Http://. 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de...

http://www.licimep.org/calculo.htm

1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto.

2. Calcular, en caso de que exista, el límite de una función mediante la aplicación de reglas y procedimientos algebraicos.

3. Comprender la noción de límites laterales (de una función en un punto) y su relación con el concepto de límite (de una función).

4. Determinar la existencia o la no existencia del límite de una función, vía la existencia y la comparación de los límites laterales.

5. Comprender la noción de límites infinitos de una función.

6. Determinar los limites infinitos de una función, mediante la aplicación de reglas y procedimientos algebraicos.

7. Comprender la noción de asíntota vertical de una función.

8. Calcular las asíntotas verticales de una función.

9. Comprender la noción de límites en infinito de una función.

10. Determinar los límites en infinito de una función, mediante la aplicación de reglas y procedimientos algebraicos.

11. Comprender la noción de asíntota horizontal de una función.

12. Calcular las asíntotas horizontales de una función.

13. Bosquejar la gráfica de una función considerando su comportamiento asintótico.

14. Determinar el límite de una función de ciertos puntos a partir de su gráfica.

3.1 Introducción

3.2 El álgebra de los límites

3.3 Los límites laterales

3.4 Los límites infinitos

3.5 Los límites en el infinito

Explicar el concepto de límite

1, 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8,

9, 10, 11, ....

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,

21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30,

31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40,

41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50,

51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60,...

1, 4, 9, 16,

25, 36, 49, 64,

81, 100, ....

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169,

196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529,

576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089,

1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681,

1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401,

2500, 2601, 2704, 2809, 2916, 3025, 3136, 3249,

3364, 3481, 3600,....

1, 1/2, 1/3, 1/4,

1/5, 1/6, 1/7, 1/8,

1/9, 1/10, .......

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10,

1/11, 1/12, 1/13, 1/14, 1/15, 1/16, 1/17, 1/18,

1/19, 1/20, 1/21, 1/22, 1/23, 1/24, 1/25, 1/26,

1/27, 1/28, 1/29, 1/30, 1/31, 1/32, 1/33, 1/34,

1/35, 1/36, 1/37, 1/38, 1/39, 1/40, 1/41, 1/42,

1/43, 1/44, 1/45, 1/46, 1/47, 1/48, 1/49, 1/50,

1/51, 1/52, 1/53, 1/54, 1/55, 1/56, 1/57, 1/58,

1/59, 1/60, ...

Los números primos

Los cubos de los números naturales

Los dígitos del número irracional

Los números de Fibonaci

Una sucesión es un conjunto de números

reales , , ,..., ,...

con un orden definido (por ejemplo, en

correspondencia con los números enteros)

y formados o calculados de acuerdo con

una regla espe

iu u u u

cífica y bien definida.

Una sucesión de números reales

es una función cuyo dominio

son los números naturales

y su contradominio son los reales.

1 2 3Una sucesión es un conjunto de números , , ,..., ,...

con un orden definido (por ejemplo, en correspondencia

con los números enteros) y formados o calculados de acuerdo

a una regla específica y bien

iu u u u

definida.

* Cada uno de los números de la sucesión se

llama término

* El número es llamado el término esimo

* La sucesión puede ser finita o infinita

* Por brevedad, muchas veces se le designa

......

123 123

......

50 2,500

......

625 390,625

......

2 1 / 2

3 1 / 3

4 1 / 4

......

60 1 / 60 0.0167

......

1,625 1 / 1,625 0.0006

......

1 2.00

2 1.41

3 1.26

4 1.19

........

15 1.047

........

67 1.010

........

2.00, 1.41, 1.26, 1.19, 1.15, 1.12, 1.10,

1.09, 1.08, 1.07, 1.07, 1.06, 1.05, 1.05,

1.05, 1.04, 1.04, 1.04, 1.04, 1.04, 1.03,

1.03, 1.03, 1.03, 1.03, 1.03, 1.03, 1.03,

1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02,

1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.01, 1.01, 1.01,

1.01, 1.01, 1.01, 1.01, 1.01, 1.01, 1.01,

1.01, 1.01, 1.01, 1.01

Normalmente hay una regla de asociación:

Una sucesión es un conjunto de números

reales , , ,..., ,...

con un orden definido (por ejemplo, en

correspondencia con los números enteros)

y formados o calculados de acuerdo con

una regla espe

iu u u u

cífica y bien definida.

Una sucesión de números reales

es una función cuyo dominio

son los números naturales

y su contradiminio son los reales.

n n2,345 2,345

.......

897,562 897,562

.......

2,749,876,439,320,870 2,749,876,439,320,870

........

2,345 2,345

.......

897,562 897,562

.......

2,749,876,439,320,870 2,749,876,439,320,870

........

2n n327 106,929

.......

31,978 1,022,592,484

.......

3,213,894 10,329,114,643,236

........

2lim n 327 106,929

.......

31,978 1,022,592,484

.......

3,213,894 10,329,114,643,236

........

La sucesión se va a infinito

si después de un cierto término,

los siguientes términos se hacen

arbitrariamente grandes.

Por ejemplo, en la sucesión ,

si ustedes me dicen un número

muy grande, digamos 10 millones,

tomando el término 10 millones

más 1 les ganó.

Si me dicen mil millones,

tomo el término mil millones

más 1 y de nuevo les ganó.

Y así sucesivamente....

¿Pero cómo podemos precisar

matemáticamente esto que

estamos diciendo?

Se escribe

cuando dado , 0,

existe tal que

siempre que

Veamos ahora otras sucesiones …….

-1, -8, -27, -64, -125, -216, -343, -512, -729, -1000, -1331, -1728, -2197, -2744, -3375, -4096, -4913, -5832, -6859, -8000

Se escribe

cuando dado , 0,

existe tal que

siempre que

1, 1/2, 1/3, 1/4,

1/5, 1/6, 1/7, 1/8,

1/9, 1/10, .......

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10,

1/11, 1/12, 1/13, 1/14, 1/15, 1/16, 1/17, 1/18,

1/19, 1/20, 1/21, 1/22, 1/23, 1/24, 1/25, 1/26,

1/27, 1/28, 1/29, 1/30, 1/31, 1/32, 1/33, 1/34,

1/35, 1/36, 1/37, 1/38, 1/39, 1/40, 1/41, 1/42,

1/43, 1/44, 1/45, 1/46, 1/47, 1/48, 1/49, 1/50,

1/51, 1/52, 1/53, 1/54, 1/55, 1/56, 1/57, 1/58,

1/59, 1/60, ...

1457 0.002,188

457.......

31,978 0.000,031,27

.......

337,657,324,987 0.000,000,000,002,962

........

1lim 0n n

1457 0.002,188

457.......

31,978 0.000,031,27

.......

337,657,324,987 0.000,000,000,002,962

........

2.00, 1.41, 1.26, 1.19, 1.15, 1.12, 1.10,

1.09, 1.08, 1.07, 1.07, 1.06, 1.05, 1.05,

1.05, 1.04, 1.04, 1.04, 1.04, 1.04, 1.03,

1.03, 1.03, 1.03, 1.03, 1.03, 1.03, 1.03,

1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02,

1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.01, 1.01, 1.01,

1.01, 1.01, 1.01, 1.01, 1.01, 1.01, 1.01,

1.01, 1.01, 1.01, 1.01

1 2.00

2 1.41

3 1.26

4 1.19

........

15 1.047

........

67 1.010

........

3,257 1.000,212,840

.......

76,431 1.000,009,069

.......

337,657,324,987 1.000,000,000,002,052,812,509

........

lim 2 1n

3,257 1.000,212,840

.......

76,431 1.000,009,069

.......

337,657,324,987 1.000,000,000,002,052,812,509

........

En estos otros casos que acabamos de ver,

es claro que la sucesión se acerca cada vez

más a un número real.

En este caso decimos que dicho número real

es el límite de la sucesión cuando tiende

a infinito

La idea es que nos podemos acercar

al límite tanto como queramos, con

tal de tomar términos suficientemente

"lejos" (valores muy grandes de ) en

la sucesión.

Debemos precisar esta idea.

Aúnque es aceptable,

matemáticamente no es precisa.

Hay que enunciarla de una

manera correcta matemáticamente.

Un número es llamado el límite de

una sucesión infinita, si para cualquier

número positivo podemos encontrar

un entero positivo , dependiente de ,

tal que

para todos los enteros .n

Se escribe lim nn

Un número es llamado el límite de una sucesión infinita,

si para cualquier número positivo podemos encontrar un

entero positivo , dependiente de , tal que

1lim 0n n

Se puede uno acercar tanto

como quiera

pero sin llegarS a él.

Si alguien pide que 2 esté más

cerca de 1 que una milésima 0.001 ,

debemos encontrar el que haga

que todos los términos posteriores

estén más cerca de 1 que una

milésima.

¿Cómo lo calculamos?

2 1.001

ln 2 ln 1.001

ln 2ln 1.001

ln 2693.493

ln 1.001

Ojo, hay sucesiones más latosas,

que sin irse a infinito, no tienen

límite.

Sea la sucesión 1

1, 1,1, 1,1, 1,1,...

Es claro que esta sucesión no tiene

un límite

1Sea la sucesión 3

1lim 3 3n

1lim 3 3n n

* Cuando el límite existe,

se dice que la sucesión converge a

* Si el límite no existe

se dice que diverge o que no converge

para todos los enteros .

Un número es llamado el límite de una

sucesión infinita, si para cualquier número

positivo podemos encontrar un entero

positivo , dependiente de , tal que

Se escribe

cuando dado , 0,

existe tal que

siempre que

Nota. El infinito + no es un número y estas

sucesiones no convergen.

Lo que se indica es cómo divergen.

Se escribe lim cuando dado , 0,

existe tal que , siempre que .

a M R M

N a M n N

Se escribe

cuando dado , 0,

existe tal que

siempre que

N M a M

Nota. El infinito no es un número y estas

sucesiones no convergen.

Lo que se indica es cómo divergen

Se escribe lim cuando dado , 0,

existe tal que siempre que .

a M R M

N a M n N

* Cuando el límite existe,

se dice que la sucesión converge a

* Si el límite no existe

se dice que diverge o que no converge

para todos los enteros .

Voy de Puebla a México,

son 103.6 Km y hago una hora,

¿A qué velocidad voy?

103.6 Km

1 hora

103.6 Km/hora

Distancia recorrida

Tiempo en el que se recorre esa distanciav

(min)tiempo

(Km)distancia

(min)tiempo

(Km)distancia

(min)tiempo

(Km)distancia

(min)tiempo

(Km)distancia

(min)tiempo

(Km)distancia

tan 182.4x x

2 1x x

2 1t t

(Km)distancia

(min)tiempo

tan 180x x

2 1x x

2 1t t

tan 176x x

2 1x x

2 1t t

tan 168x x

2 1x x

2 1t t

tan 144x x

2 1x x

2 1t t

tan 120x x

2 1x x

2 1t t

tan 108x x

2 1x x

2 1t t

tan 98.4x x

2 1x x

2 1t t

tan 96.24x x

2 1x x

2 1t t

tan 96.024x x

2 1x x

2 1t t

La función

; : [0, )

nos da la posición del coche

como función del tiempo.

x t x R

Esta nueva función nos

da idea de la "velocidad"

del coche:

x x tv

(Km)distancia

(min)tiempo

Esta nueva función nos

da idea de la "velocidad"

del coche:

(42) ; : (0, )

x x tv v

... pero ya vimos que para que funcione

bien debemos hacer igual a 42 y

todo pierde sentido porque no se puede

dividir por c

¿Qué hace

(42) ; : (0, )

x x tv v

... pero ya vimos que para que funcione

bien debemos hacer igual a 42 y

todo pierde sentido porque no se puede

dividir por

Qué hace

to de lí

(42) ; : (0, )

x x tv v

x x tv

(Km)distancia

(min)tiempo

Estamos tratando con

funciones

de los reales en los reales:

: ff D R R

Supongamos que , y que tenemos

una función tal que su dominio contiene

al intervalo , con excepción posiblemente

El que la función esté o no definida

en es irrelevante.

Decimos que el límite de la función ,

cuando tiende a , es el número real

si para números , ,

suficientemente próximos a ,

las imágenes correspondientes están

tan próximas a como queram

Decimos que el límite de la función , cuando tiende a , es el

número real si para números , , suficientemente próximos a ,

las imágenes correspondientes están tan próximas a como que

y f x x x

x a b x

ramos.

Si esto sucede, se dice que el

límite de en existe

y es igual a .

y f x x x

x a b x

ramos.

y f x x x

x a b x

ramos.

y f x x x

x a b x

ramos.

Se denota: lim

y se lee: .

También se usa:

cuando

el límite de f x cuando x tiende a x es

f x x x

En caso de existir,

el límite es único

4Determinar lim .

Tenemos la función

f x x x

3 2 ; ff x x x D R

x f(x) x f(x)-4.750 -113.922 0.000 -2.000-4.500 -97.625 0.250 -1.734-4.250 -83.016 0.500 -1.375-4.000 -70.000 0.750 -0.828-3.750 -58.484 1.000 0.000-3.500 -48.375 1.250 1.203-3.250 -39.578 1.500 2.875-3.000 -32.000 1.750 5.109-2.750 -25.547 2.000 8.000-2.500 -20.125 2.250 11.641-2.250 -15.641 2.500 16.125-2.000 -12.000 2.750 21.547-1.750 -9.109 3.000 28.000-1.500 -6.875 3.250 35.578-1.250 -5.203 3.500 44.375-1.000 -4.000 3.750 54.484-0.750 -3.172 4.000 66.000-0.500 -2.625 4.250 79.016-0.250 -2.266 4.500 93.6250.000 -2.000 4.750 109.922

3 2 ; ff x x x D R

x f(x) x f(x)3.980 65.025 4.001 66.0493.981 65.073 4.002 66.0983.982 65.122 4.003 66.1473.983 65.170 4.004 66.1963.984 65.219 4.005 66.2453.985 65.268 4.006 66.2943.986 65.316 4.007 66.3443.987 65.365 4.008 66.3933.988 65.414 4.009 66.4423.989 65.462 4.010 66.4913.990 65.511 4.011 66.5403.991 65.560 4.012 66.5903.992 65.609 4.013 66.6393.993 65.658 4.014 66.6883.994 65.706 4.015 66.7383.995 65.755 4.016 66.7873.996 65.804 4.017 66.8363.997 65.853 4.018 66.8863.998 65.902 4.019 66.9353.999 65.951 4.020 66.985

3 2 ; ff x x x D R

Tenemos la función

lim 66.

f x x x

4 2 ; lim 66 f x

ff x x xx

Note que el valor del límite es igual al

valor de la función en el punto; es decir,

lim 66 4x

Determinar

Tenemos la función

5 8 3.

x xg x

25 8 3 ;

x xg x

x f(x) x f(x)0.500 -0.500 1.025 2.1250.525 -0.375 1.050 2.2500.550 -0.250 1.075 2.3750.575 -0.125 1.100 2.5000.600 0.000 1.125 2.6250.625 0.125 1.150 2.7500.650 0.250 1.175 2.8750.675 0.375 1.200 3.0000.700 0.500 1.225 3.1250.725 0.625 1.250 3.2500.750 0.750 1.275 3.3750.775 0.875 1.300 3.5000.800 1.000 1.325 3.6250.825 1.125 1.350 3.7500.850 1.250 1.375 3.8750.875 1.375 1.400 4.0000.900 1.500 1.425 4.1250.925 1.625 1.450 4.2500.950 1.750 1.475 4.3750.975 1.875 1.500 4.500

25 8 3

; 11 g

x xg x

25 8 3

; 11 g

x xg x

x f(x) x f(x)0.800 1.000 1.010 2.0500.810 1.050 1.020 2.1000.820 1.100 1.030 2.1500.830 1.150 1.040 2.2000.840 1.200 1.050 2.2500.850 1.250 1.060 2.3000.860 1.300 1.070 2.3500.870 1.350 1.080 2.4000.880 1.400 1.090 2.4500.890 1.450 1.100 2.5000.900 1.500 1.110 2.5500.910 1.550 1.120 2.6000.920 1.600 1.130 2.6500.930 1.650 1.140 2.7000.940 1.700 1.150 2.7500.950 1.750 1.160 2.8000.960 1.800 1.170 2.8500.970 1.850 1.180 2.9000.980 1.900 1.190 2.9500.990 1.950 1.200 3.000

25 8 3

; 11 g

x xg x

x f(x) x f(x)0.900 1.500 1.005 2.0250.905 1.525 1.010 2.0500.910 1.550 1.015 2.0750.915 1.575 1.020 2.1000.920 1.600 1.025 2.1250.925 1.625 1.030 2.1500.930 1.650 1.035 2.1750.935 1.675 1.040 2.2000.940 1.700 1.045 2.2250.945 1.725 1.050 2.2500.950 1.750 1.055 2.2750.955 1.775 1.060 2.3000.960 1.800 1.065 2.3250.965 1.825 1.070 2.3500.970 1.850 1.075 2.3750.975 1.875 1.080 2.4000.980 1.900 1.085 2.4250.985 1.925 1.090 2.4500.990 1.950 1.095 2.4750.995 1.975 1.100 2.500

25 8 3

; 11 g

x xg x

25 8 3

; 11 g

x xg x

Tenemos la función

5 8 3 .

lim 2x

5 8 3 ; l i 2

Note que la función

en 1, pero el límite existe.

definidano estág

Determinar li

Tenemos la f

3 hh xx

x f(x) x f(x)-3.020 -50.000 -2.999 1000.000-3.019 -52.632 -2.974 38.462-3.018 -55.556 -2.949 19.608-3.017 -58.824 -2.924 13.158-3.016 -62.500 -2.899 9.901-3.015 -66.667 -2.874 7.937-3.014 -71.429 -2.849 6.623-3.013 -76.923 -2.824 5.682-3.012 -83.333 -2.799 4.975-3.011 -90.909 -2.774 4.425-3.010 -100.000 -2.749 3.984-3.009 -111.111 -2.724 3.623-3.008 -125.000 -2.699 3.322-3.007 -142.857 -2.674 3.067-3.006 -166.667 -2.649 2.849-3.005 -200.000 -2.624 2.660-3.004 -250.000 -2.599 2.494-3.003 -333.333 -2.574 2.347-3.002 -500.000 -2.549 2.217-3.001 -1000.000 -2.524 2.101

3 hh xx

lim NO

Tenemos l

a función

3.1 Introducción

lim lim lim

El límite de una suma

es la suma de los límites.

x x x x x xf g x f x g x

Esto es, que si y también están tan

cerca de y , respectivamente, como queramos

para valores de próximos a , entonces:

está tan próximo a como

queramos con tal de que esté suficient

f x g x

emente

próximo a .x

lim lim limx x x x x x

f g x f x g x

lim lim lim

El límite de una diferencia

es la diferencia de los límites.

f x g x

emente

próximo a .x

f g x f x g x

lim lim lim

El límite de un producto

es el producto de los límites.

f x g x

emente

próximo a .x

f g x f x g x

limlim si lim 0

El límite de un cociente

es el cociente de los límites,

excepto cuando el denominador es cero,

en cuyo caso el límite no existe.

x x x xx x

f xfx g x

En el caso del cociente,

tiene que ser diferente de 0.

Si =0, la afirmación no tiene sentido.

limlim si lim 0

limx x

x x x xx x

f xfx g x

está tan próximo a / como

queramos con tal de que esté suficiente

f x g x

próximo a .x

limlim si lim 0

limx x

x x x xx x

f xfx g x

Si existen lim y lim , entonces:

lim lim lim

limlim si lim

x x x x

x x x x x x

x x x xx x

f x g x

f g x f x g x

f xfx g x

x xf x

lim 18x

2 13g x x

lim 3x

lim lim

f x g x

lim 18 lim 3x x

f x g x

7 2 13 5

3 2 5 13 5

f x g x

x xf x

R 2 13g x x

2 2 6 5

x x xf x g x

lim 21x

f x g x

3.1 Introducción

0Si lim y 0, entonces "cerca" de

las imágenes tienen el mismo signo que .

x xg x L L x

El límite de una función constante

en cualquier es la constante;

es decir,

lim lim para toda x x x x

00Si es una constante, lim para toda

0.5 , f x x R

00Si es una constante, lim para toda

0.5 , f x x R

0lim 0.5 , x x

De las afirmaciones anteriores se concluye que:

lim lim

En particular, para 1 tenemos

lim lim

x x x x

f x f x

En el caso de la función identidad,

se tiene:

lim lim para cualquier x x x x

f x x x x

entonces

para cualquier .

g x mx n

entonces

lim lim ,

para cualquier .

x x x x

Si lim ,

entonces

para cualquier .

10 1 1

Si es un polinomio de grado ,

y además ,

entonces

n nn n

f x a x a x a x a

f x f x

Si es una función racional,

polinomios 0 y 0 , y además ,

entonces lim .

P xf x

P x a x a x a

Q x b x b x b

f x f x

4 3 22 3 4 7 9 z z z z z D R

2 3 4 7 9

Calcular el límite: limz

z z z z z

2 3 4 7 9

z z z z z

1 1 1 1 1

1 1 1 1

lim lim 2 3 4 7 9

lim 2 lim 3 lim 4 lim 7 lim 9

2 lim 3 lim 4 lim 7 lim 9

2 lim 3 lim 4 lim 7 1 9

2 1 3 1 4 1

z z z z z

z z z z

x z z z z

z z z z

2 3 4 7 9

im 25z

4 3 22 3 4 7 9 z z z z z D R

lim 25z

2 3 4 7 9

z z z z z

2 3 4 7 9

z z z z z

1 1 1 1 1

1 1 1 1

lim lim 2 3 4 7 9

lim 2 lim 3 lim 4 lim 7 lim 9

2 lim 3 lim 4 lim 7 lim 9

2 lim 3 lim 4 lim 7 1 9

2 1 3 1 4 1 7 9

z z z z z

z z z z

x z z z z

z z z z

2 3 4 7 9

lim 5z

4 3 22 3 4 7 9 z z z z z D R

lim 5z

Si lim 0

y si lim existe,

entonces

Si lim 0

y si lim 0,

entonces

no existe.

Próximamente diremos algo más del

cuando lim 0 y lim 0

al ver los límites infinitos.

x x x x

g x f x

¿Cuál es el límite de en 3?

27¿Cuál es el límite de en 3?

a) lim 5 5 lim 5 lim 5 3 405 0

b) lim 27 lim lim 27 lim 27

Por lo tanto, lim NO EXIST

Si lim 0 y si lim 0,

entonces

puede o no existir.

A este resultado se le llama

0indeterminación cero sobre cero:

x x x x

g x f x

¿Cuál es el límite de en 5?

25 ¿Cuál es el límite de en 5?

sw s w s

22 2 2

5 5 5 5

3 2 3 2

5 5 5 5 5

a) lim 25 lim lim 25 lim 25 5 25 0

b) lim 5 5 lim lim 5 lim lim 5

lim 5 lim 5 5 5 5 5

¿Y entonces?

s s s s

s s s s s

s s s s s s

sw s w s

Como es claro, por simple inspección, que 1

es una raiz del polinomio 5 5 tenemos

5 54 5

4 5 5 1

En resumen,

- 5 - 5 5 1 1

s s ss s

s s s s

s s s s s s

sw s w s

Entonces

5 5 1 1 1 1

Por tan

5 5lim

5 10 5lim

1 1 24 12

s s s s ss s s

sw s w s

50.4167

Sea un número entero,

entonces

lim n n

0Nota: Si es par, necesariamente debemos tener 0.n x

Si es racional ,

entonces

limm m

0Nota: Si es par, necesariamente debemos tener 0.n x

Si es un entero ,

entonces

lim li

Si es par se requiere que lim 0

n nx x x x

f x f x

Si para en un

intervalo abierto que contiene a y

lim lim

entonces

x x x x

f x h x g x x

f x g x

3.1 Introducción

Supongamos que

una función

está definida en

en un cierto intervalo ,

Si para números del dominio de ,

y menores que , los valores

correspondientes de están tan

próximos a como queramos,

decimos que es el límite por la

izquierda de

0 , cuando tiende a .f x x x

0Supongamos que está definida en un cierto intervalo , .f x a x

Se denota mediante

se lee: tiende a por la izquierda

x xf x

x x x x

Supongamos que está definida en un cierto intervalo , .

Si para números del dominio de suficientemente próximos a ,

y menores que , los valores correspondientes de están tan

próximos a

f x a x

como queramos, decimos que es el límite por la

izquierda de , cuando tiende a .f x x x

Supongamos que

la función

está definida en un

cierto intervalo , .

Si para números del dominio de ,

y mayores que ,

los valores correspondientes de

están tan próximos a como queramos,

decimos que es el límite por la

derecha de

0, cuando tiende a .f x x x

0Supongamos que está definida en un cierto intervalo , .f x x b

Se denota mediante

se lee: tiende a por la derecha

x xf x

x x x x

Supongamos que está definida en un cierto intervalo , .

Si para números del dominio de suficientemente próximos a ,

y mayores que , los valores correspondientes de están tan

próximos a

f x x b

como queramos, decimos que es el límite por la

derecha de , cuando tiende a .f x x x

1 2A los límites lim y lim

se les conoce como límites laterales.

x x x xf x f x

El límite existe

sí y sólo sí

existen los dos límites laterales

y son iguales.

El límite existe

sí y sólo sí

existen los dos límites laterales

y son iguales.

Es decir,

lim lim

x x x x

f x f x

Este resultado se usa frecuentemente

para probar que un límite no existe.

Si no existe alguno de los límites laterales,

el límite no existe.

Si los límites laterales existen pero son

diferentes,

el límite no existe.

Observación: Para los límites laterales

lim y lim

hallamos resultados análogos a los

que hemos enlistado anteriormente

para el límite lim

x x x x

f x f x

lim lim lim

limlim

x x x x

x x x x x x

x xx x

f x g x

f g x f x g x

si lim 0x x

lim lim lim

limlim

x x x x

x x x x x x

x xx x

f x g x

f g x f x g x

si lim 0x x

Calcular el límite por la derecha

y el límite por la izquierda en

x xf x x

x xf x

x f(x) x f(x)3.00 1.73 3.15 0.983.01 1.73 3.16 1.003.02 1.74 3.17 1.013.03 1.74 3.18 1.023.04 1.74 3.19 1.043.05 1.75 3.20 1.053.06 1.75 3.21 1.063.07 1.75 3.22 1.083.08 1.75 3.23 1.093.09 1.76 3.24 1.103.10 1.76 3.25 1.123.11 1.76 3.26 1.133.12 1.77 3.27 1.143.13 1.77 3.28 1.163.14 1.77 3.29 1.17

lim lim lim 1.7725

limlim lim 0.97410

100 100 100

f x x x

x xf x x

lim 1.7725

lim 0.97410x

x xf x x

lim 1.7725

lim 0.97410x

x xf x x

lim 1.7725

lim .97410x

lim lim

se conc

x xf x x

3.1 Introducción

Si dado cualquier número 0,

con tal de tomar a suficientemente cerca de ,

diremos que diverge a +

(se lee "más infinito")

y lo denotaremos así:

limx x

Si dado 0, , con tal de tomar

a suficientemente cerca de , limx x

M f x M

x x f x

Gráficamente lim quiere decir que dada

cualquier recta con 0, la gráfica de

en cierto intervalo con centro en está arriba de tal

recta, exceptuando lo que ocurre en .

x xf x

y M M f x

Si dado cualquier número 0,

con tal de tomar a suficientemente cerca de ,

diremos que diverge a

(se lee "menos infinito")

y lo denotaremos así:

limx x

Si dado 0, , con tal de tomar a

suficientemente cerca de , limx x

N f x N

x x f x

Gráficamente lim quiere decir que dada

cualquier recta con 0, la gráfica de

en cierto intervalo con centro en está abajo de tal

recta, exceptuando lo que ocurre en .

x xf x

y N N f x

Las definiciones de

son análogas

Se tiene entonces,

si y sólo si

lim lim

x x x x

f x f x

Se tiene entonces,

si y sólo si

lim lim

x x x x

f x f x

Determinar el límite en 3

El dominio de esta función es:

x f(x) x f(x) x f(x)

2.955 -344,877.564 2.970 -1,745,942.670 2.985 -27,935,082.714

2.956 -377,315.192 2.971 -1,999,507.356 2.986 -36,813,139.379

2.957 -413,657.760 2.972 -2,300,821.211 2.987 -49,515,547.858

2.958 -454,483.202 2.973 -2,661,092.318 2.988 -68,200,885.531

2.959 -500,471.753 2.974 -3,094,721.741 2.989 -96,592,689.186

2.960 -552,427.173 2.975 -3,620,386.720 2.990 -141,421,356.237

2.961 -611,303.060 2.976 -4,262,555.346 2.991 -215,548,477.728

2.962 -678,235.646 2.977 -5,053,632.464 2.992 -345,266,983.001

2.963 -754,584.885 2.978 -6,037,043.074 2.993 -589,010,230.058

2.964 -841,986.241 2.979 -7,271,731.235 2.994 -1,091,214,168.495

2.965 -942,416.368 2.980 -8,838,834.765 2.995 -2,262,741,699.789

2.966 -1,058,276.932 2.981 -10,851,770.339 2.996 -5,524,271,727.995

2.967 -1,192,502.336 2.982 -13,471,779.858 2.997 -17,459,426,695.858

2.968 -1,348,699.152 2.983 -16,932,430.914 2.998 -88,388,347,647.494

2.969 -1,531,327.996 2.984 -21,579,186.438 2.999 -1,414,213,562,346.080

x f(x) x f(x) x f(x)

3.001 -1,414,213,562,373.720 3.016 -21,579,186.438 3.031 -1,531,327.996

3.002 -88,388,347,648.357 3.017 -16,932,430.914 3.032 -1,348,699.152

3.003 -17,459,426,695.972 3.018 -13,471,779.858 3.033 -1,192,502.336

3.004 -5,524,271,728.022 3.019 -10,851,770.339 3.034 -1,058,276.932

3.005 -2,262,741,699.798 3.020 -8,838,834.765 3.035 -942,416.368

3.006 -1,091,214,168.498 3.021 -7,271,731.235 3.036 -841,986.241

3.007 -589,010,230.060 3.022 -6,037,043.074 3.037 -754,584.885

3.008 -345,266,983.001 3.023 -5,053,632.464 3.038 -678,235.646

3.009 -215,548,477.728 3.024 -4,262,555.346 3.039 -611,303.060

3.010 -141,421,356.237 3.025 -3,620,386.720 3.040 -552,427.173

3.011 -96,592,689.186 3.026 -3,094,721.741 3.041 -500,471.753

3.012 -68,200,885.531 3.027 -2,661,092.318 3.042 -454,483.202

3.013 -49,515,547.858 3.028 -2,300,821.211 3.043 -413,657.760

3.014 -36,813,139.379 3.029 -1,999,507.356 3.044 -377,315.192

3.015 -27,935,082.714 3.030 -1,745,942.670 3.045 -344,877.564

2 ; Determinar el límite en 3

3f x x

Es claro que

Determinar el límite en 2

x f(x) x f(x) x f(x)-2.15 -6.67 -2.015 -66.67 -2.0015 -666.67-2.14 -7.14 -2.014 -71.43 -2.0014 -714.29-2.13 -7.69 -2.013 -76.92 -2.0013 -769.23-2.12 -8.33 -2.012 -83.33 -2.0012 -833.33-2.11 -9.09 -2.011 -90.91 -2.0011 -909.09-2.10 -10.00 -2.010 -100.00 -2.0010 -1,000.00-2.09 -11.11 -2.009 -111.11 -2.0009 -1,111.11-2.08 -12.50 -2.008 -125.00 -2.0008 -1,250.00-2.07 -14.29 -2.007 -142.86 -2.0007 -1,428.57-2.06 -16.67 -2.006 -166.67 -2.0006 -1,666.67-2.05 -20.00 -2.005 -200.00 -2.0005 -2,000.00-2.04 -25.00 -2.004 -250.00 -2.0004 -2,500.00-2.03 -33.33 -2.003 -333.33 -2.0003 -3,333.33-2.02 -50.00 -2.002 -500.00 -2.0002 -5,000.00-2.01 -100.00 -2.001 -1,000.00 -2.0001 -10,000.00

2f x x

1, 2 ; Determinar el límite en 2

2f x x x

1Es claro que lim NO EXISTE

0Si lim 0 y si 0 cerca de ,

entonces lim si 0

g x g x x

entonces lim si 0

g x g x x

entonces lim si 0

g x g x x

entonces lim si 0

g x g x x

Si lim 0 y si 0 cerca de , entonces lim si 0

Si lim 0 y si 0 cerca de , entonces lim si

x x x x

cg x g x x c

Si lim 0 y si 0 cerca de , entonces lim si 0x x x x

cg x g x x c

Sea la función

2Calcular

lim , lim y limxx x

f x f x f x

Sea la función

2Claramente, el dominio de la función

son todos los números reales menos

el 2. Es decir,

3. Calcular lim

2 xf x f x

Como nos acercamos por la izquierda,

2 y 2 0.

Así que, claramente

3. lim

2 xf x f x

3. Calcular lim

2 xf x f x

Como nos acercamos por la derecha,

2 y 2 0.

Así que, claramente

3. lim

2 xf x f x

3. Calcular lim

2 xf x f x

Tenemos

así que el lim NO EXISTE2

Si lim 0 y si 0 cerca de , entonces lim si 0

Si lim 0 y si 0 cerca de , entonces lim si

x x x x

cg x g x x c

Si lim 0 y si 0 cerca de , entonces lim si 0x x x x

cg x g x x c

Si lim 0, 0 y lim 0,

entonces lim si 0.

Como regla nemotécnica decimos:

x x x x

g x g x f x

entonces lim si 0.

x x x x

g x g x f x

entonces lim si 0.

x x x x

g x g x f x

entonces lim si 0.

x x x x

g x g x f x

Algunas afirmaciones interesantes que podemos

hacer con límites infinitos son las siguientes:

Si lim y si lim , con ,

entonces

x x x x

f x g x

entonces

x x x x

f x g x

g x f x

entonces

x x x xf x g x

entonces

x x x xf x g x

lim 0 quiere decir que lim 0

y que 0 cerca de .

lim 0 quiere decir que lim 0

y que 0 cerca de .

x x x x

h x h x

entonces

x x x xf x g x

Resultados análogos se obtienen

cuando lim y todos

siguen siendo válidos si en lugar

de ponemos o bien .

x xf x

entonces

x x x x

f x g x

g x f x

1 4lim lim

53 1g x x

lim lim 3 1 3 3 1 728

1 4 ; 3 1

1 43 1

f g f g

xf x g x x

xf g x x

1 43 1 ; 3

3f g f g

xf g x x

D D D R

1 4 ; 3 1

1 43 1

f g f g

xf x g x x

xf g x x

1 43 1 ; 3

3f g f g

xf g x x

D D D R

La recta es una asíntota vertical de la función o bien de la

curva si ocurre al menos una de las condiciones siguientes:

Nota. Determinar las asíntotas verticales de una función resulta de

mucha utilidad para realizar el bosquejo de la gráfica de una función.

1) limx

1) lim

2) limx

1) lim

2) limx

Por lo tanto, la recta 3

es una asíntota vertical

de la función

3.1 Introducción

Sea una función.

Supongamos que

Diremos que el límite de , cuando

tiende (o diverge) a + , es

si los valores de

están tan próximos a como queramos,

con tal de tomar

suficientemente grande.

Sea una función. Supongamos que , .ff x a D

Se denota lim

y se lee:

es el límite de f

cuando x tiende a más infinito

Sea una función. Supongamos que , .

Diremos que el límite de cuando tiende (o diverge) a +

es si los valores de están tan próximos a como

queramos con tal de tomar suficientemen

ff x a

te grande.

Diremos que el límite de cuando tiende (o diverge) a +

es si los valores de están tan próximos a como

queramos con tal de tomar suficientemen

ff x a

te grande.

Sea una función.

Supongamos que

Diremos que el límite de cuando

tiende (o diverge) a es

si los valores de están tan próximos a

como queramos con tal de tomar

negativo de suficiente

gran valor absoluto.

Sea una función. Supongamos que , .ff x b D

Diremos que el límite de cuando tiende (o diverge)

a es si los valores de están tan próximos a como

queramos con tal de tomar negativo de s

ff x b

uficiente gran valor absoluto.

Se denota lim

y se lee:

es el límite de f

cuando x tiende a menos infinito

Diremos que el límite de cuando tiende (o diverge)

a es si los valores de están tan próximos a como

queramos con tal de tomar negativo de s

ff x b

uficiente gran valor absoluto.

Cuando

a la recta

se le llama asíntota horizontal.

Se dice que la recta es una

asíntota horizontal de la función ,

o bien de la curva , si

ocurre alguno de los hechos siguientes:

lim o bien limx x

f x f x

Si es un número natural,

entonces

Si lim n

N 5lim

x f(x) x f(x) x f(x)1.000 1.000 16.000 1,048,576.000 31.000 28,629,151.0002.000 32.000 17.000 1,419,857.000 32.000 33,554,432.0003.000 243.000 18.000 1,889,568.000 33.000 39,135,393.0004.000 1,024.000 19.000 2,476,099.000 34.000 45,435,424.0005.000 3,125.000 20.000 3,200,000.000 35.000 52,521,875.0006.000 7,776.000 21.000 4,084,101.000 36.000 60,466,176.0007.000 16,807.000 22.000 5,153,632.000 37.000 69,343,957.0008.000 32,768.000 23.000 6,436,343.000 38.000 79,235,168.0009.000 59,049.000 24.000 7,962,624.000 39.000 90,224,199.000

10.000 100,000.000 25.000 9,765,625.000 40.000 102,400,000.00011.000 161,051.000 26.000 11,881,376.000 41.000 115,856,201.00012.000 248,832.000 27.000 14,348,907.000 42.000 130,691,232.00013.000 371,293.000 28.000 17,210,368.000 43.000 147,008,443.00014.000 537,824.000 29.000 20,511,149.000 44.000 164,916,224.00015.000 759,375.000 30.000 24,300,000.000 45.000 184,528,125.000

Si lim n

Si es un número natural par,

entonces

x f(x) x f(x) x f(x)-1.0 1.0 -151.0 22,801.0 -301.0 90,601.0

-11.0 121.0 -161.0 25,921.0 -311.0 96,721.0-21.0 441.0 -171.0 29,241.0 -321.0 103,041.0-31.0 961.0 -181.0 32,761.0 -331.0 109,561.0-41.0 1,681.0 -191.0 36,481.0 -341.0 116,281.0-51.0 2,601.0 -201.0 40,401.0 -351.0 123,201.0-61.0 3,721.0 -211.0 44,521.0 -361.0 130,321.0-71.0 5,041.0 -221.0 48,841.0 -371.0 137,641.0-81.0 6,561.0 -231.0 53,361.0 -381.0 145,161.0-91.0 8,281.0 -241.0 58,081.0 -391.0 152,881.0

-101.0 10,201.0 -251.0 63,001.0 -401.0 160,801.0-111.0 12,321.0 -261.0 68,121.0 -411.0 168,921.0-121.0 14,641.0 -271.0 73,441.0 -421.0 177,241.0-131.0 17,161.0 -281.0 78,961.0 -431.0 185,761.0-141.0 19,881.0 -291.0 84,681.0 -441.0 194,481.0

Si es un número natural impar,

entonces

Si es una constante y

entonces

lim 0mxn

Si es una constante y entonces lim 0mxn

En particular,

Como regla nmetoécnica podemos poner 0

10 1 1

1 10 1

Si tenemos un polinomio de grado ,

(se supone que 0)

lo podemos escribir como

n nn n

n n nn n

f x a x a x a x a

a a af x x a

1. lim si 0.

2. lim si 0.

1 10 1

...n n nn n

a a af x x a

3. lim si 0 y es par.

4. lim si 0 y es impar.

f x a n

1 10 1

...n n nn n

a a af x x a

5. lim si 0 y es par.

6. lim si 0 y es impar.

f x a n

1 10 1

...n n nn n

a a af x x a

Si es una función racional con

polinomios 0 y 0 , entonces:

lim si

P xf x

P x a x a x a

Q x b x b x b

af x m n

1 10 1

Este resultado es claro si ponemos

m m mm m

n n nn n

m n m mm m

n nn n

a a ax a

P x x x xf x

b b bQ x x bx x x

a a ax a

x x xb b b

bx x x

lim si

af x m n

Una función racional tiene asíntotas horizontales

0 si y

Además, puede o no tener as

íntotas vertical s

ay m n y m n

lim si

af x m n

Calcular

3 2 1lim

5 6 7x

5 25 4 5 4 5

2 3 2 3

2 1 2 13 3

3 2 16 7 6 75 6 7 5 5

x xx x x x x xx x x

x x x x

5 25 4 5 4 5

2 3 2 3

2 1 2 13 3

3 2 16 7 6 75 6 7 5 5

x xx x x x x xx x x

x x x x

lim si

af x m n

Calcular

3 2 1lim

5 6 7x

Por lo tanto

3 2 1lim

5 6 7x

Calcular

2 3lim

3 32 22 3

xx x x

lim si

af x m n

3 32 22 3

xx x x

Calcular

2 3lim

Por lo tanto

2 3 2 1lim

4 4 2x

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