View
16
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
© 2
00
6
Prof. Calogero Contrino
GONIOMETRIA
sistemi di misura
Corso multimediale di matematica
04/03/2014
2/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Goniometria:
Sistemi di misura degli angoli
L’unità di misura prescelta determina i vari sistemi di misura degli angoli. I più usati sono :
Sistema di misura Unità di misura Espressione della parte non intera
sessagesimale Grado sessagesimale ( ° ) Primi ( ‘ ) ; secondi ( “ )
sessadecimale Grado sessagesimale ( ° ) Cifre decimali dopo la virgola ( … , …)
Frazioni di grado Grado sessagesimale ( ° ) - - - - - - - - - - - - -
Sistema centesimale Grado centesimale ( c ) Cifre decimali dopo la virgola ( … , …)
radianti Radiante (rad) Cifre decimali dopo la virgola ( … , …)
04/03/2014
3/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Goniometria:
Sistema sessagesimale : il grado
Il sistema sessagesimale, il più noto alla gente comune, assume come unità di misura il grado
sessagesimale per il quale vale la seguente
Dicesi grado sessagesimale (o semplicemente grado ) (°) l’angolo la cui ampiezza è la 360-
esima parte dell’angolo giro .
definizione
Grado sessagesimale angolo giro
360 1° =
1 G = =
04/03/2014
4/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Goniometria:
Sistema sessagesimale : i primi ed i secondi
Dovendo esprimere la parte non intera di angolo nella notazione sessagesimale si
utilizzeranno i sottomultipli del grado :
primo (‘) : sessantesima parte del grado
secondo (“) : sessantesima parte del primo (3600-esima parte del grado)
esempi
12° 25’ 37” ° =
Dovendo annotare angoli con parte non intera i primi ed i secondi si giustappongono in
nell’ordine alla destra dei gradi.
2° 35’ ° = 20° 14” ° =
04/03/2014
5/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Goniometria:
Sistema sessadecimale
Il sistema sessadecimale ha la stessa unità di misura del sistema sessagesimale ma differisce
da esso per la notazione della parte non intera che invece di essere espressa in primi e
secondi viene indicata con cifre decimali alla destra di una virgola che la separa dalla parte
intera .
esempi
12,1345° ° = 2, 004° ° = 0,0025° ° =
04/03/2014
6/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Goniometria:
Sistema a frazione di grado
Anche il sistema a frazione di grado usa la stessa unità di misura del sistema sessagesimale
ma l’ ampiezza dell’angolo viene indicata direttamente dal rapporto, sotto la forma di frazione,
con l’unità di misura .
esempi
°
15
283 ° =
°
27
13 ° =
°
125
1 ° =
04/03/2014
7/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Goniometria:
Sistema centesimale : il grado centesimale
Il sistema centesimale assume come unità di misura il grado centesimale per il quale vale la
seguente
Dicesi grado centesimale (o semplicemente grado ) (c) l’angolo la cui ampiezza è la 400-
esima parte dell’angolo giro .
definizione
Grado centesimale angolo giro
400 1c
= 1
G = =
04/03/2014
8/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Goniometria:
Sistema centesimale : parte non intera
La parte non intera nel sistema centesimale viene espressa con cifre decimali alla destra di
una virgola che la separa dalla parte intera.
esempi
42,1345c c = 1,45c c = 0,0046c c =
04/03/2014
9/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Goniometria:
Sistema di misura in radianti: premesse
Per introdurre il sistema di misura in radianti, che è il sistema di misura usato in ambito
scientifico, bisogna riprendere ancora una volta alcuni concetti e definizioni di geometria
euclidea
04/03/2014
10/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Dati un angolo ed una circonferenza si ha la seguente
Richiami di geometria euclidea:
angoli al centro di una circonferenza
Angoli al centro
V C
definizione
Dicesi angolo al centro di una circonferenza il generico angolo complanare alla circonferenza
il cui vertice coincide con il centro della circonferenza.
V C V C
04/03/2014
11/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
In una circonferenza dato un angolo al centro i suoi lati intercettano su di essa un arco la cui
lunghezza l è proporzionale all’ampiezza dell’angolo.
Richiami di geometria euclidea:
angoli al centro : una proprietà
Proporzionalità tra archi e angoli al centro
V C
Pertanto si può scrivere la seguente proporzione, avendo assunto per la misura degli angoli il
sistema sessadecimale ed essendo r il raggio della circonferenza :
V C l
l’
l : 2r = : 360°
Pertanto la lunghezza l dell’arco, noto , è : 180°
r ° l =
r
04/03/2014
12/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Goniometria:
Sistema di misura in radianti
Il sistema di misura dell’ampiezza degli angoli in radianti è il più usato in ambito scientifico .
si considerino delle circonferenze concentriche il cui centro
coincide con il vertice dell’angolo dato ed i cui raggi sono rispettivamente r, r1 , r2 … .
Allo scopo di definire il nuovo sistema di misura facciamo alcune considerazioni preliminari .
I lati dell’angolo intercettano sulle circonferenza gli archi l , l1 , l2 ….
l l1 l2
Per la formula vista in precedenza si avrà :
180°
r ° l =
180°
r1 ° l1 = 180°
r2 ° l2 =
Da cui si ottiene successivamente:
l : l1 = r : r1 l : l2 = r : r2
r
l =
r1
l1
r
l =
r2
l2
Ne segue che, se l ed r sono uguali, saranno uguali
anche l1 e r1 , l2 e r2 , e cosi via .
r r1
r2
Dato un generico angolo ,
04/03/2014
13/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Goniometria:
Sistema di misura in radianti
A tale situazione corrisponde ovviamente un unico valore di .
Si dice angolo radiante ,o semplicemente radiante, l’angolo al centro di una circonferenza il
quale insiste su un arco di lunghezza uguale al raggio.
Tale angolo può essere pensato come una nuova unità di misura degli angoli; si quindi la
seguente
Ha interesse sapere quanto misura l’ampiezza della
nuova unità di misura rispetto alle vecchie, p.e. nel
sistema sessadecimale .
180°
r ° l = Da , dovendo essere l = r si ha:
180°
° 1 = 57,29577951….. 180°
° =
Per la presenza di tale valore è espresso da un
numero irrazionale .
r
definizione
r1
r2 l2
=
1 rad
l1 l
04/03/2014
14/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
; con l ed r rispettivamente misure di un arco di circonferenza, con centro sul
vertice dell’angolo, su cui insiste l’ angolo e del relativo raggio .
= R r
l
Goniometria:
Angoli particolari misurati in radianti
Definita la nuova unità di misura la misura del generico angolo espressa in radianti sarà :
A questo scopo basterà tenere presente che , e insistono rispettivamente su un quarto
di circonferenza, metà circonferenza e l’intera circonferenza .
R P G
E’ utile conoscere le misure in radianti di alcuni angoli significativi quali , e . R P G
Pertanto da = R r
l Si ottiene :
(2r)/4
r mis R R =
rad
= =
2
rad
(2r)/2
r mis P P =
rad
= =
rad
2r
r mis G G =
rad
= = 2
rad
04/03/2014
15/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Goniometria:
Conversione tra i sistemi di misura : sessagesimale – frazione di grado
Ci occuperemo ora della conversione dei valori tra i vari sistema di misura. Le varie tecniche di
conversione saranno introdotte mediante esempi
conversione sessagesimale – frazione di grado
10° 2’ 5” = °
Ricordando che e , il precedente valore si può riscrivere nel
seguente modo :
°
60
1 1’ =
°
3600
1 1” =
10° + 2 + 5 = ° °
60
1
°
3600
1
= ° ° 10 + + 60
2
3600
5
= 10 + + 30
1 °
720
1
= 7200 24 °
720
1
+ + = =
7225 ° 720
1445 ° 144
Sia l ‘angolo la cui ampiezza in gradi sessagesimali è :
La conversione è pertanto effettuata .
Da cui successivamente si ottiene :
04/03/2014
16/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
(2,083)’ – 2’ = (0,083)’
Sottraendo la nuova parte intera si otterrà una nuova parte decimale (quella dei primi) che
moltiplicata per 60 ci fornirà il numero dei secondi :
Inizialmente si divide il numeratore per il denominatore della frazione. Il quoziente in
decimale è :
Goniometria:
Conversione tra i sistemi di misura : sessagesimale – frazione di grado
Riferendoci all’esempio precedente si procede ora all’operazione inversa:
conversione frazione di grado – sessagesimale
1445 ° 144
Sia l ‘angolo la cui ampiezza in frazione di grado è :
= ° ( 1445 :144 )°
Si sottrae al quoziente la sua parte intera ottenendo la parte decimale che dovrà essere
trasformata in primi e secondi:
Il numero dei primi è dato dalla parte intera del numero che si ottiene moltiplicando la
parte decimale così ottenuta per 60 :
= (10,03472 )°
(10,03472)° - 10° = (0,03472)°
(0,03472)° x 60’ = (2,083)’
(0,083)’ x 60” = 5”
Le cifre in rosso rappresentano ordinatamente il numero dei gradi, dei primi e dei secondi e
pertanto si ha che : 10° 2’ 5” = 1445 ° 144
° = . Naturalmente come ci si aspettava.
04/03/2014
17/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Goniometria:
Conversione tra i sistemi di misura : sessadecimale – frazione di grado
conversione sessadecimale – frazione di grado
5,125° = ° Sia l ‘angolo la cui ampiezza in gradi sessadecimali è :
La conversione avviene in modo banale , infatti basta scrivere il numero sotto forma di
frazione ed eventualmente ridurre ai minimi termini :
5,125° = ° = 5125 ° 1000
= 41 ° 8
conversione frazione di grado - sessadecimale
Conversione altrettanto banale , infatti basta effettuare la divisione tra numeratore e
denominatore della frazione data . Il quoziente ottenuto è il valore convertito.
5,125° = = ° 41 ° 8
= (41 : 8)°
04/03/2014
18/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Goniometria:
Conversione tra i sistemi di misura : sessagesimale – sessadecimale
Pertanto il valore dell’ampiezza di nel sistema sessadecimale è :
conversione sessagesimale – sessadecimale
1° 6’ 45” = ° Sia l ‘angolo la cui ampiezza in gradi sessagesimali è :
Essendo la parte intera identica nelle due notazioni si procede alla conversione soltanto
dei primi e dei secondi in modo analogo a quanto visto in precedenza .
6’ 45” = 6 + 45 °
60
1
°
3600
1
= 9 ° 80
+ °
10
1
80
1
= = 0,1125 °
° = ( 1,1125 )°
04/03/2014
19/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Goniometria:
Conversione tra i sistemi di misura : sessagesimale – sessadecimale
conversione sessadecimale – sessagesimale
Sia l ‘angolo la cui ampiezza in gradi sessadecimali è :
Per trasformarla in primi ed in secondi si opererà come visto in precedenza :
Riferendoci all’esempio precedente si procede ora all’operazione inversa:
° = ( 1,1125 )°
La parte decimale è : ( 1,1125 )° - 1° = ( 0,1125 )°
( 0,1125 )° x 60’ = (6,75)’
Sottraendo la nuova parte intera si otterrà una nuova parte decimale (quella dei primi ) che
moltiplicata per 60 ci fornirà il numero dei secondi :
(6,75)’ – 6’ = (0,75)’ (0,75)’ x 60” = 45”
Pertanto il corrispondente dell’angolo dato nel sistema sessadecimale , nel
sistema sessagesimale ha la misura
° = ( 1,1125 )°
° = 1° 6’ 45”
04/03/2014
20/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Goniometria:
Conversione tra i sistemi di misura : radiante – sessadecimale
conversione radiante – sessadecimale
Sia l ‘angolo la cui ampiezza in radianti è R e in gradi sessadecimali è ° :
In questo caso ci si riferirà ad una situazione generale è non ad un esempio concreto:
I valori R e ° stanno in un determinato rapporto di proporzionalità con i corrispondenti
valori R e ° di un qualsiasi angolo .
R = rad ; ° = 180° In particolare se è l’angolo piatto ,si ha : P
Pertanto : R : rad = ° : 180°
da cui seguono le formule di trasformazione dall’uno all’altro dei due sistemi di misura :
180° ° =
R °
180° R = 1) 2)
04/03/2014
21/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Goniometria:
Conversione tra i sistemi di misura : radiante – rimanenti sistemi
a) Si eseguirà la trasformazione, mediante la 1), in sessadecimale del valore in radianti
assegnato .
Per convertire la misura in radianti in qualsiasi altra misura e viceversa si procederà come
segue :
conversione da radianti
a) Si eseguirà la trasformazione in sessadecimale del valore nel sistema assegnato
mediante i metodi studiati in precedenza
conversione in radianti
b) Si eseguirà la trasformazione del valore sessadecimale ottenuto nel valore del sistema
richiesto mediante i metodi studiati in precedenza .
b) Si eseguirà la trasformazione, mediante la 2), del valore sessadecimale ottenuto nel
valore in radianti richiesto.
04/03/2014
22/8
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
Goniometria:
Misura relativa di angoli orientati
Come detto in precedenza, ci si è occupati fin qui della misura euclidea degli angoli
(misura assoluta per angoli non orientati ) limitandoci a valori in R+ .
Volendoci occupare della misura di archi orientati bisognerà scegliere un orientamento di
riferimento a cui associare valori in R+ , quindi estendere i valori ammissibili a tutto R ,
associando agli archi orientati in senso contrario a quello di riferimento i valori in R-
Normalmente si assume come orientamento di riferimento quello che porta il primo lato
dell’angolo a sovrapporsi al secondo mediante una rotazione antioraria.
Angoli positivi e negativi nel riferimento antiorario
R+ R-
Recommended