Illllll 讎灘灘攤礁飜盤齷齷攤鬮韈羅藩灘覊 攤鑓畷躍蠶纈

Institute of Systems, Control and Information Engineers

NII-Electronic Library Service

工nstitute 　of 　Systems ，　Control 　and 　工nformation 　Engineers

174 シ ス テ ム ／制御1情報，voL　55，　No ，5，　 pp．174−180，2011

IIIill［1　lil［III1　lll　1し1　II旨ll1ト1し11111　liレlillllllll　IEIil　1旨1】llll1Elillillll111　11111111111111111111［1しIIII1トlil11旨1旨1［i11111111111111　lil1ト11illll｝111illili［1LI　Illlli1EIトIIII1　1　1しilil［lll11ilトIIl1111旨1［1］レ1111レ1　111ilヒ1し11】ilヒIllllllレ1　11し111旨ll「IEI「1　「1「1「「1FI「「i「1「「1「1「1「」「1ト「1「IEr」「「d「」「t」

讎灘灘攤礁飜盤齷齷攤鬮韈羅藩灘覊 bve 攤 鑓畷躍蠶纈 解 説

二 乗和に基づ く制御系解析 ・ 設計

市原 　裕之 ＊

lEltll11　1［1亅［1トI　III　III1ト111　lllll11　illト1しト　lll　1旨L］1「il［1111［1［I　I［lil111［］　11111　1ilil　lil1し1II　「ilillilil　ト111［11111　ヒ［1ト1旨Illil11　11」［1　111il　l　lil［111トIIIIIIII　IIIili1し1［lllll1　1　II　IIIIIIILI［1111111［1　lllll　l1LII　IIIil　L1［1［1し1il　llli［1il　IIII　　1LII　　1ヒIEIhl旨1　11111　111111ト1［1illll1ト1レlllll　l　1　111111　1［lil11111　1L

L 　 は じめに

　制御系 の 解析や 設 計に お い て，線形行列不等式（LMI ：

Lilleaエ Matrix　Inequality）［1］が 強力 な 道具 で あ る こ と

は 広 くしられ て い る．2000 年頃か ら，こ の LMI を用

い た新 し い 話題 が議論さ れ始め た．二 乗和 （SOS ： Su皿

of 　Squares）［21は，そ れ まで の LMI の 成果 で は扱 い に

くか っ た非線形性の 強 い 問題 を扱え る 可 能性を広げた．

簡単 に い えば，すべ て の 実変数 に対 して 非負 に な ら ない

実多項式 の 存在 を半正定値計画問題 （SDP ：Semidefinite

Programming ），すなわち LMI を解 い て確認 で きる こ

とが示さ れ た ．ゆ え に，制御系の 解析や 設計 の 問題 を実

多項式 が 非負 で あ る よ うな条件 で 表 し， 対応す る LMI

の 可解性を調べ れ ば よ い ．

　二 乗和 の 計算を す る た め に は，二 乗和条件 を LMI に

変換す る SOS パー

サと，変換 された LMI を解 くた め

の SDP ソ ル バ が 必要 に な る．　 MATLAB 用 SOS パー

サ に は，SOSTOOLS ［31，

　YALMIP ［4］な どが あ る．こ の

うち，YALMIP は，　 SOSTOOI 、S に 比べ ，パー

サ と し

て の処 理 が 高速 で ある．ま た，LMI や行列値の 二乗和に

も対応して い る た め ，複雜な解析条件や 設計仕様を記述

しやす い ，しか し一

方 で ，二 乗和 の 考え方をあ る程度 正

確に 理 解 して い な い と，意 図 した 計算 は で きな い ．

　二 乗和 に 関す る解説 は す で に 数多くあ る ［5−IOI．本稿

で は ，こ れ らとは趣 きを変え，YALMIP を用 い て 実際

に計算する こ とを 目標 とする．そ の 中で，二乗和と LMI

の 関係 ，二 乗和 の 性質，行列値 の ：二乗和 につ い て ，制御

系解析 お よ び 設 計 で の 例 を交 えなが ら紹介す る ．

2． 線形行列不等式

準備と して，つ ぎの LMI を考え よ う．

　 　 　 　 　 　 　 h

雌 ξ）＝MD ＋ Σξ幽 とO　 　 　 　 　 　 i＝1

（1）

・ だ ・，・M ・　（・一・，．翔 嫐 ・ 対称槲 ξ一［ξ・

… ξ・］T

は未知 の 変数 （決定変数）と す る．（／）式に含まれ る等

号条件 は，取 り除い て 書 くこ ともで きる1，い ま，（1）式

に対 し て，新た な 決 定 変 数 と して M と 同 じサ イ ズ の 対

称行列 Q を導入すれば， 以下 の 問題 に書 き直す こ とがで

きる．

Q ≧：0，M （ξ）＝（〜 （2）

＊明治大 学 理 工 学部

Kev 　womb ：　 suln 　of 　squares，　linear　matrix 　inequalityl

cQntrol 　applications ，

こ の 問題 で は，ξお よ び G が 決定変数に な る．こ こ で心

に留め て お きた い の は，LMI は，決定変数に

「半正定値拘束」お よ び「線形等式拘束」

を課 して い る こ とで あ る2，

　制御に お い て 二乗和を扱うと きに よ く使わ れ る MAT −

LAB 用 SDP ソ ル バ に は，　LMILAB ［／／］，　SeDuMi ［12］，

SDPT3 ［13】などが あ る．大まか に い えば，　LMI を（1）式

の 形 で扱 うの が LMILAB ，（2）式 の 形 で扱 うの が Se−

DuMi や SDPT3 と思 っ て よ い ，ソ ル バ に よ る LMI の

表現 の 違 い は，YAI 、MIP で 吸収さ れ る の で ，ふ だ ん は

意識する必要 は な い ．本稿 で は，SeDuMi を使うこ と を

前提 と し て 話 をすす め る ．

3．　 二 乗和 とは

実変数 Xl ，M2 に対 して ， あ る実多項式

xl 十4甜 1物 十 5略

を考え よ う．こ の 多項式 は， （Xl ＋ 2x2 ）

2＋魂 と二 乗項 の

和に分解 して 書け る の で，x’1，　x2 に どん な実数を代 入 し

て も負の 値をとる こ とは ない ．ml ＋ 2m2 と x2 の そ れ ぞ

れ の 二 乗 は負 に な らず，そ れ ら の 和も負 に な ら な い ．こ

の よ うに， 多項式 の 二 乗項 の 和 で 表現 で き る 多項式 を 二

乗和多項式 （SOS 　polynomial ）と よぶ ．その 最 も著 しい

性質 は，任意の 実数に対 し て多項式 が負に な ら な い こ と

で あ る，

　 と こ ろ で ，例 に あげて い る多項式 は，二 乗和 か ら ある

二 次形式 に書 き直す こ とが で きる ．

1十分小 さ な正 数 ε を用い て，（1）式 の M （ξ）をM （ξ〉一 εf

で 置 き換 えれ ば，Af （ξ）｝ εJ ＞−O と 書け る．

2

（2）式 に お ける ξの よ うに，半正 定値 に拘束 させ ない 変

数 は あ っ て もよ い ．実 際，ξ1，ξ2 ≧ o お よ び ξ・・ξ1一ξ2

を 導入 し，ξを ξ1 ，ξ2 に 置 き換 え る と き，すべ て の 決

走変数を半正 定値 に 拘 束す る形 で 書 くこ とがで きる．

／6 一

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市 原 ：二 乗和 に 基づ く制御系解析 ・設計 175

（・ ・・ ・…2・ ＝3− ［

　　　　　　　一 ［　　　　　　　一［　　　　　　　一［

鼎亂爿ゴ北 ］

　 　 　 　 　 2

剛

1［二 次形式 を構成す る対称行列 の 固有値 は 0．1716と 5．8284

なの で ，正定値行列 で あ る こ とが わ か る ．二 次形式 に よ

る表現 か ら も，こ の 多項式 は任 意 の 実変 数 に対 して 非 負

で あ る とい える．

　 こ れ ら多項式 の 非負性 に 関す る 二 つ の 事実 は等価 で あ

る こ とが し られ て い る．つ ま り，ある多項式が 二乗和に

分解 で きれ ば，半正 定値行列 で 構成 さ れ る 二 次形式が存

在す る ．逆 も成立 し，つ ぎの よ うに ま とめ られ る ．

　【定理 1】　 ［2］ x ∈ Rn の 多項式

P （x ）一ΣP ・x

α

，x

α

… 　xrxg2 …鵄

・

　 　 　 α ∈∫

（3）

が 二 乗和 で ある ため の 必要十分条件 は， あ る 半正定値行

列 Q お よ び m の 単項 式 ベ ク トル x （x ）に つ い て，

P（x ）＝ x （m ）Tc2x

（x ） （4）

が すべ て の x に つ い て 成 り立 つ こ とで あ る ．た だ し，pα

は 単項式の 係数，F は 単項式に 関す る イ ン デ ッ ク ス を

表す．

　単項式 ベ ク トル と半正定値行列を使 っ た二 次形式 で表

せ る多項式 は 二乗和 とわか っ た の で ，今度 は，二次形式

の 方か ら多項式が 二乗和に 分解で きる こ と を確認 して み

よ う．LMI に よ る 計算 に は こ ち らの 方 が 向い て い る ．多

項式

P（x ）＝2mi十3瓢 晝x3 −十一2xlx塁十4x茎

が 二 乗和 に分解 で きる か ど うか 調べ る た め，

魂網 iill］とお く．こ こ で，（4）式 が すべ て の 実数 XI ，　x2 に つ い て

成 り立 つ た め に は ，（4）式 を恒等式 と考え，両 辺 の 各単

項式 の 係数 同 士 が等し くな る必 要が あ る．つ ま り，以 下

の Q に 関 す る 線形方程式 が 成 り立 て ば よい ．

g1＝2，2q2＝O， α3 十 2q4 ＝3

，2q5 ＝2

，　q6＝4 　　（5）

Q は 半 正 定値行 列 な の で ，こ の 問題 は 2．で 述 べ た 「半

正 定値拘束 」 お よ び 「線形等式拘束」 が 課 さ れ て お り，

LMI で ある．こ れ を解 い て 実行可能解 を求 め る こ とがで

きれ ば，p が二 乗和多項式 で あ る こ と を確認 で き る．以

上 の こ と は，一般的に まとめ る こ とが で きる．

　【定理 2】　 ［21 多項式 （3）が 二次形式（4）で表さ れ る

た め の 必要十分条件 は，つ ぎの LMI が実行可能解を も

つ こ とで あ る．

find　Q 　 s．t．　 Q と 07　 tr（A α（？）＝ Pa α ∈ ∫

ただし，A αは z（x ）z （x ）

T ；Σα∈ アAaX α

を満 た す．

　計算 の 準備 で 意 外 と手間 が か か る の は，（4）式の 両 辺

の 単項式 の 係数を取 り出 し， 線形方程式 （5）を 導 く作業

であろ う．計算機で は，数値的 よ りもむ しろ数式的な処

理 とい える．こ の 処理 を含め 二 乗和に基づ く LMI を解

くため の コー

ドを示す．

艦灘擁嬲嬲

搬

ー

灘轗

律ー

糶

懇

飜

飜轢

馨・

戀獵

韈

飜

驪懸

韈

−灘鑵難驚

働「露

炉

鰈

．聽懇覊

韆聾

．灘鑾

講．

灘

，

鑢韈驪

齦

濘

嚀

　嚀

磯嬲

、灘

灘’，

2行 目で 多項式 p，3行 目で 単項式ベ ク トル z ，4行 目で 対称

行列 Q をそれ ぞ れ定義して い る．5行目で coefficients

を使 い ，（4〕式 の 両辺 の 単項式 の 係数 を取 り出す処理を

行 っ て い る ，YALMIP は SOSTOOLS に比べ ，こ の 処

理が 高速で あ る こ とに特徴が あ る，さ らに，6 行目で Qに 半正 定値拘束 を課 し

，7行 目で LMI を解 い て い る ．

　 こ の コー

ドは ，SOS 　Module の コ マ ン ドを使えぱ，つ

ぎの ように，よ り簡潔に書ける．

鏃

戀鯔鱗黼驪

叢覊韈難難鑼

鞴驪羅鏃

　鑿瞬

饗榊欝伊　鍵脇

嬲覊

萋

　霧

覊鸞ー

榊

鑠

嬲 脚鸛翻轟戮

3 行目の sos で，　 p が 二 乗和 で あ る た め の 条件 が 二 次形

式 を 通 し て LMI に 書 き下 さ れ る ．こ の と き内部で ，　Qに相当す る 変数が定義さ れ半正定値拘束が課 され る．4

行 目の s 。lvesos で ，　 LMI が ソ ル バ に渡され 解 か れ て

い る．実行後，つ ぎに 示す ように sol ．pr 。ble 皿 が 0 で

あ れ ば，LMI は 可解 で あ る

1，

＞＞　so1 ・proble皿

en5 　＝

o

Q の 最小固有値が 非負 で あ る こ と も確認 して お こ う．

〉＞　皿 in （eig （Q｛t｝））

ans 　＝

1sol ．problem が 0 とな る と き，“LMI は可 解

”と書 く

こ とに す る．

一17 一

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176 シ ス テ ム ／制 御1情 報 第 55 巻 第 5 号 　（2011）

こ の 条件を計算す る ため に は， 事前 に

1．9340

注 目したい の は，こ の コ ードで は a に関する情報を与え

て い ない こ とで あ る，実際 に計算で 使 わ れ た x は，つ ぎ

の よ うに 確認 で き る ．

〉＞ sdisplay （m 。n 。 s｛1｝）

a皿 S　昌

，x2 −2，，x1 ＊ x2 ン，x1 冖2，

順序 は違 うが，は じめ の コー

ドの 3 行 目で 与 えた z と同

じ単項式 で構成 され て い る．機械 的 に z を 構成 す る に は，

p の 最高次数 の 半分 を x の 最高次数 と し， そ の 次数以 下

の すべ て の組合せ の単項式を z にすれ ば よ い ．こ の 例だ

と，以下 の 6個 の単項式が考えられ る．

1，Xb 　x2 ，・xl ，　x 、x2 ，姥

SOS 　Module で は，こ の 中か ら

2　 　 　　 　 　 　 2Z1 ，XIX27 富2

の 3個の単項式を選択する処理 を して い る．もちろ ん，6

個 の 単項式か ら LMI を構成 して も可解性に影響は ない ．

し か し，x の サ イズ を低 く抑 え る こ と が で きれ ば，　 LMI

の サ イ ズ が 小 さ く な り， 計算 を速 く実行で き る．こ こ で

の 処理 は， 多項式が同次で あ る こ と を利用 して もわ か る

単純な もの だが ，SOS 　Module に は ，い くつ か の有用な

単項式の 削減 （reduction ）手法 ［14］が 実装 され て い る，

　理解 をさ ら に深 め る た め に ，二 乗和 の た め に 構成 した

二 次形式 （4）に 現 れ る半正定値行列 Q の 自由度 に つ い て

観察 し よう．さ きほ ど の 例 で は，Q に 関す る線形方程式

（5）は， 5 つ の 方程武 に対 して 変数 は 6 つ な の で ，解 に

は 1 つ の 自由度があ る．たとえ ば，q3をそ の 自由度 と す

れ ば，Q は つ ぎの よ うに 2 つ の 行列の 和で表すこ とが で

きる ，

・ 一 期 一 鬩 慨 詐p が二 乗和 で あ る た め に は，こ の 表現 の 中 か らQ を半 正

定値 に す る q3 を見 つ けれ ば よ い ．　 q3 は一意 と は 限 ら な

い の で ，1 つ の ：二 乗和多項式 を 表す複数 の 二 次形式表現

が 存在 す る こ とが わ か る．

　 こ の 事実を 陽 に表した 二 乗和 の 計算条件 も早 くか らし

られ て い る ｛15 ，16

，10】．一

般 に は，定理 2 の LMI の 代 わ

りに，つ ぎの 問題 の 可解性を確認すれ ば よ い ．

P（x ）一・ （x ）Tθ宛 ），

θ一sT （6）

を満 た す 5 の 具体的な表現が 1 つ 必要 に な る．たとえば，

S を求め る 問題 を線形計画問題 （LP ；Linear　Progran1−

ming ）に帰着させ る こ とが で きる1．つ ま り，（6）武の 両　　　　　セ

辺 の 係数 を比較す る こ とで 線形方程式 を導出 し，そ の 解

の 1 つ を探せ ば よ い ．こ の 方針 に 従 っ て S を求め，続 い

て p が 二 乗和 で ある こ と を確認す るた め の コ ードを示す．

偶然 に採 用 し た 8 の 表現 の 違 い に よ っ て， 最後 に 解 く

LMI の 可解性が変わ る こ とはな い ．

4． 二 乗和の 非線形 シス テ ム 解．析 へ の応用

　4 ．1　 非負多項式

　変数に任意の実数を代入 して も負に な らな い 多項式は

非負多項式 （nonnegative 　polynollよial）あ る い は正多項

式 （positive　polynomial ）とよ ばれ る．こ れまで の 話か

ら，

二 乗和多項式な ら ば 非負多項式 とい え る．こ の 逆 ，つ ま り， 非負多項式が い つ も二 乗和 に 分解 で き る か ど う

か は，第 1表に まとめ る こ とが で きる ［2］．ただ し，n は

多項式にお ける 変数の数，d は次数で あ る．表にお い て，

○ は非負多項式 が 必ず 二 乗和多項式 で あ る こ と を示 して

い る．たとえば，1変数 の 非負多項式 は ，次数 に よ らず

い つ も二 乗 和 多項式 で あ る．

第 1 表　非負多項 式 と二 乗和多項式の 関係

旭 42 　 　 4　　 6　 　 8　 　…

1 ○　 ○　 ○　 ○ 　 ○

2 ○　 ○3 ○

4 ○

○

find（1　s．t，　5 十 σ（のと0，　x（x

’）Tσ（q）z （m ）；0 ∀x ∈ Rn

　4 ．2　 非線形シ ス テ ム の 吸収領域解析

　 と こ ろ で， 多 くの 制御 問題 で は，す べ て の 変数 に お い

て 非負に な る条件 で は なく， 変数 の あ る集合の 中だ けで

非負に なる条件 で表され る．た と えば， 非線形 シ ス テ ム

雄 ）；f（x （t）），灘o置欝 （0）

ILPを解 かず に 3 を算出 する 専用 の ア ル ゴ リズ ム ［16］

をコー

ド化 し て 使 っ て も よい ．

18 一

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市原　二 乗和 に 基 づ く制御 系解析 ・設 計 177

の 吸収領域推定問題 ［9］を考えよ う．た だ し，

一 圍，… 一レ．認二、司とする，こ の シ ス テ ム は ，x ；O が唯

一の 平衡点 で あ り，

そ の 付近 で 局所的 に漸近安定な シ ス テ ム で あ る．吸収

領域 と は，こ の 平衡点か ら離 れ た と こ ろ に初期値 Xe を

置 い た と．き，解軌道が平衡点 に 戻 る こ と が で きる 状態

空 閲上 の 集合 を 意 味す る．こ こ で は ，こ の 吸 収領 域 を 内

側 か ら推定す る こ と を考 え る．この 推定 に は， 局所的な

Lyapunov関数 V （x ）の レ ベ ル 集合

n − ｛xER2 　 v （x ）≦ ッ ｝

を用 い る こ とが で きる ［17］．V （x ）が与 えられて い る と

き，7（＞ 0）が 大きけれ ば，推定領域 ∫2が広 くな る．で

きる だけ広 い Ω を得 る こ と に 工 学的 な 意味 が あ る．この

推定 問 題が満 た す べ き条件 は ，つ ぎの よ うに 表せ る ．

吻 一∂

器）ノ（x ）・ ・ ∀ ・ ∈ 9 ＼｛・｝ 　 （・）

こ こで，＼は差集合を表す．∫2＼｛0｝は，集合 9 か ら原点

0 を除 い た 集合 で あ る ．こ の よ うに， あ る 集合 （こ の 場

合，O ＼｛0｝）の 中 で多項式 の 符号 が定ま る よ うな条件 の

記述 に二 乗和 が 利用 で きる．

　対応す る 二 乗和条件 は ，つ ぎの ように書け る．

∂y ＠）　　　ノ（＝ ）

− 51 ＠）（ツーv （m ）〉

　∂x

　　　　　一ε宀 一 β。＠）∀ 毋 ∈ R2 （8）

こ こ で ，So，

ε1 は 二 乗和 多項式 を表 して お り，　So （0）＝

Sl （0）＝0 を満 た す とす る．こ れ らの 二 乗 和多項 式 の 係数

が 決定変数と な る．一・方，V に加 えて，7，ε もあ らか

じめ与 えられ て い る とす る．ε は 十分小 さな正数 で ある．

（8）式を書き換え，

∂

琶1コP）f（の＝s 。（x ）＋ 8 、＠）（・一咄 励

とす れ ば，x ∈ ∫2＼｛0｝にお い て （∂V （X）／∂X）f（tl）＜ 0 が

成 り立 つ こ と が容易 に わ か る ．つ ま り，（8）式 は （7）式

の 十 分 条件で あ る．

　具体 的 に計算す る た め に は，51 を構成 す る単項式 ベ ク

トル を決 め て お く必要があ る．それ に 伴 っ て s   が必然

的 に決まる，以上の計算を実現する コー

ドを示す．た だ

し，7 ＝ 1，0，V （x ）＝ 1．5x子一xlx2 十 x 曇，ε ；1．Ox10　6

を与 えて い る、また ，Sl の 次数を 2 とす る，

こ の コ ードで ，ユ ーザが定義す る sdpvar 変数 は，

シ ス

テ ム の 状態 を表す x と二 乗和多項式 sl の 係数 で あ る．　 x

は二 乗和条件 に おける多項式 の 変数で あ る一方 ，

sl の 係

数は決定変数で あ る こ とを ソ ル バ に理解させ なければ な

ら ない ．こ こ で は，1 つ の テ ク ニ ッ ク を試み た，計算に

用 い る 条件は ，6 行目の Fs に まと め ら れ て い る が ，こ

の 中 に は通常，こ こ まで に現 れ た sdpvar 変数に 関する

情報 がすべ て 含 まれ て い る．そ こ で ，7 行 目で，Fs の

中か ら x 以外 の sdpvar 変数 を取 り出 し，　 paralnsと し

て い る．こ の 処理で ，決定変数が 自動的 に選ばれ る1．8

行 目の solvesos で こ の 情報 を受 け取 り，二 乗和多項式

So の 係数に相当する変数を内部で 生成 しLMI を構成 し

た後，ソ ル バ が 解 い た 結果 を提示す る．3 行目で 7（ga皿 ）

を 1．O に して い る が，2．3044まで 大 きくして も LMI は

可解で あ る．

　ま た，4 行 目の polynomiaユ の 使 い 方 に も注意が 必要

と なる ，こ こ で は，単項式ベ ク トル z が ［Xl 　 x2 　ITで あ

る二 乗和多項式を （4）式と矛盾が な い ように コ ード化し

た い ．その た め，最高次数，最低次数 と もに 2 と指定 し

て い る ．仮 に polyn 。mia1 （x ，2）とす る と，定数項 まで

含 む多項式と な り， 意図 した もの と若干異 な る．

　 こ の よ うな個別の ケー

ス に 対す る 配慮 が 必要 に な る た

め ，polyn 。 mial の 代 わ りに，単項式ベ ク トル を 引数と

し ，二 次形式か ら多項式 を生成す る簡単 な関数 m フ ァ

イル を準備す る こ とを勧め る．たとえば，付録 1．に示

す qf＿polynomia1 を使 え ば，4 行 目は

，つ ぎの ように

書 くこ と が で きる．

獵韈鑼韆鸚驪，韈韆鸚鸚懸鑼こ の よ うに して お けば，z1 を書き換え る こ とで ，意図

した 二 乗和多項式を簡単に 記述 で きる．

　多項式 で 表され る 有限個 の 等式や不等式を満たす集合

を半代数集合 とよぶ ．一般 に，半代数集合上 で非負に し

た い ，ある い は 非負 で ある こ とを 確認 した い 多項式 が あ

る と き ， そ の 条件 を 二 乗和 を介 し て LMI を解 くこ と で

確認で きる ［5］．すで に述 べ た よ うに，二 乗和条件 （8）は，

も との安定解析条件 （7）に 対す る 十分条件で ある が ，新

た に 導入 した 二 乗和多項式 Sl の 次数を上げ て い けば，必

要条件 に近 づ くこ とが 知 ら れ て い る．s1 の 次数を上 げ る

と は，具体 的 に は，新 た に書 い た 4 行 目の z1 に，

よ り

高次 の 単項式 を加えて い くこ とを意味す る．こ の 例 で は，

次数を上げて も7 が 2．0344 よ り大きな値で LMI が 可解

と な る こ と は な い た め ，固定 さ れ た Lyapuriov 関数 に対

して は，必要条件 に もな っ て い る と見なす こ とが で きる．

た だ し，次数 を上 げ る ほ ど，最終的 に 解 く LMI の サ イ

ズ が 大 きくな り， 実行速度 や メ モ リの 関係で ，実行可 能

解 を得 る こ とが 難 し くな っ て い く．1複雑な問 題 を扱う場合，こ の 書 き方 は コ ードの ミ ス を

減 らすた め に 有効 と考え られ る．

一19 一

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178 シ ス テ ム ／制御／情報 窮 55 巻 第 5 号 　（2011）

5．　 二 乗和 の ロ バ ス ト性解析 へ の 応用

　5．1　 行列値の 二 乗和

　二 乗和 の 考 え 方 は， 対称行列値 の 多項式 に も拡張され

て い る ［18−20］．い くつ かの 行列多項式とそ れ らの転置

の積の和で書ける対称行列多項式は ，二 乗和 で あ る．よ

り簡潔に は，つ ぎの よ うに 1 つ の 行列多項式 G とその 転

置 と の 積 で 表 せ れ ば よ い ．

P ＠）一Σ碗 ）T碗 ）＝・・G （i ）

Tσ（a；）

　 　 　 i；1

こ こ で ，G （X ）＝［Gl （＝ ）T

，＿

，（み（の

TIT で あ る ．こ の 定

義の もと に，行列 二 乗和多項式 は，行列 に 拡張 され た 二

次形式 で 等価 に書 くこ とが で きる．こ の 場合 も，LMI を

解 くこ とで 行列 二 乗和多項式 の 存在を確認で きる．

　【定理 3】　 ［20］ x の 対称行列多項式

P （m ）一Σ 恥α

　 　 　 α∈∫

（9）

が二 乗和で あ る ため の 必要十分条件は，あ る半正定値行

列 9 お よ び x の 単項式ベ ク トル z （a；）に つ い て，

P （m ）一（lmXz （x ））TQ

（lm   姻 ） （／0）

が すべ て の x に つ い て 成 り立 つ こ と で あ る．

　【定理 4】　 ［191 行列多項式 （9）が （10）式 で 表 され

る た め の 必 要 十 分 条件 は ，つ ぎの LMI が 実行 可 能解 を

もつ こ とで ある．

find ⊆≧ s．t．2 ≧：Oi　 trm （（Jfn　X 　Aα ）9）＝Pa α ∈ f

た だ し，M ∈RP ’nXP ’n，　 M

（切∈ RPXP に対 して，

一 惚 ：：∴ …xm

で あ る．

　5．2　 ロ バ ス ト安定性解析

　行列値 の 二 乗和 と 4．の 考え方 を用 い れ ば，不確か な パ

ラ メー

タ を有す る ロ バ ス ト制御系解析問題 を扱うこ とが

で きる．つ ぎの パ ラ メー

タ 依存線形 シ ス テ ム を考え よ う，

±・・A （θ）．T

ただ し，θ；［θ1 θ2 ］T は時不変 な パ ラ メータ，

A ・…一「轡1（譜副こ の と き，

パ ラ メータ θ1 お よ び θ2 の 範囲を

n − ｛θ∈ R2 ・ 9i（θi）一α2 一θ孑≧ O

，・i− 1

，2 ｝

で表され る正 方形 の 集合 と し，シ ス テ ム が 漸近安定 な範

囲で α （＞ 0）をで きる だ け大 きくす る ロ バ ス ト安定解析問

題 を考える．その ため に，パ ラ メー

タ依存の Lyapunov

関数

v （x ，θ）＝・・　xTp （o）x

を導入 す る ．こ の とき，つ ぎの パ ラ メータ 依存 LMI

（PDLMI ；Parameter−Dependent　LMI ）が 成 り立 つ よ う

な LyapunOv 変数P （θ）が 存在す れ ば，シ ス テ ム は 漸近

安定とな る．

He ｛P （θ）A （θ）｝一くO，　 P （θ）〉

−0 ∀θ∈ S2 （11）

こ こ で ，正方行列X に対 し，He ｛X ｝は X ＋XT を表す．

P （θ）を 行列多項式 に 限定す れ ば，（11）式 に対応す る 二

乗和条件 は，つ ぎの よ うに書け る．

一He ｛P （θ）・4（θ）｝− 3。 ・（θ）9・（θ）− 3。 2（θ）92（θ）

　　　　　　　　　　 一・∬− 3

。 。（θ）∀θ∈ R2

P （θ）− Sb1（θ）91（θ）TSb2 （θ）92（θ）

　　　　　　　　　　 一ε∫ ＝ 3b  （θ）　∀θ∈ R2

こ こ で ，SCti，5δ痘 ＝O，1，2）は行列二 乗和多項式，ε は微

小 な正数とす る．（11）式 に 対 して，条件 が 成立す る た め

の θの 集合 が ∫2か ら R2 に な っ て い る ，こ の ように，二

乗和多項式 を導入 し， すべ て の パ ラ メータ変数 θで 成 り

立 つ 等式条件 に 書 き直 せ ば，コー

ド化 しや す い ，

前章 の 安定解析 と異な る の は，Lya ．punov 関数 を 決定変

数 に して い る こ と で あ る，と くに，Lyapunov 変数を パ

ラ メー

タ θ に依存 させ る た め ，まず 9 行 目で ，依存さ せ

た い 単項式 を生成す る ．関数 mn 。list に パ ラ メー

タ 変

数と次数を引数と して 渡せ ば ，指定 し た 次数 以 下 の すべ

て の 組合せ の 単項式を返値とす る ．こ れ を zp と し，10

行 目 で パ ラ メ ータ依存 Lyapunov 変数 を生成す る ．こ

こ で は ，付録 2．に 示 し た 関数 s 皿 一p 。lyn 。mial を用 い

一20一

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Institute of Systems, Control and Information Engineers

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工nstitute 　of 　Systems ，　Control 　and 　工nformation 　Engineers

市原 ；二 乗和 に 基づ く制御系解析・設計 179

て ，P を th に 関す る ア フ ィ ン な対称行列多項式 と して

い る、monolist に指定する次数を増 や せ ば，簡単に高

次 の パ ラ メータ依存 Lyapunov 変数 を 生 成 で きる．ま

た，行列二 乗和多項式 Sa1な どに つ い て は，13 行 目か ら

qf−polynomial に単項式 と行列 の サイズ を引数 として

渡す こ とで 生 成 す る．そ の ほ か の 記 述 は，前章 の 例 と 同

様 で あ る．こ の コ ードで は

，6行 目で α （alpha ）を 1．O と

して い る が ，2．0453 まで LM1 が 可 解 とな る．また，パ

ラ メータ に 関す る高次の Lyapunov 変数や 高次の 行列 二

乗和多項式 Sai：Sbiを用 い る こ と で

，さ ら に集合 9 を広

げ ら れ る こ とが あ る が ，こ の 例 で は 変化 は な か っ た．

　比 較 の た め に，Lyapunov 変数 P をパ ラ メ ータ依存

と しな い 二 次安定条件 を文献 ［21］に よ る multi −convex

（MC ）の 考え方を適用 して α を最大化 した，二 乗和 の 結

果とともに第 2表に 示す．MC は，基本的 に はパ ラ メー

タ に 関 して 2 次 に 依存す る PDLMI ま で しか 扱 えない ．

A （θ）が すで に θに 関 して 2 次 に 依存 して い る の で ，（11）式に お い て，P を パ ラ メータ依存に す る こ とが で きない ．

これ に対 して ，二 乗和 に基 づ く方法 は

，パ ラ メ

ータ の 非

線形依存度 の 制約を簡単 に越え る こ とが で きる．

第 2 表 　 （解析手法，P の θ依存次数） に よる α の 最大値

（MC ， 0次）　 （SOS ， 0次）　 （SOS，ユ次）　 （SOS ， 2 次 ）

こ こで，

ε は微小 な正 数，S．i は行列 二 乗和多項式で ある．

M2 に 関す る PDI 、MI は， ρ と 戸に 関す る 二 乗和行列多

項式を用 い て，つ ぎの 二 乗和条件と して もよ い ，

ハd2（ξ，ρ，ρ）− 91（ρ）Sbl（ρ，ρ）

− 92（ρ）Sb2（ρ，ρ）

　− 93  θわ3（ρ，ρ）

一ε1 ＝Sb

。 （ρ，ρ）∀（ρ，ρ）∈ RxR

む しろ，こ の 方がい ままで の 話か らすれ ば 自然 で ある が，

対 応 す る LMI の サ イ ズ が 過 大 に な る．こ の 場 合，　 M2，

g2793 は， すべ て bに ア フ ィ ン に 依存す る．その た め

，は

じめ に 示 した二 乗和条件 の よ うに，Sb1， Sb2，　Sb3をρに

依存させ な けれ ば，SbOの 中で βに 関す る二乗和を構成す

る必要が な くな る．こ の と き，ア フ ィ ン項が相殺され る

よ う に，Sb2，3b3が 調整 さ れ る ［23 ，

24］．さ らに，　 Schur

補題 国 の 性質を使い ，Sa’1，

　S。1 の 行列サ イズ を低 く抑え

る こ とで， 計算量 の 削減を行 うこ とがで きる ［24 ，25i．こ

の 設計例 で は，Lyapunov 変数をパ ラ メ ータ ρ に 1次ま

で に依存させ る ように すれ ば，コ ス トの 上 界値Atは 168

で ，2 次 まで に 依存 させ る よ う にす れ ば 148 で ，そ れ ぞ

れ 可 解 とな る．

6．　 お わ りに

0．7386 0．7386 2，0453 2，0453

　5．3　 ゲイ ン ス ケジューリン グ制御系設計

　 こ の 章 の 最後 に，アーム 型倒立振子 に対す るゲイ ン ス

ケジ ュー

リ ン グ に よ る コ ス ト保証制御系の 設計に つ い て

述べ る．制御対象お よ び設計仕様の 詳細 は ，本特集 ［22］の 4 ．2 を参照い た だ きた い ．まず，時変パ ラ メ

ータ p，そ

の 変化率 p， p の 初期値 を表す変数 ρo につ い て，そ れ ぞ

れ の 範囲を表す集合 を定義す る．

9 ・一 ｛ρ∈ R ・ 9・（ρ）＝ ・

・P（ρ一

ρ〉≧0 ｝．9 ・

一｛ρ∈ R’・　 9・ （ρ）一δ一P≧0 ｝

03＝｛1う∈ R ： 93（ρ）＝δ十ρ≧ 0 ｝O ・

＝ ｛ρ・∈Rl　9・（ρ・）一ρ・（P・一

ρ。）≧0 ｝

こ の と き，以 下 の PDLMI を満 た す決定変数ξを探せ ば

よ い ，

M1 （ξ，ρ）〉−0 ∀ρ∈ ρ1

M2 （ξ，ρ，P）〉一　O ∀（ρ，ρ）∈ n ・ × （n2 ∩ 93）

M3 （ξ，ρo）〉−0　∀ρo ∈ 04

そ の た め に，こ れ ら を二乗和条件へ と書 き直す．

M1 （ξ，ρ）− 91（ρ）Sa1（ρ）一ε∬＝＝SaO（ρ）　∀ρ ∈R

M2 （ξ，ρ，P）− 91（ρ）Sbl（ρ）− 92（ρ）Sb2（ρ）

　　− 93（P）Sh3（ρ）一εJ ；SbO（ρ）　∀（ρ，ρ）∈ RxR

ハ43（ξ，ρ0）− 94（ρO）Scl（ρ0）一ε∫＝ScO（ρ0）∀ρ0 ∈ R

　 本稿 で は ，二 乗和 の 基礎 と制 御 で の 使 い 方 の 例 を

YALMIP の コー

ドを通 して 紹介 し た，うまく使 い こ な

す こ とが で きれば，多くの 制御問題を二乗和条件に定式化

で き， 実際 に 計算す る こ とが で き る．また

，SOSTOOLS

は YALMIP ほ ど広範な問題 に対応 しや すくは ない が，

記述 が簡素な優れ た パ ーサ で あ る こ と を付け加えて お く．

本解説が 従来 の 解説 まで の 橋渡 しとな り，二 乗和が制御

工 学 の 多 くの 応用分野で 活用 され る こ とを期待して い る．

　な お，本解 説 に 関す る コ ードは，http：／／www ．maizuru −

ct．ac ．jp／control ！kawata／iscie／iscie．html で 公開す る ．

　　　　　　　　　　　　　　（2011年 1 月 31 日受付）

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　No ．5，　　pp，1050−−1055 （2009）

付 録

付録 1，qf．polynomiaLm

1 ； functio 且 S　署　qf噂poly【Lo皿 ia ユ（z ，di 皿 ）

2：　if　nargin 　＝＝

　1

3 ：　 di 皿 ＝1 ；

4 ； eロd5

：　R　＝　sdpvar （］ength （z ）＊ di 皿 ）1

6：S　＝　kron （eアe （di皿）卿z ）

，＊ R ＊kron （eye （dim）．z）；

付録 2． sm ．polynomial ．m

ユ： function 　P ＝sm −polynomial（z ，dim ）

2 ： 1z 呂1ength （z ）置

3 ：　P　＝　zeros （di 皿 ）；

4 ：　 for 　k　召　1 ；1 ：1z

5 ：　Pk 互sdpvar （dim ）；

6 ： 　P＝P＋Pk ＊ z （k ）；

7 ； end

妨

原鴨

市

　　　　著 者 略 歴

ひろ　 ゆき

裕 之 （正会員）

　2000 年明治大学大学院理 工 学研究科機

械工 学 專 攻博士 後期課程修 了，同年 4 月，同大 学 理工 学部助 手 （任 期 制 ），2001 年 7

月 茨 城大 学 大 学 院理 工 学研 究科 SVBL 研

究 員，2002 年 4 月九 州工 業 大学情報 工 学

部助 手，2007 年 4 月 岡助 教 ，2008 年 4

月同大学大学院情報工 学研究院助教，2010 年 4 月明治大学

理工 学部専 任 講師 とな り，現在に 至 る．制御理論 お よ びその

応用 に 関す る 研究に 従事．博・．lt（工 学）．計測 自動 制御学会，

IEEE な ど の 会 員，

一22一

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