Gi i thi u mn h cTn mn h c: PH NG PHP TNH (Computation Methods)
GI I TCH S (Numerical Analysis) Th i gian: 33 ti t Cc ph n lin
quan: Ton cao c p Ph n m m tnh ton: Matlab, Maple
Ch
ng trnh: G m 5 ch
ng
0. Gi i thi u v sai s 1. Gi i g n ng ph ng trnh 2. Gi i g n ng h
ph ng trnh Ax ! B 3. N i suy, ph ng php bnh ph ng t i thi u 4. Tnh
g n ng tch phn xc nh 5. Gi i g n ng ph ng trnh vi phn
Ch ng 2: Gi i g n ng h Ph ng trnh
Gi i b ng ph
ng php kh Gauss
Gi i b ng ph ng php nhn t LU, Ph ng php c n b c hai (Cholesky)
Gi i b ng ph Gi i b ng ph Gi i b ng ph ng php l p n
ng php Gauss-Seidel ng php Jacobi
I. Gi i b ng ph ng php kh Gauss1. tv nng trnh tuy n tnh n n Ax !
b Cho h ph Trong A ! aij l ma tr n c p n v n, x ! x j l ma tr n c p
nx1, b ! bi l ma tr n c p nv1 gi thi t r ng h ng A ! n Trong i s
tuy n tnh, chng ta bi t cc ph ng php gi i chnh xc. Tuy nhin chng ta
th y r ng m c ph c t p tnh ton c a m i ph ng php l kh l n.
Ch ng h n, n u s d ng ph ng php Crame, n u ma tr n A khng suy bi
n, c c nghi m c a h ta th c hi n tnh ton theo cng th c
xj !
Dj D
, j ! 1,2,..., n
Trong D l nh th c c a ma tr n A , D j l nh th c c a ma tr n A
sau khi thay c t j b i c t b. c x j j ! 1,2,3,..., n ta c n tnh n 1
nh th c, m i nh th c c n! s h ng, m i s h ng c n n 1 php nhn. Nh v
y chng ta c n t t c n 1n 1n! php nhn (ch a ni n php chia v php c
ng, tr )
N un ! 20 , v i my tnh t c 10^5 php nhn trong m t giy, trong tnh
hu ng x u nh t ph i m t 3 x 10^8 n m m i tm c nghi m N u s d ng ph
ng php Gauss trong tnh hu ng x u nh t ta ph i tnh s php nhn v chia
l
n 2 N ! (n 6n 1) 3Ta xt cc ph ng php gi i h ph ng trnh cho v i
cc php tnh n gi n, thu n l i h n
2.Ph
ng php
Tr c khi trnh by ph ng php Gauss, chng ta xt m t s tr ng h p n
gi n khi ma tr n h s Ac a h ph ng trnh c d ng c bi t.
Tr ng h p n gi n nh t l tr ng h p h ph c ma tr n h s c d ng ng
cho: a11 0 A! ... 0 0 a22 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... ann
ng trnh
Khi y h t ng ng v i n ph ng trnh b c nh t aii xi ! bi , i ! 1, n
V det A ! a11a22 ....ann { 0 nn aii { 0, i . V do nghi m c a h c th
c vi t d i d ng
bi xi ! , i ! 1,2,3,..., n aii
Tr
ng h p th hai khi ma tr n h s A c d ng tam gic trn: a11 a12 0
a22 A! ... ... 0 0 ... ... ... ... a1n a2 n ... ann
V det A { 0 nn aii { 0, i ! 1, n Do ta c cng th c nghi mbn xn !
ann n 1 ! xk bk akj x j , k ! n 1,.....,1 akk j ! k 1
Cu i cng khi ma tr n h s A c d ng tam gic d a11 a21 A! ... an1 0
a22 ... an 2 ... 0 ... 0 ... ... ... ann
i:
T ng t det A { 0 aii { 0, i ! 1, n v nghi m c a h c d ng:b1 x1 !
a11 k 1 1 ! xk bk akj x j , k ! 1, 2,..., n akk j !1
By gi chng ta s trnh by ph ng php Gauss gi i h ph ng trnh t ng
qut. Ta s d ng cc php bi n i s c p theo hng chuy n v m t h ph ng
trnh m i t ng ng v i h ph ng trnh c m ma tr n h s c d ng tam gic.
Cc php bi n i th ng dng l:Nhn m t hng cho m t s khc khng. Hon chuy
n hai hng cho nhau. C ng m t hng cho m t hng khc nhn v i m t s khc
khng.
Xt h ph
ng trnh sau:
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn ! b1 x a x .... a x ! b a 21 1 22 2 2n
n 2 .. an1 x1 an 2 x2 ... ann xn ! bn
Do nh th c c a ma tr n h s A khc khng nn m t trong cc s a11 ,
a21 ,..., an1 ph i khc khng. Gi s a11 { 0 l y pt th k v i k ! 2, n
tr cho m t pt nhn v i ak 1 a11 ta c m t h m i c d ng:
a 11 x1 a12 x2 ... a1n xn 1 a22 x2 ... a2 n xn 1 1 an 2 x2 ...
ann xn 1 1
! b1 ! b2 ... ! bn1 1
Trong a22 ,..., an 2 ph i c m t s khc khng, v 1 a22 { 0 n u ng c
l i th d et A ! 0 tri v i gi thi t. Gi s 1 1 cn n u ch c a p 2 { 0
v a22 ! 0 th ta th c hi n php hon chuy n hai ph ng trnh th 2 v th
p. ti p t c bi n i cho n 2 ph ng trnh cu i. V c ti p t c cho n ph
ng trnh th n, ta ch ph ng trnh sau
a 11 x1 a12 x2 ... a1n xn 1 1 a22 x2 ... a2 n xn n 1 ann xn
! b1 ! b2 ... ! bnn 1 1
y l h ph ng trnh c ma tr n h s c d ng tam gic trn v c th gi i c
b ng cng th c.
V d 1: x 1 2 x2 x3 ! 18.0 2 x1 4.1x2 4 x3 ! 56.2 x 6.1x 5.01x !
74.3 3 2 3 1Ta nhn hng m t v i -2 r i c ng vo hng 2 v hng 3, ta c h
ph ng trnh:
x 1 2 x2 x3 ! 18.0 0 0.1x2 2 x 3 ! 20.2 0.1x 2.01x ! 20.3 0 2
3
Nhn hng th hai v i -1 r i c ng vo hng th 3 ta c h ph ng
trnh:
x 1 2 x2 x3 ! 18.0 0 0.1x2 2 x3 ! 20.2 0 0.01x ! 0.1 0 3 T ta c
nghi m:
x 1 ! 4 x2 ! 2 ! 10 x 3
V d 2: xt h ph sau
ng trnh
i s tuy n tnh
x1 x2 2 x3 x4 ! 8 x 2 x 3 x 3x ! 20 2 1 2 3 4 x1 x2 x3 ! 2 x1 x2
4 x3 3 x4 ! 4 1 0 2 A ! 1 1 1 2 1 8 2 3 3 20 1 1 0 2 1 4 3 4
Ma tr n h s m r ng c d ng:
Ta th c hi n php bi n i sau h2 ! h2 2h1 , h3 ! h3 h1 , h4 ! h4
h1 khi ma tr n tr thnh1 1 0 A ! 0 0 1 0 2 0 2 1 1 2 1 1 1 4 8 4 6
12
1 Ph n t a22 ! 0 do ti p t c, ta th c hi n php chuy n i gi a hng
th hai v hng th ba ta thu c: 1 1 2 1 8
2 0 2 A ! 0 0 0 0
1 1 6 1 1 4 2 4 12
Cu i cng l y hng th t c ng cho hai l n hng th ba ta c1 3 0 A ! 0
0 1 2 0 0 2 1 1 0 1 1 1 2 8 6 4 4
S d ng cng thc ta
c nghi m x ! ?7,3,2,2A
T
1 a22 ! 0 Ch : Trong v d trn, b c th hai ta c nn ta ph i hon
chuy n hai hng th hai v th ba. trnh tr ng h p ny, t i m i b c khi
chon ph n t bi n i ta s ch n ph n t c gi tr tuy t i l n nh t v khng
cng hng hay c t v i nh ng ph n t ch n tr c (th ng c g i l ph n t
chnh hay ph n t tr i). Sau ta bi n i t t c cc ph n t trn cng c t v
i ph n t tr i b ng khng
Ta minh ho ch trn b ng v d sau:
V d 3: xt ma tr n trong v d trn c ma tr n h s m r ng:1 0 2 A ! 1
1 1 2 1 1 2 3 1 4 1 3 0 3 8 20 2 4
u tin ta ch n ph n t chnh l ph n t a43 ! 4 v th c hi n cc php bi
n i 4h3 h4 , 4h2 3h4 , 2h1 h4 ta thu c:1 5 1 A ! 3 1 1 5 5 1 0 0 0
4 5 21 3 3 20 92 12 4
0
Ph n t hai, th th c hi thu
chnh c ch n khng c n m trn hng th 1 t v c t th ba, do ph n t
chnh l a24 ! 21 n php bi n i 21h1 5h2 , 7h3 2h2 , 7h4 h2 c 4 2 5 A
! 16 12 4 40 5 0 21 92 40 0 0 8 12 28 0 64 0 0
Ph n t chnh khng cng n m trn hng v c t c a 3 a11 ! 56 nh ng ph n
t chnh chon tr c l ph n t th c hi n php bi n i h2 h1 , 7h3 2h1 , h4
3h1 ta c ma tr n cu i cng 56 3 0 A ! 0 0 0 392 168 336 280 0 0 840
0 280 0 560 0 0 0 0
T
y ta suy ra
c x ! ?7,3,2,2A
T
Nh n xt: cc ph ng php c s d ng cc php bi n i s c p c: u i m: n
gi n, d l p trnh. Nh c i m: n u ph n t c ch n bi n i g n v khng th
c th k t qu khng chnh xc, v n ph i g p sai s lm trn. Do ph ng php
Gauss v n c coi l ph ng php g n ng.
II. Ph ng php nhn t LU (phn r ma tr n) v ph ng php c n b c hai
(Cholesky)1.Ph ng php phn r ma tr n (nhn t LU)a.N i dung
gi i h n ph ng trnh n n Ax ! b (ma tr n A vung) ng i ta phn tch
A thnh hai ma tr nA ! LU (trong L l ma tr n tam gic d i, U l ma tr
n tam gic trn). V a v gi i hai h tam gic Ly ! b,Ux ! y .Ph ng php
ny c g i l ph ng php phn r ma tr n.
b.Ph
ng php
Gi s :l11 l 21 L! ... ln1 0 0 l22 0 ... ... ln 2 ln 3 ... 0 u11
0 ... 0 U ! 0 ... ... ... lnn 0 u12 u13 ... u1n u22 u23 ... u2 n 0
u33 ... ... 0 0 ... unn
Ta quy
c u11 ! u22 ! ... ! unn ! 1
Nhn L v i U v ng nh t v i A , ta xc nh c cc ph n t v, sau gi i
hai h tam gic, k t qu l:
li1 ! ai1 , lij ! aij lij .ukj (i u j " 1),k !1
j 1
u1j ! a1 j / l11 , uij ! (aij lik .ukj ) / lii (1 ik !1
i 1
j ),
y1 ! b1 / l11 , y1 ! (bi lik . yk ) / lii (1 i ),k 1
i 1
xn ! yn , xi ! yi
uk !i 1
n
ik
.xk (i n)
V d 4:Phn r ma tr n A thnh d ng LU
2 2 3 A ! 6 7 14 4 8 30 p d ng cng th c ta c:
1 0 0 2 2 3 3 1 0 U ! 0 1 5 L! 2 4 1 0 0 4
V d 5:Phn r ma tr n A thnh d ng ma tr n LU
1 1 2 A ! 1 5 4 2 4 a p d ng cng th c ta c:
1 0 0 1 1 2 1 1 0 U ! 0 4 L! 6 2 3 / 2 1 0 0 a 13
2. Ph ng php c n b c hai (Ph php Cholesky)
ng
a.N i dung V i ma tr n A i x ng xc nh d ng, ta bi u di n ma tr n
d i d ng A ! C.C T trong C l ma tr n tam gic d i ( C T l ma tr n
chuy n v c a A,l ma tr n tam gic trn)
b.Ph
ng php Cch tm C t ng t nh ph ng php LU nh ng s php tnh gi m i 2
l n (ch tnh U ho c L )Ph ng php Cholesky khng i h i cho c a ma tr n
C b ng 1 ng
Khi l y c n b c 2 quy h c (c n l s d ng) Cng th c xc
c r ng l y c n s
nh C v nghi m c a h nh sau:
c11 ! a11 , ci1 ! a i1 / c11 , cii ! aii cik .ckik !1
i 1
(1 i e n)
... cij ! (aij cik ckj ) / c jjk !1 i 1 j 1
(j
i e n) (1 l ) n)
y1 ! b1 / c11 , yi ! (bi cik . yk ) / ciik !1
xn ! yn / cnn , xi ! ( yi
ck !i 1
n
ik
xk ) / cii (i
V d 6:Phn r ma tr n A b ng ph ng php c n b c hai
1 1 1 A ! 1 5 5 1 5 14 p d ng cng th c ta c:
1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 0 0 2 2 ! 1 5 5 1 2 3 0 0 3 1 5 14 C
CT
V d 7: Phn r ma tr n A b ng ph b c hai 2 1 0 A ! 1 2 1 0 1 2
ng php c n
p d ng cng th c ta
c
2 0 0 C ! 1/ 2 6/2 0 0 6 /3 2/ 3
V d 8: Cho ma tr n A tm m ma tr n A phn tch c d i d ng c n b c
hai
2 1 1 A ! 1 2 1 1 1 m
Gi i: ma tr n A phn tch hai th A ph i l ma tr n T c l: c d i d
ng c n b c i x ng xc nh d ng
2 1 1 2
1 1 "0
1 1 m 2 m" 3
Nh n xt: tnh c cc ma tr n LU th i u ki n A l ma tr n c cc nh th
c con chnh gc khc 0. Trong ph ng php c n b c hai th A ph i l ma tr
n i x ng xc nh d ng.
III.PhCho h ph
ng php l png trnh:
n
Ax ! bB ng cch no ta t ng ng a h trn v h
x ! Cx Ey C ! cij
nxn
, E ! Ei n x 1
Ch ng h n, t Ax ! b ta c
x ! Ax x b ! ( A E ) x b ! Cx EV iC ! A E , E n! b, E l ma tr n
n v c p n x n. ho c t ph ng trnh aij x j ! bi v i aii { 0 ta cj
!1
aij bi xi ! xj aii j {i aii
Thng th th c l p:
ng ch n ban
u x0 ! E
v p d ng cng
xk ! Cxk 1 E
1.Chu n c a vector v chu n c a ma tr nTrong i s tuy n tnh ta bi
t chu n c a ma nxn tr n A R t ng thch v i chu n c a vector trong R
n c xc nh b i h th cA ! supx{0
Ax x
! sup Axx{0
Trong khng gian R n ta th ng dng m t trong 3 chu n thng d ng
sau: x g ! max xi ;1e i e n n
x 1 ! xi ;i !1
2 x 2 ! xi i !1 n
12
Khi cc chu n tA g ! max aij1e i e n j !1 n
ng thch c a ma tr n A s l
A 1 ! max aij ;1e j e n i !1
n
A 2 ! max Pi ( AT A)1e i e n
Pi AT A l cc gi tr ring c a Trong
ma tr n
i x ng xc
nh khng m A A
T
2.S h i tnh l: N u C1 . Khi m i dy l p:
xk ! Cxk 1 E , k u 1
xo R n b t k cho tr c, Trong nghi m duy nh t c a h ph
uh it t i ng trnh.
3.Sai s c a phnh l: V iphC
ng php l pC 1 Ck
n
1, x* l nghi m ng c a h
ng trnh th th:x xk e x xk* *
xk xk 1 x1 x0
C e1 C
N u ch n x0 ! E th
x xk
*
C e
k 1
1 C
E
4. i m d ng c a ph*
ng php l p
n
c xk x p x nghi m x v i sai s cho tr c, theo chu n ch n, th s b
c l p k c n th c hi n ph i tho mn b t ng th cx xk e*
C 1 C
xk xk 1 e I
T c l
xk xk 1 e
1 C C
I
c bi t khi C e 1 2 th ch c n N u ch n x0 ! E th
xk xk 1 e I
I C 1 C : ln C 1 E e I k u ln 1 C E Ck 1
V d 9: cho h ph ng trnh4 x1 0.24 x2 0.08 x3 ! 8 0.09 x1 3 x2
0.15 x3 ! 9 x 0.08 x 4 x ! 20 0.04 1 2 3 a) N u gi i h cho b ng ph
ng php l p n v i chnh xc I ! 103 th s b c l p t i thi u l bao
nhiu?b) Tm nghi m g n ng c a h ph I ! 102 chnh xc ng trnh v i
c) N u ch th c hi n ch n nghi m g n ng v i 2 b c l p th sai s l
ban nhiu?
Gi i: Ta
ch t
ng ng: x 1 ! 2 0.06 x2 0.02 x3 x2 ! 3 0.03x1 0.02 x3 ! 5 0.01x
0.02 x x 3 1 3
y
2 0 0.06 0.02 E ! 3 C ! 0.03 0 0.02 5 0.01 0.02 0
Ch n
2 x0 ! E ! 3 5 .g
C g ! 0.08 1 2, C g ! 0.08 1 2.Ta th c hi n theo chu n
a) Gi i b t ph
ng trnh bi n k nguyn
CTa c
k 1 g g
1 Ck 1
E g e I , E g ! 5, I ! 10
3
0.08
1 0.08
.5 e 103k
0.92 3 0.08 e .10 ! 0.0023 5.0.08 k .ln 0.08 e ln 0.0023 k u ln
0.023 / ln 0.08 1 ! 3 T y ta c k u 3 .V y s b c t i thi u l k=3
b) L p b ng k 0 1 2 3
x1
k
x2
k
x3
3
xk xk 1 g0,190 0,011 0,001=
2,000 1,920 1,909 1,909
3,000 3,190 3,194 3,195
5,000 5,040 5,045 5,045
V y nghi m g n ng l x } x3 ! 1,909; 3,195; 5,045 }
1,91;3,20;5,05
N u ch n nghi m
x } x2 ! 1,909; 3,194; 5,045 Th sai s c a ph ng php s l
x x2 e
C 1 C
x2 x1
0,08 e 0,011 } 0,001 1 0,08K t qu ny cho th y n u ch quan tm n
sai s ph ng php th c nghi m g n ng cu b) th ch c n 2 b c l p
IV.Ph1.N i dungTh c hi n php bi n h t ng ng
ng php Seideli nh trn ah v
x ! Cx EPhn tch ma tr n C thnh t ng hai ma tr n Trong
C ! C C ! cij I II
0 0 ... c 0 ... I 21 C ! ... ... ... cn1 cn2 ...
0 0 II C ... 0
c11 c12 0 c 22 ! ... ... 0 0
... c1n ... c2n ... ... ... cnn
p d ng cng th c l p Seidel Hay l:xk ! C I xk C II xk 1 Ei 1
xi ! cij x j cij x jj !1 j !1
k
k
n
k 1
Ei
Nh v y so v i ph ng php l p n th ph ng php Seidel h p l h n ch
cc thnh ph n x kj j ! 1,..., i 1 v a tnh c c huy ng ngay tnh thnh
ph n xik 1
2. S h i tnh l: ph ng php Seidel h i t n u Cg
1
3.Sai s c a phnh l: v iCg
ng phpth e1 tg
qu trnh l p ta cF e xk xk 1 1 Fg
x xk
F ! max
n
cij
1 cijj !1
j !1 i 1
4. i m d ng c a qu trnh l pT nh l nu trn cho th y mu n c nghi m
g n ng xk v i chnh xc cho tr c th b c l p k ph i tho mn T c lF x xk
g e xk xk 1 g e I 1 F
xk xk 1 e
I 1 F F
Ch : Trn th c t , ni chung v i cc bi ton n gi n, k ch c n tho mn
i u ki n
xk xk 1 g e I
u i m c a ph ng php Seidel so v i ph ng php l p n?
Ph ng php Seidel h i t t t h n ph T c h i t nhanh h n.
ng php l p
n,
Ph ng php Seidel ti t ki m b nh v cc thnh ph n v a tnh c c s d
ng ngay tnh thnh ph n ti p theo.
V d 10: Gi i h ph ng trnh sau y b ng ph ng php Seidel v i chnh
xc I ! 10210 x1 x2 x3 ! 12 2 x1 10 x2 x3 ! 13 x 2 x 10 x ! 14 2 2 3
1
Ta
c h t ng ng x 1 ! 1,2 x2 0,1x2 0,1x3 x 2 ! 1,3 0,2 x1 0,1x3 x !
1,4 0,2 x 0,2 x 1 2 3
Ma tr n C
0,1 0,1 0 0,1 , C ! 0, 2 0 0, 2 0, 2 0
C
g
! 0, 4 e 1
2
0 0 I C ! 0,2 0 0,2 0,2 Ta c b ng kk
0 0 0,1 0,1 C II ! 0 0 0,1 0 0 0 0 0 k k
x1
x2
x3
1,200 1,300 1,400 0 0,930 0,974 1,019 1 1,001 0,998 1,000 3
1,000 1,000 1,000 4 V y nghi m c a h l x } x4 ! 1,000;1,000;1,000
(Nghi m ng c a h l x1 ! x2 ! x3 ! 1 )
V. PhXt h ph
ng php Jacobi
ng trnh
Ax ! bTrong gi i thi t ma tr n A ! aij n x n tho mn aii { 0, i !
1,2,3,..., n nh ngh a: Ma tr n A ! aij c g i l ma tr n nxn cho tr i
n u tho mn m nt trong hai i u ki n sauT 1) aii "
n
aij aij
j !1, j { i
T 2) aij "
i !1, i { j
Ta tm cch xc nh nghi m g n ng c a h tho mn cc i u ki n cho. Ta
xt t ng tr ng h p Tr ng h p T 1)
aii "C ! cij
j !1, j { i
n
aij
Ta c ma tr n
0, i ! j cij ! aij , i{ j a iin ho c cng
T y p d ng cng th c l p th c Seidel tm nghi m
Tr
ng h p T2) aij " t zi ! bi
i !1, i { j
n
aij
j !1, j { i
n
aij x j ta c
ch
z ! Cz F
0, i ! j Trong F ! b, a C ! cij , cij ! ij , i{ j a jj
p d ng cng th c l p ng gi tr c a z
n ho c Seidel
tm g n
Tnh x ! x j theo cng th c x j !
zj a jj
V d 11: gi i h ph ng trnh sau b ng ph Jacobi sau 4 b c l p10 x1
x2 x3 ! 12 2 x1 10 x2 x3 ! 13 x 2 x 10 x ! 14 2 2 3 1
ng php
H
cho tho mn c hai i u ki n T1), T2)
Trong tr ng h p T1), ta xt v d tr c, b ng cch chia c t 1,2,3 l n
l t cho 10 ta c
x1 0,1x2 0,1x2 ! 12 0,2 x1 x2 0,1x3 ! 13 x 0,2 x x ! 14 0,2 2 3
1
Ta c ma tr n
0 0,1 0,1 C ! 0,2 0 0,1 0,2 0,2 0 zk ! Czk 1 b
p d ng cng th c Ch n z0 ! b ta c 9,3 9,2 9,0 10,18 9,34
10,00
1 0,1 12 12 0 z1 ! Cz0 b ! 0,2 0 0,1 13 13 ! 0,2 0,2 0 14 14 0
0,1 0,2 12 12 z2 ! Cz1 b ! 0,2 0 0,1 13 13 ! 0,2 0,2 0 14 14
0 z3 ! Cz2 b ! 0,2 0,2 0 z4 ! Cz3 b ! 0,2 0,2
0,1 0,1 10,18 12 10,066 0 0,1 9,34 13 ! 9,964 0,2 0 10,00 14
10,096 0,1 0,1 10,066 12 9,994 0 0,1 9,964 13 ! 9,977 0,2 0 10,096
14 9,994
Th c hi n 4 b
c l p th c nghi m g n ng
p d ng cng th c cho ta
z ! 9,994; 9,977; 9,994
x1 ! z1 / a11 ! 9,994 / 10 ! 0,9994 } 1,000 x2 ! z2 / a22 !
9,977 / 10 ! 0,9977 } 1,000 x3 ! z3 / a33 ! 9,994 / 10 ! 0,9994 }
1,000
Nghi m g n ng cu h ph ng trnh l X ! 1,00;1,00;1,00
Gi i h ph
ng trnh tuy n tnh
Ph ng php kh Gauss Tam gic trn, d i Bi n i Theo hng
Ph ng php nhn t LU
Ph ng php L p n
Ph ng php Seidel
Ph ng php Jacobi
Ph ng php c n b c hai
Chu n ma tr n
nh gi sai s
S b c l p T i thi u
Bi t p luy n t pBi 1: Phn r cc ma tr n sau thnh nhn t LU 4 1 2 a
4 5 1 8 12 9 1 2 2 1 1 b 1 2 1 c 2 2 1 4 2 1 3 2 2 1 4 1 2 2 2 1
1
Bi 2: s d ng ph ng php nhn t LU gi i cc h ph ng trnh sau
a
2 x1 5 x2 4 x3 ! 1 3x1 3x2 9 x3 ! 0 x 6 x 5 x ! 4 3 2 3 1
b c
2.2 x1 0.3 x2 0.2 x2 ! 1.5 0.3 x1 3.4 x2 0.2 x3 ! 2.4 x 0.2 x
4.1x ! 3.2 0.2 1 2 2 x2 x2 ! 1 x1 2 x2 x2 ! 0 x x ! 1 x 2 2 1 x1 x2
x3 x4 ! 1 x 4 x 3x ! 2 x 1 2 3 4 2 x1 x2 2 x3 4 x4 ! 3 x1 x2 23 3
x4 ! 2 2
d
Bi 3: S d ng ph ng php Cholesky gi i cc h sau 2 x1 x2 ! 2
a
x1 2 x2 ! 1 x 2x ! 2 3 2
b
x1 3x2 2 x3 ! 1 3x1 4 x2 2 x3 ! 4 2x 2x x ! 3 2 3 1
c
4 x1 x2 x3 x4 ! 1 x 3 x x x ! 0 1 2 3 4 x1 x2 2 x3 ! 1 x1 x2 2
x4 ! 2
Bi 4: cho h ph ng trnh2 x1 5 x2 x3 ! 1 5 x1 x2 x3 ! 3 2 x 10 x !
0 x 2 3 1
a) N u gi i h cho b ng ph ng php l p (ch n x0 ! E v i chnh xc I
! 104 th s b c l p t i thi u l bao nhiu? b) Gi i h b ng ph ng php l
p, chnh xc I ! 103 c l p. c) Gi i h cho b ng ph ng php l p v i 3 b
nh gi sai s c a ph ng php. d) Gi i h b ng ph ng php Seidel,
chnh xc I ! 10 3
Bi 5: c ng h i nh bi 4, nh ng v i h ph sau y P x1 x2 x3 ! P 2 x1
P x2 x3 ! 2P x 2 x P x ! 3P 2 2 3 1
ng trnh
Th thay cc gi tr P khc nhau h khc nhau v gi i
c cc
Thnh vin nhm 31. Hong V n Phung 2. Rmah Hrin 3. Hong Th Bch Ng c
4. on Phan Xun Th 5. V Th M Trm 6. Nguy n Tr n Long Ho
Nhm 3 chn thnh c m n s theo di c a cc b n!
Chc cc b n thnh cng!
