝐶 e 𝐶𝐻 è il supplementare di 𝐴𝐶 𝐻 che misura π −(𝜋/2 −α)e che, analogamente, l’angolo tra i ve=ori 𝐶𝐵 e 𝐶𝐻 (H 𝐶 B) è 𝜋/2 − β
allora: 𝐴𝐶 𝐶𝐻 cos( 𝜋/2 + α)+ 𝐶𝐵 𝐶𝐻 cos( 𝜋/2 − β) =0 -‐ 𝑏𝐶𝐻 sin α +𝑎𝐶𝐻 sin β =0
𝑎𝑠𝑖𝑛𝛽 =𝑏𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑎/𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑏/𝑠𝑒𝑛𝛽
A B
C
H
K
Una seconda dimostrazione del teorema è basata sul calcolo ve=oriale. Dato il triangolo ABC (in figura), consideriamo la seguente
relazione ve=oriale: 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 e
α β
γ
b a
c
Le dimostrazioni grafiche che vi proponiamo di seguito sono un felice connubio tra geometria e arte; si basano tu=e sulla scomposizione dei quadraD costruiD sui cateD del triangolo
re=angolo e la ricomposizione dei pezzi sul quadrato costruito sull’ipotenusa.
I «puzzle pitagorici» che seguiranno hanno il vantaggio di avere una rappresentazione visiva semplice e dire=a che richiede
solamente lo spostamento di forme geometriche.
Consideriamo qua=ro triangoli re=angoli idenDci disposD in modo da formare un quadrato con il lato uguale all’ipotenusa. Se ridisponiamo le stesse figure nel modo indicato nella figura a destra, possiamo osservare che o=eniamo due quadraD che hanno per laD uno, il cateto minore e l’altro quello maggiore.
DIMOSTRAZIONE DI PERIGAL (1873)
Si divide il quadrato costruito sul
cateto maggiore in qua=ro parD, con due segmenD passanD per il centro del quadrato stesso, uno dei quali
parallelo e l’altro perpendicolare alla ipotenusa, e si ricompongono poi i qua=ro pezzi, insieme al quadrato costruito sull’altro cateto, nel quadrato dell’ipotenusa.
DIMOSTRAZIONE DI LIU HUI (Cina III sec a.C.) Per suddividere il quadrato costruito sul cateto maggiore:
! si traccia il segmento simmetrico dell'ipotenusa rispe=o al cateto maggiore
! si traccia il quadrato piccolo ! si traccia la diagonale del
quadrato grande ! si traccia quindi l'ulDmo
segmento
Il quadrato costruito sul cateto minore del triangolo re=angolo, è invece tagliato dalla diagonale.
DIMOSTRAZIONE DI BOETTCHER (1898-‐1967)
Per scomporre i quadraD costruiD sui cateD: tracciare una diagonale a ciascun quadrato. Dagli altri due verDci di ciascun quadrato tracciare la
perpendicolare all'ipotenusa fino ad incontrare la diagonale del quadrato precedentemente rappresentata. Ciascuno dei quadraD costruiD sui cateD risulterà così scomposto in qua=ro triangoli.
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2 3
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Gli o=o pezzi così o=enuD, possono essere assemblaD per coprire il
quadrato costruito sull'ipotenusa.
DIMOSTRAZIONE DI THABIT IBN QURRA Questa dimostrazione si basa unicamente sul ribaltamento del quadrato costruito sull'ipotenusa. Esso scompone i quadraD costruiD sui cateD in cinque parD che, tagliate, possono essere ricomposte per coprire esa=amente il quadrato costruito sull’ipotenusa.
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DIMOSTRAZIONE SENZA NOME (forse di derivazione cinese)
La scomposizione del quadrato costruito sul cateto minore si oWene prolungando il lato del quadrato costruito sull'ipotenusa. La scomposizione del quadrato costruito sul cateto maggiore inizia dalla linea parallela all'ipotenusa che parte dal verDce del quadrato. Essa individua sia la fascia, orizzontale sul disegno,
che il lato del quadraDno in fondo a destra. L'ulDmo triangolo, il più piccolo si oWene tracciando la perpendicolare all'ipotenusa
partendo dal verDce del quadrato fino all'incontro con la fascia orizzontale descri=a sopra.
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ Elisha Scott Loomis, The Pythagorean proposition (ristampa, 1968) A. Cerasoli, Mr. Quadrato, Sperling & Kupfer 2006 B.Vitrac, Sur Pythagore et le “théorème de Pythagore”, in Euclide, Les Éléments, PUF, vol.1 1990, pp.310-321 Pitagora e il suo teorema, a cura di E.Giusti, Firenze, Polistampa 2001 http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ http://www.palais-decouverte.fr/index.php?id=858%20
Alcuni riferimenD bibliografici e sitografici
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