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Guardando las distancias: a la memoria de
•Alston Scott Householder 1.904 - 1.993
•James Hardy Wilkinson 1.919 – 1986
•Robert Todd Gregory 1.920 - 1984
Con agradecimientos a:
• James W. Daniel – The University of Texas• Gilbert W. Stewart – The University of Maryland
• Gilbert Strang -Massachusetts Institute of Technology
• Cleve V. Moler – The Mathworks - Matlab
• IIMPORTANCIA DEL ALGEBRA LINEAL EN MPORTANCIA DEL ALGEBRA LINEAL EN EL MUNDO DIGITALEL MUNDO DIGITAL
CONFERENCISTA: JOSE ARTURO CONFERENCISTA: JOSE ARTURO BARRETO GUTIERREZBARRETO GUTIERREZ
MASTER OF ARTS LA UNIVERSIDAD DE MASTER OF ARTS LA UNIVERSIDAD DE TEXASTEXAS
• Salón de conferenciasSalón de conferencias
• Depto. De MatemáticasDepto. De Matemáticas
• Facultad de CienciasFacultad de Ciencias
• Grano de Oro. Módulo 3. Grano de Oro. Módulo 3.
• La Universidad del ZuliaLa Universidad del Zulia
• Martes 30 de Octubre. 3 P. M.Martes 30 de Octubre. 3 P. M.
Carl C. CowenProfessor Emerito. Depto. de Matemáticas
Purdue University. Indiana
On the Centrality of Linear Algebra in the Curriculum
Carl C. Cowen
On the Centrality of Linear Algebra in the Curriculum
Carl C. Cowen
On the Centrality of Linear Algebra in the Curriculum
Carl C. Cowen
On the Centrality of Linear Algebra in the Curriculum
Carl C. Cowen
Gauss y LU
Ecuaciones y LU
Descomposición LU .vs. la inversa
• A=LU
• A-1= U-1L-1
Pregunta para el foro:
Vale la pena?
Proyeccion de u sobre v
Expresion en componentes
Expresión en ejes ortogonales
3 dimensiones
Expresion en base ortogonal
Proyeccion en subespacio con base ortogonal
Solucion por minimos cuadrados
Solucion por minimos cuadrados
Solucion por minimos cuadrados
La Ecuación Normal
La Ecuación Normal
La ecuación Normal
Son
y
Equivalentes?
Son
La ecuación normalSi
Es de dimensión 100 x 3
Entonces Es de dimensión 3x3!
Diagonalización de Matrices Simétricas
Diagonalización de Matrices Simétricas
Diagonalización de Matrices Simétricas
Diagonalización de Matrices Simétricas
Significado de los vectores R
Esta es la idea principal que a partir de la mitad del siglo 20 redefinió los métodos para calcular autovalores con ayuda del computador, dada la dificultad de calcularlos como raíces del polinomio característico. Los problemas numéricos del calculo de raíces de polinomios no son tan triviales como lo sugiere la ecuacioón de segundo grado.
Cónicas y Matrices de rotación
• Para una aplicación de la diagonalización de matrices al estudio de las cónicas rotadas (eliminación de productos xy para llevarlas a su forma canónica) calculando además autovalores y autovectores (ejes principales), consulte:
www.geocities.com/mialgebralineal
Autovalores, autovectores y diagonalización de Matrices
Autovalores, autovectores y diagonalización de Matrices
Autovalores, autovectores y diagonalización de Matrices
Autovalores, autovectores y diagonalización de Matrices
Entonces los autovalores de A, aparecen en la matriz diagonal D.
Como
La importancia de las matrices simétricas
La importancia de las matrices simétricas
• Podría hacerse un simposio dedicado a las matrices simétricas dada su importancia por gran variedad de razones
• Podría alguien elaborar una disertación al respecto?
• Tal vez hasta “publicar” con el fin de “enseñar” y señalar derroteros de investigación o al menos crear un lugar “especializado” de consulta?
El teorema Espectral
El teorema Espectral
El teorema Espectral
El teorema Espectral
Proposicion 4 del Teorema Espectral
Diagonalización de Matrices Simétricas por
Transformaciones ortogonales
Diagonalización de Matrices simétricas
Diagonalización de Matrices simétricas
Diagonalización de Matrices simétricas
El cálculo de autovalores y autovectores
• Diagonalización de matrices simétricas por transformaciones ortogonales. Matrices de rotación de Givens
Descomposición QR
Descomposición QR
Hemos logrado la siguiente transformación
En donde T es una matriz triangular superior
Descomposición QR
Descomposición QR
• Concluimos en base al ejemplo que:
R3 R2 R1 A=R,
En donde las matrices Ri son matrices de rotación
ortogonales. Por lo tanto
A= R1-1
R2-1
R3-1
R,Son por lo tanto matrices ortogonales. Su producto
será una matriz ortogonal que llamaremos Q.
En consecuencia A = QR, CON Q, MATRIZ ORTOGONAL
Descomposición QR para manejar la mala condición de la matriz ATA
• Aplicaciones de la descomposicion QR
Diagonalización de Matrices no simétricas
Diagonalización de Matrices no simétricas
Diagonalización de Matrices no simétricas
Diagonalización de matrices no simétricas
Diagonalización de matrices no simétricas
• Hemos dicho que hay alternativas para resolver estos problemas de diagonalización, mas ya sabemos que esta matriz se puede diagonalizar por una transformación semejante, lo cual es bastante conveniente. Limitados como estamos a escoger los temas ya que no se pretende hacer un curso que vaya mas allá de las posibilidades de un curso relativamente breve, no ahondaremos en la presentación de métodos estables, que resuelvan el problema de diagonalización de matrices no simétricas.
• No todas las matrices no simétricas son diagonalizables por transformaciones semejantes como veremos en el ejemplo siguiente
Diagonalización de matrices no simétricas
Diagonalización de matrices no simétricas
• Una matriz A es normal si AAT = ATA.• Una matriz A es diagonalizable por una
transformación ortogonal, si y sólo sí es una matriz normal.
• No presentamos prueba de esta afirmación ni ahondaremos en su utilización.
Aplicación de la diagonalización
Aplicación de la diagonalización
Diagonalización y cadenas de markov
Diagonalización por bloques. La forma de Jordan
Forma de Jordan – Algoritmo de Filipov
Forma de Jordan – Algoritmo de Filipov
Forma de Jordan – Algoritmo de Filipov
Algoritmo QR Shifted (transladado)
Algoritmo QR Shifted (transladado)
Algoritmo QR Shifted (transladado)
• Comparación entre la Matriz original y la matriz obtenida en el primer paso.
• Algotirmo QR transladado (Shifted)
)3(*eyebAA
00025.00053.0
1085.01495.01074.0
0331.04041.06475.0
)(, AqrRQ
000.10023.00080.0
0036.09865.01637.0
0075.01637.09865.0
0006.000
1016.02136.00
0504.03742.06564.0
QRA *
0006.00000.00000.0
1024.02105.00341.0
0041.02618.07092.0
)3(*eyebAA
0300.00000.00000.0
1024.00901.00341.0
0441.02618.00098.1
b=
0.3006
A=
Q=
R=
A=
A=
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