View
235
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
TESIS
IDENTIFIKASI FAKTOR SIGNIFIKAN RANCANGAN
FAKTORIAL FRAKSIONAL TANPA PENGULANGAN
DENGAN METODE BISSELL, LENTH, DAN FANG
Oleh:
ADNAN SAUDDIN
NRP. 1304 201 008
PROGRAM STUDI MAGISTERJURUSAN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMINSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
2006
IDENTIFIKASI FAKTOR SIGNIFIKAN RANCANGANFAKTORIAL FRAKTIONAL TANPA PENGULANGANDENGAN METODE BISSELL, LENTH, DAN FANG
Tesis ini disusun untuk memenuhi salah satu syaratmemperoleh gelar Magister Sains (M.Si.)
di
Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya
Oleh:
ADNAN SAUDDINNRP. 1304 201 008
Tangal Ujian : 31 Juli 2006Periode Wisuda: September 2006
Disetujui Oleh Tim Penguji Tesis:
1. Prof. Dra. Susanti Linuwih, M.Stat., Ph.D (Pembimbing 1)NIP. 130 368 808
2. DR. Drs. Purhadi, M.Sc (Pembimbing 2)NIP. 131 843 382
3. Prof. Drs. Nur Iriawan, MIkom., Ph.D (Penguji)NIP. 131 782 011
4. DR. Drs. I Nyoman Budiantara, M.Sc (Penguji)NIP. 131 843 382
5. DR. Drs. Sony Sunaryo, M.Si (Penguji)NIP. 131 883 380
6. Ir. Mutiah Salamah, M.Kes (Penguji)NIP. 131 283 368
Direktur Program Pascasarjana
Prof. Ir. Happy Ratna S., M.Sc., Ph.D.NIP. 130 541 829
IDENTIFIKASI FAKTOR SIGNIFIKAN RANCANGANFAKTORIAL FRAKSIONAL TANPA PENGULANGAN
DENGAN METODE BISSELL, LENTH, DAN FANG
Oleh : Adnan Sauddin
Pembimbing : Prof. Dra. Susanti Linuwih, M.Stat., Ph.D
Co. Pembimbing : Dr. Purhadi, M.Sc
ABSTRAK
Rancangan faktorial dengan jumlah faktor yang sangat besar tidak memungkin-kan untuk diterapkan didunia industri atau di bidang lainnya. Untuk mengatasihal tersebut, digunakan rancangan faktorial fraktional. Dalam penelitian, penen-tuan faktor mana dari sejumlah faktor yang dinyatakan potensial memberikaninformasi terhadap masalah yang diteliti menjadi lebih sulit jika pengukurannyadilakukan tanpa pengulangan untuk setiap kombinasi perlakuan. Hal tersebutdisebabkan oleh tidak adanya rata-rata kuadrat error yang dapat diperoleh padasebagian besar rancangan faktorial fraksional tanpa pengulangan. Untuk meng-atasi hal tersebut, dalam penelitian ini dihasilkan statistik uji metode Bissell,Lenth, dan Fang beserta penaksir-penaksirnya yang memberikan suatu analisisformal tentang bagaimana menentukan suatu faktor signifikan atau tidak dalamrancangan faktorial fraksional tanpa pengulangan. Juga diperoleh funsi powerdari ketiga metode tersebut, yang digunakan untuk membandingkan kekuatan ujimasing-masingnya. Power uji menunjukkan metode Lenth dan Fang lebih kuatbanding metode Bissell, dan antara metode Lenth dan Fang tidak memberikanindikasi adanya perbedaan kekuatan uji.
Kata kunci : Fraksional Faktorial, fungsi power, metode Lenth, metode Fang,metode Bissell.
iii
IDENTIFICATION SIGNIFICANT FACTORS OFUNREPLICATED FRACTIONAL FACTORIAL DESIGNBY USING BISSELL, LENTH, AND FANG METHODS
By : Adnan Sauddin
Supervisor : Prof. Dra. Susanti Linuwih, M.Stat., Ph.D
Co. Supervisor : Dr. Purhadi, M.Sc
ABSTRACT
Factorial design with number of factors very large is impossible to be apply inindustrial world. To avoid such a problems, fractional factorial design is usedinstead. However, to select the right factor which should be used in order tosupply information about the problem being analyzed will be difficult when werunning each treatment combination without replication. That is causes by dueto absence of mean square error in any analysis of most unreplicated fractionalfactorial design. In this research, statistical test of Bissell, Lenth, and Fangmethods, including their estimation and the power function are resulted. Thepower function that resulting used to comparing power test of these methods,the result are Lenth and Fang method more powerfull than Bissell method, andLenth and Fang methods showed with no indication of resulting different powertest.
Key words : fractional factorial, power function, unreplicated, Bissel method,Lenth method, Fang method.
iv
DAFTAR ISI
HALAMAN PENGESAHAN iii
ABSTRAK iii
ABSTRACT iv
DAFTAR TABEL vii
DAFTAR GAMBAR viii
DAFTAR LAMPIRAN ix
KATA PENGANTAR x
BAB I. PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Permasalahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Batasan Permasalahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
BAB II. TINJAUAN PUSTAKA 4
2.1 Model Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Estimasi Kontras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 Distribusi dari β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.3 Penaksir σ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.4 Pengujian Hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Rancangan Fraksional Faktorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Fraksional Faktorial Dua-Level, 2k−p . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.1 Identifikasi Struktur Alias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Fraksional Faktorial Tiga-Level . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Identifikasi Struktur Alias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Beberapa Definisi dan Teorema Berkaitan dengan Pembahasan . . 21
BAB III. METODOLOGI PENELITIAN 27
3.1 Bahan dan Alat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
v
BAB IV. PEMBAHASAN 31
4.1 Statistik uji dari Metode Bissell, Fang dan Lenth Serta Penaksirnya 31
4.1.1 Statistik Uji Metode Bissell dan Penaksirnya . . . . . . . . 31
4.1.2 Penaksiran Parameter dengan Metode Lenth . . . . . . . . 33
4.1.3 Penaksiran Parameter dengan Metode Fang . . . . . . . . 37
4.1.4 Fungsi Power Metode Bissell, Lenth dan Fang . . . . . . . 39
4.2 Perbandingan Power Uji Metode Bissell, Lenth dan Fang . . . . . 41
4.2.1 Kasus Rancangan Faktorial Fraksional 2-Level . . . . . . . 42
4.2.2 Kasus Rancangan Faktorial Fraksional 3-Level . . . . . . . 45
BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN 49
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
DAFTAR PUSTAKA 53
LAMPIRAN 54
Lampiran A. Matriks Rancangan dan Data 55
1.1 Data Eksperimen Permainan Golf . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.2 Data Pembakaran pada Boiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Lampiran B. Hasil Analisis untuk Identifikasi Faktor Signifikan 57
2.1 Permainan Golf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2 Pembakaran Pada Boiled 3-Level . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Lampiran C. Hasil Penghitungan Power dan Kurva Kuasa Metode
Bissell, Lenth, dan Fang untuk Permainan Golf 62
Lampiran D. Listing Program 66
4.1 Listing Program Iterasi Bissell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Listing Program Perhitungan Metode Lenth dan Fang . . . . . . . 68
vi
DAFTAR TABEL
2.1 Susunan Rancangan Faktorial 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Susunan Rancangan Faktorial 23−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Algoritma Yate untuk Rancangan 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1 Rangkuman Hasil Analisis Varian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Rangkuman Hasil Analisis Varian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.1 Faktor dan Level-level untuk Permainan Golf . . . . . . . . . . . 55
1.2 Matriks Rancangan Eksperimen Permainan Golf . . . . . . . . . . 55
1.3 Faktor dan Level-Level data Pembakaran pada Boiler . . . . . . . 55
1.4 Matriks Rancangan Fraksional Faktorial 3-Level Data Pembakaran
pada Boiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1 Nilai Statistik Bissell, Metode Lenth dan Fang untuk Permainan
Golf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2 Hasil Perhitungan Metode Bissell, Lenth dan Fang . . . . . . . . . 60
2.3 Hasil Perhitungan Metode Bissell, Lenth dan Fang . . . . . . . . . 61
3.1 Power Metode Bissell untuk Permainan Golf . . . . . . . . . . . . 62
3.2 Power Metode Lenth untuk Permainan Golf . . . . . . . . . . . . 63
3.3 Power Metode Fang untuk Permainan Golf . . . . . . . . . . . . . 64
vii
DAFTAR GAMBAR
4.1 Kurva Kuasa Metode Bissell, Lenth, dan Fang untuk Permainan
Golf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1 Kurva Kuasa Metode Bissell, Lenth dan Fang untuk Permainan Golf 65
viii
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran A: Matrik Rancangan dan Data 55
1.1 Data Eksperimen Permainan Golf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.2 Pembakaran pada Boiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Lampiran B: Hasil Analisis untuk Identifikasi Faktor Signifikan 57
2.1 Permainan Golf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2 Kasus Pembakaran Pada Boiled 3-Level . . . . . . . . . . . . . . . 58
Lampiran C: Hasil Perhitungan Power dan Kurva Kuasa Metode
Bissell, Lenth, dan Fang 62
Lampiran D : Listing Program 66
4.1 Listing Program Iterasi Bissell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Listing Program Perhitungan Metode Lenth dan Fang . . . . . . . 68
ix
Kata Pengantar
Segala puji hanya milik Allah, hanya kepada-Nya kami berlindung dan
hanya kepada-Nya kami memohon ampunan, kami berlindung kepada-Nya dari
keburukan diri kami dan kejelekan amalan-amalan kami. Bahwa, barang siapa
diberi petunjuk oleh Allah SWT, tidak seorang yang dapat menyesatkannya dan
barang siapa yang disesatkan oleh-Nya, tidak seorang yang dapat memberinya
petunjuk. Saya bersaksi bahwa tidak ada illah yang berhak diibadahi kecuali Al-
lah SWT, dan aku bersaksi bahwa Muhammad rasulullah SAW adalah rasul-Nya.
Alhamdulillah, penulis dapat menyelesaikan tesis ini dengan judul ”Identifikasi
Faktor signifikan Rancangan Faktorial Fraksional tanpa Pengulangan Dengan
Metode Bissell, Lenth, dan Fang”. Tesis ini merupakan salah satu syarat un-
tuk mendapatkan gelar Magister Sains (M. Si.) pada Jurusan Statistika, Pro-
gram Pascasarjana Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut
Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Penulis menyadari sepenuhnya bahwa
tesis ini masih sangat jauh dari kesempurnaan dan dalam penyelesaiannya tidak
terlepas dari bantuan, bimbingan, dan arahan dari berbagai pihak, oleh kare-
nanya pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih dan penghargaan
yang setinggi tingginya kepada yang terhormat:
1. Bapak Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.S. selaku Koordinator Pro-
gram Studi S2 Jurusan Statistika Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya.
2. Prof. Dra. Susanti Linuwih, M.Stat., Ph.D, selaku pembimbing satu
yang telah meluangkan waktu memberikan arahan dan bimbingan kepada
penulis.
x
3. Dr. Purhadi, M.Sc, selaku pembimbing dua yang telah meluangkan waktu
memberikan arahan dan bimbingan kepada penulis.
4. Para staf dosen Program Studi Statistika, Institut Teknologi Sepuluh Novem-
ber Surabaya yang telah membekali penulis dengan ilmu pengetahuan.
5. Semua pihak yang telah banyak membantu dan tidak sempat penulis se-
butkan namanya satu persatu.
Surabaya, Maret 2006
Penulis
xi
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Penggunaan rancangan faktorial fraksional telah diperkenalkan oleh Tip-
pett (Box dan Meyer, 1986), dan sejak Tahun 1980 - an telah menjadi perha-
tian. Voelkel dan Rochester (2004), dalam penelitiannya menyimpulkan bahwa
rancangan ini relatif lebih efisien.
Eksperimen yang didasarkan pada rancangan faktorial, dimaksudkan un-
tuk menentukan faktor mana diantara sejumlah faktor yang secara potensial
memberikan efek pada respon. Namun, pada rancangan faktorial dengan jum-
lah faktor yang besar dan diikuti oleh jumlah kombinasi perlakuan yang besar,
eksperimen menjadi tidak efisien untuk dilakukan. Untuk menurunkan jumlah
kombinasi perlakuan, digunakan rancangan faktorial fraksional.
Jika terdapat lebih dari satu unit eksperimen untuk setiap perlakuan, maka
digunakan analisis varian untuk menguji efek utama dan efek interaksi dalam
model. Semua uji tersebut memerlukan rata-rata kuadrat error (mean squares
error, MSE), sebab estimasi dari varians error didasarkan pada variabilitas
data yang diperoleh dari hasil pengukuran atau pengamatan yang dilakukan se-
cara berulang-ulang untuk setiap perlakuan. Pertanyaan yang kemudian muncul
adalah, bagaimana jika hanya terdapat satu pengamatan pada tiap-tiap per-
lakuan?.
Kelemahan eksperimen tanpa pengulangan adalah tidak terdapat derajat
bebas untuk mengestimasi σ2, tidak ada error dalam setiap perlakuan, yang ber-
akibat pada sulitnya melakukan interpretasi terhadap efek yang dimungkinkan
berpengaruh, dan semua yang berkaitan dengan rata-rata kuadrat untuk uji sig-
nifikan statistik.
Dalam menaksir efek faktor yang signifikan dari rancangan faktorial frak-
1
2
sional tanpa pengulangan, telah dikemukakan beberapa metode, diantaranya;
Lenth (1989) menggunakan nilai margin of error atau batas kesalahan, simul-
tan margin error dan pseudo sparsity of error untuk menentukan faktor yang
signifikan yang didasarkan pada distribusi t, Hamada dan Balakrishnan (1998)
mengemukakan bahwa kelemahan dari metode Lenth adalah lemah dalam me-
ngontrol kesalahan type I.
Dong (1993) memodifikasi metode Lenth, yaitu mengganti nilai s0 dengan
s1 yang merupakan trimmed median. Bissell (1989, 1992), mengadopsi uji dispersi
Cochran (1954) dalam mengkonstruksi uji statistik untuk mengidentifikasi fak-
tor yang signifikan. Menurut Hamada dan Balakrishnan (1998), kelemahan dari
metode Bissell adalah power ujinya akan mengalami penurunan tatkala terdapat
banyak faktor yang signifikan.
1.2 Permasalahan
Berdasarkan latar belakang yang dijelaskan di atas, rumusan masalah
dari penelitian adalah sebagai berikut:
1. Bagaimana menentukan statistik uji dari metode Bissell, Lenth, dan Fang
serta penaksirnya dalam mengindentifikasi faktor yang signifikan dalam fak-
torial fraksional tanpa pengulangan
2. Bagaimana menentukan faktor yang signifikan dalam rancangan faktorial
fraksional 2k dan 3k tanpa pengulangan dengang menggunakan metode Bis-
sell, Lenth, dan Fang.
1.3 Tujuan Penelitian
Dari permasalahan yang dikemukakan di atas, tujuan penelitian dapat
dirumuskan sebagai berikut:
1. Menentukan penaksir dan statistik uji untuk mendapat faktor yang sig-
nifikan dengan metode Bissell, Lenth, dan Fang.
3
2. Membandingkan fungsi power metode Bissell, Lenth, dan Fang dalam meng-
identifikasi faktor yang signifikan dari rancangan faktorial fraksional 2k
tanpa pengulangan pada kasus permainan golf.
3. Membandingkan fungsi power metode Bissell, Lenth, dan Fang dalam meng-
identifikasi faktor yang signifikan dari rancangan faktorial fraksional 3k
tanpa pengulangan pada kasus pembakaran pada boiler.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah:
1. Menambah wawasan keilmuan menyangkut masalah penaksiran efek faktor
pada rancangan faktorial fraksional tanpa pengulangan
2. Untuk memberikan alat analisis dalam menetapkan faktor yang signifikan
dalam eksperimen rancangan faktorial fraksional tanpa pengulangan.
1.5 Batasan Permasalahan
Karena keterbatasan waktu dan mengacu pada rumusan masalah, peneli-
tian ini dibatasi pada masalah pengidentifikasian faktor yang signifikan rancangan
faktorial fraksional dua level dan tiga level.
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Model Linier
Diberikan variabel respon y dari rancangan faktorial fraksional yang penga-
matannya dilakukan tanpa pengulangan untuk tiap kombinasi perlakuan, dan
x1, x2, . . . , xk, variabel input yang berkaitan dengan faktor independen. Hubungan
antara variabel-variabel tersebut dapat digambarkan dalam persamaan berikut:
y = β0 + β1x1 + β2x2 + · · ·+ βkxk + ε (2.1)
Jika dilakukan pengamatan sebanyak n kali, maka persamaan (2.1) menjadi:
yi = β0 + β1x1i + β2x2i + · · ·+ βkxki + εi ; i = 1, 2, · · · , n
Model terakhir ini dapat dituliskan dalam model linear, sebagai berikut:
y = Xβ + ε (2.2)
dimana;
y = [y1 y2 · · · yn]T adalah vektor pengamatan berukuran n× 1,
β = [β0 β1 β2 · · · βk]T adalah vektor dari parameter
X adalah matriks berukuran n× (k + 1), dan
ε = [ε1 ε2 · · · εn]T adalah vektor error berukuran n × 1 dan berdistribusi
Nn(0, σ2I). Persamaan (2.2) dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut:y1
y2
...
yn
=
1 x11 x21 · · · xk1
1 x12 x22 · · · xk2
......
.... . .
...
1 x1n x2n · · · xkn
β0
β1
...
βk
+
ε1
ε2
...
εn
2.1.1 Estimasi Kontras
Pada analisis variansi dua arah rancangan faktorial fraksional dua faktor
tanpa pengulangan dengan model sebagai berikut:
yij = µ + τi + θj + εij; i = 1, 2; j = 1, 2 (2.3)
4
5
dengan syarat τ1 + τ2 = 0 ⇒ τ1 = −τ2 dan θ1 + θ2 = 0 ⇒ θ1 = −θ2.
Model tersebut juga dapat dituliskan dalam bentuk persamaan regresi linier,
yaitu
yi = β0 + β1x1 + β2x2 + εi; i = 1, 2, 3, 4 (2.4)
untuk x1 bernilai (−1, +1) dan x2 bernilai (−1, +1).
Keterkaitan antara kedua model tersebut dalam menetapkan kontras untuk pe-
naksir efek faktor dapat ditunjukkan sebagai berikut.
Dari syarat τ1 = −τ2 dan θ1 = −θ2 serta nilai dari x1(−1, +1), dan x2(−1, +1),
selanjutnya
y11 = µ + τ1 + θ1 + ε11
y12 = µ + τ1 − θ1 + ε12
y21 = µ− τ1 + θ1 + ε21
y22 = µ− τ1 − θ1 + ε22
dan
y1 = β0 + β1 + β2 + ε1
y2 = β0 + β1 − β2 + ε2
y1 = β0 − β1 + β2 + ε3
y1 = β0 − β1 − β2 + ε4
karena (2.3) dan (2.4) ekuivalen, maka
y11 = y1 ⇒ µ + τ1 + θ1 = β0 + β1 + β2 (2.5)
y12 = y2 ⇒ µ + τ1 − θ1 = β0 + β1 − β2 (2.6)
y21 = y1 ⇒ µ− τ1 + θ1 = β0 − β1 + β2 (2.7)
y22 = y1 ⇒ µ− τ1 − θ1 = β0 − β1 − β2 (2.8)
Persamaan (2.5) dan (2.6) dijumlahkan
µ + τ1 + θ1 = β0 + β1 + β2
µ + τ1 − θ1 = β0 + β1 − β2
+
2µ + 2τ1 = 2β0 + 2β1 (2.9)
Persamaan (2.5) dan (2.7) dijumlahkan
µ + τ1 + θ1 = β0 + β1 + β2
µ− τ1 + θ1 = β0 − β1 + β2
+
2µ + 2θ1 = 2β0 + 2β2 (2.10)
6
Persamaan (2.6) dan (2.7) dijumlahkan
µ + τ1 − θ1 = β0 + β1 − β2
µ− τ1 + θ1 = β0 − β1 + β2
+
2µ = 2β0 ⇒ µ = β0 (2.11)
Selanjutnya, dengan mensubtitusikan persamaan (2.11) ke persamaan (2.9) dan
(2.10), diperoleh
τ1 = β1 dan θ1 = β2
Dengan demikian, menaksir parameter-paramter pada model anova adalah sama
dengan melakukan penaksiran parameter-parameter pada model regresi.
Estimasi kontras dari model pada persamaan (2.2), yaitu:
y = Xβ + ε
dapat diperoleh dengan menggunakan metode kuadrat terkecil (Ordinary Least
Square Method), yaitu dengan mengambil turunan pertama dari jumlah kuadrat
error terhadap β dan menyamakannya dengan nol yang dijelaskan sebagai berikut:
y = Xβ + ε
ε = y −Xβ
L = εT ε = (y −Xβ)T (y −Xβ) (2.12)
persamaan (2.12) merupakan jumlah kuadrat error. Selanjutnya, ambil turunan
pertama dari L terhadap β
∂L
∂β= −2XT (y −Xβ)
= −2XTy + 2XTXβ
∂L
∂β= 0 ⇒ −2XTy + 2XTXβ = 0
XTXβ = XTy
β = (XTX)−1XTy (2.13)
7
dengan syarat XTX tidak singular, diperoleh β = (XTX)−1XTy yang merupakan
penaksir dari β.
2.1.2 Distribusi dari β
a. Ekspektasi β
Dari hasil sebelumnya, penaksir dari β adalah β = (XTX)−1XTy. Untuk
menentukan apakah estimasi dari β bias atau tidak, dilakukan dengan langkah-
langkah sebagai berikut
E(β) = E{(XTX)−1XTy}
= E{(XTX)−1XT (Xβ + ε)}
= E{(XTX)−1XTXβ + (XTX)−1XT ε)}
Karena (XTX)−1XTX = I dan E(ε) = 0, maka
E(β) = β
Karena E(β) = β, maka β merupakan estimator tak bias dari β
b. Varians β
V ar(β) = V ar{(XTX)−1XTy}
= {(XTX)−1XT}V ar(y){(XTX)−1XT}T
= {(XTX)−1XT}σ2I{(XTX)−1XT}T
= σ2{(XTX)−1XT}{(XTX)−1XT}T
= σ2{(XTX)−1XTX(XTX)−1}
Karena (XTX)−1XTX = I, maka
V ar(β) = σ2(XTX)−1.
Oleh karena β merupakan kombinasi linear dari y1, y2, . . . , yn yang berdistribusi
normal, sehingga distribusi dari β adalah
β ∼ N(β, σ2(XTX)−1) (2.14)
8
2.1.3 Penaksir σ2
Selanjutnya, untuk menentukan MSE, diketahui
y = Xβ
dan
ε = (y − y)
SSE = (y − y)T (y − y)
= (y −Xβ)T (y −Xβ)
= yTy − yTXβ − βTXTy + β
TXTXβ
karena βTXTy adalah skalar, dan transposnya, (βTXTy)T = yTXβ juga meru-
pakan suatu skalar, dan
XTy = XTXβ
maka
SSE = yTy − 2βTXTy + β
TXTXβ
= yTy − 2βTXTy + β
TXTy
= yTy − βTXTy
dengan demikian jumlah kuadrat error adalah
SSE = yTy − βTXTy (2.15)
Dari persamaan (2.13),
β = (XTX)−1XTy
Xβ = X(XTX)−1XTy
andaikan matriks X(XTX)−1XT = P dan In − P simetri dan idempoten, maka
Xβ = Py, sehingga
y −Xβ = (In −P)y
karena SSE = (y −Xβ)T (y −Xβ), maka
SSE = ((In −P)y)T ((In −P)y)
= yT (In −P)T (In −P)y
9
= yT (In −P)y
karena PXβ = Xβ dan E(yT (In −P)y) = tr((In −P)Σ + µT (In −P)µ)
dengan demikian diperoleh
E(SSE) = E(yT (In −P)y)
= σ2Itr(In −P) + (Xβ)T (In −P)Xβ
E(SSE) = σ2(n− p)
sehingga, suatu estimator tak bias dari σ2 diberikan sebagai berikut
σ2 =SSE
n− p
MSE =SSE
df
=(y −Xβ)T (y −Xβ)
n− p
2.1.4 Pengujian Hipotesis
Untuk mengetahui faktor-faktor yang signifikan, tentunya perlu dilakukan
pengujian hipotesis. Pengujian koefisien regresi atau efek faktor dari suatu model
anova dalam mempengaruhi variabel responnya, dapat dilakukan secara serentak
dan satu persatu.
Pengujian secara serentak menggunakan uji sebagai berikut:
1. Hipotesis:
H0 : βi = 0; i = 1, 2, 3, . . . , k
H1 : Paling sedikit terdapat satuβi 6= 0
2. Statistik uji yang berkaitan adalah
Fhitung =MSR
MSE
3. Berkaitan dengan keputusan yang diambil, diberikan Daerah penolakan
Tolak H0 jika Fhitung > Fv1,v2;α, untuk v1 sebagai derajat bebas untuk faktor
perlakuan dan v2 sebagai derajat bebas dari error.
10
Sedangkan untuk menguji apakah suatu faktor atau koefisien regresi secara indi-
vidu berpengaruh secara nyata atau tidak terhadap variabel repsonnya, dilakukan
dengan menggunakan uji t sebagai berikut:
1. Hipotesis:
H0 : βi = 0; i = 1, 2, 3, . . . , k
H1 : βi 6= 0
2. Statistik uji yang berkaitan adalah
thitung =βi
se(βi)
3. Berkaitan dengan keputusan yang diambil, diberikan Daerah penolakan
Tolak H0 jika |thitung| > tα/2,db.
2.2 Rancangan Fraksional Faktorial
Dalam suatu eksperimen, rancangan faktorial adalah suatu rancangan yang
mengikutkan seluruh kombinasi perlakuan dari k faktor atau variabel input. Apa-
bila jumlah dari k faktor ini cukup besar, maka akan berakibat pada besarnya
jumlah kombinasi perlakuan yang akan dilakukan, dan ini tidak cukup efisien.
Rancangan yang sering digunakan untuk menanggulangi hal tersebut, adalah
dengan menggunakan rancangan faktorial fraksional dalam rangka menurunkan
jumlah kombinasi perlakuan, dan beberapa diantaranya dilakukan tanpa peng-
ulangan.
2.3 Fraksional Faktorial Dua-Level, 2k−p
Secara umum, notasi yang digunakan dalam rancangan faktorial fraksional
mengikuti notasi yang digunakan dalam rancangan faktorial.
Untuk keperluan interpretasi hasil dari eksperimen, akan dijelaskan beber-
apa pengertian yang berkaitan dengan penyusunan rancangan eksperimen fakto-
rial fraksional.
11
Tabel 2.1: Susunan Rancangan Faktorial 23
Kontras
Kombinasi Perlakuan I A B AB C AC BC ABC
(1) + – – + – + + –
a + + – – – – + +
b + – + – – + – +
ab + + + + – – – –
c + – – + + – – +
ac + + – – + + – –
bc + – + – + – + –
abc + + + + + + + +
a. One-Half Fractional dari Rancangan 2k
Andaikan eksperimen dengan tiga faktor, masing-masing terdiri atas dua
level. Karena suatu kondisi, hanya sebagian kombinasi perlakuan yang dapat
dilakukan dalam eksperimen, yaitu empat dari delapan kombinasi perlakuan.
Tabel 2.2: Susunan Rancangan Faktorial 23−1
Kontras
Kombinasi Perlakuan I A B AB C AC BC ABC
a + + – – – – + +
b + – + – – + – +
c + – – + + – – +
abc + + + + + + + +
ab + + + + – – – –
ac + + – – + + – –
bc + – + – + – + –
(1) + – – + – + + –
Pada Tabel 2.1, jika dipisahkan interaksi tingkat tingginya, berdasarkan tanda
plus dan minusnya, maka akan terbentuk dua kelompok kontras yang masing-
masing terdiri dari empat kombinasi perlakuan, sebagaimana yang ditunjukkan
pada Tabel 2.2. Dimana, kolom kontras berkaitan dengan efek faktor, sedangkan
kolom I mewakili mean total untuk pengamatan dan disebut kolom identitas dan
−ABC dan +ABC disebut generator atau defining relation.
12
b. Estimasi Efek Perlakuan
Karena hanya akan dilakukan pengamatan sebanyak 23−1 = 4 kombinasi
perlakuan, maka akan terdapat d.fTotal = 4−1 = 3 derajat bebas untuk menaksir
efek faktor. Estimasi efek didasarkan pada koefisien kontras. sebagai contoh, dari
Tabel 2.2 untuk defining relation positif, I = ABC. Namun sebelum menentukan
penaksir efek dari masing-masing faktor terlebih dahulu akan ditentukan kontras
untuk masing-masing faktor, baik faktor utama maupun faktor interaksinya.
KontrasA = CA = (a− b− c + abc)
KontrasB = CB = (−a + b− c + abc)
...
KontrasBC = CBC = (a− b− c + abc)
Dari kontras tiap faktor tersebut kemudian dapat ditentukan penaksir efek dari
masing-masing faktor, sebagai berikut ini,
• Estimasi efek utama,
A =1
23−2CA =
1
2(a− b− c + abc)
B =1
23−2CB =
1
2(−a + b− c + abc)
C =1
23−2CC =
1
2(−a− b + c + abc)
• Estimasi efek interaksi dua faktor,
BC =1
23−2CA =
1
2(a− b− c + abc)
AC =1
23−2CB =
1
2(−a + b− c + abc)
AB =1
23−2CC =
1
2(−a− b + c + abc)
Dari Penaksir efek di atas, nampak bahwa penaksir efek utama A dan
interaksi BC, B dengan interaksi AC, dan C dengan interaksi AB adalah sama,
sehingga tidak mungkin untuk menyatakan ada perbedaan antara A dan BC,
13
B dan AC, dan C dan AB. Oleh karena itu, A disebut alias dengan BC, atau
dibaurkan (confounded), demikian halnya dengan B alias dengan AC, dan C
alias dengan AB.
c. Alias dan Kombinasi Linear dari Efek Faktor
Struktur alias untuk rancangan faktorial fraksional dapat diperoleh melalui
defining relation. Dalam contoh sebelumnya, rancangan 23 dengan a, b, c dan abc
sebagai kombinasi perlakuan yang diamati dan I = ABC didefinisikan sebagai
defining relation
Untuk mendapatkan alias dari suatu efek dapat dilakukan dengan menga-
likan kolom dari suatu efek tertentu dari matriks rancangan dengan defining
relation, akan diperoleh alias untuk efek tersebut. Sebagai contoh, untuk men-
dapatkan alias untuk AB, kalikan AB dengan I = ABC, maka:
AB.I = AB.ABC = A2B2C = C
d. Jenis Khusus Rancangan Fraksional Faktorial 2k
Rancangan faktorial fraksional dibagi dalam beberapa jenis, yaitu
(i) Rancangan resolusi III, dimana tidak ada efek utama yang dibaurkan deng-
an efek utama yang lainnya, tapi efek utama dibaurkan dengan interaksi
dua faktor. sebagai contoh 23−1 rancangan resolusi III.
(ii) Rancangan resolusi IV, dimana tidak ada efek utama yang dibaurkan dengan
efek utama yang lain atau efek interaksi dua faktor, tapi interaksi dua faktor
dibaurkan dengan sesamanya. Contoh 24−1 rancangan resolusi IV.
(iii) Rancangan resolusi V, dimana tidak ada efek utama atau interaksi dua
faktor yang dibaurkan efek faktor utama dan interaksi dua faktor yang
lainnya. Tapi interaksi dua faktor dibaurkan dengan interaksi tiga faktor.
Contoh 25−1 rancangan resolusi V.
14
Secara umum, suatu rancangan resolusi R adalah keadaan dimana tidak
ada efek faktor p yang dibaurkan dengan efek lainnya yang memuat kurang lebih
R−p faktor. Untuk mengidentifikasi resolusi dari rancangan faktorial fraksional,
digunakan angka romawi sebagai indeks.
2.3.1 Identifikasi Struktur Alias
Box dan Wilson (1951), Bisgaard (1991) menunjukkan bahwa konsep alias
didasarkan pada struktur kelompok antara kolom-kolom ekuivalen yang memung-
kinkan adanya penyimpangan dari penaksir kuadrat terkecil dari efek utama yang
muncul akibat dari dihilangkannya efek interaksi tingkat tinggi.
Selanjutnya, struktur alias dari rancangan dapat diperoleh dengan meng-
gunakan defining relation. Misalkan, rancangan faktorial fraksional 23, dengan
faktor-faktornya A, B, dan C. Defining relation dari rancangan tersebut adalah
interaksi tingkat tingginya yaitu, ABC, dengan mengalikan setiap faktor utama
dengan ABC dan faktor interaksi, maka akan diperoleh faktor yang akan di-
ikutkan dalam perhitungan selanjutnya dan struktur alias dari faktor tersebut.
Akan tetapi, metode penentuan struktur alias dengan menggunakan defining re-
lation hanya dapat bekerja dengan baik pada rancangan yang sederhana, dan
tidak dapat digunakan pada rancangan yang kompleks, seperti irregular fraction
dan partial fold-over design. Lebih lanjut, terdapat beberapa rancangan fakto-
rial fraksional yang tidak mempunyai defining relation, seperti Plackett-Burman
designs, sedemikian hingga metode ini, tidak mungkin untuk digunakan.
Dalam suplemen buku Design and Analysis of Experiment, Montgomery
(2005) mengemukakan bahwa, terdapat suatu metode yang secara umum da-
pat bekerja dengan baik dalam banyak keadaan. Metode tersebut menggunakan
polynomial atau model regresi yang merupakan representasi dari model. Se-
cara formal, faktor yang diikutkan dalam penelitian adalah β1 dan X1 matriks
rancangan yang berkaitan dengan β1. Diberikan model linear sebagai berikut ;
y = X1β1 + ε
15
dimana y vektor respon n × 1, X1 matriks berukuran n × p1 yang memuat
rancangan matriks yang telah diperluas pada model yang ditetapkan oleh peneliti
berdasarkan faktor yang dipilih, β1 vektor dari parameter model berukuran p1×1,
dan ε vektor error. Diketahui taksiran dari β1 adalah
β1 = (XT1 X1)
−1XT1 y
Andaikan model lengkapnya adalah
y = X1β1 + X2β2 + ε
dimana X2 matriks berukuran n×p2 yang memuat variabel tambahan yang tidak
diikutkan dalam model dan β2 vektor berukuran p2 × 1 dari parameter yang
berkaitan dengan variabel yang terpilih. Struktur aliasnya dapat ditunjukkan
sebagai berikut:
β1 = (XT1 X1)
−1X1y
E(β1) = E{(XT1 X1)
−1X1y}
= (XT1 X1)
−1X1E(y)
= (XT1 X1)
−1X1E(X1β1 + X2β2 + ε)
= (XT1 X1)
−1X1E(X1β1) + (XT1 X1)
−1XE(X2β2) + (XT1 X1)
−1X1E(ε)
= (XT1 X1)
−1X1X1β1 + (XT1 X1)
−1X1X2β2 + 0
= β1 + (XT1 X1)
−1X1X2β2
E(β1) = β1 + (XT1 X1)
−1(XT1 X2)β2
Ambil (XT1 X1)
−1(XT1 X2) = A, selanjutnya persamaan di atas menjadi
E(β1) = β1 + Aβ2
dengan A disebut matriks alias.
Contoh penerapannya, pada Tabel 2.2 diberikan rancangan faktorial frak-
sional 23−1, dengan I = ABC atau I = x1x2x3 sebagai defining relation, dengan
mengacu pada persamaan (2.2), bahwa model yang hanya memperhatikan faktor
16
utama, dapat dinyatakan sebagai berikut:
y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + ε
dimana x1 merupakan komponen kolom faktor A, x2 komponen kolom faktor B,
dan x3 komponen kolom faktor C yang dinyatakan dalam bentuk matriks X1.
Model diatas dapat dinyatakan
β1 =
β0
β1
β2
β3
, dan X1 =
1 −1 −1 1
1 1 −1 −1
1 −1 1 −1
1 1 1 1
Andaikan bahwa, model yang sebenarnya memuat seluruh interkasi dua faktor,
sedemikian hingga modelnya adalah
y = β0 + β1x1+β2x2 + β3x3 + β12x1x2 + β13x1x3 + β23x2x3 + ε (2.16)
dan untuk bagian interaksi dua faktor dari persamaan (2.16), dimana x1x2, x1x2,
dan x2x3 berturut menyatakan komponen kolom faktor AB, AC, dan BC, yang
dinyatakan dalam bentuk matriks X2, yaitu
β2 =
β12
β13
β23
, dan X2 =
1 −1 −1
−1 −1 1
−1 1 −1
1 1 1
.
Selanjutnya, diketahui bahwa
(XT1 X1)
−1 =1
4I dan XT
1 X2 =
0 0 0
0 0 4
0 4 0
4 0 0
Oleh karena itu,
E(β1) = β1 + (XT1 X1)
−1XT1 X2β2
17
E
β0
β1
β2
β3
=
β0
β1
β2
β3
+1
4
0 0 0
0 0 4
0 4 0
4 0 0
β12
β13
β23
=
β0
β1 + β23
β2 + β13
β3 + β12
2.4 Fraksional Faktorial Tiga-Level
Konsep rancangan faktorial fraksional dua level dapat diperluas menjadi
rancangan faktorial fraksional tiga-level. Bagian terbesar dari faktorial frak-
sional 3k adalah rancangan faktorial fraksional 3k−1, rancangan dibagi ke dalam
tiga blok, dimana tiap blok dapat dipilih sebagai rancangan yang akan digunakan.
Jika Aα1Bα2Cα3 · · ·Kαk merupakan komponen interaksi yang akan digunakan un-
tuk mendefinisikan blok, maka I = Aα1Bα2Cα3 · · ·Kαk disebut defining relation
dari rancangan faktorial fraksional. Tiap estimasi efek utama atau efek interaksi
mempunyai dua alias yang dapat diperoleh dengan mengalikan efek dengan I dan
I2 modulo 3.
Secara umum, untuk melakukan pembauran dalam rancangan 3k diberikan
suatu prosedur umum untuk mengkonstruksi suatu defining contrast, yaitu:
L = α1x1 + α2x2 + · · ·+ αkxk mod(3)
dimana αi pangkat dari faktor ke i dalam efek yang akan dibaurkan dan xi level
dari faktor ke i dalam tiap kombinasi perlakuan.
a. One-third fraction dari Rancangan 3k
Andaikan rancangan faktorial 33 yang faktor-faktornya A, B dan C, masing-
masing terdiri dari tiga level. Karena suatu kondisi, hanya sebagian kombinasi
perlakuan yang dapat dilakukan, maka akan terbentuk empat kelompok kon-
tras yang masing-masing terdiri dari delapan kombinasi perlakuan, sebagaimana
ditunjukkan dalam Tabel 2.3. Sebagaimana pada rancangan faktorial fraksional
18
dua level, interaksi tingkat tinggi yaitu, ABC, AB2C, ABC2, AB2C2, selanjutnya
disebut defining relation
b. Estimasi Efek Perlakuan
Karena hanya akan dilakukan pengamatan sebanyak 34−1 = 27 kombinasi
perlakuan, maka akan terdapat d.ftotal = 27 − 1 = 26 derajat bebas untuk
menaksir efek faktor. Estimasi efek didasarkan pada kontras dari tiap faktor dan
untuk menentukannya digunakan metode yates sebagaimana dijelaskan berikut:
1. Kombinasi perlakuan dituliskan berdasarkan kolom dengan urutan standar
2. Keseluruhan pengamatan ditempatkan dibawah kolom respon dengan urutan
kombinasi perlakuan
3. Kolom satu dihitung dari
(a) Tiga baris pertama memuat jumlah dari ketiga kombinasi perlakuan
tersebut, yaitu 00, 10, 20
(b) Tiga baris kedua diperoleh dengan minus dari kombinasi perlakuan
pertama ditambahkan dengan kombinasi perlakuan ketiga pada tiap-
tiap kelompok kombinasi perlakuan
(c) Tiga baris ketiga diperoleh dengan kombinasi perlakuan pertama diku-
rangi dengan dua kali kombinasi perlakuan ketiga dari ketiga kelompok
pengamatan
(d) Kolom kedua (2) dihitung dengan cara yang sama pada kolom satu
(1) dengan menggunakan kolom (1) sebagai acuan.
c. Alias dan Kombinasi Linear dari Efek
Untuk mendapatkan alias dari suatu efek dapat dilakukan dengan menga-
likan kolom dari suatu efek tertentu dari matriks rancangan dengan defining re-
lation. Sebagai contoh, untuk mendapatkan alias dari faktor yang diperhatikan,
dapat dilakukan dengan memilih sembarang komponen dari interaksi ABC untuk
19
Tabel 2.3: Algoritma Yate untuk Rancangan 32
PembagiRun Respon (1) (2) Efek 2r3tn JK
00 y1 h1 = y1 + y2 + y3 h1 + h2 + h3
10 y2 h2 = y4 + y5 + y6 h4 + h5 + h6 AL 21 × 31 × 420 y3 h3 = y7 + y8 + y9 h7 + h8 + h9 AQ 21 × 32 × 401 y4 h4 = −y1 + y3 −h1 + h2 BL 21 × 32 × 411 y5 h5 = −y4 + y6 −h4 + h4 ABL×L 22 × 30 × 421 y6 h6 = −y7 + y9 −h7 + h9 ABQ×L 22 × 31 × 402 y7 h7 = y1 − 2(y2) + y3 h1 − 2(h2) + h3 BQ 21 × 32 × 412 y8 h8 = y4 − 2(y5) + y6 h4 − 2(h5) + h6 ABL×Q 22 × 31 × 422 y9 h9 = y7 − 2(y8) + y8 h7 − 2(h8) + h9 ABQ×A 22 × 32 × 4
mengkontruksi rancangan, yaitu ABC, AB2C, ABC2 atau AB2C2. Selanjutnya,
akan terdapat 12 perbedaan one-third fraction dari rancangan 33 yang didefini-
sikan dengan
α1x1 + α2x2 + α3x3 = u(mod 3)
dimana α = 1 atau 2 dan u = 0, 1 atau 2. Andaikan dipilih komponen AB2C2,
masing-masing bagian yang dihasilkan rancangan 33−1 akan memuat dengan tepat
32 = 9 kombinasi perlakuan yang memenuhi
x1 + 2x2 + 2x3 = u(mod 3)
dimana u = 0, 1 atau 2, dan struktur alias yang dihasilkan adalah
A = A(AB2C2) = A2B2C2 = ABC
A = A(AB2C2)2 = A3B4C4 = BC
B = B(AB2C2) = AB3C2 = AC2
B = B(AB2C2)2 = A2B5C4 = ABC2
C = C(AB2C2) = AB2C3 = AB2
C = C(AB2C2)2 = A2B4C5 = AB2
AB = AB(AB2C2) = A2B3C2 = AC
AB = AB(AB2C2)2 = A3B5C4 = BC2
20
2.4.1 Identifikasi Struktur Alias
Sebagaimana yang telah diuraikan pada bagian 2.3 tentang metode umum
untuk mendapatkan struktur alias yang berkaitan dengan rancangan faktorial
fraksional dua level, metode tersebut juga dapat diterapkan pada rancangan fak-
torial fraksional tiga level.
Contoh penerapannya, diberikan rancangan faktorial fraksional 32, andikan model
yang akan diuji dengan faktor-faktornya adalah
y = β0 + β1x1 + β2x2 + β12x1x2 + β11(x21 − x2
1) + β22(x22 − x2
2) + ε
Model tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk vektor β1 dan matriks X1 sebagai
berikut
β1 =
β0
β1
β2
β12
β11
β22
, dan X1 =
1 −1 −1 1 1/3 1/3
1 −1 0 0 1/3 −2/3
1 −1 1 −1 1/3 1/3
1 0 −1 0 −2/3 1/3
1 0 0 0 −2/3 −2/3
1 0 1 0 −2/3 1/3
1 1 −1 −1 1/3 1/3
1 1 0 0 1/3 −2/3
1 1 1 1 1/3 1/3
Andaikan model lengkapnya adalah
y = β0 + β1x1 + β2x2 + β12x1x2 + β12(x21 − x2
1) + β22(x22 − x2
2) +
β111x21 + β222x
22 + β122x1x
22 + ε
dengan
X2 =
1 −1 −1
1 −1 0
1 −1 −1
1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 −1 1
1 −1 0
1 −1 1
, β2 =
β111
β222
β122
Selanjutnya, diketahui bahwa
21
XT1 X1 =
9 0 0 0 0 0
0 6 0 0 0 0
0 0 6 0 0 0
0 0 0 4 0 0
0 0 0 0 2 0
0 0 0 0 0 2
dan XT
1 X2 =
0 0 0
6 0 4
0 6 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Oleh karena itu, nilai ekspektasi dari parameter model adalah
E(β) = β + (XT1 X1)
−1XT1 X2β2
E
β0
β1
β2
β12
β11
β22
=
β0
β1
β2
β12
β11
β22
+
9 0 0 0 0 0
0 6 0 0 0 0
0 0 6 0 0 0
0 0 0 4 0 0
0 0 0 0 2 0
0 0 0 0 0 2
−1
0 0 0
6 0 4
0 6 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
β111
β222
β122
Diperoleh matriks alias sebagai berikut
A =
0 0 0
1 0 2/3
0 1 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Matrix A di atas bermakna
E(β0) = β0
E(β1) = β1 + β111 + (2/3)β122
E(β2) = β2 + β222
E(β12) = β12
E(β11) = β11
E(β22) = β22
2.5 Beberapa Definisi dan Teorema Berkaitan dengan Pembahasan
Untuk memberikan arah pada bagian pembahasan dipandang perlu untuk
menurunkan beberapa definisi dan teorema yang berkaitan dengannya, sebagai
berikut:
22
Definisi 2.1 (Power).
Peluang menolak H0 ketika H1 benar disebut power uji, dituliskan sebagai:
1− β = P (Tolak H0|H1 Benar)
Definisi 2.2 (Distribusi t).
Jika Z ∼ N(0, 1) dan U ∼ χ2n, dimana kedua adalah independen, maka distribusi
Z√U/n
dikatakan berdistribusi t dengan derajat bebas n
Definisi 2.3 (Distribusi χ2).
Jika Z ∼ N(0, 1) dan jika U = Z2, maka U berdistribusi chi-kuadrat dengan
derajat bebas 1. Jika U1, U2, . . . , Un adalah variabel random yang berdistribusi
chi-kuadrat dengan derajat bebas 1, maka V =∑n
i=1 Ui berdistribusi chi-kuadrat
dengan derajat bebas n, dinyatakan dengan χ2n
Beberapa sifat-sifat distribusi chi kuadrat
1. E(V ) = n dan V ar(V ) = 2n.
2. Jika X1, X2, . . . , Xn berdistribusi IIDN(µ, σ2) maka X1−µσ2 , . . . , Xn−µ
σ2 adalah
IIDN(0, 1), sehingga
1
σ2
n∑i=1
(Xi − µ)2 ∼ χ2n
Definisi 2.4 (Distribusi Nonsentral t).
Misalkan X berdistribusi normal dengan rata-rata ∆ dan varian 1, dan misalkan
kS2 berdistribusi chi kuadrat dengan derajat bebas k. Andaikan bahwa X dan
S2 saling bebas. Distribusi dari tk(∆) = XS
disebut distribusi noncentral t dengan
derajat bebas k dan parameter noncentral ∆, dituliskan
P (−∞ ≤ tk(∆) ≤ 0) = Φ(−∆),
dimana Φ(.) merupakan distribusi normal. Selanjutnya, untuk sembarang nilai,
dimana t > 0, untuk P (0 < tk(∆) ≤ t), fungsi distribusi dari tk(∆) dituliskan
sebagai berikut
P (tk(∆) ≥ t) = Φ(−∆) + P (0 < tk(∆) ≤ t)
23
= Φ(−∆) +1
2
∞∑i=1
[PiIx
(i +
1
2,n
2
)+
∆√2QiIx
(i + 1,
n
2
)],
dimana, Ix(a, b) menyatakan fungsi beta incomplete yaitu
Ix(a, b) =Γ(a + b)
Γ(a)Γ(b)
∫ x
0
ta−1(1− t)b−1dt,
Pi = e−∆2/2(∆2/2)i/i!
dan
Qi =e∆2/2(∆2/2)2
Γ(i + 3/2)
Definisi 2.5 (Definisi Nonsentral χ2 ).
Misalkan X1, X2, . . . , Xn variabel random independen normal dengan rata-rata
µi; i = 1, 2, . . . , n dan varian 1. Distribusi darin∑
i=1
X2i berdistribusi chi kuadrat
dengan db = n dengan β =n∑
i=1
µ2i sebagai parameter nonsentral, ditulis
g(x) =∞∑i=0
eβ/2(β/2)i
i!
e−x/2xn/2+i−1
2n/2+iΓ(n/2 + i)∼ χ2
n, x > 0 (2.17)
Dari persamaan (2.17) diberikan fungsi distribusi kumulatif dari chi kuadrat non-
sentral sebagai berikut:
P (χ2n ≤ x) =
∞∑i=0
e−β/2(β/2)i
i!P (χ2
n+2i ≤ x)
=∞∑i=0
e−β/2(β/2)i
i!Ix/2(n/2 + i), (2.18)
dimana
Iy(a) =1
Γ(a)
∫ y
0
exxa−1dx, a > 0, x > 0
merupakan ditribusi gamma tak lengkap
Teorema 2.1 (Wasserman).
Jika X1, X2, . . . , Xn berdistribusi IIDN(µ, σ2), maka
(n− 1)S2
σ2∼ χ2
n−1 (2.19)
Bukti. Dari persamaan (2.19),
(n− 1)s2
σ2
24
diketahui bahwa s2 = 1n−1
∑ni=1(xi − x)2, dengan mengalikan kedua ruas dengan
(n− 1) dan membaginya dengan σ2, diperoleh
(n− 1)s2
σ2=
(n− 1) 1n−1
∑ni=1(xi − x)2
σ2
=
∑ni=1(xi − x)2
σ2
=
∑ni=1(xi − µ + µ− x)2
σ2
=
∑ni=1((xi − µ)− (x− µ))2
σ2
=n∑
i=1
((xi − µ)
σ2− (x− µ)
σ2
)2
. (2.20)
Misalkan(xi − µ)
σ2= zi dan
(x− µ)
σ2= z, persamaan (2.20) dapat ditulis
n∑i=1
(zi − z)2.
Selanjutnyan∑
i=1
(xi − µ
σ2
)2
=n∑
i=1
(xi − µ
σ2− x− µ
σ2+
x− µ
σ2
)2
sebagaimana telah dinyatakan sebelumnya, persamaan di atas dapat dituliskan
sebagain∑
i=1
z2i =
n∑i=1
(zi − z + z)2
=n∑
i=1
(zi − z) + z)2
=n∑
i=1
(zi − z)2 + 2zn∑
i=1
(zi − z) +n∑
i=1
z2
karena∑n
i=1(zi − z) = 0, maka
=n∑
i=1
(zi − z)2 +n∑
i=1
z2
=n∑
i=1
(zi − z)2 + nz2 (2.21)
dimana∑n
i=1(zi − z)2 dan nz2 saling bebas.
Fungsi pembangkit momen dari∑n
i=1 z2i dapat dinyatakan dengan fungsi pem-
bangkit momen dari persamaan (2.21), yaitu
M∑ni=1 z2
i(t) = M∑n
i=1(zi−z)2+nz2(t)
25
diketahui bahwa
M∑ni=1(zi−z)2+nz2(t) = M∑n
i=1(zi−z)2Mnz2(t)
sehingga M∑ni=1 z2
i(t) = M∑n
i=1(zi−z)2Mnz2(t), maka diperoleh
M∑ni=1(zi−z)2 =
M∑ni=1 z2
i(t)
Mnz2(t).
Diketahui bahwa∑n
i=1 z2i ∼ χn dengan mgf (1/(1 − 2t))
n2 . Demikian halnya
dengan z ∼ N(0, 1n),√
kz adalah normal standar, oleh karena itu (√
nz)2 = nz2
berdistribusi χ21 dengan mgf (1/(1− 2t))
12 .
Karena itu
M∑ni=1(zi−z)2(t) =
(1/(1− 2t))n/2
(1/(1− 2t))1/2
=
(1
1− 2t
)(n−1)/2
(2.22)
Persamaan (2.22) merupakan fungsi pembangkit momen dari variabel random
chi-kuadrat dengan derajat bebas n− 1, karena itun∑
i=1
(xi − x)2 berditribusi χ2n−1
Definisi 2.6 (Halaand dan O’Connell (1995)).
Diberikan efek penaksir dari suatu rancangan faktorial fraksional, penaksir yang
berhubungan dengan hal tersebut dijelaskan dalam dua tahapan, yaitu:
i. Estimasi awal, s0, merupakan σ0 dari σ (selanjutnya digunakan simbol s0),
didefinisikan sebagai berikut
s0(q) = a0(q)× kuantil{q : |βi|; i = 1, 2, . . . , k}
dimana;
|βi|; i = 1, 2, . . . , k adalah nilai mutlak dari efek penaksir , β1, β2, · · · , βk.
kuantil{q : βi} adalah kuantil ke q dari βi dengan 0 < q < 1.
yang dihitung secara langsung dari β1, β2, · · · , βk.
ii. Estimasi akhir diperoleh dalam dua tahapan,
26
(a) Ukuran penaksir robust, selanjutnya dinyatakan sebagai Pseudo Stan-
dart Error (PSE) yang dihitung setelah menghilangkan efek-efek yang
besar dibanding s0, penaksir ini disebut, σPSE, didefinisikan sebagai
berikut
σPSE(q, b) = aPSE(q, b)×median{|βi| : (|βi| ≤ b× s0(q))}
dimana aPSE merupakan konstanta yang digunakan pada penaksir
awal, q nilai yang diambil dari s0 dan b konstan yang diperoleh melalui
simulasi
(b) Ukuran penaksir efisien, dihitung setelah menghilangkan efek yang
besar dibanding s0, penaksir ini disebut, s1 yang didefinisikan sebagai
berikut:
σs1(q, b) = as1
√l−1
∑|βi|≤b×s0(q)
β2
i
dimana as1(q, b) merupakan konstanta yang digunakan pada penaksir
awal, l jumlah dari |βi| ≤ b×s0(q), dan b nilai konstan yang diperoleh
melalui simulasi.
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Bahan dan Alat
Bahan dan alat yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
1. Jurnal dan buku referensi yang terkait dengan permasalahan di atas.
2. Software Minitab 14 dan software lain yang mendukung
3. Kasus yang akan digunakan adalah,
Pertama, Faktor-faktor yang mempengaruhi jarak yang ditempuh bola golf
pada permainan golf dengan respon jarak tempuh dalam yard (diestimasi
dengan langkah terdekat dari 100-yard), faktor-faktorya adalah Kemam-
puan, Bola, Club, Lapangan, dan Tongkat. Kedua, Pembakaran pada
Boiler, selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran A
3.2 Metode Penelitian
Adapun langkah-langkah penelitian dapat disusun sebagai berikut:
1. Menaksir dan menentukan statistik uji untuk;
(a) Metode Bissell
i. Diberikan Model sebagai berikut:
y = Xβ + ε
ii. Menentukan mean square β
iii. Menentukan statistik uji dari metode Bissell
iv. Menentukan distribusi statistik uji dari metode Bissell
v. Mencari nilai harapan dari statistik Bissell.
27
28
(b) Metode Lenth
i. Diberikan Model sebagai berikut:
y = Xβ + ε
ii. Menentukan penaksir efek dari model
iii. Menentukan penaksir dari metode Lenth
iv. Menentukan statistik uji dari metode Lenth
(c) Metode Fang
i. Diberikan Model sebagai berikut:
y = Xβ + ε
ii. Menentukan penaksir efek dari model
iii. Menentukan penaksir dari metode Fang
iv. Menentukan statistik uji dari metode Fang
2. Menghitung fungsi power rancangan faksional faktorial 2k−p tanpa peng-
ulangan untuk kasus permainan golf
(a) Menghitung fungsi power untuk metode Bissell, dengan langkah-langkah
sebagai berikut
i. Diberikan model rancangan fraksional faktorial 2k−p, yaitu
y = Xβ + ε
ii. Menghitung rata-rata kuadrat,
iii. Menghitung nilai statistik Bk,
iv. Menghitung P (Bk < χ2α/2;(k−1)|H0
+ P (Bk > χ21−α/2;(k−1)|H0) = α
v. Menghitung Prob(Bk| > χ2k−1;α/2|H1) = δ,
(b) Menghitung fungsi power untuk metode Lenth, dengan langkah-langkah
sebagai berikut:
29
i. Diberikan model rancangan fraksional faktorial 2k−p, yaitu
y = Xβ + ε
ii. Menghitung taksiran β,
iii. Menghitung s0, Pseudo Standar Error (PSE),
iv. Menghitung tσPSE ,j
v. Menghitung Prob(|tσPSE ,i| > IERα|H0) = α, untuk i = 1, . . . , J .
vi. Menghitung Prob(|tσPSE ,i| > IERα|H1) = δ, untuk i = 1, . . . , I.
(c) Menghitung fungsi power untuk metode Fang, dengan langkah-langkah
sebagai berikut:
i. Diberikan model rancangan fraksional faktorial 2k−p, yaitu
y = Xβ + ε
ii. Menghitung taskiran β,
iii. Menghitung s0, σs1 ,
iv. Menghitung tσs1 ,i
v. Menghitung Prob(|tσs1 ,i| > IERα|H0) = α, untuk i = 1, . . . , I.
vi. Menghitung Prob(|tσs1 ,i| > IERα|H1) = δ, untuk i = 1, . . . , I.
3. Menghitung fungsi power untuk rancangan faksional faktorial 3k−p, langkah-
langkah yang digunakan sama dengan pada rancangan fraksional faktorial
3k−p tanpa pengulangan untuk kasus pembakaran pada Boiler
(a) Menghitung fungsi power untuk metode Bissell, dengan langkah-langkah
sebagai berikut
i. Diberikan model rancangan fraksional faktorial 2k−p, yaitu
y = Xβ + ε
ii. Menghitung rata-rata kuadrat,
30
iii. Menghitung nilai statistik Bk,
iv. Menghitung P (Bk < χ2α/2;(k−1)|H0
+ P (Bk > χ21−α/2;(k−1)|H0) = α
v. Menghitung Prob(Bk| > χ2k−1;α/2|H1) = δ,
(b) Menghitung fungsi power untuk metode Lenth, dengan langkah seba-
gai berikut:
i. Diberikan model rancangan fraksional faktorial 3k−p, yaitu
y = Xβ + ε
ii. Menghitung taksiran β,
iii. Menghitung s0, σPSE (Pseudo Standar Error (PSE)),
iv. Menghitung tσPSE ,i
v. Menghitung Prob(|tσPSE ,i| > IERα|H0) = α, untuk i = 1, . . . , I.
vi. Menghitung Prob(|tσPSE ,i| > IERα|H1) = δ, untuk i = 1, . . . , I.
(c) Menghitung fungsi power untuk metode Fang, dengan langkah sebagai
berikut:
i. Diberikan model rancangan fraksional faktorial 3k−p, yaitu
y = Xβ + ε
ii. Menghitung taksiran β.
iii. Menghitung s0, σs1 ,
iv. Menghitung tσs1 ,i
v. Menghitung Prob(|tσs1 ,i| > IERα|Ho) = α, untuk i = 1, . . . , I.
vi. Menghitung Prob(|tσs1 ,i| > IERα|H1) = δ, untuk i = 1, . . . , I.
BAB IV
PEMBAHASAN
4.1 Statistik uji dari Metode Bissell, Fang dan Lenth Serta Penaksirnya
Pada bagian ini akan dijelaskan tiga metode yang akan memberikan statistik
uji dalam mengidentifikasi apakah suatu faktor signifikan atau tidak.
4.1.1 Statistik Uji Metode Bissell dan Penaksirnya
Diberikan rancangan faktorial fraksionl berjumlah k faktor dengan β1, β2,
β3, . . . , βk sebagai efek faktor dan R1, R2, R3, . . . , Rk rata-rata kuadrat yang
saling bebas masing-masing mempunyai derajat bebas v.
Hipotesis yang akan diuji adalah
H0 : βi = 0
H1 : βi 6= 0; i = 1, 2, 3, . . . , k
Selanjutnya, diketahui
1
σ2
k∑i=1
(yi − y)2 ∼ χ2k
dan untuk rata-rata kuadrat dari masing-masing faktor diberikan sebagai berikut
R =
k∑i=1
(yi − y)2
v
vR =k∑
i=1
(yi − y)2
dengan mengalikan kedua ruas dari persamaan terakhir dengan1
σ2, diperoleh
vR
σ2=
k∑i=1
(yi − y)2
σ2
Karena 1σ2
k∑i=1
(yi − y)2 berdistribusi chi kuadrat, maka 1σ2
∑ki=1(yi − y)2 juga
berdistribusi chi kuadrat, akibatnyavR
σ2juga berdistribusi chi kuadrat dengan
31
32
derajat bebas v. Dengan demikian untuk Ri i = 1, 2, 3 . . . k, yaitu
vR1
σ2∼ χ2
v; db = v
vR2
σ2∼ χ2
v; db = v
......
vRk
σ2∼ χ2
v; db = v
KarenavR
σ2berdistribusi chi kuadrat dengan derajat bebas v, maka dapat diny-
atakan ekspektasi dan varian darivR
σ2berdasarkan definisi 2.3, yaitu
E
(vR
σ2
)= v ⇒ v
σ2E(R) = v
E(R) = σ2
V ar
(vR
σ2
)= 2v ⇒ v2
(σ2)2V ar(R) = 2v
V ar(R) =2(σ2)2
v
Jika m merupakan faktor skala dari distribusi chi kuadrat, maka
V ar(R) =2m2
v(4.1)
dan jika s2 merupakan penaksir variansi dari sampel, maka:
(k − 1)s2
σ2∼ χ2
k−1 (4.2)
dari persamaan (4.1) dan (4.2) diperoleh
V ar(R) = σ2 = 2m2
v
maka
(k − 1)s2
σ2=
(k − 1)s2
2m2/v
=(k − 1)v
2
(s
m
)2
yang selanjutnya dinyatakan sebagai nilai dari statistik Bissell, yaitu:
Bk =(k − 1)v
2(s/m)2. (4.3)
Karena persamaan (4.2) berdistribusi chi kuadrat, dan nilai statistik Bk dikon-
struksi dari persamaan tersebut, maka dapat simpulkan bahwa
Bk =(k − 1)v
2(s/m)2 ∼ χ2
k−1.
33
selanjutnya, dengan definisi (2.3) sifat 1, dapat dinyatakan estimasi dan variansi
dari statistik bissell sebagai berikut
E(Bk) = k − 1
Untuk menentukan apakah suatu faktor signifikan atau tidak, diuji hipotesis
dibawah H0 untuk setiap nilai Bk yang diperoleh, dengan kriteria
Tolak H0 jika
P (Bhitung < χ2α/2;k−1|H0) atau P (Bhitung > χ2
1−α/2,k−1|H0)
dimana
α = P (Bk < χ2α/2;k−1|H0) + P (Bk > χ2
1−α,k−1|H0)
4.1.2 Penaksiran Parameter dengan Metode Lenth
Diberikan model rancangan faktorial fraksional untuk k variabel input
y = Xβ + ε
masing-masing faktor terdiri dari dua level dan pada tiap-tiap kombinasi per-
lakuan hanya dilakukan satu kali pengamatan, dengan kontras untuk tiap faktor,
β1, β2, · · · , βk, dan penaksir yang berkaitan dengannya adalah β1, β2, · · · , βk.
Hipotesis yang berkaitan dengan suatu faktor signifikan atau tidak dalam
memberikan pengaruh terhadap variabel respon, dirumuskan sebagai berikut:
H0 : βi = 0
H1 : βi 6= 0; i = 1, 2, . . . , k
Untuk menguji hipotesis tersebut, sebelum mengkonstruksi statistik uji terlebih
dahulu ditentukan penaksir. Dalam metode Lenth, dikemukakan dua bentuk
penaksir untuk mengidentifikasi kontras yang signifikan, yaitu penaksir awal dan
penaksir akhir. Untuk keperluan tersebut, digunakan definisi yang dikemukakan
oleh Halaand dan O’Connell (1995) sebagaimana dituliskan pada definisi 2.6.
Dari definisi 2.6, diketahui
a0(q) =1
Φ−10 (q)
34
dimana
Φ−10 (q) = Φ−1
(q + 1
2
)dan Φ adalah fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal standar.
a. Estimasi Awal, s0
Dengan menggunakan definisi tersebut, dapat diperoleh penaksir awal, s0,
dari metode Lenth sebagi berikut:
Andaikan ambil nilai q = 0, 5, maka
s0(0, 5) = a0(0, 5)×median{q : |βi|}
selanjutnya
a0(0, 5) =1
Φ−10 (0, 5)
diketahui
Φ−10 (q) = Φ−1
(q + 1
2
)Φ−1
0 (0, 5) = Φ−1
(0, 5 + 1
2
)Φ−1
(0, 5 + 1
2
)= z
Φ−1(0, 75) = z
z = 0, 6745
a0(0, 5) =1
0, 6745
= 1, 4825797 ≈ 1, 5
Dengan demikian penaksir awal dari metode Lenth adalah
s0 = 1, 5×median{|βi|}; i = 1, 2, . . . , k
b. Estimasi Akhir, (Pseudo Standart Error (PSE))
Untuk mendapatkan estimator akhir dari metode Lenth, langkah selanjut-
nya adalah menentukan nilai aPSE(q, b) dan b. Untuk nilai q diambil dari nilai
q yang digunakan pada s0, sedangkan nilai b ditentukan dari simulasi. Namun,
35
pada bagian ini, penulis tidak akan melakukan simulasi untuk menentukan nilai
tersebut, akan tetapi, penulis akan menggunakan nilai tersebut berdasarkan simu-
lasi yang telah dilakukan oleh Haaland dan O’Connell (1995), yaitu 2, 5 sehingga
penaksir akhir dari metode Lenth diperoleh
σPSE = 1, 5× median|βi|<2,5s0
|βi|; i = 1, 2, . . . , k (4.4)
Selanjutnya akan dikonstruksi suatu statistik uji, dimana diketahui distribusi dari
β, sebagaimana yang diberikan pada persamaan (2.14), yaitu
β ∼ N(β, σ2(XTX)−1)
Pengujian hipotesis dibawah H0
βi
se(β)∼ tk; i = 1, 2, 3, . . . , k (4.5)
dengan persamaan 4.4 sebagai estimasi varian metode lenth, sedemikian hingga
statistik uji sebagaimana diberikan pada persamaan (4.5) menjadi
tσpse =|βi|σPSE
; i = 1, 2, 3, . . . , k
sebagai statistik uji metode Lenth
c. Batas Kesalahan (Margin Error (ME))
Untuk menentukan batas kesalahan dari metode Lenth, yaitu ME, terlebih
dahulu ditentukan nilai kritis berdasar pemilihan α dan jumlah k.
Hipotesis
H0 : βi = 0; i = 1, 2, · · · , k
H1 : βi 6= 0
Untuk nilai kritis c = c(k, α), sehingga
α = P (|t| ≥ c(k, α)|H0)
atau
1− α = P{tk < c(k, α)|H0}
36
Kasus k cukup besar
P{tk ≤ c|H0}.=
{|β|
σPSE
≤ c; i = 1, · · · , k|H0
}(4.6)
= [Φ(c)− Φ(−c)]k
= [2(Φ(c)− 12)]k
dimana
Φ(k) =1√2π
∫ k
−∞e−u2/2du
Didefinisikan c∗ = c(k, α) dengan :
1− α =
[2
(Φ(c∗(k, α))− 1
2
)]k
dengan
c∗(k, α) = Φ−1
(12
+ (1−α)1/k
2
)(4.7)
Dari persamaan (4.6), dengan memilih k dan α untuk suatu nilai c, diperoleh
P (|βi|σPSE
< tα/2; d) = 1− α
P (|βi| < σPSE × tα/2; d) = 1− α (4.8)
Untuk α = 0, 05
P (|βi| < σPSE × t0,025; d) = 0, 95
untuk d = k3, sedemikian hingga σ2
PSE× t0,025;d merupakan batas kesalahan (mar-
gin of error) ditulis
ME = σPSE × t0,025, d (4.9)
dimana, nilai 0,025 merupakan kuantil ke 0,975 dari distribusi t dan dengan
demikian interval kepercayaan untuk metode Lenth adalah
β ± t0,025; d × σpse
d. Batas Kesalahan Simultan, (Simultant Margin Error (SME))
Dari persamaan (4.6) dan (4.7) dapat dinyatakan SME dari metode Lenth
sebagai berikut
c∗(k; α) = Φ−1
(12
+ (1−α)1/k
2
)
37
Untuk suatu α = 0, 05, maka
c∗(k; 0, 05) =(1 + 0, 951/k)
2
andaikan c∗(k; α) = γ, maka c∗(k; 0, 05) = (1+0,951/k)2
dapat dituliskan menjadi
γ =(1 + 0, 951/k)
2
dengan demikian diperoleh batas kesalahan simultan
P (|βi|σPSE
< tγ;d) = 0, 95
P (|βi| < tγ;d × σPSE) = 0, 95
SME = tγ,d × σPSE (4.10)
4.1.3 Penaksiran Parameter dengan Metode Fang
Dengan cara yang sama pada metode Lenth, bahwa sebelum mengkon-
struksi statistik uji dari metode Fang, terlebih dahulu dirumuskan hipotesis yang
berkaitan dengan signifikan atau tidak pengaruh suatu faktor terhadap variabel
respon. Hipotesisnya dirumuskan sebagai berikut:
H0 : βi = 0
H1 : βi 6= 0; i = 1, 2, . . . , k
Untuk menguji hipotesis tersebut, terlebih dahulu ditentukan estimasi dari metode
Lenth, yang dijelaskan sebagai berikut:
a. Estimasi awal
Dengan cara yang sama pada penaksir metode Lenth, penaksir awal dari
metode Fang dapat dituliskan sebagi berikut:
s0 = 1, 5×median{|βi|}; i = 1, 2, . . . , k
b. Estimasi Akhir
Dengan cara yang sama pada penaksir akhir dari metode Lenth, penaksir
akhir dari metode Fang dapat diturunkan dari definisi (2.6) sebagai berikut:
σs1(q, b) =
√l−1
∑|βi|≤2,50×s0
|βi|2
38
(4.11)
dimana l merupakan jumlah dari |βi| ≤ 2, 50× s0.
Untuk uji statistik, Fang menggunakan suatu statistik uji yang menyerupai statis-
tik uji-t, sebagai berikut
tσs1=|βi|σs1
c. Batas Kesalahan (Margin Error, ME)
Menentukan batas kesalahan pada metode Fang adalah sama dengan apa
yang dikerjakan pada metode Lenth, perbedaan hanya pada pemilihan nilai α.
Pada metode Lenth, dipilih α = 0, 05, sedangkan pada metode Fang, dipilih
α = 0, 02. Dengan demikian, dari persamaan (4.8),
P (|βi| < σs1 × tα/2;l) = 1− α
P (|βi| < σs1 × t0.01;l) = 0, 98
untuk d = l, dimana l adalah banyaknya β ≤ 2, 5s0 sedemikian hingga σs1×t0.01;l
merupakan batas kesalahan (margin of error), ditulis
ME = σs1 × t0.01;l
d. Batas Kesalahan Simultan, (Simultantoue Margin Error, SME)
Dari persamaan (4.6) dan (4.7) dapat dinyatakan SME dari metode Fang
sebagai berikut
c∗(k, α) = Φ−1
(12
+ (1−α)1/k
2
)Untuk suatu α = 0, 02, maka
c∗(k; 0, 02) =(1 + 0, 981/k)
2
andaikan c∗(k, α) = γ, maka c∗(k; 0, 02) = (1+0,981/k)2
dapat dituliskan menjadi
γ =(1 + 0, 981/k)
2
dengan demikian diperoleh batas kesalahan simultan
P
(|βi|σs1
< tγ;l
)= 0, 98
P (|βi| < tγ;l × σs1) = 0, 98
39
SME = tγ,l × σs1 (4.12)
dengan df = l
4.1.4 Fungsi Power Metode Bissell, Lenth dan Fang
Pada bagian ini akan diturunkan fungsi power dari metode Bissell, Lenth
dan Fang. Fungsi power yang diperoleh selanjutnya akan digunakan untuk mem-
banding kekuatan uji dari ketiga metode tersebut. Power uji dari metode Bissell
diturunkan dari distribusi chi kuadrat noncentral yang didasarkan pada statistik
uji dari metode ini, sedangkan untuk metode Lenth dan Fang, fungsi powernya di-
turunkan dari distribusi t noncentral, hal tersebut juga didasarkan pada statistik
uji dari keduanya.
a. Fungsi Power dari Metode Bissell
Fungsi power dari metode Bissell dibawah hipotesis H1 diberikan sebagai
berikut:
1− δ = P (Tolak H0|H1 Benar)
= P{Bk(βi) ≥ χ2k−1;α/2|β 6= 0; i = 1, 2, . . . , k}
dimana Bk(βi) berdistribusi noncentral χ2k−1 dengan β sebagai parameter non-
central. Dari definisi (2.5), diberikan fungsi padat peluang dari distribusi chi
kuadrat non central sebagai berikut:
f(x) =∞∑i=1
1
i!
(β
2
)i
e−β/2 xa/2+i−1e−x/2
2a/2+iΓ(a/2 + i)
sebagaimana yang diturunkan pada Benton., D dan Krishnanmoorthy (2005),
dapat diturunkan nilai kritis dibawah hipotesis H1, sebagai berikut
P (Bk(βi) ≤ χ2k−1;α/2|H1) = P
{(k − 1)v
2
(s
m
)2
≤ χ2k−1;α/2|H1
}andaikan χ2
k−1;α/2 = x, diperoleh
P (Bk ≤ x|H1) =∞∑i=1
1
i!
(β
2
)i
e−β/2IG
(x
2;a
2+ i
)dimana
IGy(a) =1
Γ(a)
∫ y
0
exxa−1dx, a > 0, x > 0
40
Selanjutnya, fungsi power
1− δ = P
{(k − 1)v
2
(s
m
)2
≥ χ2k−1;α/2
∣∣∣∣H1
}= 1−
∞∑i=1
1
i!
(β
2
)i
e−β/2IG
(x
2;a
2+ i
)dengan β > 0 sebagai parameter noncentral, x > 0 dan a > 0
b. Fungsi Power dari Metode Lenth
Fungsi power dari metode Lenth, dibawah hipotesis H1,
1− δ = P (Tolak H0|H1 Benar)
= P
{tk(β) ≥ c(k, α), i = 1, 2, . . . , k|H1
}= P
{|βi|σPSE
≥ c(k, α), i = 1, 2, . . . , k|H1
}dimana tk(β) adalah distribusi noncentral t dengan β sebagai parameter noncen-
tral. Untuk nilai kritis dibawah hipotesis H1
P{tk ≤ c(k, α)|H1} = P
{|β|
σPSE
≤ c(k, α), i = 1, 2, . . . , k|H1
}diperoleh
P{t1 ≤ c(k, α)|H1} = [Φ(k − β)− Φ(−k − β)].
Selanjutnya, Fungsi power
1− δ(k, α,β) = P
{|β|
σPSE
≥ c(k, α), i = 1, 2, . . . , k|β}
= 1− [Φ(k − β)− Φ(−k − β)]
= 1− [Φ((k, α)− β)− Φ(−(k, α)− β)]
dimana Φ(x) =∫ k
−∞ φ(x)dx
φ(x) =vv/2
Γ(v2)
e−β2/2
√π(v + x2)(v+1)/2
∞∑i=1
Γ
(v + i + 1
2
)(βi
i!
)(2x2
v + x2
)i/2
untuk
−∞ < x < ∞, v > 0, dan −∞ < β < ∞
c. Fungsi Power dari Metode Fang
Fungsi power dari metode Fang, dibawah hipotesis H1,
1− δ = P (Tolak H0|H1 Benar)
41
= P
{tk(β) ≥ c(k, α), i = 1, 2, . . . , k|H1
}= P
{|β|σs1
≥ c(k, α), i = 1, 2, . . . , k|H1
}dimana tk(β) adalah distribusi noncentral t dengan β sebagai parameter noncen-
tral. Untuk nilai kritis dibawah hipotesis H1
P{tk ≤ c(k, α)|H1} = P
{|β|σs1
≤ c(k, α), i = 1, 2, . . . , k|H1
}diperoleh
P{t1 ≤ c(k, α)|H1} = [Φ(k − β)− Φ(−k − β)}.
Selanjutnya, Fungsi power
1− δ(k, α,β) = P
{|β|σs1
≥ c, i = 1, 2, . . . , k|β}
= 1− [Φ(k − β)− Φ(−k − β)]
= 1− [Φ((k, α)− β)− Φ(−(k, α)− β)]
dimana
Φ(x) =
∫ k
−∞φ(x)dx
φ(x) =vv/2
Γ(v2)
e−β2/2
√π(v + x2)(v+1)/2
∞∑i=1
Γ
(v + i + 1
2
)(βi
i!
)(2x2
v + x2
)i/2
dimana
−∞ < x < ∞, v > 0, dan −∞ < β < ∞.
4.2 Perbandingan Power Uji Metode Bissell, Lenth dan Fang
Sebagaimana yang telah dijelaskan pada bagian 4.1.4, bahwa fungsi power
yang diperoleh akan digunakan untuk membandingkan kekuatan uji dari ketiga
metode tersebut. Pada bagian ini, dengan menggunakan kasus yang diberikan,
yaitu faktor yang mempengaruhi jarak tempuh bola golf dalam permainan golf
untuk rancangan faktorial fraksional 2-level dan faktor yang mempengaruhi pem-
bakaran pada boiler untuk rancangan faktorial fraksional 3-level.
42
4.2.1 Kasus Rancangan Faktorial Fraksional 2-Level
Sebelum melakukan perbandingan power uji antara metode Bissell, Lenth,
dan Fang, terlebih dahulu dilakukan analisis terhadap faktor-faktor yang di-
ikutkan dalam model, apakah signifikan atau tidak. Data yang digunakan sebagai
ilustrasi dari kemampuan metode Bissell, Lenth, dan Fang dalam mengidentifikasi
faktor yang signifikan adalah percobaan Permainan Golf. Contoh ini diambil dari
Anonim (2003) dengan faktor-faktornya kemampuan (A), bola (B), Club (C), La-
pangan (D), dan Teeing (E), yang disusun dalam rancangan faktorial fraksional
25−1 atau rancangan resolusi V dengan defining relation E = ABDC dan jumlah
run 16 dengan model
y =β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β5x5 + β12x1x2 + β13x1x3 + β14x1x4 +
β15x1x5 + β23x2x3 + β24x2x4 + β25x2x5 + β34x3x4 + β35x3x5 + β45x4x5 + ε
Model dengan 15 kontras, pengujian dengan menggunakan metode klasik tidak
memungkinkan untuk digunakan dengan tidak adanya nilai dari jumlah kuadrat
error. Tanda (*) yang muncul pada tabel anova disebabkan oleh, pertama tidak
adanya pengulangan untuk tiap kombinasi perlakuan, kedua terdapat 16 kombi-
nasi perlakuan, jumlah kuadra total mempunyai 15 derajat bebas, 5 diantaranya
untuk faktor utama dan 10 lainnya untuk interaksi dua faktor, sehingga derajat
bebas untuk error adalah 0. Hipotesis yang akan diuji adalah
Tabel 4.1: Rangkuman Hasil Analisis Varian
Sumber Variansi DF SS MS F P
Efek Utama 5 27127 5425,5 * *
Interaksi 2-faktor 10 1812 181,2 * *
Kesalahan 0 * * *
Total 15 28939
H0 : βi = 0 lawan H1 : βi 6= 0 dimana i = 1, 2, 3, . . . , 15
Pengujian hiptesis dengan menggunakan ketiga metode tersebut dijelaskan seba-
gai berikut:
43
1. Metode Bissell,
Dilakukan perhitungan dengan iterasi sebagai berikut;
(a) Dari hasil perhitungan diperoleh rata-rata(m) 1929,33 dan standar
deviasi 3628,93 dari rata-rata kuadrat.
(b) Dengan menggunakan persamaan (4.3), untuk k=15 diperoleh nilai
Bk = 24, 8 dengan p-value dari chi-kuadrat 0,0369 untuk α = 0, 05
dengan df = 14, hasil ini dinyatakan signifikan. Selanjutnya rata-
rata kuadrat dengan nilai terbesar dihilangkan untuk keperluan per-
hitungan selanjutnya, yaitu untuk k = 14.
(c) k = 14 diperoleh nilai Bk = 31, 23 dengan p-value 0,003 untuk α =
0, 05 dengan df = 13, hasil ini dinyatakan signifikan. Demikian seterus-
nya hingga untuk suatu k dengan Bk tidak signifikan, perhitungan di-
hentikan.
Nilai yang dihilangkan dari perhitungan pada setiap iterasi dalam
metode ini dinyatakan sebagai faktor yang signifikan, yaitu faktor
Ground, Teeing dan Ability.
2. Metode Lenth,
Dengan menggunakan nilai dari penaksir efek, dihitung:
(a) s0 = 1, 5×median{|βi|} = 1, 5× 4, 6250 = 6, 9375
(b) σPSE = 1, 5×medianβi≤2,5
{|βi|} = 5, 4375
(c) ME = t0,025 × σPSE = 13, 9775
(d) SME = tγ,d × σPSE = 28, 3764
Untuk menyatakan faktor signifikan dari metode Lenth, bahwa nilai
mutlak dari penaksir efek yang lebih besar dari SME, faktor tersebut
yang dinyatakan signifikan, yaitu faktor Ability, groung dan teeing.
3. Metode Fang,
Dengan cara yang sama pada metode lenth, penetapan faktor yang sig-
44
nifikan adalah dengan mengambil nilai dari penaksir efek yang lebih besar
dari nilai SME. Faktor yang dinyatakan signifikan pada metode ini sama
dengan yang teridentifikasi pada metode Lenth. Hasil perhitungan yang
lengkap dapat dilihat pada Lampiran B Tabel 2.1.
Dari tabel tersebut, terlihat untuk metode Bissel, faktor-faktor yang signifikan
adalah ground, teeing dan ability, untuk metode Lenth dengan menggunakan
SME diperoleh faktor signifikan sama dengan faktor yang teridentifikasi pada
metode Bissell. Dengan menggunakan metode Fang, diperoleh faktor signifikan
ground, ability, teeing.
Selanjutnya, untuk mengetahui kekuatan uji dari metode Lenth dan Fang
dalam mengidentifikasi faktor signifikan, digunakan fungsi power dari masing-
masing metode dengan nilai noncentral (β) yang berbeda. Dari hasil analisis
statistik, dapat dijelaskan sebagai berikut: Dari kasus, diperoleh nilai power
untuk metode Bissell bahwa untuk suatu nilai parameter nonsentral yang dite-
tapkan, β, mempunyai nilai yang lebih kecil dari nilai statistik Bk memberikan
power yang cenderung kecil. Dengan kata lain, semakin nilai statistik Bk power
cenderung membesar. Akan tetapi, bahwa dari hasil ini juga memperlihatkan
bahwa untuk suatu nilai Bk yang dinyatakan signifikan, dimana nilai nonsentral
yang diberikan lebih besar, maka akan memperlihat nilai power yang kecil. Dari
kasus, untuk Bk = 24, 766, nilai ini dinyatakan signifikan dengan nilai P sebe-
sar 0,03 untuk α = 0, 05 dari distribusi chi kuadrat, juga diberikan nilai power
untuk suatu parameter noncentral, β = 10 yaitu 0,579, suatu nilai power yang
cukup kecil dalam untuk pengambilan keputusan. Jika dikaitkan dengan kesala-
han dalam pengambilan keputusan secara statistik, bahwa untuk statistik Bissell
jika jumlah faktor semakin banyak atau k besar, dengan α yang sama cenderung
melakukan kesalahan dalam menyatakan suatu faktor signifikan dalam keadaan
faktor tersebut tidak signifikan atau cenderung melakukan kesalahan jenis I, yaitu
menerima H0 saat H0 salah.
Dari hasil tersebut juga memberikan nilai power untuk metode Lenth bahwa
45
untuk suatu nilai β yang ditentukan lebih kecil dari β power cenderung kecil, se-
bagai contoh β2 ≤ β(9) mempunyai power yang kecil keadaan ini mempunyai
kecenderungan yang sama dengan metode Fang. Pada kasus dimana β ≥ β
menunjukan kecenderungan nilai power besar, walaupun faktor tersebut diny-
atakan tidak signifikan. Sebagai contoh; Bk ≥ β(9), Bk = 40, 758, secara lengkap
disajikan pada Lampiran C Tabel 3.1, Tabel 3.2, dan Tabel 3.3. Dalam ka-
sus ini, untuk faktor yang signifikan mungkin tidak menjadi masalah yang ber-
arti oleh karena hasil uji yang menunjukkan power yang besar. Tetapi yang
perlu diperhatikan dari kasus ini adalah pada saat faktor tersebut dinyatakan
tidak signifikan, baik dengan menggunakan metode Lenth maupun Fang, ke-
cenderungan keduanya memberikan suatu power yang besar. Jika hal tersebut
dikaitkan dengan kesalahan yang mungkin terjadi dalam setiap pengujian hipote-
sis, yaitu kesalahan type II. Kondisi dimana terjadi penerimaan H0 saat H1 be-
nar, diberikan contoh dari hasil analisis, β2 = −4, 875 (tidak signifikan , baik
metode Lenth maupun Fang) dengan β = −8, 38652 diberikan nilai power sebe-
sar 0,99957 (Lampiran C Tabel 3.2), dengan peluang terjadi kesalahan type II
sebesar 0,00043 suatu tingkat kesalahan yang mungkin sangat kecil.
Melalui uraian kasus di atas, baik metode Lenth maupun metode Fang cen-
derung memberikan nilai power yang sama untuk suatu parameter noncentral
yang ditetapkan dan lebih kuat jika dibandingkan dengan metode Bissell, ke-
cuali pada keadaan dimana parameter nonsentral yang diberikan semakin besar
dibanding dengan efek dari suatu faktor terlihat perbedaan antara kedua metode
ini (Lenth dan Fang), dimana metode Fang cenderung lebih kuat dibandingkan
dengan metode Lenth dan Bissell. Gambar 4.1 berikut memberikan gambaran
power dari ketiga metode tersebut.
4.2.2 Kasus Rancangan Faktorial Fraksional 3-Level
Pada kasus ini, kasus yang digunakan adalah proses pembakaran pada
boiler dengan faktor-faktornya (1) sudut pengarah nosel (A), distribusi udara
(D),kombinasi elemen nosel (C), dan tarikan udara pada furnace (D) disusun
46
(a) Kurva Kuasa untuk βi; i = 1, 2, 3, 4 (b) Kurva Kuasa untuk βi; i = 5, 6, 7, 8
(c) Kurva Kuasa untuk βi; i = 9, 10
Gambar 4.1: Kurva Kuasa Metode Bissell, Lenth, dan Fang untuk PermainanGolf
dalam rancangan faktorial fraksional 34−1IV atau rancangan resolusi IV dengan
defining relation I = AB2CD dan jumlah run 27. dengan model yang akan diuji
y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β12x1x2 + β13x1x3β23x2x3 + ε
Model dengan 7 kontras, dari hasil analisis diperoleh tabel analisis variansi seba-
gai berikut Hipotesis yang akan diuji adalah
H0 : βi = 0 lawan H1 : βi 6= 0 dimana i = 1, 2, 3, . . . , 7
47
Tabel 4.2: Rangkuman Hasil Analisis Varian
Sumbe variansi DF SS MS F P
Regresi 7 1301,2 185,9 0,37 0,908
Kesalahan 19 9500,9 500,0
Total 26 10802,1
pengujian hipotesis dengan menggunakan metode klasik, sebagaimana yang di-
tunjukkan pada tabel ANOVA diatas, tidak dapat digunakan oleh karena model
yang diberikan tidak signifikan. Dalam hal ini, pengujian secara klasik tidak da-
pat digunakan untuk menetapkan faktor mana di antara sejumlah faktor yang
memberikan pengaruh pada proses pembakaran pada boiler. Pengujian hipotesis
dengan menggunakan ketiga metode tersebut, dijelaskan sebagai berikut:
1. Metode Bissell,
Dilakukan perhitungan dengan iterasi sebagai berikut:
(a) Dari hasil penghitungan rata-rata sebesar 185,886 dan standar deviasi
sebesar 335,397 dari rata-rata kuadrat
(b) Dengan menggunakan persamaan (4.3), untuk k=7 diperoleh nilai
Bk = 9, 76667 dengan p-value dari chi kuadrat 0,57 untuk α = 0, 05,
hasil ini menyatakan faktor A tidak signifikan.
Dari keseluruhan iterasi yang diberikan dalam metode Bissell tidak
satupun dari faktor yang mempengaruhi proses pembakaran pada boiler
yang dinyatakan signifikan.
2. Metode Lenth, Dengan menggunakan nilai dari penaksir efek, dihitung:
(a) s0 = 1, 5×median |βi| = 2, 1833
(b) σPSE = 1, 5× median|β|<2.5×s0
|β| = 2.1666
(c) ME = t0,025 × σPSE = 6, 5210
(d) SME = tγ, d× σPSE = 14, 2538
Untuk menyatakan faktor signifikan dengan menggunakan metode Lenth,
48
bahwa nilai multak dari penaksir efek yang lebih besar dari SME.
Dari hasil tersebut tidak satupun dari faktor yang dinyatakan sig-
nifikan
3. Metode Fang, Dengan yang sama pada metode fang, penetapan faktor yang
signifikan adalah dengan mengambil nilai dari penaksir efek yang lebih besar
dari nilai SME. Dari hasil perhitungan, tidak satupun dari faktor yang
ada dinyatakan signifikan.
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dari hasil pembahasan, diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut:
1. Statistik uji dan penaksir parameter untuk metode Bissel, Lenth dan Fang
sebagai berikut:
(a) Statistik uji untuk Metodel Bissell adalah
Bk =(k − 1)v
2
(s
m
)2
yang merupakan suatu statistik berdistribusi chi kuadrat dengan pe-
naksirnya
E(Bk) = k − 1
(b) Penaksir dan statistik uji dari Metode Lenth adalah
i. Penaksir dari Metode Lenth
• s0 = 1.5 ×median{|βi|} sebagai penaksir awal yang akan di-
gunakan untuk menentukan penaksir akhir.
• σPSE = 1, 5× median|βi|≤2,5×s0
{|βi|} sebagai penaksir akhir.
• ME = σPSE × t0,025,d sebagai batas kesalahan
• SME = tγ,d × σPSE sebagai batas kesalahan simultan, meru-
pakan statistik yang digunakan untuk menetapkan apakah su-
atu faktor signifikan atau tidak, yaitu estimasi efek faktor
yang lebih besar dari SME dinyatakan sebagai faktor yang
signifikan.
ii. Statistik uji Metode Lenth
• tk =β
σPSE
sebagai statistik uji
49
50
(c) Penaksir dan statistik uji dari Metode Fang adalah
i. Penaksir Metode Fang
• s0 = 1.5 ×median{|βi|} sebagai penaksir awal yang akan di-
gunakan untuk menentukan penaskir akhir.
• σs1 =√
l−1∑
|βi|≤2,5×s0
|βi|2 sebagai penaksir akhir
• ME = σs1 × t0,025,l sebagai batas kesalahan
• SME = tγ,l × σs1 , sebagai batas kesalahan simultan, meru-
pakan statistik yang digunakan untuk menetapkan apakah su-
atu faktor signifikan atau tidak, yaitu estimasi efek faktor
yang lebih besar dari SME dinyatakan sebagai faktor yang
signifikan.
ii. Statistik uji metode Fang
• tk =β
σs1
sebagai statistik uji
2. Kekuatan uji untuk metode Metode Lenth dan Fang memberikan indikasi
yang lebih kuat dibandingkan dengan metode Bissell. Untuk Metode Lenth
dan Fang, memberikan kecenderungan yang sama dalam hal nilai power
yang diberikan untuk setiap parameter nonsentral. Namun, kekuatan uji
metode ini untuk suatu parameter yang noncentral yang diberikan semakin
besar, memperlihat metode Fang lebih kuat dibanding dengan metode Lenth.
5.2 Saran
Dengan penggunaanya yang cukup luas dalam berbagai bidang, rancangan
fraksional faktorial cukup menarik untuk dikembangkan lebih lanjut. Metode
yang berkaitan dengan rancangan ini telah banyak dikembangkan dan terus
didiskusikan, pada penelitian ini hanya mengemukakan tiga metode, yaitu Metode
Bissell, Lenth dan Fang. Bagi pembaca yang tertarik, disarankan untuk meninjau
metode-metode tersebut apakah dengan jumlah faktor fraksional yang berbeda-
beda atau melalui simulasi atau mengkhususkan pada rancangan fraksional fak-
51
torial 3-level.
DAFTAR PUSTAKA
Anonim, 2003. http://www.maths.napier.ac.uk/ jeff/golf.txt
Antony, J dan Capon, 1998. ”Teaching Experimental Design Techniques to In-
dustrial Engineers” Internatioan. Journal. Engeering Ed. Vol. 14, No. 5, pp.
335 - 343.
Benton., D dan Krishnamoorthy, K. 2005. ”Computing Discrete Mixture of Con-
tinuous Distributions: Noncentral Chisquare, Noncentral t and Distribution
of the Square of the Sample Multiple Correlation Coefisient”. Departement of
Mathematics, Universitu of Louisianan at Lafayette, Lafayette, USA.
Bisgaard, 1991. ”A Methode for Identification Defining Contrasts for 2K−P De-
sign”. Report Series No. 72 of Center for Quality and Productivity Impovement,
University of Wisconsin, Madison.
Bissell, A. F. 1989. ”Interpreting Mean Squares In Saturated Fractional Design”.
Journal of Applied Statistics 16, Vol. 1, pp.447
Bissell, A. F. 1992. ”Mean Squares In Saturated Fractional Design Revisied”.
Journal of Applied Statistics 19, Vol. 3, pp.447
Box, G. E. P. dan Meyer, R. D. 1986. ”An Analysis for Unreplicated Fractional
Factorials”. Technometrics. 28. 1 pp. 11-18
Cochran, W.G. 1954. ”Some Methods For Strengthening the Common χ2 Test”.
Biometric, pp. 418-450
Dodgson, J.H. 2003. ”A Graphical Method for Assessing Mean Square in Satu-
rated Fractional Designs”. Journal of Quality Technology, 35, No. 2, pp. 206-
212.
Dong., F. 1993. ”On the Indentification of Active Contrasts in Unreplicated Frac-
tional Factorial”. Statistics Sinica 3, pp 209-217.
Halaand, D.P dan O’Connell, M.A. ”Inference for Effect-Saturated Fractional
Factorials”. Technometrics 37, 1, pp. 82-93
Hamada, M. dan Balakrishnan, N. 1998. ”Analizyng Unreplicated Factorial Ex-
periments: A Review With Some New Proposals”. Statistics Sinica 8, pp 1-41
Lenth, R.V. 1989. ”Quick and Easy Analysis of Unreplicated Factorial”. Techno-
metrics 31, pp 469-473.
Luftig, J., 1991. ”Special Techniques For The Analysis Of Unreplicated Fractional
Factorial (Screening) Designs, Luftig & Warren International.
52
53
Montgomery, 2005. supplemental text material for each chapter of the 6th
edition of Design and Analysis of Experiments. http://www.wiley.com/ col-
lege/montgomery
Voelkel, G. J dan Rochester, CQAS, R.I.T., 2004. The Efficiencies of Frac-
tional Factorial Designs, Technical Report 2004-1. 30 November 2005.
http://www.rit.edu/ ∼636www/about/TR2004-1.pdf.
LAMPIRAN
54
Lampiran A
Matriks Rancangan dan Data
1.1 Data Eksperimen Permainan Golf
Tabel 1.1: Faktor dan Level-level untuk Permainan Golf
Faktor Low level (-1) High level (+)
A Ability (handycap) 8 4
B Ball Balata two piece
C Club Wood metal
D Ground soft hard
E Teeing no tee tee
Tabel 1.2: Matriks Rancangan Eksperimen Permainan Golf
Run A B C D E Distance Run A B C D E Distance
1 -1 -1 -1 -1 1 211 9 -1 -1 -1 1 -1 183
2 1 -1 -1 -1 -1 195 10 1 -1 -1 1 1 285
3 -1 1 -1 -1 -1 150 11 -1 1 -1 1 1 242
4 1 1 -1 -1 1 232 12 1 1 -1 1 -1 260
5 -1 -1 1 -1 -1 160 13 -1 -1 1 1 1 276
6 1 -1 1 -1 1 236 14 1 -1 1 1 -1 264
7 -1 1 1 -1 1 222 15 -1 1 1 1 -1 200
8 1 1 1 -1 -1 204 16 1 1 1 1 1 301
Sumber: Dodgson, J.H. 2003. ”A Graphical Method for Assessing Mean Square in Satu-rated Fractional Designs”. Journal of Quality Technology, 35, No. 2, pp. 206- 212.
1.2 Data Pembakaran pada Boiler
Tabel 1.3: Faktor dan Level-Level data Pembakaran pada Boiler
Faktor Level 0 (rendah) Level 1 (tengah) Level 2 (Atas)
A(Sudut Pengarah Nosel) -10 0 10
B(Distribusi Udara) Elevasi sudut atas tengah bawah
C(Kombinasi Elemen Nosel) -1,2mbar 0mbar 1,6mbar
D(Sudut Pengarah Nosel) -10 0 10
55
56
Tabel 1.4: Matriks Rancangan Fraksional Faktorial 3-Level Data Pembakaranpada Boiler
Run A B AB C AC BC D y
1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 60,0
2 -1 -1 -1 0 0 0 0 78,0
3 -1 -1 -1 1 1 1 1 100,0
4 -1 0 0 -1 -1 0 0 52,0
5 -1 0 0 0 0 1 1 50,0
6 -1 0 0 1 1 -1 -1 42,0
7 -1 1 1 -1 -1 1 1 98,0
8 -1 1 1 0 0 -1 -1 66,0
9 -1 1 1 1 1 0 0 88,0
10 0 -1 1 -1 0 -1 0 70,0
11 0 -1 1 0 1 0 1 60,0
12 0 -1 1 1 -1 1 -1 60,0
13 0 0 -1 -1 0 0 1 38,0
14 0 0 -1 0 1 1 -1 10,0
15 0 0 -1 1 -1 -1 0 30,0
16 0 1 0 -1 0 1 -1 58,0
17 0 1 0 0 1 -1 0 54,0
18 0 1 0 1 -1 0 1 74,0
19 1 -1 0 -1 1 -1 1 80,0
20 1 -1 0 0 -1 0 -1 72,0
21 1 -1 0 1 0 1 0 92,0
22 1 0 1 -1 1 0 -1 46,0
23 1 0 1 0 -1 1 0 62,0
24 1 0 1 1 0 -1 1 62,0
25 1 1 -1 -1 1 1 0 90,0
26 1 1 -1 0 -1 -1 1 86,0
27 1 1 -1 1 0 0 -1 82,0
Lampiran B
Hasil Analisis untuk Identifikasi Faktor Signifikan
2.1 Permainan Golf
Factorial Fit: Distance versus Ability; Ball; Club; Ground; Teeing
Estimated Effects and Coefficients for Distance (coded units)
Term Effect Coef
Constant 226,313
Ability 41,625 20,813
Ball 0,125 0,062
Club 13,125 6,562
Ground 50,125 25,062
Teeing 48,625 24,313
Ability*Ball 4,125 2,063
Ability*Club -4,875 -2,437
Ability*Ground 10,625 5,313
Ability*Teeing -15,875 -7,937
Ball*Club -2,375 -1,187
Ball*Ground -1,375 -0,687
Ball*Teeing -2,875 -1,437
Club*Ground 4,625 2,312
Club*Teeing 3,125 1,562
Ground*Teeing 0,625 0,312
S = *
Analysis of Variance for Distance (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
MainEffects 5 27127 27127 5425,5 * *
2-Way Interactions 10 1812 1812 181,2 * *
Residual Error0 * * *
Total 15 28939
57
58
Tabel 2.1: Nilai Statistik Bissell, Metode Lenth dan Fang untuk Permainan Golf
Run Efek Ref MS Reford Bk Pvalue
Ability 41,625 1 6930,6 4 24,7662 0,0369474
Ball 0,125 2 0,1 5 31,2315 0,0031184
Club 13,125 3 689,1 1 40,7580 0,0000538
Ground 50,125 4 10050,1 9 13,7841 0,2451737
Teeing 48,625 5 9457,6 3 13,5729 0,1933798
Ability*Ball 4,125 6 68,1 8 12,6369 0,1797348
Ability*Club -4,875 7 95,1 7 3,3778 0,9084655
Ability*Ground 10,625 8 451,6 13 3,3073 0,8551988
Ability*Teeing -15,875 9 1008,1 6 2,9810 0,8112249
Ball*Club -2,375 10 22,6 14 2,3178 0,8036538
Ball*Ground -1,375 11 7,6 12 2,4452 0,6544835
Ball*Teeing -2,875 12 33,1 10 2,5132 0,4729036
Club*Ground 4,625 13 85,6 11 1,6793 0,4318616
Club*Teeing 3,125 14 39,1 15 0,8521 0,3559671
Ground*Teeing 0,625 15 1,6 2 * *
s0 6,9375
Metode Lenth σPSE = 5,4375
ME = 13,9975
SME = 28.3764
Metode Fang σs1 = 7,2187
ME = 16,6226
SME = 29,9595
2.2 Pembakaran Pada Boiled 3-Level
Seluruh Faktor utama dan Interaksi Dua Faktor
Regression Analysis: y versus x1; x2; ...x3x4
The regression equation is
y = 64,8 + 0,11 x1 + 1,22 x2 + 1,44 x3 + 7,22 x4 - 1,47 x1x2 - 3,60 x1x3
- 0,71 x1x4 - 2,49 x2x3 + 0,40 x2x4 - 3,47 x3x4
Predictor Coef SE Coef T P VIF
Constant 64,815 4,654 13,93 0,000
x1 0,111 5,700 0,02 0,985 1,0
x2 1,222 5,700 0,21 0,833 1,0
x3 1,444 5,700 0,25 0,803 1,0
59
x4 7,222 5,700 1,27 0,223 1,0
x1x2 -1,467 7,210 -0,20 0,841 1,1
x1x3 -3,600 7,210 -0,50 0,624 1,1
x1x4 -0,711 7,210 -0,10 0,923 1,1
x2x3 -2,489 7,210 -0,35 0,734 1,1
x2x4 0,400 7,210 0,06 0,956 1,1
x3x4 -3,467 7,210 -0,48 0,637 1,1
S = 24,1844 R-Sq = 13,4% R-Sq(adj) = 0,0%
Analysis of Variance
Source DF SS MS F P
Regression 10 1443,9 144,4 0,25 0,985
Residual Error 16 9358,2 584,9
Total 26 10802,1
No replicates.
Cannot do pure error test.
Source DF Seq SS
x1 1 0,2
x2 1 26,9
x3 1 37,6
x4 1 938,9
x1x2 1 65,3
x1x3 1 147,0
x1x4 1 21,3
x2x3 1 69,7
x2x4 1 1,8
x3x4 1 135,2
60
Tabel 2.2: Hasil Perhitungan Metode Bissell, Lenth dan Fang
Ref MS Reford Bk Pvalue
1 1712,15 1 6,70844 0,568392
2 1631,26 2 7,63956 0,365446
3 928,20 3 6,51795 0,367732
4 76,94 7 0,96941 0,964995
5 145,48 5 0,70381 0,950858
6 94,71 6 0,44522 0,930751
7 186,65 4 0,40509 0,816648
8 14,42 9 0,42017 0,516851
9 67,56 8 * *
Metode Lenth
s0 2.1833
σPSE = 2.1666
ME = 6.5210
SME = 14.2538
Metode Fang
σs1 = 4.9011
ME = 8.7678
SME = ...
Seluruh Faktor Utama dan Interaksi AB, AC, dab BC
Regression Analysis: y versus x1; x2; x3; x4; x1x2; x1x3; x2x3
The regression equation is
y = 64,8 + 0,11 x1 + 1,22 x2 + 1,44 x3 + 7,22 x4 - 2,33 x1x2 - 3,50 x1x3
- 2,67 x2x3
Predictor Coef SE Coef T P VIF
Constant 64,815 4,304 15,06 0,000
x1 0,111 5,271 0,02 0,983 1,0
x2 1,222 5,271 0,23 0,819 1,0
x3 1,444 5,271 0,27 0,787 1,0
x4 7,222 5,271 1,37 0,187 1,0
x1x2 -2,333 6,455 -0,36 0,722 1,0
x1x3 -3,500 6,455 -0,54 0,594 1,0
x2x3 -2,667 6,455 -0,41 0,684 1,0
61
S = 22,3617 R-Sq = 12,0% R-Sq(adj) = 0,0%
Analysis of Variance
Source DF SS MS F P
Regression 7 1301,2 185,9 0,37 0,908
Residual Error 19 9500,9 500,0
Total 26 10802,1
No replicates.
Cannot do pure error test.
Source DF Seq SS
x1 1 0,2
x2 1 26,9
x3 1 37,6
x4 1 938,9
x1x2 1 65,3
x1x3 1 147,0
x2x3 1 85,3
Tabel 2.3: Hasil Perhitungan Metode Bissell, Lenth dan Fang
Ref MS Reford Bk Pvalue
1 0,2 4 9,76667 0,134828
2 26,9 6 1,83889 0,870959
3 37,6 7 1,18834 0,880014
4 938,9 5 1,03030 0,793922
5 65,3 3 0,79769 0,671094
6 147,0 2 0,97070 0,324506
7 85,3 1 * *
Lam
pir
an
C
Hasi
lPenghit
ungan
Pow
er
dan
Kurv
aK
uasa
Meto
de
Bis
sell,Lenth
,dan
Fang
untu
kPerm
ain
an
Golf
Tab
el3.
1:Pow
erM
etode
Bis
sell
untu
kPer
mai
nan
Gol
f
β
Bk
12
34
56
78
910
24,7
662
0,94
1941
0,91
5733
0,88
4624
0,84
9012
0,80
9458
0,76
6639
0,72
1306
0,67
4242
0,62
6221
0,57
7984
31,2
315
0,99
0186
0,98
3313
0,97
3836
0,96
1419
0,94
5808
0,92
6848
0,90
4490
0,87
8790
0,84
9906
0,81
8089
40,7
580
0,99
9507
0,99
8948
0,99
8000
0,99
6507
0,99
4287
0,99
1140
0,98
6853
0,98
1209
0,97
3995
0,96
5014
13,7
841
0,46
2393
0,39
6737
0,33
7581
0,28
5036
0,23
8944
0,19
8966
0,16
4638
0,13
5431
0,11
0788
0,09
0155
13,5
729
0,44
6725
0,38
1832
0,32
3691
0,27
2315
0,22
7473
0,18
8759
0,15
5664
0,12
7626
0,10
4066
0,08
4417
12,6
369
0,37
6641
0,31
6320
0,26
3607
0,21
8107
0,17
9260
0,14
6418
0,11
8898
0,09
6024
0,07
7152
0,06
1690
3,37
780,
0012
150,
0008
150,
0005
460,
0003
660,
0002
450,
0001
640,
0001
090,
0000
730,
0000
490,
0000
32
3,30
730,
0010
780,
0007
220,
0004
830,
0003
230,
0002
150,
0001
440,
0000
960,
0000
640,
0000
420,
0000
28
2,98
100,
0005
930,
0003
930,
0002
610,
0001
730,
0001
140,
0000
760,
0000
500,
0000
330,
0000
220,
0000
14
2,31
780,
0001
330,
0000
860,
0000
560,
0000
370,
0000
240,
0000
150,
0000
100,
0000
060,
0000
040,
0000
03
2,44
520,
0001
830,
0001
200,
0000
780,
0000
510,
0000
330,
0000
220,
0000
140,
0000
090,
0000
060,
0000
04
2,51
320,
0002
160,
0001
420,
0000
930,
0000
610,
0000
400,
0000
260,
0000
170,
0000
110,
0000
070,
0000
05
1,67
930,
0000
180,
0000
110,
0000
070,
0000
050,
0000
030,
0000
020,
0000
010,
0000
010,
0000
000,
0000
00
0,85
210,
0000
000,
0000
000,
0000
000,
0000
000,
0000
000,
0000
000,
0000
000,
0000
000,
0000
000,
0000
00
62
63
Tab
el3.
2:Pow
erM
etode
Len
thuntu
kPer
mai
nan
Gol
f
β
β1
23
45
67
89
10
-15,
8750
0,00
000,
0000
0,00
000,
0000
0,00
000,
0000
0,00
000,
0000
0,00
000,
0000
-4,8
750
0,00
230,
0002
0,00
000,
0000
0,00
000,
0000
0,00
000,
0000
0,00
000,
0000
-2,8
750
0,01
740,
0017
0,00
010,
0000
0,00
000,
0000
0,00
000,
0000
0,00
000,
0000
-2,3
750
0,03
180,
0034
0,00
020,
0000
0,00
000,
0000
0,00
000,
0000
0,00
000,
0000
-1,3
750
0,11
380,
0162
0,00
100,
0000
0,00
000,
0000
0,00
000,
0000
0,00
000,
0000
0,12
500,
5473
0,18
930,
0301
0,00
200,
0001
0,00
000,
0000
0,00
000,
0000
0,00
00
0,62
500,
7203
0,34
520,
0838
0,00
910,
0004
0,00
000,
0000
0,00
000,
0000
0,00
00
3,12
500,
9869
0,92
580,
7553
0,48
440,
2272
0,07
500,
0172
0,00
270,
0003
0,00
00
4,12
500,
9954
0,97
060,
8858
0,70
920,
4699
0,24
840,
1028
0,03
310,
0083
0,00
16
4,62
500,
9971
0,98
080,
9214
0,78
570,
5784
0,35
500,
1782
0,07
260,
0239
0,00
64
10,6
250
0,99
990,
9995
0,99
740,
9908
0,97
450,
9425
0,88
970,
8141
0,71
790,
6075
13,1
250
1,00
000,
9998
0,99
910,
9965
0,98
990,
9762
0,95
180,
9138
0,86
050,
7919
41,6
250
1,00
001,
0000
1,00
001,
0000
1,00
000,
9999
0,99
980,
9995
0,99
920,
9986
48,6
250
1,00
001,
0000
1,00
001,
0000
1,00
001,
0000
0,99
990,
9998
0,99
960,
9993
50,1
250
1,00
001,
0000
1,00
001,
0000
1,00
001,
0000
0,99
990,
9998
0,99
970,
9994
64
Tab
el3.
3:Pow
erM
etode
Fan
guntu
kPer
mai
nan
Gol
f
β
β1
23
45
67
89
10
-15,
8750
0,00
010,
0000
0,00
000,
0000
0,00
000,
0000
0,00
000,
0000
0,00
000,
0000
-4,8
750
0,00
020,
6957
0,01
270,
0001
0,00
000,
0000
0,00
000,
0000
0,00
000,
0000
-2,8
750
0,00
700,
0004
1,10
770,
0134
0,00
010,
0000
0,00
000,
0000
0,00
000,
0000
-2,3
750
0,01
750,
0013
0,40
270,
0565
0,00
030,
0000
0,00
000,
0000
0,00
000,
0000
-1,3
750
0,09
710,
0118
0,00
061,
3370
0,00
120,
0000
0,00
000,
0000
0,00
000,
0000
0,12
500,
5487
0,19
020,
0303
0,00
205,
3022
0,00
540,
0000
0,00
000,
0000
0,00
00
0,62
500,
7282
0,35
020,
0843
0,00
890,
0004
0,06
740,
0046
0,00
000,
0000
0,00
00
3,12
500,
9956
0,96
030,
8148
0,51
830,
2129
0,05
140,
0070
0,00
052,
1065
0,04
66
4,12
500,
9993
0,99
140,
9432
0,78
690,
5085
0,22
910,
0675
0,01
260,
0015
0,00
01
4,62
500,
9997
0,99
600,
9698
0,86
880,
6470
0,36
180,
1417
0,03
750,
0066
0,00
08
10,6
250
1,00
001,
0000
1,00
000,
9997
0,99
830,
9924
0,97
380,
9292
0,84
510,
7172
13,1
250
1,00
001,
0000
1,00
001,
0000
0,99
980,
9989
0,99
550,
9856
0,96
250,
9173
41,6
250
1,00
001,
0000
1,00
001,
0000
1,00
001,
0000
1,00
001,
0000
1,00
001,
0000
48,6
250
1,00
001,
0000
1,00
001,
0000
1,00
001,
0000
1,00
001,
0000
1,00
001,
0000
50,1
250
1,00
001,
0000
1,00
001,
0000
1,00
001,
0000
1,00
001,
0000
1,00
001,
0000
65
(a) Kurva Kuasa untuk β = 1, 2, 3, 4
(b) Kurva Kuasa untuk β = 5, 6, 7, 8
(c) Kurva Kuasa untuk β = 9, 10
Gambar 3.1: Kurva Kuasa Metode Bissell, Lenth dan Fang untuk PermainanGolf
Lampiran D
Listing Program
4.1 Listing Program Iterasi Bissell
# Macro: BTAUTO.MAC
# Deskripsi: Menyatakan nilai dari statistik Bk dan p-value yang
# berkaitan untuk tiap mean square, dan plot Bk dengan
# k-1
# Input: DF - Derajat bebas
# Ref - kolom referensi label
# MS - kolom Mean square
# Output: Reford - Kolom referensi label yang diurutukan
berdasarkan mean square
# Bk - Kolom nilai Bk
# PValue - Kolom p-value
# Calls: Call makro BTEST.MAC
MACRO
BTAUTO DF REF MS REFORD BK PVALUE
MCONSTANT DF K CVT PV I J L
MCOLUMN REF MS REFORD BK PVALUE MSORD KMIN1
LET K=N(MS) SORT REF MS REFORD MSORD;
BY MS;
DESCENDING MS.
%BTEST DF MS CVT PV
LET BK(1) = CVT
LET PVALUE(1) = PV
DO I = 1:K - 2
LET MSORD(I) = ’*’
%BTEST DF MSORD CVT PV
LET J = I + 1
LET BK(J) = CVT
LET PVALUE(J) = PV
ENDDO
LET BK(K)=’*’
LET PVALUE(K) = ’*’
LET L = K - 1
SET KMIN1 L:1*
END
66
67
NAME BK ’Bk’
NAME KMIN1 ’k - 1’
PLOT BK*KMIN1;
LINE KMIN1 KMIN1.
ENDMACRO
# Macro: BTEST.MAC
# Deskripsi: Menyatakan statistik Bk dan p-value
# yang berkaitan untuk satu mean square
# Input: DF - derajat bebas
# MS - mean square
# Output Bk - Statistik Bk
# PVALUE - p-value
MACRO
BTEST DF MS BK PVALUE
MCONSTANT DF BK PVALUE K L CV QVALUE
MCOLUMN MS
LET K = N(MS)
LET L = K - 1
LET CV = STDEV(MS)/MEAN(MS)
LET BK = 0,5*L*DF*CV**2
CDF BK QVALUE;
CHISQUARE L.
LET PVALUE = 1 - QVALUE
ENDMACRO
# Macro: EFFTOMS.MAC
# Deskripsi: Menyatakan mean square dari efek
# untuk eksperimen 2**k
# Input: EFFECTS - kolom efek
# Output: MS - kolom mean square
MACRO
EFFTOMS EFFECTS MS
MCOLUMN EFFECTs MS
LET MS = (EFFECTS**2)*(N(EFFECTS)+1)/4
ENDMACRO
68
4.2 Listing Program Perhitungan Metode Lenth dan Fang
clc
clear
effect = [-15.875;-4.875;-2.875;-2.375;-1.375;0.125;0.625;
3.125;4.125;4.625;10.625;13.125;41.625;48.625;50.125]
PERMAINAN GOLF
So = 1.5 * median(abs(effect))
% =========================================================
% Perhitungan Metode Lenth
% =========================================================
k = length(effect);
m = 0;
for i=1:k
if abs(effect(i))<2.5 *So
m = m + 1;
hasil1(m) = effect(i);
end
end
PSE = 1.5 * median(abs(hasil1))
MEL = tinv(0.975,k/3) * PSE
gammaL = (1 + (0.95)^(1/k) )/ 2;
SMEL = tinv(gammaL,k/3) * PSE
% ===========================================================
% Perhitungan Power Metode Lenth
% ===========================================================
for i=1:k;
lower=-MEL;
upper=+MEL;
dh =(upper-lower)/10;
j = 1;
delta =lower;
for j=1:10
power(i,j) = nctcdf(effect(i),k/3,delta);
delta = delta + dh;
del(i,j) =delta;
end
end
% ===========================================================
% Perhitungan Metode Fang
69
% ===========================================================
w = 0;
for i=1:k
if abs(effect(i))<2.5 *So
w = w + 1;
hasil2(w) = effect(i)^2;
end
end
l =length(hasil2);
jum = sum(hasil2);
S1 = sqrt((jum)/l)
MEF = tinv(0.98,l) * S1
gammaF = (1 + (0.98)^(1/k) )/ 2;
SMEF = tinv(gammaF,l) * S1
for i=1:k;
bawah=-MEL;
atas=+MEL;
dhf =(atas-bawah)/10;
t = 1;
deltaf =bawah;
for t=1:10;
powerf(i,t) = nctcdf(effect(i),l,deltaf);
deltaf = deltaf + dhf;
delf(i,t) =deltaf;
end
end
%===========================================================
% Mencentak Power Methode Lenth dan Fang
%===========================================================
display1 = [effect del];
disp(’===================================================’);
disp(’beta delta ’);
disp(’===================================================’);
disp(num2str(display1));
disp(’===================================================’);
display = [effect power];
disp(’===================================================’);
disp(’beta power ’);
disp(’===================================================’);
disp(num2str(display));
disp(’===================================================’);
display2 = [effect delf];
Recommended