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Institute of Systems, Control and Information Engineers
NII-Electronic Library Service
工nstitute of Systems ， Control and 工nformation Engineers
174 シ ス テ ム ／制御1情報，voL 55， No ，5， pp．174−180，2011
IIIill［1 lil［III1 lll 1し1 II旨ll1ト1し11111 liレlillllllll IEIil 1旨1】llll1Elillillll111 11111111111111111111［1しIIII1トlil11旨1旨1［i11111111111111 lil1ト11illll｝111illili［1LI Illlli1EIトIIII1 1 1しilil［lll11ilトIIl1111旨1［1］レ1111レ1 111ilヒ1し11】ilヒIllllllレ1 11し111旨ll「IEI「1 「1「1「「1FI「「i「1「「1「1「1「」「1ト「1「IEr」「「d「」「t」
讎灘灘攤礁飜盤齷齷攤鬮韈羅藩灘覊 bve 攤 鑓畷躍蠶纈 解 説
二 乗和に基づ く制御系解析 ・ 設計
市原 裕之 ＊
lEltll11 1［1亅［1トI III III1ト111 lllll11 illト1しト lll 1旨L］1「il［1111［1［I I［lil111［］ 11111 1ilil lil1し1II 「ilillilil ト111［11111 ヒ［1ト1旨Illil11 11」［1 111il l lil［111トIIIIIIII IIIili1し1［lllll1 1 II IIIIIIILI［1111111［1 lllll l1LII IIIil L1［1［1し1il llli［1il IIII 1LII 1ヒIEIhl旨1 11111 111111ト1［1illll1ト1レlllll l 1 111111 1［lil11111 1L
L は じめに
制御系 の 解析や 設 計に お い て，線形行列不等式（LMI ：
Lilleaエ Matrix Inequality）［1］が 強力 な 道具 で あ る こ と
は 広 くしられ て い る．2000 年頃か ら，こ の LMI を用
い た新 し い 話題 が議論さ れ始め た．二 乗和 （SOS ： Su皿
of Squares）［21は，そ れ まで の LMI の 成果 で は扱 い に
くか っ た非線形性の 強 い 問題 を扱え る 可 能性を広げた．
簡単 に い えば，すべ て の 実変数 に対 して 非負 に な ら ない
実多項式 の 存在 を半正定値計画問題 （SDP ：Semidefinite
Programming ），すなわち LMI を解 い て確認 で きる こ
とが示さ れ た ．ゆ え に，制御系の 解析や 設計 の 問題 を実
多項式 が 非負 で あ る よ うな条件 で 表 し， 対応す る LMI
の 可解性を調べ れ ば よ い ．
二 乗和 の 計算を す る た め に は，二 乗和条件 を LMI に
変換す る SOS パー
サと，変換 された LMI を解 くた め
の SDP ソ ル バ が 必要 に な る． MATLAB 用 SOS パー
サ に は，SOSTOOLS ［31，
YALMIP ［4］な どが あ る．こ の
うち，YALMIP は， SOSTOOI 、S に 比べ ，パー
サ と し
て の処 理 が 高速 で ある．ま た，LMI や行列値の 二乗和に
も対応して い る た め ，複雜な解析条件や 設計仕様を記述
しやす い ，しか し一
方 で ，二 乗和 の 考え方をあ る程度 正
確に 理 解 して い な い と，意 図 した 計算 は で きな い ．
二 乗和 に 関す る解説 は す で に 数多くあ る ［5−IOI．本稿
で は ，こ れ らとは趣 きを変え，YALMIP を用 い て 実際
に計算する こ とを 目標 とする．そ の 中で，二乗和と LMI
の 関係 ，二 乗和 の 性質，行列値 の ：二乗和 につ い て ，制御
系解析 お よ び 設 計 で の 例 を交 えなが ら紹介す る ．
2． 線形行列不等式
準備と して，つ ぎの LMI を考え よ う．
h
雌 ξ）＝MD ＋ Σξ幽 とO i＝1
（1）
・ だ ・，・M ・ （・一・，．翔 嫐 ・ 対称槲 ξ一［ξ・
… ξ・］T
は未知 の 変数 （決定変数）と す る．（／）式に含まれ る等
号条件 は，取 り除い て 書 くこ ともで きる1，い ま，（1）式
に対 し て，新た な 決 定 変 数 と して M と 同 じサ イ ズ の 対
称行列 Q を導入すれば， 以下 の 問題 に書 き直す こ とがで
きる．
Q ≧：0，M （ξ）＝（〜 （2）
＊明治大 学 理 工 学部
Kev womb ： suln of squares， linear matrix inequalityl
cQntrol applications ，
こ の 問題 で は，ξお よ び G が 決定変数に な る．こ こ で心
に留め て お きた い の は，LMI は，決定変数に
「半正定値拘束」お よ び「線形等式拘束」
を課 して い る こ とで あ る2，
制御に お い て 二乗和を扱うと きに よ く使わ れ る MAT −
LAB 用 SDP ソ ル バ に は， LMILAB ［／／］， SeDuMi ［12］，
SDPT3 ［13】などが あ る．大まか に い えば， LMI を（1）式
の 形 で扱 うの が LMILAB ，（2）式 の 形 で扱 うの が Se−
DuMi や SDPT3 と思 っ て よ い ，ソ ル バ に よ る LMI の
表現 の 違 い は，YAI 、MIP で 吸収さ れ る の で ，ふ だ ん は
意識する必要 は な い ．本稿 で は，SeDuMi を使うこ と を
前提 と し て 話 をすす め る ．
3． 二 乗和 とは
実変数 Xl ，M2 に対 して ， あ る実多項式
xl 十4甜 1物 十 5略
を考え よ う．こ の 多項式 は， （Xl ＋ 2x2 ）
2＋魂 と二 乗項 の
和に分解 して 書け る の で，x’1， x2 に どん な実数を代 入 し
て も負の 値をとる こ とは ない ．ml ＋ 2m2 と x2 の そ れ ぞ
れ の 二 乗 は負 に な らず，そ れ ら の 和も負 に な ら な い ．こ
の よ うに， 多項式 の 二 乗項 の 和 で 表現 で き る 多項式 を 二
乗和多項式 （SOS polynomial ）と よぶ ．その 最 も著 しい
性質 は，任意の 実数に対 し て多項式 が負に な ら な い こ と
で あ る，
と こ ろ で ，例 に あげて い る多項式 は，二 乗和 か ら ある
二 次形式 に書 き直す こ とが で きる ．
1十分小 さ な正 数 ε を用い て，（1）式 の M （ξ）をM （ξ〉一 εf
で 置 き換 えれ ば，Af （ξ）｝ εJ ＞−O と 書け る．
2
（2）式 に お ける ξの よ うに，半正 定値 に拘束 させ ない 変
数 は あ っ て もよ い ．実 際，ξ1，ξ2 ≧ o お よ び ξ・・ξ1一ξ2
を 導入 し，ξを ξ1 ，ξ2 に 置 き換 え る と き，すべ て の 決
走変数を半正 定値 に 拘 束す る形 で 書 くこ とがで きる．
／6 一
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市 原 ：二 乗和 に 基づ く制御系解析 ・設計 175
（・ ・・ ・…2・ ＝3− ［
一 ［ 一［ 一［
鼎亂爿ゴ北 ］
2
剛
1［二 次形式 を構成す る対称行列 の 固有値 は 0．1716と 5．8284
なの で ，正定値行列 で あ る こ とが わ か る ．二 次形式 に よ
る表現 か ら も，こ の 多項式 は任 意 の 実変 数 に対 して 非 負
で あ る とい える．
こ れ ら多項式 の 非負性 に 関す る 二 つ の 事実 は等価 で あ
る こ とが し られ て い る．つ ま り，ある多項式が 二乗和に
分解 で きれ ば，半正 定値行列 で 構成 さ れ る 二 次形式が存
在す る ．逆 も成立 し，つ ぎの よ うに ま とめ られ る ．
【定理 1】 ［2］ x ∈ Rn の 多項式
P （x ）一ΣP ・x
α
，x
α
… xrxg2 …鵄
・
α ∈∫
（3）
が 二 乗和 で ある ため の 必要十分条件 は， あ る 半正定値行
列 Q お よ び m の 単項 式 ベ ク トル x （x ）に つ い て，
P（x ）＝ x （m ）Tc2x
（x ） （4）
が すべ て の x に つ い て 成 り立 つ こ とで あ る ．た だ し，pα
は 単項式の 係数，F は 単項式に 関す る イ ン デ ッ ク ス を
表す．
単項式 ベ ク トル と半正定値行列を使 っ た二 次形式 で表
せ る多項式 は 二乗和 とわか っ た の で ，今度 は，二次形式
の 方か ら多項式が 二乗和に 分解で きる こ と を確認 して み
よ う．LMI に よ る 計算 に は こ ち らの 方 が 向い て い る ．多
項式
P（x ）＝2mi十3瓢 晝x3 −十一2xlx塁十4x茎
が 二 乗和 に分解 で きる か ど うか 調べ る た め，
魂網 iill］とお く．こ こ で，（4）式 が すべ て の 実数 XI ， x2 に つ い て
成 り立 つ た め に は ，（4）式 を恒等式 と考え，両 辺 の 各単
項式 の 係数 同 士 が等し くな る必 要が あ る．つ ま り，以 下
の Q に 関 す る 線形方程式 が 成 り立 て ば よい ．
g1＝2，2q2＝O， α3 十 2q4 ＝3
，2q5 ＝2
， q6＝4 （5）
Q は 半 正 定値行 列 な の で ，こ の 問題 は 2．で 述 べ た 「半
正 定値拘束 」 お よ び 「線形等式拘束」 が 課 さ れ て お り，
LMI で ある．こ れ を解 い て 実行可能解 を求 め る こ とがで
きれ ば，p が二 乗和多項式 で あ る こ と を確認 で き る．以
上 の こ と は，一般的に まとめ る こ とが で きる．
【定理 2】 ［21 多項式 （3）が 二次形式（4）で表さ れ る
た め の 必要十分条件 は，つ ぎの LMI が実行可能解を も
つ こ とで あ る．
find Q s．t． Q と 07 tr（A α（？）＝ Pa α ∈ ∫
ただし，A αは z（x ）z （x ）
T ；Σα∈ アAaX α
を満 た す．
計算 の 準備 で 意 外 と手間 が か か る の は，（4）式の 両 辺
の 単項式 の 係数を取 り出 し， 線形方程式 （5）を 導 く作業
であろ う．計算機で は，数値的 よ りもむ しろ数式的な処
理 とい える．こ の 処理 を含め 二 乗和に基づ く LMI を解
くため の コー
ドを示す．
艦灘擁嬲嬲
搬
ー
灘轗
律ー
糶
懇
飜
飜轢
馨・
戀獵
韈
飜
驪懸
韈
−灘鑵難驚
働「露
炉
鰈
．聽懇覊
韆聾
．灘鑾
講．
灘
，
鑢韈驪
齦
濘
嚀
嚀
磯嬲
、灘
灘’，
2行 目で 多項式 p，3行 目で 単項式ベ ク トル z ，4行 目で 対称
行列 Q をそれ ぞ れ定義して い る．5行目で coefficients
を使 い ，（4〕式 の 両辺 の 単項式 の 係数 を取 り出す処理を
行 っ て い る ，YALMIP は SOSTOOLS に比べ ，こ の 処
理が 高速で あ る こ とに特徴が あ る，さ らに，6 行目で Qに 半正 定値拘束 を課 し
，7行 目で LMI を解 い て い る ．
こ の コー
ドは ，SOS Module の コ マ ン ドを使えぱ，つ
ぎの ように，よ り簡潔に書ける．
鏃
戀鯔鱗黼驪
叢覊韈難難鑼
鞴驪羅鏃
鑿瞬
饗榊欝伊 鍵脇
嬲覊
萋
霧
覊鸞ー
榊
鑠
嬲 脚鸛翻轟戮
3 行目の sos で， p が 二 乗和 で あ る た め の 条件 が 二 次形
式 を 通 し て LMI に 書 き下 さ れ る ．こ の と き内部で ， Qに相当す る 変数が定義さ れ半正定値拘束が課 され る．4
行 目の s 。lvesos で ， LMI が ソ ル バ に渡され 解 か れ て
い る．実行後，つ ぎに 示す ように sol ．pr 。ble 皿 が 0 で
あ れ ば，LMI は 可解 で あ る
1，
＞＞ so1 ・proble皿
en5 ＝
o
Q の 最小固有値が 非負 で あ る こ と も確認 して お こ う．
〉＞ 皿 in （eig （Q｛t｝））
ans ＝
1sol ．problem が 0 とな る と き，“LMI は可 解
”と書 く
こ とに す る．
一17 一
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176 シ ス テ ム ／制 御1情 報 第 55 巻 第 5 号 （2011）
こ の 条件を計算す る ため に は， 事前 に
1．9340
注 目したい の は，こ の コ ードで は a に関する情報を与え
て い ない こ とで あ る，実際 に計算で 使 わ れ た x は，つ ぎ
の よ うに 確認 で き る ．
〉＞ sdisplay （m 。n 。 s｛1｝）
a皿 S 昌
，x2 −2，，x1 ＊ x2 ン，x1 冖2，
順序 は違 うが，は じめ の コー
ドの 3 行 目で 与 えた z と同
じ単項式 で構成 され て い る．機械 的 に z を 構成 す る に は，
p の 最高次数 の 半分 を x の 最高次数 と し， そ の 次数以 下
の すべ て の組合せ の単項式を z にすれ ば よ い ．こ の 例だ
と，以下 の 6個 の単項式が考えられ る．
1，Xb x2 ，・xl ， x 、x2 ，姥
SOS Module で は，こ の 中か ら
2 2Z1 ，XIX27 富2
の 3個の単項式を選択する処理 を して い る．もちろ ん，6
個 の 単項式か ら LMI を構成 して も可解性に影響は ない ．
し か し，x の サ イズ を低 く抑 え る こ と が で きれ ば， LMI
の サ イ ズ が 小 さ く な り， 計算 を速 く実行で き る．こ こ で
の 処理 は， 多項式が同次で あ る こ と を利用 して もわ か る
単純な もの だが ，SOS Module に は ，い くつ か の有用な
単項式の 削減 （reduction ）手法 ［14］が 実装 され て い る，
理解 をさ ら に深 め る た め に ，二 乗和 の た め に 構成 した
二 次形式 （4）に 現 れ る半正定値行列 Q の 自由度 に つ い て
観察 し よう．さ きほ ど の 例 で は，Q に 関す る線形方程式
（5）は， 5 つ の 方程武 に対 して 変数 は 6 つ な の で ，解 に
は 1 つ の 自由度があ る．たとえ ば，q3をそ の 自由度 と す
れ ば，Q は つ ぎの よ うに 2 つ の 行列の 和で表すこ とが で
きる ，
・ 一 期 一 鬩 慨 詐p が二 乗和 で あ る た め に は，こ の 表現 の 中 か らQ を半 正
定値 に す る q3 を見 つ けれ ば よ い ． q3 は一意 と は 限 ら な
い の で ，1 つ の ：二 乗和多項式 を 表す複数 の 二 次形式表現
が 存在 す る こ とが わ か る．
こ の 事実を 陽 に表した 二 乗和 の 計算条件 も早 くか らし
られ て い る ｛15 ，16
，10】．一
般 に は，定理 2 の LMI の 代 わ
りに，つ ぎの 問題 の 可解性を確認すれ ば よ い ．
P（x ）一・ （x ）Tθ宛 ），
θ一sT （6）
を満 た す 5 の 具体的な表現が 1 つ 必要 に な る．たとえば，
S を求め る 問題 を線形計画問題 （LP ；Linear Progran1−
ming ）に帰着させ る こ とが で きる1．つ ま り，（6）武の 両 セ
辺 の 係数 を比較す る こ とで 線形方程式 を導出 し，そ の 解
の 1 つ を探せ ば よ い ．こ の 方針 に 従 っ て S を求め，続 い
て p が 二 乗和 で ある こ と を確認す るた め の コ ードを示す．
偶然 に採 用 し た 8 の 表現 の 違 い に よ っ て， 最後 に 解 く
LMI の 可解性が変わ る こ とはな い ．
4． 二 乗和の 非線形 シス テ ム 解．析 へ の応用
4 ．1 非負多項式
変数に任意の実数を代入 して も負に な らな い 多項式は
非負多項式 （nonnegative polynollよial）あ る い は正多項
式 （positive polynomial ）とよ ばれ る．こ れまで の 話か
ら，
二 乗和多項式な ら ば 非負多項式 とい え る．こ の 逆 ，つ ま り， 非負多項式が い つ も二 乗和 に 分解 で き る か ど う
か は，第 1表に まとめ る こ とが で きる ［2］．ただ し，n は
多項式にお ける 変数の数，d は次数で あ る．表にお い て，
○ は非負多項式 が 必ず 二 乗和多項式 で あ る こ と を示 して
い る．たとえば，1変数 の 非負多項式 は ，次数 に よ らず
い つ も二 乗 和 多項式 で あ る．
第 1 表 非負多項 式 と二 乗和多項式の 関係
旭 42 4 6 8 …
1 ○ ○ ○ ○ ○
2 ○ ○3 ○
4 ○
○
find（1 s．t， 5 十 σ（のと0， x（x
’）Tσ（q）z （m ）；0 ∀x ∈ Rn
4 ．2 非線形シ ス テ ム の 吸収領域解析
と こ ろ で， 多 くの 制御 問題 で は，す べ て の 変数 に お い
て 非負に な る条件 で は なく， 変数 の あ る集合の 中だ けで
非負に なる条件 で表され る．た と えば， 非線形 シ ス テ ム
雄 ）；f（x （t）），灘o置欝 （0）
ILPを解 かず に 3 を算出 する 専用 の ア ル ゴ リズ ム ［16］
をコー
ド化 し て 使 っ て も よい ．
18 一
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市原 二 乗和 に 基 づ く制御 系解析 ・設 計 177
の 吸収領域推定問題 ［9］を考えよ う．た だ し，
一 圍，… 一レ．認二、司とする，こ の シ ス テ ム は ，x ；O が唯
一の 平衡点 で あ り，
そ の 付近 で 局所的 に漸近安定な シ ス テ ム で あ る．吸収
領域 と は，こ の 平衡点か ら離 れ た と こ ろ に初期値 Xe を
置 い た と．き，解軌道が平衡点 に 戻 る こ と が で きる 状態
空 閲上 の 集合 を 意 味す る．こ こ で は ，こ の 吸 収領 域 を 内
側 か ら推定す る こ と を考 え る．この 推定 に は， 局所的な
Lyapunov関数 V （x ）の レ ベ ル 集合
n − ｛xER2 v （x ）≦ ッ ｝
を用 い る こ とが で きる ［17］．V （x ）が与 えられて い る と
き，7（＞ 0）が 大きけれ ば，推定領域 ∫2が広 くな る．で
きる だけ広 い Ω を得 る こ と に 工 学的 な 意味 が あ る．この
推定 問 題が満 た す べ き条件 は ，つ ぎの よ うに 表せ る ．
吻 一∂
器）ノ（x ）・ ・ ∀ ・ ∈ 9 ＼｛・｝ （・）
こ こで，＼は差集合を表す．∫2＼｛0｝は，集合 9 か ら原点
0 を除 い た 集合 で あ る ．こ の よ うに， あ る 集合 （こ の 場
合，O ＼｛0｝）の 中 で多項式 の 符号 が定ま る よ うな条件 の
記述 に二 乗和 が 利用 で きる．
対応す る 二 乗和条件 は ，つ ぎの ように書け る．
∂y ＠） ノ（＝ ）
− 51 ＠）（ツーv （m ）〉
∂x
一ε宀 一 β。＠）∀ 毋 ∈ R2 （8）
こ こ で ，So，
ε1 は 二 乗和 多項式 を表 して お り， So （0）＝
Sl （0）＝0 を満 た す とす る．こ れ らの 二 乗 和多項 式 の 係数
が 決定変数と な る．一・方，V に加 えて，7，ε もあ らか
じめ与 えられ て い る とす る．ε は 十分小 さな正数 で ある．
（8）式を書き換え，
∂
琶1コP）f（の＝s 。（x ）＋ 8 、＠）（・一咄 励
とす れ ば，x ∈ ∫2＼｛0｝にお い て （∂V （X）／∂X）f（tl）＜ 0 が
成 り立 つ こ と が容易 に わ か る ．つ ま り，（8）式 は （7）式
の 十 分 条件で あ る．
具体 的 に計算す る た め に は，51 を構成 す る単項式 ベ ク
トル を決 め て お く必要があ る．それ に 伴 っ て s が必然
的 に決まる，以上の計算を実現する コー
ドを示す．た だ
し，7 ＝ 1，0，V （x ）＝ 1．5x子一xlx2 十 x 曇，ε ；1．Ox10 6
を与 えて い る、また ，Sl の 次数を 2 とす る，
こ の コ ードで ，ユ ーザが定義す る sdpvar 変数 は，
シ ス
テ ム の 状態 を表す x と二 乗和多項式 sl の 係数 で あ る． x
は二 乗和条件 に おける多項式 の 変数で あ る一方 ，
sl の 係
数は決定変数で あ る こ とを ソ ル バ に理解させ なければ な
ら ない ．こ こ で は，1 つ の テ ク ニ ッ ク を試み た，計算に
用 い る 条件は ，6 行目の Fs に まと め ら れ て い る が ，こ
の 中 に は通常，こ こ まで に現 れ た sdpvar 変数に 関する
情報 がすべ て 含 まれ て い る．そ こ で ，7 行 目で，Fs の
中か ら x 以外 の sdpvar 変数 を取 り出 し， paralnsと し
て い る．こ の 処理で ，決定変数が 自動的 に選ばれ る1．8
行 目の solvesos で こ の 情報 を受 け取 り，二 乗和多項式
So の 係数に相当する変数を内部で 生成 しLMI を構成 し
た後，ソ ル バ が 解 い た 結果 を提示す る．3 行目で 7（ga皿 ）
を 1．O に して い る が，2．3044まで 大 きくして も LMI は
可解で あ る．
ま た，4 行 目の polynomiaユ の 使 い 方 に も注意が 必要
と なる ，こ こ で は，単項式ベ ク トル z が ［Xl x2 ITで あ
る二 乗和多項式を （4）式と矛盾が な い ように コ ード化し
た い ．その た め，最高次数，最低次数 と もに 2 と指定 し
て い る ．仮 に polyn 。mia1 （x ，2）とす る と，定数項 まで
含 む多項式と な り， 意図 した もの と若干異 な る．
こ の よ うな個別の ケー
ス に 対す る 配慮 が 必要 に な る た
め ，polyn 。 mial の 代 わ りに，単項式ベ ク トル を 引数と
し ，二 次形式か ら多項式 を生成す る簡単 な関数 m フ ァ
イル を準備す る こ とを勧め る．たとえば，付録 1．に示
す qf＿polynomia1 を使 え ば，4 行 目は
，つ ぎの ように
書 くこ と が で きる．
獵韈鑼韆鸚驪，韈韆鸚鸚懸鑼こ の よ うに して お けば，z1 を書き換え る こ とで ，意図
した 二 乗和多項式を簡単に 記述 で きる．
多項式 で 表され る 有限個 の 等式や不等式を満たす集合
を半代数集合 とよぶ ．一般 に，半代数集合上 で非負に し
た い ，ある い は 非負 で ある こ とを 確認 した い 多項式 が あ
る と き ， そ の 条件 を 二 乗和 を介 し て LMI を解 くこ と で
確認で きる ［5］．すで に述 べ た よ うに，二 乗和条件 （8）は，
も との安定解析条件 （7）に 対す る 十分条件で ある が ，新
た に 導入 した 二 乗和多項式 Sl の 次数を上げ て い けば，必
要条件 に近 づ くこ とが 知 ら れ て い る．s1 の 次数を上 げ る
と は，具体 的 に は，新 た に書 い た 4 行 目の z1 に，
よ り
高次 の 単項式 を加えて い くこ とを意味す る．こ の 例 で は，
次数を上げて も7 が 2．0344 よ り大きな値で LMI が 可解
と な る こ と は な い た め ，固定 さ れ た Lyapuriov 関数 に対
して は，必要条件 に もな っ て い る と見なす こ とが で きる．
た だ し，次数 を上 げ る ほ ど，最終的 に 解 く LMI の サ イ
ズ が 大 きくな り， 実行速度 や メ モ リの 関係で ，実行可 能
解 を得 る こ とが 難 し くな っ て い く．1複雑な問 題 を扱う場合，こ の 書 き方 は コ ードの ミ ス を
減 らすた め に 有効 と考え られ る．
一19 一
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178 シ ス テ ム ／制御／情報 窮 55 巻 第 5 号 （2011）
5． 二 乗和 の ロ バ ス ト性解析 へ の 応用
5．1 行列値の 二 乗和
二 乗和 の 考 え 方 は， 対称行列値 の 多項式 に も拡張され
て い る ［18−20］．い くつ かの 行列多項式とそ れ らの転置
の積の和で書ける対称行列多項式は ，二 乗和 で あ る．よ
り簡潔に は，つ ぎの よ うに 1 つ の 行列多項式 G とその 転
置 と の 積 で 表 せ れ ば よ い ．
P ＠）一Σ碗 ）T碗 ）＝・・G （i ）
Tσ（a；）
i；1
こ こ で ，G （X ）＝［Gl （＝ ）T
，＿
，（み（の
TIT で あ る ．こ の 定
義の もと に，行列 二 乗和多項式 は，行列 に 拡張 され た 二
次形式 で 等価 に書 くこ とが で きる．こ の 場合 も，LMI を
解 くこ とで 行列 二 乗和多項式 の 存在を確認で きる．
【定理 3】 ［20］ x の 対称行列多項式
P （m ）一Σ 恥α
α∈∫
（9）
が二 乗和で あ る ため の 必要十分条件は，あ る半正定値行
列 9 お よ び x の 単項式ベ ク トル z （a；）に つ い て，
P （m ）一（lmXz （x ））TQ
（lm 姻 ） （／0）
が すべ て の x に つ い て 成 り立 つ こ と で あ る．
【定理 4】 ［191 行列多項式 （9）が （10）式 で 表 され
る た め の 必 要 十 分 条件 は ，つ ぎの LMI が 実行 可 能解 を
もつ こ とで ある．
find ⊆≧ s．t．2 ≧：Oi trm （（Jfn X Aα ）9）＝Pa α ∈ f
た だ し，M ∈RP ’nXP ’n， M
（切∈ RPXP に対 して，
一 惚 ：：∴ …xm
で あ る．
5．2 ロ バ ス ト安定性解析
行列値 の 二 乗和 と 4．の 考え方 を用 い れ ば，不確か な パ
ラ メー
タ を有す る ロ バ ス ト制御系解析問題 を扱うこ とが
で きる．つ ぎの パ ラ メー
タ 依存線形 シ ス テ ム を考え よ う，
±・・A （θ）．T
ただ し，θ；［θ1 θ2 ］T は時不変 な パ ラ メータ，
A ・…一「轡1（譜副こ の と き，
パ ラ メータ θ1 お よ び θ2 の 範囲を
n − ｛θ∈ R2 ・ 9i（θi）一α2 一θ孑≧ O
，・i− 1
，2 ｝
で表され る正 方形 の 集合 と し，シ ス テ ム が 漸近安定 な範
囲で α （＞ 0）をで きる だ け大 きくす る ロ バ ス ト安定解析問
題 を考える．その ため に，パ ラ メー
タ依存の Lyapunov
関数
v （x ，θ）＝・・ xTp （o）x
を導入 す る ．こ の とき，つ ぎの パ ラ メータ 依存 LMI
（PDLMI ；Parameter−Dependent LMI ）が 成 り立 つ よ う
な LyapunOv 変数P （θ）が 存在す れ ば，シ ス テ ム は 漸近
安定とな る．
He ｛P （θ）A （θ）｝一くO， P （θ）〉
−0 ∀θ∈ S2 （11）
こ こ で ，正方行列X に対 し，He ｛X ｝は X ＋XT を表す．
P （θ）を 行列多項式 に 限定す れ ば，（11）式 に対応す る 二
乗和条件 は，つ ぎの よ うに書け る．
一He ｛P （θ）・4（θ）｝− 3。 ・（θ）9・（θ）− 3。 2（θ）92（θ）
一・∬− 3
。 。（θ）∀θ∈ R2
P （θ）− Sb1（θ）91（θ）TSb2 （θ）92（θ）
一ε∫ ＝ 3b （θ） ∀θ∈ R2
こ こ で ，SCti，5δ痘 ＝O，1，2）は行列二 乗和多項式，ε は微
小 な正数とす る．（11）式 に 対 して，条件 が 成立す る た め
の θの 集合 が ∫2か ら R2 に な っ て い る ，こ の ように，二
乗和多項式 を導入 し， すべ て の パ ラ メータ変数 θで 成 り
立 つ 等式条件 に 書 き直 せ ば，コー
ド化 しや す い ，
前章 の 安定解析 と異な る の は，Lya ．punov 関数 を 決定変
数 に して い る こ と で あ る，と くに，Lyapunov 変数を パ
ラ メー
タ θ に依存 させ る た め ，まず 9 行 目で ，依存さ せ
た い 単項式 を生成す る ．関数 mn 。list に パ ラ メー
タ 変
数と次数を引数と して 渡せ ば ，指定 し た 次数 以 下 の すべ
て の 組合せ の 単項式を返値とす る ．こ れ を zp と し，10
行 目 で パ ラ メ ータ依存 Lyapunov 変数 を生成す る ．こ
こ で は ，付録 2．に 示 し た 関数 s 皿 一p 。lyn 。mial を用 い
一20一
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工nstitute of Systems ， Control and 工nformation Engineers
市原 ；二 乗和 に 基づ く制御系解析・設計 179
て ，P を th に 関す る ア フ ィ ン な対称行列多項式 と して
い る、monolist に指定する次数を増 や せ ば，簡単に高
次 の パ ラ メータ依存 Lyapunov 変数 を 生 成 で きる．ま
た，行列二 乗和多項式 Sa1な どに つ い て は，13 行 目か ら
qf−polynomial に単項式 と行列 の サイズ を引数 として
渡す こ とで 生 成 す る．そ の ほ か の 記 述 は，前章 の 例 と 同
様 で あ る．こ の コ ードで は
，6行 目で α （alpha ）を 1．O と
して い る が ，2．0453 まで LM1 が 可 解 とな る．また，パ
ラ メータ に 関す る高次の Lyapunov 変数や 高次の 行列 二
乗和多項式 Sai：Sbiを用 い る こ と で
，さ ら に集合 9 を広
げ ら れ る こ とが あ る が ，こ の 例 で は 変化 は な か っ た．
比 較 の た め に，Lyapunov 変数 P をパ ラ メ ータ依存
と しな い 二 次安定条件 を文献 ［21］に よ る multi −convex
（MC ）の 考え方を適用 して α を最大化 した，二 乗和 の 結
果とともに第 2表に 示す．MC は，基本的 に はパ ラ メー
タ に 関 して 2 次 に 依存す る PDLMI ま で しか 扱 えない ．
A （θ）が すで に θに 関 して 2 次 に 依存 して い る の で ，（11）式に お い て，P を パ ラ メータ依存に す る こ とが で きない ．
これ に対 して ，二 乗和 に基 づ く方法 は
，パ ラ メ
ータ の 非
線形依存度 の 制約を簡単 に越え る こ とが で きる．
第 2 表 （解析手法，P の θ依存次数） に よる α の 最大値
（MC ， 0次） （SOS ， 0次） （SOS，ユ次） （SOS ， 2 次 ）
こ こで，
ε は微小 な正 数，S．i は行列 二 乗和多項式で ある．
M2 に 関す る PDI 、MI は， ρ と 戸に 関す る 二 乗和行列多
項式を用 い て，つ ぎの 二 乗和条件と して もよ い ，
ハd2（ξ，ρ，ρ）− 91（ρ）Sbl（ρ，ρ）
− 92（ρ）Sb2（ρ，ρ）
− 93 θわ3（ρ，ρ）
一ε1 ＝Sb
。 （ρ，ρ）∀（ρ，ρ）∈ RxR
む しろ，こ の 方がい ままで の 話か らすれ ば 自然 で ある が，
対 応 す る LMI の サ イ ズ が 過 大 に な る．こ の 場 合， M2，
g2793 は， すべ て bに ア フ ィ ン に 依存す る．その た め
，は
じめ に 示 した二 乗和条件 の よ うに，Sb1， Sb2， Sb3をρに
依存させ な けれ ば，SbOの 中で βに 関す る二乗和を構成す
る必要が な くな る．こ の と き，ア フ ィ ン項が相殺され る
よ う に，Sb2，3b3が 調整 さ れ る ［23 ，
24］．さ らに， Schur
補題 国 の 性質を使い ，Sa’1，
S。1 の 行列サ イズ を低 く抑え
る こ とで， 計算量 の 削減を行 うこ とがで きる ［24 ，25i．こ
の 設計例 で は，Lyapunov 変数をパ ラ メ ータ ρ に 1次ま
で に依存させ る ように すれ ば，コ ス トの 上 界値Atは 168
で ，2 次 まで に 依存 させ る よ う にす れ ば 148 で ，そ れ ぞ
れ 可 解 とな る．
6． お わ りに
0．7386 0．7386 2，0453 2，0453
5．3 ゲイ ン ス ケジューリン グ制御系設計
こ の 章 の 最後 に，アーム 型倒立振子 に対す るゲイ ン ス
ケジ ュー
リ ン グ に よ る コ ス ト保証制御系の 設計に つ い て
述べ る．制御対象お よ び設計仕様の 詳細 は ，本特集 ［22］の 4 ．2 を参照い た だ きた い ．まず，時変パ ラ メ
ータ p，そ
の 変化率 p， p の 初期値 を表す変数 ρo につ い て，そ れ ぞ
れ の 範囲を表す集合 を定義す る．
9 ・一 ｛ρ∈ R ・ 9・（ρ）＝ ・
・P（ρ一
ρ〉≧0 ｝．9 ・
一｛ρ∈ R’・ 9・ （ρ）一δ一P≧0 ｝
03＝｛1う∈ R ： 93（ρ）＝δ十ρ≧ 0 ｝O ・
＝ ｛ρ・∈Rl 9・（ρ・）一ρ・（P・一
ρ。）≧0 ｝
こ の と き，以 下 の PDLMI を満 た す決定変数ξを探せ ば
よ い ，
M1 （ξ，ρ）〉−0 ∀ρ∈ ρ1
M2 （ξ，ρ，P）〉一 O ∀（ρ，ρ）∈ n ・ × （n2 ∩ 93）
M3 （ξ，ρo）〉−0 ∀ρo ∈ 04
そ の た め に，こ れ ら を二乗和条件へ と書 き直す．
M1 （ξ，ρ）− 91（ρ）Sa1（ρ）一ε∬＝＝SaO（ρ） ∀ρ ∈R
M2 （ξ，ρ，P）− 91（ρ）Sbl（ρ）− 92（ρ）Sb2（ρ）
− 93（P）Sh3（ρ）一εJ ；SbO（ρ） ∀（ρ，ρ）∈ RxR
ハ43（ξ，ρ0）− 94（ρO）Scl（ρ0）一ε∫＝ScO（ρ0）∀ρ0 ∈ R
本稿 で は ，二 乗和 の 基礎 と制 御 で の 使 い 方 の 例 を
YALMIP の コー
ドを通 して 紹介 し た，うまく使 い こ な
す こ とが で きれば，多くの 制御問題を二乗和条件に定式化
で き， 実際 に 計算す る こ とが で き る．また
，SOSTOOLS
は YALMIP ほ ど広範な問題 に対応 しや すくは ない が，
記述 が簡素な優れ た パ ーサ で あ る こ と を付け加えて お く．
本解説が 従来 の 解説 まで の 橋渡 しとな り，二 乗和が制御
工 学 の 多 くの 応用分野で 活用 され る こ とを期待して い る．
な お，本解 説 に 関す る コ ードは，http：／／www ．maizuru −
ct．ac ．jp／control ！kawata／iscie／iscie．html で 公開す る ．
（2011年 1 月 31 日受付）
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付 録
付録 1，qf．polynomiaLm
1 ； functio 且 S 署 qf噂poly【Lo皿 ia ユ（z ，di 皿 ）
2： if nargin ＝＝
1
3 ： di 皿 ＝1 ；
4 ； eロd5
： R ＝ sdpvar （］ength （z ）＊ di 皿 ）1
6：S ＝ kron （eアe （di皿）卿z ）
，＊ R ＊kron （eye （dim）．z）；
付録 2． sm ．polynomial ．m
ユ： function P ＝sm −polynomial（z ，dim ）
2 ： 1z 呂1ength （z ）置
3 ： P ＝ zeros （di 皿 ）；
4 ： for k 召 1 ；1 ：1z
5 ： Pk 互sdpvar （dim ）；
6 ： P＝P＋Pk ＊ z （k ）；
7 ； end
妨
原鴨
市
著 者 略 歴
ひろ ゆき
裕 之 （正会員）
2000 年明治大学大学院理 工 学研究科機
械工 学 專 攻博士 後期課程修 了，同年 4 月，同大 学 理工 学部助 手 （任 期 制 ），2001 年 7
月 茨 城大 学 大 学 院理 工 学研 究科 SVBL 研
究 員，2002 年 4 月九 州工 業 大学情報 工 学
部助 手，2007 年 4 月 岡助 教 ，2008 年 4
月同大学大学院情報工 学研究院助教，2010 年 4 月明治大学
理工 学部専 任 講師 とな り，現在に 至 る．制御理論 お よ びその
応用 に 関す る 研究に 従事．博・．lt（工 学）．計測 自動 制御学会，
IEEE な ど の 会 員，
一22一
N 工工一Eleotronio Library
