View
0
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
INHOUD III
INHOUD
Voorwoord ................................................................................................................. VII
Visie op basisonderwijs .............................................................................................. IX
I Richtsnoer bij het leerplan wiskunde in de basisschool ................................... 1
Inleiding ................................................................................................................................ 3
Hoofdstuk I: Visie van OVSG op Wiskunde ................................................................ 5
Hoofdstuk II: Evaluatie in en van het wiskundeonderwijs ........................................ 15
Hoofdstuk III: Gebruik van het leerplan ...................................................................... 21
II Domeinoverschrijdende doelen en katernen ....................................................... 25
Hoofdstuk I: Domeinoverschrijdende doelen ............................................................ 27
1 Strategieën en probleemoplossende vaardigheden ..................................................... 28
2 Wiskundeattitudes ...................................................................................................... 40
Hoofdstuk II: Didactische katernen ............................................................................. 45
1 Werken met contexten ................................................................................................ 45
2 Ontluikende gecijferdheid........................................................................................... 64
III Domein 1: GETALLEN ................................................................................ 83
Hoofdstuk 1: Leerlijnen getallen ................................................................................ 85
A Getallenkennis ........................................................................................................... 86
1.1 Tellen .......................................................................................................................... 86
1.2 Getallen lezen en noteren ............................................................................................ 87
1.3 Getallen voorstellen en positiestelsel .......................................................................... 89
1.4 Vergelijken en ordenen ............................................................................................... 91
1.5 Functies van getallen .................................................................................................. 94
1.6 Delers en veelvouden .................................................................................................. 95
1.7 Patronen ...................................................................................................................... 98
1.8 Afronden (hoeveelheden schatten) ............................................................................. 99
IV OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
B Bewerkingen ........................................................................................................... 100
1.9 Begripsvorming - Rekentaal ..................................................................................... 100
1.10 Optellen en aftrekken tot 10 ..................................................................................... 101
1.11 Optellen .................................................................................................................... 102
1.12 Aftrekken .................................................................................................................. 104
1.13 Maal- en deeltafels tot 100 ....................................................................................... 105
1.14 Vermenigvuldigen .................................................................................................... 106
1.15 Delen ........................................................................................................................ 109
1.16 Relatie tussen bewerkingen ...................................................................................... 111
1.17 Werken met numerieke verhoudingen ..................................................................... 112
1.18 Tabellen en grafieken ............................................................................................... 113
1.19 Schatten .................................................................................................................... 117
1.20 Cijferend optellen ..................................................................................................... 118
1.21 Cijferend aftrekken ................................................................................................... 119
1.22 Cijferend vermenigvuldigen ..................................................................................... 120
1.23 Cijferend delen ......................................................................................................... 121
1.24 Cijferen algemeen .................................................................................................... 122
1.25 De zakrekenmachine ................................................................................................. 123
Hoofdstuk II: Didactische katernen .............................................................................. 125
1 Rekenen tot 20.......................................................................................................... 125
2 Hoofdrekenen ........................................................................................................... 140
3 Automatiseren van de tafels ..................................................................................... 157
4 Breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten ............................................ 165
5 Tabellen en grafieken ............................................................................................... 183
6 Cijferalgoritmen ....................................................................................................... 191
7 De zakrekenmachine ................................................................................................ 203
IV Domein 2: METEN .................................................................................................... 213
Hoofdstuk 1: Leerlijnen meten .................................................................................. 215
2.1 Classificeren volgens kwalitatieve eigenschappen................................................... 216
2.2 Meten van lengte, gewicht, inhoud, oppervlakte, omtrek en volume ...................... 217
2.3 Schaal ....................................................................................................................... 223
2.4 Meten van tijd .......................................................................................................... 225
2.5 Meten van snelheid .................................................................................................. 229
2.6 Meten van temperatuur ............................................................................................ 230
2.7 Meten van hoeken .................................................................................................... 232
2.8 Geld .......................................................................................................................... 233
Hoofdstuk II: Didactisch katern meten ........................................................................ 235
1 Inleiding ................................................................................................................... 235
2 Fasen in de ontwikkelingslijn meten ........................................................................ 236
3 Meten van specifieke grootheden ............................................................................. 248
4 Meetstands................................................................................................................ 268
VII
V Domein 3: MEETKUNDE ....................................................................................... 277
Hoofdstuk I: Leerlijnen meetkunde .......................................................................... 279
A Vormleer .................................................................................................................. 280
3.1 Vormen beschrijven, herkennen, construeren, benoemen en classificeren............... 280
3.2 Vormen classificeren op grond van eigenschappen .................................................. 283
3.3 Puzzelen, bouwen, omstructureren, construeren ...................................................... 285
3.4 Relaties tussen geometrische figuren (meetkundige transformaties) ........................ 287
B Meetkundige wereldoriëntatie ............................................................................... 289
3.5 Positiebepaling .......................................................................................................... 289
3.6 Beweging en richting ................................................................................................ 291
3.7 Viseerlijnen en schaduw ........................................................................................... 293
Hoofdstuk II: Didactisch katern meetkunde ................................................................. 295
1 Inleiding .................................................................................................................... 295
2 Tendensen in de basisschool ..................................................................................... 295
3 Fasen in het meetkundig denken en didactische principes ....................................... 300
4 Groei van de meetkundige oriëntatie bij kleuters ..................................................... 304
5 Vormleer ................................................................................................................... 306
6 Meetkundige wereldoriëntatie .................................................................................. 312
7 Horizontale samenhang ............................................................................................ 318
8 Slot ............................................................................................................................ 322
VI Verklarende woordenlijst, materialen en bibliografie ................................. 325
1 Verklarende woordenlijst .......................................................................................... 327
2 Materialen ................................................................................................................. 331
3 Bibliografie ............................................................................................................... 333
VIII OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
VOORWOORD
Met het decreet van 15 juli 1997 werden de ontwikkelingsdoelen en eindtermen voor het gewoon
basisonderwijs door de Vlaamse Regering bekrachtigd.
Hiermee bepaalt de overheid een minimumkwaliteitsnorm waaraan de schoolwerking moet voldoen
om te worden erkend.
Hoe deze minimumdoelen worden bereikt, hoe aan de eindtermen/ontwikkelingsdoelen wordt
gewerkt, bepaalt elke inrichtende macht zelf, onder meer via het ontwerpen van of via haar keuze
voor een bepaald leerplan.
Het niveaudecreet basisonderwijs van 25 februari 1997 bepaalt in artikel 45 dat ieder schoolbestuur
over een leerplan moet beschikken dat door de Vlaamse Regering goedgekeurd is.
In overleg met inrichtende machten werd ervoor geopteerd om binnen het OVSG een werking op te
zetten inzake ontwikkeling van leerplannen voor het gemeentelijk basisonderwijs.
Deze leerplannen werden opgevat als een leidraad voor leraren en schoolteams om speelleer- en
onderwijsleersituaties te creëren op basis van ontwikkelingsdoelen en eindtermen enerzijds en het
lokale pedagogische project anderzijds.
De leerplannen zijn samen met het lokale pedagogische project de basis voor de uitwerking van een
schoolwerkplan. Ze zijn een bron van informatie, op basis waarvan de leraren en schoolteams
worden aangezet tot reflectie op hun eigen klas- en schoolpraktijk.
Bij de aanmaak van de leerplannen werd rekening gehouden met een aantal belangrijke criteria:
* De leerplannen OVSG bevatten minimaal de ontwikkelingsdoelen en de eindtermen als te
bereiken doelen. Het verband tussen het leerplan en de na te streven ontwikkelingsdoelen en
eindtermen wordt duidelijk aangegeven.
* De leerplannen kunnen naast eindtermen en ontwikkelingsdoelen ook andere basis- en
uitbreidingsdoelen bevatten.
* De leerplannen bieden ten aanzien van het schoolteam voldoende informatie over:
- de visie op basisonderwijs;
- de visie op het leergebied.
* De leerplannen bieden mogelijkheden om differentiatie en zorgbreedte in de onderwijspraktijk in
te bouwen.
* De leerplannen moeten bruikbaar zijn bij andere groeperingsvormen dan het klassieke
leerstofjaarklassensysteem.
Ze zijn een belangrijk instrument voor de realisatie van continuïteit in de schoolloopbaan van de
kinderen.
IX
* De leerplannen leggen ook klemtonen op attitudes en waarden.
* De leerplannen zetten aan tot integratie van leergebieden en leerdomeinen.
* De leerplannen bevatten naast doelstellingen ook didactische suggesties.
* De leerplannen komen tegemoet aan het goedkeuringscriterium ‘studielast’ dat stelt dat een
leerplan realiseerbaar moet zijn binnen de daarvoor geraamde en noodzakelijk geachte tijd.
Er werd geopteerd voor een leergebiedoverschrijdende bijlage bij de leerplannen. Deze bijlage, in
de vorm van de brochure ‘Onderwijstijd: studielast van het leerplan en suggesties voor concreet
onderwijstijdgebruik’, moet dan ook samen met de leerplannen als één geheel worden gezien.
In mei 1993 werd met de leerplanwerking binnen OVSG gestart.
Er werd gewerkt binnen 7 commissies - in overeenstemming met de structuur van de leergebieden -
en in verschillende deelcommissies of werkgroepen.
Een 60-tal medewerkers werd bereid gevonden om naast hun dagelijkse onderwijswerkzaamheden
op een intensieve manier mee te werken aan de leerplannen van het gemeentelijk basisonderwijs.
Naast directies en leraren, afgevaardigd door verschillende inrichtende machten, participeerden
medewerkers uit de pedagogische centra van Gent en Antwerpen, leden van de stedelijke inspectie
en medewerkers uit de navorming en begeleiding van OVSG aan de werking.
Leden van de dienst Basisonderwijs van OVSG namen de coördinatie en de administratieve
ondersteuning op zich.
De werkzaamheden van deze commissies werden afgerond in februari 1997. Vanwege het arrest van
het Arbitragehof van 18 december 1996 tot vernietiging van het decreet van de Vlaamse
Gemeenschap van 22 februari 1995 betreffende de ontwikkelingsdoelen en eindtermen voor het
gewoon kleuter-/lager onderwijs waren wij ertoe genoodzaakt in de eerste druk geen verwijzingen te
maken naar de ontwikkelingsdoelen en eindtermen.
In deze tweede druk worden de verwijzingen naar de ontwikkelingsdoelen en eindtermen
toegevoegd op basis van het besluit van de Vlaamse regering tot bepaling van de
ontwikkelingsdoelen en eindtermen van het gewoon basisonderwijs d.d. 27 mei 1997 dat werd
bekrachtigd bij decreet van 15 juli 1997.
Het leerplan WISKUNDE VOOR DE BASISSCHOOL werd goedgekeurd op 20 april 1998 .
De Raad van Bestuur van OVSG wenst, in naam van alle inrichtende machten die dit leerplan
kiezen als leidraad voor de werking van hun schoolteam(s), alle medewerkers aan de
ontwikkeling van voorliggend leerplan uitdrukkelijk te bedanken.
Brussel, mei 1998
X OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
VISIE OP BASISONDERWIJS
Inleiding
In deze tekst wordt op beknopte wijze de visie weergegeven van OVSG op het basisonderwijs. Deze
visie sluit nauw aan bij de 'uitgangspunten eindtermen basisonderwijs', zoals geformuleerd door de
Dienst voor Onderwijsontwikkeling.1
OVSG oordeelt dat de eindtermen basisonderwijs een rijk kader bieden voor het creëren van
kwalitatief onderwijs in de basisscholen. De eindtermen, als verplicht minimaal te bereiken
einddoelen, vormen als dusdanig de criteria voor belangrijke kwaliteitsparameters, zoals
bijvoorbeeld doelmatigheidsbeleving van leerkrachten, werkvoorwaarden, professionalisering van
leerkrachten en de mate waarin de beoogde doelen bereikt worden.
Kwaliteit voor een school betekent meer dan de mate waarin en de wijze waarop doelen worden
gerealiseerd. De kwaliteit van een school uit zich op de eerste plaats in het dagelijks pedagogisch
klimaat, het samenlevingsmodel dat de school uitbouwt, de leef- en werkcultuur die er heerst.
De kwaliteit heeft met andere woorden alles te maken met het pedagogisch project dat de
inrichtende macht vooropstelt en dat samen met de schoolgemeenschap concreet vorm krijgt. Vanuit
dit pedagogisch project werkt het lerarenteam op zodanige wijze aan de realisatie van de
vooropgestelde doelen, dat er recht wordt gedaan aan de kenmerken van goed basisonderwijs.
Deze kenmerken zijn:
. samenhang
. totale persoonlijkheidsontwikkeling
. zorgverbreding
. actief leren
. continue ontwikkelingslijn.
Samenhang
OVSG gaat ervan uit dat kinderen iets moeten kunnen doen met datgene wat ze op school leren.
Vanuit deze optiek is een leergebieden- of vakkengesplitste benadering van de realiteit niet
aanbevolen. Kinderen beleven en ervaren de realiteit immers niet in vakjes.
Wil de school kinderen competenter maken in het omgaan met bepaalde leefsituaties, dan zal zij
ervoor moeten zorgen leersituaties te creëren die voor hen herkenbaar zijn. Het pedagogisch project
1 DIENST VOOR ONDERWIJSONTWIKKELING, document ‘Uitgangspunten eindtermen basisonderwijs’
(16/11/93)
XI
is bepalend voor de uitbouw van deze leersituaties en de wijze waarop de kinderen begeleid worden.
Zowel in de concrete leersituaties als in de schoolorganisatie zullen de kinderen de centrale plaats
innemen.
De schoolgemeenschap dient er daartoe op de eerste plaats voor te zorgen dat de kinderen zich
veilig en goed voelen op de basisschool. Ten tweede zullen leraren leersituaties creëren die zoveel
mogelijk rekening houden met wat kinderen reeds kunnen, reeds ervaren hebben. De aangeboden
leerinhouden en leersituaties moeten de kinderen wegwijs maken in het geheel van onze
maatschappij vanuit de eigen wijze waarop zij deze maatschappij bekijken, betekenis geven en
kunnen hanteren.
Zo zal het schoolteam, via de realisatie van horizontale samenhangen binnen het onderwijsaanbod,
zo veel mogelijk betekenisvolle leersituaties creëren.
Samenhang binnen basisonderwijs betekent echter nog meer. De doelstellingen van het
basisonderwijs hebben niet enkel betrekking op kennis opdoen. Ook het verwerven van inzichten,
vaardigheden en attitudes met betrekking tot verschillende werkelijkheidsgebieden zijn belangrijke
doelstellingen. Daarnaast dienen 'leren leren', 'probleemoplossend denken' en 'sociale vaardigheden'
door de basisschool heen in verschillende leergebieden aandacht te krijgen.
In die zin wordt 'samenhang' als kenmerk voor 'basisvorming' het geheel van kennis, inzichten,
vaardigheden en attitudes die kinderen verwerven binnen voor het kind herkenbare leersituaties op
de basisschool.
Totale persoonlijkheidsontwikkeling
De vorming die de basisschool biedt, moet harmonisch zijn. Alle aspecten van de persoonlijkheid
dienen via de aangeboden vorming in hun ontwikkeling te worden gestimuleerd en dit op
evenwichtige wijze.
Vaardigheden die kinderen via de basisschool verwerven, hebben dus niet enkel te maken met het
cognitieve, maar liggen ook duidelijk op het vlak van het sociale, het psychomotorische, het
dynamisch-affectieve, het muzisch-creatieve.
Bij de keuze van doelen, leerprocessen, leerinhouden, werkvormen, groeperingsvormen,
leermiddelen, evaluatiewijzen ... houden schoolteamleden er rekening mee dat al deze facetten van
de leersituatie hun impact hebben op de persoonlijkheidsvorming die men vanuit de school
aanbiedt. Aandacht voor de totale persoonlijkheidsvorming houdt dan ook in dat het schoolteam
zich beraadt over een evenwichtig vormingsaanbod en een evenwichtige activiteitenplanning.
Elk kind is anders, reageert anders, heeft reeds een bepaalde persoonlijkheid ontwikkeld en brengt
andere ervaringen mee uit het eigen culturele en sociale milieu. Dit beïnvloedt het verloop en de
resultaten van de vorming die het kind op school wordt aangeboden.
Wil de school haar doel bereiken, namelijk het kind basisvaardigheden laten verwerven op
verschillende terreinen van zijn persoonlijkheid, dan houdt ze in haar aanbod niet alleen rekening
met de verschillende ontwikkelingsterreinen maar ook met de verschillen in
persoonlijkheidsontwikkeling.
Aandacht voor de totale persoonlijkheidsontwikkeling impliceert daarom een gerichtheid op
individualiserend onderwijs.
XII OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
Zorgverbreding
Een veelheid van factoren (cognitieve, emotionele, sociale, economische, culturele, etnische) zorgen
ervoor dat het onderwijs voor een grote groep kinderen in meer of mindere mate problematisch
verloopt.
De verklaring van problemen mag echter niet alleen bij de kinderen worden gezocht. Ook
schoolfactoren en factoren uit de thuissituatie kunnen het probleemgedrag mee veroorzaken. Een
goede interactie tussen kind en leraar, die ook rekening houdt met de thuissituatie, is noodzakelijk
om tot succesvolle oplossingen te komen.
Zorgbreedte heeft te maken met de aandacht die de school aan kinderen wil geven, met de wijze
waarop ze omgaat met verschillen tussen kinderen.
Er worden twee aspecten onderscheiden in het begrip 'zorgbreedte'. Een eerste aspect heeft
te maken met de vraag of een school zich richt op een gedeelte van de kinderen dan wel
bekommerd is om ieder kind. Daarnaast heeft zorgbreedte betrekking op de mate waarin
een school, in aanpak en aanbod, alle ontwikkelingsdomeinen de ruimte geeft die hen
toekomt.2
Het concreet werken aan zorgbreedte noemen we zorgverbreding.
Binnen zorgverbreding kunnen we twee belangrijke facetten onderscheiden:
1/ het voorkomen van leer- en gedragsproblemen;
2/ het signaleren, analyseren, diagnosticeren en remediëren van leer- en/of gedragsproblemen bij
kinderen en het evalueren en eventueel bijsturen van de begeleiding.
Het eerste leerjaar vormt binnen vele scholen het grote struikelblok. Hoewel
ontwikkelingsachterstand reeds vroeger kan aanwezig zijn, treedt die bij de overgang van het
kleuter- naar het lager onderwijs sterker naar voren.
Enerzijds illustreert deze vaststelling de belangrijke educatieve rol van de kleuterschool. Anderzijds
leert ze ons dat bij het uitwerken van meer zorgverbreding zeker ook structureel moet gedacht
worden. Soepele overgangen van kleuterniveau naar lager onderwijs en tussen leeftijdsgroepen
dienen te worden gecreëerd. Doorbreken van het traditionele leerstofjaarklassensysteem in de lagere
school is mogelijk.
Voor het realiseren van zorgverbreding is de houding van het schoolteam een cruciale factor. De
schoolteamleden moeten overtuigd zijn van de belangrijke opdracht van het basisonderwijs: bij zo
veel mogelijk kinderen een brede basisvorming realiseren. Vanuit een gemeenschappelijke
gerichtheid op de doelen van het basisonderwijs - zoals weergegeven in het door de inrichtende
macht erkende leerplan en het eigen pedagogisch project - trachten de schoolteamleden hun
onderwijs af te stemmen op de mogelijkheden van de individuele kinderen die ze op school
begeleiden.
2
LAEVERS, F., Zorgverbreding in het kleuteronderwijs. Forum Basisonderwijs; Vlor, april 1994; pag. 129
XIII
Dit impliceert dat de school aan een aantal organisatorische voorwaarden voldoet:
overlegmogelijkheid, flexibele klasorganisatie, ... Daarnaast moeten de leraren de attitude hebben
om met elkaar over hun onderwijspraktijk te overleggen, systematisch te reflecteren op de eigen
praktijk, de ouders bij het schoolgebeuren te betrekken en open te staan voor nieuwe inhoudelijke
vormen van onderwijsondersteuning en -remediëring.
Zorgverbreding betekent ook afstappen van een te eenzijdig cognitief gerichte benadering.
Leermoeilijkheden bij kinderen zijn vaak niet op te lossen door orthodidactische en remediërende
werkvormen toe te passen rond de drie basisvaardigheden lezen, rekenen en schrijven. Zonder
hieraan afbreuk te doen, hebben kinderen met schoolachterstand vaak een ondersteuning nodig die
op een ander terrein ligt dan het cognitieve en waarmee ze meer gebaat zijn in relatie met hun
sociale omgeving, waartoe ook de school behoort.
Zorgen dat kinderen zich goed en geaccepteerd voelen op school, er gaan functioneren en er plezier
beleven, behoort tot de essentie van zorgverbreding.
Een school die werkt aan zorgverbreding, zal differentiatievormen inbouwen met het oog op het
ondersteunen van elk kind in zijn ontwikkelingsmogelijkheden. Differentiëren betekent op
organisatorisch vlak: klasoverschrijdend werken, leerlingen tijdelijk hergroeperen, werken met
niveaugroepen, individuele begeleiding binnen de taakklas, werken met een extra leraar binnen de
klasgroep.
Op het vlak van onderwijsinhouden betekent differentiëren: werken aan basis-, uitbreidings- en
verdiepingsdoelen en stimuleren van eigen leerprocessen bij kinderen via het invoeren van
pluriforme leeractiviteiten.
Op het vlak van evaluatie betekent differentiëren: in de school een systeem ontwikkelen om
kinderen systematisch op te volgen en wanneer nodig aangepaste remediëring en opvang zo vlug
mogelijk aan te bieden.
Actief leren
Men spreekt van ‘actief leren’ wanneer het kind zich in die mate betrokken weet bij het
onderwijsgebeuren dat het zelf het leerproces op gang brengt, initiatieven neemt en
gedragsveranderingen teweegbrengt.
Actief leren is dus voor het kind een productief proces. Het is leren dat van het kind zelf uitgaat en
door het kind spontaan als betekenisvol wordt ervaren. Het kind heeft belang bij wat het doet en
gaat daarom volledig op in het anticiperen en oplossen van problemen.
Het onderwijsgebeuren op school is bovendien een interactief proces tussen het kind en zijn
stimulerende omgeving. De sociale interactie tussen leraar en leerling en tussen leerlingen onderling
is een essentieel onderdeel van dit interactief proces.
Om actief leren op school te stimuleren, dienen realistische en betekenisvolle probleemsituaties
binnen de leersituatie te worden gecreëerd. De gekozen leerinhouden, de voorgestelde leerop-
drachten, de gehanteerde werkvormen, de groeperingsvormen, de voorgestelde leermiddelen en de
hulpbronnen maken hier deel van uit. Zij zullen bepalen of het kind al dan niet zijn eigen leren in
XIV OVSG-LEERPLAN WISKUNDE
handen neemt en op welke wijze.
Met het oog op actief leren is het wenselijk frontaal lesgeven te beperken. Bij voorkeur wordt
gekozen voor lessituaties, waarbij een grotere interactie tussen leerlingen onderling mogelijk wordt
en de interactie tussen leraar en leerling andere kenmerken krijgt. Ook vormen van zelfstandig
werken aan leertaken en een leerstofkeuze die gebaseerd is op waarneming in de onmiddellijke
omgeving, zullen de motivatie tot spontaan en actief leren ten goede komen.
Bij actief leren ligt de klemtoon eerder op het verwerken van, dan op de hoeveelheid aan
leerinhouden. Kennis en inzicht zijn in die mate belangrijk dat zij gekoppeld kunnen worden aan
denkhandelingen en strategische vaardigheden. Hierdoor worden ze voor het kind hanteerbaar
binnen probleemsituaties en worden ze hefbomen voor actief leren en ontwikkeling.
Onder denkhandelingen verstaan we onder meer: actief waarnemen, memoriseren, analyseren,
beoordelen, redeneren ...
Tot de strategische vaardigheden rekent men algemene probleemoplossende vaardigheden zoals
plannen, schematisch voorstellen, hoofd- en bijzaken onderscheiden, heuristiek hanteren,
vergelijken ... en meer specifieke vaardigheden die samenhangen met bepaalde aspecten van
leergebieden, zoals een rapport opstellen, een vraagstuk oplossen, expressief hardop lezen, een tekst
samenvatten ...
Het basisonderwijs schenkt met het oog op actief leren veel aandacht aan het verwerven van
strategische vaardigheden en denkhandelingen door kinderen.
Continue ontwikkelingslijn
Het aangeboden onderwijs wordt zowel naar moeilijkheidsgraad als naar inhoud afgestemd op de
ontwikkelingsmogelijkheden en -behoeften van de leerlingen. Dit vanuit de bekommernis het kind
continu ontwikkelingskansen te bieden.
Aandacht voor 'continuïteit' binnen onderwijs betekent ook dat men de drempels tussen de
verschillende fasen van de schoolloopbaan, tussen leergebieden (zie samenhang), tussen thuis- en
schoolervaringen van de leerlingen, zo laag mogelijk maakt.
De begeleiders van het kind door de basisschool moeten deze continuïteit nastreven. Voor de
schoolteamleden betekent dit gelijkgerichtheid, stimuleren van een doorlopende leer- en
ontwikkelingslijn, afspraken maken en nakomen: wie brengt welke leersituaties aan?
Schoolwerkplanning komt hier aan de orde. Bovendien zal veel aandacht gaan naar het bepalen van
de beginsituatie van de leerlingen. Informatie over hoe leerlingen leren en welke leerervaringen ze
reeds achter de rug hebben, moet de leraren helpen het kind adequaat verder te begeleiden in zijn
ontwikkeling. Deze informatie heeft niet alleen betrekking op leerinhouden, maar ook op werk- en
groeperingsvormen en op de emotionele draagkracht van het kind in verschillende leersituaties,
thuis en op school.
Afsluitend willen we opmerken dat de continuïteit binnen de basisschool moet doorgetrokken
worden naar het secundair onderwijs.
HOOFDSTUK 1 VISIE OP WISKUNDE 5 Geraadpleegde bronnen
DVO, Ontwerp visietekst eindtermen basisonderwijs, december 1992
DVO, Uitgangspunten eindtermen basisonderwijs, 16 november 1993
Het VLO in ontwikkeling, Informatieblad jrg. XXII, speciaal nummer, september 1987
OVSG, Pedagogisch project, brochure, 1992
OVSG, Maatregelen rond zorgverbreding, nota, 8 januari 1993
OVSG, Visie op zorgbreedte, Project zorgbreedte, brochure 1, september 1994
VLOR, Zorgverbreding: onze zorg, Forum Basisonderwijs, 30 april 1994
VLOR, Zittenblijven in het basis- en secundair onderwijs, advies, 1994
VLOR-Commissie Migranten, Doorstroming, document, 1992
VLOR-Raad Basisonderwijs, Aanbeveling: Eindtermen kleuter- en lager onderwijs,
RBO/PDL-JVW/AVW/001, Vlor, 8 februari 1994
6 OVSG - LEERPLAN WISKUNDE RICHTSNOER
HOOFDSTUK 1 VISIE OP WISKUNDE 7
INLEIDING
Met dit leerplan wil OVSG krachtlijnen uittekenen voor de optimalisering van het
wiskundeonderwijs in de basisscholen, autonome kleuterscholen en lagere scholen.
Dit leerplan wil in de eerste plaats een leidraad zijn voor de leraren, waarmee ze in de praktijk aan
de slag kunnen.
Door één leerplan te ontwerpen dat geldt voor zowel kleuter- als lager onderwijs, wordt aandacht
besteed aan de noodzakelijke 'doorlopende lijnen', waardoor - naar we hopen - de drempels tussen
de niveaus worden afgebouwd.
Dit leerplan biedt de mogelijkheid tot uitwerking ervan in een schoolwerkplan, een eigen
beleidsinstrument van en voor de school, dat over de verscheidene jaren wordt ontwikkeld en
waarbij rekening wordt gehouden met de lokale omstandigheden, de eigen prioriteiten en waarden.
Het laat aan iedere inrichtende macht de mogelijkheid om eigen accenten te leggen, naargelang het
pedagogisch project dat wordt nagestreefd.
De vertaling van dit leerplan naar een eigen schoolwerkplan, eventueel klaswerkplan, levert een
belangrijke bijdrage bij het zoeken naar mogelijkheden om alle kinderen van de school op weg te
zetten naar een actieve benadering van de wiskundige aspecten in de eigen leefwereld, ongeacht
leeftijd, begaafdheid, herkomst of sociale omstandigheden.
Het OVSG-leerplan wiskunde bestaat uit zes delen.
In het eerste deel, het ‘Richtsnoer bij het leerplan wiskunde in de basisschool’, wordt de OVSG-
visie op wiskunde - de basis voor dit leerplan - uiteengezet. Er wordt ingegaan op de
evaluatieproblematiek en op het gebruik van het leerplan.
Het tweede deel bevat de domeinoverschrijdende doelen en katernen.
De doelen - de strategieën en probleemoplossende vaardigheden enerzijds en attitudes
anderzijds - worden doorheen alle wiskundige activiteiten nagestreefd. Deze doelen zijn bovendien
niet leeftijdsgebonden; bepaalde aspecten van deze doelen kunnen bij verschillende leeftijdsgroepen
worden nagestreefd.
Bij de katernen treffen we 'Werken met contexten' en 'Ontluikende gecijferdheid' aan.
Het katern 'Werken met contexten' vormt de grondslag voor de vernieuwde aanpak van het
wiskundeonderwijs. In het katern 'Ontluikende gecijferdheid' wordt dieper ingegaan op aspecten, die
vooral in het kleuteronderwijs - doorheen de drie domeinen van wiskunde - aan bod komen.
In het derde, vierde en vijfde deel worden de drie domeinen van wiskunde - getallen, meten en
meetkunde - verder uitgewerkt. Deze indeling in drie domeinen werd gekozen omdat ze overeen-
komt met de domeinen zoals ze in de eindtermen zijn vastgelegd. Elk van deze delen is
onderverdeeld in twee hoofdstukken. Hoofdstuk I bestaat uit de leerlijnen of concrete doelen voor
dit domein. Het tweede hoofdstuk bevat de didactische katernen bij het overeenkomstige domein.
Deel zes tenslotte bestaat uit de verklarende woordenlijst, de materiaallijst en de bibliografie.
8 OVSG - LEERPLAN WISKUNDE RICHTSNOER
Hoofdstuk 1: VISIE VAN OVSG OP WISKUNDE
In de eindtermen voor het basisonderwijs worden voor wiskunde de minimumdoelstellingen
vermeld die op het einde van de basisschool door de meerderheid van de kinderen moeten worden
bereikt. OVSG werkt een leerplan wiskunde uit dat aangeeft hoe de gestelde eindtermen
gerealiseerd kunnen worden. Dat leerplan bevat een aantal leerlijnen waarin verschillende
tussendoelen omschreven worden. De doelen voor de kleuters komen in die leerlijnen dus voor als
tussendoel.
Iedere reeks tussendoelen leidt uiteindelijk tot de verwezenlijking van een einddoel. Zo ontstaat een
beeld van het leerproces voor wiskunde dat een kind doorloopt doorheen de basisschool. Dit beeld,
gevormd door de leerlijnen, wordt gekleurd door de visie van de samenstellers die actief zijn op het
leergebied in de basisschool. Die visie zal antwoord moeten geven op de vragen wat, hoe en
wanneer.
In dat visiestuk worden in een eerste paragraaf enkele inhoudelijke keuzes aangegeven: aan welke
criteria moeten onderwijsdoelen binnen het leergebied van de wiskunde voldoen om in het leerplan
van de basisschool opgenomen te worden?
Ook de volgorde waarin de geselecteerde doelen aangeboden worden - op welke leeftijd verwachten
we dat kinderen die doelen bereiken? - is zo'n inhoudelijke keuze. Die hangt ook samen met
didactische overwegingen: hoe leren kinderen wiskunde en hoe kan je daar als leraar best bij
aansluiten? Hierop wordt in een tweede paragraaf ingegaan.
De basisschool is per definitie zeer heterogeen. Er is immers geen preselectie, alle leerlingen
doorlopen de basisschool. Zowel inhoudelijk als didactisch zullen we hiermee rekening moeten
houden door verschillende vormen van differentiatie in het leerplan in te bouwen. De bekommernis
om de zorgbreedte binnen het wiskundeonderwijs zal doorheen de hele visietekst tot uiting komen.
Uiteindelijk leiden al deze overwegingen tot enkele uitgangspunten voor het wiskundeonderwijs in
de basisschool (paragraaf 3).
1 Doelen en inhouden
Een groot deel van de inhoudelijke keuze werd reeds bepaald bij de formulering van de
ontwikkelingsdoelen en eindtermen. Daarbij werden criteria gehanteerd van haalbaarheid en
noodzaak.
- Wat kunnen de meeste kinderen aan op wiskundig gebied op het einde van de kleuterschool
of van de lagere school?
- Wat is qua wiskunde voor henzelf en/of voor de maatschappij, waar de school hen op
voorbereidt, vereist om te leren?
Overwegingen van haalbaarheid zullen niet alleen de keuze van doelstellingen bepalen, maar ook
de volgorde. We moeten echter niet te strikt afbakenen wat kinderen van een bepaalde leeftijd
aankunnen. Dat is immers van zo veel factoren afhankelijk dat we daar moeilijk algemeen geldende
(voor alle leerlingen, voor alle scholen) uitspraken kunnen over doen. Bij de meeste doelstellingen
zullen we dan ook in een zekere leeftijdsspreiding voorzien.
Een leerdoel hoeft dus niet per se in een welbepaald leerjaar bereikt te worden. Op grond van de
haalbaarheid zal de school hier ook zelf beslissingen moeten nemen. Overigens kunnen we in het
kader van een leerplan ook uitbreidingsdoelstellingen opnemen waarvan we overtuigd zijn dat niet
HOOFDSTUK 1 VISIE OP WISKUNDE 9 de
10 OVSG - LEERPLAN WISKUNDE RICHTSNOER
meerderheid doch zelfs slechts een kleine minderheid van de leerlingen ze kan halen. Welke
doelstellingen daarvan in de klas(sen) nagestreefd zullen worden, en met welke leerlingen, wordt
dan ook weer een keuze van de leraren op schoolniveau.
Bij de keuze van wiskundige ontwikkelingsdoelen en eindtermen werd de noodzaak dat het
leerdoel moet bijdragen tot het maatschappelijk functioneren, als norm genomen. Daarnaast zullen
we ook nog doelstellingen opnemen die om een andere reden voor de leerling interessant of de
moeite waard zijn, ook al zijn ze niet strikt noodzakelijk. Of deze doeleinden door de meerderheid
van de leerlingen moeten gehaald worden (basisdoel) of niet (uitbreidingsdoel) zal dan afhangen
van twee criteria:
- Is het doel haalbaar?
- Is het inhoudelijk interessant en/of nuttig voor alle leerlingen?
Om tot haalbare en interessante doelen te komen, zal men rekening moeten houden met:
- de leerlingen uit de basisschool, hun mogelijkheden, hun ontwikkeling en de noden die
daarbij aansluiten;
- de wereld waarin zij leven, in de eerste plaats 'hier en nu', maar ook elke voorstelbare wereld
'daar en dan'. De school bereidt ook voor op een toekomstige maatschappij;
- de wiskunde als 'vak' of discipline (theoretisch) en haar toepassingsgebieden (praktisch).
Elk van deze drie punten werken we even uit, om de consequenties voor het leerplan te kunnen
aangeven.
1.1 Mogelijkheden en noden van de kinderen van de basisschool
Bij elke wiskundige activiteit op school zullen we rekening moeten houden met de beginsituatie
van de leerlingen. Daarbij houden we ook voor ogen dat die beginsituatie binnen de groep kinderen
met wie we werken, sterk verschillend kan zijn. Ze kan niet zonder meer afgeleid worden uit de
wiskundige activiteiten die voordien met de leerlingen gebeurd zijn (volgens het leerplan, het
schoolwerkplan of het handboek). Niet alle leerlingen zullen immers die voorafgaande activiteiten
op dezelfde manier verwerkt hebben. Bovendien zijn we er ons sterk van bewust dat ook heel wat
wiskunde geleerd wordt buiten de wiskundeactiviteiten of lessen.
Vooreerst wordt er veel intuïtieve of ervaringskennis opgedaan buiten de school en in het
thuismilieu. Het is belangrijk voor de school om op die spontaan verworven kennis voort te
bouwen, ze niet te negeren. Hetzelfde geldt voor leraren lager onderwijs t.a.v. de kleuterschool. De
basis van het wiskundig denken wordt (thuis en op school) op kleuterleeftijd gelegd. Denken we
maar aan het getalbegrip, het tellen, de ruimtelijke oriëntatie, ... .
Continuïteit in het leren van kinderen zal dan berusten op een weloverwogen volgorde in de
doelen die binnen een leerlijn van het leerplan voorgesteld worden, maar ook op een voortdurende
bijsturing t.a.v. de beginsituatie van de leerlingen waarmee je als leraar werkt.
Wiskunde is een leergebied dat we bij uitstek als cognitief kunnen omschrijven.
Cognitie verwijst in de eerste plaats naar denkprocessen en de resultaten daarvan. We zijn er ons
wel van bewust dat we dat denken onmogelijk kunnen stimuleren door (zeer resultaatgericht)
kinderen een reeks voor hen zeer ondoorzichtige procedures aan te leren. Wiskunde mag niet
gereduceerd worden tot kennis van de passende trucjes om tot een gewenste uitkomst te komen.
Daarom stellen we als basisprincipe voorop in dit leerplan enkel doelen op te nemen die vallen
binnen
HOOFDSTUK 1 VISIE OP WISKUNDE 11 de cognitieve mogelijkheden van een basisschoolkind.
Iedereen zal om die reden beseffen dat bv. het formeel uitvoeren van algebraïsche bewerkingen met
negatieve getallen ('min maal min is plus') buiten de basisschool gehouden wordt. Voor allerlei
andere begrippen en procedures is dat minder evident, omdat ze in vele gangbare leerplannen en
wiskundemethodes wel opgenomen waren.
Als we, vanuit het principe dat we enkel opnemen wat voor kinderen begrijpelijk is, beslissen
om een aantal zaken niet als basisdoel op te nemen, gaan we daarmee zeer bewust in tegen een
zekere traditie binnen het wiskundeonderwijs. We denken hier bv. aan
- het gros van de begrippen en bewerkingen uit de verzamelingen- en relatieleer ('moderne'
wiskunde);
- een aantal formules voor oppervlakte- en inhoudsberekening;
- een aantal meetkundige constructies met de passer, e.d..
Deze beperking lijkt ons onvermijdelijk omdat we expliciet op elk moment rekening willen houden
met de cognitieve mogelijkheden van de meerderheid van de leerlingen.
Datzelfde principe geldt niet alleen bij de selectie van leerdoelen, maar ook bij het vaststellen van
de volgorde ervan binnen een leerlijn. Wanneer zijn bv. kinderen cognitief voldoende ver gevorderd
om de procedure te begrijpen van de negenproef, die we wel als basisdoel behouden?
Selectie en volgordebepaling van leerdoelen, aansluitend bij de mogelijkheden van leerlingen,
gebeurt in een leerplan in een abstracte vorm, voor de niet bestaande gemiddelde school en leerling.
Dit betekent dat je het moet aanpassen aan de concrete situatie van jouw school en leerlingengroep.
Ook t.a.v. de keuze van uitbreidingsdoelen verwachten we dat je als leraar slechts aan die
uitbreidingsdoelen werkt, die minstens bevattelijk zijn voor dat deel van je groep aan wie je ze
aanbiedt.
Hoewel wiskunde dus in de eerste plaats een cognitief leergebied is, zou het toch een
veronachtzaming zijn van de noden van de kinderen als enkel doelstellingen van cognitieve aard
worden geformuleerd. Die kinderen zitten immers met hun totale persoonlijkheid en niet enkel met
hun hoofd in onze klas. Heel wat wiskundeactiviteiten bevatten trouwens ook affectieve, sociale,
muzische en fysisch-motorische aspecten.
Sommige daarvan zullen in andere leergebieden als expliciete doelstelling worden geformuleerd.
Waar mogelijk zullen we naar deze vakoverschrijdende doelen verwijzen. Andere nemen we toch
expliciet op als doel binnen het wiskundeonderwijs, al is de beslissing hierover wel wat arbitrair te
noemen.
In het leerplan van OVSG wordt ook aandacht besteed aan de ontwikkeling van zelfvertrouwen en
een positieve houding t.a.v. wiskunde. Zelfs het plezier vinden in wiskundeactiviteiten wordt
beschouwd als een belangrijk affectief doel. Leren samenwerken, overleggen en argumenteren over
wiskundeproblemen beantwoordt niet alleen aan een nood van de kinderen maar ook aan een
maatschappelijke behoefte.
Bij het muzische denken we niet alleen aan bv. het herkennen of realiseren van wiskundige patronen
in plastische en muzikale werken, maar evengoed aan het speels-creatieve oplossen van
wiskundeproblemen ('puzzels'), spel met wiskundige inslag (strategiespelen, zoals bv. dammen en
schaken), of het maken van schetsen en tekeningen binnen bv. het meetkundedomein.
Bij dit laatste voorbeeld stellen we ook de motorische vaardigheid om instrumenten als een passer
of een tekendriehoek te hanteren , als een wiskundig doel voorop.
12 OVSG - LEERPLAN WISKUNDE RICHTSNOER
Evenmin beperken we ons bij de formulering van wiskundedoelen tot kennis, inzichten en
vaardigheden die sterk inhoudelijk of leerstofgebonden zijn. Zo behoren eveneens tot het doel van
het wiskundeonderwijs:
- de ontwikkeling van breder toepasbare vaardigheden zoals bv. een heuristiek t.a.v.
probleemoplossing in het algemeen en wiskundeproblemen in het bijzonder;
- de uitbouw van bepaalde attitudes, zoals zin voor systematiek, nauwkeurigheid,
planmatigheid, reflectie, controle, e.d..
Dit was trouwens ook binnen de ontwikkelingsdoelen en eindtermen reeds aangegeven.
1.2 Wiskundige wereldoriëntatie
De wereld waarin we leven komt op ons af als een globale realiteit. Om daarin goed te kunnen
functioneren is het van belang die realiteit te begrijpen, o.m. door te analyseren.
Dit kan slechts door op het moment van reflectie
- afstand te nemen van de globaliteit;
- abstractie te maken van heel wat deelaspecten van de werkelijkheid;
- te proberen één deelaspect, bv. het wiskundige, wat dieper te doorgronden.
Binnen de wiskunde kan je ook nog zeer ver opsplitsen, maar dat lijkt ons voor het
wiskundeonderwijs niet opportuun. Het onderlinge verband tussen de deelaspecten en de band met
de realiteit waaruit ze gekomen zijn, dreigt daarbij verloren te gaan. Daarom houden we ons in dit
leerplan aan de drie grote domeinen die ook bij de eindtermen onderscheiden werden: getallen,
meten en meetkunde. Het onderlinge verband is ook belangrijk: bv. bij oppervlakteberekening (een
meting) worden bewerkingen op getallen uitgevoerd in functie van de vorm van een meetkundige
figuur.
In de leerlijnen die we weergeven in het leerplan zijn we vaak enkel met de wiskundige objecten uit
de drie domeinen bezig. Maar het blijft de primaire bedoeling van deze uitwerking dat het bereiken
van wiskundige doelen de kinderen helpt om de wiskundige aspecten van de hen omringende wereld
te begrijpen en er zo vat op te krijgen. Naar analogie met geletterdheid als doel van taalonderwijs,
zouden we dat gecijferdheid kunnen noemen. Dat is een bekwaamheid die maatschappelijk
functioneel is.
Leerlingen moeten eerst de wiskundige aspecten uit hun eigen leefwereld leren beheersen. We
dienen ze echter ook voor te bereiden op de maatschappelijke context waarin ze als volwassenen
moeten functioneren. Ook wiskundige aspecten uit de wereld van de volwassenen (voor zover ze
voor de basisschoolkinderen te begrijpen zijn) komen dus in het leerplan voor. Vandaar bv. de
leerlijn i.v.m. de zakrekenmachine.
We kunnen slechts van gecijferdheid spreken als wat wiskundig uitgewerkt is ook kan toegepast
worden in reële situaties. Het heeft bv. geen enkele zin kinderen procedures te leren om snel en
correct bewerkingen met getallen uit te voeren, als ze in een reële situatie niet weten welke
bewerking op welke getallen past. Het kunnen 'verwiskundigen' van realiteiten, inzicht verwerven in
de wiskundige aspecten van een context of situatie, is dus een algemeen doel van het
wiskundeonderwijs dat we ten zeerste op de voorgrond willen plaatsen.
Toch zit er in dit leerplan geen onderdeel 'vraagstukken'. Het is immers niet de bedoeling situaties
te selecteren waarbinnen de wiskundige inzichten, vaardigheden en attitudes afzonderlijk moeten
functioneren. We stellen dus niet dat leerlingen op een bepaalde leeftijd problemen moeten kunnen
oplossen van een bepaald type (bv. inkoop-verkoop-winst-verlies of bruto-tarra-netto e.d.). Wel
eisen we dat al de opgebouwde wiskundige kennis, die in het leerplan opgenomen werd, kan
toegepast worden in realistische contexten.
HOOFDSTUK 1 VISIE OP WISKUNDE 13 Het criterium voor deze contexten is dat ze relevant zijn voor de leerlingen, nu (eigen leefwereld) of
in de toekomst (maatschappelijk relevante contexten).
Het woord realistisch moet daarbij niet te strikt begrepen worden. Een fictieve wereld van bv.
heksen en kabouters kan in de leefwereld van basisschoolleerlingen even relevant zijn.
1.3 Oriëntatie in de wiskunde
In de vorige delen gaven we aan op grond van welke criteria we de wiskundedoelen in het leerplan
willen beperken:
- ze moeten binnen de mogelijkheden van de leerlingen vallen;
- die doelen moeten voor hen of voor de maatschappij relevant zijn;
- ze dienen een band te vertonen met de werkelijkheid.
Binnen deze beperking is het aannemelijk dat we naast de eindtermen en ontwikkelingsdoelen
weinig basisdoelstellingen toevoegen aan het leerplan. Wel zullen we via de leerlijnen basisdoelen
aangeven die de weg naar de eindtermen (gespreid over negen jaar basisonderwijs) kunnen
verduidelijken. Maar we willen het leerplan geenszins overladen.
Vandaar dat we ook niet in de eerste plaats ons leerplan afgestemd hebben op wat nu in het
secundair onderwijs gangbaar is als vertrekpunt voor de wiskundeleergangen. Toch zal het duidelijk
zijn dat leerlingen, die de basisdoelen uit dit leerplan bereiken, alle kansen hebben om in om het
even welke richting van het secundair onderwijs hun schoolloopbaan met succes voort te zetten.
De continuïteit is hier trouwens ook mede de verantwoordelijkheid van het vervolgonderwijs.
De logica van het wiskundig systeem heeft ook haar rechten bij leerplanontwikkeling, maar de
andere criteria geven daarvan de grenzen aan. Vanuit een puur wiskundig standpunt is het zeer
aannemelijk om te vertrekken vanuit de abstracte wiskundige structuur (bv. de verzameling) en alle
wiskundige kennis op te bouwen door ze in die verzamelingentheorie in te passen, ze er logisch
deductief uit af te leiden. Het sombegrip bv. wordt dan gedefinieerd als het kardinaalgetal van de
vereniging van twee gescheiden verzamelingen. Deze wiskundige lijn strikt volgen is in het
verleden niet haalbaar gebleken voor basisschoolleerlingen, wat aanleiding gaf tot allerlei
compromissen waarbij van de wiskundige structuur wel nog allerlei begrippen aan bod kwamen,
maar de logische samenhang verdween. Verzamelingen- en relatieleer werden zo een apart
vakonderdeel met te verregaande abstracties, hoewel men het in zijn schematische vorm (bv.
venndiagram) wel kan hanteren als een handig ordeningsmiddel, bv. in de vormleer.
Aangezien kinderen in hun cognitieve ontwikkeling eerder inductief en (zeker beneden de 12 jaar)
niet logisch-deductief kennis opbouwen, kunnen we dat laatste toch niet als enige basis voor de
aanmaak van leerlijnen blijven hanteren. De leerlijnen zullen wel moeten aansluiten bij de wijze
waarop kinderen wiskunde leren.
2 Wiskunde leren
In deze paragraaf zullen we ons algemeen uitgangspunt toelichten, nl. dat kennisverwerving en
vaardigheidsontwikkeling - ook op het wiskundig terrein - maar plaatsvinden wanneer het actief in
de geest van de lerende opgebouwd wordt. Deze idee van constructief leren zal in de klas moeten
ondersteund worden door de leerlingen te confronteren met reële problemen, die ze oplossen alleen
of in groep, waarbij die oplossingen overdacht en besproken worden met leraar en medeleerlingen.
In het oplossen van wiskundige problemen zit er een evolutie van concreet handelen naar abstract
14 OVSG - LEERPLAN WISKUNDE RICHTSNOER
denken, waarbij we kinderen bij die ontwikkeling kunnen helpen. Die hulp brengt ons bij de rol van
de leraar als begeleider van deze wiskundeactiviteiten.
2.1 Leren als constructief proces
Het meest gehanteerde onderwijsmodel op school is dat van de kennisoverdracht. De leraar geeft
informatie aan de leerlingen, toont de stappen van een procedure, verklaart en legt uit. Dat deze
overdracht van kennis niet altijd tot het gewenste resultaat leidt, weet elke leraar: er zal altijd een
verschil zijn tussen de leerstof die de leraar in de klas 'gezien' heeft en wat de leerlingen er nadien
nog van weten of kunnen. Leerlingen zijn geen lege vaten die je kan volgieten met leerstof. Als er in
hun hoofd niets gebeurt, geen mentale verwerking is van wat de leraar overdraagt, blijven de vaten
leeg.
Het leren van nieuwe kennis en vaardigheden is dus een actief proces, dat mentale inspanning en
concentratie vergt. De leerlingen moeten daartoe gemotiveerd zijn. Dit leerproces is ook cumulatief;
de mentale verwerking van nieuwe informatie gebeurt juist door het inpassen ervan in hetgeen de
leerling vooraf reeds weet en kan.
Goed wiskundeonderwijs zal er dus moeten voor zorgen dat leerlingen meer doen dan kijken en
luisteren. Hun voorkennis zal eerst moeten geactiveerd worden - niet alleen de schoolse voorkennis,
maar ook hun zogenaamd 'gezond verstand'. Als ze daarmee gewapend zijn, kunnen ze iets nieuws
verwerken en die nieuwe kennis tot hun persoonlijke eigendom maken.
Het klassieke model van de kennisoverdracht biedt weinig garantie voor die mentale activiteit van
de leerlingen. Die activiteit is er wel wanneer leerlingen zelf oplossingen zoeken voor wiskundige
problemen, oplossingen die niet voorgekauwd werden maar die ze zelf moeten construeren en
uitproberen. Constructief leren vergt dus probleemgericht onderwijs.
2.2 Wiskunde leren vertrekt vanuit reële problemen
Een probleem ontstaat in een situatie waarin iemand iets wil bereiken en niet onmiddellijk weet wat
hij moet doen om dat te verkrijgen. Niet elk probleem dat in wiskundelessen aan bod komt, is in die
zin een echt probleem voor de leerlingen. Vaak worden die problemen opgelost omdat de leraar dat
wil of omdat ze 'toevallig' als opdracht in het handboek staan.
In dat geval zijn de wiskundeproblemen geen probleem voor de leerling, het zijn de problemen van
iemand anders. Dan hebben we net als in kennisoverdrachtsituaties geen enkele garantie dat
leerlingen gemotiveerd en actief aan de oplossing van dat probleem zullen werken, geen garantie op
leren dus.
Daarom zouden de problemen waarmee we leerlingen in de wiskundelessen confronteren, door
henzelf als een probleem moeten ervaren worden, d.w.z. aan minstens enkele (en liefst zo veel
mogelijk) van de onderstaande criteria beantwoorden:
- het probleem wordt door leerlingen zelf gesteld;
- leerlingen willen het probleem oplossen omwille van de intrinsieke waarde ervan. Ze ervaren
het als de moeite waard, doen het niet alleen voor de 'schone ogen' van de leraar;
- het probleem is betekenisvol en begrijpelijk voor de leerlingen, niet alleen voor de leraar;
- het probleem heeft relevantie voor het dagelijks leven van de leerlingen binnen of buiten de
school. In dit verband spreken we van 'realistische' problemen, die met de wereld buiten de
wiskunde te maken hebben;
HOOFDSTUK 1 VISIE OP WISKUNDE 15 - de oplossingen en oplossingsmethoden zijn niet voor de hand liggend en er zijn er zelfs
verschillende mogelijk.
Aan het eerste criterium kan uiteraard slechts occasioneel tegemoetgekomen worden. Problemen die
door de leerlingen aangedragen worden, zullen niet beantwoorden aan de systematisch geplande
volgorde waarin we wiskundeleerlijnen willen laten verwerken.
Anderzijds zou het zeer jammer zijn dergelijke kansen op actief en betrokken leren te laten liggen,
door de leerlingproblemen af te doen als tijdverlies of als niet haalbaar omdat niet alle kinderen het
gestelde probleem al zouden aankunnen (“Ze kunnen dat niet, want we hebben dat nog niet
gezien.”). Het is juist bij de zelfaangebrachte problemen dat de kinderen actief hun voorkennis - ook
de informele, buitenschoolse - zullen inzetten om oplossingen te bedenken. Het werken rond reële
problemen is in deze visie zeker niet beperkt tot toepassen van wat voordien in de lessen aan bod is
gekomen. Het zelf oplossen van problemen leidt de kinderen juist tot nieuwe kennis en inzichten die
nadien in verdere wiskundige activiteiten kunnen uitgediept en ingeoefend worden.
Misschien lijkt het wel alsof we er voorstander van zijn dat elk kind voor zichzelf de wiskunde
opnieuw uitvindt. Dit is slechts ten dele waar, omdat we het leren binnen een probleemgerichte
onderwijscontext niet als een individueel proces, maar ook als een sociaal proces zien. Het is niet
omdat elke leerling zijn eigen kennis construeert dat hij niet kan leren van anderen.
2.3 Wiskundeonderwijs is interactief
Het is duidelijk dat wiskunde maar kan geleerd worden in interactie met anderen die meer bekwaam
zijn op dat vlak dan de lerende zelf. Anders kan je op de beperkte schooltijd onmogelijk komen tot
een geheel aan kennis en vaardigheden die de mensheid vele eeuwen gevergd heeft. Het zal in de
eerste plaats de taak van de leraar zijn om op het gepaste moment de leerlingen wiskundige
begrippen, symbolen en procedures aan te reiken, die hen van nut kunnen zijn bij de oplossing van
problemen.
In dit kader kan er geen sprake zijn van eenrichtingsverkeer van de leraar naar de leerling. De
leerlingen geven zelf hun oplossingswijzen, moeten hun denkprocessen verwoorden om de leraar de
kans te geven daarop in te spelen. Het kan ook de start zijn van een groepsdiscussie waarbij
leerlingen elkaars pogingen tot probleemoplossing vergelijken, over de verschillende
oplossingswijzen reflecteren en daaruit conclusies trekken. Zo leren ze ook in kleine groepjes of in
een klassengesprek van elkaar.
In een dergelijk interactief wiskundeonderwijs is er ook nog wel plaats voor individueel schriftelijk
werk, vooral in een inoefenfase waarbij bepaalde procedures die reeds verworven zijn, naar een
automatisme kunnen groeien of in een toetssituatie, waarin de leraar wil nagaan hoe ver elke
leerling gevorderd is in de verwerking van de wiskundeleerstof. Een te grote nadruk op dit
individueel schriftelijk werk, dat toch doorgaans veel tijd van de wiskundelessen inneemt, houdt
echter een aantal gevaren in, die slechts in interactie met leraar en medeleerlingen kunnen vermeden
worden. De kans is immers reëel dat bij een te lang individueel werken onhandige of zelfs foute
rekenprocedures ingeslepen worden.
Bovendien krijgt de leraar bij het nakijken van schriftelijk werk van de leerlingen enkel zicht op de
resultaten (product van het denken), maar niet op de wijze waarop die resultaten ontstaan zijn (het
denkproces zelf). Zijn eventuele hulp aan leerlingen die fouten maken moet nochtans op het proces
gericht zijn.
16 OVSG - LEERPLAN WISKUNDE RICHTSNOER
2.4 Didactische hulpmiddelen
Het wiskundig denken stoelt op concrete handelingen in de realiteit. Kinderen zullen geen sommen
kunnen maken als ze niet eerst dingen geteld en bij elkaar gevoegd hebben. Ze zullen niet kunnen
werken met breuken en verhoudingen als ze niet eerst concrete verdeelsituaties hebben
meegemaakt. Ze zullen eerst figuren bekeken, gevouwen, geknipt en getekend hebben voor ze deze
kunnen beschrijven en klasseren op grond van meetkundige eigenschappen, enzovoort.
Hoewel al deze concrete handelingen ook buiten de klas voorkomen, zullen we die in het
wiskundeonderwijs zelf moeten voorzien, om zeker te zijn dat we er voor alle leerlingen kunnen op
voortbouwen. Het is pas als deze ervaringskennis in voldoende mate aanwezig is, dat de stap naar
de mentale voorstelling en het zgn. 'verinnerlijkt' handelen met die mentale voorstellingen of met de
wiskundige symbolen die daarvoor staan, kan gezet worden.
Voor veel leerlingen is die stap niet gemakkelijk. Goed wiskundeonderwijs zal hen daarbij helpen
door tussen het concrete (de realiteit) en het abstracte (de wiskunde) een brug te slaan aan de hand
van schema's, voorgestructureerd didactisch materiaal en modellen. Voorbeelden van dergelijke
tussenstappen op weg naar de uitvoering van wiskundige operaties of denkprocessen zijn o.m. het
busmodel, getalbeelden, het honderdveld, de abacus, de verhoudingstabel, stroken en roosters... Bij
het aanbieden van deze schema's, modellen en materialen staat de leraar voor didactische keuzes:
welk materiaal zal hij aanbieden, aan wie, wanneer, enz.
In het kader van dit leerplan zullen we daar vooral op ingaan in de katernen met didactische
suggesties.
2.5 De rol van de leraar
Ook in een vernieuwd wiskundeonderwijs waar de activiteit en de eigen productie van de kinderen
aan belang winnen, blijft de leraar de spilfiguur, die de verantwoordelijkheid draagt voor de
wiskundige vorming van de kinderen. Hoewel hij niet meer in de eerste plaats zijn eigen wiskundige
kennis overdraagt aan de kinderen door uit te leggen en te demonstreren, is die kennis wel een eerste
vereiste. De leraar moet de verbanden zien binnen de wiskunde, hij stelt vragen die vanuit de
realiteit de wiskundige problemen oproepen, ... . Het is uiteraard ook de leraar die, geholpen door
een leerplan en eventuele handboeken, de systematiek en de volgorde van de wiskundeactiviteiten in
de klas zal bepalen.
Op de didactische rol van de leraar zijn we in de vorige paragraaf al even ingegaan in verband met
de keuze van didactische hulpmiddelen. Hoewel we er geen voorstanders van zijn om snel formele
regels en vaste procedures aan alle kinderen aan te leren, blijft het de beslissing van de leraar welke
kinderen hij welke hulp zal bieden bij het oplossen van wiskundige problemen. De tussenstappen en
procedures die daarbij aangereikt worden, mogen uiteraard de algemene doelstelling van het
wiskundeonderwijs (kinderen kunnen zelfstandig wiskundeproblemen oplossen die zich in de
werkelijkheid voordoen) niet tegengaan. Dat wil zeggen dat de hulp van de leraar erop moet gericht
zijn dat de kinderen met die hulp verder actief kunnen zoeken, niet dat het denken in hun plaats
gebeurt.Leerlingen met rekenmoeilijkheden zullen vaak terugvallen op een ‘veilige’ strategie: ze
werd hen door de leraar aangereikt, is vaak minder flexibel maar geeft hun toch de zekerheid om
ook tot een oplossing van het probleem te komen. Centraal bij deze benadering die erop gericht is
rekenproblemen te voorkomen, blijft dat ook zwakkere rekenaars recht hebben op (in)zicht op wat
ze aan het doen zijn. We mogen ons bij deze kinderen niet beperken tot inslijpen van algoritmes en
trucs die dan blind worden toegepast. Ze moeten zich bij de oefeningen die ze maken altijd iets
kunnen voorstellen.
Wiskundeonderwijs is, zoals reeds duidelijk werd gesteld, in sterke mate interactief. Dat betekent
HOOFDSTUK 1 VISIE OP WISKUNDE 17 dus
18 OVSG - LEERPLAN WISKUNDE RICHTSNOER
ook dat de leraar in de eerste plaats een gespreksleider is. Hij zorgt daarbij voor een ordelijk verloop
van het gesprek door een aantal regels af te spreken (niet door elkaar praten, hand opsteken als
iemand iets niet begrijpt, e.d.). Maar hij is vooral inhoudelijk de gespreksleider, door de vragen die
hij stelt aan de kinderen, door in te gaan op wat de kinderen aanbrengen, door de ideeën van
kinderen met elkaar te confronteren, door de discussie (dus goede verwoording van een wiskundige
gedachtegang) te stimuleren enz.
Terwijl de leerlingen alleen of in groep aan het werk zijn, heeft de leraar een observerende rol. Hij
kijkt daarbij niet alleen of een antwoord op een wiskundige opdracht juist of fout is, maar richt zich
in de eerste plaats op het achterhalen van hoe bij de kinderen de antwoorden totstandkomen.
Evaluatie en diagnose gaan hier samen. Dan pas kan hij specifieke hulp geven aan de kinderen die
dat nodig hebben. Die specifieke, gedifferentieerde hulp aan kinderen lijkt ons het belangrijkste
aspect van zorgbreedte in het wiskundeonderwijs. Die eerste remediëring van rekenmoeilijkheden
behoort tot de basisverantwoordelijkheid van de klasleraar. Hij stelt een handelingsplan voor waarin
activiteiten vermeld worden die het moeten mogelijk maken dat de leerling zo snel mogelijk
opnieuw aansluit bij het in de leerlijn geschetste leerproces. Bij de uitvoering van dat plan kan een
taakleraar ondersteuning bieden.
Samengevat kunnen we de rol van de leraar, als begeleider van het wiskundeleerproces van
kinderen, omschrijven als een samengaan van vijf functies:
- wiskundige
- didacticus
- gespreksleider
- observator
- helper.
Bij het vervullen van die meervoudige rol wil dit leerplan een hulp zijn voor de leraren.
3 Uitgangspunten van het onderwijs in wiskunde
De basisschool heeft de taak om haar leerlingen de basisvaardigheden i.v.m. rekenen en wiskunde
bij te brengen. De wijze waarop dit moet gebeuren is de laatste jaren onderwerp van heel wat
discussie. Een fundamenteel element in deze discussie is de tegenstelling rond het uitgangspunt van
het 'wiskunde-onderwijzen' op de basisschool.
Enerzijds kan je als uitgangspunt het logisch geordende wiskundesysteem nemen. Een getal is dan
bv. een voorstelling van de kardinale eigenschap van een verzameling. Een vierhoek is dan een
vlakke figuur gevormd door snijdende rechten. Logischerwijs wordt het getalinzicht dan ook
opgebouwd door te werken met hoeveelheden (elementen) geordend in verzamelingen. Het
meetkundeonderwijs start dan met de initiatie in begrippen als 'punt', 'rechte' en 'evenwijdig'. Het
schijnbare voordeel van deze onderwijsstrategie is dat leerlingen 'van meet af aan' de juiste, vaak
theoretische begrippen leren hanteren.
Het wiskundesysteem wordt op een logisch geordende manier verkend. Fouten van leerlingen
worden door de strikte structurering van de leerinhouden vermeden, terwijl ze juist van fouten leren
als ze actief, al experimenterend, een leerdomein verkennen. De realisatie van het inzicht in het
systeem wordt zonder 'overbodige' zijsprongen aangepakt. De dagelijkse realiteit, waarin kinderen
met wiskunde worden geconfronteerd, wordt zo veeleer als een stoorzender gezien. Het leerproces
van de leerlingen wordt dan in grote mate bepaald door de cursorische opbouw van het vak. Het
kind wordt aan het begin van het leerproces als een onbeschreven blad beschouwd.
HOOFDSTUK 2 EVALUATIE IN EN VAN HET WISKUNDEONDERWIJS 15
Anderzijds kan je als uitgangspunt de leefwereld van de kinderen nemen. Je reken-wiskundeonder-
wijs start dan met de vraag wat kinderen al kunnen en kennen. Voor welke begrippen en vaardighe-
den vertonen kinderen, rekening houdend met hun ontwikkeling, spontane belangstelling?
Volgens deze opvatting start de ontwikkeling naar getalbegrip bij het vaak spontane, intuïtieve
tellen van het kind. Het meetkundeonderwijs start met het bekijken van een aantal vormen die voor
kleine kinderen 'herkenbaar' zijn: het vierkant, de rechthoek, de cirkel. Theoretische begrippen
worden niet van meet af aan aangeboden maar moeten 'groeien' tijdens het leerproces. Er wordt
gestart vanuit situaties die in de leefwereld van de leerlingen 'voorstelbaar' zijn. Inzicht in het
wiskundesysteem kan pas ontstaan nadat het kind inzicht heeft in de context van de reken- of
wiskundesituatie. Dit leerproces wordt bepaald door de ontwikkeling van het kind en door zijn
eigen leefwereld. De leerinhouden van het wiskundesysteem vormen niet het uitgangspunt van het
onderwijs in de basisschool. De leraar organiseert het onderwijsleerproces zò dat het maximaal
aansluit bij de belangstelling van de leerlingen.
De leerlijnen, die door OVSG werden uitgewerkt, leunen dichter aan bij de tweede visie dan bij de
eerste. De keuze om te vertrekken bij de leefwereld van het kind kan verantwoord worden door
te verwijzen naar de uitgangspunten wiskunde zoals ze werden geformuleerd in het document
'Eindtermen' van de DVO. Ten overvloede wordt onderstreept dat in het basisonderwijs niet
gestreefd moet worden naar een grote 'wiskundekennis' bij de leerlingen. De kwantiteit zal in dit
verband eerder een belemmering zijn voor de kwaliteit van het wiskundeonderwijs.
Naast de basisvaardigheden die in ruime mate aan bod dienen te komen, moet vooral aandacht
besteed worden aan de wiskundige activiteit van de leerlingen, aan de band van het rekenen en de
wiskunde met de realiteit, aan het samen ontdekken van structuren, problemen en oplossingswijzen.
Dat wil niet zeggen dat de volgorde van doelen die we nastreven, niet mee door het wiskundig
systeem bepaald is, bv. bij de geleidelijke opbouw van het tiendelig talstelsel (van klein naar groot),
of in de volgorde van de bewerkingen (eerst begripsvorming in optellen en aftrekken, nadien
vermenigvuldigen en delen), ... .
Het wiskundig systeem is daarbij echter niet prioritair. We hechten meer belang aan hoe kinderen
cognitief ontwikkelen, hoe ze dus wiskunde kunnen leren en hoe we daarbij aansluitend wiskunde
kunnen onderwijzen.
16 OVSG-LEERPLAN WISKUNDE RICHTSNOER
Hoofdstuk 2: EVALUATIE IN EN VAN HET WISKUN-
DEONDERWIJS
In een leerplan wordt uitgestippeld welke algemene en concrete leerdoelen op welk moment bereikt
moeten worden. Het spreekt dan haast vanzelf dat daarbij ook aangegeven wordt op welke manier
een leraar kan nagaan of zijn leerlingen die doelen effectief bereikt hebben. We stelden trouwens
reeds eerder (Hfst. 1, 2.5.) dat observatie, evaluatie en diagnose expliciet tot de rol behoren van de
leraar die wiskunde onderwijst.
Deze problematiek is uiteraard niet nieuw. Leraren hebben altijd het toetsen van wiskundeprestaties
van hun kinderen tot hun opdracht gerekend en hadden daar weinig problemen mee. Heel wat
wiskundeleerstof is relatief makkelijk toetsbaar. In alle wiskundemethodes voor de basisschool
vinden we opgaven bedoeld om individueel en schriftelijk door de leerlingen te laten uitvoeren.
Deze kunnen ook als een toets beschouwd worden. Het probleem is wel dat ze zich meestal
beperken tot rekenfeitjes, cijferprocedures en standaardoplossingen bij toepassingsproblemen. In de
eindtermen - en derhalve ook uiteraard ook in dit leerplan - zijn echter ook heel wat andere doelen
geformuleerd. Deze andere doelen vergen een ander soort toetsing.
1 Nieuwe doelen, nieuwe toetsen
In de doelen van het wiskundeonderwijs kunnen we verschillende niveaus onderscheiden en bij elk
van die niveaus passen andere toetsen of toetsprocedures (Van Reeuwijk, 1994).
- Lagere doelen: de traditionele schoolwiskunde behoort tot deze categorie. Definities, feiten,
technische basisvaardigheden, standaardalgoritmes situeren zich op dit niveau. In het leerplan
zijn die terug te vinden in de domeingebonden leerlijnen, getallen, meten en meetkunde. Deze
doelen zijn eenvoudig te toetsen bv. via een rij kale sommen (schriftelijk) of via een tempotoets
(optellen en aftrekken tot 10, splitsingen, tafels,...)
- Middendoelen: integreren van verschillende leerstofgebieden, leggen van verbanden, oplossen
van problemen in toepassingssituaties. Dergelijke doelen komen in het leerplan vooral
domeinoverschrijdend voor (Strategieën en probleemoplossende vaardigheden, Deel II, hfst. 1,
1), maar zijn soms ook binnen één domein geformuleerd. Bv. grafieken (leerlijn 1.18 van domein
getallen - bewerkingen) en schaal (leerlijn 2.3 van domein meten) zijn weliswaar in één domein
ondergebracht, maar de meeste daar geformuleerde doelen vergen een integratie van doelen in de
drie domeinen, doen beroep op getallenkennis, meetvaardigheid en meetkundige inzichten.
Toetsen naar doelen op dit niveau zullen hoofdzakelijk vraagstukken bevatten die via
verschillende oplossingswegen en -strategieën kunnen opgelost worden.
- Hogere doelen: op dit niveau plaatsen we complexe doelen zoals wiskundig redeneren,
communiceren, ontwikkelen van een kritische houding, creativiteit, interpreteren, reflecteren,
mathematiseren... Deze hogere doelen zijn in het leerplan vooral bij de attitudes (Deel II, hfst. 1,
2.) terug te vinden. Toetsing van deze doelen zal naast schriftelijke individuele antwoorden op
open vragen, ook observatie vergen van de interactie in de klas bij het oplossen van problemen.
Niet elke toets die een leraar van de kinderen afneemt moet doelen bevatten op deze drie niveaus.
Maar het evaluatieprogramma van de school op jaarbasis zal toch moeten vermijden dat men zich te
eenzijdig concentreert op de lagere doelen. Het ontwikkelen van een evaluatieprogramma kan best
vertrekken van volgende principes (De Lange, 1992):
- toetsen moeten een geïntegreerd deel uitmaken van het leerproces, zodat het leren zelf erdoor kan
verbeteren;
HOOFDSTUK 2 EVALUATIE IN EN VAN HET WISKUNDEONDERWIJS 17
- toetsen zouden eerder moeten laten zien wat leerlingen weten of kunnen, dan wat zij (nog) niet
weten (positieve toetsing);
- het geheel aan toetsen zou alle doelen van het wiskundeonderwijs moeten omvatten;
- de toetsvorm of inhoud zou niet in de eerste plaats bepaald mogen worden door de
mogelijkheden om gemakkelijk te corrigeren of objectief te scoren;
- toetsen moeten praktisch genoeg zijn in afnameprocedure om in de courante schoolpraktijk te
kunnen opgenomen worden.
Laten we eerst nog voorbeelden bekijken van vragen en opdrachten die de mogelijkheid in zich
houden om hogere doelen te toetsen. Wellicht zijn daar nog concrete aanwijzingen uit te halen voor
een meer evenwichtig toetsprogramma.
Voorbeeld 1: Uit: Jansen, 1996
p.6 Een beer weegt 500 kg
Hoeveel kinderen wegen samen net zoveel
als een beer?
Het antwoord dat de kinderen hier geven in het hokje is op zichzelf van weinig belang, er zijn
trouwens meerdere antwoorden mogelijk, afhankelijk van de veronderstelling die de leerling maakt
over het gemiddeld gewicht van een kind. Als de kinderen het algoritme van de staartdeling geleerd
hebben zal deze vraag wellicht vooral die rekenvaardigheid toetsen (doel op lager niveau). Maar de
vraag is zeer goed bruikbaar bij kinderen die dat nog niet kennen en het probleem op een andere
manier oplossen. Bij een dergelijke vorm van ‘vooruit-toetsen’ krijgt de leraar zicht op hun
strategieën en probleemoplossende vaardigheden, en op het niveau van hun wiskundig redeneren.
Door niet de uitkomst, maar de kladblaadjes te bekijken (de oplossingsweg) krijg je informatie over
middendoelen en weet je als leraar ook hoe je verder je onderwijs kan afstemmen op het wiskundig
functioneren van kinderen op dat moment.
(zie voorbeelden van kladblaadjes: afb. 2, Janssen, 1996, p.7)
18 OVSG-LEERPLAN WISKUNDE RICHTSNOER
Voorbeeld 2: (Schwartz, 1992)
Je kan van een toetsvraag die peilt naar een lager doel (cijferalgoritme bv. voor de aftrekking) ook
een vraag maken die eerder een beroep doet op inzicht in de betekenis van de aftrekking, dan op de
mechanische beheersing van de rekenprocedure.
In plaats van:
een vraag met één correct antwoord,
krijg je dan een vraag met zeer veel mogelijke correcte
(en wellicht nog veel meer foute) antwoorden.
Bereken 7 102
- 4 595
Hieronder zie je twee aftrekkingen. Schrijf nu een aftrekking op
waarvan het resultaat ligt tussen de uitkomsten van de twee gegeven
aftrekkingen
7 102 6 421
- 4 595 - 3 976
HOOFDSTUK 2 EVALUATIE IN EN VAN HET WISKUNDEONDERWIJS 19
Zoals bij het voorbeeld van de beer zullen de kladblaadjes de leraar weer veel leren (bv. rekenen de
kinderen de twee aftrekkingen eerst uit?), al is er hier uit het antwoord zelf ook al een en ander af te
leiden over het inzicht en de inventiviteit van de leerlingen.
Dit voorbeeld toont aan dat deze hogere orde capaciteiten ook kunnen getoetst worden in domeinen
waar men vaak minst variatie mogelijk acht zoals het cijferen.
Het toetsen van echte hogere doelen (attitudes en wiskundige redeneringen) vergt dan weer wat
meer: een opdracht die veel eigen productie van de leerlingen noodzakelijk maakt, zowel in groep
als individueel. Kladblaadjes en schriftelijke notities zullen dan aangevuld moeten worden met
observatie van de interactie tussen de leerlingen.
Voorbeeld 3: (naar Treffers, De Moor en Feijs, 1989)
Na enkele lessen waarbij de leerlingen van het hoogste leerjaar gezocht hebben hoe groot de
oppervlakte van België is, volgt een toetsles vertrekkende van volgende probleemstelling: Zou de
hele Belgische bevolking in theorie op 1 km² kunnen staan? Zou de wereldbevolking in de provincie
Oost-Vlaanderen kunnen staan? De eerste vraag als groepswerk, de tweede individueel op te lossen.
Samenvattend kunnen we t.a.v. het wiskundetoetsprogramma voor een schooljaar stellen:
- Conventionele, individuele, schriftelijke toetsen blijven een belangrijk onderdeel van het
toetsprogramma.
- Deze toetsen kunnen door de leraar zelf opgesteld worden, uit de methodes gehaald worden of
verkregen bij instanties die grotere populaties toetsen (OVSG-eindtoets, CITO-toetsen,...).
- De toetsvragen voor de lagere doelen zijn vaak vragen met één correct antwoord, dat kort te
geven is. Meerkeuzevragen zijn in wiskundetoetsen vaak overbodig om ze objectief te kunnen
scoren. Enkel bij bepaalde onderdelen (schatten bv.) is deze vraagvorm interessant.
- Om midden en hogere orde doelen te kunnen toetsen moeten in het toetsprogramma ook opgaven
zitten waarbij meerdere antwoorden mogelijk zijn en waarbij naast het resultaat ook de
oplossingsweg in rekening gebracht wordt (‘kladblaadjes’ zijn een wezenlijk onderdeel van het
antwoord op de toetsopgave).
- Eigen productie van leerlingen als reactie op open probleemstellingen bieden de kans om hogere
doelen te toetsen. Die productie is zowel mondeling als schriftelijk, zowel individueel als in
groep. Observatie van interactie vormt dus een noodzakelijke aanvulling in een uitgebalanceerd
evaluatieprogramma.
2 Waarom toetsen?
Ook in het doel zelf van toetsen en evalueren is een verschuiving merkbaar. De reden waarom we
een wiskundetoets afnemen in de klas zal niet meer in de eerste plaats zijn dat je zo op een relatief
gemakkelijke en objectieve manier een rapportcijfer kan verkrijgen. Toetsen gaan we vooral
afnemen omdat je daarmee feedback kan geven aan de leerlingen zelf en hun ouders. Rapportering
blijft dus een evident vervolg van een toetsing. Maar je kan beter meer rapporteren dan enkel een
cijfer of een score. Die score krijgt meer betekenis wanneer je daarbij kan aangeven hoe die score
ontstaan is, voor welk toetsonderdeel (welk wiskundedoel) de prestatie boven of onder de
verwachting lag (vergeleken bij andere kinderen van de klas of van die leeftijdsgroep in geval je
werkt met genormeerde toetsen), wat de mogelijke oorzaken zijn van fouten in de toets en wat je
daar als leraar kan aan verhelpen...
Wanneer je als leraar deze gegevens aan een toetsscore toevoegt bij de rapportering heb je meteen
de basis gelegd voor je verdere didactisch handelen met de getoetste groep leerlingen. Want de
feedback voor de leraar zelf is natuurlijk de hoofdreden om toetsen in de klas af te nemen. Hoewel
de leraar door dagelijks met de kinderen te werken wel een globaal idee heeft over de sterke en
HOOFDSTUK 3 GEBRUIK VAN HET LEERPLAN 21
zwakke punten van hun wiskundig functioneren kan een toets heel wat bijkomende en meer
objectieve specifieke informatie opleveren, waarmee de leraar nadien aan de slag kan gaan.
Voor leerlingen die zwak presteren zal een periodieke beheersingstoets over de verschillende
onderdelen van de wiskundeleergang meestal niet volstaan. Voor een beperkte groep (bv. de 25%
zwakste presteerders op de beheersingstoets) moet de diagnose fijner zijn, om hen effectief te
kunnen helpen. Die verfijning kan de vorm aannemen van een diagnostische toets (een beperkt
onderdeel met vooral aandacht voor hoe fouten tot stand komen) eventueel aangevuld met een
individueel diagnostisch gesprek met de leerling om duidelijker te zien hoe hij te werk gaat en waar
zijn problemen liggen bij het oplossen van wiskundeopgaven. Op deze diagnostische gegevens kan
dan een handelingsplan gebaseerd worden: voor een groepje leerlingen (differentiatie) of voor een
individuele leerling (remediëring eventueel in samenwerking met een taakleraar).
Omdat het wiskunde leren in continuïteit verloopt kan de begeleiding door de leraren ook best een
continu proces vormen.
Daarom is het aangewezen de toetsgegevens van de leerlingen samen te brengen in een of ander
leerlingvolgsysteem, dat doorheen de hele basisschool bijgehouden wordt.
Minimaal is daarin de screening opgenomen voor alle leerlingen voor hun wiskundig functioneren.
Dat betekent dat minstens tweemaal per jaar een beheersingstoets wordt afgenomen, waarbij ook
aandacht is voor de hogere doelen van het wiskundeonderwijs. Voor de zwakste groep komen in het
leerlingvolgsysteem bijkomende diagnostische gegevens, acties ter remediëring en de resultaten van
die acties.
Op die manier zal een toetsingsprogramma doorheen de hele school het wiskunde leren van alle
kinderen ondersteunen, en kunnen we de zorgbreedte bereiken die we beogen.
22 OVSG-LEERPLAN WISKUNDE RICHTSNOER
Hoofdstuk 3: GEBRUIK VAN HET LEERPLAN
Om het leerplan efficiënt te kunnen gebruiken, geven we hierna enige verduidelijking bij:
- de domeinoverschrijdende doelen;
- de leerlijnen (voor de domeinen: getallen, meten en meetkunde);
- de didactische katernen.
1 Domeinoverschrijdende doelen
De domeinoverschrijdende doelen zijn niet leeftijdsgebonden. Aspecten van de doelen kunnen
zowel bij jongere als bij oudere leerlingen aan bod komen. Van deze doelen zijn daarom geen
leerlijnen gemaakt.
1.1 Strategieën en probleemoplossende vaardigheden
Voor de strategieën en probleemoplossende vaardigheden werd de volgende structuur gehanteerd.
1 doelstelling ⇐⇐⇐⇐ I
ET
Fase 1
⇑⇑⇑⇑ III
doelstelling ⇐⇐⇐⇐IV
Aspecten: ⇐⇐⇐⇐V
-
⇑⇑⇑⇑ II
Voorbeelden ⇐⇐⇐⇐ VI
I Nummer van de doelstelling en de doelstelling
II ET = eindterm
In deze kolom staat het nummer van de eindterm(en) waarmee de doelstelling overeenstemt.
Eindtermen die met een * zijn aangeduid, zijn na te streven doelen.
III Sommige doelen worden opgesplitst in fasen. In dergelijke gevallen krijgen de fasen een
nummering.
IV De doelstelling bij de overeenstemmende fase
V Elk doel omvat een aantal aspecten. De opsomming van de aspecten is niet limitatief.
VI Bij elk doel worden een aantal voorbeelden gegeven. Soms geven we voorbeelden van bij
jonge kinderen, soms van bij oudere kinderen. Bepaalde aspecten van bijna elk doel kunnen
zowel bij jongere als bij oudere leerlingen worden nagestreefd.
HOOFDSTUK 3 GEBRUIK VAN HET LEERPLAN 23
1.2 Wiskundeattitudes
In het kader wordt het doel met de verwijzing naar de overeenkomstige eindterm gegeven. In
de tekst onder het kader wordt het doel verduidelijkt en worden verschillende voorbeelden
gegeven.
2 Leerlijnen
Het eerste hoofdstuk binnen de domeinen getallen, meten en meetkunde geeft telkens de
leerlijnen voor het overeenkomstige gebied.
Hierna geven we de structuur die gehanteerd wordt bij de leerlijnen.
Domein ⇑⇑⇑⇑ I
OD
-
ET
⇑⇑⇑⇑ II
kleuters
⇑⇑⇑⇑ III
lagereschoolkinderen
⇑⇑⇑⇑ IV
1ste fase
2de fase
6j.
->
8j.
->
10j.
->
1.1 LEERLIJN ⇐⇐⇐⇐V
1 doelstelling ⇐⇐⇐⇐ VI
2 doelstelling
VII
3 doelstelling
VIII
IX
X
4 doelstelling ⇐⇐⇐⇐ XI
I Naam van het domein
De naam van het domein, eventueel aangevuld met een onderverdeling van het domein (bv.
domein getallen wordt onderverdeeld in getallenkennis en bewerkingen).
II OD = ontwikkelingsdoel; ET = eindterm
Het nummer verwijst naar het ontwikkelingsdoel of de eindterm.
Eindtermen die met een * zijn aangeduid, zijn na te streven doelen.
III De kleuterperiode wordt ingedeeld in twee ontwikkelingsfasen.
IV De lagereschoolperiode wordt ingedeeld volgens de leeftijd van de leerlingen.
XXIV OVSG-LEERPLAN WISKUNDE RICHTSNOER
V Nummer en naam van de leerlijn
Elk leerdomein telt verschillende leerlijnen.
VI Doelstelling en haar nummering binnen de leerlijn.
VII Grijsgetint vak links van een vak met een zwarte streep
De doelstelling kan in deze groep enkel bij die kinderen die eraan toe zijn worden
nagestreefd.
VIII Grijsgetint vak met onderaan een zwarte streep
De doelstelling wordt uitdrukkelijk bij deze groep(en) nagestreefd.
IX Grijsgetint vak rechts van een vak met een zwarte streep
De doelstelling zal waarschijnlijk door een groot deel van de leerlingen bereikt zijn, maar ze
wordt nog nagestreefd door leerlingen die ze nog niet (ten volle) hebben bereikt.
X Witte vakken rechts van grijsgetinte vakken
Er mag verwacht worden dat de overgrote meerderheid van de leerlingen de doelstelling
heeft bereikt.
XI Cursief gedrukte doelstelling
Dit is geen basisdoel maar een uitbreidingsdoel. Er worden dan ook geen vakken voorzien
met een zwarte streep. De school beslist zelf of en voor wie ze dit doel in hun werkplan
opneemt. De grijsgetinte vakken geven aan bij welke groepen leerlingen deze doelstellingen
eventueel kunnen worden nagestreefd.
3 Didactische katernen
De link tussen de leerlijnen en de verschillende didactische katernen verschilt van katern tot
katern.
Het katern 'Werken met contexten' is niet te koppelen aan een of meer leerlijnen. Contexten
vormen de rode draad doorheen het hele wiskundeonderwijs.
Het katern 'Ontluikende gecijferdheid' geeft specifieke suggesties voor het kleuteronderwijs.
De suggesties zijn te koppelen aan verschillende leerlijnen uit de drie domeinen van
wiskunde.
De andere katernen zijn volledig opgenomen binnen één van de drie domeinen van
wiskunde.
Voor de domeinen meten en meetkunde is telkens één katern voorzien.
Bij het domein getallen treffen we zeven katernen aan.
Sommige van deze katernen sluiten aan bij één leerlijn (bv. tabellen en grafieken), andere
geven suggesties bij verschillende leerlijnen uit dit domein (bv. katern cijferen bij de
leerlijnen 1.20 tot en met 1.24).
Recommended