View
1
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
LINEER CEBIR DERS NOTLARI 2.HAFTA
GAUSS ELIMINASYON YONTEMI
Bu bolumde lineer denklem sistemlerinin cozumu icin sistematik bir yontem
gelistirecegiz. Bu yontem; sisteme karsılık gelen katsayılar matrsisi uzerinde satır op-
erasyonlarını uygulama temeline dayanır. Lineer denklem sistemlerinin cozumg icin
yontemler dusundugumuzde; buyuk sistemler ile- ki bilgisayarlar ile cozulmelidir;
kucuk sistemler-ki elle cozulebilir ayrımını yapmak onemlidir. Ornegin; cok fazla
uygulama binlerce hatta milyonlarca bilinmeyeni olan lineer sistem olusturur. Ozel
teknikler gerektiren buyuk sistemler; hafıza buyuklugu, cozum zamanı, yuvarlama
hataları gibi konularla da iliskilidir. Bu teknikleri calısan dal numerik analiz olarak
adlandırılan alandır. Bu konuya burada cok az deginecegiz. Buna ragmen; buyuk
sistemler icin kullanılan metotların hemen hemen hepsi; bu bolumde gelistirecegimiz
fikirlere dayanmaktadır.
Eselon Formlar
Onceki bolumun son orneginde katsayılar matrisi ve x, y, z bilinmeyenleri ile
verilen lineer sistemi1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
matrisine indirgeyerek cozduk ve cozumu x = 1, y = 2, z = 3 bulduk.
Bu matris; bir matrisin satırca indirgenmis eselon form ornegidir. Bir matrisin
bu formatta yazılabilmesi icin asagıdaki ozelliklere sahip olması gerekir.
(1) Eger bir satır tamamen sıfır degilse; bu durumda sıfır olmayan ilk bilesen 1
dir. Buna lider 1 denir.
(2) Eger tamamı 0(sıfır) dan olusan satırları varsa; matrisin o satırlar matrisin
altkısmında gruplandırılabilir.
1
HANDAN KÖSE
(3) Sıfır olmayan bilesenlerden olusan ve ard arda gelen iki satırda; daha alttaki
lider 1; ustteki satırdan daha sagdadır.
Yukarıdaki uc ozellige sahip matris; satır eselon forma sahip olarak adlandırılır.
(4) Herbir sutun lider 1 icerir ve o sutundaki diger butun bilesenler 0 dır.
Boylece satırca indirgenmis eselon forma sahip matris; satır eselon formda ol-
masına ragmen; tersi dogru degildir. Yani satır eselon formda olan matrisler; satırca
indirgenmis eselon formda olmak zorunda degildir.
Ornek: (Satır eselon form ve satır indirgenmis eselon form)
1 0 0 4
0 1 0 7
0 0 1 −1
,
1 0 0
0 1 0
0 0 1
,
0 1 −2 0 1
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
,
0 0
0 0
matrisleri satırca
indirgenmis eselon formdadır.1 4 −3 7
0 1 6 2
0 0 1 5
,
1 1 0
0 1 0
0 0 0
,
0 1 2 6 0
0 0 1 −1 3
0 0 0 0 1
matrisleri satır eselon
formdadır ancak satırce indirgenmis eselon formda degildir.
Ornek: Yukarıdaki ornek; satır eselon forma sahip bir matrisin, herbir lider 1 in
asagısının 0 oldugunu ve satırca indirgenmis eselon forma sahip bir matrisin herbir
lider 1 katsayısının; altının ve ustunun 0 oldugunu gosterir. Boylece, ∗ herhangi bir
reel sayıyı gostermek uzere;1 ∗ ∗ ∗
0 1 ∗ ∗
0 0 1 ∗
0 0 0 1
,
1 ∗ ∗ ∗
0 1 ∗ ∗
0 0 1 ∗
0 0 0 0
,
1 ∗ ∗ ∗
0 1 ∗ ∗
0 0 0 0
0 0 0 0
,
0 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 0 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 0 0 1 ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 0 0 0 0 0 1 ∗
matrisleri satır eselon formdadır.
2
HANDAN KÖSE
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
,
1 0 0 ∗
0 1 0 ∗
0 0 1 ∗
0 0 0 0
,
1 0 ∗ ∗
0 1 ∗ ∗
0 0 0 0
0 0 0 0
,
0 1 ∗ 0 0 0 ∗ ∗ 0 ∗
0 0 0 1 0 0 ∗ ∗ 0 ∗
0 0 0 0 1 0 ∗ ∗ 0 ∗
0 0 0 0 0 1 ∗ ∗ 0 ∗
0 0 0 0 0 0 0 0 1 ∗
matrisleri satırca indirgenmis eselon formdadır.
Ornek: (Tek Cozum)
x1, x2, x3, x4 bilinmeyenleriyle lineer sistem icin karsılık gelen katsayılar
matrisinin elementar operasyonlarla indirgenmis sekli:1 0 0 0 3
0 1 0 0 −1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 5
olsun.
Bu matris satırca indirgenmis eselon formdadır ve karsılık gelen denklem:
x1 = 3
x2 = −1
x3 = 0
x4 = 5
dir. Boylece sistem bir tek cozume sahiptir ve bu cozum x1 = 3, x2 = −1,
x3 = 0, x4 = 5 seklindedir.
Ornek: (Uc bilinmeyenli lineer sistemler)
Asagıda x, y, z bilinmeyenleriyle katsayılar matrisi verilen lineer sistemlerin cozumlerini
bulunuz.
(a)
1 0 0 0
0 1 2 0
0 0 0 1
3
HANDAN KÖSE
(b)
1 0 3 −1
0 1 −4 2
0 0 0 0
(c)
1 −5 1 4
0 0 0 0
0 0 0 0
C. ozum: a) 0x + 0y + 0z = 1. Bu esitlik x, y, z nin hicbir degeri icin saglanmaz.
Yani; sistem tutarsızdır.
b) Lineer sistem;x + 3z = −1
y − 4z = 2
x + 0y + 0z = 0
seklindedir ve sistemden 0x + 0y + 0z = 0 esitligi cıkarılabilir. Bu durumda sistem
x + 3z = −1
y − 4z = 2
sistemine donusur. Burada x ve y lider degiskenler olarak adlandırılır; geriye kalan
degiskenlere (burada z) serbest degisken denir.
x = −1− 3z
y = 2 + 4z
z serbest degiskenine t gibi bir parametre atandıgında cozum kumesi parametrik
denklemler ile
x = −1− 3t, y = 2 + 4t, z = t
seklinde elde edilir.
t icin farklı degerler vererek; sistemin cesitli cozumlerini elde edebiliriz. Ornegin;
t = 0 icin x = −1, y = 2, z = 0
t = 1 icin x = −4, y = 6, z = 1
cozumleri elde edilir.
c) Sıfır satırlarına karsılık gelen denklemleri atabiliriz; boylece tek bir denklem;
x− 5y + z = 4
4
HANDAN KÖSE
elde edilir. Cozum kumesinin uc boyutta bir duzlem oldugunu gorebiliriz. y ve z ye
sırası ile y = s ve z = t parametreleri atayarak; x = 4 + 5s− t, y = s, z = t cozum
kumesi elde edilir.
Cogunlukla bir genel cozumde parametreleri r, s, t, . . . gibi harflerle gosteririz
ancak bu harfler; kullanılan bilinmeyenlerin ismiyle cakısmamalıdır. Uc bilinmeyen-
den daha fazla olan sistemler icin harflerin altına indis yazmak t1, t2, . . . gibi daha
uygundur.
Tanım: Eger bir lineer sistemin sonsuz sayıda cozumu varsa; bu durumda parametrik
denklemlerin kumesi- ki parametrelere atanan sayısal (numerik) degerlerle elde edilen
butun cozumler sistemin genel cozumu olarak adlandırılır.
Eliminasyon Metotları
Lineer denlem sisteminin cozumunun; karsılık gelen katsayılar matrisini satırca
indirgenmis eselon forma donusturerek kolayca nasıl bulundugunu gorelim. Simdi
herhangi bir matrisi satırca indirgenmis eselon forma donusturmek icin adım adım
eliminasyon prosedurunu verecegiz.0 0 −2 0 7 12
2 4 −10 6 12 28
2 4 −5 6 −5 −1
matrisini gozonune alalım.
1. Adım. 0(sıfır) ile baslamayan satırları bul ve yer degistir. 2. satır ile 1. satırı
yer degistirelim.
2 4 −10 6 12 28
0 0 −2 0 7 12
2 4 −5 6 −5 −1
2. Adım. 1. satırı 1
2ile carpalım.
1 2 −5 3 6 14
0 0 −2 0 7 12
2 4 −5 6 −5 −1
5
HANDAN KÖSE
3. Adım. Lider 1 in altındaki butun bilesenleri sıfırlamak icin 1. satırın (−2)
katı ile 3. satırı toplayıp; 3. satıra yazalım.
1 2 −5 3 6 14
0 0 −2 0 7 12
0 0 5 0 −17 −29
Simdi altmatrise yukarıdaki islemleri uygulayarak; satır eselon forma donene kadar
devam edelim.
4. Adım. 2. satırı −12
ile carpalım.1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −72−6
0 0 5 0 −17 −29
5. Adım. 2. satırı (−5) ile carpıp 3. satır ile toplayıp; 3. satıra yazalım.
1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −72−6
0 0 0 0 12
1
Yeni altmatriste lider 1 i elde etmek icin 3. satırı 2 ile carpalım.
1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −72−6
0 0 0 0 1 2
Boylece baslangıctaki matris satır eselon formdadır. Satırca indirgenmis halini
bulmak icin asagıdaki ek adımlara ihtiyacımız vardır.
6. Adım. 3. satırı 72
ile carpıp 2. satır ile toplayıp; 2. satıra yazalım.
1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 1 2
7. Adım. 3. satırı −6 ile carpıp 1. satır ile toplayıp; 1. satıra yazalım.
6
HANDAN KÖSE
1 2 −5 3 0 2
0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 1 2
8. Adım. 2. satırı 5 ile carpıp 1. satır ile toplayıp; 1. satıra yazalım.
1 2 0 3 0 7
0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 1 2
elde edilir.
Bir matrisi satırca indirgenmis eselon forma donusturmek icin tanımladıgımız bu
prosedur(algoritma) Gauss-Jordan eliminasyonu olarak adlandırılır.
Algoritma iki kısımdan olusur; ileri evre- ki lider 1 lerin altında kalan bilesenler
0(sıfırdır) ve geri evre- ki lider 1 lerin uzerindeki bilesenler 0(sıfırdır). Yalnızca
ileri evreden yararlanılırsa prosedur satır eselon formu uretir ve Gauss eliminasyonu
olarak adlandırılır.
Ornek: (Gauss-Jordan Eliminasyonu)
Gauss-Jordan yontemiyle
x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5 = 0
2x1 + 6x2 − 5x3 − 2x4 + 4x5 − 3x6 = −1
5x3 + 10x4 + 15x6 = 5
2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 6
denklem sistemini cozunuz.
C. ozum: Sisteme karsılık gelen katsayılar matrisi;1 3 −2 0 2 0 0
2 6 −5 −2 4 −3 −1
0 0 5 10 0 15 5
2 6 0 8 4 18 6
7
HANDAN KÖSE
1. satırın (−2) katı ile 2. satır toplanıp 2. satıra ve 1. satırın (−2) katı ile 4.
satır toplanıp 4. satıra yazıldıgında;
1 3 −2 0 2 0 0
0 0 −1 −2 0 −3 −1
0 0 5 10 0 15 5
0 0 4 8 0 18 6
2. satırı (−1) ile carpılıp 2. satıra yazıldıgında;
1 3 −2 0 2 0 0
0 0 1 2 0 3 1
0 0 5 10 0 15 5
0 0 4 8 0 18 6
2. satırın (−5) katı ile 3. satır toplanıp 3. satıra yazıldıgında, 2. satırın (−4)
katı ile 4. satır toplanıp 4. satıra yazıldıgında
1 3 −2 0 2 0 0
0 0 1 2 0 3 1
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 6 2
elde edilir.
3. satır ile 4. satır yer degistirildiginde;
1 3 −2 0 2 0 0
0 0 1 2 0 3 1
0 0 0 0 0 6 2
0 0 0 0 0 0 0
3. satır 1
6ile carpıldıgında;
1 3 −2 0 2 0 0
0 0 1 2 0 3 1
0 0 0 0 0 1 13
0 0 0 0 0 0 0
8
HANDAN KÖSE
satır eselon formu elde edilir.
3. satırın (−3) katı ile 2. satır toplanıp 2. satıra yazıldıgında ve 2. satırın 2 katı
ile 1. satır toplanıp 1. satıra yazıldıgında
1 3 0 4 2 0 0
0 0 1 2 0 0 0
0 0 0 0 0 1 13
0 0 0 0 0 0 0
satırca indirgenmis eselon form matrisi elde edilir.
Boylece sistem;
x1 + 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0
x3 + 2x4 = 0
x6 =1
3
olarak bulunur.
Serbest degiskenlere x2 = r, x4 = s, x5 = t atandıgında genel cozum;
x1 = −3r − 4s− 2t, x2 = r, x3 = −2s, x4 = s, x5 = t, x6 =1
3
olarak bulunur.
HOMOJEN LINEER SISTEMLER
Eger lineer sistemde; sabit terimlerin hepsi birden 0 ise sistem “homojen sistem”
olarak adlandırılır. Yani;
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0
· · ·
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0.
Boyle sistemlerde x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0 cozum oldugundan butun homojen
sistemler tutarlıdır. Bu cozum asikar cozum olarak adlandırılır.
Homojen lineer sistemler daima bir asikar cozume sahip oldugundan; cozumler
icin yalnızca iki olası durum vardır.
9
HANDAN KÖSE
1) Sistem yalnızca asikar cozume sahiptir.
2) Sistem asikar cozume ek olarak sonsuz sayıda cozume sahiptir.
Iki bilinmeyenli, iki denklemden olusan homojen sistemin ozel durumunda;
a1x + b1y = 0 (a1, b1 her ikisi 0 degil)
a2x + b2y = 0 (a2, b2 her ikisi 0 degil)
elde edilir.
Denklemlerin grafikleri orjinden gecen dogrulardır ve asikar cozum orjindeki
kesisim noktasıdır.
10
HANDAN KÖSE
SORU: Gauss-Jordan eliminasyon yonteminden yararlanarak asagıda verilen
homojen lineer sistemi cozunuz.
x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5 = 0
2x1 + 6x2 − 5x3 − 2x4 + 4x5 − 3x6 = 0
5x3 + 10x4 + 15x6 = 0
2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 0.
C. ozum: Verilen sisteme karsılık gelen katsayılar matrisi;1 3 −2 0 2 0 0
2 6 −5 −2 4 −3 0
0 0 5 10 0 15 0
2 6 0 8 4 18 0
seklindedir.
Dikkat edilirse bir onceki bolumun son ornegindeki; sabitlerin farklılık gosterdigi
gorulur. Bu matris satırca indirgenmis eselon forma donusturuldugunde;
1 3 0 4 2 0 0
0 0 1 2 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0
matrisine donusur ve denklem
x1 + 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0
x3 + 2x4 = 0
x6 = 0
olur ve serbest degiskenlere x2 = r, x4 = s, x5 = t atandıgında genel cozum;
x1 = −3r − 4s− 2t, x2 = r, x3 = −2s, x4 = s, x5 = t, x6 = 0
bulunur. Ozel olarak r = s = t = 0 secilirse asikar cozum elde edilir.
Teorem: Eger bir homojen lineer sistem n-bilinmeyene sahip ve eger katsayılar
matrisinin satırca indirgenmis eselon formu r tane sıfır olmayan satıra sahipse, bu
durumda sistem n− r tane serbest degiskene sahiptir.
11
HANDAN KÖSE
Teorem: Denklemden fazla bilinmeyene sahip olan homojen lineer sistemin sonsuz
sayıda cozumu vardır.
SORU: x1, x2, x3, x4 bilinmeyenleriyle lineer sistemler icin karsılık gelen kat-
sayılar matrisi asagıda veriliyor. Bu matrislerin hepsi satır eselon formundan an-
cak satırca indirgenmis eselon formda degildir. Karsılık gelen lineer sistemlerin
cozumlerinin varlıgı ve tekligini arastırınız.
(a)
1 −3 7 2 5
0 1 2 −4 1
0 0 1 6 9
0 0 0 0 1
(b)
1 −3 7 2 5
0 1 2 −4 1
0 0 1 6 9
0 0 0 0 0
(c)
1 −3 7 2 5
0 1 2 −4 1
0 0 1 6 9
0 0 0 1 0
C. ozum: a) 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 1 esitliginden celiski elde edilir. Sistem
tutarsızdır.
b) 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 0 sisteme bir etki yapmaz. x1, x2, x3 lider degiskenler ve
x4 serbest degiskendir. Sonsuz cozum vardır.
x1 − 3x2 + 7x3 + 2x4 = 5
x2 + 2x3 − 4x4 = 1
x3 + 6x4 = 9
ve x4 = t olarak parametrelenirse genel cozum x1 = −109 + 88t, x2 = −17 + 16t,
x3 = 9− 6t seklindedir.
12
HANDAN KÖSE
c) x4 = 0, x3 = 9, x2 = −17, x1 = −109 olup sistem bir tek cozume sahiptir.
Eselon Formlar Hakkında Bazı Gercekler
1) Her matris; bir tek satırca indirgenmis eselon forma sahiptir.
2) Satır eselon formlar tek degildir. Yani; farklı satır operasyonlarının uygulan-
masıyla farklı satır eselon formlar elde edilir.
3) Satır eselon formlar; tek olmamasına ragmen bir A matrisinin butun satır
eselon formlarında sıfır satırının sayısı aynıdır ve lider 1 ler A nın satır eselon
formlarında aynı adreste bulunurlar. Bunlar A nın pivot pozisyonları olarak
adlandırılırlar.
Ornek: (Pivot Pozisyonlar)
A =
0 0 −2 0 7 12
2 4 −10 6 12 28
2 4 −5 6 −5 −1
matrisinin satır eselon formu
1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −72−6
0 0 0 0 1 2
seklindedir.
Pivot pozisyonları; 1. satır 1. sutun, 2. satır 3. sutun, 3. satır 5. sutun
seklindedir.
13
HANDAN KÖSE
SORULAR
1) Asagıda verilen matrislerin satır eselon form, satırca indirgenmis eselon form ya
da ikisi ya da hicbiri olup olmadıgını belirleyiniz.
(a)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
(b)
1 0 0
0 1 0
0 0 0
(c)
0 1 0
0 0 1
0 0 0
(d)
1 0 3 1
0 1 2 4
(e)
1 2 0 3 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
(f)
0 0
0 0
0 0
(g)
1 −7 5 5
0 1 3 2
C. ozum: a, b, c, d, e, f satırca indirgenmis eselon form, g satır eselon form ornegidir.
14
HANDAN KÖSE
2) Asagıda verilen matrislerin satır eselon form, satırca indirgenmis eselon form ya
da ikisi ya da hicbiri olup olmadıgını belirleyiniz.
(a)
1 2 0
0 1 0
0 0 0
(b)
1 0 0
0 1 0
0 2 0
(c)
1 3 4
0 0 1
0 0 0
(d)
1 5 −3
0 1 1
0 0 0
(e)
1 2 3
0 0 0
0 0 1
(f)
1 2 3 4 5
1 0 7 1 3
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
(g)
1 −2 0 1
0 0 1 −2
C. ozum: a, c, d, e, g satır eselon form, g satırca indirgenmis eselon form ornegidir.
15
HANDAN KÖSE
3) Asagıda katsayılar matrisi verilen denklemlere karsılık gelen sistemleri cozunuz.
(a)
1 3 4 7
0 1 2 2
0 0 1 5
(b)
1 0 8 −5 6
0 1 4 −9 3
0 0 1 1 2
(c)
1 7 −2 0 −8 −3
0 0 1 1 6 5
0 0 0 1 3 9
0 0 0 0 0 0
(d)
1 −3 7 1
0 1 4 0
0 0 0 1
C. ozum: a) Verilen matrisin denklemi
x1 − 3x2 + 4x3 = 7
x2 + 2x3 = 2
x3 = 5
olur. x3 = 5 i yerine yazarsak tek cozum x1 = −22, x2 = −8 ve x3 = 5 bulunur.
b) x1, x2, x3 lider degiskenler ve x4 serbest degiskenlerdir. x4 = t dersek;
x3 = 2− t, x2 = 13t− 5 ve x1 = 13t− 10.
Sistem;
x1 + 8x3 − 5x4 = 6
x2 + 4x3 − 9x4 = 3
x3 + x4 = 2
16
HANDAN KÖSE
c) x1 + 7x2 − 2x3 − 8x5 = −3
x3 + x4 + 6x5 = 5
x4 + 3x5 = 9
0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 = 0
x1, x3, x4 lider degiskenler; x2 ve x5 serbest degiskenlerdir. Buna gore genel
cozum x2 = s ve x5 = t seklinde parametrelendirldiginde genel cozum x1 = −7s +
2t− 11, x2 = s, x3 = −3t− 4, x4 = −3t + 9, x5 = t bulunur.
d) 0x1 + 0x2 + 0x3 = 1 oldugundan sistem tutarsızdır.
4) Asagıda satırca indirgenmis eselon formda verilen lineer denklem sistemleri icin
karsılık gelen katsayılar matrisini gozonune alalım. Sistemlerin cozumunu bulunuz.
(a)
1 0 0 −3
0 1 0 0
0 0 1 7
(b)
1 0 0 −7 8
0 1 0 3 2
0 0 1 1 −5
(c)
1 −6 0 0 3 −2
0 0 1 0 4 7
0 0 0 1 5 8
0 0 0 0 0 0
(d)
1 −3 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
5) Asagıdaki sistemi Gauss-Jordan eliminasyon yontemiyle cozunuz.
x1 + x2 + 2x3 = 8
−x1 − 2x2 + 3x3 = 1
3x1 − 7x2 + 4x3 = 10
17
HANDAN KÖSE
C. ozum: Sisteme karsılık gelen katsayılar matrisi;1 1 2 8
−1 −2 3 1
3 −7 4 10
seklindedir.
2. satırı 1. satır ile toplayıp 2. satıra; 3. satırı 1. satırın (−3) katı ile toplayıp
3. satıra yazalım. Buradan;
1 1 2 8
0 −1 5 9
0 −10 −2 −14
2. satırı (−1) ile carpalım; yeni satırın 10 katı ile 3. satırı toplayıp 3. satıra
yazalım.
1 1 2 8
0 1 −5 −9
0 0 −52 −104
3. satırı (− 1
52) ile carpalım ve 3. satıra yazalım.
1 1 2 8
0 1 −5 −9
0 0 1 2
2. satırı; 3. satırın 5 katı ile toplayalım ve 2. satıra yazalım.
1 1 2 8
0 1 0 1
0 0 1 2
2. satırı (−1) ile carparak 1. satır ile toplayıp; 1. satıra yazalım.
1 0 2 7
0 1 0 1
0 0 1 2
18
HANDAN KÖSE
3. satırın (−2) katı ile 1. satırı toplayıp; 1. satıra yazalım.
1 0 0 3
0 1 0 1
0 0 1 2
elde edilir. Buradan tek cozum x1 = 3, x2 = 1, x3 = 2 bulunur.
6) Asagıda verilen sistemleri Gauss-Jordan eliminasyon yontemiyle cozunuz.
a) 2x1 + 2x2 + 2x3 = 0
− 2x1 + 5x2 + 2x3 = 1
8x1 + x2 + 4x3 = −1
b) − 2b + 3c = 1
3a + 6b− 3c = −2
6a + 6b + 3c = 5
c) 2I1 − I2 + 3I3 + 4I4 = 9
I1 − 2I3 + 7I4 = 11
3I1 − 3I2 + I3 + 5I4 = 8
2I1 + I2 + 4I3 + 4I4 = 10
C. ozum: I1 = −1, I2 = 0, I3 = 1, I4 = 2.
7) Asagıdaki sistemi Gauss-Jordan eliminasyon yontemiyle cozunuz.
x− y + 2z − w = −1
2x + y − 2z − 2w = −2
− x + 2y − 4z + w = 1
3x− 3w = −3
19
HANDAN KÖSE
C. ozum: Sisteme karsılık gelen katsayılar matrisi;
1 −1 2 −1 −1
2 1 −2 −2 −2
−1 2 −4 1 1
3 0 0 −3 −3
1. satırı (−2) ile carpıp 2. satır ile toplayıp; 2. satıra, 3. satırı 1. satır
ile toplayıp; 3. satıra, 1.satırı (−3) ile carpıp 4. satır ile toplayıp; 4. satıra
yazdıgımızda;
1 −1 2 −1 −1
0 3 −6 0 0
0 1 −2 0 0
0 3 −6 0 0
2. satırı 1
3ile carpıp 2. satıra yazdıgımızda;
1 −1 2 −1 −1
0 1 −2 0 0
0 1 −2 0 0
0 3 −6 0 0
2. satırı (−1) ile carpıp 3. satır ile toplayıp 3. satıra ve 2. satırı (−3) ile carpıp
4. satır ile toplayıp 4. satıra yazarsak;
1 −1 2 −1 −1
0 1 −2 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1. satır ile 2. satır toplanıp; 1. satıra yazıldıgında
1 0 0 −1 −1
0 1 −2 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
20
HANDAN KÖSE
matrisi elde edilir. Boylece x ve y lider degiskenler z ve w serbest degiskenler olmak
uzere; x = t− 1, y = 2r, z = r, w = t genel cozumu elde edilir.
8) Asagıda verilen homojen sistemlerin asikar olmayan cozumleri varsa bulunuz.
a) 2x1 − 3x2 + 4x3 − x4 = 0
7x1 + x2 − 8x3 + 9x4 = 0
2x1 + 8x2 + x3 − x4 = 0
b) x1 + 3x2 − x3 = 0
x2 − 8x3 = 0
4x4 = 0
c) a11x1 + a12x2 + a13x3 = 0
a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0
d) 3x1 − 2x2 = 0
6x1 − 4x2 = 0
e) 2x1 + x2 + x3 = 0
x1 + 2x2 = 0
x2 + x3 = 0
f) 2x− y − 3z = 0
− x + 2y − 3z = 0
x + y + 4z = 0
21
HANDAN KÖSE
g) 3x1 + x2 + x3 + x4 = 0
5x1 − x2 + x3 − x4 = 0
h) v + 3w − 2x = 0
2u + v − 4w + 3x = 0
2u + 3v + 2w − x = 0
− 4u− 3v + 5w − 4x = 0
ı) 2x + 2y + z = 0
w − y − 3z = 0
2w + 3x + y + z = 0
− 2w + x + 3y − 2z = 0
i) x1 + 3x2 + x4 = 0
x1 + 4x2 + 28x3 = 0
− 2x2 − 2x3 − x4 = 0
2x1 − 4x2 + x3 + x4 = 0
x1 − 2x2 − x3 + x4 = 0
h) z3 + z4 + z5 = 0
− z1 − z2 + 2z3 − 3z4 + z5 = 0
z1 + z2 − 2z3 − z5 = 0
2z1 + 2z2 − z3 + z5 = 0
22
HANDAN KÖSE
9) Asagıda verilen sistemler icin sistemin hic cozumu olmayacak sekilde, yalnızca
bir cozumu ya da sonsuz cozumu olacak sekilde a nın degerini belirleyiniz.
a) x + 2y − 3z = 4
3x− y + 5z = 2
4x + y + (a2 − 14)z = a + 2
b) x + 2y + z = 2
2x− 2y + 3z = 1
x + 2y − (a2 − 3)z = a
c) x + 2y = 1
2x + (a−5)y = a− 1
d) x + y + 7z = −7
2x + 3y + 17z = −16
x + 2y + (a2 + 1)z = 3a
C. ozum: a) a = 4 ise sonsuz coklukta cozum var, a = −4 ise cozum yok, a 6= ±4
ise yalnızca tek cozum var.
10) Asagıdaki ifadelerin dogru ya da yanlıs olup-olmadıgını belirleyiniz.
a) Eger matris satırca indirgenmis eselon formda ise satır eselon formdadır.
b) Her matris bir tek satır eselon forma sahiptir.
C. ozum: a) Dogru, b) Yanlıs.
23
HANDAN KÖSE
BU BOLUMDE NELER OGRENDIK
KAVRAMLAR
• Satırca indirgenmis eselon form
• Satır eselon form
• Lider 1
• Lider degiskenler
• Serbest degiskenler
• Bir lineer sistemin genel cozumu
• Gauss eliminasyon
• Gauss-Jordan eliminasyon
• Ileri/geri evre
• Homojen lineer sistem
• Asikar cozum
• Asikar olmayan cozum
KAZANIMLAR
• Verilen bir matrisi eselon formda, satırca indirgenmis eselon formda ya da
hicbiri olup olmadıgını tanır.
• Bir lineer sisteme karsılık gelen katsayılar matrisi yardımıyla sistemin cozumunu
insa eder.
• Bir lineer sistemin genel cozumunu bulmak icin Gauss eliminasyonunu kullanır.
• Gauss-Jordan eliminasyon yonteminden yararlanır.
24
HANDAN KÖSE
Recommended