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15b SchwingungenViolin Phase (1967)
2
Zusammenfassung
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=−=mN , kkxFS
mk
mkf
kmT =←=⇔= ω
ππ
212
FrequenzAnzahl der Oszillationen eines
Systems pro Sekunde
[ ] [ ]1 1Hz 1 −== sf
PeriodeZeitdauer einer Oszillationen des Systems
[ ] [ ]sTf
T 1 ;1==
Einfache harmonische Oszillation
( )
enzKreisfrequ:elPhasenwink:
Phase:Amplitude:
cos)(igkeitOrtsabhäng
ωφ
φω
φω
+
+=
tA
tAtx
fT
ππω 22==
( )
( )
tudegungsampliBeschleuni:
cos)()(a
nOszillatioder gungBeschleuniitudegkeitsamplGeschwindi:
sin)()(v
nOszillatioder gkeit Geschwindi
2
22
2
ω
φωω
ω
φωω
A
tAtxdtdt
A
tAtxdtdt
+−==
+==
Energie der harmonischen Schwingung
constPEKEE
kxPE
mKE
=+=
=
=
2
2
21
v21Hooksches Gestez
3
Kleine esoterische Frage
Wovon hängt die Periode eines Pendels ab ?Masse, Länge, Gravitation
4
Zusammenhang
Rotation
Schwingungsbewegung
Objekt rotiert auf Scheibe
Schatten führt Oszillation aus
Kreisbewegung
5
Konstante Winkelgeschwindigkeit
( )φω += tAx cos
TtAxA
<<<<−
0für
( )φcosAx =Oszillation von x in den Grenzen
Referenzkreis
Eine einfache harmonische Schwingung kann angesehen werden als Projektion einer Kreisbewegung
auf einen Referenzkreis
Eine Kreisbewegung kann dargestellt werden als Kombination von
zwei einfachen harmonischen Schwingungen eine entlang der x-und eine entlang der y-Achse
rω=vMechanik
rrr
r²²²²va
Mechanik
ωω===
( )φωω +−= tAx sinvx-Komponente ( )φωω +−= tAx cos²a
Zusammenhang
Rotation
6
Mathematisches PendelOszillation mit geringer Amplitude unter Einfluss der Gravitation
Θ−=Θ
Θ−=Θ
=Θ
⇓
Θ−==
Θ=
sin
sin
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
Lg
dtd
mgdtdmL
dtLdm
mgdt
sdmF
Ls
t
Bewegungsgleichung für die Tangentialkomponente
Näherungnur geringe Auslenkung
Θ−=Θ
⇓
Θ≈Θ
Lg
dtd
2
2
sin
( )φω +Θ=Θ tcosmax
verwende Lösungsansatz für harmonische Schwingung
KreisbogenNäherung
Punktmasse
Komponente der rücktreibenden Kraft
Bis auf den Sinus entspricht das schon dem Ausdruck für das Hooksche Gesetz
sehr hilfreichwird oft genutzt für geringe Amplituden
7
Mathematisches PendelOszillation mit geringer Amplitude unter Einfluss der Gravitation
Hooksches Gesetz
Θ−=Θ
Lg
dtd
2
2
( )φω +Θ=Θ tcosmax
Lösungsansatz harmonische Schwingung
( )
Lg
Lg
dtd
tdtd
=
⇓
Θ−=Θ
Θ−=+Θ−=Θ
ω
ωφωω
2
2
2max
22
2
cos
Einsetzen des Lösungsansatzes in die Differentialgleichung
gLT π
ωπ 22
==Die Frequenz und die Periode eines mathematischen Pendels
hängt nicht von der Masse sondern nur von der Länge des Fadens und der Gravitation ab. Am selben Ort (gleiches g) und
gleichem L schwingen alle Objekte mit derselben Periode!
Praktikumsversuch
Koeffizientenvergleich
8
Anwendung
Gravimeter
Sir Edward Sabine(1788-1883)
George Bidell Airy(1801-1892)
Versuche in Bergwerksschacht in Cornwallg-Abweichung am Boden der Mine (383 m) von 1/19286
Gesteine beeinflussen über ihre unterschiedliche Dichte den Wert von g
Pendelexpeditionen 1818-1823
Hinweise auf die Abplattung der Erde
9
Flüssigkeitsschwingung im U-Rohr
Rohrs Udes tsflächeQuerschnit:AtssäuleFlüssigkeider eGesamtläng:
MasseeSchwingend
0H2
−
⋅⋅=
URohr
URohr
URohrURohrURohr
l
lAm ρ
gxAF URohrWS OH2)2(
äuleen Wassersausgelenktder Gewichtist Kraft ndeRücktreibe
ρ=
gAkx
gxAx
Fk
URohrWS
URohrwsWS
OH
OH
2
2
2
)2(Konstante Hooksche
ρ
ρ
=
==
glT
gAgAl
T
kmT
URohrURohr
HURohr
HURohrURohrURohr
WS
URohrURohr
22
22
2
uerPeriodenda
0
0
2
2
π
ρρ
π
π
=
=
=
Schwingung unabhängig von der Masse des Schwingers
kmT π2
Oszillatoren harmonischfür Lösung
=
Gleichgewichtslage
hrlURohr 2 += π
10
Drop it!Masse fällt aus geringer Höhe auf schwingende Feder
bei Durchgang durch die GleichgewichtslageLösung des Problems
abhängig von der Position der Feder, wenn
die Masse landetAnnahme: inelastischer Stoß
x
x-KomponenteImpulserhaltung ist erfülltEnergie hat sich verringert
Mechanische Energie kurz vor dem Stoß
021 2
0
=
= <<
PE
kAE tt
also nur kinetische Energie
tt
ttt
AMk
kAME
<<
<<<
=
==
⇓
2
220
v
v21
nutzeImpulserhaltung
( )
tt
tt
mMM
mMM
<>
><
+=
+=
vv
vv
( )
00
20
20
2
0
200
Mv21v
21
v21
<>
<>>
>>
+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+=
+=
+=
tt
ttt
tt
EmM
ME
mMM
mMME
mME
Mechanische Energie im inelastischen Stoß
Überschussenergie Temperaturerhöhung
Stoß demnach kurz:0Stoß dem vor kurz:0
><
tt
11
Drop it!Masse fällt aus geringer Höhe auf schwingende Feder
bei Durchgang durch die Gleichgewichtslage
xVeränderte Amplitude nach dem Stoß
t
t
AmM
MA
kAmM
MkA
<=
<=
+=
+=
0
2202
1
Periode erhöht sich bei geringerer Amplitude
je größer die die Masse der stoßenden Körpers, desto geringer ist die spätere Amplitude k
mMT +== π20
00 <> += tt E
mMME
12
Drop it!Masse fällt aus geringer Höhe auf schwingende Feder
bei maximaler Amplitude
x
keine Änderung der Amplitude nach dem Stoß2000 2
1<>< == kAEE tt
Periode erhöht sich bei gleicher Amplitude
kmMT +
== π20
Schwingende Masse ist am Umkehrpunkt in RuheGesamte Energie gespeichert in elastischer Energie der Feder
x-KomponenteImpulserhaltung ist erfüllt
NULL kurz vor und kurz nach dem Stoß
allerdings auchkinetische Energie ist NULL kurz vor und kurz nachdem Stoß
13
Physikalisches Pendel
( )
Imgd
t
Imgd
dtd
IdtdImgd
=
⇓
+Θ=Θ
Θ−=Θ−=Θ
⇓
=Θ
=Θ−
Θ≈Θ
ω
φω
ω
α
cosatzLösungsans
sin
max
22
2
sin
2
2
BewegungsgleichungNewtonsche Mechanik
Drehmoment τ bewirkt, dass sich der Schwerpunkt bewegt
ατ I=
mgdIT π
ωπ 22
==
Periode des physikalischen Pendels
gd
mgdmdT
mdI
ππ 222
2
==
⇓
=Masse konzentriert in einem Punkt
Das ist die Lösung für das physikalische
Pendel
AnwendungBestimmung eines
Trägheitsmonents aus der Periodendauer
Aufhängepunkt
Trägheitsmoment
ατrrrr
I=↔=
↔
amF
Rotation Linear ngZusammenha
14
Physikalisches Pendelschwingender Stab
2
31 MLI =
Trägheitsmoment eines Stabes
gLT
LMg
IT
322
2
2
π
π
=
=
Periode dieses physikalischen Pendels
Drehpunkt
15
Länge des Dinisaurierbeins L=3 m
Wie schnell bewegen sich Dinosaurier?Anwendung Physikalisches Pendel
Erinnerung an Kapitel RotationTrägheitsmoment eines Zylinders
2
31 MLIStab =
s 84.2
s²m9.81
m 3322
322
2
31
2
TRex
2
TRex
==
==
π
ππ
T
gL
LMg
MLT
Physikalisches Pendel
Abstand der Fußabdrücke A=4 m
hkm5
sm1.41
s2.84m 4v
Saurier desgkeit Geschwindi
TRex ====TA
16
Turmspringerin
Auflagepunkt
Feder
vereinfachtes ModellStab mit Länge L
Neue Situation verglichen mit den Problemen aus der Mechanikveränderliches Drehmoment, da auch die Kraft (-kx) sich ändert
LkxmL
LFmL
mL
ILF
−=
=
=
=°=
α
α
ατ
αττ
2
2
2
3131
31
90sin
Hebelarm L Trägheitsmoment eines Stabes
Bewegungsgleichung
Rotation Linear
xxmk
dxxdaLkxa
LmL
La
raLr
t
22
22 331 ω
α
α
−=−==→−=
=
⇓
==
Ergebnis aus Kapitel
Rotationr entspricht der Länge des Hebelarms
kmT
Tmk
342
3
22 ππ=⇔⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
Flugzeit und Auflagepunkt
je länger die Turmspringerin in der Luft ist, desto
geringer muss die Federkonstate des Brettes sein
17
Machsches Pendel
d: Abstand der Achse zum Schwerpunkt dCM
um diese Achse schwingt das Pendel
Machsches Pendel in geneigter Position
Position der Masse A kann verändert werden
mgdIT π2=
Schwingungsperiode
( )WWAA
WWAA
WA
WWAACM
WWAA
dMdMgdMdMT
MMdMdMd
dMdMI
−+
=
⇓
+−
=
+=
22
22
2π
Spezialfall
∞→⇓
==
T
ddMM
WA
WA
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⇓Θ
≈
Θ→⇓
≠Θ
−2
1cos
cos
cos
0
Tconstg
constT
gg
Winkelabhängigkeit
Periode vergrößert sich bei Neigung der Achse
Messung von g möglich
Annahme Punktmassen
Schwerpunkt
MachschesPendel
Periode des MachschenPendels
18
Torsionspendel
Θ−=Θ
Θ−=Θ
⇓
Θ−=
Idtd
dtdI
κ
κ
κτ
2
2
2
2
Lösung ist identisch zu den anderen Fällen
κπ
κω
IT
I
2=
⇓
=
Im Gegensatz zu den anderen Fällen gibt es keine Einschränkung auf geringe Auslenkungen. Es muss nur erfüllt sein, dass das
elastische Limit des Drahtes nicht überschritten wird.
WICHTIGDie Rückstellkonstante hängt von der Länge des Drahtes ab!
Anwendung zusätzlichesunbekanntes Trägheitsmoment
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
+=+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
↓
+=
1''
'1''
'2'
2
2
'
TTII
II
III
TT
IIT
TT
κπ Periode
verkürzt sich
Winkel der Auslenkung
Torsionskonstante
19
Reise zum Mittelpunkt der Erde(Science Fiction diesmal aber nicht Jules Verne)
From Pole To Poleby George Griffith
An Account of a Journey Through the Axis of the EarthCollated From the Diaries of the Late Professor Haffkin and His Niece, Mrs. Arthur Princeps
The Windsor Magazine Oktober 1904
Ergänzung zum Kapitel GravitationNewtons Schalentheorem für Objekte innerhalb der Erde
Ein gleichförmige Schale von Materie übt keine Kraft auf einen Körper innerhalb aus
rF
rGmrrGmF
rVM
rmMGF
insideinside
insideinsideinsideinside
inside
≈
==
==
=
ρπρπ
ρπρ
34
34
34
2
3
3
2
Gravitationskraft verschwindet im Zentrum der Erde
20
Fahrstuhl zum Mittelpunkt der ErdeGeorge Griffith (1857-1906) - From pole to pole
rRg-
dtrd
Rrga
r²Rga
ee
e
=⇔−=
=
2
2
2
Erdeder innerhalbnskraft Gravitatio
Erdeder ausserhalbnskraft Gravitatio
min84THROHROPeriode einefür Zeit
s 5060
s²m9.81
m106.3722
2
6
=→
⇓
=⋅
==
=→=
ππ
ωπω
gRT
TRg
e
e
tenErdsatelli fliegenden niedrig einesgkeit Geschwindi kritischesm107.91v
v
gkeitGeschwindi Maximale
3max
max
⋅=
=== ee
ee gRRgRRω
Geschwindigkeitsamplitude
21
Hooksches Gesetzeinfacher Ansatz für globale Probleme
Für geringe Auslenkungen ist die rücktreibende Kraft F proportional zur Auslenkung x
Hooksches Gesetz
Für größere Auslenkung aus der Gleichgewichtslage ist diese einfache lineare Beziehung nicht notwendigerweise erfüllt
Für nahezu ALLE physikalischen Systeme in der Natur, die in irgendeiner Weise aus ihrer
Gleichgewichtslage bewegt werden, kann in erster Näherung ein Ansatz zur Beschreibung gewählt werden, der dem Hookschen Gesetz
entspricht. Man muß sich aber darüber klar sein, dass
diese Näherung möglicherweise nur in einem engen Bereich gültig ist.
Einige Beispiele außerhalb der Mechaniksiehe Beginn dieses Kapitels
Vibration von Molekülen akustische Schwingungen im Festkörper (Phononen),
Metallische Elektronen in MetallenElektronen in einem Plasma
Schwingungen der Kernbausteine (Protonen und Neutronen)u.v.a.m.
22
Harmonische Näherung
In der Nähe der Gleichgewichtslage entspricht die Potentialkurve einer Parabel
Typischer Potentialverlauf
23
Anwendung Lennard-Jones Potential für Moleküle
Harmonisches Potential
Lennard-Jones Potential
von einfach zu komplex
Wechselwirkungspotential zwischen zwei Molekülen
Wechselwirkungspotential zwischen vielen Atomen wie zum Beispiel im Festkörper
24
Gedämpfte Schwingungen
Beispiel für einen gedämpften Oszillator Beschreibung der Dämpfung erfolgt über einen
zusätzlichen Reibungsterm in der Bewegungsgleichung
vbR −=
xdtdbkxx
dtd
bkxxdtd
−−=
−−=
2
2
2
2
vneue Form der Bewegungsgleichung
( )φω +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= tt
mbAx cos
2exp
So sieht der Lösungsansatz aus
Reibungsterm ebenfalls negativ, da stets der Geschwindigkeit des Objektes
entgegengerichtet
25
Gedämpfter harmonischer Oszillator
xdtdbkxx
dtd
−−=2
2 ( )φω +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= tt
mbAx cos
2exp
22
2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
mb
mkω
Bei geringer Dämpfung oszilliert das System mit der Frequenz
mk
=0ω
Allerdings nimmt die Amplitude mit der Zeit ab und zwar mit der Zeitkonstante
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− t
mb
2exp
Lösung der DifferentialgleichungDifferentialgleichung
220 2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
mbωωEigenfrequenz
geringe Verschiebung der Schwingungsfrequenz
26
Gedämpfter harmonischer Oszillator Fallunterscheidung
220 2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
mbωω
kAbR <= maxmax v
Nahezu ungedämpfte Schwingung
0
2 0
→⇓
=
ω
ωmbKritisch gedämpft
Wie beeinflusst die Reibung das Abklingverhalten?
vbR −=
Reibungsterm
0
maxmax
2 undv
ωmbkAbR
>>=
überkritisch gedämpfte Schwingung
1 Fall
2 Fall
3 Fall
vbkxa −−= 202
0 22
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
mmωωω
27
Autofederungunterkritisch, kritisch oder überkritisch?
28
Brainstorming
29
Erzwungene Schwingungen
tFkxdtdxb
dtdxm
kxdtdxbtF
dtdxm
maF
ω
ω
sin
sin
02
2
02
2
=++
−−=
=∑ treibende Kraft der Oszillation
Lösung für diesen Fall
( )
( )2
220
2
0 1cos
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−
=
+=
mbm
FA
tAx
ωωω
φω
mk
=0ω
Eigenfrequenz des Oszillators
ohne Dämpfung, d.h. b=0
Amplitude steigt stark an, wenn
0ωω →Der Dämpfungsterm senkt den Wert der Amplitude.
Ohne Dämpfung geht der Wert von A in Resonanz
gegen eine unendlich hohe Amplitude
30
Getriebener harmonischer OszillatorWarum maximale Amplitude bei Anregung nahe der Eigenfrequenz?
Starker Anstieg der Amplitude, wenn das System in der Nähe der
Eigenfrequenz des ungedämpften Oszillators angeregt wird.
Betrachte die erste Ableitung
( )
( )φωω
φω
+−==
+=
tAdtdx
tAx
sinv
cos
tFF ωsin0=
Geschwindigkeit
Treibende Kraft
Geschwindigkeit und Krafteintrag von außen haben die gleiche zeitliche Form
Man sagt die treibende Kraft ist in Phase mit der Geschwindigkeit
Berechne die Arbeit von außen an dem Oszillator
vrrFW =
Wenn treibende Kraft und Geschwindigkeit in Phase kann die maximale Arbeit ins System gepumpt werden
31
Resonanzen im menschlichen Körper
32
Nimitz Freeway CollapseLoma Prieta Earthquake, Oakland 17 Oktober 1989
Laterale Auslenkung circa 8 cm
Einsturz erfolgte nur auf nicht kompaktiertem Bereich A-B
Stärke des Erdbebens 7.9 auf der Richterskala
(logarithmische Skala in der Amplitude!)stärkstes Beben in 37 Jahren
33
Nimitz Freeway CollapseOakland 1989
Seismisches Signal des Erbebens, das zum Einsturz der Nimitz Freeways führte
Zeit (s)
Gravitationsbeschleunigung (9.81 m/s²)
Laterale (WE) Amplitude in der Nähe des Epizentrums 0.6 gVertikale Amplitude in der Nähe des Epizentrums nur 0.1 g
Oszillationsperiode etwa 1 Sekunde zusätzliche Frequenzkomponente von 2.6 Hz
maximale Amplitude am Nimitz Freeway 0.26 g
Laterale Auslenkung circa 8 cm
Mögliche Ursachen für den EinsturzA (statisch, nicht resonant ) untere Fahrbahnebene wird beschleunigt. Die Säulen sind nicht in der Lage das obere Deck in gleicher Weise zu beschleunigen (Designwert von 0.2 g überschritten )B (dynamisch, resonant) Oszillationperiode des lokeren Bodenbereichs entspricht einer Resonanzfrequenz zwischen oberem und unterem Deck (2.6 Hz)C zusätzlicher Beitrag durch Dominoeffekt
34
Milleniums Bridge London
Selbstsynchronisation der Schrittfolge der Fußgänger (blau rechtes, rot linkes Bein)
Amplituder der Brückenschwingung
Zeit
35
BrückeneinsturzTacoma Narrows Bridge
Schwingungsanregung der Brücke durch stetigen Wind, die die Brücke in die Torsions-Resonanzfrequenz treibt
1940
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