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Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einfuhrung
A. Niemunis und F. PradaIBF-Karlsruhe
Viskositat, Teilsattigung und Zyklik10. Januar 2019
Inhalt der Vorlesung (1)
I Hypoplastische Stoffgesetze
I Hypoplastizitat mit zyklischer Belastung 3D + iD
I Visko-hypoplastizitat, Setzung eines Damms
I Kriechhange mit Verdubelung
I Pseudo-Kriechen der Boden unter zyklischen Belastung
I Hochzyklisches Modell fur Pseudo-Kriechen
I Naturliche Boden
I Phanomen der Scherlokalisierung
I Verflussigungspotential
I Setzungen, Sackungen, großflachige Setzungen
I Sondierungen, Penetration, Kontaktmechanik
I Teilsattigung Hydraulik + Mechanik
I Teilsattigung Numerik
Elastoplastizitat (EP) (2)
Konventionelle bodenmechanische Berechnungen:
I Setzungsberechnung: Boden ist elastischε
T
z.B. in der Formel s = σ1− ν2
πE
[L ln
B + R
L+ B ln
L + R
B
]mit R =
√L2 + B2 nach
Steinbrenner
I Tragfahigkeit: Boden ist starr ideal-plastischε
TTy
z.B. in den Grundbruchformeln σ = (2 + π)c oder σ =c
tanϕ
(1 + sinϕ
1− sinϕeπ tanϕ − 1
)nach Prandtl (Zonenbruch)
I Daraus Elastoplastizitatε
TTy
σ =
0 fur σε > 0 und |σ| = Ty
Eε fur andere Falle
oderT =
0 fur TD > 0 und |T | = Ty
Eε sonst
Elastoplastizitat (EP) (3)
EP beschreibt die Spannungsrate T (T,D) und nicht dieSpannung T (ε){
T = 0 fur TD > 0 und |T | = Ty
T = ED sonst
mit D =dε
dtund T =
dT
dt
Pfadabhangigkeit
ε
ε
T
T( )?Ende
εT( )?Ende
εT( )?Ende
ε Ende
In der numerischen Berechnung erfordert EP eine inkrementelle Form:
∆T = E∆ε
und erst eine Zeitintegration T t+∆t = T t + ∆T , εt+∆t = εt + ∆ε ergibtT (ε(t)) (T ist ein pfadabhangiges Funktional von ε(t) und keine Funktion).
elastisch T = E D plastisch T = 0
|T | < Ty oder |T | = Ty und
T D < 0 T D > 0
Die Integrierte T (ε)-Kurve ist zu
“kantig” /Die Dilatanzeffekte sind schwerreproduzierbar (Rowe 1961) /
Nichtlineare Elastizitat (4)
Inkrementelle (Hypo-) Elastizitat
T = ED wobei E =
[1−
(|T |Ty
)n]Emax
ist fur Boden nicht geeignet.
ε
T
E(T)1
T = Ty
ε
T
E(T)1
T = -Ty
ε
T
E(T)1soll
ε
T
E(T)1
ist ε
T
E(T)1
NL-Elastizitat ergibt zwar glatte Spannung-Dehnungs-Kurven, versagt aberbei Entlastung, da die Spannungs-Dehnung-Hysterese nicht modelliertwerden kann.
Hypoelastizitat ist integrierbar , z.B.solu=DSolve[{T’[e]== 100(1-(T[e] /10)^2), T[0]==0}, T[e] ,e][[1]];
Plot[T[e] /. solu, {e, -1, 1}]
“Bilineare” Elastizitat (5)
“Bilineare” inkrementelle Elastizitat z.B. Davies & Mullenger, 1978
T =
ED fur TD > 0
EmaxD fur TD < 0
mit E =
[1−
(|T |Ty
)n]Emax
NL-elastisch fur Belastung TD > 0L-elastisch fur Entlastung TD < 0
ε
T
E(T)
E = Emax
Kontinuitatsbedingung verletzt daher ist das Stoffgesetz unbrauchbar /
Problem mit der“bilinearen” Elastizitat (6)
Kontinuitatsbedingung im 3D Fall: Definition der Belastung.
T =
E : D fur n : E : D > 0 = Bel.
Emax : D fur n : Emax : D < 0 = Entl.
mit E =
[1−
(f(T)
Ty
)n]Emax und n = n(T)
Fließkrit: f(T)−Ty = 0 Be-lastung: n : E : D > 0
Bel.-richtung ndef=
[∂f
∂T
]→Belastung
Tn
Belastung Belastung Belastung
n.
T.
T ,D
T ,D
1 1
2 2
Bel.
Entl.
affine Flächen
Grafische Darstellung eines Stoffgesetzes (7)
Das Stoffgesetz ∆T = f(D∆t) nimmt die Dehnungsinkremente D∆t undbildet sie zu den Spannungsinkrementen (T−T0) ab.
T0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
Spannungspfad
Dehnungspfad
D
T
T tt ΔΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D
T
T tt ΔΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D
T
T tΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D1
2 D2
T1
2 T2-
-
-
-D
T
T t
= isotrope Kompression= isotrope Extension
Δ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
D1
2 D2
T1
2 T2-
-
-
-D
T
T t
= isotrope Kompression= isotrope Extension
Δ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
So wird die Kugel ‖D∆t‖ = r zur Antwortspolare ‖f−1(T−T0)‖ = r imSpannungsraum abgebildet.
Grafische Darstellung eines Stoffgesetzes (7)
Das Stoffgesetz ∆T = f(D∆t) nimmt die Dehnungsinkremente D∆t undbildet sie zu den Spannungsinkrementen (T−T0) ab.
T0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
Spannungspfad
Dehnungspfad
D
T
T tt ΔΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D
T
T tt ΔΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D
T
T tΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D1
2 D2
T1
2 T2-
-
-
-D
T
T t
= isotrope Kompression= isotrope Extension
Δ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
D1
2 D2
T1
2 T2-
-
-
-D
T
T t
= isotrope Kompression= isotrope Extension
Δ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
So wird die Kugel ‖D∆t‖ = r zur Antwortspolare ‖f−1(T−T0)‖ = r imSpannungsraum abgebildet.
Grafische Darstellung eines Stoffgesetzes (7)
Das Stoffgesetz ∆T = f(D∆t) nimmt die Dehnungsinkremente D∆t undbildet sie zu den Spannungsinkrementen (T−T0) ab.
T0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
Spannungspfad
Dehnungspfad
D
T
T tt ΔΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D
T
T tt ΔΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D
T
T tΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D1
2 D2
T1
2 T2-
-
-
-D
T
T t
= isotrope Kompression= isotrope Extension
Δ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
D1
2 D2
T1
2 T2-
-
-
-D
T
T t
= isotrope Kompression= isotrope Extension
Δ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
So wird die Kugel ‖D∆t‖ = r zur Antwortspolare ‖f−1(T−T0)‖ = r imSpannungsraum abgebildet.
Grafische Darstellung eines Stoffgesetzes (7)
Das Stoffgesetz ∆T = f(D∆t) nimmt die Dehnungsinkremente D∆t undbildet sie zu den Spannungsinkrementen (T−T0) ab.
T0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
Spannungspfad
Dehnungspfad
D
T
T tt ΔΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D
T
T tt ΔΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D
T
T tΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D1
2 D2
T1
2 T2-
-
-
-D
T
T t
= isotrope Kompression= isotrope Extension
Δ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
D1
2 D2
T1
2 T2-
-
-
-D
T
T t
= isotrope Kompression= isotrope Extension
Δ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
So wird die Kugel ‖D∆t‖ = r zur Antwortspolare ‖f−1(T−T0)‖ = r imSpannungsraum abgebildet.
Grafische Darstellung eines Stoffgesetzes (7)
Das Stoffgesetz ∆T = f(D∆t) nimmt die Dehnungsinkremente D∆t undbildet sie zu den Spannungsinkrementen (T−T0) ab.
T0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
Spannungspfad
Dehnungspfad
D
T
T tt ΔΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D
T
T tt ΔΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D
T
T tΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D1
2 D2
T1
2 T2-
-
-
-D
T
T t
= isotrope Kompression= isotrope Extension
Δ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
D1
2 D2
T1
2 T2-
-
-
-D
T
T t
= isotrope Kompression= isotrope Extension
Δ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
So wird die Kugel ‖D∆t‖ = r zur Antwortspolare ‖f−1(T−T0)‖ = r imSpannungsraum abgebildet.
Grafische Darstellung eines Stoffgesetzes (7)
Das Stoffgesetz ∆T = f(D∆t) nimmt die Dehnungsinkremente D∆t undbildet sie zu den Spannungsinkrementen (T−T0) ab.
T0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
Spannungspfad
Dehnungspfad
D
T
T tt ΔΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D
T
T tt ΔΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D
T
T tΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D1
2 D2
T1
2 T2-
-
-
-D
T
T t
= isotrope Kompression= isotrope Extension
Δ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
D1
2 D2
T1
2 T2-
-
-
-D
T
T t
= isotrope Kompression= isotrope Extension
Δ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
So wird die Kugel ‖D∆t‖ = r zur Antwortspolare ‖f−1(T−T0)‖ = r imSpannungsraum abgebildet.
Antwortspolaren - numerisches Beispiel (7+)Needs["Tensor‘bnova‘"]
elUpdate[state_, de_, params_] := Module[{T, dT, eps},
{T, eps} = state[[1 ;; 2]]; m = normalized[T + dev[T]] ;
dT = iEVermeer[T, params]~colon~( de - m *0.3*Sqrt[(de ~colon~de)]);
{T + dT, eps + de, dT, de}];
T = -100*DiagonalMatrix[{3, 1, 1}]; eps = 0*delta ; state = {T, eps };
params = {75000, 200, 0.3 } ;
stressResponsePQ[elUpdate, {T, eps}, params]
stressResponse3D[elUpdate, {T, eps}, params]
200 200 400
200
100
100
200
300
600
Diskontinuitat der ”bilinearen” Elastizitat (8)
To
TTo
n(a)
(b)
T o
f( ) = 0
Instabilität: infinitesimal kleine Abweichung in verursacht finite Änderung in
D
T.
1
T2
1D
2D
a a
b b
Instabilität
“bilineare” Elastizität
Diskontinuitat beim Uberqueren der neutralen Richtung /Die Operatoren der Be- und Entlastung sollen fur neutrale Dehnung (furdie n : E : D = 0 gilt) die gleiche Antworten T geben!
Die Antwort aus der Elastoplastizitat oder
Hypoplastizitat ist stetig! ,Konkavitat ist kein Problem
n
Antwortspolare elast.
e.-plast.
konkav
Antwortspolaren - fur MCC (9)Masin & Gudehus, Geotechnique 2007 Dolezalova, Proceed. Modern Approaches to Plasticity,Horton, 1991.
Antwortspolaren im Dehnungsraum (10)
Tamagnini,Masin,Constanzo,Viggiani, Proceed. Modern Trends in Geomechanics, 2006
Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren aus der Hypoplastizitat.
Antwortspolaren im Dehnungsraum (8)
Versuche Karlsruhe Sand
εP [10-4]
ε Q [1
0-4]
-2-2
-1
-1
0
0
1
1
2
2
100 200 300 400 500 600
-100
0
100
200
300
Q (
kPa)
P (kPa)
ExperimentHyperelasticity UC
ICUEIE
Dehnungsrosetten an 23 Spannungen E.Espino und L.Knittel, IBF 2015
Antwortspolaren im Dehnungsraum (9)
Experimentell schwierig (lokale Messung der Verformung)
Antwortspolaren im Dehnungsraum (9)
Experimentell schwierig (lokale Messung der Verformung)
Mehrflachen-EP als parallele Kopplung (11 )
1 2
back stress α = T1 - T2
Spannung T1
Spannung T2
Ges.SpannungT=T1+T2
T
εa
b
c d
e
fg
R1
R2
R +
R1
2
Mehrflachenplastizitat =
Geglatteter Ubergang vonElastizitat zu Plastizitat:
TTT
εε
y
I Gemeinsame Dehnungsrate Dk = D mit k = 1, 2, . . .
I Identische, elastische Steifigkeiten E fur Tk = E Dk
I Unterschiedliche Festigkeiten Rk bei Festigkeitskriteria |Tk| ≤ RkI Partiellen Spannungen konnen unterschiedlich sein. Sie werden
summiert T =∑nk=1 Tk
I α = ”Back stress” = Mittelpunkt des elastischen Bereiches.
I Die parallele Kopplung ergibt eine ”kinematische Verfestigung” :α wird verschoben.
Mehrflachenmodelle (Mroz- oder Overlay Modell) (12)
T
T
T
e
e
T
e
e
T
e
T
e
I Guter T − ε Verlauf und gute Hysterese (Masing Regel) ,I Komplizierte Strukturspannungen (=’back stresses’) notig /I Kontraktanz ist zu klein (da die Entlastung vorwiegend elastisch ist-).
Reparatur ist kompliziert, z.B. mit der sog. Degradationsflache. /
Hypoplastizitat (HP) (13)
Die HP liefert glatte Spannungs-Dehnung-Kurven mit Hysterese und bleibt
dabei sehr einfach , (HP - Kolymbas 1978; CLoE - Chambon 1996, Endochrone Theorie
- Valanis 1971)
T = E
(D −m
∣∣∣∣ TTy∣∣∣∣n |D|) mit m = sign(T ) = ±1
Sonderfalle a,b,c,d:
2 4 6 8
-1
-0.5
0.5
1T
Ty
εn=1
E1
a
b
c
d
Fur E = 100 MPa, n = 1.5 und D in [%/h]
a) T = Ty , D = 1 dh. m = 1 und
T = E(1− 1 |1|1.5 |1|) = 0
b) T = −Ty , D = −1 dh. m = −1 und
T = E(−1− (−1) |−1|1.5 |−1|) = 0
c) T = 13Ty , D = 1 dh. m = 1 und
T = E(1− 1∣∣ 13
∣∣1.5 |1|) = 810 kPa/h
d) T = Ty , D = −1 dh. m = 1 und
T = E(−1− 1 |1|1.5 |−1|) = −2000 kPa/h
U: 1D-HP mit Mathematica : Rechenteil (17)Bezeichnungen:mat = {EE ,smax, n } = E, σmax, n{s1, e1, de, ds } = σ, ε,∆ε,∆σunknown = entweder ∆ε oder ∆σunapprox = Pradiktor fur {unknown, e1, s1 } fur implizite Zeitintegration.
states ={{σ, ε}1 , {σ, ε}2 , . . .
}Liste mit Zustandsgroßen = Pfad
increment[mat_, loading_]:= Module[{EE,smax,n,e0,e1,s0,s1,de,ds,eq1,eq2,eq3,unknown,unapprox},
{EE, smax, n} = mat;
{e0, s0} = Last[states];(*states is a global variable,
to be initialized outside*){de, ds} = loading;
eq1 = s0 + ds == s1;
eq2 = e0 + de == e1;
eq3 = ds == EE (de - Sign[s1]*Abs[s1/smax]^n Abs[de]);
unknown = Select[{de, ds}, ! NumberQ[#] &][[1]];
unapprox = {{unknown, 0}, {e1, e0}, {s1, s0}};
solution = FindRoot[{eq1, eq2, eq3}, unapprox , AccuracyGoal -> 5] ;
Evaluate[{e1, s1} /. solution] // N
];
step[mat_, loading_, ninc_] := Do[AppendTo[states, increment[mat, loading]], {iinc, 1, ninc}];
mat = {EE = 1000, smax = 10, n = 1};
states = {{0, 0}};
1D-HP mit Mathematica : GUI (18)Simulation des Odometerversuchs im Kompressionsdiagramm
controlPanel[] := Module[{},
Manipulate[
ListPlot[ states[[All, 1 ;; 2]],Joined -> True,
PlotMarkers -> Automatic, AxesLabel -> {\[Epsilon],\[Sigma]}],
"Loading step consists of:", {{ninc, xninc}},
"increments consisting of", {{de, xde}}, {{ds, xds}}, "each",
Delimiter,
Button["Calculate step",
step[mat, {de, ds}, ninc];],
Button["Undo step",
If[Length[states]>= 2+ninc,states= Drop[states,-ninc],states={First[states]}];],
Button["Reset the initial state",
states = {states[[1]]}; ninc = xninc; de = xde; ds = xds; ]
] (*manipulate*)
] ; (*module*)
controlPanel[]
HP: alte und neue Schreibweise (13b)
I Alt T = LD +N |D|, neu T = E
(D −m
∣∣∣∣ TTy∣∣∣∣n |D|)
I Spannungsrate T =dT
dt, Dehnungsrate D =
dε
dt
I Fließbedingung (folgt aus T = 0 bei D 6= 0)∣∣∣∣NL∣∣∣∣ = 1 oder
∣∣∣∣ TTy∣∣∣∣ = 1 oder |T | = Ty
I Fließregel (folgt ebenfalls aus T = 0 bei D 6= 0)
~D = sign(−N/L) oder ~D = m
I Parameter:
I Steifigkeit L = EI max. Spannung Ty
I neuer Exponent n
HP mit einem Exponenten (13b)
T = E
(D −m
∣∣∣∣ TTy∣∣∣∣n |D|) n beeinflusst die Krummung
Bei n→∞ und E →∞ erhalten wir St.-Venant Korper
2 4 6 8
-1
-0.5
0.5
1T
Ty
εn=6
E12 4 6 8
-1
-0.5
0.5
1T
Ty
εn=1
E1
Leider kann die HP nicht zwischen derErst- und Wiederbelastung unterscheiden
/.Das Problem heißt ”Ratcheting”
Sperrklinkeε
σ
Endochrone Theorie (13a)
Die innere Zeit z ist die Lange des Dehnungsphades, dz = |ε|dt (Valanis 1971)
Die Spannung T wird als Integral (mit Kernfunktion K) formuliert:
T (z) =
∫ z
0
K(z, τ)dε(τ)
dτdτ mit K(z, τ) = Ee−b(z−τ) (1)
wobei τ ein Parameter analog zu z ist, d.h. dτ = |ε|dt.
1e
-b(z- )
ε
ε1
2
τ
τ = zτ
Die Kernfunktion K(z, τ)/E = e−b(z−τ) beschreibt einen ruckwarts entlangdes Verformungspfades abklingende Wichtungsfaktor. Damit wird diejungste Geschichte der Verformung im Vordergrund stehen.
Endochrone Theorie (13a)Ableitung bezuglich z eines Integrals mit den Integrationsgrenzen abhangig von z (Leibnizregelfur Parameterintegrale, http://de.wikipedia.org/wiki/Parameterintegral):
d
dz
∫ U(z)
L(z)f(z, τ)dτ =
∫ U(z)
L(z)
∂f(z, τ)
∂zdτ + f(z, U)U
′(z)− f(z, L)L
′(z) (2)
Die Spannungsrate (bezuglich z) mit L(z) = 0 und U(z) = z betragt
dT
dz= −b
∫ z0K(z, τ)
dε(τ)
dτdτ +K(z, z)
dε(τ)
dτ1 (3)
dT
dz= −bT +E
dε(τ)
dτ(4)
dT = −bTdz +Edε(τ)
dτdz (5)
T = −bT |ε| +Eε (6)
HP und endochrone Theorie sind aquivalent und die beiden lassen sich mit‖ε‖ fur 3D verallgemeinern.
Zyklische Akkumulation (ist zu groß) (14)
Δεacc
ampl2ΔT
T
ε
2Δε
(N<0)acc
E-(T/T )yn
E+(T/T )yn
ampl
ΔT
T
T>0
D>0
D>0
(>0)m=1
T<0ε
m=-1
T>0 m=1
T<0 m=-1
E-(T/T )yn
E+(T/T )yn
Dehnungszyklen ↑ Spannungszyklen ↑
∆T acc = 4Nεampl =
= −mE∣∣∣∣ TTy
∣∣∣∣n 4εampl
∆εacc =−4NT ampl
L2 −N2=
=4T amplY m
E(1− Y 2)mit Y =
∣∣∣∣ TTy∣∣∣∣n
pro Zyklus
Schwinger mit hypoplastischer Feder (15)
lhypoplast.Feder
Masse
L,N
mε
A
l = u
I Gleichgewicht TA+mu = 0homogene Verformung u = lε u. u = lε ergibtTA+mlε = 0und abgeleitet nach Zeit:TA+ml
...ε= 0
...u= l
...ε= Ruck, engl. jerk
eq1 = T’[t] + 10 e’’’[t] == 0;
I Stoffgesetz: T = LD +N |D|, z.B. mit L = 10 und N = −Teq2 = T’[t] == 10 e’[t] - T[t] Abs[e’[t]];
I AB: (bei t = 0): T = 5, ε = 0, ε = 1, ε = 0IC = {T[0] == 5 , e[0] == 0, e’[0] == 1, e’’[0] == 0};
Die erhaltene GDG hat die numerische Losung
solu = NDSolve[{eq1,eq2,IC}, {e, T}, {t,0,100}, Method-> "BDF",
MaxSteps->100000][[1]]
ParametricPlot[ ({e[t], T[t]} /. solu), {t, 0, 100}]
ParametricPlot[ ({e[t], e’[t]} /. solu), {t, 0, 100}]
Freies Schwingen - Beispiele (16)
Oben: Spannung-Dehnungskurven, unten: Phasendiagramme
2 4 6 8 10 12
-6
-4
-2
2
4
6T
ε
2 4 6 8 10 12
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1D
ε
2 4 6 8 10 12
-6
-4
-2
2
4
6
T
ε
2 4 6 8 10 12
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1D
ε
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-6
-4
-2
2
4
6
T
ε
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1 D
ε
2 4 6 8 10 12
-6
-4
-2
2
4
6
T
ε
2 4 6 8 10 12
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1D
ε
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-6
-4
-2
2
4
6
T
ε
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1D
ε
2 4 6 8 10
2
4
6
8
10
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2 4 6 8 10
T
εD
ε
hat keine Grenze
N=-5 N=-T N=-TT(0)=0 T(0)=0 T(0)=5
Exzessive Akkumulation bei unsymm. Zyklen /BDF =(Backward Differencing Formula)= Differenzen unter Einbeziehung vorherigerZeitpunkte.BDF 1. Ordnung = Euler Integration.BDF 2. Ordnung basiert auf einer Parabel, die auf den Zeitpunkten t−∆t, t und t+∆tfestgelegt wird.Die Implementierung ist unwesentlich aufwendiger als Euler, die Ergebnisse sind jedochwesentlich genauerer (fur aquidistante Gitter).
Vereinfachte HP fur 3D unter monotoner Belastung (17)
FE-Berechnung mit HP ergibt eine Aufwolbung neben dem Fundamentwenn der Dilatanzwinkel ausreichend groß ist.Das Verhalten von HP und EP Modellen ist dabei ahnlich.
P
P
P
Q
Q
Q
Y=0
T
T T
T
n
P
P
P
Q
Q
Q
T
T
n
1 1
2 2
3
P
Q
PR
Y=1
T
n(A.F.R.)
T1
T2
T3
3.q
3.q
3
.q3
.q3
.q3
.q3
q
pkrit.
Zustand
mehrDilatanz
Zug
ist soll
Hypopl. Fließregel:
HP EP Fließregel
Y = 0→ perfekte Elastizitat, z.B. am Zustand T1
Y = 1→ perfekte Plastizitat, z.B. am Zustand T3 T = E : (D−mY ‖D‖)
Vereinfachte HP fur 3D unter monotoner Belastung (18)
Druckabhangige Elastizitat E = E0 + λEP mit ν = 0, d.h. T = ED
Drucker-Prager Fließkriterium mit abge-rundeter Spitze
y(T) ≡ −M P −B +√Q2 +B2 = 0
mit
P = −trT (∂P/∂Tij) = −δijQ = ‖T∗‖ (∂Q/∂Tij) = T ∗ij/Q
M =√
8/3 sinϕ/(3 + sinϕ)
B =√
24 c cosϕ/(3 + sinϕ)
Q
PPR
1
Y=0T
Die Interpolation 0 < Y < 1 fur T = E : (D− Y wm|D|) erfolgt mit
Y =Q√
(B + MP )2 −B2fur P > PR
Y =(B + MPR)(PR − P ) +
√B2(P − PR)2 + (2B/M + PR)PRQ2
PR(2B + MPR)fur P < PR
Vereinfachte HP fur monotone Belastung (19)Assoziierte Fließregel (fur dichten Sand) ψ = ϕ
m =
[∂y
∂T
]→=
[T∗√
B2 + ‖T∗‖2+M 1 =
1
bT∗ +M 1
]→Volumentreue (isochore) Fließregel (fur lockeren Sand) ψ = 0
m = h ~1 +√
1− h2 ~T∗ mit h =
1− P/PR, fur P < PR;
0, fur P ≥ PR.
Inkrementelle Berechnung mit einer impliziten Zeitintegration und mit einerkonsistenten Jakobi Matrix:
∂Pmn∂εab
=
[Jijmn − L′ijklmn
Mεkl +
MεLijrs
∂(Y wLijrsmrs)
∂Pmn
]−1[Lijab − LijrsY wmrs
~Mεab
]mit
Mε = ‖Mε‖ und P = Tt+∆t garantiert numerische Stabilitat mit quadrati-
scher Konvergenz der Gleichgewichtsiteration. (Erklarung in der Vorlesungzur Numerik in der Geotechnik)
Mangelhafte Simlation mit vW-HP (20)
(Avg: 75%)SDV1
+6.800e−01+6.833e−01+6.867e−01+6.900e−01+6.933e−01+6.967e−01+7.000e−01+7.033e−01+7.067e−01+7.100e−01+7.133e−01+7.167e−01+7.200e−01
+6.502e−01
+7.737e−01
Step: Step−2Increment 5010: Step Time = 1.000Primary Var: SDV1Deformed Var: U Deformation Scale Factor: +1.000e+00
FROM G600 BY A.NIEMUNISODB: 1.odb Abaqus/Standard Version 6.7−1 Tue May 08 14:16:59 Mitteleuropäische Sommerzeit 2012
Durchstanzen mit dem Fundament auch bei sehr dichten Bodennur vW-HP.
Implementierung der HP (20)
Shear Stress (kPa)
-200-110-20+70
+160+250+340+430+520+610+700
ShearStress (kPa)
-15-5
+6+17+27+38+48+59+69+79+90
Streifenfundament (dicht) Kreisfundament (dicht)
Streifenfundament (locker) Kreisfundament (locker)
9m
7.5m0.5m
s=0.2m
Q=15kPaQ=15kPa
γ '=10kN/m3
x1
x2
Deformiertes Netz und Isolinien der Schubspannung T12.Sehr gute (±10%) Ubereinstimung mit Tragfahigkeit nach DIN 4017.
Implementierung der HP (21)
Im lockeren Sand bildet sich wirklich kein Buckel neben dem Fundament.(Reproduziert durch ψ = 0◦, )
Quelle: Tatsuoka, F., Nakamura, S., Huang, C. C. & Tani, K., Soils & Foundations 1990
Implementierung der HP (22)
Der Bruchmechanismus wird qualitativ richtig prognostiziert (Vesic 1973).
(a)
(b)
(c)
Erhohte Steifigkeit bei kleinen Verformungen (23)
Elastizitat gilt bis εampl ≈ 10−5
ε
T
εET
1% 1%0
Anderung der Steifigkeit E(εampl) mit der Verformungsamplitude auchunterhalb von εampl = 10−3
E(10−3) ≈ 1
5E(10−5)
Wichtig fur die Setzungsprognosen.(ε = 0 ist verstanden als Ausgangs-K0-Zustand).
Kleine DehnungenErhohte Steifigkeit bei Sand furεampl<10−4
σ
εamplε0 0.010.001
σ
εamplε010-310-5
keine Linearität
Lineare Elastizitat nur bis εampl ≈10−5
Nichtlinearitat bei Sand auch furγampl<10−2
10-6
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
G/G
max
γ ampl10-5 10-4 10-3 10-2
:e=0.640:e=0.696:e=0.742:e=0.793
Kokusho (1980)
klein
groß
sehr klein
LDVT
TriaxRC υ = G/ρs
Stützmauer
Fundament
Tunnel
Erhohte Steifigkeit bei kleinen Verformungen (24)
Abnahme der Schubsteifigkeit G mit der Dehnungsamplitude γampl
0.0001
Stützmauer
Fundament
Tunnel
klein großsehrklein
LVDT
1μm0.1μm
Triax
G
γ [%]0.001 0.01 0.1 1 10
aus RC υ = G/ρs
ampl
WikipediA: LVDT = Linear Variable Differential-Transformer. Primarspule + zwei
Sekundarspulen. Letztere sind gegenphasig in Reihe geschaltet, dadurch subtrahieren sich die
Spannungen (. . . ) Wird die Symmetrie gestort, so entsteht eine Ausgangsspannung.
Erhohte Steifigkeit bei kleinen Verformungen (25)
Abnahme der Steifigkeit mit γampl(die Schleife wird flacher)
Zunahme der Dampfung mit γampl(die Schleife wird dicker)
GmaxG
Backbonecurve
ampl
Gmax
G D
D=
D=Dämpfung
4π
Dmax
log
γ γ
τ
0
0.5
1.0
Erstbelastung nach einem Einspielen (Shakedown) wird durch “Backbonecurve” beschrieben.Dampfungsmaß D wird oft mit dem Gutefaktor (=quality factor) Q = 1/(2D) ausgedruckt.
Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
γ
τ
γ
τ
γ
τ
G1
γ
τEt
Et
1
γ
τ
EtEt
1
γ
τ
G1
G1
γ
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γ
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γ
τ
γ
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γ
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γ
τ
γ
τ
γ
τ
I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
γ
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
γ
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
Erhohte Steifigkeit bei kleinen Verformungen (26)
Masing Regel:
I Vom Umkehrpunkt (reversal) (γR, τR) entspricht dieEntlastungs-Kurve der zweifachen Erstbelastungs-Kurve im τ − γDiagramm:
Erstbelastung τ = F (γ) Entlastungτ − τR
2= F
(γ − γR
2
)I Eine Uberlastung folgt die Erstbelastungs-Kurve unabhangig von der
Veformungsgeschichte, siehe Abschnitt b . . . d
γ ,τ 0 0
time
τ
γ
τ
τ 0
ta a
bb
τ
γ
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τ =F(
γ)
1-st
lo
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γ ,τ 0 0
τ 0 t
c
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τ =F(
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γ , τ R R
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Erhohte Steifigkeit bei kleinen Verformungen (26)
Masing Regel:
I Vom Umkehrpunkt (reversal) (γR, τR) entspricht dieEntlastungs-Kurve der zweifachen Erstbelastungs-Kurve im τ − γDiagramm:
Erstbelastung τ = F (γ) Entlastungτ − τR
2= F
(γ − γR
2
)I Eine Uberlastung folgt die Erstbelastungs-Kurve unabhangig von der
Veformungsgeschichte, siehe Abschnitt b . . . d
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Erhohte Steifigkeit bei kleinen Verformungen (26)
Masing Regel:
I Vom Umkehrpunkt (reversal) (γR, τR) entspricht dieEntlastungs-Kurve der zweifachen Erstbelastungs-Kurve im τ − γDiagramm:
Erstbelastung τ = F (γ) Entlastungτ − τR
2= F
(γ − γR
2
)I Eine Uberlastung folgt die Erstbelastungs-Kurve unabhangig von der
Veformungsgeschichte, siehe Abschnitt b . . . d
γ ,τ 0 0
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Erhohte Steifigkeit bei kleinen Verformungen (26)
Masing Regel:
I Vom Umkehrpunkt (reversal) (γR, τR) entspricht dieEntlastungs-Kurve der zweifachen Erstbelastungs-Kurve im τ − γDiagramm:
Erstbelastung τ = F (γ) Entlastungτ − τR
2= F
(γ − γR
2
)I Eine Uberlastung folgt die Erstbelastungs-Kurve unabhangig von der
Veformungsgeschichte, siehe Abschnitt b . . . d
γ ,τ 0 0
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γ)
γ , τ R R
γ , τ R R
1st l
oa
ding
c
γ ,τ 0 0
τ 0
Erhohte Steifigkeit bei kleinen Verformungen (26)
Masing Regel:
I Vom Umkehrpunkt (reversal) (γR, τR) entspricht dieEntlastungs-Kurve der zweifachen Erstbelastungs-Kurve im τ − γDiagramm:
Erstbelastung τ = F (γ) Entlastungτ − τR
2= F
(γ − γR
2
)I Eine Uberlastung folgt die Erstbelastungs-Kurve unabhangig von der
Veformungsgeschichte, siehe Abschnitt b . . . d
γ ,τ 0 0
time
τ
γ
τ
τ 0 ta a
bb
τ
γ
τ
τ =F(
γ)
1-st
lo
ading
γ ,τ 0 0
τ 0 t
c
bb
τ
γ
τ
-2x 1-st loading
τ =F(
γ)
γ , τ R R
γ , τ R R
1-st
lo
ading
c
γ ,τ 0 0
τ 0 t
c
τ
2x 1
-st l
oadi
ng
γ
τ
-2x1-st loading
τ =F(
γ)
γ , τ R R
γ , τR R
1st l
oa
ding
c
γ ,τ 0 0
τ 0
ddb
b
t
c
d dbbτ
2x 1
-st l
oadi
ng
γ
τ
-2x 1st loading
τ =F(
γ)
γ , τ R R
γ , τ R R
1st l
oa
ding
c
γ ,τ 0 0
τ 0
Vorschlage fur das backbone Profil F (γ) (27)
• Ramberg & Osgood γ =τ
Gmax+ α
(τ
Gmax
)rmit
γ
γy=
τ
τy+ α
(τ
τy
)r• Hardin & Drnevich
G
Gmax=
1
1 + β(γ/γref)amit β ≈ 1 und a ≈ 0.92
• Prevost τ = Gmaxγmax
y − 12
+√
14− y
m+1
mm+1
− y mit y = τmax/(Gmaxγmax)
• Bardet G(γ) =
Gmax
(τmax − ττmax
)nfur τ < τmax
0 fur τ >= τmax
• Prandtl; Kondner & Zelasko; Jennings; Seed & Idriss; Iwan; Finn; Pyke;Vucetic; Darendeli; Lo Presti, ...
Die 3D Erweiterungen sind kaum zu finden in der Literatur.
Beispiel: F (γ) nach Hardin, Drnevich (27)
Die Formel G/Gmax = 1/(1 + β(γ/γref)a) betrachtet γ als eine Amplitude,
d.h. γ > 0. Wir bilden τ = F (γ) mit |γ| d.h.
F (γ) ≡ Gmaxγ
1 + β(|γ|/γref)a(7)
F[g_] := Gmax g/(1 + b (Abs[g]/gref)^a);
Gmax = 10000 ; b = 1; gref = 0.001; a = 0.9; (* mat const *)
gR1= 0.01; gR2= -0.005; gR3= 0.00; gR4= -0.0025; gR5=0.015;
tR1 = F[gR1];
tR2 = tR1 + 2 F[(gR2 - gR1)/2];
tR3 = tR2 + 2 F[(gR3 - gR2)/2];
tR4 = tR3 + 2 F[(gR4 - gR3)/2];
tR5 = tR4 + 2 F[(gR5 - gR4)/2];
g0 = ListPlot [{{0,0}, {gR1,tR1},{gR2,tR2},{gR3,tR3},
{gR4,tR4},{gR5,tR5}}];
g1 = Plot[ F[g] , {g, 0, gR1} ];
g2 = Plot[ tR1 + 2 F[(g - gR1)/2] , {g, gR1, gR2} ];
g3 = Plot[ tR2 + 2 F[(g - gR2)/2] , {g, gR2, gR3} ];
g4 = Plot[ tR3 + 2 F[(g - gR3)/2] , {g, gR3, gR4} ];
g5 = Plot[ tR4 + 2 F[(g - gR4)/2] , {g, gR4, gR5} ];
Show[ g0, g1, g2, g3, g4, g5 , PlotRange -> All]
0.005 0.005 0.010 0.015
10
5
5
10
15
1
2
3
4
0
5τ
σ
Die Masing Regelτ − τR
2= F
(γ − γR
2
)garantiert keine geschlossene
Zyklen ohne Aktualisierung von γR und τR. Es ist nicht einfach die LetzteUmkehr!
Intergranulare Dehnung (=iD) (28)
Um Ratcheting zu mildern wird die Steifigkeit nach jeder Pfad-Umkehrerhoht. Dafur muss der jungste Zeitverlauf der Dehnung = iD, hberucksichtigt werden.
• hD > 0 und |h| = R (max. Wert von h), Steifigkeit wird nicht erhoht
• h = 0 Steifigkeit wird 5-fach erhoht
• hD < 0 Steifigkeit wird 5-fach erhoht
Entwicklung von h:h =
(1−|h|R
)D fur hD ≥ 0 Aufbau, h→ R~D
h = D fur hD < 0 Abbau, h→ 0
h
ε
h=R
h=-R
11
ohne iD
ohne iD
εε
T T h = Rh = R
h=-Rh=-R
h=0
hD > 0hD < 0
Intergranulare Dehnung (29)
m LR L + N |D|
h=R und hD>0h=0 oder hD<0
Die Steifigkeit kann bis mR ≈5-fach vergroßert werden.
ohne iD
ohne iD
εε
T T h = Rh = R
h=-Rh=-R
h=0
hD > 0hD < 0
T =
[(1− |h|
R
)mR +
|h|R
]LD +
|h|RN~hD fur hD ≥ 0
T = mRLD fur hD < 0
mit N = −T und ~h = sign(h) also ~hD = |D| gilt.
h = |R| und hD > 0 ergibt T = LD +N~hD =alte Hypoplast.
h = |R| und hD < 0 ergibt T = mRLD =nach Pfad-Umkehr
h = 0 ergibt T = mRLD =elastisches Einspielen
Hypoplast. Schwinger mit intergr. Dehnung (30)
73
10T
ε
-0.4
3 7
1D
ε
73
10T
ε
-0.4
3 7
1D
ε
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-2
2
4
6
8
10
12T
ε
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1
1
ε
D
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.4
0.4
ε
h
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-2
2
4
6
8
10
12T
ε
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1
1
ε
D
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.05
ε
h
-0.05
73
10T
ε
-0.4
3 7
1D
ε0.5 1 1.5 2 2.5 3
-2
2
4
6
8
10
12T
ε
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1
1
ε
D
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.4
0.4
ε
h
Ohne iD mit kleiner iD mit großer iD
Ratcheting ohne und mit iD (31)
0.1
0.3
e
00
4 8 12
ε [%]1
T - T
[M
Pa]
12
T [MPa]1
0.20.1 0.5 1
(ln)0.6
0.7
0.65
HP
HP
Odometer Test und Triax. Test
ohne die iD
0.20.1 0.5
e
0.1
0.3
00 4 8 12
ε [%]1
T - T
[M
Pa]
12
T [MPa]11
(ln)0.6
0.7
0.65
HP+
HP+
und mit der iD
Defekte der iD (32)Masing Regel nicht erfullt(Dampfung unrealistisch). /
(a)
(b)
(c)
(d)
τ
γ
Einfaches Scheren.
Verhalten bei unterschiedlichenAmplituden mangelhaft /
Vo
lum
en
1+e
log(p)Druck
iD hier richtig
iD hier zu klein
ohneiD
iD zu groß
soll
Odometer: zyklische Belastung
Defekte bei iD
Prognostizierte Sekanten-Steifigkeit G(γampl) und Dampfung D(γampl) sindzum Teil unrealistisch.
-15
-10
-5
0
5
10
15
-2x10-3
-1 0 1 2γ12
[-]
τ 12[k
Pa]
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1
γ [-]
G/G
max
[-]
0
0.2
0.4
0.6
10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1
γ [-]
D[-
]-10
-5
0
5
10
-5.0x10
-4-2.5 0 2.5 5.0
γ12 [-]
τ 12[k
Pa]
12ampl
12ampl
soll
soll
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