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1
12 Statische Flüssigkeiten
2
Zustand der MaterieMan unterscheidet vier unterschiedliche Aggregatzustände
festgasförmig
flüssig Plasma
3
Neue physikalische Größe
Druck
Definition DruckEinheit [N/m²]=[Pa]
pAF
pdAdF
=⇓
=
1623-1662
m 4 etwa Höhe t4-2 Masse
D=60cm
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) m²N101
0.004m4πs²m9.810.020kg
441
m²N1012
0.09m0.28m2πs²m9.8180kg
221
m²N1035
0.3m4πs²m9.814000kg
441
322
32
322
⋅≈⋅
===
⋅≈⋅
⋅===
⋅≈⋅
===
πRmg
AFp
πRmg
AFp
πRmg
AFp
Maus
Mensch
Elefant
mm 4 Pfotecm 10-7 Länge
g 25-20 MasseHausmaus
wenn Druck überall über die gesamte Fläche identisch
Neben der Masse ist eben auch die Fläche wichtig!
FlächeKraftDruck =
Druckverhältnisse ändern sich von Punkt zu Punkt
Vergleichbarer Druck auf Boden trotz grob unterschiedlicher Maße
4
Konversionsfaktoren
m²N10bar 1.0
m²N98.1OH cm 1.0
mN133Hg mm 1.0
m²N109.8
cm²kg 1.0
m²N10 1.013atm 1.0
5
2
2
4
5
=
=
=
⋅=
⋅=
Umrechnung in Pa=N/ m² Umrechnung in andere Einheiten
bar 101.0m²N 1.0
OH cm 0102.0m²N 1.0
Hg mm 0075.0m²N 1.0
cm²kg 1002.1
m²N 1.0
atm .98720m²N 1.0
5-
2
5-
⋅=
=
=
⋅=
=
Pa10 1.013psi 14.7 torr760atm 1.0 5⋅===
vielleicht haben Sie sich schon mal gefragt, woher diese Bezeichnungen kommen
5
Hochschulsport
17.1.2008
6
Schneeschuhe
AFp =
Verteilungen des Gewichts auf eine größere Fläche verringert den Druck und verhindert ein einsinken im Schnee
Luchs
Original
Kopie
7
Ruhende Flüssigkeiten
Im Gleichgewicht, d.h. wenn die Flüssigkeit in Ruhe ist, erfährt ein Körper einen Druck durch die Flüssigkeit, der von allen Seiten identisch ist
Druck ist eine skalare Größe
Gedankenexperiment IWenn das nicht der Fall wäre, gäbe es eine Kraft auf den Körper in eine bestimmte Richtung und der Körper würde anfangen sich zu bewegen
Die Bedingungen wären nicht mehr statisch!
AF
==FlächeKraft
8
Ruhende Flüssigkeiten
Die Kraft, die durch den Druck einer ruhende der Flüssigkeit auf eine Oberfläche entsteht ist immer senkrecht zur dieser Oberfläche gerichtet .
Gedankenexperiment Wenn das nicht der Fall wäre, würde es nach dem zweiten Newtonschen
Gesetz (actio=reactio) eine entgegen gesetzte Kraft geben, die ebenfalls eine Komponente parallel zur Oberfläche hätte.
Auch in diesem Fall würde sich die Flüssigkeit in Bewegung setzen!
⊥F
||F
Flüssigkeit würde sich vertikal nach oben bewegen
resF
9
Neue physikalische Größe
Dichte
VolumenMasse Dichte ===
Vmρ
Definition der Dichte Einheit [kg/m³]
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −
cm³g10
cm³g
1010
cm101m³
kg1000g
m³kg1 3
6
3
32
Umrechnung bei Angabe in g/cm³
Dichte des interstellaren Mediums 1.0x10-20 kg/ m³Mittlere Dichte der Erde 5.5x10+03 kg/ m³Mittlere Dichte der Erdekruste 2.8x10+03 kg/ m³Mittlere Dichte der Erdekerns 9.5x10+03 kg/ m³Mittlere Dichte der Sonne 1.4x10+03 kg/ m³Mittlere Dichte der Sonnekerns 1.6x10+03 kg/ m³Weißer Zwerg 1.0x10+10 kg/ m³Urankern 3.0x10+17 kg/ m³Neutronenstern 1.0x10+18 kg/ m³
( )
kg10
m³m³kg1010
0.01mm³kg10
12
618
318
=
⋅=
⋅=
=
−
NSt
NSt
NSt
NSNSt
m
m
m
Vm ρ
Beispiel1 cm³ Neutronenstern
Dichte von Starenkästenhöchste Dichte in NL
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
m³kg1000
cm³g1auch oder
10
Physiker findet Bruchstück eines Weißen ZwergesOK , das ist nicht gerade realistisch!
Bei einer Dichte von 109 kg/m³ wiegt der Stein etwa
DEUTLICH MEHR ALS EINE TONNE
11
Druckverhältnisse
Zentrum der Sonne 2.0x10+16 Pa (1011 bar)Zentrum der Erde 4.0x10+11 Pa (1006 bar)Höchster Druck im Labor 1.5x10+10 Pa (1005 bar)Niedrigster Druck im Labor 1.0x10-14 Pa (10-12 mbar)
Wieviel wiegt die Luft in diesem Hörsaal?Abmessungen: Breite x Tiefe x Höhe
30 m x 8 m x 3 m=240 m² x 3 m =720 m³
×≈=⋅⋅=== 2200N 547 8sm9.81m³ 720
m³kg1.21 2VgmgFg ρ
N 1042.2m² 240m²N101.01 75 ⋅=⋅⋅== pAF
Welche Kraft wirkt auf den Fußboden?
24 Millionen Newton→=AFp
Luftdruck
12
Spezifische Dichte
DefinitionSpezifische Dichte
Dichte des Materials im Vergleich zur Dichte von Wasser bei 4° Celsius
dimensionslose Größe
dimensionslose Größe
3.19 :Beispiel2
==OH
AuSD ρ
ρρ
Material Dichteρ (kg/m3)
FestkörperAluminium 270Eisen, Stahl 7800Kupfer 8900Gold 19320Blei 11300Holz 300-900Glas 2400-2800Eis 917Knochen 1700-2000
FlüssigkeitenWasser 1000Blutplasma 1030Seewasser 1025Quecksilber 13600Alkohol 790Benzin 680
GaseLuft 1.290Helium 0.179Kohlendioxid 1.980Wasserdampf 0.598
Analog Bevölkerungsdichte
6==Mv
BerlinSD ρ
ρρ
spezifische Dichte in diesem Fall
13
Hydrostatisches ParadoxonErklärung 1586 durch Simon Steiner
Der Schweredruck, den eine Flüssigkeit in einem Gefäß auf den Boden des Gefäßes bewirkt, hängt von der Füllhöhe der Flüssigkeit, aber nicht von der Form des Gefäßes ab.
Auswirkung:In kommunizierenden Gefäßen stellt
sich immer derselbe Füllhöhe ein
Erklärung: Betrachte dünnen Zylinder, der bis zum Boden reicht. In dem Fall kann man die äußere Flüssigkeit vernachlässigen und der Druck wird nur noch von der darüber liegenden Wassersäule hervorgerufen.
14
Pascalsches PrinzipDruckänderung in einem geschlossenen System
Pascalsches PrinzipEine Änderung des Druckes in einem
geschlossenen System wird gleichmäßig auf alle Teile der Flüssigkeit und die
Wände des Behälters verteilt.
1
11 A
pF =
11, Ap 22 , Ap
2
22 A
pF =
2
121
2
2
1
121 A
AFFAF
AFpp =⇒=⇒=
21
21
2211
dAAd
constdAdAV
=
↓
===
Volumen das bewegt wird bleibt konstant, da Flüssigkeit nahezu inkompressibel
Berechne die Arbeit, die notwendig ist, um Flüssigkeitsmenge zu verschieben
2121
2221
2
2
1211
FFdd
dFdAA
AAFdFW
<⇒>↓
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
größerer Weg
kleinere Kraft
hydrostatisches ParadoxonFlüssigkeitsdruck überall identisch
EnergieerhaltungArbeit=Kraft x Weg
vergleiche auch Flaschenzug
15
Hydraulisches System
Drehmoment verstärkt die Krafteintrag
N 500
N 100m 0.04m 0.2
=
=
=⇒=
Pedal
Pedal
FußPedal
FußPedalFußFußPedalPedal
F
F
Fdd
FFddF
( )( )
N1012.5N 500cm 0.25cm 1.25 3
2
2
2
2
2
1
1
⋅==
=
ππF
AF
AF
Verstärkung des Krafteinwirkung um mehr als zwei Größenordnungen!
Ergebnis unabhängig von der Anzahl der Bremsbackenzylinder!
1 Kraft durch den Fuß
N 100=FußF
2 Kraft durch das Pedal
3 Kraft auf jede Bremsbacke
Hebelgesetz
Pascalsches Prinzip
N 500=PedalF
N 12500=BremsbackeF
16
Schweredruck
Druck von oben auf die Flüssigkeit
hp
hgpAgAh
Agm
Agm
AF
p
fl
flflflg
≈⇓
=
====
ρ
ρ
Druck proportional zur Dichte und zur Tiefe
h Tiefe
hgpDer Druck in vergleichbaren Tiefen einer einheitlichen Flüssigkeit ist identisch
Δ=Δ ρ
Flüssigkeiten sind nahezu inkompressibel, d.h. die Gleichung kann verwendet werden, um den Schweredruck in Flüssigkeiten zu berechnen.
Allerdings nimmt auch die Dichte des Meerwassers bei großen Tiefen durch den enormen Schweredruck zu.
Dichteerhöhung!
Wenn die Dichte sich nur langsam mit der Tiefe h ändert kann man die Änderung des
Drucks mit h so schreiben
in jeder Flüssigkeit steigt der Druck linear mit der Tiefe
Schweredruck unabhängig von der Fläche des Tanks!
Ahm ρ=Masse der Flüssigkeit
Druck wird durch die Dichte der Flüssigkeit bestimmt
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= 223 m
Nsm
mkgmghρ
17
TalsperreAssuan Staudamm oder Möhne-Talsperre
Welchem Wasserdruck muss der Damm einer Talsperre
widerstehen?
Abmessungen der TalsperreFläche 50 km², Breite 1 km, Tiefe 100m
N104.91
m 1000m 100m²N1091.4
m²N1091.4
s²m81.9 m 50
m³kg10
2
10
5
5
3
⋅=
⋅⋅⋅=
=
⋅=
==
=
avg
avg
avgavg
avg
avgavg
avg
F
F
ApF
p
ghp
hh
ρ
Ergebnis hängt nicht von der Fläche oder dem Wasservolumen des Stausees ab, sondern nur von der Breite und Höhe des Damms
Da der Schweredruck linear mit der Tiefe anwächst, kann man mit einer mittleren Tiefe rechnen
N 10245 10⋅=
=
See
SeeSee
F
gmF
Druck
Kraft
Kraft auf die Staumauer gering gegen die
Gewichtskraftmittlerer Druck auf die Staumauer
hier könnte der See auch zu Ende sein
kg105.2
kmm10km² 50m 50
m³kg10
Talsperreeiner Wassersdes Masse
12
233
2
⋅=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
=
See
See
OHSee
m
m
Vm ρ
Tiefe
Druck
18
Blutdruckverhältnisse im Körper
19
Druckmessungstatischer Druck
0=absp
atmSäuleHg pghp ==− ρ
h m 0.76s²m9.81
m³kg13500
m²N101.013 5
=
⋅
⋅=
=
Hg
Hg
Hg
atmHg
h
h
gph
ρ
Quecksilber (Hg)
m 0.31s²m9.81
m³kg1000
m²N101.013
2
2
2
2
5
=
⋅
⋅=
=
OH
OH
OH
atmOH
h
h
gph
ρ
WasserWasserbarometer
Evangelista Torricelli1608 – 1647)
Aha, daher kommt das!1 atm = 760 mmHg =760 torr=10.2 Meter H2O
Prinzip eines Barometers
Schweredruck der Hg-Säule
entspricht dem Atmosphärendruc
k
horror vacuiDie Furcht vor der Leere
Druck der Hg-Säule
entspricht Luftdruck
[ ] [ ]pgh =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= 223 m
Nsm
mkgmρ
Dimensionskontrolle
Druck, den die Hg-Säule ausübt
20
Gase sind kompressibel... im Gegensatz zu Flüssigkeiten
In welcher Tiefe erreicht der Druck hervorgerufen durch die darüber liegende Wassersäule
einen Wert von 1 atm
10.3m
s²m9.81
m³kg10
m²N101.01
3
5
=⋅
==gph
ρ
Durch die darüber liegende Atmosphäre erhöht sich der
Wert auf 2 atm.
Volumen eines Gases nimmt ab, wenn man das Gas komprimiert
Das ProblemSchweredruck komprimiert Atemluft
beim Tauchen in größeren Tiefen
Typisches Problem beim Tauchen: Druckausgleich
21
Druckausgleich beim Tauchen
10 m Tiefe
po: Druck unter Atmosphärenbedingungen
( )
kPa 98m²N108.9
m 10s²m9.81
m³kg10
4
3
m10
=⋅=Δ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=Δ
=−=Δ
P
P
ghPPP At ρ
Kraft auf das Trommelfell
( )N 3.8
m²10m²N108.9 44
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅=
Δ=
−
TFell
TFell
TFellTFell
F
F
PAF
Durchmesser des Trommelfells 10mm
m²10²mm85 4−==TFellA
Warum ist das unangenehm? Schmerzschwelle beim Menschen 28 Newton
22
Luftsäule der Erdenicht immer darf man mitteln!
mittlerer Luftdruck auf Meereshöhe
Wie hält eine Zelle überhaupt eine
solche Druckbelastung aus?
interner Druck entspricht in etwa dem äußeren Druck
Bei Druckmanometern muss noch der Druck der
Atmosphäre von 1 atm addiert werden
AtM ppp +=Dichte ändert sich nicht mit der Höhe Wie groß wäre dann die mittlere Dichte?
m³kg0158.8
s²m9.81 m101.2
m²N101.01
2
5
5
homogen −⋅=⋅
⋅==
hgpBoden
avgρ
Zum Vergleich: Die Dichte auf Meeresspiegelniveau beträgt
homo 0.15m³kg29.1
avgMeer
Meer
ρρ
ρ
=
=
Atmosphäre reicht bis etwa 120 km
ghp ρ=
23
Barometrische HöhenformelWas macht die Sache schwierigerErhebliche Änderung in der Dichte der Atmosphäre als Funktion der Höhe.Die Höhe der Atmosphäre ist nicht nach oben beschränkt.
dhgdp
ghp
ungenHöhenänderkleiner gBetrachtun
ρ
ρ
−=↓
=
Luft ist kompressibelAnnahme konstanter Dichte nicht haltbar
Zusammenhang zwischen Druck und Volumen
Gesetz von Boyle-Mariotte
constppp
VpMpMpVp
=⇒=
↓
===
ρρρ
ρρ
1
1
0
0
konstantGasmenge
211
1
0
000
Das Produkt aus Druck und Volumen eines Gases ergibt bei gleich bleibender Temperatur stets den gleichen Wert(mehr dazu in der Thermodynamik)
Robert Boyle(1627 - 1691)
Edme Mariotte(1620 - 1684)
dhpg
pdp
dhgppdp
0
0
00
ρ
ρ
−=
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
↓
−=
−= ∫∫
hp
gpp
hp
gpp
dhp
gpdp
Boden
BodenBoden
Boden
Boden
Boden
h
Boden
Bodenhp
pBoden
ρ
ρ
ρ
exp
ln
0
)(
negativ, da Druck mit der Höhe abnimmt
Barometrische Höhenformel
m 55322ln
s²m9.81
m³kg1.29
Pa 101.01h
2ln
21
Luftdruck?der sich halbiert Höhe In welcher
5
=⋅
⋅=
=
=
Boden
Boden
Boden
pgh
pp
ρ
alle 5 km
00 ppρρ =
24
Auftrieb
Archimedisches PrinzipDie Auftriebskraft eines Körpers ist proportional der Masse
der Flüssigkeit, die durch den Körper verdrängt wird
AF
Kw
AF
FlwFlA wF =Körper mit Volumen V
und Masse M
mWasser im
selben Volumen
ΔMassenunterschied
25
Eureka!Archimedisches Prinzip
gFF =Luftan
gF
V
gVgmF
OH
AuftriebOH
OHOHOHAuftrieb
2
2
222
ρ
ρ
=
==
gFV
VV
OH
OH
2
2
AuftriebKrone
Krone
ρ=
↓
=
gVF
gg
Vm
Vm
OH
OH
Krone
Krone
Krone
2
2
Luftan Krone
Krone
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
ρ
ρ
Masse der Kronean Luft
Masse der Kronevollständig in Wasser getaucht
Luftan F
WasserimF
AuftriebF
Auftrieb entspricht der verdrängten Wassermenge
Volumen von Wasser und Krone sind konstant
Dichte der Materials der Krone entspricht dem Verhältnis von Gewicht
an Luft zu verdrängter Wassermenge
Die Auftriebskraft eines Körpers ist proportional der Masse der Flüssigkeit, die durch den Körper verdrängt wird
Definition Dichte
Dichte des Materials (chemische Zusammensetzung) kann aus dieser Messung bestimmt werden
WasserimAuftrieb
Auftrieb Wasserim
FFF
FFF
g
g
−=
↓
−=
26
TitanicWie viel sieht man von einem Eisberg?
m³kg917=
=
Eis
EisbergEisEisberg gVF
ρ
ρ
14/15 April 1912
m³kg1030=
=
Seewasser
SeewasserSeewasserAuftrieb gVF
ρ
ρ
89.0³
1030
³917
=
===
=
WasserunterEisberg
rel
Seewasser
Eis
Eisberg
SeewasserWasserunterEisberg
rel
EisbergEisSeewasserSeewasser
Vmkgmkg
VVV
gVgV
ρρ
ρρ
90% eines Eisbergs sind nicht sichtbar!
27
Wieviel kann ein Schiff transportieren?
Beispiel10000 Tonnen Stahl unter Wasser
m³101.28
m³kg107.8
kg10 3
3
7
⋅=⋅
==Stahl
StahlStahl
mVρ
kg101.28m³101.28m³kg10 633 ⋅=⋅⋅=
=
Wasser
WasserWasserWasser
m
Vm ρ
N109.81s²m9.81kg10g
rsStahlkörpe desaft Gewichtskrzur Vergleich im
N101.3s²m9.81m³101.28
77
76
⋅=⋅==
⋅=⋅⋅==
StahlStahl
WasserA
mw
gmF
Lösung mehr Volumen muß verdrängt werdenSchiffskörper verdrängt 105 m³
kg10m³10m³kg10 853 =⋅== SchiffWasserWasser Vm ρ
SchiffWasserA wgmF ⋅=⋅=⋅== 10N1081.9s²m9.81kg10 88
Schiff kann etwa da 10-fache seines eigenen Gewichts transprotieren
Masse des verdrängten Wassers
Das entspricht der verdrängten Wassermenge
Auftrieb zu gering, d.h. Stahlblock versinkt
Verteilung der Masse auf größeres Volumen
28
U-Rohr mit zwei unterschiedlichen Flüssigkeiten
mm 3.12 =d
mm 135 =hWasser
Speiseöl
Ölp Wap
( )lhgpp ÖlÖlWa ++= ρ0
ghpp WaÖlWa ρ+= 0
( ) m³kg915
m³kg998
147.3mm135mm ==
+= WaÖl lh
hp ρ
Ergebnis hängt weder vom atmosphärischen Druck noch von g ab!
Dichte des Öls
Wasserdruck ist bei gegebener Höhe identisch, speziell am Punkt A
A