View
0
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
حمول البالس*********************
تعريف حمول البالس وخواصه ١٠وهي دالة تابعـة −sxeهذه الدالة يف النواة فرضنافإذا . s≤0معرفة يف الفراغ xf)(لتكن هناك الدالة
0مـن القيمـة xثـم التكامـل علـى النـاتج بالنسـبة ل ، sسـيط والو xللمتغري وكـان هـذا التكامـل ∞ إىل ويرمز s<0مبعامل البالس حيث sوتسمى xf)(متقارب فإن ناتج هذا التكامل يسمى حمول البالس للدالة
}){(أو sf)(:كاآلتيللناتج tfL ويكتب على الصورة )١( ∫
∞−=
0)()}({ dxxfexfL sx
التكامل متقارب أما إذا كان التكامـل متباعـداً فإننـا نقـول أن ويقال أن حمول البالس لدالة ما متواجد إذا كان .حمول البالس غري معروف
جتعـل حتويـل البـالس معرفـاً ومـن ثـم ميكـن sوهناك شروط موضوعة على معامل البالس وهي وجود قـيم ل الس لقـيم . القول أن هذه القيم متثل جمموعة تعريف احملـول الـدوال تأخـذ السـالبة غـري متواجـد وكـذلك عنـدما sوحمـول الـب
2أوضاعاً معينة فمثال)( tetf .sفإن احملول يف هذه احلالة متباعد مهما كانت قيمة =
وبناء على ما سبق من نقاش نذكر احلقيقية التالية :خاصية
ــه إذا كانــت لــدينا الــدالتني مــؤثر حمــول البــالس هــ ),()(و مــؤثر خطــي أي ان tgtf وكــان حمــول البــالس هلمــا)}({)},({ tgLtfL عددان أليعلى الرتتيب فإنهFba .األعدادحقل Fحيث ,∋
)٢( )}({)}({)}()({ tgbLtfaLtbgtafL +=+ :الربهان
:حمول البالس تعريفستخدام اب
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
2
)}({)}({ )()(
)}()({)}()({..
00
0
tgbLtfaLdttgebdttfea
dttbgtafetbgtafLSHL
stst
st
+=+=
+=+=
∫∫
∫∞
−∞
−
∞−
:اآلتيوعلى وجه العموم هذه اخلاصية تكتب على الشكل )٣( ∑∑
==
=
n
iii
n
iii tfLatfaL
11)}({)(
تعريف حمول البالس العكسي ٢٠ــة }{لــتكن الدال fL أو)(sf ــة هــي حمــ ــة tf)(ول البــالس للدال ــه ميكــن القــول أن الدال tf)(وعلي
:اآلتيوتكتب على الشكل sf)(تسمى مبحول البالس العكسي للدالة )}({)( 1 sfLtf −=
ملعاكس من حل املعادلة التكامليةويتعني احملول ا)٤( ∫
∞−=
0)()( dttfesf st
فإن كان هلا حال وحيداً فإنـه ،وعلى وجه العموم ليس بالضروري أن يكون هناك هلذه املعادلة حل .tf)(موجود وهو sf)(ميكن القول أن حمول البالس املعاكس للدالة
س يتمتع باخلاصية العامة التالية وهذا احملول املعاك)٥( ∑∑
=
−
=
− =
n
iii
n
iii sfLbsfbL
1
1
1
1 )}({)( حمول البالس لبعض الدوال ٣٠ .ستنباط حمول البالس لبعض الدوال املشهورةايف هذا اجلزء سنقوم ب atetfعندما تكون -أ ثابت aحيث ،)(=
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
3
∞−−∞−−
∞−
−−
=== ∫∫0
)(
0
)(
0 )( )(}{
asedtedttfeeeL
tastasatstat
.القاعدة إىلوعليه ميكن الوصول )٦(
aseL at
−=
1}{ ,0سالبة مبعنى أن aفإذا كانت • >−= bba فإن
)٧( bs
eL bt
+=− 1}{
فإن a=0ا كانتفإذ •
)٨( s
L 1}1{ = ==− ,1فإذا كان iica فإن
icseL ict
−=
1}{ بالضرب يف املرافق
)٩( 22}{isicseL ict
++=
أنمن السابق ولكن درسθθ θθ sinIm , cosRe == ii ee
ومن ثم حنصل على )١٠( 22}{cos
cssctL+
= أيضاً
)١١( 22}{sincs
actL+
= )( 0وللحصول على حمول البالس لدالة كثريات احلدود ≥= nttf n )n عدد صحيح موجب(
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
4
فإن
∫∞
−=0
}{ dttetL nstn بالتكامل بالتجزيء
vs
edtntdu
dvdtetust
n
stn
=−
=
==−
−
−
1
ومن ثم جند أن
∫∞
−−∞−
+
−
=0
1
0
}{ dttesn
stetL nst
nstn
:اآلتيوعليه حنصل على األميننعدام اجلزء األول من الطرف اومن املالحظ )١٢( }{}{ 1−= nn tL
sntL
ذات العدد الصحيح املوجب فهي عالقة تكرارية وعليه nحمققة جلميع قيم ) ١٢(وملا كانت العالقة }{)1(21}{ 0tL
snn
sn
sn
sntL n −−−
⋅−
⋅= L ومن ثم جند أن
}1{!}{ LsntL n
n = كتابة احملول على الصورة األفضلومن
)١٣( )1(! , )1(}{ 1 +Γ=+Γ
= + nnsntL n
n هي دالة جاما Γ⋅)(حيث
فإن n<−1أما إذا كانت •
∫∞
−=0
}{ dtettL stnn
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
5
stuبأخذ التعويض =
∫∫∞
−+
∞− ==
01
0
1 )(1}{ duues
duesu
stL nu
nunn
:اآلتيوعليه حنصل على )١٤( 1 )1(1}{ 1 −>+Γ= + nn
stL n
n 1 ,1صاحلة جلميع قيم )١٣(ذلك ميكن القول أن العالقة ول ≥−> nn أمثلة عامة ومتارين •
.١مثال :أوجد حمول البالس لالتي
}8{sin , }{sinh , }{cosh tLatLatL نعلم أن مما سبق دراسته : احلل
( )atat eeat −+=21cosh
{ } ]11[21 }{}{
21}{cosh
asaseLeLatL atat
++
−=+= −
ومن ثم حنصل على 22 }{cosh (i)
assatL−
= باملثل وبنفس الطريقة ميكن إثبات أن22 }{sinh (ii)
asaatL−
= حيث أن
22 }{sin as
aatL+
= فإن
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
6
⋅+
=64
8 }8{sin 2stL
.٢مثال أوجد حمول البالس للدالة
≥<<−<<
=6 0
62 320 5
)(t
tt
tf
:احلل
[ ] [ ] [ ]⋅+−=−+−=
−
−
−
=−=
+−+==
−−−−−
−−−−
∞−−−
∞−
∫∫
∫∫∫∫
sssss
stststst
stststst
ees
ees
es
se
sedtedte
dtedtedtedttfetfL
62262
6
2
2
0
6
2
2
0
6
6
2
2
00
3851 315
3535
)0()3(5 )()}({
.٣مثال :اآلتيةأوجد حمول البالس للدوال
}4{cos, }2cos2{sin , }5{ 26 23
tLttLttL +− ستخدام القاعدة التالية اب: احلل
1)1(}{ +
+Γ= nn
sntL
:اآلتيحنصل على
25
23
5
)1()1(5)7(}5{ 23
76 +Γ
+Γ
−Γ
=+−ss
ttL وحيث أن
π))(()( , 1)1( , !6)7( 21
23
25 =Γ=Γ=Γ
وعليه جند أن
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
7
[ ] ⋅
++=+=
+=
⋅+
⋅==
⋅+−=+−
641
21}8{cos}1{
21
}8cos1{21}4{cos (iii)
164
21 }4{sin
21}2cos2{sin (ii)
54
35!6}5{ (i)
2
2
2
76
25
23
ss
stLL
tLtL
stLttL
ssttL π
تعاريف ومالحظات ونظرية الوجود ٤٠ :اآلتيةيف هذا البند سنقوم بذكر بعض التعاريف اهلامة
: االستمرار املقطعي .أ
],[مستمرة مقطعياً يف الفـرتة tf)(يقال أن الدالة ba ة منتهيـة لل ],[فـرتة إذا اسـتطعنا إجيـاد جتزـئ ba وكانـت الدالـة)(tf وإذا كانـت هنايـة الدالـة . مستمرة يف كل جمال جزئي مفتوح من فرتات التجزئة)(tf يمني مـن اـل
.ومن اليسار عند حدود التجزئة حمدودة ،tf)(يـد مـن االنقطـاع الـذي يسـمح بـه للدالـة وعليه ميكن القول أن القفـزات احملـدودة هـي النـوع الوح
.ومن الواضح أن فئة الدوال املستمرة مقطعياً حيتوي على مجيع الدوال املستمرة
60 ,)(رمساً للدالة ثل مي (1) الشكل tft .وهي مستمرة مقطعياً ≥≥
)(tf
t
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
8
: الرتبة االسية .ب
t→∞ذات رتبـة أسـية عنـدما tf)(يقال أن الدالـة bM نين ثـابت يعـدد أليإذا كـان تتحقـق , ينةاباملت
0for |)(| ttMetf bt ≥≤
وتكتب bteمن مرتبة tf)(وعليه ميكن القول أن الدالة
⋅∞→= teOtf bt , ) ()( :كاآلتيوميكن سياق التعريف بصورة أخرى
bMذات رتبة أسية إذا كان هناك عددان ثابتان tf)(يقال أن الدالة حبيث أن ,)١٥( MtfeLim bt
t→−
∞→|)(|
.٤مثال )(3ت أن أثب ttf t→∞ذات رتبة أسية عندما =
السابقمن خالل التعريف : احلل0)(
33 →=
∞→
−
∞→ btt
bt
t etLimteLim
وميكن للدارس إثبات ذلك عند تطبيق نظرية لوبيتال
066
3)(
32
233
→==
==
∞→∞→
∞→∞→
−
∞→
bttbtt
bttbtt
bt
t
ebLim
ebtLim
betLim
etLimteLim
)(3وعليه فإن الدالة ttf = .ذات مرتبة أسية :٥مثال
2وضح أن الدالة )( tetf = ليست ذات مرتبة أسية
أيضاً من التعريف جند أن :احلل
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
9
⋅>∞→= −
∞→∞→)0( )(
2
beLimeeLim btt
tbt
t
t
Aفئة الدوال .ج
:اآلتيإذا حتقق Aالفئة إىلتنتمي tf)(يقال أن الدالة (i) إذا كانت الدالة)(tf 0مستمرة مقطعياً يف أي جمال حمدود من املنطقة≥t.
(ii) إذا كانت الدالة)(tf 0ذات رتبة أسية جلميع قيمtt 0tمهما كانت قيمة ،< . : الس للمشتقات الداليةحمول الب ٥٠ هو tf)(درسنا فيما سبق أن حمول البالس لدالة
∫∞
−=0
)()}({ dttfetfL st tf)( األوىلحمول البالس للمشتقة وإلجياد :اآلتيندرس ′
∫∞
− ′=′0
)()}({ dttfetfL st :ياآلتحنصل على ستخدام قاعدة التكامل بالتجزيء اب
( ) ∫∞
−∞− +=′0
0 )()()}({ dttfestfetfL stst :اآلتيةوعليه حنصل على القاعدة
)١٦( )0()}({)}({ ftfsLtfL −=′ أيضاً ميكن حساب حمول البالس للمشتقة الثانية
∫∞
− ′′=′′0
)()}({ dttfetfL st بالتكامل بالتجزيء مع وضع
( ) ∫∞
−∞−
−
′+′=′′
=′′=
00 )()()}({
)(
dttfestfetfL
dvdttfeu
stst
st
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
10
)١٦(املعادلة باستخدام
)}({)0()}({ tfsLftfL ′+′−=′′ وبناء على ذلك جند أن
)١٧( )0()0()}({)}({ 2 fsftfLstfL ′−−=′′ سبق يف القاعدة التالية وميكن تعميم ما
)١٨( )0()0()0()}({)}({ )1()1(21)( −−− −−−−= nnnnn ffsfstfLstfL L
:اآلتيإذا كانت الدالة متصلة مقطعياً فإننا نتبع -ب
)١٩( ∫∫∫
∫
′+++′=
′=′
−
∞→
−
−
∞→
T
T
st
T
T
T
Tst
Tst
T
n
dttfeLimdttfe
dtetfLimtfL
)()(
)()}({
2
1
1
0
0
L
بالتجزيء جلميع التكامالت السابقة جند أن ضاً بالتكاملأي
)٢٠(
( ) ( )
( )
++++
+++=′
∫∫
∫
−−
∞→
−
−−−
T
T
stTT
st
T
Tst
TstT
stTst
n
ndttfestfeLimdttfes
tfedttfestfetfL
)()()(
)()()()}({
2
21
1
0
00
0
L
]0,(متصلة يف الفرتة tf)(الدالة أنوحيث فإن ∞)٢١( )0()}({)}({ ftfsLtfL −=′
.)١٦(وهي نفس نتيجة املعادلة : دالة متقطعة حتويل البالس لتفاضل •
.٢نظرية tf)(وكانت t→∞متصلة وذات مرتبة أسية عند tf)(دالة ألي دوال إىلتنتمي ′ وكانـت الدالـة Aفئـة اـل
atعند النقطة )(لقيمة حبيث ختتلف قيمتها عند غري متصلة ولكنها حمدودة ا = +af عن نظريهتا)( −af فإن )٢٢( )]()([)0()}({)}({ −+− −−−=′ afafeftfsLtfL sa
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
11
:الربهانtf)(حيث أن الدالة حتقق شروط وجود احملول فإن ′
dttfetfL st )()}({0
′=′ ∫∞
− atمنقطعة عند tf)(وحيث أن الدالة :كاآلتيفإن العالقة السابقة تكتب =
dttfeLimdttfeLimtfLc
st
ac
cst
ac)()()}({
0
′+′=′ ∫∫∞
−
→
−
→ +−
وكما سبق نستخدم قواعد التكامل بالتجزيء فنحصل على [ ] [ ] dttfestfeLimdttfestfeLimtfL
c
stc
st
ac
cstcst
ac)()( )()()}({
00 ∫∫
∞−∞−
→
−−
→+++=′
+−
}){(يعطيان األميناجلزئني الثاني والرابع يف الطرف أنونالحظ tfsL جند أن ومن ثم )٢٣( [ ] )}({)()0()()}({ tfsLcfeLimfcfeLimtfL sc
ac
sc
ac+−−=′ −
→
−
→ +−
وحيث أن sasc
ac
sc
aceeLimeLim −−
→
−
→==
+−
)٢٤( )()( , )()( +
→
−
→==
+−afcfLimafcfLim
acac
.)٢٢(تنتج املعادلة )٢٣(يف العالقة )٢٤(ستخدام املعادلة ابniaiميكن تعميم النظرية لعدد حمدود من نقط االنفصال وليكن عددها ورة التاليةعلى الص ,1≥≥
)٢٥( )]()([)0()}({)}({1
−+
=
− −−−=′ ∑ ii
n
i
sa afafeftfsLtfL i دالة الوحدة الدرجية •
:اآلتيةالدالة
><
=atat
tf 1 0
)(
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
12
:اآلتيةتسمى دالة الوحدة الدرجية ويرمز هلا بأحد الرموز )( atu : كاآلتيومتثل بيانياً auأو −
:كاآلتيوحيسب هلا حمول البالس
∫∫∞
−− +=a
sta
sta dtedteuL )1()0(}{
0
وعليه يكون حمول البالس للدالة على الصورة )0( , }{ >=
−
ss
euLas
a : ٧ مثال
عرب عن الدالة
>+<
=ππ
tttt
tf 7cos
cos)(
بداللة دالة الوحدة ثم أوجد حمول البالس : احلل
><
+=ππ
tt
ttf 7 0
cos)( ومن ثم جند أن
)}({7}{cos)}({ 1 0
7cos)(
π
ππ
−+=
><
+=
tuLtLtfLtt
ttf
a
t
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
13
العالقة حنصل على باستخدام
se
sstfL
sπ−
++
=7
1)}({ 2
حمول البالس العكسي لبعض الدوال ٠٦
)1(}1{ )1(}{ 2)(
}1{ 1}{ 1)(
11
1
1
+Γ=
+Γ=
=−−
=
+−
+
−
nt
sL
sntL
eas
Las
eL
n
nnn
atat
atas
aLas
aatL
atas
sLas
satL
sin} { }{sin 4)(
cos} { }{cos 3)(
221
22
221
22
=++
=
=++
=
−
−
: ٩ مثال :أوجد حمول البالس العكسي لالتي
++
−−
−−−−
258 (iii)
541 (ii)
721 (i) 2
12
11
ssL
ssL
sL
:احلل
+−=
−−
=
−=
−
−−
−−
)1)(5(1
541 (ii)
211
21
721 (i)
12
1
27
11 27
ssL
ssL
es
Ls
L t
BA,, ثابتان
++
−= −
)1()5(1
sB
sAL
tt BeAes
BLs
AL −−− +=
++
−= 511
11
51
على احملاور اإلزاحة ٧٠ .واهلامة حملول البالس وأيضاً احملول العكسي األساسيةيات النظر إىليف هذا اجلزء سنتعرض
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
14
)sعلى حمور اإلزاحة( .األوىل اإلزاحةنظرية bsعند sf)(موجوداً أو يساوي tf)(إذا كان حمول البالس للدالة ة فـإن حمـول البـال < tfeat)(س للداـل
)(يكون أيضاً موجوداً أو يساوي asf basعند − تكتب النظرية على الصورة آخرومبعنى −<)٢٦( )()}({ asftfeL at −=
:١٠مثال :احسب حمول البالس لالتي
{ } { } { }teLteLteL ttnat 6sin (iii) 4cos (ii) (i) 23 :احلل
حيث أن { } 1
! (i) += nn
sntL
اإلزاحةومن نظرية { } 1)(
!+−
= nnat
asnteL
أيضاً{ }
16 4cos (ii) 2 +=
sstL
اإلزاحةنظرية باستخدام{ }
16)3(34cos 2
3
+−−
=s
steL t باملثل
{ }36
66sin (iii) 2 +=
stL
{ } ⋅+−
=36)2(
66sin 22
steL t
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
15
:١١مثال :اآلتياحسب
+−
+−
−−−−
256 (iii)
2043 (ii)
)72(5 (i) 2
12
13
1
sssL
ssL
sL
: احلل :اآلتي األوىلنالحظ يف احلالة
−=
−−−
327
13
273
1
)(1
85
)(25
sL
sL
اإلزاحةطبق نظرية ⋅==
=
−−− ttt etet
sLe
sL 2
727
27
165
!2851
85
)72(5 (i)
22
31
31
:اآلتيحلل اجلزء الثاني جيب مالحظة 4)2(4 22 −−=− sss
ومن ثم جند أن
16)2(1
2043 (ii) 2
12
1
+−=
+−−−
sL
ssL
)زاحةاإلطبق (
+= −
161
212
sLe t
tes
Le
t
t
4sin4
164
42
21
2
=
+= −
:اآلتيأيضاً حلل اجلزء الثالث نستخدم 9)3(6 22 −−=− sss
ومن ثم جند أن
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
16
+−=
+−−−
16)3(256 (iii) 2
12
1
ssL
sssL
+−+−
= −
16)3(3)3(
21
ssL
⋅
+=
++
+=
++= −−− tte
sL
ssLe
ssLe ttt 4sin
434cos
163
16163 3
21
213
213
)tعلى حمور إلزاحةا( الثانية اإلزاحةنظرية 0,)(فإن tf)(هي حمول البالس للدالة sF)(إذا كانت الدالة sFea as−> هو حمول البالس للدالة
>−<
=atatfat
tf )( 0
)( )(الدرجية ةدالة الوحد استخداموب atu على الشكل tf)(ميكن كتابة الدالة −
)()()( tuatftf a−= :الربهان
:كاآلتي uf)(حمول البالس للدالة أنمما سبق عرفنا ∫∞
−=0
)()( duufesF su −aseبضرب الطرفني بالدالة
∫
∫∞
+−
∞−−−
=
=
0
)(
0
)(
)()(
duufe
duufeesFe
aus
suasas
tauبأخذ التعويض :اآلتيفإننا حنصل على +=∫∞
−− −=a
stas dtatfesFe )()( تكتب على الشكل األخريةفإن العالقة ) راجع التعريف( auفإذا استخدمنا الدالة الدرجية
∫∞
−− −=a
astas dttuatfesFe )()()(
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
17
بناء على تعريف حمول البالس حنصل على و)٢٧( )}()({)( tuatfLsFe a
as −=− .وهو املطلوب إثباته احلقيقة اهلامة التالية إىلهذه النظرية تقودنا
: ٢حقيقة •
1}){()(إذا كان tfsFL =− فإن
)٢٨( )()()}({1 tuatfsFeL aas ⋅−=−−
:١٢مثال أوجد حمول البالس للدالة
><<
<<=
πππ
π
2 sin2 0
0 )(
ttt
tttf
:احلل دالة الوحدة الدرجية باستخدام أوالً تكتب العالقة
π>π<
+
π>π<
−=2 sin2 0
1 0
)( 0 ttt
tt
utf :اآلتي إىلوهذا يقودنا
ππ +−= utuutf )(sin)( 0 رفنيبأخذ حمول البالس للط
})2{sin(}{}{)}({ 20 ππ π−+−= utLuLuLtfL طبق القاعدة
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
18
setuL
as
a
−
=)}({ مع النظرية
)()}()({ sfetuatfL asa
−=− :اآلتيحنصل على
11)}({ 2
2
++−=
π−π−
se
se
stfL
ss
:٥نظرية االشتقاق فإن sf)(وكان حمول البالس هلا هو t≤0لكل Aصف الدالة إىلتنتمي tf)(الة إذا كانت الد )٢٩( )()1()}({ sf
dsdttfL −=
:الربهان من تعريف حمول البالس
∫∞
−==0
)()}({)( dttfetfLsf st sبإجراء التفاضل بالنسبة ل
)}({))(( )()(
00ttfLdtttfedttfte
dssfd stst −=−=−= ∫∫
∞−
∞−
.وعليه تنتج النظرية وميكن تعميم النظرية يف الشكل العام التايل
)()1()}({ sfdsdtftL n
nnn −=
:٣١مثال :يلالت أوجد حمول البالس
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
19
}3cos{(ii) }2sin{ (i) ttLttL :احلل
حيث أن
42}2{sin (i) 2 +
=s
tL وعليه يكون
222 )4(4
42}2sin{
+=
+−=
ss
sdsdttL
باملثل
⋅+−
=+
−=
+=
22
2
2
2
)9(9
9}3cos{
9}3{cos ii)(
ss
ss
dsdttL
sstL
تكامل حمول البالس •
: ٦ نظرية إذا كان شروط وجود حمول البالس حمققة وكان
finitettfLim
t→
+→
)(0
فإن
)٣٠( ∫∞
=
sduuf
ttfL )()(
: ٤١ مثال
أوجد حمول البالس للدالة
tttf sin)( =
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
20
finiteحيث أن t
tLimt
→→
sin0
فإنه ميكن تطبيق النظرية
11}{sin 2 +
=s
tL وبناء على ذلك
⋅−==+
=
−∞−
∞
∫ suduut
tL ss
112 tan
2 ][tan
11sin π
:التالف •تتجلى أمهية التالف يف حل املعادالت التكامليـة والتفاضـلية ذات الشـروط االبتدائيـة وكمـا أن هلـذا املفهـوم أمهيـة
.خاصة يف كثري من ااالت اهلندسية والربامج على الكمبيوتر),()(دينا الدالتني وتعرف التالف بإنه لتكن ل tftg 0,[معرفتان يف الفرتة[ t فإن تالف الدالتني
fg, أنه الدالة علىيعرف)(th كاآلتي:
∫ −=t
dtgfth0
)()()( τττ ويرمز هلا
))(*()( tgfth = تيةاآلوهذا التالف له اخلواص
fggf اإلبدالخاصية .١ ** = 2121 خاصية التوزيع .٢ **)(* gfgfggf +=+
hgfhgfhgf خاصية التجميع .٣ ***)*()*(* ==
*00*0 الصفر عنصر ماحي .٤ == ff
ff الواحد ليس عنصر حمايد .٥ ≠*1
ttgبفرض ٥ ةالعالق وإلثبات =)(
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
21
)(22
)(1))(*1(2
0
2
0tgttdttg
tt≠=
−=−⋅= ∫
ττττ
.٧نظرية التالف
ــدالتان ),()(إذا كانــت ال tftg ــالس العكســيان للــدالتني ),()(مهــا حمــوال الب sFsG ــب علــى الرتتيالس العكسـي )()()(للـدالتني th)(وكانت شروط وجـود التحويـل حمققـة فـإن حمـول الـب sGsFsH هـو =
gfhالتالف أنمبعنى =*)٣١( )}({)()())(*()( 1
0sHLdtgftgfth
t−=−== ∫ τττ
:٥١مثال :قتني خمتلفتني بطري أوجد
++−
)4)(9(1
221
ssL
:احلل مما سبق نعلم أن t
sLt
sL 2sin
21
41,3sin
31
91
21
21 =
+=
+−−
وعليه
∫ −==
++−
tdttt
ssL
022
1 )(3sin2sin61 3sin2sin
61
)4)(9(1
τττ اخلاصية املثلثية باستخدام
)]cos()[cos(21sinsin BABABA +−−=
حنصل على
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
22
]3sin22sin3[301]2sin
563sin
54[
121
)]3sin2sin(51)3sin2sin[(
121 )]35sin(
51)3sin([
121
)]3cos()35[cos(121
)4)(9(1
0
022
1
tttt
ttttdtt
dttss
L
t
t
−=+−=
+++−+=−+−−=
−−−=
++ ∫−
τττ
τττ
: املعادالت التفاضلية العادية حلتطبيقات على ٨٠
: ١٦ مثال حل املعادلة التفاضلية
1)0( , 2)0( 0)(6)(5)( =′==+′+′′ yytytyty :احلل
بأخذ حمول البالس
0)(6)]0()([5)0()0()(
0)}({6)}({5)}({2 =+−+′−−
=+′+′′
syyssyysysys
tyLtyLtyL الشروط االبتدائية والتعويض باستخدام
27
35
23)65(112)(
1012)()65(
2
2
++
+−
=+
++
=++
+=
++=++
sssB
sA
ssssy
ssyss
بأخذ حمول البالس العكسي⋅+−= −− tt eety 23 75)(
: ١٧ مثال حل املعادلة التفاضلية
2)0( , 2)0( 343 −=′==−′−′′ yyeyyy t :احلل
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
23
بأخذ حمول البالس للطرفني حنصل على
13)(4)]0()([3)]0()0()([ 2
−=−−−′−−
ssyyssyysysys
جند أن االبتدائيةالشروط باستخدام2)3(2
13)()43( 2 +−+−
=−− ss
syss حنصل على باالختصار
⋅−+=
−−
−+
+=
++
−−+=
− ttt eeety
ssssy
sssssy
21
51
1023)(
11
21
41
51
11
1023)(
12
)1)(4)(1(3)(
4
: ١٨ مثال حل املعادلة التفاضلية
,0)0()0( , )()(2)( =′==+′′ yytrtyty
><<<<
=π
πππ
2 sin2 0
0 1)(
tttt
tr
:احلل الدرجيةعلى صورة دالة الوحدة tr)(بكتابة الدالة
ttutututr sin)()()()( 20 ⋅+−= ππ بأخذ حمول البالس
11)(2)0()0()(
)}2sin()({}{)}({)}({2)}({
2
22
20
++−=+′−−
−+−=+′′−−
se
se
ssyysysys
ttuLuLtuLtyLtyLss ππ
ππ π
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
24
الشروط االبتدائية واالختصار جند أن باستخدام
)2)(1()2()2(1)( 22
2
22 +++
+−
+=
−−
sse
sse
sssy
ss ππ
طبق حمول البالس العكسي
+++
+−
+=
−−
−−−
)2)(1()2()2(1)( 22
21
21
21
sseL
sseL
ssLty
ss ππ :ستخدام العالقة التاليةاب
(i) ts
L 2sin2
12
12
1 =
+−
واليت منها حنصل على العالقة∫=
+−
t
uduss
L0
21 2sin
21
)2(1
وعليه حنصل على (ii) ]2cos[
21
)2(1
21 tt
ssL −=
+−
الثانية حنصل على العالقة اإلزاحةطبق نظرية (iii) )](2cos[)(
21
)2( 21 π−−⋅=
+ π
π−− tttu
sseL
s أيضاً من املالحظ أن
+−
+=
++−−
21
11
)2)(1(1
221
221
ssL
ssL
وعليه حنصل علىtt
ssL 2sin
21sin
)2)(1(1
221 −=
++−
وبناءاً على ذلك جند أن (iv) )]2(2sin
21)2[sin()(
)2)(1( 222
21 π−−π−⋅=
++ π
π−− tttu
sseL
s
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
25
:اآلتيحنصل على (11.44)يف املعادلة (ii),(iii),(iv)بالتعويض من
)]2(2sin2
1)2[sin()(
)](2cos1[2
)2cos1(21)(
2 π−−π−⋅+
+π−−+−=
π
π
tttu
tutty
.ل املطلوبوهو احل حل املعادالت التفاضلية العادية ذات املعامالت املتغرية
علـى القاعـدة اعتمـاداً حمول البالس حلل املعادالت التفاضلية العادية ذات املعامالت املـتغرية استخداممن السهولة :اآلتية
)}({)1()( tftLsfdsd nn
n
n
−= يضاً اعتماداً على املشتقة التاليةوأ
).0()0()0()()}({ )1(21)( −−− −′−−= mmmmm yysyssystyL L .تعين رتبة التفاضل m)(حيث : ١٩ مثال
حل املعادلة التفاضلية0)0()0( 0)2( =′==−+′′ yyytyt
: احلل بأخذ حمول البالس للطرفني
0}{}{2}{ =−+′′ tyLyLytL وحيث أن
)]0()0()([)1(}{
)0()0()(}{
2
2
ysysysdsdytL
ysysysyL
′−−−=′′
′−−=′′
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
26
ومن ثم )]0()(2)()[1(}{ 2 yssysysytL −+′−=′′
الشروط االبتدائية حنصل على باستخدام(i) )(2)(}{ 2 ssysysytL −′−=′′
أيضاً(ii) )()()}({ sysy
dsdttyL ′−=−=
:اآلتيالوضع إىل وعليه تتحول املعادلة التفاضلية0)()(2)(2)(2 =′++−′− sysyssysys
حنصل على باالختصار0)()1(2)()1( 2 =−+′− syssys
:وميكن كتابتها على الشكل التايل ،األوىلوهي متثل معادلة تفاضلية عادية من الرتبة )(
12)( sys
sy+
−=′
التكامل بإجراء
⋅+
=
=++
++
−=
2
2
)1()(
ln)1ln(ln
12
sAsy
Asy
cdssy
dy
عكسي بأخذ حمول البالس ال
=
+= −−
21
21 1
)1(1)(
sLAe
sALty t
ويكون احلل هو
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
27
tAtety =)( الرغم مـن أن املعادلـة مـن الرتبـة الثانيـة وواضـح أيضـاً من الواضح أننـا حصـلنا علـى حـل واحـد فقـط ـب
حيقق شروط مستقل خطياً عن احلل الذي حصلنا عليه ولكن املقدرة يف عدم إجياده أنه ال اآلخرأن احلل .t=0ويل البالس حيث يتباعد التكامل املعرف للتحويل عند وجود حت
وهكذا يدل أن هذه الطريقة حمول البالس ضعيفة يف حل املعادالت التفاضلية ذات املعامالت
حل املعادالت التكاملية:ق الرابعالتطبي
يعترب حمول البالس من أقوى احملوالت اليت تفيد يف حل املعادالت التكاملية الناشئة من املعادالت التفاضلية التكاملية واليت تأخذ الوضع ا نطلق عليه معادلة فولتري ذات الشروط االبتدائية وهي ما
)٣٢( ∫ =−x
xfdyyyxkx0
)()(),()( φλµφ مسيـت معادلـة µ=0فـإذا كـان ،µتسمى معادلة فولتريا التكاملية ويتوقـف نوعهـا علـى قيمـة الثاـبت املعادلة
=≠0فــولتريا التكامليــة مــن النــوع األول وإذا كانــت constµ مــن النــوع الثــاني أمــا إذا مسيــت معادلــة فــولتريا .متغرية فإهنا تسمى معادلة فولتريا من النوع الثالث µكانت
دائماً حتـت عالمـة التكامـل وهـي املـراد إجيادهـا ويطلـق xφ)(ن الدالة اهولة تسمى تكاملية أل )٣٢(واملعادلة ),(لة اجلهد والدالة بدا األساسيةعليها يف العلوم yxk دالة معروفة وتسمى نواة املعادلة التكامليـة وأحيانـاً تكـون
ة املعروفـة ه متصلة أو غري متصلة طبقاً للوضع املسـتنتجة منـ فهـو حيمـل λأمـا الثاـبت . تسـمى الطـرف احلـر xf)(والداـل .ئية خاصة برتكيبة املسألة من الناحية التطبيقيةمعاني فيزيا
.نظرية التالف تلعب دوراً بارزاً يف حل املعادلة التكاملية من نوع فولتريا أنونالحظ :اآلتيحمول البالس نتبع باستخدام )٣٢(وحلل املعادلة
)}({)(),()}({0
xfLdyyyxkLxLx
=
− ∫ φλφµ
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
28
طبق نظرية التالف)()()()( sfssFs =− φλµφ
لى ذلك وبناء ع
)()()(
sFsfs
λµφ
−=
ويكون حل املعادلة التكاملية على الصورة
−= −
)()()( 1
sFsfLt
λµφ
.)٣٢(تعترب احلل العام للمعادلة tφ)( .هي حمول البالس للنواة sF)(حيث أن : ٢٠ مثال
ة التكامليةحل املعادل )٣٣( ∫ −+=
tdxxxtt
0)()sin(1)( φφ
),()sin( , )(1 , 1 , 1نالحظ أن ===−= µλtfxttxk :كاآلتي )٣٣(وعليه يكون احلل على صورة املعادلة
+=
+
=
−= −−
+
−3
13
21
11
11 111
1)(
2 ssL
ssLLt
s
sφ
ومن ثم
!21)(
2tt +=φ : ٢١ مثال
كاملية حل املعادلة الت )٣٤( ∫ −+=
x
dtttxxx0
)()cos(2sin)( φφ
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
29
),()sin)( , )cos , 2 , 1نالحظ أن ===−= µλxxftxtxk
11}{ ,
1)},({)( 22 +
=+
==s
fLs
stxkLsF )٣٤(عوض يف املعادلة
⋅=
−=
−= −
+
+− x
ss
s xes
LLx 21
12
11
1
)1(1
1)(
2
2φ
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Recommended