View
492
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
S E P T I E M B R E 2 0 1 2 - F E B R E R O 2 0 1 3
PORTOFOLIO DE CALCULO DIFERENCIAL
BRAVO BARAHONA GISELLA
PATRICIA 2 SEMESTRE “B”
ING. JOSE ANTONIO CEVALLOS SALAZAR
2
PRONTUARIO DEL CURSO
CARTA DE PRESENTACIÓN
AUTORRETRATO
DIARIO METACOGNITIVO
ARTÍCULOS DE REVISTAS PROFESIONALES
TRABAJO DE EJECUCIÓN
MATERIALES RELACIONADOS CON LA CLASE.
SECCIÓN ABIERTA.
RESUMEN DE CIERRE
EVALUACIÓN DE PORTAFOLIO
ANEXOS
INVESTIGACIÓN
VINCULACIÓN
GESTIÓN
TABLA DE CONTENIDOS
3
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
VISIÓN
Formar académicos, científicos y profesionales responsables, humanistas,
éticos y solidarios, comprometidos con los objetivos del desarrollo
nacional, que contribuyan a la solución de los problemas del país como
universidad de docencia con investigación, capaces de generar y aplicar
nuevos conocimientos, fomentando la promoción y difusión de los saberes
y las culturas, previstos en la Constitución de la República del Ecuador.
MISIÓN
Ser una institución Universitaria, líder y referente de la educación superior
en el Ecuador, promoviendo la creación, desarrollo, transmisión y difusión
de la ciencia, la técnica y la cultura, con reconocimiento social y
proyección regional y mundial.
4
FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
VISIÓN
Ser una unidad con alto prestigio académico, con eficiencia, transparencia
y calidad educativa, organizada en sus actividades, protagonista del
progreso regional y nacional.
MISIÓN
Formar profesionales eficientes e innovadores en el campo de las ciencias
informáticas, que con honestidad, equidad y solidaridad, den respuestas a
las necesidades de la sociedad elevando su nivel de vida.
5
PRONTUARIO
INFORMACIÓN GENERAL
Programa
Codificación del curso: Segundo “A”
Título del curso: CÁLCULO DIFERENCIAL
Horas de crédito: cuatro (4) créditos
Horas contacto: 64 horas, II semestre
DESCRIPCIÓN DEL CURSO
La ciencia Matemáticas es un área del conocimiento que colabora al desarrollo de otras
ciencias, marcando su importancia para la solución de problemas dentro de un nivel
científico. Estas son las razones por la que la carrera incorpora el Cálculo Diferencial a
la malla curricular. El propósito de la asignatura en sus cuatro capítulos, es
conceptualizar lineamiento teóricos metodológicos al estudiante, en el análisis de las
funciones y hace énfasis en sus gráficas, la forma de combinarlas y clasificarlas de
acuerdo a los números reales y a los tipos de funciones, la idea de límites y su
continuidad permiten describir el comportamiento de una función con propiedades
específicas, se hace énfasis en desarrollar destrezas para calcular límites por métodos
algebraicos o trigonométricos y mediante reglas básicas, la noción de la derivada en esta
unidad el estudiante aprenderá a calcular la derivada inicialmente con su definición, y
luego hace énfasis con modelos matemáticos que surgen de las Reglas Básicas de
Derivación, las Aplicaciones de las derivadas, hace énfasis en determinar los Valores
Máximos y Mínimos de una función que se requieren en la práctica en problemas de
Optimización donde se pide determinar el modo óptimo de llevar a cabo un determinado
proceso. Así mismo proporciona al estudiante información adicional y precisa para el
Trazo de Curvas. La programación de la asignatura concluye con la introducción de
Diferenciales para aplicarlas en la Integral indefinida, teniendo como apoyo el software
matemático Matlab y Derive-6, para incentivarlos en la construcción de pequeños
Software.
6
POLITICAS DEL CURSO
Las políticas de curso que se aplican en la materia de Cálculo Diferencial para optimizar el
proceso de enseñanza–aprendizaje dentro del aula son los siguientes:
Compromisos Disciplinarios y Éticos
DE LAS RECOMENDACIONES PARA MEJORAR LA CONVIVENCIA, CUIDADO Y EL
BUEN USO DEL AULA DE CLASE.
Es primordial mantener siempre el respeto como norma principal de convivencia en armonía entre compañeros y el docente.
Ser puntuales en todas las actividades programadas.
Escuchar y respetar democráticamente el criterio de los demás.
Hacer silencio cuando alguien esté haciendo uso de la palabra.
Evitar interrupciones innecesarias.
Cuidar y preservar el inmobiliario del aula.
Mantener el aula limpia, evitando botar basura en el piso
No deteriorar ni rayar, las paredes, mesas y sillas.
Procurar en todo momento la correcta manipulación y utilización de los equipos informáticos.
Comprometernos responsablemente a cumplir con estas recomendaciones tanto estudiantes como docente.
ASISTENCIA, PUNTUALIDAD Y RESPONSABILIDAD
La asistencia es obligatoria a todas las actividades programadas en esta asignatura.
El estudiante ingresará a clase a la hora establecida y solo por una ocasión se aceptará el retraso de 10 minutos.
El docente asistirá igualmente con toda puntualidad a las actividades establecidas y los estudiantes esperarán 10 minutos después de la hora de inicio, en caso de que el docente no se hubiera comunicado con el líder del curso en este lapso los estudiantes se retirarán y el docente tiene la obligación de recuperar estas horas.
El estudiante deberá justificar al docente su inasistencia o atraso, independiente de la justificación reglamentaria.
El estudiante por ningún concepto utilizará celulares en el aula, igual comportamiento tendrá el docente.
En caso de emergencia el estudiante solicitará al docente el respecto permiso para el uso del celular.
El intento de copia de cualquier estudiante será sancionado con la calificación de cero y no habrá oportunidad de recuperación, independiente de las sanciones establecidas por la universidad.
Los trabajos se entregarán en la fecha establecida y no se recibirá en otra oportunidad. No se aceptarán una segunda oportunidad para la entrega de trabajo.
Serán por equipo conformado por 4 estudiantes, aplicando el sistema cooperativo en la investigación.
La defensa estará a cargo del grupo.
Se presentará impreso en papel, carpeta plástica de acuerdo al modelo presentado en el curso y un archivo lógico-caratula con las precauciones necesarias.
El estudiante ingresará al aula sin gorra y no consumirá alimentos dentro del aula.
El trabajo escrito será realizado con las propias palabras e ideas del estudiante, si se descubre la copia textual de un párrafo o un texto se calificará con cero.
El estudiante aplicará en su proceso enseñanza-aprendizaje como evidencia y mejoramiento continuo un portafolio de acuerdo al modelo presentado en el curso.
7
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
SYLLABUS
ASIGNATURA: CÁLCULO DIFERENCIAL
1.- DATOS GENERALES
Unidad Académica: Facultad de Ciencias Informáticas
Carrera: Ingeniería en Sistemas Informáticos
Ciclo Académico: Septiembre 2012 – Febrero 2013.
Nivel o Semestre: 2do. Semestre
Área de Curricular: Matemáticas
Tipo de Asignatura: Obligatoria de Facultad
Código: OF-280
Requisito para: Cálculo Integral-OF-380
Pre-requisito: Matemáticas Básicas II-OF-180
Co-requisito: Ninguno
No de Créditos: 4
No de Horas: 64
Docente Responsable: Ing. José Antonio Cevallos Salazar, Mg.Sc.
Correo Electrónico: jcevallos@utm.edu.ec, jcs_280@hotmail.com.
2. DESCRIPCIÓN DE LA ASIGNATURA.
El Cálculo Diferencial marca su importancia para la solución de problemas dentro de un nivel científico; su propósito es conceptualizar lineamiento teóricos, metodológicos y prácticos en el estudiante, en el análisis de las funciones, gráficas, la forma de combinarlas y clasificarlas de acuerdo a los números reales y a los tipos de funciones, la idea de límites y su continuidad permiten describir el comportamiento de una función con propiedades específicas, calcular límites por métodos algebraicos o trigonométricos y mediante reglas básicas, y luego con modelos matemáticos que surgen de las Reglas Básicas de Derivación, la Aplicación de las derivadas en determinar los Valores Máximos y Mínimos de una función que se requieren en la práctica en problemas de Optimización para un determinado proceso. Así mismo proporciona al estudiante información adicional y precisa para aplicarla en otras ciencias, teniendo como apoyo el software matemático Matlab.
3. OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA
Desarrollar en los estudiantes el análisis, el razonamiento y la comunicación de su pensamiento, a través de la solución de problemas que le permitan percibir e interpretar su entorno espacial desde la perspectiva del Cálculo, facilitándoles en el futuro la asimilación de aprendizajes más complejos en el área de las matemáticas, promoviendo la investigación científico-técnica para la Ciencias Informáticas.
8
4. OBJETIVOS EDUCACIONALES DE LA FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS INFORMÁTICOS
1. Aplicar las ciencias básicas y las matemáticas en la solución de problemas del entorno
2. Aportar a la toma de decisiones que ayudan a desarrollar organizaciones proactivas que contribuyen al buen vivir
3. Construir soluciones informáticas de calidad que mejoren la eficiencia y eficacia de una organización haciendo uso correcto de la tecnología.
4. Demostrar compromiso de aprendizaje continuo y trabajo en equipo multidisciplinario con ética profesional
5. Estar en capacidad para realizar estudios de posgrado con exigencia internacional en áreas afines.
6. Ser emprendedor, innovador en los últimos avances tecnológicos en el desempeño de su profesión
1 2 3 4 5 6
x
5. RESULTADOS DEL APRENDIZAJE
RESULTADOS DEL APRENDIZAJE
METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE
NIVELES METODO DE EVALUACIÓN
CRITERIOS NIVELES DEL RESULTADO DE APRENDIZAJE
PONDERACIÓN
Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios, aplicando las técnicas respectivas para cada caso.
APLICACIÓN
Ejercicios escritos, orales, talleres y en los Software Matemático: Derie-6 y Matlab.
Aplicación de 4 técnicas para dominio
Aplicación de 4 técnicas para rango
Aplicación de 4 técnicas para graficar las funciones.
Determinará el dominio con la aplicación de 4 técnicas, el rango con 4 técnicas y graficará las funciones con 4 técnicas en ejercicios escritos, orales, talleres y en el software Matemático: Derive-6 y Matlab.
Determinará el dominio, con la aplicación. de 2 técnicas, el rango con 2 técnicas y graficará las funciones con 2 técnicas en ejercicios escritos, orales, talleres y en un software Matemático: Matlab
Determinará el dominio, con la aplicación. de 1 técnica,
el rango con 1 técnicas y graficará las funciones con 1 técnicas en ejercicios escritos, orales, talleres y en un software Matemático: Matlab
NIVEL ALTO:
86-100
NIVELMEDIO
71-85
NIVEL BÁSICO
70
RESULTADOS DEL APRENDIZAJE
METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE
NIVELES METODO DE CRITERIOS NIVELES DEL RESULTADO DE PONDERACIÓN
9
EVALUACIÓN APRENDIZAJE
Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico a través de ejercicios participativos aplicando los criterios de continuidad de funciones y las conclusiones finales si no fuera continua.
APLICACIÓN
10 ejercicios escritos, orales y en talleres, individual y en equipo.
Participación activa, e interés en el aprendizaje.
Aplicación de los tres criterios de continuidad de función.
Conclusión final si no es continúa la función
Demostrará la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico a través de 10 ejercicios escritos, orales y en talleres participativos aplicando los tres criterios de continuidad de funciones.
Participación activa, e interés en el aprendizaje.
Conclusión final si no es continúa la función.
Demostrará la existencia de límites y continuidad de funciones en los resales por medio gráfico a través de 7 ejercicios escritos, orales y en talleres participativos aplicando los tres criterios de continuidad de funciones.
Conclusión final si no es continúa la función.
Demostrará la existencia de límites y continuidad de funciones en los resales por medio gráfico a través de 5 ejercicios escritos, orales y en talleres participativos aplicando los tres criterios de continuidad de funciones.
Conclusión final si no es continúa la función.
NIVEL ALTO:
86-100
NIVELMEDIO
71-85
NIVEL BÁSICO
70
RESULTADOS DEL APRENDIZAJE
METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE
NIVELES METODO DE EVALUACIÓN
CRITERIOS NIVELES DEL RESULTADO DE APRENDIZAJE
PONDERACIÓN
Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas
APLICACIÓN
10 ejercicios escritos, orales, talleres y en los Software Matemáticos: Derive-6 y Matlab.
Aplicación de los teoremas de límites.
Aplicación de las reglas básicas de límites infinitos.
Aplicación de las reglas básicas de límites al infinito.
Aplicación de límites en las asíntotas verticales y asíntotas horizontales.
Determinará al procesar los límites de funciones en los reales con la aplicación de los teoremas de límites,
Con la aplicación de la regla básica de límites infinitos, con la aplicación de la regla básica de límites al infinito y aplicación de límites en las asíntotas verticales y horizontales, en 10 ejercicios escritos, orales, talleres y en el software Matemático: Derive-6 y Matlab
Determinará al procesar los límites de funciones en los reales con la aplicación de los teoremas de límites,
Con la aplicación de la regla básica de límites infinitos, con la aplicación de la regla básica de límites al infinito en 7 ejercicios escritos, orales, talleres y en el software Matemático: Matlab.
Determinará al procesar los límites de funciones en los reales con la aplicación de la regla básica de límites infinitos, con la aplicación de la regla básica de límites al infinito en 5 ejercicios manuales y en el software
NIVEL ALTO:
86-100
NIVELMEDIO
71-85
NIVEL BÁSICO
70
10
Matemático: Derive-6
RESULTADOS DEL APRENDIZAJE
METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE
NIVELES METODO DE EVALUACIÓN
CRITERIOS NIVELES DEL RESULTADO DE APRENDIZAJE
PONDERACIÓN
Determinar la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales a través de ejercicios mediante los teoremas y reglas de derivación acertadamente.
APLICACIÓN
Ejercicios escritos, orales, talleres y en el Software Matemáticos: Matlab y Derive-6.
Aplicación de los teoremas de derivación.
Aplicación de la regla de derivación implícita.
Aplicación de la regla de la cadena abierta.
Aplicación de la regla de derivación orden superior.
Determinará la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales aplicando acertadamente los teoremas de derivación, con la aplicación de la regla de la derivación implícita, con la aplicación de la regla de la cadena abierta, con la aplicación de la regla de la derivación de la derivada de orden superior en ejercicios escritos, orales, talleres y en el software matemáticos: Derive-6y Matlab.
Determinará la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales aplicando acertadamente los teoremas de derivación, con la aplicación de la regla de la derivación implícita, con la aplicación de la regla de la derivación de la derivada de orden superior en ejercicios escritos, orales, talleres y en el software matemático: Matlab.
Determinará la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales aplicando acertadamente los teoremas de derivación, en ejercicios escritos, orales, talleres y en el software matemático: Matlab.
NIVEL ALTO:
86-100
NIVELMEDIO
71-85
NIVEL BÁSICO
70
RESULTADOS DEL APRENDIZAJE
METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE
NIVELES METODO DE EVALUACIÓN
CRITERIOS NIVELES DEL RESULTADO DE APRENDIZAJE
PONDERACIÓN
Determinar los máximos y mínimos, de funciones en los reales en el estudio de gráficas y problemas de optimización a través de los criterios respectivos.
ANÁLISIS
Ejercicios escritos, orales, talleres y en el software matemático: Matlab.
Aplicación del primer criterio para puntos críticos.
Aplicación del segundo criterio para concavidades y punto de inflexión.
Aplicación del primer y segundo criterio para el estudio de graficas.
Aplicación del segundo criterio para problemas de optimización.
Determinará los máximos y mínimos, de funciones en los reales, con la aplicación del primer criterio para puntos críticos, con la aplicación del segundo criterio para concavidades y punto de inflexión, con la aplicación del primer y segundo criterio para el estudio de graficas, y con la aplicación del segundo criterio para problemas de optimización en ejercicios escritos, orales, talleres y en software matemático: Matlab
Determinará los máximos y mínimos, de funciones en los reales, con la aplicación del primer criterio para puntos críticos, Aplicación del segundo criterio para problemas de optimización. En ejercicios escritos, orales, talleres y en software matemático: Matlab
Determinará los máximos y mínimos, de funciones en los reales, con la aplicación del primer criterio para puntos críticos, con la aplicación del segundo criterio para concavidades y punto de inflexión, Aplicación del
NIVEL ALTO:
86-100
NIVELMEDIO
71-85
NIVEL BÁSICO
70
11
primer y segundo criterio para el estudio de graficas, en ejercicios escritos, orales y talleres.
5.1 RESULTADOS DE APRENDIZAJE DE LA CARRERA ESPECÍFICOS A LOS QUE APUNTA LA MATERIA (ABET).
a. Capacidad de realizar análisis, síntesis y aplicación de las matemáticas y ciencias básicas en la solución de problemas de ingeniería en sistemas informáticos.
b. Capacidad de planificar, diseñar, conducir e interpretar resultados de experimentos orientados a la informática.
c. La capacidad de diseñar sistemas, procesos, modelos y componentes informáticos que cumplan los estándares nacionales o internacionales, tomando en cuenta las limitaciones económicas, ambientales, sociales, políticas, de salud y seguridad del entorno, y cumpliendo satisfactoriamente con las especificaciones y restricciones existentes o indicadas por los interesados o por los criterios de sostenibilidad.
d. Capacidad para funcionar como parte de un equipo de profesionales de distintas áreas del conocimiento, demostrando una efectiva cooperación, comunicación, con habilidades para resolver conflictos y contribuyendo proactivamente en la propuesta de líneas estratégicas desde el punto de vista informático, para la solución de problemas.
e. Capacidad para identificar, formular, evaluar y resolver técnicamente problemas de ingeniería planteados de acuerdo a las necesidades del medio.
f. Capacidad para comprender, reconocer y aplicar valores y códigos de ética profesional, que le permitan desenvolverse sin perjudicar a sus clientes y contribuyendo al desarrollo de la sociedad.
g. Habilidad para presentar efectivamente, ideas, proyectos, informes de investigaciones, documentos de trabajo de manera escrita, oral y digital, utilizando las herramientas de las nuevas tecnologías de la información.
h. Habilidad y capacidad para comprender el impacto de las soluciones informáticas a la realidad local, nacional e internacional en un contexto económico global, ambiental y social.
i. Habilidad y aptitud para ser un profesional con el compromiso del aprendizaje continuo, con capacidad para reconocer las oportunidades para mejorar en su campo profesional.
j. Habilidad para identificar temas y problemas de actualidad con respecto al entorno local, regional y global, con el fin de relacionarlos con propuestas de soluciones creativas y eficientes.
k. Capacidad y destreza para utilizar técnicas, habilidades y herramientas en el desarrollo de software y hardware para implementar soluciones a problemas de su profesión.
Contribución de la materia a los resultados de aprendizaje de la carrera:
A: Alta M: Medio B: Baja
a b c d e f g h i j k
A M B
12
6. PROGRAMACIÓN DE LA ASIGNATURA
1. Resultados del Aprendizaje No 1: Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios, aplicando las técnicas respectivas para cada caso.
FECHAS Nº DE
HORAS
TEMAS ESTRATEGIAS
METODOLÓGICAS
RECURSOS BIBLIOGRAFÍA
Sept. 25
Oct.23
TOTAL
16
2
2
2
2
2
2
UNIDAD I
ANÁLISIS DE FUNCIONES
PREFACIO.
ANÁLISIS DE FUNCIONES.
PRODUCTO CARTESIANO.
Definición: Representación gráfica.
RELACIONES:
Definición, Dominio y Recorrido de una
Relación.
FUNCIONES:
Definición, Notación
Dominio y recorrido.
Variable dependiente e independiente.
Representación gráfica. Criterio de
Línea Vertical.
Situaciones objetivas donde se
involucra el concepto de función.
Función en los Reales: inyectiva,
sobreyectiva y biyectiva
Representación gráfica. Criterio de
Línea horizontal.
Proyecto de Investigación.
TIPOS DE FUNCIONES:
Función Constante
Función de potencia: Identidad,
cuadrática, cúbica, hipérbola,
equilátera y función raíz.
Funciones Polinomiales
Funciones Racionales
Funciones Seccionadas
Funciones Algebraicas.
Funciones Trigonométricas.
Funciones Exponenciales.
Funciones Inversas
Dinámica de
integración y
socialización,
documentación,
presentación de los
temas de clase y
objetivos, lectura de
motivación y video
del tema, técnica
lluvia de ideas, para
interactuar entre los
receptores.
Observación del
diagrama de
secuencia del tema
con ejemplos
específicos para
interactuar con la
problemática de
interrogantes del
problema, método
inductivo-
deductivo,
Definir los puntos
importantes del
conocimiento
interactuando a los
estudiantes para
que expresen sus
conocimientos del
tema tratado,
aplicando la
Técnica Activa de la
Memoria Técnica
Talleres intra-clase,
para luego
reforzarlas con
tareas extractase y
aplicar la
información en
software para el
1. Bibliografías-
Interactivas, 2. 2.
Pizarra de tiza
líquida,
3. Laboratorio de
Computación,
4. Proyector,
5. Marcadores6.
Software de,
Matlab
ANÁLISIS MATEMÁTICO. JUAN MANUEL SILVA, ADRIANA LAZO. 2006. LIMUSA NORIEGA.
LAZO PAG. 124-128-142
CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA. TOMO I
LARSON-HOSTETLER-EDWARDS.EDISION
OCTAVA EDICIÓN. MC GRAWW HILL 2006
LARSON PAG. 4, 25-
37-46.
LAZO PAG. 857-874,
891-919.
LAZO PAG. 920-973
LAZO PAG. 994-999-
1015
CALCULO. TOMO 1, PRIMERA EDICIÓN,
13
2
2
Funciones Logarítmicas: definición y
propiedades.
Funciones trigonométricas inversas.
TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES:
Técnica de grafica rápida de
funciones.
COMBINACIÓN DE FUNCIONES:
Algebra de funciones: Definición de
suma, resta, producto y cociente de
funciones.
Composición de funciones: definición
de función compuesta
área con el flujo de
información.
ROBERT SMITH-ROLAND MINTON, MC GRAW-HILL. INTERAMERICANA. 2000. MC GRAW HILL.
SMITH PAG. 13-14
SMITH PAG. 23-33-41-51
SMITH PAG. 454
2. Resultados del Aprendizaje No 2: Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico, aplicando los criterios de continuidad de funciones y las conclusiones finales si no fuera continúa.
3. Resultados del Aprendizaje No 3: Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas.
FECHAS Nº DE
HORAS
TEMAS ESTRATEGIAS
METODOLÓGICAS
RECURSOS BIBLIOGRAFÍA
Oct. 25
Nov. 15
TOTAL12
2
2
2
2
UNIDAD II
APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITE.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.
Concepto de límite.
Propiedades de límites.
Limites Indeterminados
LÍMITES UNILATERALES
Limite Lateral derecho
Limite Lateral izquierdo.
Limite Bilateral.
LÍMITES INFINITOS
Definiciones
Teoremas.
LÍMITES AL INFINITO
Definiciones. Teoremas.
Limites infinitos y al infinito.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES, VERTICALES Y
OBLICUAS.
Asíntota Horizontal: Definición.
Dinámica de
integración y
socialización,
documentación,
presentación de
los temas de clase
y objetivos, lectura
de motivación y
video del tema,
técnica lluvia de
ideas, para
interactuar entre
los receptores.
Observación del
diagrama de
secuencia del
tema con ejemplos
específicos para
interactuar con la
problemática de
interrogantes del
problema, método
inductivo-
deductivo,
1.Bibliografías-
Interactivas
2. Pizarra de
tiza líquida.
3. Laboratorio
de
Computación.
4.Proyector
5.Marcadores
6.Software de
derive-6,
Matlab
LAZO PÁG. 1029
LAZO PÁG. 1069
SMITH PÁG. 68
LARSON PÁG. 46
LAZO PÁG. 1090
LAZO PÁG. 1041
LAZO PÁG 1090
LARSON PÁG. 48
SMITH PÁG. 95
LAZO PÁG 1102
SMITH PÁG. 97
14
2
2
Asíntota Vertical: Definición.
Asíntota Oblicua: Definición.
LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS.
Límite Trigonométrico
fundamental.
Teoremas.
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN NÚMERO.
Definiciones.
Criterios de Continuidad.
Discontinuidad Removible y
Esencial.
Definir los puntos
importantes del
conocimiento
interactuando a
los estudiantes
para que expresen
sus conocimientos
del tema tratado,
aplicando la
Técnica Activa de
la Memoria
Técnica
Tareas intra-clase,
para luego
reforzarlas con
tareas extractase y
aplicar la
información en
software para el
área con el flujo de
información.
LAZO PÁG. 1082
LARSON PÁG. 48
LAZ0 PÁG. 1109
4. Resultado del aprendizaje No 4: Determinar la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales a través de ejercicios mediante los teoremas y reglas de derivación acertadamente.
FECHAS NO DE
HORAS
TEMAS ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS
RECURSOS BIBLIOGRAFÍA
Nov. 27
Dic. 13
TOTAL12
2
2
2
UNIDAD III
CALCULO DIFERENCIAL PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE
DEFINICIONES.
DERIVADAS.
Definición de la derivada en un punto.
Interpretación geométrica de la derivada.
La derivada de una función.
Gráfica de la derivada de una función.
Diferenciabilidad y Continuidad.
CALCULO DE DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES DE TIPO ALGEBRAICA.
Derivada de la función Constante.
Derivada de la función Idéntica.
Derivada de la potencia.
Derivada de una constante por la función.
Derivada de la suma o resta de las funciones.
Derivada del producto de funciones.
Derivada del cociente de dos funciones.
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA.
Regla de la Cadena.
Regla de potencias combinadas
Dinámica de integración y socialización, documentación, presentación de los temas de clase y objetivos, lectura de motivación y video del tema, técnica lluvia de ideas, para interactuar entre los receptores.
Observación del diagrama de secuencia del tema con ejemplos específicos para interactuar con la problemática de interrogantes del problema, método inductivo-deductivo,
Definir los puntos importantes del conocimiento interactuando a los estudiantes para que expresen sus conocimientos del tema tratado, aplicando la Técnica Activa de la Memoria Técnica
1.Bibliografías-Interactivas
2. Pizarra de tiza líquida.
3. Laboratorio de Computación.
4.Proyector
5.Marcadores
6.Software de derive-6, Matlab
LAZO PÁG. 1125
SMITH PÁG. 126
LARSON PÁG. 106
SMITH PÁG. 135
SMITH PÁG. 139
LARSON PÁG. 112
LAZO PÁG. 1137
SMITH PÁG. 145
LARSON PÁG. 118
LAZO PÁG 1155
SMTH 176
LARSON PÁG. 141
LAZO PÁG. 1139
SMITH PÁG. 145
LAZO PÁG. 1149
SMITH PÁG. 162
LARSON PÁG. 135
LAZO PÁG. 1163
SMITH PÁG. 182
LARSON PÁG. 152
15
2
2
2
con la Regla de la Cadena.
DERIVADA DE LA FUNCION POTENCIA PARA EXPONENTES RACIONALES.
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.
DERIVADA IMPLICITA.
Método de diferenciación Implícita.
DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
Derivada de:
Funciones exponenciales.
Derivada de funciones exponenciales de base e.
Derivada de las funciones logarítmicas.
Derivada de la función logaritmo natural.
Diferenciación logarítmica.
DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS.
DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR.
Notaciones comunes para derivadas de orden superior.
Tareas intra-clase, para luego reforzarlas con tareas extractase y aplicar la información en software para el área con el flujo de información.
SMITH PÁG. 170
LARSON PÁG. 360
SMITH PÁG. 459
LARSON 432
LAZO PÁG. 1163
SMITH PÁG. 149
5. Resultado del Aprendizaje No 5: Determinar los máximos y mínimos, de funciones en los reales en el estudio de gráficas y problemas de optimización a través de los criterios respectivos.
FECHAS NO DE
HORAS
TEMAS ESTRATEGIAS
METODOLÓGICAS
RECURSOS BIBLIOGRAFÍA
Dic. 18
En. 28
TOTAL24
2
2
2
2
2
2
UNIDAD IV
APLICACIÓN DE LA DERIVADA.
ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y LA
RECTA NORMAL A LA CURVA EN UN PUNTO.
VALORES MÁXIMOS Y MINIMOS.
Máximos y Mínimos Absolutos
de una función.
Máximos y Mínimos Locales de
una función.
Teorema del Valor Extremo.
Puntos Críticos: Definición.
FUNCIONES MONOTONAS Y PRUEBA DE LA 1RA.
DERIVADA.
Función creciente y función
Decreciente: Definición.
Funciones monótonas.
Prueba de la primera derivada
para extremos Locales.
CONCAVIDADES Y PUNTO DE INFLEXIÓN.
Concavidades hacia arriba y
concavidades hacia abajo:
Dinámica de
integración y
socialización,
documentación,
presentación de los
temas de clase y
objetivos, lectura
de motivación y
video del tema,
técnica lluvia de
ideas, para
interactuar entre
los receptores.
Observación del
diagrama de
secuencia del tema
con ejemplos
específicos para
interactuar con la
problemática de
interrogantes del
problema, método
inductivo-
deductivo,
1.Bibliografías-
Interactivas
2. Pizarra de
tiza líquida.
3. Laboratorio
de
Computación.
4.Proyector
5.Marcadores
6.Software de
derive-6,
Matlab
LAZO PÁG. 1173
LAZO PÁG. 1178
SMITH PÁG. 216
LARSON 176
LAZO PÁG. 1179
SMITH PÁG. 225
LARSON 176
LAZO PÁG. 1184
SMITH PÁG. 232
16
2
2
2
2
2
2
Definición.
Prueba de concavidades.
Punto de inflexión: Definición.
Prueba de la 2da. Derivada
para extremo locales.
TRAZOS DE CURVAS.
Información requerida para el
trazado de la curva: Dominio,
coordenadas al origen, punto
de corte con los ejes, simetría
y asíntotas
Información de 1ra. Y 2da.
Derivada
PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN.
PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS.
INTRODUCCION DE CONOCIMIENTOS
Diferenciales. Definición.
Integral Indefinida. Definición.
SUSTENTACION DE PROYECTOS DE
INVESTIGACION
Definir los puntos
importantes del
conocimiento
interactuando a los
estudiantes para
que expresen sus
conocimientos del
tema tratado,
aplicando la
Técnica Activa de
la Memoria Técnica
Tareas intra-clase,
para luego
reforzarlas con
tareas extractase y
aplicar la
información en
software para el
área con el flujo de
información.
LAZO PÁG. 1191
SMITH PÁG. 249
LARSON 236
LAZO PÁG. 1209
SMITH PÁG. 475
LARSON PÁG. 280
7. COMPROMISOS DISCIPLINARIOS Y ÉTICOS
Escuchar y respetar democráticamente el criterio de los demás.
Hacer silencio cuando alguien esté haciendo uso de la palabra..
Mantener el aula limpia, evitando botar basura en el piso
No deteriorar ni rayar, las paredes, mesas y sillas.
Procurar en todo momento la correcta manipulación y utilización de los equipos informáticos.
La asistencia es obligatoria a todas las actividades programadas en esta asignatura.
El estudiante ingresará a clase a la hora establecida y solo por una ocasión se aceptará el retraso de 10 minutos.
El estudiante por ningún concepto utilizará celulares en el aula, igual comportamiento tendrá el docente.
El intento de copia de cualquier estudiante será sancionado con la calificación de cero y no habrá oportunidad de recuperación, independiente de las sanciones establecidas por la universidad.
Los trabajos se entregarán en la fecha establecida y no se recibirá en otra oportunidad. El estudiante ingresará al aula sin gorra y no consumirá alimentos dentro del aula.
El trabajo escrito será realizado con las propias palabras e ideas del estudiante. Si se descubre la copia textual de un párrafo o un texto se calificará con cero.
8. PARÁMETROS PARA LA EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES.
DESCRIPCIÓN MEDIO CICLO FIN DE CICLO TOTALES
Exámenes 15% 15% 30%
Actividades Pruebas Escritas 5% 5% 10%
17
varias Participaciones en Pizarra 5% 5% 10%
Tareas 5% 5% 10%
Investigación
Portafolio 5% 5% 10%
Informe escrito (avance-físico) 15% 15%
Defensa Oral-informe final(lógico y físico) (Comunicación matemática
efectiva ) 15% 15%
TOTAL 50% 50% 100%
9. BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
LEITHOLD, Luis. Cálculo con Geometría Analítica. 2da. edición. Editorial Harla. México.
STEWART, James. (1998). Cálculo de una variable. 3ra edición. International Thomson Editores. México.
THOMAS, George y FINNEY, Ross. (1987). Cálculo, Volumen 2. 6ta edición. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana. EUA.
GRANVILLE, Williams. Cálculo diferencial e integral.
LARA, Jorge y ARROBA, Jorge (2002). Análisis Matemático. Centro de
Matemáticas de la Universidad Central. Ecuador.
PRADO Carlos, AGUILAR Gerardo, PULIDO Javier. QUEZADA Lourdes,
ZUÑIGA Leopoldo, GÓMEZ José Luís, GONZÁLES Andrés, SANTIAGO Rubén
Darío. Calculo Diferencial para ingeniería.
PÉREZ LÓPEZ César. Matlab. y sus aplicaciones en las ciencias y la ingeniería.
www.matemáticas.com
10. REVISIÓN Y APROBACIÓN
DOCENTE RESPONSABLE
Ing. José Cevallos Salazar Mg.Sc.
DIRECTOR(A) DE
CARRERA
PRESIDENTE(A) DE COMISIÓN
ACADÉMICA
Firma:
_______________________
Firma:
_______________________
Firma:
_______________________
Fecha: 2 de Abril del 2012 Fecha: Fecha:
18
AUTORRETRATO.
Gisella Patricia Bravo Barahona.
Portoviejo
Tel: 085252551
Universidad Técnica de Manabí
Facultad de Ciencias Informáticas
2do
Semestre “A”
Mi nombre es Gisella Patricia Bravo Barahona, soy estudiante de la
asignatura de CÁLCULO DIFERENCIAL, actualmente curso el segundo
semestre en la facultad de Ciencias Informáticas de la universidad Técnica
de Manabí. Soy una persona responsable, activa y me gusta trabajar en
equipo.
Mis principales áreas de interés son la aplicación y desarrollo de las
tecnologías y el manejo de diferentes software.
Mis metas son convertirme en profesional como ingeniera en Sistemas
Informáticos, aplicando los conocimientos adquiridos en diferentes ramas
de la informática brindándole a la sociedad un servicio de calidad y poder
cumplir mis propósitos.
Además incentivar a los demás a que estudien la carrera de Ing. en
sistemas informáticos ya que la tecnología es lo que prevalece hoy en día.
Siempre agradeciendo a Dios y a mis padres por brindarme el apoyo
incondicional para continuar con mis estudios y convertirme en lo que
anhelo ser, esforzándome cada día y sentirme orgullosa de mi misma.
19
DIARIO METACOGNITIVO
RESUMEN DE CÁLCULO DIFERENCIAL
DE LA CLASE #1: 2do”A”
PERIODO ABRIL-SEPTIEMBRE 2012
Clase No. 1:
Tema
discutido: Unidad I:
Análisis de funciones
Producto cartesiano
Definición: Representación gráfica
Relaciones:
Definición, dominio y recorrido de una relación.
Funciones:
Definición, notación
Dominio, recorrido o rango de una función
Variables: dependiente e independiente
Constante
Representación gráfica de una función
Criterio de recta vertical.
Objetivos de desempeño:
Definir y reconocer: producto cartesiano, relaciones y funciones
Definir y reconocer: dominio e imagen de una función
Definir y graficar funciones, identificación de las misma aplicando criterios.
Competencia general:
Definiciones, identificación y trazos de gráficas.
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2
HORAS
FECHA: Martes 25-jueves 27 de Septiembre del 2012.
DOCENTE
GUIA:
Ing. José Cevallos Salazar
20
-4 -3 -2 -1 0 1 2
3 4
1
0
4
25
16
9
INTRODUCCIÓN
En el siguiente resumen se da a conocer información sobre la clase#1 de cálculo
diferencial en la cual se ha iniciado con una breve explicación sobre el capítulo
respectivo.
En la primera clase se tomaron en cuenta varios factores acerca de las funciones como:
1. Dominio.
2. Co-dominio.
3. Imagen.
RESUMEN
Se comenzó con la presentación del profesor, con la forma de trabajar de él, nos
mostró un video titulado “Oración a mismo”, uno de cada miembros de estudiante dio
su reflexión acerca del video, se eligió el asiste, nos presentó el portafolio del docente
del semestre anterior y el portafolio del docente actual, también vimos el portafolio
estudiantil.
En la primera clase del “Capitulo #1” se dio la explicación correspondiente sobre el
tema relacionado a “Funciones” correspondiente al capítulo antes mencionado,
tomando como principio de la clase el siguiente tema:
“Relaciones, Funciones - Variables, Producto Cartesiano”
Las relaciones de funciones se basa en una relación entre dos conjuntos en el cual el
conjunto A será el Dominio y el conjunto B el Co-dominio. La relación entre el dominio
y el Co-dominio se denomina imagen, recorrido o rango.
Datos interesantes discutidos:
Después comenzamos con la presentación del tema, nos explicó que:
La función relaciona los elementos de 2 conjuntos, que siempre será relación
pero una relación nunca será función.
La relación es comparar los elementos.
Dominio es el conjunto de elementos que tienen imágenes
Condominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable
La imagen (I) o rango (Ra), recorrido (R), es un conjunto de llegada que se
conecta con el dominio respectivo. Imagen (I) Recorrido (R) Rango (Ra)
A B
Dominio Condominio
21
A B
Imagen
Dominio Co-dominio
Una imagen es la agrupación entre el dominio y el Co-dominio que da como resultado
un par. La relación entre el dominio y el Co-dominio produce un conjunto de pares.
A B= {(2,14) ;(1,7)…}
En una función podemos encontrar dos tipos de variables: Dependientes e
Independientes, y a esto se agregan las constantes. Las variables independientes son
aquellas que no dependen de ningún otro valor, en cambio las dependientes dependen
de la otra variable. Las constantes son valores que no cambian durante la función por
lo tanto no se alteran ni cambian sus valores.
Variable dependiente Y = X² + 2X – 1 constante
Variable independiente
Las funciones son representadas por el símbolo “f(x)”, en el que la f no es
indispensable, ya que puede ser reemplazado por cualquier otra letra (esto denota que
se habla de una función matemática).
Dependiendo de lo dicho anteriormente referente a las funciones podemos encontrar
dos tipos de funciones:
Funciones Explicitas.
Funciones Implícitas.
Las funciones Explicitas se refieren a una función definida en su totalidad.
Y = X² + 2X – 1
Las funciones Implícitas son contrarias a las explicitas, por lo consiguiente no se
encuentran definidas.
Y + 5 = 2X + 3 – X
2
5
7
-1
5
14
22
Variable dependiente, no depende de otra variable mediante el proceso
matemático, ejemplo: f(x)=x,y o f(x)es la variable dependiente ya que está sujeta
a los valores que se subministra a x.
Variables Independiente, depende de otra variable, ejemplo: x ya que la y es la
que depende de los valores de x.
Función implícita, no está definida con ninguna de las variables, ejemplo:
y2+x-1=x
2-6
Función explicita, está definida con las variables, ejemplo:
Y=x2-2x+1
Función creciente, al medida que aumenta el dominio aumento la imagen
Función decreciente, a medida que aumenta su dominio disminuye su imagen
Función constante, a medida que aumenta su dominio igual será su imagen
Par, de estar formado por un dominio y un condominio
Plano cartesiano, está formando por dos rectas, una horizontal y otra vertical
que se corta en un punto.
También nos vimos como poder reconocer una función
mediante el criterio de recta vertical, en un plano
cartesiano, esto se realiza pasando una recta perpendicular
paralela a la ordenada (y) si corta un punto es función, si
corta 2 o más no es función.
Producto cartesiano._ El producto cartesiano nos permite
representar de manera gráfica cualquier función, siempre y
cuando sea de forma explícita y se realice la comprobación
correspondiente aplicando el “Criterio de la recta”.
Función No función
El criterio de la recta._ El criterio de la recta nos indica, al trazar una recta vertical se
forma una paralela a la ordenada porque corta un punto de la gráfica y su dominio A
se conecta una y solamente una vez con su imagen B.
23
Realizamos ejercicios donde podemos verificar si hay funciones en las relaciones
y=2x+1
Esta es una función por que la y tiene un resultado.
y2=4-x2
Si resolvemos este ejercicio nos quedaría así:
y2=2-x2
y=
Esta no es una función porque y tiene como dos resultado con signo diferentes.
Otros detalles que analizamos fueron:
Resultado
f(x)
Ordenar
Galare, es la tabla de resumen de datos ejemplo:
x y
-4 25
-3 16
-2 9
-1 4
0 1
¿Qué cosas fueron difíciles?
La clase se me complico un poco por motivo de no estar acostumbrado a la
metodología del profesor pero si logre entender gracias a las explicaciones del docente.
¿Cuáles fueron fáciles?
Se me hizo fácil reconocer en el plano cartesiano cuales eran funciones gracias al
método que el profesor nos enseñó y como se forman las imágenes saber reconocer una
imagen.
¿Qué aprendí hoy?
En esta clase aprendí a poder diferenciar en el plano cartesiano cuales de las figuras
son funciones y cuales no son.
24
DIARIO METACOGNITIVO
RESUMEN DE CALCULO DIFERENCIAL
DE LA CLASE #1: 2do”A”
PERIODO ABRIL-SEPTIEMBRE 2012
Clase No. 2
Tema
discutido: Unidad I:
Funciones:
Situaciones objetivas donde se involucra el concepto de función
Función en los Reales: función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva
Gráfica, criterio de recta horizontal
Tipos de Funciones:
Función Constante
Función de Potencia: función de Identidad, cuadrática, cúbica, hipérbola y
función raíz
Objetivos de desempeño:
Definir modelos matemáticos donde se involucra el concepto de función
Definir, reconocer y graficar diferentes tipos de funciones.
Competencia general:
Definir de modelos matemáticos, trazar graficas de diferentes tipos de
funciones.
Datos interesantes discutidos hoy:
Comenzamos con el video de reflexión con el nombre “Lluvia de Ideas”, este se tratada
de decir en pocas palabras como había uno amanecido con sus alegrías y sus
preocupaciones. Abrimos el programa de MATLAB, para verificar el manejo de dicho
programa, realizando algunos ejercicios como:
>>figure (4)
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2
HORAS
FECHA: Martes 2-jueves 4 de Octubre del 2012.
DOCENTE
GUIA:
Ing. José Cevallos Salazar
25
y=(x-1)/(x)
y= (x-1)/x
>>ezplot(4)
26
FUNCION INYECTIVA
FUNCION SOBREYECTIVA
27
¿Qué cosas fueron difíciles?
Las cosas que fueron un poco difícil era definir los modelos matemáticos y
diferencial.sobre las funciones dadas
¿Cuáles fueron fáciles?
Se me hizo fácil reconocer las función inyectiva,. sobreyectiva y biyectiva
¿Qué aprendí hoy?
En esta clase aprendí a poder diferenciar los tipos de funciones y le criterio de las recta
vertical empleada en la funciones dadas
28
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS
INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 3
CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMESTRE DE CARRERA
CONTENIDOS:
TIPOS DE FUNCIONES:
Función polinomio,
Función racional,
Funciones seccionadas,
Función algebraica.
Funciones trigonométricas.
Función exponencial
Función inversa,
Función logarítmica: definición y propiedades,
Funciones trigonométricas inversa,
Transformación de funciones: técnica de graficacion rápida de funciones
Problemas
OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:
Definir, reconocer y graficar diferentes tipos de funciones.
COMPETENCIA GENERAL:
Trazar graficas de diferentes tipos de funciones
Datos interesantes discutidos hoy:
En el día de hoy en los temas discutidos empezamos con el video de reflexión
sobre AQUÍ ESTOY YO el cual nos mostró que dios esta con todos para
ayudarnos en todo los problemas, el cual aprendemos hacer todas las clases de
funciones.
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2
HORAS
FECHA: Martes 2-jueves 9 de Octubre del 2012.
DOCENTE
GUIA:
Ing. José Cevallos Salazar
29
FUNCIÓN POLINOMIO
TIPOS DE FUNCIONES
30
31
Funciones Seccionadas
32
33
34
35
¿Qué cosas fueron difíciles?
Las cosas que se me hicieron muy difícil fueron las funciones trigonometrías
¿Cuáles fueron fáciles?
En los temas que vimos el día de hoy fueron la trasformación de funciones con la
técnica rápida de graficacion
¿Qué aprendí hoy?
En la reflexión aprendí que dios nunca nos abandona ni en nuestros peores momento
aunque parezca algo imposible siempre le va estar para ayudarnos
36
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS
INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 4
CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMESTRE DE CARRERA
CONTENIDOS:
COMBINACIÓN DE FUNCIONES:
Algebra de funciones: Definición de suma, resta, producto y cociente de
funciones, Silva Laso, 994
Composición de funciones: definición de función compuesta, Silva Laso, 999
APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITE.
LIMITE DE UNA FUNCIÓN
Concepto de límite: Propiedades de límites, Silva Laso, 1029, 1069, Smith, 68,
Larson, 46
Límites indeterminados, Silva Laso, 1090
LIMITES UNILATERALES
Límite lateral derecho, Silva Laso, 1041
Límite lateral izquierdo
Límite bilateral
ASÍNTOTAS:
Asíntotas verticales, definición, gráficas, Silva Laso, 1102, Smith, 97
Asíntotas horizontales, definición, gráficas.
Asíntotas oblicuas, definición, gráficas.
OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:
Definir operaciones con funciones.
Definir y calcular límites.
COMPETENCIA GENERAL:
Definición de operaciones y cálculo de límite de funciones aplicando criterios
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2
HORAS
FECHA: Martes 16-jueves 30 de Octubre del 2012.
DOCENTE
GUIA:
Ing. José Cevallos Salazar
37
Algebra De Funciones
38
Concepto de limites
39
40
CONTINUIDAD
Criterios de continuidad
Para que una función sea continua en un punto debe cumplir los siguientes criterios:
El limite en ese punto debe existir
La funcion evaluada en ese punto debe existir
El resultado de los dos criterios anteriores deben ser iguales
Discontinuidad removible y esencial
41
42
43
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS
INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 5
CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA
Contenido
LIMITE INFINITO:
Definición, teoremas, Silva Laso, 1090, Larson, 48
LIMTE AL INFINITO:
Definición, teoremas.
Limite infinito y al infinito, Smith, 95
APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
DERIVADA:
Definición de la derivada en un punto, Smith, 135
Interpretación geométrica de la derivada.
La derivada de una función
Gráfica de la derivada de una función, Smith, 139
Diferenciabilidad y continuidad. Larson, 112
OBJETIVO DE DESEMPEÑO
Definir y calcular límite infinito, al infinito e infinito y al infinito.
Definir y graficar asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.
Definir todos los modelos matemáticos sobre derivadas aprendidos en clases.
COMPETENCIA GENERAL:
Definición y cálculo de límites aplicando criterios, aplicación de modelos
matemáticos de las derivadas.
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2
HORAS
FECHA: Martes 1-jueves 15 de Noviembre del 2012.
DOCENTE
GUIA:
Ing. José Cevallos Salazar
44
La derivada de una función
En la resolución de los dos problemas anteriores: el de trazar una recta tangente a una
curva dada y el de determinar la velocidad instantánea de una cierta partícula, se
obtuvo como resultado dos límites:
45
Gráfica de la derivada
Aquí está la gráfica de una función continua
y diferenciable f (x).
46
47
DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO
Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy
próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a
cero, la recta secante (en rojo de la figura) que une los puntos
( x0, f(x0 ) ) y ( x0 + h, f(x0 + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de
la figura) a la curva en el punto (x0,f(x0 )). que determina la tangente con ese mismo
eje, en el triángulo rectángulo de vértices
(x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:
48
Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento
de la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea roja se
acerca a la línea azul por lo que: tg ah tiende a tg a, es decir,
a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )).
Esto se expresa matemáticamente así:
NOTA: Es importante que
entiendas esto, pues es el
núcleo por
el que después entenderás
otros conceptos,
si no es así, dímelo
49
CALCULO DE DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES DE TIPO
ALGEBRAICO.
Derivada de la función Constante,
Derivada de la función Idéntica.
Derivada de la función potencia.
Derivada de una constante por una función.
Derivada de la suma de funciones.
Derivada del producto de funciones.
Derivada del cociente de dos funciones.
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA.
Regla de la cadena,
Regla de potencias combinadas con la regla de la cadena.
OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:
Definir y calcular la derivada de algunas funciones de tipo algebraico.
Definir y calcular derivadas de funciones compuestas.
Definir y aplicar la regla de la cadena abierta.
COMPETENCIA GENERAL:
Aplicación directa de modelos matemáticos de la variación de diferentes tipos
de funciones.
50
Derivada de la función Constante
Derivada de una función constante
Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para
cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a
C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),
51
f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que
Luego la derivada de una constante es siempre cero.
Derivada de una suma
La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de
dichas funciones.
Esta regla se extiende a cualquier número de sumandos, ya sean positivos o negativos.
Ejemplos
Derivada de un producto
La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del
segundo más el segundo factor por la derivada del primero.
Derivada de un cociente
La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el
denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el
cuadrado del denominador.
Apliquemos ln a: y = u/v
lny = ln u - ln v; derivemos en forma implícita, recordando que tanto y, u como v son
f(x):
(1/y)*(dy/dx) = (1/u)*(du/dx) - (1/v)*(dv/dx); restamos a la derecha, sacando uv como
factor común:
(1/y)*(dy/dx) = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)] / uv;
dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* y / uv; pero como y= u/v:
dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* u / uv*v;
dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* / v^2
52
Esto explica: y' = (u'v - v'u) / v^2
Regla de potencias combinadas con la regla de la cadena.
53
¿Qué cosas fueron difíciles?
La clase se me hizo un poco difícil porque no podía entender las DERIVADA DE UNA
FUNCIÓN COMPUESTA. Ya que son temas que no he visto
¿Cuáles fueron fáciles?
Se me hizo fácil entender las derivadas de lagunas de la funcione y sus modelos
matemático
¿Qué aprendí hoy?
En esta clase aprendí a poder desarrollar temas de derivadas como son sus funciones
trigonométricas.
54
DIARIO METACOGNITIVO
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS
INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 7
CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA
Contenido
Taller
Fórmulas de las Derivadas
OBJETIVO DE DESEMPEÑO
Reconocer las fórmulas de las derivadas
COMPETENCIA GENERAL:
Definición de máximo y mínimo y fórmulas de las derivadas.
Lim(x, ).-para límite en Matlab
Máximo.- a medida que aumenta su dominio su imagen decrece.
Mínimo.- a medida que aumenta su dominio su imagen crece.
Constante.- a medida que aumenta su dominio su imagen sigue igual
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2
HORAS
FECHA: Martes 08 de nov. Jueves 10 de noviembre
DOCENTE
GUIA:
Ing. José Cevallos Salazar
55
La derivada de una función
En la resolución de los dos problemas anteriores: el de trazar una recta tangente a una
curva dada y el de determinar la velocidad instantánea de una cierta partícula, se
obtuvo como resultado dos límites:
Gráfica de la derivada
Aquí está la gráfica de una función continua
y diferenciable f (x).
56
57
58
59
¿Qué cosas fueron difíciles?
No encontré dificultad alguna.
¿Cuáles fueron fáciles?
Se me hizo fácil entender las derivadas de lagunas de la funcione y sus modelos
matemático
¿Qué aprendí hoy?
En esta clase aprendí a poder desarrollar temas de derivadas como son sus funciones
trigonométricas.
60
DIARIO METACOGNITIVO
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS
INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 8
CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA
Contenido
Autoevaluación
Videos de la derivadas
Derivadas trigonométricas
OBJETIVO DE DESEMPEÑO
Reconocer todo tipo de derivada
COMPETENCIA GENERAL:
Definición de derivadas.
DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO
Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h
muy próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se
hace tender h a cero, la recta secante (en rojo de la figura) que une los puntos
( x0, f(x0 ) ) y ( x0 + h, f(x0 + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en
azul de la figura) a la curva en el punto (x0,f(x0 )). que determina la tangente
con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices
(x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2
HORAS
FECHA: Martes 13 de nov. Jueves 15 de noviembre
DOCENTE
GUIA:
Ing. José Cevallos Salazar
61
Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un
segmento
de la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea
roja se acerca a la línea azul por lo que: tg ah tiende a tg a, es decir,
a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )).
Esto se expresa matemáticamente así: Esto se expresa matemáticamente así:
NOTA: Es importante que entiendas esto,
pues es el núcleo por
el que después entenderás otros
conceptos,
si no es así, dímelo
Derivada de la función Constante
62
63
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para
cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a
C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),
f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que
Luego la derivada de una constante es siempre cero.
Derivada de una suma
La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de
dichas funciones.
Esta regla se extiende a cualquier número de sumandos, ya sean positivos o negativos.
Ejemplos
Derivada de un producto
La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del
segundo más el segundo factor por la derivada del primero.
Derivada de un cociente
La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el
denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el
cuadrado del denominador.
64
Apliquemos ln a: y = u/v
lny = ln u - ln v; derivemos en forma implícita, recordando que tanto y, u como v son
f(x):
(1/y)*(dy/dx) = (1/u)*(du/dx) - (1/v)*(dv/dx); restamos a la derecha, sacando uv como
factor común:
(1/y)*(dy/dx) = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)] / uv;
dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* y / uv; pero como y= u/v:
dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* u / uv*v;
dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* / v^2
Esto explica: y' = (u'v - v'u) / v^2
65
Regla de potencias combinadas con la regla de la cadena.
66
¿Qué cosas fueron difíciles?
No encontré dificultad alguna.
¿Cuáles fueron fáciles?
Se me hizo fácil entender las derivadas de lagunas de la funcione y sus modelos matemático
¿Qué aprendí hoy?
En esta clase aprendí a poder desarrollar temas de derivadas como son sus funciones
trigonométricas.
67
DIARIO METACOGNITIVO
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS
INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 9
CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA
Reflexión: renovarse a morir
Contenido
Plenaria de derivada en la vida diaria
Lección en pizarra
OBJETIVO DE DESEMPEÑO
Dar opiniones validas sobre la derivada
COMPETENCIA GENERAL:
Definición de derivada y autoevaluación
¿Qué cosas fueron difíciles?
No se me dificulto nada, ya que el debate es una de las técnicas de estudios que ns
permite tener retentiva de temas que nos ayudara en nuestro proceso enseñanza-
aprendizaje.
¿Cuáles fueron fáciles?
Todo estaba muy sencillo, lo referido en estas clases nos ayuda a aprender cada día
más.
¿Qué aprendí hoy?
Aprendí nuevas cosas sobre la derivada.
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2
HORAS
FECHA: Martes 20 nov. Jueves 22 de noviembre
DOCENTE
GUIA:
Ing. José Cevallos Salazar
68
DIARIO METACOGNITIVO
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS
INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 10
CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA
Reflexión: La paz perfecta
Esta en paz con nosotros mismo nos ayuda a llevar las cosas de una manera tranquila
sin cometer errores que algún día puede cambiar nuestras vidas para mal y así mismo
estar e paz con los demás nos fortaleces y crecemos como personas.
Contenido
Funciones Exponenciales
Funciones Trigonométricas Inversas
OBJETIVO DE DESEMPEÑO
Resolver funciones trigonométricas y exponenciales.
COMPETENCIA GENERAL:
Definición de Funciones trigonométricas y exponenciales.
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2
HORAS
FECHA: Martes 04 dic. Jueves 06 diciembre
DOCENTE
GUIA:
Ing. José Cevallos Salazar
69
Derivación de Funciones Exponenciales
Como e > 1, la función f(x) = ex es una función creciente. El dominio es el conjunto de
los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales positivos.
Las calculadoras científicas contienen una tecla para la función f(x) = ex.
Geométricamente la pendiente de la gráfica de f(x) = ex en cualquier punto (x,e
x) es
igual a la coordenada y de ese punto. Por ejemplo, en la gráfica de f(x) = ex en el
punto (0,1) la pendiente es 1.
Sabemos que e es un número irracional, pues e =
2.718281828... La notación e para este número fue
dada por Leonhard Euler (1727).
La función f(x) = ex
es una función exponencial
natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = ex está
entre f(x) = 2x y f(x) = 3
x, como se ilustra a la
izquierda.
70
El logaritmo natural suele ser conocido normalmente como logaritmo neperiano,
aunque esencialmente son conceptos distintos. Para más detalles, véase logaritmo
neperiano.
En matemáticas se denomina logaritmo natural o informalmente logaritmo neperiano
al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es
2,7182807066232140698591273860753 El logaritmo natural se le suele denominar
como ln(x) o a veces como loge(x), porque para ese número se cumple la propiedad de
que el logaritmo vale 1.
El logaritmo natural de un número x es entonces el exponente a al que debe ser elevado
el número e para obtener x. Por ejemplo, el logaritmo de 7,38905... es 2, ya que
e2=7,38905... El logaritmo de e es 1, ya que e
1=e.
Desde el punto de vista del análisis matemático, puede definirse para cualquier número
real positivo x>0 como el área bajo la curva y=1/t entre 1 y x. La sencillez de esta
definición es la que justifica la denominación de "natural" para el logaritmo con esta
base concreta. Esta definición puede extenderse a los números complejos.
El logaritmo natural es entonces una función real con dominio de definición los
números reales positivos:
y corresponde a la función inversa de la función exponencial:
¿Qué cosas fueron difíciles?
Se me complico un poco ya que estas funciones sus fórmulas son un poco diferentes a
las otra y se m dificulta en aprendérmelas.
¿Cuáles fueron fáciles?
Su procedimiento una vez ya identificada la función.
¿Qué aprendí hoy?
En esta clase aprendí a desarrollar Funciones Trigonométricas y Exponenciales.
71
DIARIO METACOGNITIVO
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS
INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 11
CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA
Reflexión: importancia de la estrategia
La estrategia lo es todo para un buen gestos… y para profesionales competentes.
Tener problemas es inevitable.. ser derrotado es opcional
Contenido
Cadenas Abiertas
Derivada Implícita
OBJETIVO DE DESEMPEÑO
Resolver Derivadas Implícita y Cadenas Abiertas
COMPETENCIA GENERAL:
Definición Derivadas Implícita y Cadenas Abiertas
Derivación implícita y derivada de orden superior.
Después de estudiar esta sección el estudiante deberá ser capaz de:
1. De una función, implícitamente obtener la derivada de y con respecto de x.
2. Obtener la derivada de orden n de u a función dada.
Si y es una función definida por una expresión algebraica en términos de variable x, se
dice que f está definida EXPLICITAMENTE en términos de x.
Por ejemplo, las siguientes funciones están explícitamente en términos de x.
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2
HORAS
FECHA: Martes 11 dic. Jueves 13 diciembre
DOCENTE
GUIA:
Ing. José Cevallos Salazar
72
73
Cadenas abiertas
Es un proceso que nos permite evaluar una función en función de otra, es decir
función compuesta.
Z=√x
Y=lnZ
dz/dy = 1/2√x dy/dx=dz/dx . dy/dz
dy/dx=1/z dy/dx=1/2√x .1/z
dy/dx=1/2z√x
dy/dx= 1/ 2√x √x = 1/2x
dy/dx=1/2x//
¿Qué cosas fueron difíciles?
Se me dificulto lo que es las cadenas abiertas.
¿Cuáles fueron fáciles?
El procedimiento de derivadas implícita, ya que es simple, una vez ya estudiado todas
las derivadas.
¿Qué aprendí hoy?
En esta clase aprendí a desarrollar Cadenas Abiertas y Derivadas Implícita.
74
DIARIO METACOGNITIVO
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS
INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 12
CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA
Reflexión: la lluvia
Que a pesar de los problemas i dificultades en nuestras vidas, nosotros debemos de
aprender a sobre llevar las cosas y aprender a resolverlo.
Contenido
Aplicación de la derivada
Punto Máximo y Mínimo
OBJETIVO DE DESEMPEÑO
Aprender aplicación de la derivada… Encontrar punto máximo y mínimo,
punto de inflexión.
COMPETENCIA GENERAL:
Definición Máximo y Mínimo
Función creciente y decreciente
Una función es creciente en un intervalo , si para dos valores
cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:
Es creciente cuando los valores de Y van incrementándose o manteniéndose conforme
se incrementa X.
Es creciente cuando los valores de Y van decreciendo o manteniéndose conforme se
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2
HORAS
FECHA: Martes 18 nov. Jueves 20 de noviembre
DOCENTE
GUIA:
Ing. José Cevallos Salazar
75
incrementa X.
Si una función tiene el valor de Y constante, entonces es constante, pero también entra
en la definición tanto de creciente como de decreciente.
Si la función sólo crece o sólo decrece (no tiene ningún tramo en que esté estable, sin
crecer ni decrecer), entonces se dice que es estrictamente creciente o estrictamente
decreciente, según el caso.
Definición:
Si al aumentar el valor de x el valor de su imagen ((x) también se incrementa, se dice
que la gráfica de la función crece y, por el contrario, cuando el valor x aumenta
disminuye ((x), decimos que la función decrece.
Simbólicamente podríamos definir:
( es creciente en un intervalo [a, b] ( (x1 (x2 ([a, b]: x1 ( x 2 ((x1) ( ((x2)
( es decreciente en un intervalo [a, b] ( (x1 (x2 ([a, b]: x1( x 2 ((x1) ( ((x2)
[pic]
Criterios para Crecimiento y Decrecimiento
Sea f una función de variable real continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en
el intervalo abierto (a, b).
i. Si [pic]para todo [pic]entonces f es creciente en [a, b].
ii. Si [pic]para todo [pic]entonces f es decreciente en [a, b].
iii. Si [pic]para todo [pic]entonces f es constante en [a, b].
Observación:
El crecimiento y el decrecimiento de una curva coinciden con el signo de la primera
derivada. Así:
Donde [pic](derivada positiva), f(x) es creciente.
[pic](derivada negativa), f(x) es decreciente.
76
El teorema del subtema 5.1.2, permite clasificar los extremos relativos (máximos y
mínimos) de una función, de acuerdo a las variaciones de signo de la primera derivada.
Concavidad y puntos de Inflexión de una curva.
Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en
los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos
de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio
en la concavidad de la curva.
Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observaciones
de tipo intuitivo.
Considere la función f cuya gráfica aparece en la fig. Note en primer lugar que la
curva que f representa, tiene tangente en todos sus puntos
77
Se observa que en los puntos “cercanos” a x1, pero diferentes de x1, la curva se
Encuentra por “debajo” de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es
cóncava hacia abajo en el punto x1.
Igualmente se observa que en los puntos “cercanos” a x2, pero diferentes de x2,
la curva se encuentra por “encima” de la recta tangente. Se dice en este caso que la
curva es cóncava hacia arriba en el punto x2. El punto (c, f (c)) de la curva en el
cual la concavidad “cambia” se conoce con el nombre de punto de inflexión de la
curva.
Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones:
Definiciones:
Sea f una función derivable en un punto c.
i. f es cóncava hacia arriba en c o cóncava positiva en c, si existe un
intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x
≠ c se cumple que:
78
f es cóncava hacia abajo en c o cóncava negativa en c, si existe un
intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x
≠ c se cumple que:
'
Z x = f x − f c x−c − f c <
iii. f es cóncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto de
I. iv. Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexión, si existe un intervalo
abierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferente concavidad en los su
intervalos: (a, c) y (c, b).
Se usará el símbolo: ∪, para denotar que una curva es cóncava hacia arriba o
cóncava positiva. Igualmente, se emplea el símbolo ∩, para denotar que una curva
es cóncava hacia abajo o cóncava negativa.
El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración establece una condición
suficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo.
Problema de máximos y mínimos.
Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa
recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe ser la
longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea
máximo? ¿Cuál es el volumen de la caja?.
Solución:
Sea x: longitud del lado del cuadrado que se recorta en cada una de las esquinas (fig.
4.25 (a)), donde 20ax≤≤.
79
Al doblar la parte de cartulina restante, se forma la caja abierta que aparece en la fig.
4.25 (b).
Ahora, volumen de la caja = área de la base x altura. Esto es,
Puesto que V (x) (función a maximizar) es una función continua en el intervalo
entonces V (x) alcanza un valor máximo y un valor mínimo en dicho
intervalo.
Al derivar V (x) en (1) e igualar a cero, se obtienen los puntos críticos. En efecto:
80
Para analizar la naturaleza de los puntos críticos, se usa el criterio de la segunda
derivada.
lo cual indica que x=a\2 corresponde a un mínimo relativo. (Interprete
geométricamente el resultado).
Máximo relativo.
En consecuencia, el volumen máximo se obtiene recortando en las esquinas de la
cartulina cuadrados de lado 6a y se obtiene de esta forma una caja cuyo volumen viene
dado por:
¿Qué cosas fueron difíciles?
No se me dificulto en nada.
¿Cuáles fueron fáciles?
Se me hizo fácil encontrar el máximo y mínimo.
¿Qué aprendí hoy?
En esta clase aprendí a encontrar máximo y mínimos
81
DIARIO METACOGNITIVO
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS
INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 13
CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA
Contenido
Problemas utilizando derivada y hallando el máximo.
Integrales
OBJETIVO DE DESEMPEÑO
Resolver problemas y diferentes modelos de integrales.
COMPETENCIA GENERAL:
Definición de Integrales
1.- Hallar 2 números entre cuya suma sea 12 y el producto sea máximo.
1.-Gráfica
2.-Implementación
X=P#
Y=P#
P=(x.y)
3.- Datos
Suma de # es 12
4.-Pregunta
¿Hallar producto máximo?
5.-Planteamiento del problema
PERIODO: Septiembre 2012-Febrero 2013
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2
HORAS
FECHA: Martes 08 dic. Jueves 10 diciembre
DOCENTE
GUIA:
Ing. José Cevallos Salazar
82
5.1.-Ecuación primaria
Producto m=xy: P(xy)=xy
5.2.-Ecuación Secundaria
X+y=12
Y=12-x
6.-
Primaria derivada
P(x)=12x-x^2
P’(x)=12-2x
Segunda derivada
P’’(x)=-2
Punto Crítico
12-2x=0
-2x=-12 (-1)
X=6
Y=12-x
Y=12-6
Y=6
Pmax=6.6.=36
P’’(x)=-2
P´´(6)=-2->MAX
83
Cálculo integral: definición.
Esto, es lo que hemos estudiado en la parte del cálculo infinitesimal que denominan
como “Cálculo Diferencial”. Ahora nos centraremos en otra parte de este, que
denominan “Cálculo Integral”.
Encontrar una función f a partir de su derivada, involucra el hecho de encontrar toda
una familia de funciones cuya derivada puede ser f; estas funciones reciben el nombre
de antiderivadas, puesto que para encontrarlas es necesario llevar el proceso contrario
al de la derivación y este proceso se llama “integración”. En forma análoga podemos
concluir que el problema de esta es, que si tenemos la velocidad de un punto móvil,
podemos hallar su trayectoria o si tenemos la pendiente de una curva, en cada uno se
sus puntos, podemos calcular dicha curva. Esto es a groso modo la una pequeña
definición de integración, pero esta es indefinida, es decir, que mediante este proceso,
podemos encontrar toda la familia de funciones cuya derivada es nuestra función dada;
ahora, veremos de que se trata la integración definida y sus aplicaciones, que es el
motivo real de este trabajo
EL CONCEPTO DE DIFERENCIAL
Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos
estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de
funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor
aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando
la variable independiente varía "un poco", etc. Utilizando a la recta tangente como la
mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia,
aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que
llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto.
DEFINICION Y EJEMPLOS
Consideremos la siguiente ilustración en donde aproximamos a la función f por su recta
tangente.
84
Considerando que la recta tangente es la mejor aproximación lineal a la gráfica de f
en las cercanías del punto de tangencia PT, si le llamamos a la
variación de f cuando x varía de xo a xo + h y a la variación de la recta tangente
en el mismo rango de variación en x, podemos afirmar que para valores de h
"cercanos" a 0, estas dos variaciones son muy parecidas, es decir, T
Integral indefinida: definición
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas,
especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una
integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.El cálculo integral,
encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso
de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en
general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y
sólidos de revolución.
Las aplicaciones de las series infinitas son muchas, pero mencionamos como lo más
importante para nosotros en este momentos, su uso en la solución de problemas
matemáticos que no pueden resolverse en términos de funciones elementales (potencias,
raíces, funciones trigonométricas y sus inversas, logaritmos y exponenciales y
combinaciones de estos), o en caso de que puedan resolverse, es muy complicado
trabajar con ellos. En estos casos encontramos una respuesta en función de una serie y
usamos los términos requeridos de acuerdo a la presición deseada. Las ecuaciones
diferenciales son resueltas en muchas ocasiones en función de series infinitas. Una
integral definida,0.1
por ejemplo,
∫ e – x
0
dx, para la cual no hay solución en términos de funciones elementales, se puede
resolver su expandiendo su integrando en una serie e integrando término a término
dicha serie.
¿Qué cosas fueron difíciles?
Se me dificulta un poco diferenciar los modelos de integrales.
¿Cuáles fueron fáciles?
Se me hace fácil resolver problemas y e integrales per los primeros modelos.
¿Qué aprendí hoy?
En esta clase aprendí a desarrollar problemas e integrales con su verificación.
85
86
ARTÍCULOS DE REVISTAS
REVISTA DE MATEMÀTICA
AUTOR: Dr.Javier Trejos Zelaya - CIMPA,
Escuela de Matemática, Universidad de Costa
Rica, 2060 San José, Costa Rica
EDITADO: Bach.María Isabel Leandro
Calderón - Universidad de Costa Rica, 2060
San José, Costa Rica.
PAGINA DE BUSQUEDA:
http://revista.emate.ucr.ac.cr/
REFLEXIÒN DEL TEMA:
Esta revista me llamo mucho la atención ya que nos permite
a nosotros como estudiantes desenvolvernos mejor en el
mundo de las matemáticas.
El presente trabajo se propone un algoritmo paralelo para
la obtención de matrices de probabilidades de transición.
El algoritmo propuesto es aplicado a la modelación de yacimientos lateríticos a
partir de un modelo matemático basado en cadenas de Markov.
Los resultados teóricos y prácticos obtenidos demostraron que el algoritmo es
escalable y óptimo en cuanto a Ganancia de Velocidad y Eficiencia. Se propone
además, una representación matricial adecuada para el almacenamiento de
hipercubos dispersos que persigue un ahorro significativo de memoria con el
menor comprometimiento posible de tiempo durante la ejecución del algoritmo.
87
FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÀTICAS
88
89
EN ESTA FOTO NOS ENCONTRAMOS REALIZANDO PARTE
DEL PROYECTO.
90
91
92
93
Recommended