View
655
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
HÖ ph¬ng tr×nh trong c¸c ®Ò thi ®¹i häc Bµi 1) Giải hệ phương trình : ( x - y ) ( x2 - y2 ) = 3
( x + y ) ( x 2 + y2 ) = 15 G¶i Hệ viết lại: ( x + y ) ( x - y )2 = 3 ( x + y ) [ ( x + y )2 - 4xy] = 3 ( x + y ) [ (x + y )2 - 2xy ] = 15 ( x + y)3 - 2xy ( x + y ) = 15
( x + y )3 - 4xy (x + y) = 3 2xy (x + y) = 12 (x + y )3 - 2xy (x + y) = 15 (x + y)3 - 2xy(x + y) = 15 2xy (x + y) = 12 x + y = 3
(x + y)3 = 27 xy = 2 x, y là nghiệm của phương trình : t2 - 3t + 2 = 0 t = 1 t = 2 Vậy nghiệm của hệ: x = 1 ; y = 2 và x = 2 ; y = 1Bài 2 . Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : .Giải* HÖ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi
§Æt * Thay vµo hÖ ph¬ng tr×nh ta cã:
hoÆc
thÕ vµo c¸ch ®Æt ta ®îc c¸c nghiÖm cña hÖ lµ : ;; ;
bài4 Giải hệ phương trình:
Giải: (1) y 0
Hệ
Đặt a = 2x; b = . Ta có hệ:
Hệ đã cho có 2 nghiệm
Bài 5:Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau:
Ciải
HD1: Khi y=0, hÖ V« nghiÖm
Khi y 0. hÖ . ®Æt HÖ:
Bài 6 Giải hệ phương trình: (x, y ) Giải
Hệ đã cho tương đương với :
Bài 7 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh
Gải§iÒu kiÖn:
HÖ ph¬ng tr×nh
Gi¶i ra vµ kÕt hîp ®iÒu kiÖn ®îc nghiÖm (2; 1)
Bài 8 . Giải hệ phương trình: .
Gải 2.
…
Hệ có nghiệm: .
Bài 9 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có 2 nghiệm
phân biệt:
2
33 3
22 ( 2 5)
log ( 1) log ( 1) log 4
log ( 2 5) log 2 5x x
x x
x x m
Giải
TXĐ: x>1, giải (3) đc: 1 <x <3
Đặt Từ Bảng biến thiên của suy ra
;
(4) 2 5t t m , xét hàm, lập BBT được 25
; 64
m
Bài 10 Giải hệ phương trình:
Giải Đặt:
Hệ phương trình viết lại:
Khi v = 2 u = 6, ta có hệ phương trình:
Khi , ta có hệ phương trình:
Bài 11 Giải hệ phương trình:
Gải Hệ Đặt a = 2x; b = . Ta có hệ:
ĐS: Hệ đã cho có 2 nghiệm
Bài 12 Giải hệ phương trình: (x, y ) Giải
Đặt x y = t, xy = u ta có hệ
(t = 0; u = 0), (t = 1; u = 2).
x = y = 0 (x = 1 ; y = 2), (x = 2 ; y = 1)
Bài 13) Giải hệ phương trình:
Ciải
Đặt . Ta có hệ:
Vậy hệ
Bài 15. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh , víi Èn .
Gải
ĐK x ≠ 1; y ≠ -1. Quy ®ång ®a vÒ hÖ
(rót ®îc y
= 3 - x)
; VËy nghiÖm cña hÖ lµ
Bài 16 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
Bài 17Giải hệ phương trình
Gải 2. Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
x = y (trong ngoặc luôn dương và x và y đều lớn hơn 2)
Vậy từ hệ trên ta có:
x = 3
Vậy nghiệm của hệ x = y = 3
Bài 17 Giải hệ phương trình:
Giải 1. Điều kiện:
Từ (1) x = 4y Nghiệm của hệ (2; )
Bài 18 . Giaûi phöông trình:
Bài 19 Giải hệ phương trình
Giải
Thay (2) vào (1)
x(x3 + 12x2 + 48x + 64) = 0 x = 0 hay x = 4
x = 0 (1) : vô nghiệm; x = 4 y =
Vậy hệ (x = 4; y = )
Bài 20 Giải hệ phương trình :
Bài 21 Giải hệ phương trình: .
Giải
Điều kiện:
Phương trình đầu của hệ thành:
Với t = 0 suy ra x = y
Với x= y thay vào phương trình thứ 2 của hệ ta được:
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm(x ; y) như trên
Bài 23 Giải hệ phương trình: .
Bài giải
ĐK: ; .
.
Khi x=2y ; (loại) .
Bài 24 Giải hệ phương trình
Giải 2.
y = 0 hệ vô nghiệm y 0 hệ
Đặt a = ; b =
Ta có hệ là
hay . Vậy hay
hay (VN) hay
Bài 25 . Giải hệ phương trình: Đặt u = x 1, v = y 1
(I) thành
Xét hàm f(x)
f ´(x)
Vậy f đồng biến nghiêm cách trên R. Nếu u > v f(u) > f(v) v > u ( vô lý ) Tương tự nếu v > u cũng dẫn đến vô lý
Do đó hệ (II)
Đặt: g(u)
Vậy g(u) đồng biến nghiêm cách trên R.Ta có g(0) = 1. Vậy u = 0 là nghiệm duy nhất của (1)
Nên (II) u = 0 = v Vậy (I) x = y = 1.
Bài 26 . Giải hệ phương trình
Bài giải y = 0 hệ vô nghiệm
y 0 hệ
Đặt a = ; b =
Ta có hệ là
hay . Vậy hay
hay (VN) hay
Bài 27 . Giải hệ phương trình :
( Đáp số : (2;1) ; (2; -1) ;
Bài 28 Giải hệ phương trình
Giải . Hệ phương trình . Đặt : 2u x y
v xy
.
2
2 22
5u 1 v u 0u uv v u uv u 0
4(I) 5 55 u v u vu v 4 44
Bài 29 Giải hệ phương trình: .
Bài 30 Giải hệ phương trình: (x, y R)
Giải
ĐK: x + y 0 , x - y 0, y 0
PT(1) Từ PT(4)
y = 0 v 5y = 4x Với y = 0 thế vào PT(2) ta có x = 9 (Không thỏa mãn đk (3))Với 5y = 4x thế vào PT(2) ta có
KL: HPT có 1 nghiệm
Bài 31 Giải hệ phương trình sau : .
Giải * ĐK : y > 0 Phương trình ẩn y có 2 nghiệm là: y = -2x (loại) và y = 2x+1 Với y = 2x+1 thay vào pt (1) có: giải pt thì x = -1 và x = 4Với x = -1 thì y = 1, Nghiệm (x; y) là: (-1;1) Với x = 4 thì y = 32, Nghiệm (x;y) là: (4;32)
Bài 32 Giaûi heä phöông trình:
Bài 33Giải hệ phương trình
Bài34 . Giải hệ phương trình:
Giải
Đặt u = x 1, v = y 1 (I) thành
Xét hàm f(x) f ´(x)
Vậy f đồng biến nghiêm cách trên R. Nếu u > v f(u) > f(v) v > u ( vô lý ) Tương tự nếu v > u cũng dẫn đến vô lý
Do đó hệ (II)
Đặt: g(u)
Vậy g(u) đồng biến nghiêm cách trên
R.Ta có g(0) = 1. Vậy u = 0 là nghiệm duy nhất của (1) Nên (II) u = 0 = vVậy (I) x = y = 1.
Bài 35 Giải hệ phương trình:
VËy hÖ ®· cho cã 2 nghiÖm lµ : ( 3 ; 2) vµ ( -2 ; -3 )
LÊy (2’) - (1’) ta ®îc : x2 y– xy2 = 6 (3)KÕt hîp víi (1) ta cã :
. §Æt y = - z ta cã :
®Æt S = x +z vµ P = xz ta cã :
Ta cã : . HÖ nµy cã nghiÖm hoÆc
Bài 36 . gi¶i hÖ PT :
Bµi 37 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
Ci¶i §iÒu kiÖn: x -1, y 1Céng vÕ theo vÕ råi trõ vÕ theo vÕ ta cã hÖ
§Æt u= , v = . Ta cã hÖ
lµ nghiÖm cña hÖ
Bµi 39 . Giải hệ phương trình:
Gi¶i 1. Điều kiện:
Từ (1) x = 4y
Nghiệm của hệ (2; )
Bµi 40
Giải hệ phương trình .
Ta có: .
Khi thì hệ VN.
Khi , chia 2 vế cho .
Đặt , ta có : .
Khi ,ta có : HPT .
Bµi 41Giải hệ phương trình: .
Dễ thấy , ta có:
Đặt ta có hệ:
+) Với ta có hệ: .
+) Với ta có hệ: , hệ này vô
nghiệm.
KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: Bµi 42
Giải hệ phương trình: .
Điều kiện: x+y>0, x-y>0
Đặt: ta có hệ:
. Thế (1) vào (2) ta có:
.
Kết hợp (1) ta có: (vì u>v). Từ đó ta có: x =2; y =2.(T/m)
KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2).
Bµi 43Giải hệ phương trình .
ĐK: x>0 , y>0 : (1) log3xy = 1 xy = 3y=
(2) log4(4x2+4y2) = log4(2x2 +6xy) x2+ 2y2 = 9
Kết hợp (1), (2) ta được nghiệm của hệ: ( ; ) hoặc ( ; )
Bµi 44Giải hệ phương trình:
1. Điều kiện: Từ (1) x
= 4y
Nghiệm của hệ (2; )
Bµi 45 Giải hệ phương trình .
Ta có: .
Khi thì hệ VN.
Khi , chia 2 vế cho .
Đặt , ta có : .
Khi ,ta có : HPT .
Bµi 46 Giải hệ phương trình: .
ĐK: x>0 , y>0 : (1) log3xy = 1 xy = 3y=
(2) log4(4x2+4y2) = log4(2x2 +6xy) x2+ 2y2 = 9
ĐK: x>0 , y>0 : (1) log3xy = 1 xy = 3y=
(2) log4(4x2+4y2) = log4(2x2 +6xy) x2+ 2y2 = 9
Dễ thấy , ta có:
Đặt ta có hệ:
+) Với ta có hệ: .
+) Với ta có hệ: , hệ này vô
nghiệm.KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:
3.Giải hệ phương trình
+ Điều kiện: .
+ Ta có:
+ Đặt thì (1) trở thành:
Với ta có: Thế vào (2) ta có:
. Suy ra: .
+ Kiểm tra thấy chỉ có thoả mãn điều kiện trên.Vậy hệ có nghiệm duy nhất .
Bµi 46 Giải hệ phương trình sau : .
* ĐK : y > 0 Phương trình ẩn y có 2 nghiệm là: y = -2x (loại) và y = 2x+1
* Với y = 2x+1 thay vào pt (1) có: giải pt thì x = -1 và x = 4* Với x = -1 thì y = 1, Nghiệm (x; y) là: (-1;1) Với x = 4 thì y = 32, Nghiệm (x;y) là: (4;32)
Bµi 47 Giải hệ phương trình: .
Điều kiện: x+y>0, x-y>0
Đặt: ta có hệ:
. Thế (1) vào (2) ta có:
.
Kết hợp (1) ta có: (vì u>v). Từ đó ta có: x =2; y =2.(T/m)
KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2).
Bµi 48 Tìm m để hệ phương trình: có nghiệm
thực
2/.
Điều kiện:
Đặt t = x + 1 t[0; 2]; ta có (1) t3 3t2 = y3 3y2.
Hàm số f(u) = u3 3u2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên:
(1) t = y y = x + 1 (2)
Đặt v[0; 1] (2) v2 + 2v 1 = m.
Hàm số g(v) = v2 + 2v 1 đạt
Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 m 2
Bµi 49 Giải hệ phương trình
ĐK :
hệ đưa hệ về dạng
Từ đó ta có nghiệm của hệ
(-1 ;-1),(1 ;1), ( ), ( )
Bµi 49 Giải hệ phương trình:
Dễ thấy (4) vô nghiệm vì x+y>0 Thế (3) vào (2) ta được
Giải hệ ……
Bµi 50: . Giải hệ phương trình:
Gi¶i
Bµi 51: Giải hệ phương trình
Gi¶iĐK :
hệ đưa hệ về dạng
Từ đó ta có nghiệm của hệ
(-1 ;-1),(1 ;1), ( ), ( )
Bµi 52 . Giải hệ phương trình
Gi¶i
ĐK:
Hệ phương trình
(do )
Giải (1):
Với x = 0 thay vao (2) ta được y = 0
Với thay vao (2) ta được y =
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là ,y =
Bµi 54 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh , víi Èn .
Gi¶i
§K x ≠ 1; y ≠ -1. Quy ®ång ®a vÒ hÖ
(rót ®îc y = 3 - x)
; VËy nghiÖm cña hÖ lµ
Bµi 55: Giải hệ phương trình sau:
Gi¶i ĐK: x + y 0
Ta có hệ
Đặt u = x + y + ( ) ; v = x – y ta được hệ :
Giải hệ ta được u = 2, v = 1 do ( )
Từ đó giải hệ
Bµi 56: Giải hệ phương trình: ( )
Gi¶i
Bµi 57: Giải hệ phương trình :
+) ĐK:
+)
+) Đặt
+) Với x = y, kết hợp (1) ta được x = y = 1 (loại) và x = y = 3 (nhận).+) Với x = y-2, kết hợp với (1) ta được y2 = 1 (loại), y = - 4 (loại)Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x = y =3.
Bµi 58: Cho hệ phương trình :
Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt (x1;y1);(x2;y2);(x3;y3) sao cho x1;x2;x3 lập thành cấp số cộng .Đồng thời có hai số xi thỏa mãn > 1Gi¶i
Trước hết phải có 2 nghiệm pbiệt x1 ; x2
Có thể xảy ra ba trường hợp sau đây theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
+Trường hợp 1 : ; x1 ; x2
+Trường hợp 2 : x1 ; x2 ;
+Trường hợp 3 : x1 ; ; x2
Xét thấy Trường hợp 1 ;2 không thỏa mãn. Trường hợp 3 ta có
đúng với mọi m >
Đồng thời có hai số xi thỏa mãn > 1 ta cần có thêm điều kiện sau
Đáp số : m > 3
Bµi 58 Giải hệ phương trình.
Đặt : t = x + y ; ĐK: t
Giải PT:
Hệ đã cho trở thành
Vậy hệ dã cho có một nghiệm
Bµi 59: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
Bµi 60: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
Gi¶i
61 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
Gi¶i §K:
ThÕ (2) vµo (1) ta cã:
Bµi 63: Giải hệ phương trình:
Dễ thấy (4) vô nghiệm vì x+y>0 Thế (3) vào (2) ta được
Giải hệ ……
Bµi66:
Giải hệ phương trình
ĐK:
Hệ phương trình
(do )
Giải (1):
Với x = 0 thay vao (2) ta được y = 0
Với thay vao (2) ta được y =
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là ,y =
Bµi 68: Tìm m để hệ phương trình: có nghiệm
thực.
2/.
Điều kiện:
Đặt t = x + 1 t[0; 2]; ta có (1) t3 3t2 = y3 3y2.
Hàm số f(u) = u3 3u2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên:
(1) y = y y = x + 1 (2)
Đặt v[0; 1] (2) v2 + 2v 1 = m.
Hàm số g(v) = v2 + 2v 1 đạt
Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 m 2
Bµi69: Giải hệ phương trình: .
Điều kiện: x+y>0, x-y>0
Đặt: ta có hệ:
. Thế (1) vào (2) ta có:
.
Kết hợp (1) ta có: (vì u>v). Từ đó ta có: x =2; y =2.(T/m)
KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2).
Bµi 70:Giải hệ phương trình:
Bµi 71:) Giải hệ phương trình: .
Dễ thấy , ta có:
Đặt ta có hệ:
+) Với ta có hệ: .
+) Với ta có hệ: , hệ này vô
nghiệm.KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:
Bµi 72Giải hệ phương trình
+ Điều kiện: .
+ Ta có:
+ Đặt thì (1) trở thành:
Với ta có: Thế vào (2) ta có:
. Suy ra: .
+ Kiểm tra thấy chỉ có thoả mãn điều kiện trên.Vậy hệ có nghiệm duy nhất .
Bµi 73 Giải hệ phương trình .
Giải.
Hệ phương trình xác định khi .
Đặt . Khi đó phương trình thứ nhất trở thành
.
Từ cách đặt ta có .
Khi đó phương trình thứ hai trở thành
, do nên .
.
Bµi 74:Giải hệ phương trình : (x, y R).
(1) hay (loại) 2x + y = 1 y = 1 – 2x (3)Thay (3) vào (2) ta có: x2 – 2x(1 – 2x) – (1 – 2x)2 = 2
x2 + 2x – 3 = 0 x = 1 hay x = -3Khi x = 1 thì y = -1; khi x = -3 thì y = 7
Vậy nghiệm của hệ phương trình là hay
Recommended