integracion por Partes,Sustitucion y Fracciones Parciales

INTEGRANTES DEL EQUIPO

• Piedra Cabrera Laura Ruby• Ramírez Escamilla Betsy Jocelyn• Zinzun Gahona Karla Garely• Solís Sánchez Dulce Beatriz• García Gutiérrez Yair Abiran

• LABORATORISTA QUIMICO 5AL T/V

TEMAS A EXPONER

INTEGRACION POR PARTES

INTEGRACION POR SUSTITUCION

FRACCIONES PARCIALES

INTEGRACION POR

PARTES

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Reglas para elegir u y dv:

• Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

• Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como dv.

• Cuando la expresión para integrar es el producto de dos funciones, lo mejor es seleccionar la de apariencia mas compleja, con tal que pueda integrarse, como parte de dv.

¿Qué es la Integración por Partes?

∫𝒖 ∙𝒅𝒗=¿𝒖 ∙ 𝒗−∫𝒗 𝒅𝒖  ¿

I L A T EInversa trigonométrica

Logarítmica

Algebraica

Trigonométrica

Exponencial

Para elegir “u”, se toma la primera función que ocurra de izquierda a derecha en correspondencia con la palabra ILATE. Por ejemplo, en pues es la función algebraica. Con esa elección, es el resto, o sea: .

EJERCICIOSEjemplo de la integración por partes de una función algebraica y una trigonométrica:

Por la palabra ILATE vemos que “A” (algebraica) va antes de la “T” (trigonométrica) por lo tanto se le considera a:u dv

Derivar u𝒖=𝒙

𝒅𝒖𝒅𝒙

=  𝒅𝒅𝒙

 𝒙

𝒅𝒖𝒅𝒙

 =𝟏  

𝒅𝒖=𝒅𝒙

Integrar dv

∫𝒅𝒗=∫𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙𝒗=𝒔𝒆𝒏 𝒙

Utilizando la ecuación del método de integración por partes:

∫𝒖 ∙𝒅𝒗=¿𝒖 ∙ 𝒗−∫𝒗 𝒅𝒖  ¿∫𝒙 ∙𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙=¿ 𝒙 ∙ 𝒔𝒆𝒏𝒙−∫ 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒅𝒙  ¿

∫𝒙 ∙𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙=¿ 𝒙 ∙ 𝒔𝒆𝒏𝒙− [−𝒄𝒐𝒔 𝒙 ]+𝑪 ¿

∫𝒙 ∙𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙=¿ 𝒙 ∙ 𝒔𝒆𝒏𝒙+𝒄𝒐𝒔 𝒙+𝑪 ¿

Ejemplo de la integración por partes de una función algebraica y una logarítmica:

Por la palabra ILATE vemos que “L” (logarítmica) va antes de la “A” (algebraica) por lo tanto se le considera a:

u dvDerivar u

𝒖=𝒊𝒏𝒙𝒅𝒖𝒅𝒙

=  𝒅𝒅𝒙

𝒊𝒏 𝒙  

du=𝒅𝒙𝒙

Integrar dv

∫𝒅𝒗=∫𝒅𝒙𝒗=𝒙

Utilizando la ecuación del método de integración por partes:

∫𝒖 ∙𝒅𝒗=¿𝒖 ∙ 𝒗−∫𝒗 𝒅𝒖  ¿∫ 𝒊𝒏𝒙 ∙𝒅𝒙=¿ 𝒙 ∙ 𝒊𝒏 𝒙−∫𝒙

𝒅𝒙𝒙

¿

∫ 𝒊𝒏𝒙 ∙𝒅𝒙=¿ 𝒙 ∙ 𝒊𝒏 𝒙−∫𝒅𝒙 ¿

∫ 𝒊𝒏𝒙 ∙𝒅𝒙=¿ 𝒙 ∙ 𝒊𝒏 𝒙−𝒙+𝑪 ¿

INTEGRACIÓN POR

SUSTITUCIÓN

TRIGONOMÉTRICA

¿Qué es la Integración por sustitución trigonométrica?

• Cuando un integrando contiene potencias enteras de x y potencias enteras de alguna de las expresiones:

Es posible que se puedan evaluar por medio de una sustitución trigonométrica.

Caso 1. Integrandos que contienen

• En este caso se utiliza la siguiente representación:

𝒂𝒙

√𝒂𝟐− 𝒙𝟐

𝜽

A partir de ella, se define:

Caso 2. Integrandos que contienen

• En este caso se utiliza la siguiente representación:

𝒂

𝒙√𝒂𝟐+𝒙𝟐

𝜽

A partir de ella, se define:

Caso 3. Integrandos que contienen

• En este caso se utiliza la siguiente representación:

𝒂

𝒙√𝒙𝟐−𝒂𝟐

𝜽

A partir de ella, se define:

Proceso de Integración mediante sustitución trigonométrica. 1. Proponer la sustitución adecuada.2. Reemplazar los términos en la integral a partir de la sustitución

propuesta.3. Resolver la integral equivalente obtenida al reemplazar los términos

a partir de la sustitución propuesta.4. Expresar la solución de la integral equivalente a los términos de la

sustitución original.

EjemploResolver:

Paso 1.

Como el radical tiene la forma , tenemos una integral del CASO 1; el cambio indicado es:

𝒙=𝒂𝒔𝒆𝒏𝜽

Con ello tenemos la siguiente representación gráfica:

𝒂𝒙

√𝒂𝟐− 𝒙𝟐

𝜽

Derivando con respecto de queda:𝒅𝒙𝒅𝜽

=𝒂𝒅𝒅𝜽

𝒔𝒆𝒏𝜽

𝒅𝒙𝒅𝜽

=𝒂𝒄𝒐𝒔𝜽

=

𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽(𝒂𝟐−𝒙𝟐 )𝟑/𝟐

=(𝒂𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽   )𝟑/𝟐=𝒂𝟑𝒄𝒐𝒔𝟑𝜽

∫ 𝒅𝒙

(𝒂𝟐−𝒙𝟐)𝟑/𝟐=∫𝒂𝒄𝒐𝒔 𝜽𝒅 𝜽𝒂𝟑𝒄𝒐𝒔𝟑𝜽

EjemploContinuación…

Paso 2.

Reemplazando los términos en la integral propuesta, tenemos:

Donde:

(𝒂𝟐−𝒙𝟐 )𝟑/𝟐=𝒂𝟑𝒄𝒐𝒔𝟑𝜽

Simplificando:

∫ 𝒅𝒙

(𝒂𝟐−𝒙𝟐)𝟑/𝟐=∫𝒂𝒄𝒐𝒔 𝜽𝒅 𝜽𝒂𝟑𝒄𝒐𝒔𝟑𝜽

=∫ 𝒅𝜽𝒂𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽

Integral equivalente

EjemploContinuación…

Paso 3.

Resolviendo la integral equivalente obtenida:

∫ 𝒅𝜽𝒂𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽

1 Primero sacando las constantes fuera de la integral, en este caso .

𝟏𝒂𝟐∫

𝒅𝜽𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽

2Utilizando la identidad trigonométrica

𝟏𝒂𝟐∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐𝜽 𝒅𝜽1 2

3Utilizando la formula directa de integración

3𝟏𝒂𝟐 [𝒕𝒈𝜽 ]+𝑪

EjemploContinuación…

Paso 4.

Expresar la solución en los términos de la sustitución original:

𝟏𝒂𝟐 [𝒕𝒈𝜽 ]+𝑪

𝒂𝒙

√𝒂𝟐− 𝒙𝟐

𝜽Expresando en su identidad trigonométrica igual a

𝟏𝒂𝟐

𝒙

√𝒂𝟐− 𝒙𝟐+𝑪

Solución

FRACCIONES

PARCIALES

El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata

una integral o una transformada de Laplace Inversa.

Definimos fracciones parciales a la función F(x) en la cual dicha función depende de un:

NUMERADOR Y un DENOMINADOR

Para que sea una fracción parcial el grado del denominador tiene que ser mayor al grado del numerador

Casos de Fracciones Parciales

∫ 𝑎𝑙𝑔𝑜𝑥 (𝑥+2 )

=∫ 𝐴𝑥

+𝐵𝑥+2

∫ 𝑎𝑙𝑔𝑜𝑥 (𝑥+2 )2

=∫ 𝐴𝑥

+𝐵𝑥+2

+∁

(𝑥+2 )2

∫ 𝑎𝑙𝑔𝑜(𝑥−1 )2

=∫ 𝑎𝑙𝑔𝑜(𝑥−1 ) (𝑥+1 )

=𝐴

𝑥−1+

𝐵𝑥+1

∫ 𝑎𝑙𝑔𝑜(𝑥2+2 ) 𝑥

=∫ 𝐴𝑥+𝐵𝑋 2+2

+∁𝑋

EJEMPLO: 1

dx Comparar función con el formulario y vemos lo que mas se le parezcaPASO 1

∫ 𝑎𝑙𝑔𝑜𝑥 (𝑥+2 )

=∫ 𝐴𝑥

+𝐵𝑥+2

DESPUES NUESTRA INTEGRAL QUEDARIA

𝐴𝑋

+𝐵

𝑋−4=¿

RESOLVER COMO UNA FRACCION

EL COMUN DENOMINADOR:ES xdividiendo a A por (x-4) mas BX quedaría:

𝐴 ( 𝑋−4 )+𝐵𝑋𝑥 (𝑥−4)

Nos centraremos en el producto que quedo arriba

𝐴 ( 𝑋−4 )+𝐵𝑋𝑥 (𝑥−4)

Tenemos que factorizar pero antes quitar el paréntesis

A

Después factorizar X(A

Reescribir nuestra función pero solo el numerador

IGUALAR5X+12= X(A+B)-4A

B=8

ENCONTRAR VALORES5=A+B12=-4 A

SUSTITUIR A CON LA SEGUNDA ECUACION

12=-4 A=A

A=-3SUSTITUIR B CON LA SIGUIENTE ECUACION

5=A+B5=-3+B5+3=B

CONTINUACION

SUSTITUIR VALORES EN LA ECUACION E INTEGRARLA

𝐴𝑋

+𝐵

𝑋−4

𝐴𝑋

+𝐵

𝑋−4

dx

-3ln x + 8 ln +

RESULTADO